中考数学压轴题---因动点产生的等腰三角形问题[含答案]

专题二因动点产生的等腰三角形问题【类型综述】数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈，动态几何问题是近年来中考的热点问题，以运动的观点来探究几何图形的变化规律问题，动态问题的解答，一般要将动态问题转化为静态问题，抓住运动过程中的不变量，利用不变的关系和几何性质建立关于方程（组）、函数关系问题，将几何问题转化为代数问题。

在动态问题中，动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型，可以与旋转、平移、对称等几何变化相结合，也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合，从而产生数与形的完美结合.解决动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类.【方法揭秘】我们先回顾两个画图问题：1．已知线段AB＝5厘米，以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB＝6厘米，以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C．已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么1cos2AC AB A=∠；③如图3，如果CA＝CB，那么1cos2AB AC A=∠．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．图1 图2 图3【典例分析】例1 如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC 于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1 备用图例2如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1例3 如图1，点A 在x 轴上，OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置． （1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图1例4 如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ． （1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．例5 如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，点E 是∠BAC 的平分线上一点，过点E 作AE 的垂线，过点A 作AB 的垂线，两垂线交于点D ，连接DB ，点F 是BD 的中点，DH ⊥AC ，垂足为H ，连接EF ，HF ．（1）如图1，若点H 是AC 的中点，AC ＝AB 、BD 的长； （2）如图1，求证：HF ＝EF ．（3）如图2，连接CF 、CE ，猜想：△CEF 是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．图1 图2例6如图1，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 以每秒1个单位的速度从A 向C 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从A →B →C 方向运动，它们到C 点后都停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒．（1）在运动过程中，求P 、Q 两点间距离的最大值；（2）经过t 秒的运动，求△ABC 被直线PQ 扫过的面积S 与时间t 的函数关系式；（3）P ，Q 两点在运动过程中，是否存在时间t ，使得△PQC 为等腰三角形．若存在，求出此时的t 值，若不存在，请说明理由．（24.25≈，结果保留一位小数）图1【变式训练】1．（2017四川省达州市）已知函数()()12030x xy x x⎧->⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩的图象如图所示，点P 是y 轴负半轴上一动点，过点P作y 轴的垂线交图象于A ，B 两点，连接OA 、OB ．下列结论： ①若点M 1（x 1，y 1），M 2（x 2，y 2）在图象上，且x 1＜x 2＜0，则y 1＜y 2； ②当点P 坐标为（0，﹣3）时，△AOB 是等腰三角形； ③无论点P 在什么位置，始终有S △AOB =7.5，AP =4BP ；④当点P 移动到使∠AOB =90°时，点A的坐标为（，）． 其中正确的结论个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．（2017浙江省绍兴市）如图，∠AOB =45°，点M 、N 在边OA 上，OM =x ，ON =x +4，点P 是边OB 上的点．若使点P 、M 、N 构成等腰三角形的点P 恰好有三个，则x 的值是 ．3．（2017四川省南充市）如图1，已知二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，a ≠0）的图象过点O（0，0）和点A （4，0），函数图象最低点M 的纵坐标为38-，直线l 的解析式为y =x ．（1）求二次函数的解析式；（2）直线l 沿x 轴向右平移，得直线l ′，l ′与线段OA 相交于点B ，与x 轴下方的抛物线相交于点C ，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，把△BCE 沿直线l ′折叠，当点E 恰好落在抛物线上点E ′时（图2），求直线l ′的解析式；（3）在（2）的条件下，l ′与y 轴交于点N ，把△BON 绕点O 逆时针旋转135°得到△B ′ON ′，P 为l ′上的动点，当△PB ′N ′为等腰三角形时，求符合条件的点P 的坐标．4.（2017四川省广安市）如图，已知抛物线2y x bx c =-++与y 轴相交于点A （0，3），与x 正半轴相交于点B ，对称轴是直线x =1．（1）求此抛物线的解析式以及点B 的坐标．（2）动点M 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿x 轴正方向运动，同时动点N 从点O 出发，以每秒3个单位长度的速度沿y 轴正方向运动，当N 点到达A 点时，M 、N 同时停止运动．过动点M 作x 轴的垂线交线段AB 于点Q ，交抛物线于点P ，设运动的时间为t 秒． ①当t 为何值时，四边形OMPN 为矩形．②当t ＞0时，△BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．5. （2017四川省眉山市）如图，抛物线22y ax bx =+-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知A （3，0），且M （1，83-）是抛物线上另一点．（1）求a 、b 的值；（2）连结AC ，设点P 是y 轴上任一点，若以P 、A 、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P 点的坐标； （3）若点N 是x 轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与O 、A 重合），过点N 作NH ∥AC 交抛物线的对称轴于H 点．设ON =t ，△ONH 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．6. （2017广东省）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形ABCO 是矩形，点A ，C 的坐标分别是A （0，2）和C （0），点D 是对角线AC 上一动点（不与A ，C 重合），连结BD ，作DE ⊥DB ，交x 轴于点E ，以线段DE ，DB 为邻边作矩形BDEF ． （1）填空：点B 的坐标为 ；（2）是否存在这样的点D ，使得△DEC 是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证：DEDB ②设AD =x ，矩形BDEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式（可利用①的结论），并求出y 的最小值．7. （2017广西四市）如图，已知抛物线a ax ax y 9322--=与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ． （1）直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△P AD 为等腰三角形，求出点P 的坐标； （3）证明：当直线l 绕点D 旋转时，ANAM 11+均为定值，并求出该定值．8. （2017重庆市B 卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x x =x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，点E （4，n ）在抛物线上．（1）求直线AE 的解析式；（2）点P 为直线CE 下方抛物线上的一点，连接PC ，PE ．当△PCE 的面积最大时，连接CD ，CB ，点K 是线段CB 的中点，点M 是CP 上的一点，点N 是CD 上的一点，求KM +MN +NK 的最小值；（3）点G 是线段CE 的中点，将抛物线233y x x =--沿x 轴正方向平移得到新抛物线y ′，y ′经过点D ，y ′的顶点为点F ．在新抛物线y ′的对称轴上，是否存在一点Q ，使得△FGQ 为等腰三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．9. （2017湖南张家界第23题）已知抛物线c 1的顶点为A （﹣1，4），与y 轴的交点为D （0，3）． （1）求c 1的解析式；（2）若直线l 1：y =x +m 与c 1仅有唯一的交点，求m 的值；（3）若抛物线c 1关于y 轴对称的抛物线记作c 2，平行于x 轴的直线记作l 2：y =n ．试结合图形回答：当n为何值时，l2与c1和c2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；（4）若c2与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使△P AB为等腰三角形．。

动点产生的等腰三角形难度一：1．已知，如图，在正方形ABCD中，AB=2，P是BC边上一点，ACPE⊥，垂足为E，连接DE并延长，交边BC于点F，连接AP．（1）判断PAC∠的大小，并证明你的结论；∠与CDF（2）设xBP=，yPF=，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当CEF∆是等腰三角形时，求BP的值．2．如图，等腰梯形ABC D 中，A D B C ∥，5,AB DC ==AD =2，B C =8，M E N B ∠=∠．M E N ∠的顶点E 在边BC 上移动，一条边始终经过点A ，另一边与CD 交于点F ，联接AF ．（1）设y DF x BE ==,，试建立y 关于x 的函数关系式，并写出函数定义域； （2）若A E F △为等腰三角形，求出BE 的长．N M DFECBADCBA备用图3．已知在△ABC 中，∠A =45°，AB =7，34tan B ，动点P 、D 分别在射线AB 、AC 上，且∠DPA =∠ACB ，设AP =x ，△PCD 的面积为y ．（1）求△ABC 的面积；（2）如图，当动点P 、D 分别在边AB 、AC 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果△PCD 是以PD 为腰的等腰三角形，求线段AP 的长．CAPBDGFEDCBA4．如图，在ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B 重合），且保持BC DE ∥，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG ． （1）试求ABC ∆的面积；（2）当边FG 与BC 重合时，求正方形DEFG 的边长；（3）设x AD =，ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（4）当BDG ∆是等腰三角形时，请直接写出AD 的长．解：（1）12=∆ABC S .（2）令此时正方形的边长为a ，则446a a -=，解得512=a .（3）当20≤x 时， 22253656x x y =⎪⎭⎫⎝⎛=，当52 x 时， ()2252452455456x x x x y -=-⋅=.（4）720,1125,73125=AD .难度二：5．（2010宝山二模）如图，矩形ABCD 中，2AB =，点E 是BC 边上的一个动点，联结AE ，过点D 作D F AE ⊥，垂足为点F .（1）设BE x =，AD F ∠的余切值为y ，求y 关于x 的函数解析式；（2）若存在点E ，使得∆ABE 、∆ADF 与四边形CDFE 的面积比是3：4：5，试求矩形ABCD 的面积；（3）对（2）中求出的矩形ABCD ，联结CF ，当BE 的长为多少时，∆CDF 是等腰三角形？解：（1）△ABE ∽△DF A ，xy 2= ……………………………（3分）（2）∵∆ABE ：∆ADF ：四边形CDFE 的面积比是3：4：5 ∴ABCD 41矩形S S ABE =∆∴BC 21E =B ………………………… (1分)设x B =E ，则ＢＣ＝２x∵△ABE ∽△DF A ，且∆ABE ：∆ADF =3：4 ∴3422=AEAD ∴342422=+x x………………………（2分）解得 x =1……（1分） ∴ BC =2，22ABCD =矩形S ………（1分）(备用图)DCBA E FD CBA E FD CB A E F（3） ⅰ)CF=CD 时，过点C 作CM ⊥DF ，垂足为点M 则 CM ∥AEMF DM =………………………（1分）延长CM 交AD 于点G∴1==GD AG∴1=CE∴当BE=1时，∆CDF 是等腰三角形……………（1分） ⅱ）DF=DC 时，则DC=DF=2∵DF ⊥AE AD=2 ∴∠DAE =45°………（1分） 则BE=2∴当BE=2时，∆CDF 是等腰三角形………（1分）ⅲ）FD=FC 时，则F 为AE 中点 ∵△ADF ∽△EAB∴EBAF AEAD =∴xx x 2212222+=+……………………（1分）解得22±=x∴当BE=22-时，∆CDF 是等腰三角形 (1)6．已知：□ABCD 中，对角线AC ⊥AB ，AB =15，AC =20，点P 为射线BC 上一动点，AP ⊥PM （点M 与点B 分别在直线AP 的两侧），且∠PAM =∠CAD ，连结MD 。

