数分5_微分中值定理及其应用

壹第五章 微分中值定理及其应用第一节 微分中值定理331231.(1)30()[0,1];(2)0(,,),;(1)[0,1]30[0,1]()3n x x c c x px q n p q n n x x c x x f x x x c-+=++=-+=<∈=-+证明：方程为常数在区间内不可能有两个不同的实根方程为正整数为实数当为偶数时至多有两个实根当为奇数时,至多有三个实根。

证明：设在区间内方程有两个实根,即有使得函数 值为零012023(,)[0,1],'()0.'()33(0,1)(3,0)30()[0,1] (2)2220n x x x f x f x x x x c c n n k x px q x ∈⊂==---+=≤=>++=。

那么由罗尔定理可知存在使得 但是在内的值域为是不可能有零点的,矛盾。

因此有:方程为常数在区间内不可能有两个不同的实根。

当时,方程至多只可能有两个实根,满足所证。

当时,设方程有三个实根,即存在实数1230112022301021010110202()0(,),(,),'()'()0,'()0(*'()0n n n x x f x x px q x x x x x x f x f x f x nx p f x nx p --<<=++=∈∈==⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩使得函数 成立。

那么由罗尔定理可知存在使得即0010220000102),(,),''(0)0,''()(1)0,0,0,0.2(*).212n n x x x f f x n n x x x x n k p n n k x px q -∈==-==<>==+>++ 再次利用罗尔定理可以知道,存在使得即 显然必有那么就有 那么由于为偶数,可以知道此时不存在满足式的实数因此当为偶数时方程至多有两个实根。

微积分中的中值定理及其应用在高等数学中，微积分是一个重要的分支，它是数学的基础之一。

微积分主要研究的是极限和导数、微分和积分等数学问题。

而在微积分中，中值定理是一个非常重要的定理，它不仅是微积分的基础，而且在数学和物理等领域中也有着广泛的应用。

一、中值定理的定义中值定理是微积分中的一个基本定理，它是关于连续函数的一个定理。

中值定理包括一系列的定理，其中最基本的是魏尔斯特拉斯中值定理，也就是：定理：设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则存在$\xi\in(a,b)$，使得$f(\xi)=\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$。

意义：对于一个连续函数$f(x)$，在闭区间$[a,b]$内必然存在一个取值$\xi$，使得$f(\xi)$等于其在该区间内的均值，也就是该区间内$f(x)$在$x$上的积分与该区间长度的比值。

二、中值定理的应用中值定理在微积分中应用非常广泛，它的应用主要有以下几个方面：1.函数极值：中值定理可以用来证明函数的极值。

具体来说，当$f(x)$在某个区间上连续并且在该区间的内部取得了极值，则一定存在一个中间点$\xi$，使得$f'(\xi)=0$。

2.导数的应用：中值定理在求解导数存在的问题时也有很大的作用。

根据中值定理，如果$f(x)$在区间$[a,b]$内可导，那么存在一个点$\xi$，使得$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$。

这个公式常常被称为Lagrange中值定理，它可以用来证明导数的存在性，并且可用于证明很多导数相关的定理。

3.曲线长度：中值定理还可以用于计算曲线的长度。

具体来说，我们可以将曲线分成若干个线段，然后利用Lagrange中值定理来求每个线段的长度，最后将它们加起来即可得到整条曲线的长度。

4.牛顿迭代法：在求解方程的问题中，中值定理也有着很大的应用。

例如，可以利用中值定理来实现牛顿迭代法。

微分中值定理的证明及应用微分中值定理是一系列中值定理的总称，通常包括罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

它们将函数与其导数联系起来，从而可以利用导数的局部性来研究函数的整体性质，是研究函数的有力工具。

因此，微分中值定理在微分学中占有很重要的地位。

1 微分中值定理历史发展人们对微分中值定理的认识始于古希腊时代。

当时的数学家们发现，过抛物线顶点的切线必平行于抛物线底端的连线，阿基米德还利用该结论求出了抛物线弓形的面积。

这其实就是拉格朗日中值定理的特殊情形。

1635年，意大利数学家卡瓦列里在《不可分量几何学》中描述：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦，即卡瓦列里定理。

它反映了微分中值定理的几何形式。

1637年法国数学家费马在《求最大值和最小值的方法》中给出了费马定理，即函数在极值点处的导数为零。

1691年法国数学家罗尔在《方程的解法》中给出了多项式形式的罗尔定理，后来发展成一般函数的罗尔定理，并且正是由费马定理推导而出。

后来，法国数学家拉格朗日于1797年在《解析函数论》中首先给出了拉格朗日中值定理，并予以证明。

它也是微分中值定理中最为主要的定理。

同样是来自法国的著名数学家柯西，这位近代微分学的奠基者，对微分中值定理进行了更加深入的研究。

他的三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》和《微分计算教程》，在分析上进行了严格的叙述和论证，使得微积分摆脱了对几何、运动的直观理解和物理解释，对微积分理论进行了重构，从而极大地推动了数学分析严格化的进程[1-2]。

