抛物线例题

一、 第一讲: 抛物线标准方程 二、 考点、热点回顾一、定义: 在平面内,及一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.即：的轨迹是抛物线。

则点若M MNMF,1 三、 (定点F 叫做抛物线的焦点, 定直线l 叫做抛物线的准线。

)标准方程:设定点F 到定直线l 的距离为p(p 为已知数且大于0).取过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴, x 轴及l 交于K, 以线段KF 的垂直平分线为y 轴, 建立直角坐标系抛物线上的点M(x, y)到l的距离为d, 抛物线是集合p={M||MF|=d}.化简后得: y2=2px(p＞0).由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况, 抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：二、典型例题(2)例1.(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x, 求它的焦点坐标和准线方程；已知抛物线的焦点坐标是F(0, -2), 求它的标准方程．方程是x2=-8y.例2.根据下列所给条件, 写出抛物线的标准方程:(1)焦点是F(3, 0)；(3)焦点到准线的距离是2.答案是：(1)y2=12x；(2)y2=-x；(3)y2=4x, y2=-4x, x2=4y, x2=-4y．三、课堂练习1.抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是________答案：2解析: 解析: 抛物线y2＝4x的焦点F(1,0), 准线x＝－1.∴焦点到准线的距离为2.2.分别求适合下列条件的抛物线的标准方程:(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上.答案：解析: 解: (1)设抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0), 则将点(－3,2)代入方程得2p＝或2p＝, 故抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.(2)①令x＝0, 由方程x－2y－4＝0, 得y＝－2.∴抛物线的焦点为F(0, －2).设抛物线方程为x2＝－2py(p>0), 则由＝2, 得2p＝8. ∴所求抛物线方程为x2＝－8y.②令y＝0，由方程x－2y－4＝0，得x＝4.∴抛物线的焦点为F(4,0).设抛物线方程为y2＝2px(p>0), 则由＝4, 得2p＝16.∴所求抛物线方程为y2＝16x.综上, 所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.3.已知抛物线的顶点在原点, 对称轴是x轴, 抛物线上的点M(-3, m)到焦点的距离等于5, 求抛物线的方程和m的值解法一: 由焦半径关系, 设抛物线方程为y2=-2px(p＞0), 则准线方因为抛物线上的点M(-3, m)到焦点的距离|MF|及到准线的距离得p=4.因此, 所求抛物线方程为y2=-8x.又点M(-3, m)在此抛物线上, 故m2=-8(-3)．解法二: 由题设列两个方程, 可求得p和m. 由学生演板. 由题意在抛物线上且|MF|=5, 故四、课后作业1.分别求适合下列条件的抛物线的标准方程:(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上.答案：解析: (1)设抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0), 则将点(－3,2)代入方程得2p＝或2p＝, 故抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.(2)①令x＝0, 由方程x－2y－4＝0, 得y＝－2.∴抛物线的焦点为F(0, －2).设抛物线方程为x2＝－2py(p>0), 则由＝2, 得2p＝8. ∴所求抛物线方程为x2＝－8y.②令y＝0，由方程x－2y－4＝0，得x＝4.∴抛物线的焦点为F(4,0).设抛物线方程为y2＝2px(p>0), 则由＝4, 得2p＝16.∴所求抛物线方程为y2＝16x.综上, 所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.2.若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M, 其横坐标为－9, 它到焦点的距离为10, 求抛物线方程和M点的坐标.解析: 解: 由抛物线的定义, 设焦点F(－, 0). 则准线为x＝.设M到准线的距离为|MN|,则|MN|＝|MF|＝10, 即－(－9)＝10, ∴p＝2. 故抛物线方程为y2＝－4x.将M(－9，y)，代入抛物线方程得y＝±6. 故M(－9,6)或M(－9，－6)．3.已知抛物线C的焦点F在x轴的正半轴上, 点A(2, )在抛物线内. 若抛物线上一动点P到A.F两点距离之和的最小值为4, 求抛物线C的方程.解析: 解: 设抛物线方程为y2＝2px(p＞0), 其准线为x＝－, 过P点作抛物线准线的垂线, 垂足为H(图略), 由定义知, |PH|＝|PF|.∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PH|, 故当H、P、A三点共线时, |PA|＋|PF|最小. ∴|PA|＋|PF|的最小值为＋2＝4, p＝4, 即抛物线C的方程为y2＝8x.4.动圆M经过点A(3,0)且及直线l: x＝－3相切, 求动圆圆心M的轨迹方程.解：设圆M及直线l相切于点N. ∵|MA|＝|MN|, ∴圆心M到定点A(3,0)和定直线x＝－3的距离相等．根据抛物线的定义, M在以A为焦点, l为准线的抛物线上．∵＝3，∴p＝6. ∴圆心M的轨迹方程为y2＝12x.第二讲: 抛物线简单几何性质一、考点、热点回顾定义: 在平面内,及一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.补充：1.通径: 通过焦点且垂直对称轴的直线, 及抛物线相交于两点, 连接这两点的线段叫做抛物线的通径。