等腰三角形存在性问题几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型，等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列从等腰三角形开始，逐一介绍各种问题及常规解法．等腰三角形存在性问题【问题描述】如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形．【几何法】“两圆一线”得坐标（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．【注意】若有三点共线的情况，则需排除．作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．C 21+23,0()C 11-23,0()C 1H =C 2H =13-1=23作AH ⊥x 轴于H 点，AH =1AC 1=AB=4-1()2+3-1()2=1334C C 、同理可求，下求5C ．显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A 、B 均往下移一个单位，当点A 坐标为（1,0），点B 坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：故C 5坐标为（196,0）解得：x =1363-x ()2+22=x 2设AC 5=x ，则BC 5=x ，C 5H =3-x AH =3，BH =2而对于本题的5C ，或许代数法更好用一些．【代数法】表示线段构相等（1）表示点：设点5C 坐标为（m ，0），又A 点坐标（1,1）、B 点坐标（4,3）， （2）表示线段：5AC =5BC（3）分类讨论：根据55AC BC =，（4）求解得答案：解得：236m =，故5C 坐标为23,06⎛⎫⎪⎝⎭． 【小结】几何法：（1）“两圆一线”作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．代数法：（1）表示出三个点坐标A 、B 、C ；（2）由点坐标表示出三条线段：AB 、AC 、BC ； （3）根据题意要求取①AB =AC 、②AB =BC 、③AC =BC ； （4）列出方程求解．问题总结：（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解； （3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．【2018泰安中考】如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点(4,0)A -、(2,0)B ，交y 轴于点(0,6)C ，在y 轴上有一点(0,2)E -，连接AE ． （1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由．【分析】（1）233642y x x =--+；（2）可用铅垂法，当点D 坐标为()2,6-时，△ADE 面积最大，最大值为14； （3）这个问题只涉及到A 、E 两点及直线x =-1（对称轴）①当AE =AP 时，以A 为圆心，AE 为半径画圆，与对称轴交点即为所求P 点． ∵AE=1AP AH =3，∴1PH故(1P -、(21,P-． ②当EA =EP 时，以E 点为圆心，EA 为半径画圆，与对称轴交点即为所求P 点． 过点E 作EM 垂直对称轴于M 点，则EM =1，34P M P M ===，故(31,2P --、(41,2P --．③当P A =PE 时，作AE 的垂直平分线，与对称轴交点即为所求P 点． 设()51,P m -，()()2225140P A m =-++-，()()2225=102P E m --++ ∴()22921m m +=++，解得：m =1． 故()51,1P -．综上所述，P 点坐标为(1P -、(21,P -、(31,2P --+、(41,2P --、()51,1P -．【补充】“代数法”用点坐标表示出线段，列方程求解亦可以解决．【2019白银中考（删减）】如图，抛物线24y ax bx =++交x 轴于(3,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P 作PM x ⊥轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；【分析】（1）211433y x x =-++；（2）①当CA =CQ 时，∵CA =5，∴CQ =5，考虑到CB 与y 轴夹角为45°，故过点Q 作y 轴的垂线，垂足记为H ，则CH QH ==，故Q点坐标为-⎝⎭． ②当AC =AQ 时，考虑直线BC 解析式为y =-x +4，可设Q 点坐标为（m ，-m +4），AQ =5=，解得：m =1或0（舍），故Q 点坐标为（1，3）．③当QA =QC 时，作AC 的垂直平分线，显然与线段BC无交点，故不存在． 综上所述，Q点坐标为⎝⎭或（1，3）．【2019盐城中考删减】如图所示，二次函数2(1)2y k x =-+的图像与一次函数2y kx k =-+的图像交于A 、B 两点，点B 在点A 的右侧，直线AB 分别与x 、y 轴交于C 、D 两点，其中0k <． （1）求A 、B 两点的横坐标；（2）若OAB ∆是以OA 为腰的等腰三角形，求k 的值．【分析】（1）A 、B 两点横坐标分别为1、2； （2）求k 的值等价于求B 点坐标，B 点横坐标始终为2，故点B 可以看成是直线x =2上的一个动点， 满足△OAB 是以OA 为腰的等腰三角形， 又A 点坐标为（1，2），故OA = ①当OA =OB时，即OB =记直线x =2与x 轴交点为H 点， ∵OH =2，∴BH =1，故B 点坐标为（2，1）或（2，-1），k =-1或-3． ②当AO =AB 时，易知B 点坐标为（2，0），k =-2． 综上所述，k 的值为-1或-2或-3．【2018贵港中考（删减）】如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴相交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴相交于点(0,3)C -．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图像上任意一点，PH x ⊥轴于点H ，与线段BC 交于点M ，连接PC ．当PCM ∆是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．【分析】（1）223y x x =--；（2）①当PM =PC 时，（特殊角分析）考虑∠PMC =45°，∴∠PCM =45°，即△PCM 是等腰直角三角形，P 点坐标为（2，-3）；②当MP =MC 时，（表示线段列方程）设P 点坐标为()2,23m m m --，则M 点坐标为(),3m m -， 故线段()()223233PM m m m m m =----=-+ 故点M 作y 轴的垂线，垂足记为N ，则MN =m ， 考虑△MCN是等腰直角三角形，故MC =，∴23m m -+，解得3m =0（舍）， 故P点坐标为(3-．综上所述，P 点坐标为（2，-3）或(3-．【2019眉山中考删减】如图，在平面直角坐标系中，抛物线249y x bx c =-++经过点(5,0)A -和点(1,0)B ．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）如图，连接AD 、BD ，点M 在线段AB 上（不与A 、B 重合），作DMN DBA ∠=∠，MN 交线段AD 于点N ，是否存在这样点M ，使得DMN ∆为等腰三角形？若存在，求出AN 的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）241620999y x x =--+，顶点D 坐标为()2,4-；（2）考虑到∠DAB =∠DBA =∠DMN ，即有△BMD ∽△ANM （一线三等角）．①当MD =MN 时，有△BMD ≌△ANM ， 可得AM =BD =5，故AN =BM =1；②当NM =ND 时，则∠NDM =∠NMD =∠DAB ， △MAD ∽△DAB ，可得AM =256，116BM = ∴AN AMBM BD=，即2561156AN =， 解得：5536AN =．③当DM =DN 时，∠DNM =∠DMN =∠DAB ，显然不成立，故不存在这样的点M ． 综上，AN 的值为1或5536．【2019葫芦岛中考（删减）】如图，直线4y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线2y x bx c =-++经过B ，C 两点，与x 轴另一交点为A ．点PBC 上由点B 向点C 运动（点P 不与点B 和点C 重合），设运动时间为t 秒，过点P 作x 轴垂线交x 轴于点E ，交抛物线于点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，连接AM 交BC 于点D ，当PDM ∆是等腰三角形时，直接写出t 的值．【分析】（1）234y x x =-++；（2）①考虑到∠DPM =45°，当DP =DM 时，即∠DMP =45°，直线AM ：y =x +1，联立方程：2341x x x -++=+， 解得：13x =，21x =-（舍）． 此时t =1．②当PD=PM时，∠PMD=∠PDM=67.5°，∠MAB=22.5°，考虑tan∠22.5°1，直线AM：)11 y x=+，联立方程：)23411 x x x-++=解得：15x=21x=-（舍）．此时t1 -．综上所述，t的值为11．附：tan22.5°1．221122.5°22.5°45°45°tan22.51︒==【总结】具体问题还需具体分析题目给的关于动点的条件，选取恰当的方法，可减轻计算量．。

1.1因动点产生的等腰三角形答案1．如图，在长方形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm，动点P从点A出发，沿AB以2cm/s的速度向终点B匀速运动；动点Q从点B出发，沿BC以1cm/s的速度向终点C匀速运动；两点同时出发多少秒时，△PBQ 是等腰三角形？分析：设两点同时出发x秒时，△PBQ是等腰三角形，根据等腰三角形得出方程12﹣2x=x，求出方程的解即可．解答：解：设两点同时出发x秒时，△PBQ是等腰三角形，∵长方形ABCD，∴∠B=90°，∵△BPQ是等腰三角形，∴BP=BQ，∴12﹣2x=x，解得：x=4，即两点同时出发4秒时，△PBQ是等腰三角形．点评：本题考查了矩形性质，等腰三角形的性质的应用，关键是能根据题意得出方程．2．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=AB=6，BC=14，点M是线段BC上一定点，且MC=8．动点P从C点出发沿C→D→A→B的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC 为等腰三角形的点P有几个？并求出相应等腰三角形的腰长．分析：连接DM，根据已知分析可得满足等腰三角形的多种情况：PM=CM或CM=PM，然后根据勾股定理进行分析计算．解答：解：根据已知得AD∥BM，AD=BM=6，则四边形ABDM是平行四边形．又∠ABC=90°，根据勾股定理，得CD=10．①作CM的中垂线交CD于P，则△PMC是等腰三角形，此时，CP=5；②当CP=CM=8时，△PMC是等腰三角形；③当点P在AD上，DP=2时，CM=PM=8；④当点P在AB上，BP=2时，CM=PM=8；故有四个．3．如图，直线l：y=x+6交x、y轴分别为A、B两点，C点与A点关于y轴对称．动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ=∠BAO．（1）点A坐标是（﹣8，0），点B的坐标（0，6），BC=10．（2）当点P在什么位置时，△ APQ≌△ CBP，说明理由．（3）当△ PQB为等腰三角形时，求点P的坐标．分析：（1）把x=0和y=0分别代入一次函数的解析式，求出A、B的坐标，根据勾股定理求出BC即可．（2）求出∠PAQ=∠BCP，∠AQP=∠BPC，根据点的坐标求出AP=BC，根据全等三角形的判定推出即可．（3）分为三种情况：①PQ=BP，②BQ=QP，③BQ=BP，根据（2）即可推出①，根据三角形外角性质即可判断②，根据勾股定理得出方程，即可求出③．解答：解：（1）∵y=x+6∴当x=0时，y=6，当y=0时，x=﹣8，即点A的坐标是（﹣8，0），点B的坐标是（0，6），∵C点与A点关于y轴对称，∴C的坐标是（8，0），∴OA=8，OC=8，OB=6，由勾股定理得：BC==10，（2）当P的坐标是（2，0）时，△ APQ≌△ CBP，理由是：∵OA=8，P（2，0），∴AP=8+2=10=BP，∵∠BPQ=∠BAO，∠BAO+∠AQP+∠APQ=180°，∠APQ+∠BPQ+∠BPC=180°，∴∠AQP=∠BPC，∵A和C关于y轴对称，∴∠BAO=∠BCP，在△ APQ和△ CBP中，，∴△ APQ≌△ CBP（AAS），∴当P的坐标是（2，0）时，△ APQ≌△ CBP．（3）分为三种情况：①当PB=PQ时，∵由（2）知，△APQ≌△CBP，∴PB=PQ，即此时P的坐标是（2，0）；②当BQ=BP时，则∠BPQ=∠BQP，∵∠BAO=∠BPQ，∴∠BAO=∠BQP，而根据三角形的外角性质得：∠BQP＞∠BAO，∴此种情况不存在；③当QB=QP时，则∠BPQ=∠QBP=∠BAO，即BP=AP，设此时P的坐标是（x，0），∵在Rt△OBP中，由勾股定理得：BP2=OP2+OB2，∴（x+8）2=x2+62，解得：x=﹣，即此时P的坐标是（﹣，0）．∴当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是（2，0）或（﹣，0）．故答案为：（﹣8，0），（0，6），10．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，题目综合性比较强，难度偏大．4．（2010•门头沟区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点．（1）求点A的坐标．（2）当△CBD为等腰三角形时，求点D的坐标．（3）在直线AB上是否存在点E，使得以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出有几种情况．分析：（1）利用直线y=x+1与交于点A，直接联立函数解析式求出即可；（2）当△ CBD为等腰三角形时，有三种情况当BD1=D1C时，当BC=BD2时，当CD3=BC分别得出即可；（3）以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形有三种情形．解答：解：（1）由题意，得：，解得：，∴点A的坐标为（，）．（2）当△ CBD为等腰三角形时，有以下三种情况，如图（1）．设动点D的坐标为（x，y）．在y=x+1中，当y=0时，x+1=0，∴x=﹣1，点B的坐标为（﹣1，0）．在y=﹣+3中，当y=0时，﹣x+3=0，∴x=4，点C的坐标为（4，0）．∴BC=5．①当BD1=D1C时，过点D1作D1M1⊥x轴，垂足为点M1，则BM1=M1C=BC．∴BM1=，OM1=﹣1=，x=，∴y=﹣×+3=，点D1的坐标为（，）．②当BC=BD2时，过点D2作D2M2⊥x轴，垂足为点M2，则D2M22+M2B2=D2B2．∵M2B=﹣x﹣1，D2M2=﹣x+3，D2B=5，∴（﹣x﹣1）2+（﹣x+3）2=52，解得：x1=﹣，x2=4（舍去）．此时，y=﹣×（﹣）+3=，∴D2的坐标为（﹣，），③当CD3=BC时，CB=5，CD3=5，此时D3坐标为（0，3），当CD4=BC时，BC=CD4，=5，M4D4=OD3=3，CO=CM4=4，则D点坐标为（8，﹣3）．（6分）由此可得点D的坐标分别为D1（，），D2（﹣，），D3（0，3），D4（8，﹣3）．（3）存在．以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形有三种情形．（8分）点评：此题主要考查了等腰三角形的判定以及两直线交点的求法以及平行四边形的判定等知识，注意分类讨论思想的应用不要漏解．。