他在《无穷小计算教程概论》中严格地证明了拉格朗日中值定理，后来又在《微分计算教程》中将拉格朗日中值定理推广为广义中值定理—柯西中值定理。

柯西认为中值定理是微分学中最核心的定理，比如可以利用该定理严格证明洛必达法则，并研究泰勒公式的余项等。

从柯西起，微分中值定理成为了研究函数非常重要的工具，也是微分学的重要组成部分。

2 微分中值定理及其证明2.1 费马引理设x0是f（x）的一个极值点，且f（x）在x0处导数存在，则f“（x0）=0。

本科生毕业论文（设计）系（院）数学与信息科学学院专业数学与应用数学论文题目微分中值定理及其应用学生姓名贾孙鹏指导教师黄宽娜（副教授）班级 11级数应1班学号 11290056完成日期：2015年4月微分中值定理及其应用贾孙鹏数学与信息科学学院数学与应用数学 11290056【摘要】微分中值定理是研究复杂函数的一个重要工具，是数学分析中的重要内容。

我们可以运用构造函数的方法来巧妙的运用微分中值定理解决问题。

本文主要研究微分中值定理的内容和不同形式之间的关系，以及它的推广形式。

并归纳了它在求极限，根的存在性，级数等方面的应用。

最后对中间点的问题进行了讨论。

【关键词】微分中值定理应用辅助函数1引言微分中值定理主要包括罗尔（Roll）定理，拉格朗日（Lagannge）中值定理，柯西(Cauchy)中值定理，以及泰勒(Taylor)公式。

他们之间层层递进。

研究了单个函数整体与局部，以及多个函数之间的关系。

对掌握函数的性质，以及根的存在性等方面具有重要的作用。

学微分中值定理这节同我们要掌握为什么要学这节，和不同定理之间的关系和应用。

从教材来看，我们已经明白了导数微分重要性，但没讲明如何运用，因此有必要加强导数的应用，而微分中值定理是导数运用的理论基础。

所以这部分内容很重要。

它是以后研究函数极限，单调，凹凸性的基础。

从微分中值定理的产生来看，其中一个基础问题就是函数最值问题。

而解决此类问题就是能熟练的运用微分中值定理。

此文为加深对中值定理的理解，在它推广的基础上详细解释了定理间的关系，对它的应用作了5个大方面的归纳。

并对最新研究成果作了解释。

2柯西与微分中值定理2.1柯西的证明首先在柯西之前就有很多科学家给出了导数的定义，当然他们对导数的认识存在着差异。

比如说欧拉在定义导数的时候就用了差商的形式，如将()g x的导数定义为()()g x h g hh+-当趋于0时的极限。

对于拉格朗日他对导数的认识开始是建立在错误观点的，他认为任意的函数都可以展开成幂级数的形式，但是事实并不是这样。

微分中值定理及其应用一、本文概述《微分中值定理及其应用》是一篇深入探讨微分学中值定理及其在实际应用中的作用的学术性文章。

微分中值定理是数学分析领域中的一个核心概念，它建立了函数在特定区间内的变化与其导数之间的紧密联系。

本文旨在通过对微分中值定理的深入剖析，揭示其在理论研究和实际应用中的广泛价值。

文章首先介绍了微分中值定理的基本概念，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理等。

这些定理不仅在数学分析中占有重要地位，而且在实际应用中发挥着重要作用。

接着，文章通过一系列实例展示了微分中值定理在几何、物理、工程等领域的应用，如曲线形状的判定、物体运动的分析、工程设计的优化等。

本文还关注微分中值定理在经济学、生物学等社会科学领域的应用。

通过引入这些领域的实际案例，文章进一步强调了微分中值定理在解决实际问题中的重要作用。

文章对微分中值定理的应用前景进行了展望，探讨了其在未来科学研究和技术发展中的潜在影响。

《微分中值定理及其应用》是一篇系统介绍微分中值定理及其在各个领域应用的综合性文章。

通过本文的阅读，读者可以全面了解微分中值定理的基本知识和应用技巧，为深入研究和实际应用打下坚实基础。

二、微分中值定理概述微分中值定理是微积分理论中的核心内容之一，它揭示了函数在某区间内与导数之间的紧密联系。

这些定理不仅为函数的研究提供了重要的工具，还在解决实际问题中发挥了重要作用。

微分中值定理主要包括罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理。

罗尔定理是微分中值定理的基础，它指出如果一个函数在某闭区间上连续，在开区间内可导，并且区间两端点的函数值相等，那么在这个开区间内至少存在一点，使得该点的导数值为零。