抛物线大题一．解答题（共7小题）1．已知P（4，y0）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上位于第一象限的一点，且P到C的焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设O为坐标原点，F为C的焦点，A，B为C上异于P的两点，且直线P A与PB 斜率乘积为﹣4．（i）证明：直线AB过定点；（ii）求|F A|•|FB|的最小值．2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），其准线方程为x＝﹣2．（1）求抛物线C的方程；（2）不过原点O的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同的两点P，Q，且OP⊥OQ，求m 的值．3．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点P（1，2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点M（2，0）且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求AB的长．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．（1）求抛物线的方程；（2）若直线l：x＝my+t交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出该定点：若不过，请说明理由．5．已知抛物线C：y2＝2px（p为常数，p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，过点F的直线与抛物线交于A，B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若直线AB的斜率为1，求|AB|．6．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB．（1）求抛物线C的方程；（2）若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求|DE|的值．7．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，m）（m＞0）是抛物线C上一点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（2，0）斜率存在的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M 使得∠AMQ＝∠BMQ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．抛物线大题参考答案与试题解析一．解答题（共7小题）1．已知P（4，y0）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上位于第一象限的一点，且P到C的焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设O为坐标原点，F为C的焦点，A，B为C上异于P的两点，且直线P A与PB 斜率乘积为﹣4．（i）证明：直线AB过定点；（ii）求|F A|•|FB|的最小值．【分析】（1）由题意，结合所给信息列出等式，求出p的值，进而可得抛物线C的方程；（2）（i）结合（1）中所得信息得到点P的坐标，设出A，B两点的坐标，利用斜率公式得到4（y1+y2）+y1y2+20＝0，对直线AB的斜率是否存在进行讨论，进而即可求解；（ii）设出A，B两点的坐标，分别讨论直线AB的斜率是否存在，当直线AB的斜率存在时，设出直线AB的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理即可得到|F A|•|FB|的最小值，当直线AB的斜率不存在时，结合抛物线的定义即可得到|F A|•|FB|的最小值，两者比较即可求解．2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），其准线方程为x＝﹣2．（1）求抛物线C的方程；（2）不过原点O的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同的两点P，Q，且OP⊥OQ，求m 的值．【分析】（1）由抛物线的准线方程求出p，可得抛物线C的方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线l和抛物线C的方程，消元写出韦达定理，将OP⊥OQ用坐标表示，代入韦达定理化简计算，可得m的值．3．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点P（1，2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点M（2，0）且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求AB的长．【分析】（1）由题意，先设出抛物线C的方程，将点P的坐标代入抛物线方程中，求出p的值，进而可得抛物线C的标准方程；（2）设出直线AB的方程和A，B两点的坐标，将直线AB的方程与抛物线方程联立，求出A，B两点的坐标，进而即可求解．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．（1）求抛物线的方程；（2）若直线l：x＝my+t交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出该定点：若不过，请说明理由．【分析】（1）由题意，结合题目所给信息建立有关p的等式，进而即可求解；（2）设出A，B两点的坐标，将直线l的方程与抛物线方程联立，利用向量的坐标运算以及韦达定理再进行求解即可．5．已知抛物线C：y2＝2px（p为常数，p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，过点F的直线与抛物线交于A，B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若直线AB的斜率为1，求|AB|．【分析】（1）由题意，先求出的右焦点，根据抛物线C的焦点F与椭圆的右焦点重合，可得，进而求出抛物线方程；（2）结合（1）中所得信息得到直线AB的方程，将直线AB的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式再进行求解即可．6．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB．（1）求抛物线C的方程；（2）若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求|DE|的值．【分析】（1）由题意，得到点A的坐标，代入抛物线方程中进行求解即可；（2）先得到直线l的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及抛物线的定义再进行求解即可．7．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，m）（m＞0）是抛物线C上一点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（2，0）斜率存在的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M 使得∠AMQ＝∠BMQ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用|PF|＝5，根据抛物线的定义，求出p的值，即可得解；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（s，0），直线l的方程为x＝ty+2（t≠0），将其与抛物线的方程联立，利用韦达定理，根据k AM＝﹣k MB，求出s的值，即可得解．。