一、选择题 二、填空题 三、解答题1．（2016广西来宾市）如图，在矩形ABCD 中，AB =10，AD =6，点M 为AB 上的一动点，将矩形ABCD 沿某一直线对折，使点C 与点M 重合，该直线与AB （或BC ）、CD （或DA ）分别交于点P 、Q ．（1）用直尺和圆规在图甲中画出折痕所在直线（不要求写画法，但要求保留作图痕迹） （2）如果PQ 与AB 、CD 都相交，试判断△MPQ 的形状并证明你的结论；（3）设AM =x ，d 为点M 到直线PQ 的距离，2y d =，①求y 关于x 的函数解析式，并指出x 的取值范围；②当直线PQ 恰好通过点D 时，求点M 到直线PQ 的距离．【答案】（1）作图见解析；（2）△MPQ 是等腰三角形；（3）10． 【分析】（1）作线段CM 的垂直平分线即可；（2）由矩形的性质得出AB ∥CD ，CD =AB =10，得出∠QCO =∠PMO ，由折叠的性质得出PQ 是CM 的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质得出CQ =MQ ，由ASA 证明△OCQ ≌△OMP ，得出CQ =MP ，得出MP =MQ 即可；（3）①作MN ⊥CD 于N ，如图2所示：则MN =AD =6，DN =AM =x ，CN =10﹣x ，在Rt △MCN 中，由勾股定理得出222(2)6(10)d x =+-，即可得出结果；②当直线PQ 恰好通过点D 时，Q 与D 重合，DM =DC =10，由勾股定理求出AM ，得出BM ，再由勾股定理求出CM ，即可得出结果．【解析】（1）如图1所示：（2）△MPQ是等腰三角形；理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，CD=AB=10，∴∠QCO=∠PMO，由折叠的性质得：PQ是CM的垂直平分线，∴CQ=MQ，OC=OM，在△OCQ和△OMP中，∵∠QCO=∠PMO，OC=OM，∠COQ=∠MOP，∴△OCQ≌△OMP（ASA），∴CQ=MP，∴MP=MQ，即△MPQ 是等腰三角形；考点：四边形综合题；动点型；探究型；压轴题．2．（2016吉林省）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=82cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以2cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°（点M，C位于PQ异侧）．设点P的运动时间为x（s），△PQM与△ADC重叠部分的面积为y（cm2）（1）当点M落在AB上时，x= ；（2）当点M落在AD上时，x= ；（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．【答案】（1）4；（2）163；（3）2221(04)27163264 (4)23161664 (8)3x xy x x xx x x⎧<≤⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪-+<<⎪⎩．【分析】（1）当点M落在AB上时，四边形AMQP是正方形，此时点D与点Q重合，由此即可解决问题．（2）如图1中，当点M落在AD上时，作PE⊥QC于E，先证明DQ=QE=EC，由PE∥AD，得PA DEAC DC==23，由此即可解决问题．（3）分三种情形①当0＜x≤4时，如图2中，设PM、PQ分别交AD于点E、F，则重叠部分为△PEF，②当4＜x≤163时，如图3中，设PM、MQ分别交AD于E、G，则重叠部分为四边形PEGQ．③当163＜x＜8时，如图4中，则重合部分为△PMQ，分别计算即可解决问题．（3）①当0＜x ≤4时，如图2中，设PM 、PQ 分别交AD 于点E 、F ，则重叠部分为△PEF ，∵AP =2x ，∴EF =PE =x ，∴y =S △PEF =12•PE •EF =212x ． ②当4＜x ≤163时，如图3中，设PM 、MQ 分别交AD 于E 、G ，则重叠部分为四边形PEGQ ．∵PQ =PC =822x -，∴PM =16﹣2x ，∴ME =PM ﹣PE =16﹣3x ，∴y =S △PMQ ﹣S △MEG =2211(822)(163)22x x ---=2732642x x -+-．③当163＜x ＜8时，如图4中，则重合部分为△PMQ ，∴y =S △PMQ =212PQ =21(822)2=21664x x -+．综上所述2221 (04)27163264 (4)23161664 (8)3x x y x x x x x x ⎧<≤⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪-+<<⎪⎩．考点：三角形综合题；分类讨论；分段函数；动点型；压轴题．3．（2016江苏省苏州市）如图，在矩形ABCD 中，AB =6cm ，AD =8cm ，点P 从点B 出发，沿对角线BD 向点D 匀速运动，速度为4cm /s ，过点P 作PQ ⊥BD 交BC 于点Q ，以PQ 为一边作正方形PQMN ，使得点N 落在射线PD 上，点O 从点D 出发，沿DC 向点C 匀速运动，速度为3m /s ，以O 为圆心，0.8cm 为半径作⊙O ，点P 与点O 同时出发，设它们的运动时间为t （单位：s ）（0＜t ＜85）． （1）如图1，连接DQ 平分∠BDC 时，t 的值为 ；（2）如图2，连接CM ，若△CMQ 是以CQ 为底的等腰三角形，求t 的值； （3）请你继续进行探究，并解答下列问题：①证明：在运动过程中，点O 始终在QM 所在直线的左侧；②如图3，在运动过程中，当QM 与⊙O 相切时，求t 的值；并判断此时PM 与⊙O 是否也相切？说明理由．【答案】（1）1；（2）4049；（3）①证明见解析；②t =43s 时，⊙O 与直线QM 相切，PM 与⊙O 不相切．【分析】（1）先利用△PBQ ∽△CBD 求出PQ 、BQ ，再根据角平分线性质，列出方程解决问题．（2）由△QTM ∽△BCD ，得QM TQBD BC=列出方程即可解决． （3）①如图2中，由此QM 交CD 于E ，求出DE 、DO 利用差值比较即可解决问题． ②如图3中，由①可知⊙O 只有在左侧与直线QM 相切于点H ，QM 与CD 交于点E ．由△OHE ∽△BCD ，得OH OEBC BD=，列出方程即可解决问题．利用反证法证明直线PM 不可能由⊙O 相切．【解析】（1）解：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠C =∠ADC =∠ABC =90°，AB =CD =6．AD =BC =8，∴BD 22AD AB +2268+=10，∵PQ ⊥BD ，∴∠BPQ =90°=∠C ，∵∠PBQ =∠DBC ，∴△PBQ ∽△CBD ，∴PB PQ BQ BC DC BD ==，∴48610t PQ BQ==，∴PQ =3t ，BQ =5t ，∵DQ 平分∠BDC ，QP ⊥DB ，QC ⊥DC ，∴QP =QC ，∴3t =8﹣5t ，∴t =1，故答案为：1．（2）解：如图2中，作MT ⊥BC 于T ．∵MC =MQ ，MT ⊥CQ ，∴TC =TQ ，由（1）可知TQ =12（8﹣5t ），QM =3t ，∵MQ ∥BD ，∴∠MQT =∠DBC ，∵∠MTQ =∠BCD =90°，∴△QTM ∽△BCD ，∴QM TQBD BC=，∴1(85)32108t t -=，∴t =4049（s ），∴t =4049s 时，△CMQ 是以CQ 为底的等腰三角形．（3）①证明：如图2中，由此QM 交CD 于E ，∵EQ ∥BD ，∴EC CQ CD CB =，∴EC =34（8﹣5t ），ED =DC ﹣EC =6﹣34（8﹣5t ）=154t ，∵DO =3t ，∴DE ﹣DO =154t ﹣3t =34t ＞0，∴点O 在直线QM 左侧．②解：如图3中，由①可知⊙O 只有在左侧与直线QM 相切于点H ，QM 与CD 交于点E ． ∵EC =34（8﹣5t ），DO =3t ，∴OE =6﹣3t ﹣34（8﹣5t ）=34t ，∵OH ⊥MQ ，∴∠OHE =90°，∵∠HEO =∠CEQ ，∴∠HOE =∠CQE =∠CBD ，∵∠OHE =∠C =90°，∴△OHE ∽△BCD ，∴OH OE BC BD =，∴30.84810t=，∴t =43，∴t =43s 时，⊙O 与直线QM 相切． 连接PM ，假设PM 与⊙O 相切，则∠OMH =12PMQ =22.5°，在MH 上取一点F ，使得MF =FO ，则∠FMO =∠FOM =22.5°，∴∠OFH =∠FOH =45°，∴OH =FH =0.8，FO =FM =0.82，∴MH =0.8(21)+，由OH HE BC DC =得到HE =35，由EC CQ BD CB =得到EQ =53，∴MH =MQ ﹣HE ﹣EQ =4﹣35﹣53=2625，∴0.8(21)+≠2625，矛盾，∴假设不成立，∴直线PM 与⊙O 不相切．考点：圆的综合题；动点型；探究型；压轴题． 4．（2016河南省）如图1，直线43y x n =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点C （0，4），抛物线223y x bx c =++经过点A ，交y 轴于点B （0，﹣2）．点P 为抛物线上一个动点，过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD ⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m ． （1）求抛物线的解析式；（2）当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；（3）如图2，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD ′P ′，且旋转角∠PBP ′=∠OAC ，当点P 的对应点P ′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标．【答案】（1）224233y x x =--；（2）PD =12或PD =72；（3）P （﹣5，4543+）或P （5，4543-+）或P （258，1132）． 【分析】（1）先确定出点A 的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；（2）由△BDP 为等腰直角三角形，判断出BD =PD ，建立m 的方程计算出m ，从而求出PD ； （3）分点P ′落在x 轴和y 轴两种情况计算即可．（3）∵∠PBP '=∠OAC ，OA =3，OC =4，∴AC =5，∴sin ∠PBP '=45，cos ∠PBP '=35，分两种情况讨论：①当点P '落在x 轴上时，过点D '作D 'N ⊥x 轴，垂足为N ，交BD 于点M ，∠DBD '=∠ND 'P '=∠PBP '，如图1，ND '﹣MD '=2，∴23244()()25335m m m ---=，∴m =5（舍），或m =﹣5； 如图2， ND '+MD '=2，∴23244()25335m m m -+=，∴m =5，或m =﹣5（舍），∴P（﹣5，4543+）或P （5，4543-+）；②当点P '落在y 轴上时，如图3，过点D ′作D ′M ⊥x 轴，交BD 于M ，过P ′作P ′N ⊥y 轴，∴∠DBD ′=∠ND ′P ′=∠PBP ′，∵P ′N =BM ，∴24243()5335m m m -=，∴m =258，∴P （258，1132）； 综上所述：P （﹣5，4543+）或P （5，4543-+）或P （258，1132）．考点：二次函数综合题；分类讨论；动点型；压轴题．5．（2016甘肃省天水市）如图，二次函数2y ax bx c =++的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，且B （1，0），C （0，3），将△BOC 绕点O 按逆时针方向旋转90°，C 点恰好与A 重合．（1）求该二次函数的解析式；（2）若点P 为线段AB 上的任一动点，过点P 作PE ∥AC ，交BC 于点E ，连结CP ，求△PCE 面积S 的最大值；（3）设抛物线的顶点为M ，Q 为它的图象上的任一动点，若△OMQ 为以OM 为底的等腰三角形，求Q 点的坐标．【答案】（1）223y x x =--+；（2）S △PCE 的最大值为32；（3）Q （91378-+，813732+），或（91378--，5913732-）． 【分析】（1）先求出点A 坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式； （2）先求出S △PCE =S △PBC ﹣S △PBE ，即可求出最大面积；（3）先求出抛物线顶点坐标，由等腰三角形的两腰相等建立方程求出点Q 坐标．（3）∵二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标（﹣1，4），∵△OMQ 为等腰三角形，OM 为底，∴MQ =OQ ，∴222(1)(234)x x x ++--+-=222(23)x x x +--+，∴281870x x +-=，∴x =91378-±，∴y =813732+或y =5913732-，∴Q （91378-+，813732+），或（91378--，5913732-）． 考点：二次函数综合题；动点型；旋转的性质；最值问题；二次函数的最值；综合题． 6．（2015四川）如图，在△ABC 中，已知AB =AC =5，BC =6，且△ABC ≌△DEF ，将△DEF 与△ABC 重合在一起，△ABC 不动，△DEF 运动，并满足：点E 在边BC 上沿B 到C 的方向运动，且DE 、始终经过点A ，EF 与AC 交于M 点． （1）求证：△ABE ∽△ECM ；（2）探究：在△DEF 运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由；（3）当线段AM 最短时，求重叠部分的面积．此时，EF ⊥AC ，∴22221612EM=AE AM 455⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭．∴AEM 11161296S =AM EM 225525∆⋅⋅=⋅⋅=． ∴当线段AM 最短时，重叠部分的面积为9625．7．（2014年重庆市A 12分）已知：如图①，在矩形ABCD 中，AB =5，AD =320，AE ⊥BD ，垂足是E ．点F 是点E 关于AB 的对称点，连接AF 、BF ． （1）求AE 和BE 的长；（2）若将△ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m （平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度）．当点F 分别平移到线段AB 、AD 上时，直接写出相应的m 的值． （3）如图②，将△ABF 绕点B 顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF 为△A ′BF ′，在旋转过程中，设A ′F ′所在的直线与直线AD 交于点P ．与直线BD 交于点Q ．是否存在这样的P 、Q 两点，使△DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵AB =5，AD =203，∴由勾股定理得22222025BD AB AD 533⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭.∵SBD 11S AB AD BD AE 22∆=⋅=⋅，∴1201255AE 2323⨯⨯=⨯，解得AE =4． ∴2222BE AB AE 543=-=-=.（2）当点F 在线段AB 上时，m 3=；当点F 在线段AD 上时，16m 3=. （3）存在，理由如下：①当DP =DQ 时，若点Q 在线段BD 的延长线上时，如答图1，有∠Q =∠1，则∠2=∠1+∠Q =2∠Q ．∵∠3=∠4+∠Q ，∠3=∠2，∴∠4+∠Q =2∠Q ． ∴∠4=∠Q ．∴A ′Q =A ′B =5． ∴F ′Q =4+5=9．在Rt △BF ′Q 中，2222593DQ 3⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，解得25DQ 3103=-或25DQ 3103=--（舍去）． 若点Q 在线段BD 上时，如答图2，有∠1=∠2=∠4， ∵∠1=∠3，∴∠3=∠4． ∵∠3=∠5+∠A ′，∠A ′=∠CBD ，∴∠3=∠5+∠CBD =∠A ′BQ ． ∴∠4=∠∠A ′BQ ． ∴A ′Q = A ′B =5．∴F ′Q =5-4=1． ∴22BQ 3110=+=. ∴25DQ 103=-. ②当QP =QD 时，如答图3，有∠P =∠1， ∵∠A ′=∠1，∠2=∠3， ∴∠4=∠P ． ∴∠4=∠A ′． ∴QB =Q A ′． 设QB =Q A ′=x ，在Rt △BF ′Q 中，()22234x x +-=， 解得2525125x 3824=-=. ③当PD =PQ 时，如答图4， 有∠1=∠2=∠3，∵∠1=∠A ′，∴∠3=∠A ′．∴BQ =A ′B =5． ∴2510DQ 533=-=. 综上所述，当△DPQ 为等腰三角形时，DQ 的长为252512510310,10,,33243-- .【考点】1．轴对称、平移和旋转问题；2．矩形的性质；3．勾股定理；4．等腰三角形存在性问题；5．勾股定理；6．分类思想的应用．【分析】（1）由勾股定理求得BD 的长，根据三角形面积公式求出AE 的长，再应用勾股定理即可求得BE 的长．（2）根据平移的性质求解即可．（3）分DP =DQ （考虑点Q 在线段BD 的延长线和点Q 在线段BD 上两种情况），QP =QD ，PD =PQ 三种情况求解即可． 8．（2014年重庆市B 12分）如图1，在□ABCD 中，AH ⊥DC ，垂足为H ，AB ＝7，AD ＝7，AH 21.现有两个动点E 、F 同时从点A 出发，分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿射线AC 方向匀速运动． 在点E 、F 运动过程中，以EF 为边作等边△EFG ，使△EFG 与△ABC 在射线AC 的同侧，当点E 运动到点C 时，E 、F 两点同时停止运动． 设运转时间为t 秒． （1）求线段AC 的长；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG 与△ABC 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式，并写出相应的自变量t 的取值范围；（3）当等边△EFG 的顶点E 到达点C 时，如图2，将△EFG 绕着点C 旋转一个角度(0360)αα︒<<︒．在旋转过程中，点E 与点C 重合，F 的对应点为F ′，G 的对应点为G ′． 设直线F ′G ′与射线DC 、射线AC 分别相交于M 、N 两点．试问：是否存在点M 、N ，使得△CMN 是以∠MCN 为底角的等腰三角形？若存在，请求出线段CM 的长度；若不存在，请说明理由．（3）存在．如图2，当等边△EFG 的顶点E 到达点C 时，AE =AC =7，AF =21，EF =14． △EFG 绕点C 旋转过程中，以∠MCN 为底角的等腰三角形△CMN 有两种情况：①当∠CMN 为等腰△CMN 的另一底角时，如答图1，过点C 作CI ⊥MN 于点I ，过N 作NJ ⊥CM 于点J ．在等边△CG ′I 中，易得77IG ',CI 322== .设IN a,CN MN b === ， 易得△ACH ∽△NCJ ，∴AC CH NC CJ =，即727b CJ=， ∴27CJ b 7=.∴47CM b 7=.在△CNI 中，由勾股定理得222CI IN CN +=，即22273a b 2⎛⎫+= ⎪⎝⎭，在△CMI 中，由勾股定理得222CI IM CM +=，即()2227473a b b 27⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 二者联立，解得49b 4=，∴47CM b 777==.二者联立，解得49b 4=，∴49CM b 4==.综上所述，线段CM 的长度为77或494. 【考点】1．双动点和面动旋转问题；2．勾股定理；3．线段垂直平分线的性质；4．等边、腰三角形的性质；5．由实际问题列函数关系式；6．旋转的性质；7．相似三角形的判定和性质；8．等腰三角形存在性问题；9．分类思想的应用．【分析】（1）由勾股定理求出DH 的长，证明点H 为DC 的中点，从而根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，得AC ＝AD ＝7．（2）分770t ,<t 4,4<t 733≤≤≤≤ 三种情况讨论即可．（3）分∠CMN 为等腰△CMN 的另一底角和∠CNM 为等腰△CMN 的另一底角两种情况讨论即可．。