拉格朗日定理是罗尔定理的推广，它进一步指出，如果存在满足上述条件的点，那么该点的导数值等于函数在区间两端点值的差与区间长度的商。

柯西定理则是拉格朗日定理的推广，它涉及到两个函数在相同区间上的性质。

这些定理在实际应用中具有广泛的价值。

微分中值定理的应用小结微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它在实际应用中有着广泛的应用。

下面我们将总结一下微分中值定理的应用。

微分中值定理分为拉格朗日中值定理和柯西中值定理两种形式。

它们都是从微分的角度出发，研究了函数在一定条件下的均匀变化规律，因此在实际应用中具有重要的意义。

下面我们将从几个方面来讨论微分中值定理的应用。

一、曲线的切线微分中值定理最基本的应用之一就是用来求曲线上某点的切线。

当我们需要求曲线在某一点的切线时，可以先求出该点的导数，然后根据微分中值定理，可以得到该点的切线的斜率，从而得到切线的方程。

这在工程计算和物理问题中有广泛的应用，如求曲线上某一点的切线斜率，可以用来分析曲线在该点的变化趋势，从而得出相关的结论。

二、误差估计微分中值定理还可以用来进行误差估计。

在实际测量和计算中，往往难以得到准确的数值，只能得到数值的近似值。

此时，我们可以利用微分中值定理来进行误差估计。

通过对函数进行微分，可以得到函数在某一点附近的变化规律，从而可以利用微分中值定理来估计函数值的误差范围，这在工程测量和科学实验中有着重要的应用。

三、最优化问题微分中值定理还可以用来解决最优化问题。

最优化问题是指在一定条件下寻找函数的极值点的问题，常常出现在工程设计和经济管理中。

通过对函数进行微分，可以得到函数在某一点的变化规律，从而可以利用微分中值定理来寻找函数的极值点，从而得到最优解。

这在工程设计和市场调研中有着广泛的应用。

四、速度和加速度在物理学中，微分中值定理也有着重要的应用。

通过对物体的位置函数进行微分，可以得到物体的速度函数；再对速度函数进行微分，可以得到物体的加速度函数。

从而可以利用微分中值定理来分析物体的运动规律，这在工程设计和交通管理中有着广泛的应用。

壹第五章微分中值定理及其应用第一节微分中值定理331231.(1)30()[0,1];(2)0(,,),;(1)[0,1]30[0,1]()3nx x c c x px q n p q n n x x c x x f x x x c证明：方程为常数在区间内不可能有两个不同的实根方程为正整数为实数当为偶数时至多有两个实根当为奇数时,至多有三个实根。

证明：设在区间内方程有两个实根,即有使得函数值为零012023(,)[0,1],'()0.'()33(0,1)(3,0)30()[0,1] (2)2220nx x x f x f x x x x c c n n k x px q x 。

那么由罗尔定理可知存在使得 但是在内的值域为是不可能有零点的,矛盾。

因此有:方程为常数在区间内不可能有两个不同的实根。

当时,方程至多只可能有两个实根,满足所证。

当时,设方程有三个实根,即存在实数1230112022301021010110202()0(,),(,),'()'()0,'()0(*'()0n n n x x f x x px q x x x x x x f x f x f x nx p f x nx p使得函数成立。

那么由罗尔定理可知存在使得即0010220000102),(,),''(0)0,''()(1)0,0,0,0.2(*).212n nx x x f f x n n x x x x n k p n n k x px q 再次利用罗尔定理可以知道,存在使得即显然必有那么就有 那么由于为偶数,可以知道此时不存在满足式的实数因此当为偶数时方程至多有两个实根。

当时,设方程1234111212231334111213111110()0(,),(,),(,)'()0,'()0,'()0,'()0'(nn x x x x f x x px q x x x x x x x x x f x f x f x f x nx p f x 有三个实根,即存在实数使得函数成立。

第二讲 微分与积分中值定理与其应用1 微积分中值定理01.1 微分中值定理0 1.2 积分中值定理2 2 微积分中值定理的应用34.1 证明方程根〔零点〕的存在性3 4.2 进行估值运算6 4.3 证明函数的单调性7 4.4 求极限7 4.5 证明不等式8引言Rolle 定理,Lagrange 中值定理,Cauchy 中值定理统称为微分中值定理。