第七节 抛 物 线 2019考纲考题考情1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。

2．抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2 离心率e ＝100抛物线焦点弦的6个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2。

(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)。

(3)以弦AB为直径的圆与准线相切。

(4)过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p(通径)。

(5)S△AOB＝p22sinθ(θ为AB的倾斜角)．(6)1|AF|＋1|BF|为定值2p.考点一抛物线的定义及应用【例1】(1)已知抛物线x2＝4y上一点A纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为()A．10B．4C．5D．15(2)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l 于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF＝60°，则|FR|等于()A．12B．1C．2 D．4解析(1)抛物线x2＝4y的准线方程为y＝－1，点A到准线的距离为5，根据抛物线定义可知点A到焦点的距离为5。

故选C。

(2)因为M，N分别是PQ，PF的中点，所以MN∥FQ，且PQ∥x轴。

又∠NRF＝60°，所以∠FQP＝60°。

由抛物线定义知|PQ|＝|PF|，所以△FQP为正三角形。

练习：1、已知抛物线2y ax bx c =++（a ＜0）过A （2-，0）、O （0，0）、B （3-，1y ）、C （3，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是（ A ）A ．1y ＞2yB ．1y 2y =C ．1y ＜2yD ．不能确定 2、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论错误．．的是（ B ） A. ab ＜0 B. ac ＜0C. 当x ＜2时，函数值随x 增大而增大；当x ＞2时，函数值随xD. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根.3、如图是二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断 ①c ＞0；②a +b +c ＜0；③2a -b ＜0；④b 2+8a ＞4ac 中，正确的是（填写序号） ② 、④ ．4、二次函数221=++-y ax x a 的图象可能是（ B ）5、在反比例函数ay x=中，当0x >时，y 随x 的增大而减小，则二次函数2y ax ax =-的图象大致是下图中的（ A ）6、在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可能为（ A ）7、已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：（ D ）①240b ac ->； ②0abc >； ③80a c +>；④930a b c ++<． 其中，正确结论的个数是A. 1B. 2C. 3D. 48、已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象开口向上，并经过点AB A ．B ．C ．(-1，2)，(1，0) . 下列结论正确的是( D)A. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而增大B. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而减小C. 存在一个负数x 0，使得当x <x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x > x 0时，函数值y 随x 的增大而增大D. 存在一个正数x 0，使得当x <x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x >x 0时，函数值y 随x 的增大而增大 9、已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<； ⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（B ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个10、如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是（ B ）． A.②④B. ①④C. ②③D. ①③11、已知二次函数y =x 2-x+a (a ＞0)，当自变量x 取m 时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（ B ）(A) m -1的函数值小于0 (B) m -1的函数值大于0(C) m -1的函数值等于0 (D) m -1的函数值与0的大小关系不确定12、定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为[2m ，1 – m , –1– m ] 的函数的一些结论：① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是（31，38）； ② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23； ③ 当m < 0时，函数在x >41时，y 随x 的增大而减小； ④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有（ B ）A. ①②③④B. ①②④C. ①③④D. ②④(Ⅳ) 二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)图象的平移二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)平移：a 不变，函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)移），，对于旋转、对称变换也是一样。