备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题01因动点产生的等腰三角形问题【类型综述】数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈，动态几何问题是近年来中考的热点问题，以运动的观点来探究几何图形的变化规律问题，动态问题的解答，一般要将动态问题转化为静态问题，抓住运动过程中的不变量，利用不变的关系和几何性质建立关于方程（组）、函数关系问题，将几何问题转化为代数问题。

在动态问题中，动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型，可以与旋转、平移、对称等几何变化相结合，也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合，从而产生数与形的完美结合.解决动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类.【方法揭秘】我们先回顾两个画图问题：1．已知线段AB＝5厘米，以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB＝6厘米，以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C．已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么12AC=AB cos∠A；③如图3，如果CA＝CB，那么12AB=AC cos∠A．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．【例1】抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A-1,0），B（5,0）两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，（A BP，求出直线C E的表达式为y=x+2-⎪⋅⋅⋅②，联立①②并解得：3m，求出F 2-,0⎪，利用V PCF的面积为5，求出m即可；3图1图2图3【典例分析】29点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C,D重合）．过点C作直线PB的垂线交PB于点E，交x轴于点F．(1)求抛物线的解析式；(2)当V PCF的面积为5时，求点P的坐标；(3)△当PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．思路点拨(1)把（-1,0），（5,0）代入函数,利用交点式求解即可.(2)先求出点C，设点（2，m），然后得函数PB的表达式为：y=-1mx+5m⋯①，，根据CE⊥PE，33得故直线C E表达式中的k值为3⎛6⎫m⎝m⎭x=2-2m⎛2m⎫3⎝⎭( ) y = - （x + 1）(x-5) = - x 2 - 4 x - 5 = - x 2 + x + .2 2 2 ， 2( A B 故抛物线解析式为 y =- x 2 + x + C 2 P ， x + 2 - ⎪ ⋅⋅⋅ ② 故点 F 2 - ,0 ⎪ ＝ ⨯ PC ⨯ DF ＝ （2 - m ) 2 - - 2 ⎪ = 5， 2m 3 (3) P ⎛ 2, 3 ⎫⎪ 或 (2, -2 )． P(3)由点 F 的坐标得： C P 2＝（2 - m ），CF 2＝（ 2m ） + 4, PF 2＝（ 2m ） + m 2 分别算出 C P ＝CF ，33CP ＝PF ， CF ＝PF 时的 m 即可.满分解答(1) 将抛物线化为交点式： y = - 2 x 2 + bx + c = - （x + h ）x + k ) 9 9将 （-1,0），（5,0）代入可得2 2 2 8 10 9 9 9 9 92 8 109 9 9.(2)抛物线的对称轴为 x = 1 ，则点 （2，），设点 （2，m ）， 将点 P , B 的坐标代入一次函数表达式： y = sx + t 并解得：1 函数 PB 的表达式为： y = - mx +35m 3⋯①，Q CE ⊥ PE 故直线 CE 表达式中的 k 值为将点 C 的坐标代入一次函数表达式，3 m，同理可得直线 C E 的表达式为： y =2m 联立①②并解得： x = 2 -32m ⎫⎛3⎭⎝3 m ⎛ 6 ⎫ ⎝ m ⎭S VPCF 1 1 ⎛ ⎫2 2 ⎝ ⎭解得： m = 5 或 -3 （舍去 5 ），故点 （2, -3）;⎝ 2 ⎭考点伸展CP2＝（2-m）2，CF2＝（2m）2+4,PF2＝（）2+m2，CP＝CF时，即：(2-m)=⎛⎪+4，解得CP＝PF时，(2-m)2=⎛⎪+mP 2,⎪或(2,-2)．第（3）问的解题过程是这样的：由(2)确定的点F的坐标得：2m33①当2m⎫2⎝3⎭m=0：或365（均舍去），②当2m⎫2⎝3⎭2，解得：m=32或3（舍去3），③当CF＝PF时，同理可得：m=±2（舍去2），故点⎛3⎫⎝2⎭【例2】如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点△M，使MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△P AC的周长最小．2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．满分解答所以点P的坐标为(1,2)．图2（3）点M的坐标为(1,1)、(1,6)、(1,-6)或(1,0)．考点伸展第（3）题的解题过程是这样的：设点M的坐标为(1,m)．在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．此时点M的坐标为(1,1)．②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得m=±6．此时点M的坐标为(1,6)或(1,-6)．③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．当M(1,6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．图3图4图5【例3】如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起．满分解答由y=-3x(x-4)=-(x-2)2+)．，得抛物线的顶点为D(2,（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2,y)．①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得y=±23．当P在(2,23)时，B、O、P三点共线（如图2）．②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以42+(y+23)2=16．解得y=y=-23．12③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以42+(y+23)2=22+y2．解得y=-23．综合①、②、③，点P的坐标为(2,-23)，如图2所示．图2图3考点伸展如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三角形．323236633因此tan∠DOA=233．所以∠DOA＝30°，∠ODA＝120°．【例4】在平面直角坐标系xOy中，已知A(0,2)，动点P在y=接AP，过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ．33x的图像上运动（不与O重合），连（1）求线段AP长度的取值范围；（2）试问：点P运动过程中，∠QAP是否问定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．（3）当∆OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标．思路点拨（1）作AH⊥OP，由点P在y=3x的图像上知：∠HOQ=30︒，求出AH，即可得解；3（2）①当点P在第三象限时，②当点P在第一象的线段O H上时，③当点P在第一象限的线段O H的延长线上时，分别证明Q、P、O、A四点共圆，即可求得∠QAP=30°；（3）分OP=OQ，PO=PQ，QO=QP三种情况，分别求解即可．满分解答（1）作AH⊥OP，则AP≥AH∵点P在y=3x的图像上3∴∠HOQ=30︒，∠HOA=60︒∵A(0,2)，∴AH=A Ogsin60︒=3∴AP≥3（2）①当点P在第三象限时，由∠QP A=∠QOA=90︒，可得Q、P、O、A四点共圆，∴∠P AQ=∠POQ=30︒②当点P在第一象的线段O H上时，（3）设P(m,33m-6 m)，则lAP：y=+22-∴l P Q：y=3m421621644242162164②当PO=PQ时，则4242由∠QP A=∠QOA=90︒，可得Q、P、O、A四点共圆，∴∠P AQ+∠POQ=180︒，又此时∠POQ=150︒∴∠P AQ=180︒-∠POQ=30︒③当点P在第一象限的线段O H的延长线上时，由∠QP A=∠QOA=90︒，可得∠APQ+∠AOQ=180︒，∴Q、P、O、A四点共圆，∴∠P AQ=∠POQ=30︒33m∵PQ⊥AP，∴k PQ=3m m23-m∴Q(4m-23,0)33(x-m)+m3∴OP2=m，OQ2=m-3m+399344PQ2=m-3m+993①当OP=OQ时，则m=m-3m+3993整理得：m2-43m+3=0解得：m=23±3∴Q(23+4,0)，Q(23-4,0)1244m=m-3m+3993整理得：2m2+3m-3=0解得：m=3或m=-3 2当m=3时，Q点与O重合，舍去，2∴m=-3，∴Q(-23,0)则16216442∴Q(23,0)33③当QO=QP时，44m-3m+=m-3m+993993整理得：m2-3m=0解得：m=34【例5】如图1，在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．（1）求线段CE的长；（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN=∠DAM，设AM=x，DN=y．①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；②是否存在这样的点M，使V DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．思路点拨(1)由翻折可知：AD=AF=10.DE=EF，设EC=x，则DE=EF=8-x.在RtVECF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．(2)①证明V ADM∽V GMN，可得ADMG=AMGN，由此即可解决问题．②有两种情形：如图3-1中，当M N=MD时.如图3-2中，当M N=DN时，作M H⊥DG于H.分别求解即可解决问题．满分解答（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=10，AB=CD=8，∴∠B=∠BCD=90︒，由翻折可知：AD=AF=10．DE=EF，设EC=x，则DE=EF=8-x．∴AD∴10在RtVABF中，BF=AF2-AB2=6，∴CF=BC-BF=10-6=4，在RtVEFC中，则有：(8-x)2=x2+42，∴x=3，∴EC=3．