微分中值定理是数学分析中最为重要的内容之一,它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础,是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带,具有重要的理论价值与使用价值。

1 微积分中值定理微分中值定理罗尔<Rolle>定理: 若函数f 满足如下条件 <ⅰ>f 在闭区间[a,b]上连续； <ⅱ>f 在开区间〔a,b 〕内可导； <ⅲ>)()(b f a f =,则在〔a,b 〕内至少存在一点ξ,使得0)(='ξf ．朗格朗日<Lagrange>中值定理: 设函数f 满足如下条件： <ⅰ>f 在闭区间[a,b]上连续； <ⅱ>f 在开区间〔a,b 〕上可导； 则在〔a,b 〕内至少存在一点ξ,使得ab a f b f f --=')()()(ξ．柯西中值定理:设函数f 和g 满足 <ⅰ>在[a,b]上都连续； <ⅱ>在〔a,b 〕内都可导； <ⅲ>)('x f 和)('x g 不同时为零； <ⅳ>)()(b g x g ≠, 则存在),(b a ∈ξ,使得)()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ． 微分中值定理的推广罗尔定理的推广定理1: 设函数)(x f 在〔a,b 〕内可导,且有)()(lim )0()0()(lim ∞-∞+==-=+=-+→→或为有限值或A A x f b f a f x f bx a x ,则存在点),(b a ∈ξ,使得0)(='ξf ．证明：首先对A 为有限值进行论证：令⎩⎨⎧==∈=b x a x A b a x x f x F 或,),(),()(则易知函数)(x f 在[a,b]上连续,在〔a,b 〕内可导且)()(b F a F =．由Rolle 定理可知,在<a,b>内至少存在一点ξ,使得0)(='ξF ,而在<a,b>内有)()(x f x F '=',所以0)(='ξf ． 其次对A=∞+〔∞-〕进行论证：由引理1,)(x f 在〔a,b 〕内能取得最小值〔最大值〕．不妨设：函数)(x f 在),(b a ∈ξ处取得最小值〔最大值〕．此时函数)(x f 在),(b a ∈ξ处也就取得极小值〔极大值〕．又因为)(x f 在),(b a ∈ξ处可导,由Fermat 引理,可得0)(='ξf ． 综上所述,从而定理得证．定理2: 设函数)(x f 在<a,∞+>,内可导,且)(lim )(lim x f x f x ax +∞→→=+,证明：在〔a,∞+>中存在一点ξ,使得0)(='ξf ．定理3: 设函数)(x f 在〔∞-,b>,内可导,且)(lim )(lim x f x f bx x -→-∞→=,证明：在〔∞-,b>中存在一点ξ,使得0)(='ξf ．定理4: 设函数)(x f 在〔∞-,∞+>,内可导,且)(lim )(lim x f x f x x +∞→-∞→=,证明：在〔∞-,∞+>中存在一点ξ,使得0)(='ξf ．朗格朗日中值定理的推广定理5: 如果函数)(x f 满足条件：在开区间〔a,b 〕上可导且)0()(lim ),()0()(lim -==+=-+→→b f x f a f a f x f bx a x 存在,则在〔a,b 〕内至少存在一点ξ,使得ab a f b f f --=')()()(ξ．柯西中值定理的推广定理6: 如果函数f<x>和F<x>满足条件： ①都在有限区间<a,b>内可导；②;)(lim ,)(lim ,)(lim ,)(lim 2211M x F m x F M x f m x f bx ax bx ax ====-+-+→→→→③;0)(),,('≠∈∀x F b a x 有 则在<a,b>内至少有一点ξ,使得 证明：作辅助函数A<x>,B<x>,并且令则A<x>,B<x>在闭区间[a,b]上连续,开区间<a,b>内可导,且对,0)(),,('≠∈∀x B b a x 由Cauchy 中值定理可知,至少有一点),(b a ∈ξ使得 又当),(b a x ∈时,)()(),()(x F x B x f x A ==∴2211'''')()()()()()()()(m M m M a B b B a A b A F f B A --=--==ξξξξ 即：2211'')()(m M m M F f --=ξξ 1.2积分中值定理积分中值定理: 若)(x f 在区间[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一点ξ使得()()()b a a b f dx x f b≤≤-=⎰ξξ,a.积分中值定理的推广推广的积分第一中值定理: 若()()x g x f ,在闭区间[]b a ,上连续,且()x g 在[]b a ,上不变号,则在[]b a ,至少存在一点ξ,使得第一型曲线积分中值定理: 若函数(,)f x y 在光滑有界闭曲线C 上连续,则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη,使(,)(,)Cf x y ds f S ξη=⎰。