抛物线题型一抛物线的定义及其应用【典型例题】1. 设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A 为垂足，如果直线AF的斜率为-3，那么|PF|＝( )A．43B．8C．83D．162. 已知点P是抛物线y2＝4x 上的动点，点P在y 轴上的射影是M，点A 的坐标是(4，a)，则当|a|>4时，|PA|＋|PM|的最小值是________．3. 已知点P(2，y)在抛物线y2＝4x 上，则P 点到抛物线焦点F的距离为( )A．2 B．3 C. 3 D. 2【提分秘籍】1．定点F不能在定直线l上，因为若定点F在定直线l上，则动点的轨迹为过点F且垂直于l 的直线而非抛物线．2．抛物线的定义实质上给出了一个重要的内容：可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．3. 利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线；(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意利用两者之间的转化在解题中的应用．提醒：注意一定要验证定点是否在定直线上．题型二抛物线的标准方程与几何性质【典型例题】1. 已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|＝12，P 为C的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A．18 B．24 C．36 D．482. 已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是( )A．y2＝±22x B．y2＝±2xC．y2＝±4x D．y2＝±42x3. 如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F 的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC| ＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2 ＝9xB ．y 2 ＝6xC ．y 2 ＝3xD ．y 2 ＝3 x4. 过抛物线y 2 ＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B. 2 C. 223 D ．2 2【提分秘籍】1.抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线y 2＝2px(p>0)焦点F 的弦，若A(x 1,y 1 )，B(x 2 ，y 2 )，则(1)x 1x 242p ＝ ，y 1y 2 ＝－p 2 . (2)弦长|AB|＝x 1 ＋x 2 ＋p ＝α2sin 2p (α为弦AB 的倾斜角)． (3) pFB FA 2||1||1=+(4)以弦AB 为直径的圆与准线相切．2.求抛物线的标准方程的方法及注意事项(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以，只需一个条件确定p 值即可；(2)注意事项：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．题型三 直线与抛物线的位置关系【典型例题】1. 如图，在直角坐标系xOy 中，点P (1,21) 到抛物线C ：y 2 ＝2px(p>0)的准线的距离为45,点M(t,1)是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 被直线OM 平分．(1)求p ，t 的值；(2)求△ABP 面积的最大值．2. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2 ＝4x 相交于不同的A 、B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求 OA · OB 的值；(2)如果OA · OB ＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．【提分秘籍】设直线方程Ax ＋By ＋C ＝0与抛物线方程y ＝2px(p>0)联立，消去x 得到关于y 的方程my 2 ＋ny ＋l ＝0.(1)位置关系与其判别式Δ的关系：方程特征 交点个数 位置关系直线与抛物线 m=0 1 直线与抛物线的对称轴平行或重合，两者相交m ≠0, ∆>02 相交 m ≠0, ∆=0 1 相切 m ≠0, ∆<0 0 相离(2)相交问题的求解通法：涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系，采用“设而不求”“整体代入”等解法．注意：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．【跟踪练习】1．曲线y ＝x e 5 ＋2在点(0，3)处的切线方程为________．2．已知点A(－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的交点为F ，则直线BF 的斜率为（ ）A. 21B. 32C. 43D. 343．已知抛物线C ：y 2 ＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线 PF 与C 的一个交点．若FP ＝4FQ ，则|QF|＝( )A.27 B ．3C. 25 D ．24．已知两条抛物线E 1 ：y 2＝2p 1 x(p 1＞0)和E 2：y 2＝2p 2 x(p 2＞0)，过原点O 的两条直线l 1 和l 2 ，l 1 与E 1 ，E 2分别交于A 1 ，A 2 两点，l 2 与E 1 ，E 2 分别交于B 1 ，B 2 两点．(1)证明：A 1B 2 ∥A 1 B 2 ；(2)过O 作直线l(异于l 1 ，l 2)与E 1，E 2 分别交于C 1 ，C 2 两点，记△A 1 B 1 C 1 与△A 2 B 2 C 2 的面积分别为S 1 与S 2 ，求21S S 的值．5．在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F(1，0)的距离比它到y 轴的距离多 1. 记点M 的轨迹为C.