（2）①如图2中，∵AD∥CG，∴∴AD DE=，CG CE105=，CG3∴CG=6，∴BG=BC+CG=16，在RtVABG中，AG=82+162=85，在RtVDCG中，DG=62+82=10，∵AD=DG=10，∴∠DAG=∠AGD，∵∠DMG=∠DMN+∠NMG=∠DAM+∠ADM，∠DMN=∠DAM，∴∠ADM=∠NMG，∴V ADM∽V GMN，AM=，MG GNx=，85-x10-y∴y=1∴DM45x2-x+10．105当x=45时，y有最小值，最小值=2．②存在．有两种情形：如图3-1中，当MN=MD时，∵∠MDN=∠GMD，∠DMN=∠DGM，∴VDMN∽VDGM，MN=，DG GM∵MN=DM，∴DG=GM=10，∴x=AM=85-10．如图3-2中，当MN=DN时，作MH⊥DG于H．∵MN=DN，∴∠MDN=∠DMN，∵∠DMN=∠DGM，∴∠MDG=∠MGD，∴MD=MG，∵BH⊥DG，由VGHM∽VGBA，可得GH∴5（∴DH=GH=5，MG=，GB AGMG=，1685∴MG=552，∴x=AM=85-55115=22．综上所述，满足条件的x的值为85-10或1152．【例6】如图1，已知△Rt ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒．（1）在运动过程中，求P、Q两点间距离的最大值；（2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；（3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间△t，使得PQC为等腰三角形．若存在，求出此时的t值，若不存在，请说明理由．5≈2.24，结果保留一位小数）图1思路点拨1．过点B作QP的平行线交AC于D，那么BD的长就是PQ的最大值．2．线段PQ扫过的面积S要分两种情况讨论，点Q分别在AB、BC上．3．等腰三角形PQC分三种情况讨论，先罗列三边长．满分解答)2 ．所以 S ＝△S AQP ＝15 ⨯ ( )2 ＝ t 2 ． 因为 △S CQP ＝ CQ ⋅ CP ＝ (16 - 2t )(8 - t ) ＝ (t - 8)2，= = ．所以 Q P =QP AP QP t如图4，作QH ⊥AC 于H ．在Rt △AQH 中，QH ＝AQ sin ∠A ＝ t ，AH ＝ t ．6在△Rt CQH 中，由勾股定理，得CQ ＝ QH 2 + CH 2 ＝ ( t )2 + (8 - t )2 ．6图 2图 3 图 4（2）①如图 2，当点 Q 在 AB 上时，0＜t ≤5，S △ABD ＝15．由△AQP ∽△ABD ，得 △SAQP △SABD= ( AP ADt 3 5 5②如图 3，当点 Q 在 BC 上时，5＜t ≤8，△S ABC ＝24． 1 1 22所以 S ＝△S ABC －△S CQP ＝24－(t －8)2＝－t 2＋16t －40．（3）如图3，当点Q 在BC 上时，CQ ＝2CP ，∠C ＝△90°，所以 PQC 不可能成为等腰三角形．当点Q 在AB 上时，我们先用△t 表示 PQC 的三边长：易知CP ＝8－t ．如图2，由QP //BD ，得 ，即 BD AD 3 5 5 3 5 5 t ．855855①如图8，当点Q在AB上时，PQ＝QH2+PH2＝(t)2+(t-t)2＝6图5图6图7考点伸展第（1）题求P、Q两点间距离的最大值，可以用代数计算说理的方法：855355t．当Q与B重合时，PQ最大，此时t＝5，PQ的最大值为35．②如图9，当点Q在BC上时，PQ＝CQ2+CP2＝(2CP)2+CP2＝5(8-t)．当Q与B重合时，PQ最大，此时t＝5，PQ的最大值为35．综上所述，PQ的最大值为35．定值；④当△ODP 为等腰三角形时，点 D 的坐标为 ,0 ⎪⎪ ．其中正确结论的个数是（ + 2 2 BE =图 8图 9【变式训练】1．矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知 B(2 3, 2) ，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，P是对角线 OB 上一动点（不与原点重合），连接 PC ，过点 P 作 PD ⊥ PC ，交 x 轴于点 D ．下列结论：①OA = BC = 2 3 ；②当点 D 运动到 OA 的中点处时， PC 2 + PD 2 = 7 ；③在运动过程中，∠CDP 是一个⎛ 2 3 ⎫⎝ 3⎭）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【答案】D【详解】解：①∵四边形 OABC 是矩形， B(2 3, 2) ，∴ O A = BC = 2 3 ；故①正确；②∵点 D 为 OA 的中点，1∴ O D = OA = 3 ，2∴ PC 2 + PD 2＝CD 2＝OC 2 + OD 2＝22 （ 3）＝7 ，故②正确；③如图，过点 P 作 PF ⊥ OA A 于 F ，FP 的延长线交 BC 于 E ，∴ PE ⊥ BC ，四边形 OFEC 是矩形，∴ E F ＝OC ＝2 ，设 PE ＝a ，则 PF ＝EF ﹣PE ＝﹣a ，在 Rt ∆BEP 中， tan ∠CBO =PE∴ BE = 3PE = 3a ，OC 3BC =3 ，Q tan∠AOB=AB∴O D=3∴C E=BC-BE=23-3a=3(2-a)，Q PD⊥PC，∴∠CPE∠FPD=90︒，Q∠CPE+∠PCE=90︒，∴∠FPD=∠ECP,，Q∠CEP=∠PFD=90︒，∴∆CEP∽∆PFD，∴∴PE CP=，FD PDa3(2-a)=FD2-a，∴FD=a 3，∴tan∠PDC=PCPDa==3a，3∴∠PDC=60︒，故③正确；④Q B(23,2)，四边形OABC是矩形，∴O A=23,AB=2，3=OA3，∴∠A OB=30︒，当∆ODP为等腰三角形时，Ⅰ、OD＝PD，∴∠DOP＝∠DPO＝30o，∴∠ODP＝60o，∴∠ODC＝60o，23OC=33⎝3,0⎭Ⅱ、OP=OD∴∠ODP＝∠OPD＝75o，Q∠COD＝∠CPD＝90o，∴∠O CP＝105o＞90o，故不合题意舍去；Ⅲ、OP＝PD，∴∠POD＝∠PDO＝30o，∴∠OCP＝150o＞90o故不合题意舍去，⎛23⎫∴当∆ODP为等腰三角形时，点D的坐标为 ⎪⎪．故④正确，故选：D．2．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB＝4，EF＝2，设AE＝x．当VPEF是等腰三角形时，下列关于P点个数的说法中，一定正确的是（）①当x＝0（即E、A两点重合）时，P点有6个②当0＜x＜42-2时，P点最多有9个③当P点有8个时，x＝22﹣2④当VPEF是等边三角形时，P点有4个A．①③【答案】B【详解】B．①④C．②④D．②③①当x＝0(即E、A两点重合)时，如图1，分别以A、F为圆心，2为半径画圆，各2个点P，以AF为直径作圆，有2个P点，共6个，所以，①正确；②当0＜x＜42﹣2时，如图2、图3所示，此时P点最多有8个，故②错误；③当点P有8个时，如图2、图3所示，此时0＜x＜42﹣2，故③错误；④如图△4，当PEF是等边三角形时，有两个P点关于BD对称的位置，共有4个，故④正确；综上，不正确的是②③，一定正确的是①④，故选B.3．如图，在矩形ABCD中，AD=3A B=310，点P是AD的中点，点E在BC上，CE=2BE，点M、N在线段BD上．若∆PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN=_____．【答案】6或158【详解】分两种情况：①MN为等腰△PMN的底边时，作PF⊥MN于F，如图所示：则∠PFM=∠PFN=90︒，Q四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，BC=AD=3A B=310，∠A=∠C=90︒，∴AB=CD=10，BD=Q点P是AD的中点，AB2+AD2=10，PF PD∴=，即PF2，∴NFRtVPNF中，⎛ ⎫⎪+(3-x)2=x2，∴PD=1AD=31022，Q∠PDF=∠BDA，∴∆PDF:∆BDA，310AB BD=1010解得：PF=32，Q CE=2BE，∴BC=AD=3BE，∴BE=CD，∴CE=2CD，Q∆PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，PF⊥MN，∴MF=NF，∠PNF=∠DEC，Q∠PFN=∠C=90︒，∴∆PNF:∆DEC，CE==2，PF CD∴NF=2PF=3，∴MN=2NF=6；②MN为等腰△PMN的腰时，作PF⊥BD于F，如图所示，由①得：PF=3，MF=3，2设MN=PN=x，则FN=3-x，在32⎝2⎭解得：x=1515，即MN=，88，)或(-4，326∴PE综上所述，MN的长为6或158.4．如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO,CO分别在x轴，y轴上，A点的坐标为(-8,6)，点P 在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，满足∆PBE∽∆CBO，当∆APC是等腰三角形时，P点坐标为_____．【答案】(-553)【详解】解：∵点P在矩形ABOC的内部，且∆APC是等腰三角形，∴P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上；①当P点在AC的垂直平分线上时，点P同时在BC上，AC的垂直平分线与BO的交点即是E，如图1所示：∵PE⊥BO，CO⊥BO，∴PE//CO，∴∆PBE∽∆CBO，∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为(-8,6)，∴点P横坐标为﹣4，OC=6，BO=8，BE=4，∵∆PBE∽∆CBO，BE PE4=，即=，CO BO68解得：PE=3，∴点P(-4,3)；②P点在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，圆弧与BC的交点为P，过点P作PE⊥BO于E，如图2所示：∴点 P(- ， ) ；综上所述：点 P 的坐标为： (- ， ) 或 (-4， ；32 6 故答案为： (- ， ) 或 (-4， ．32 6 ）∵ CO ⊥ BO ，∴ PE / /CO ，∴ ∆PBE ∽ ∆CBO ，∵四边形 ABOC 是矩形， A 点的坐标为 (-8,6) ，∴ AC = BO = 8 ， CP = 8 ， AB = OC = 6 ，∴ BC = BO 2 + 0C 2 = 82 + 62 = 10 ，∴ BP = 2 ，∵ ∆PBE ∽ ∆CBO ，∴ PE BE BP PE BE 2= =，即： = = ， CO BO BC 6 8 106 8 解得： PE = ， BE = ，5 58 32∴ OE = 8 - = ，5 5 32 65 53) 5 5 3)5 55．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A （0，3），点 B （5，0 ，有一动点 P 在直线 AB 上，△APO 是等腰三角形，则满足条件的点 P 共有（ ）A ﹒2 个B ﹒3 个C ﹒4 个D ﹒5 个【答案】C【详解】如图，（1）AP 1=AO ；（2）AP 2=AO ；（3）OA=OP 3；（4）AP 4=OP 4.。

因动点产生的等腰三角形问题例1 如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1 备用图思路点拨1．第（2）题BP＝2分两种情况．2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ．满分解答（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．在Rt△CDE中，CD＝5，所以315tan544ED CD C=⋅∠=⨯=，254EC=．（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．因此△PDM∽△QDN．所以43PM DMQN DN==．所以34QN PM=，43PM QN=．图2 图3 图4①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．此时3344QN PM==．所以319444CQ CN QN=+=+=．②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．此时31544QN PM==．所以1531444CQ CN QN=+=+=．（3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，3 tan4QD DNQPDPD DM∠===．在Rt△ABC中，3tan4BACCA∠==．所以∠QPD＝∠C．由∠PDQ ＝90°，∠CDE ＝90°，可得∠PDF ＝∠CDQ ． 因此△PDF ∽△CDQ ．当△PDF 是等腰三角形时，△CDQ 也是等腰三角形．①如图5，当CQ ＝CD ＝5时，QN ＝CQ －CN ＝5－4＝1（如图3所示）． 此时4433PM QN ==．所以45333BP BM PM =-=-=． ②如图6，当QC ＝QD 时，由cos CHC CQ=，可得5425258CQ =÷=．所以QN ＝CN －CQ ＝257488-=（如图2所示）． 此时4736PM QN ==．所以725366BP BM PM =+=+=． ③不存在DP ＝DF 的情况．这是因为∠DFP ≥∠DQP ＞∠DPQ （如图5，图6所示）．图5 图6考点伸展如图6，当△CDQ 是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP 也是等腰三角形，PB ＝PD ．在△BDP 中可以直接求解256BP =．例2 如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1,0)、B (3, 0)、C (0 ,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△P AC 的周长最小时，求点P 的坐标；（3）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P 在线段BC 上时△P AC 的周长最小． 2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (－1,0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3)， 代入点C (0 ,3)，得－3a ＝3．解得a ＝－1．所以抛物线的函数关系式是y ＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3． （2）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1．当点P 落在线段BC 上时，P A ＋PC 最小，△P AC 的周长最小． 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为H ． 由BH PH BO CO =，BO ＝CO ，得PH ＝BH ＝2． 图2 所以点P 的坐标为(1, 2)．（3）点M 的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,6-)或(1,0)．考点伸展第（3）题的解题过程是这样的： 设点M 的坐标为(1,m )．在△MAC 中，AC 2＝10，MC 2＝1＋(m －3)2，MA 2＝4＋m 2．①如图3，当MA ＝MC 时，MA 2＝MC 2．解方程4＋m 2＝1＋(m －3)2，得m ＝1． 此时点M 的坐标为(1, 1)．②如图4，当AM ＝AC 时，AM 2＝AC 2．解方程4＋m 2＝10，得6m =±． 此时点M 的坐标为(1,6)或(1,6-)．③如图5，当CM ＝CA 时，CM 2＝CA 2．解方程1＋(m －3)2＝10，得m ＝0或6． 当M (1, 6)时，M 、A 、C 三点共线，所以此时符合条件的点M 的坐标为(1,0)．图3 图4 图5例3 如图1，点A 在x 轴上，OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置．（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P 重合在一起．满分解答（1）如图2，过点B 作BC ⊥y 轴，垂足为C ．在Rt △OBC 中，∠BOC ＝30°，OB ＝4，所以BC ＝2，23OC =． 所以点B 的坐标为(2,23)--．（2）因为抛物线与x 轴交于O 、A (4, 0)，设抛物线的解析式为y ＝ax (x －4)， 代入点B (2,23)--，232(6)a -=-⨯-．解得36a =-． 所以抛物线的解析式为23323(4)663y x x x x =--=-+．（3）抛物线的对称轴是直线x ＝2，设点P 的坐标为(2, y )．①当OP ＝OB ＝4时，OP 2＝16．所以4+y 2＝16．解得23y =±． 当P 在(2,23)时，B 、O 、P 三点共线（如图2）．②当BP ＝BO ＝4时，BP 2＝16．所以224(23)16y ++=．解得1223y y ==-． ③当PB ＝PO 时，PB 2＝PO 2．所以22224(23)2y y ++=+．解得23y =-． 综合①、②、③，点P 的坐标为(2,23)-，如图2所示．图2 图3考点伸展如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D ，那么△DOA 与△OAB 是两个相似的等腰三角形．由23323(4)(2)663y x x x =--=--+，得抛物线的顶点为23(2,)3D ．因此23tan 3DOA ∠=．所以∠DOA ＝30°，∠ODA ＝120°．例4 如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x =的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．2．求△APR 的面积等于8，按照点P 的位置分两种情况讨论．事实上，P 在CA 上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．3．讨论等腰三角形APQ ，按照点P 的位置分两种情况讨论，点P 的每一种位置又要讨论三种情况．满分解答（1）解方程组7,4,3y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩得3,4.x y =⎧⎨=⎩ 所以点A 的坐标是(3，4)． 令70y x =-+=，得7x =．所以点B 的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4．由8A P R A C P P O RC O R AS S S S=--=△△△梯形，得1113+7)44(4)(7)8222t t t t -⨯-⨯⨯--⨯-=（．整理，得28120t t -+=．解得t ＝2或t ＝6（舍去）．如图3，当P 在CA 上运动时，△APR 的最大面积为6．因此，当t ＝2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8．图2 图3 图4②我们先讨论P 在OC 上运动时的情形，0≤t ＜4．如图1，在△AOB 中，∠B ＝45°，∠AOB ＞45°，OB ＝7，42AB =，所以OB ＞AB ．因此∠OAB ＞∠AOB ＞∠B ．如图4，点P 由O 向C 运动的过程中，OP ＝BR ＝RQ ，所以PQ //x 轴．因此∠AQP ＝45°保持不变，∠P AQ 越来越大，所以只存在∠APQ ＝∠AQP 的情况． 此时点A 在PQ 的垂直平分线上，OR ＝2CA ＝6．所以BR ＝1，t ＝1． 我们再来讨论P 在CA 上运动时的情形，4≤t ＜7．在△APQ 中， 3cos 5A ∠=为定值，7AP t =-，5520333AQ OA OQ OA OR t =-=-=-．如图5，当AP＝AQ时，解方程520733t t-=-，得418t=．如图6，当QP＝QA时，点Q在P A的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程72[(7)(4)]t t t-=---，得5t=．如7，当P A＝PQ时，那么12cosAQAAP∠=．因此2cosAQ AP A=⋅∠．解方程52032(7)335t t-=-⨯，得22643t=．综上所述，t＝1或418或5或22643时，△APQ是等腰三角形．图5 图6 图7考点伸展当P在CA上，QP＝QA时，也可以用2cosAP AQ A=⋅∠来求解．例5 如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y ．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？（3）若12y m=，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？图1思路点拨1．证明△DCE ∽△EBF ，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y 关于x 的函数关系式． 2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值．3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF 为等腰三角形，那么得到x ＝y ；一段是计算，化简消去m ，得到关于x 的一元二次方程，解出x 的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m 的值．满分解答(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC ＝∠FEB ．又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ．因此DC EB CE BF =，即8m xx y-=．整理，得y 关于x 的函数关系为218y x x m m =-+． (2)如图2，当m ＝8时，2211(4)288y x x x =-+=--+．因此当x ＝4时，y 取得最大值为2． (3) 若12y m =，那么21218x x m m m=-+．整理，得28120x x -+=．解得x ＝2或x ＝6．要使△DEF 为等腰三角形，只存在ED ＝EF 的情况．因为△DCE ∽△EBF ，所以CE ＝BF ，即x ＝y ．将x ＝y ＝2代入12y m=，得m ＝6（如图3）；将x ＝y ＝6代入12y m=，得m ＝2（如图4）．图2 图3 图4考点伸展本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如： 由第（1）题得到218y x x m m =-+221116(8)(4)x x x m m m=--=--+， 那么不论m 为何值，当x ＝4时，y 都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB 边为多长，当E 是BC 的中点时，BF 都取得最大值．第（2）题m ＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．再如，不论m 为小于8的任何值，△DEF 都可以成为等腰三角形，这是因为方程218x x x m m=-+总有一个根8x m =-的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性．例 6 如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，E 是AB 的中点，过点E 作EF //BC 交CD 于点F ，AB ＝4，BC ＝6，∠B ＝60°．（1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过点P 作PM ⊥EF 交BC 于M ，过M 作MN //AB 交折线ADC 于N ，连结PN ，设EP ＝x ．①当点N 在线段AD 上时（如图2），△PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN 的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使△PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x 的值；若不存在，请说明理由．图1 图2 图3思路点拨1．先解读这个题目的背景图，等腰梯形ABCD 的中位线EF ＝4，这是x 的变化范围．平行线间的距离处处相等，AD 与EF 、EF 与BC 间的距离相等．2．当点N 在线段AD 上时，△PMN 中PM 和MN 的长保持不变是显然的，求证PN 的长是关键．图形中包含了许多的对边平行且相等，理顺线条的关系很重要．3．分三种情况讨论等腰三角形PMN ，三种情况各具特殊性，灵活运用几何性质解题．满分解答（1）如图4，过点E 作EG ⊥BC 于G ．在Rt △BEG 中，221==AB BE ，∠B ＝60°， 所以160cos =︒⋅=BE BG ，360sin =︒⋅=BE EG ．所以点E 到BC 的距离为3．（2）因为AD //EF //BC ，E 是AB 的中点，所以F 是D C 的中点．因此EF 是梯形ABCD 的中位线，EF ＝4．①如图4，当点N 在线段AD 上时，△PMN 的形状不是否发生改变．过点N 作NH ⊥EF 于H ，设PH 与NM 交于点Q ．在矩形EGMP 中，EP ＝GM ＝x ，PM ＝EG ＝3．在平行四边形BMQE 中，BM ＝EQ ＝1＋x ．所以BG ＝PQ ＝1．因为PM 与NH 平行且相等，所以PH 与NM 互相平分，PH ＝2PQ ＝2．在Rt △PNH 中，NH ＝3，PH ＝2，所以PN ＝7．在平行四边形ABMN 中，MN ＝AB ＝4．因此△PMN 的周长为3＋7＋4．图4 图5②当点N 在线段DC 上时，△CMN 恒为等边三角形．如图5，当PM ＝PN 时，△PMC 与△PNC 关于直线PC 对称，点P 在∠DCB 的平分线上．在Rt △PCM 中，PM ＝3，∠PCM ＝30°，所以MC ＝3．此时M 、P 分别为BC 、EF 的中点，x ＝2．如图6，当MP ＝MN 时，MP ＝MN ＝MC ＝3，x ＝GM ＝GC －MC ＝5－3．如图7，当NP ＝NM 时，∠NMP ＝∠NPM ＝30°，所以∠PNM ＝120°．又因为∠FNM ＝120°，所以P 与F 重合．此时x ＝4．综上所述，当x ＝2或4或5－3时，△PMN 为等腰三角形．图6 图7 图8 考点伸展第（2）②题求等腰三角形PMN 可以这样解：如图8，以B 为原点，直线BC 为x 轴建立坐标系，设点M 的坐标为（m ，0），那么点P 的坐标为（m ，3），MN ＝MC ＝6－m ，点N 的坐标为（26+m ，2)6(3m -）． 由两点间的距离公式，得21922+-=m m PN ．当PM ＝PN 时，92192=+-m m ，解得3=m 或6=m ．此时2=x ．当MP ＝MN 时，36=-m ，解得36-=m ，此时35-=x ．当NP ＝NM 时，22)6(219m m m -=+-，解得5=m ，此时4=x ．。