(1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P(－2，1)，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．6．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b(a ＜b)，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2 ＝2px(p ＞0)经过C ，F 两点，则ab ＝________．7．已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF|＝ 45|PQ|. (1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ， B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．8．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A. 433 B. 839 C. 3263 D. 499．已知抛物线C ：y 2 ＝2px(p ＞0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|FA|＝|FD|.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．(1)求C 的方程．(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E.①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标．②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．10．如图所示，曲线C 由上半椭圆C 1：12222=+bx a y (a>b>0，y≥0)和部分抛物线C 2：y ＝－x 2＋1(y≤0)连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离心率为23 . (1)求a ，b 的值；(2)过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q(均异于点A ，B)，若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程．11．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线1322=-y x 的渐近线的距离是( ) A. 21 B. 23 C ．1 D. 3 312．若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________；准线方程为 ________．13．抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点为F ，其准线与双曲线13322=-y x 相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.14. 设抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是 ( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2 ＝4x15．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2 ＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条16．若抛物线y 2 ＝2px(p>0)上一点P 到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p 的值为( )A ．2B ．18C ．2或18D ．4或1617．已知点P 为抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A （27，4），则|PA|＋|PM|的最小值是( ) A.27 B ．4 C.29 D ．5 18．若点P 到定点F(4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0 的距离小1，则点P 的轨迹方程是( )A ．y 2 ＝－16xB ．y 2 ＝－32xC ．y 2 ＝16xD ．y 2 ＝16x 或y ＝0(x<0)19．已知直线l ：4x －3y ＋6＝0和直线l ：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 和直线l 的距离之和的最小值是( )A.553 B ．2 C. 511 D ．320．已知A 、B 为抛物线C ：y 2＝4x 上的不同两点，F 为抛物线C 的焦点，若FA ＝－4FB ，则直线AB 的斜率为( )A ．± 32 B ．± 23 C ．± 43 D ．± 3421．已知过点P(4,0)的直线与抛物线y 2＝4x 相交于A(x 1，y 1 )、B(x 2 ，y 2 )两点，则y 12＋y 22 的最小值是________．22.如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水位下降1m后，水面宽____________m.23. 直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y 相切于点A.(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．24. 抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1 ，y 1)，B(x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y1 ＋y2的值及直线AB的斜率．25. 设P(x1，y1 )，Q(x2，y2 )是抛物线y2＝2px(p>0)上相异两点，Q，P 到y 轴的距离的积为4且OP·OQ＝0，PQ 交x轴于E.(1)求该抛物线的标准方程；(2)过Q的直线与抛物线的另一交点为R，与x轴的交点为T，且Q为线段RT 的中点，试求弦PR长度的最小值．。