因动点产生的等腰三角形问题例年重庆市中考第题如图，在△中，＝°，∠＝°，点是∠的平分线上一点，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，点是的中点，⊥，垂足为，连接，．（）如图，若点是的中点，＝，求、的长；（）如图，求证：＝．（）如图，连接、，猜想：△是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．图图例年长沙市中考第题如图，抛物线＝＋＋（、、是常数，≠）的对称轴为轴，且经过()和两点，点在该抛物线上运动，以点为圆心的⊙总经过定点(, )．（）求、、的值；（）求证：在点运动的过程中，⊙始终与轴相交；（）设⊙与轴相交于(, )、(, )两点，当△为等腰三角形时，求圆心的纵坐标．图例年上海市虹口区中考模拟第题如图，在△中，∠＝°，＝，＝，点为边的中点，⊥交边于点，点为射线上的一动点，点为边上的一动点，且∠＝°．（）求、的长；（）若＝，求的长；（）记线段与线段的交点为，若△为等腰三角形，求的长．图备用图例年扬州市中考第题如图，抛物线＝＋＋经过(－)、(, )、( )三点，直线是抛物线的对称轴．（）求抛物线的函数关系式；（）设点是直线上的一个动点，当△的周长最小时，求点的坐标；（）在直线上是否存在点，使△为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．图例年临沂市中考第题如图，点在轴上，＝，将线段绕点顺时针旋转°至的位置．（）求点的坐标；（）求经过、、的抛物线的解析式；（）在此抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．图例年盐城市中考第题如图，已知一次函数＝－＋与正比例函数的图象交于点，且与轴交于点．（）求点和点的坐标；（）过点作⊥轴于点，过点作直线轴．动点从点出发，以每秒个单位长的速度，沿——的路线向点运动；同时直线从点出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线交轴于点，交线段或线段于点．当点到达点时，点和直线都停止运动．在运动过程中，设动点运动的时间为秒．①当为何值时，以、、为顶点的三角形的面积为？②是否存在以、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．图因动点产生的等腰三角形问题答案例年重庆市中考第题如图，在△中，＝°，∠＝°，点是∠的平分线上一点，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，点是的中点，⊥，垂足为，连接，．（）如图，若点是的中点，＝，求、的长；（）如图，求证：＝．（）如图，连接、，猜想：△是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．图图动感体验请打开几何画板文件名“重庆”，拖动点运动，可以体验到，△与△保持全等，△与△保持全等，△保持等边三角形的形状．思路点拨．把图形中所有°的角都标注出来，便于寻找等角和等边．．中点有哪些用处呢？联想到斜边上的中线和中位线就有思路构造辅助线了．满分解答（）如图，在△中，∠＝°，＝，所以＝．在△中，∠＝°，＝，所以＝，＝．在△中，＝，＝，由勾股定理，得＝．（）如图，由∠＝°，∠＝°，平分∠，得∠＝°，∠＝°．在△中，＝．在△中，＝．所以＝．因为点是△的斜边上的中线，所以＝，∠＝∠．所以∠＝∠．所以△≌△．所以＝．图图图（）如图，作⊥于，联结．由，是的中点，得是的中点．因此＝，△是等边三角形．又因为＝，所以＝．又因为＝，∠＝∠＝°，所以△≌△．所以∠＝∠，＝．所以∠＝∠＝°．所以△是等边三角形．考点伸展我们再看几个特殊位置时的效果图，看看有没有熟悉的感觉．如图，如图，当点落在边上时，点与点重合．图图如图，图，点落在边上．如图，图，等腰梯形．图图图图例年长沙市中考第题如图，抛物线＝＋＋（、、是常数，≠）的对称轴为轴，且经过()和两点，点在该抛物线上运动，以点为圆心的⊙总经过定点(, )．（）求、、的值；（）求证：在点运动的过程中，⊙始终与轴相交；（）设⊙与轴相交于(, )、(, )两点，当△为等腰三角形时，求圆心的纵坐标．图动感体验请打开几何画板文件名“长沙”，拖动圆心在抛物线上运动，可以体验到，圆与轴总是相交的，等腰三角形存在三种情况．思路点拨．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙在轴上截得的弦长＝是定值．．等腰三角形存在三种情况，其中＝和＝两种情况时，点的纵坐标是相等的．满分解答（）已知抛物线的顶点为()，所以＝．所以＝，＝．将代入＝，得．解得（舍去了负值）．（）抛物线的解析式为，设点的坐标为．已知(, )，所以＞．而圆心到轴的距离为，所以半径＞圆心到轴的距离．所以在点运动的过程中，⊙始终与轴相交．（）如图，设的中点为，那么垂直平分．在△中，，，所以＝．所以＝．因此＝，为定值．等腰△存在三种情况：①如图，当＝时，点为原点重合，此时点的纵坐标为．图图②如图，当＝时，在△中，＝，＝，所以＝．此时＝＝．所以点的纵坐标为．③如图，当＝时，点的纵坐标为也为．图图考点伸展如果点在抛物线上运动，以点为圆心的⊙总经过定点(, )，那么在点运动的过程中，⊙始终与直线＝－相切．这是因为：设点的坐标为．已知(, )，所以．而圆心到直线＝－的距离也为，所以半径＝圆心到直线＝－的距离．所以在点运动的过程中，⊙始终与直线＝－相切．例年上海市虹口区中考模拟第题如图，在△中，∠＝°，＝，＝，点为边的中点，⊥交边于点，点为射线上的一动点，点为边上的一动点，且∠＝°．（）求、的长；（）若＝，求的长；（）记线段与线段的交点为，若△为等腰三角形，求的长．图备用图动感体验请打开几何画板文件名“虹口”，拖动点在射线上运动，可以体验到，△与△保持相似．观察△，可以看到，、可以落在对边的垂直平分线上，不存在＝的情况．请打开超级画板文件名“虹口”，拖动点在射线上运动，可以体验到，△与△保持相似．观察△，可以看到，、可以落在对边的垂直平分线上，不存在＝的情况．思路点拨．第（）题＝分两种情况．．解第（）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．．第（）题探求等腰三角形时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形．满分解答（）在△中，＝，＝，所以＝．在△中，＝，所以，．（）如图，过点作⊥，⊥，垂足分别为、，那么、是△的两条中位线，＝，＝．由∠＝°，∠＝°，可得∠＝∠．因此△∽△．所以．所以，．图图图①如图，当＝，在上时，＝．此时．所以．②如图，当＝，在的延长线上时，＝．此时．所以．（）如图，如图，在△中，．在△中，．所以∠＝∠．由∠＝°，∠＝°，可得∠＝∠．因此△∽△．当△是等腰三角形时，△也是等腰三角形．①如图，当＝＝时，＝－＝－＝（如图所示）．此时．所以．②如图，当＝时，由，可得．所以＝－＝（如图所示）．此时．所以．③不存在＝的情况．这是因为∠≥∠＞∠（如图，图所示）．图图考点伸展如图，当△是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△也是等腰三角形，＝．在△中可以直接求解．例年扬州市中考第题如图，抛物线＝＋＋经过(－)、(, )、( )三点，直线是抛物线的对称轴．（）求抛物线的函数关系式；（）设点是直线上的一个动点，当△的周长最小时，求点的坐标；（）在直线上是否存在点，使△为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．图动感体验请打开几何画板文件名“扬州”，拖动点在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点落在线段上时，＋最小，△的周长最小．拖动点在抛物线的对称轴上运动，观察△的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点有次机会落在的垂直平分线上；点有次机会落在的垂直平分线上；点有次机会落在的垂直平分线上，但是有次、、三点共线．思路点拨．第（）题是典型的“牛喝水”问题，点在线段上时△的周长最小．．第（）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．满分解答（）因为抛物线与轴交于(－)、(, )两点，设＝(＋)(－)，代入点( )，得－＝．解得＝－．所以抛物线的函数关系式是＝－(＋)(－)＝－＋＋．（）如图，抛物线的对称轴是直线＝．当点落在线段上时，＋最小，△的周长最小．设抛物线的对称轴与轴的交点为．由，＝，得＝＝．所以点的坐标为(, )．图（）点的坐标为(, )、(,)、(,)或()．考点伸展第（）题的解题过程是这样的：设点的坐标为()．在△中，＝，＝＋(－)，＝＋．①如图，当＝时，＝．解方程＋＝＋(－)，得＝．此时点的坐标为(, )．②如图，当＝时，＝．解方程＋＝，得．此时点的坐标为(,)或(,)．③如图，当＝时，＝．解方程＋(－)＝，得＝或．当(, )时，、、三点共线，所以此时符合条件的点的坐标为()．图图图例年临沂市中考第题如图，点在轴上，＝，将线段绕点顺时针旋转°至的位置．（）求点的坐标；（）求经过、、的抛物线的解析式；（）在此抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．图动感体验请打开几何画板文件名“临沂”，拖动点在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，⊙和⊙以及的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点运动到⊙与对称轴的另一个交点时，、、三点共线．请打开超级画板文件名“临沂”，拖动点，发现存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形思路点拨．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点重合在一起．满分解答（）如图，过点作⊥轴，垂足为．在△中，∠＝°，＝，所以＝，．所以点的坐标为．（）因为抛物线与轴交于、(, )，设抛物线的解析式为＝(－)，代入点，．解得．所以抛物线的解析式为．（）抛物线的对称轴是直线＝，设点的坐标为(, )．①当＝＝时，＝．所以＝．解得．当在时，、、三点共线（如图）．②当＝＝时，＝．所以．解得．③当＝时，＝．所以．解得．综合①、②、③，点的坐标为，如图所示．图图考点伸展如图，在本题中，设抛物线的顶点为，那么△与△是两个相似的等腰三角形．由，得抛物线的顶点为．因此．所以∠＝°，∠＝°．例年盐城市中考第题如图，已知一次函数＝－＋与正比例函数的图象交于点，且与轴交于点．（）求点和点的坐标；（）过点作⊥轴于点，过点作直线轴．动点从点出发，以每秒个单位长的速度，沿——的路线向点运动；同时直线从点出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线交轴于点，交线段或线段于点．当点到达点时，点和直线都停止运动．在运动过程中，设动点运动的时间为秒．①当为何值时，以、、为顶点的三角形的面积为？②是否存在以、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．图动感体验请打开几何画板文件名“盐城”，拖动点由向运动，从图象中可以看到，△的面积有一个时刻等于．观察△，可以体验到，在上时，只存在＝的情况；在上时，有三个时刻，△是等腰三角形．思路点拨．把图复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．．求△的面积等于，按照点的位置分两种情况讨论．事实上，在上运动时，高是定值，最大面积为，因此不存在面积为的可能．．讨论等腰三角形，按照点的位置分两种情况讨论，点的每一种位置又要讨论三种情况．满分解答（）解方程组得所以点的坐标是(，)．令，得．所以点的坐标是(，)．（）①如图，当在上运动时，≤＜．由，得．整理，得．解得＝或＝（舍去）．如图，当在上运动时，△的最大面积为．因此，当＝时，以、、为顶点的三角形的面积为．图图图②我们先讨论在上运动时的情形，≤＜．如图，在△中，∠＝°，∠＞°，＝，，所以＞．因此∠＞∠＞∠．如图，点由向运动的过程中，＝＝，所以轴．因此∠＝°保持不变，∠越来越大，所以只存在∠＝∠的情况．此时点在的垂直平分线上，＝＝．所以＝，＝．我们再来讨论在上运动时的情形，≤＜．在△中，为定值，，．如图，当＝时，解方程，得．如图，当＝时，点在的垂直平分线上，＝(－)．解方程，得．如，当＝时，那么．因此．解方程，得．综上所述，＝或或或时，△是等腰三角形．图图图考点伸展当在上，＝时，也可以用来求解．。

动点之等腰三角形编者语：动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题（不考）；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等在中考压轴题中，线动形成的等腰三角形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类。

※解决方法：解直角三角形，相似辅助的做法：✍作等腰三角形的高✍向其余边作垂线构成全等。

1.勾股定理。

（辅助线✍）2.锐角三角函数。

（辅助线✍）3.两个角的相似比较常见。

（辅助线✍）典型例题：1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，点D为AC边上一点，且AD=3cm，动点E从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AB向终点B运动，运动时间为x s．作∠DEF=45°，与边BC相交于点F．设BF长为ycm．（1）当x= ▲s时，DE⊥AB；（2）求在点E运动过程中，y与x之间的函数关系式及点F运动路线的长；（3）当△BEF为等腰三角形时，求x的值．2.如图，抛物线2323y x x 63-=与x 轴交于点A ，将线段OA 绕点O 逆时针旋转1200至OB 的位置. （1）证明：点B 在抛物线上;（2）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．典型例题答案：1.解：（1）232 （2分） （2 ）（3）2.解：（2）等腰三角形练习题2.如图1,已知正方形OABC的边长为2,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点.P（0,m）是线段OC上一动点（C点除外）,直线PM交AB的延长线于点D.⑴求点D的坐标（用含m的代数式表示）⑵当△APD是等腰三角形时,求m的值。