《抛物线》典型例题12例典型例题一例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程． （1）y x 42= （2）)0(2≠=a ay x分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p ，再写出焦点坐标和准线方程．（2）先把方程化为标准方程形式，再对a 进行讨论，确定是哪一种后，求p 及焦点坐标与准线方程．解：（1）2=p ，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：1-=y （2）原抛物线方程为：x ay 12=，a p 12=∴①当0>a 时，ap 412=，抛物线开口向右， ∴焦点坐标是)0,41(a ，准线方程是：a x 41-=． ②当0<a 时，a p 412-=，抛物线开口向左， ∴焦点坐标是)0,41(a ，准线方程是：ax 41-=． 综合上述，当0≠a 时，抛物线2ay x =的焦点坐标为)0,41(a ，准线方程是：ax 41-=． 典型例题二例2 若直线2-=kx y 与抛物线x y 82=交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，求此直线方程．分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k 的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k ．解法一：设),(11y x A 、),(22y x B ，则由：⎩⎨⎧=-=xy kx y 822可得：04)84(22=++-x k x k ．∵直线与抛物线相交，0≠∴k 且0>∆，则1->k ． ∵AB 中点横坐标为：2842221=+=+∴kk x x ， 解得：2=k 或1-=k （舍去）． 故所求直线方程为：22-=x y ．解法二：设),(11y x A 、),(22y x B ，则有22212188x y x y ==．两式作差解：)(8))((212121x x y y y y -=+-，即2121218y y x x y y +=--． 421=+x x 444)(22212121-=-+=-+-=+∴k x x k kx kx y y ，448-=∴k k 故2=k 或1-=k （舍去）． 则所求直线方程为：22-=x y ．典型例题三例3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切． 分析：可设抛物线方程为)0(22>=p px y ．如图所示，只须证明12MM AB =，则以AB 为直径的圆，必与抛物线准线相切． 证明：作l AA ⊥1于l BB A ⊥11,于1B ．M 为AB 中点，作l MM ⊥1于1M ，则由抛物线的定义可知：BF BB AF AA ==11,在直角梯形A A BB 11中：AB BF AF BB AA MM 21)(21)(21111=+=+=AB MM 211=∴，故以AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切． 说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．典型例题四例4（1）设抛物线x y 42=被直线k x y +=2截得的弦长为53，求k 值． （2）以（1）中的弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P 点坐标．分析：（1）题可利用弦长公式求k ，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求P 点坐标．解：（1）由⎩⎨⎧+==kx y x y 242得：0)44(422=+-+k x k x设直线与抛物线交于),(11y x A 与),(22y x B 两点．则有：4,122121k x x k x x =⋅-=+[][])21(5)1(54)(5))(21(22212212212k k k x x x x x x AB -=--=-+=-+=∴53)21(5,53=-∴=∴k AB ，即4-=k （2）9=∆S ，底边长为53，∴三角形高5565392=⨯=h ∵点P 在x 轴上，∴设P 点坐标是)0,(0x 则点P 到直线42-=x y 的距离就等于h ，即55612402220=+--x 10-=∴x 或50=x ，即所求P 点坐标是（－1，0）或（5，0）．典型例题五例5 已知定直线l 及定点A （A 不在l 上），n 为过A 且垂直于l 的直线，设N 为l 上任一点，AN 的垂直平分线交n 于B ，点B 关于AN 的对称点为P ，求证P 的轨迹为抛物线．分析：要证P 的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明P 点的轨迹符合抛物线的定义，二是证明P 的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由A 为定点，l 为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明PN PA =且l PN ⊥即可． 证明：如图所示，连结PA 、PN 、NB ．由已知条件可知：PB 垂直平分NA ，且B 关于AN 的对称点为P ．∴AN 也垂直平分PB ．则四边形PABN 为菱形．即有PN PA =．..l PN l AB ⊥∴⊥则P 点符合抛物线上点的条件：到定点A 的距离与到定直线的距离相等，所以P 点的轨迹为抛物线．典型例题六例6 若线段21P P 为抛物线)0(2:2>=p px y C 的一条焦点弦，F 为C 的焦点，求证：p F P FP 21121=+． 分析：此题证的是距离问题，如果把它们用两点间的距离表示出来，其计算量是很大的．我们可以用抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的定义与平面几何知识，把结论证明出来．证法一：)0,2(pF ，若过F 的直线即线段21P P 所在直线斜率不存在时， 则有p F P F P ==21,p p p F P FP 2111121=+=+∴． 若线段21P P 所在直线斜率存在时，设为k ，则此直线为：)0)(2(≠-=k px k y ，且设),(),,(222111y x P y x P ．由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)2()2(p x k y px k y 得：04)2(22222=++-p k x k p x k 2221)2(k k p x x +=+∴ ①4221p x x =⋅ ②根据抛物线定义有：p x x P P px F P p x F P ++=∴+=+=21211211,2,2则F P F P F P F P F P F P 21212111⋅+=+4)(2)2)(2(22121212121p x x p x x p x x p x p x p x x +++++=++++= 请将①②代入并化简得：p F P FP 21121=+ 证法二：如图所示，设1P 、2P 、F 点在C 的准线l 上的射影分别是'1P 、'2P 、F '，且不妨设1122P P m n P P '=<='，又设2P 点在F F '、11P P'上的射影分别是A 、B 点，由抛物线定义知，p F F m F P n F P ='==,,12又AF P 2∆∽12BP P ∆，1221P P F P BP AF =∴即nm nn m n p +=-- pn m mnn m p 2112)(=+∴=+∴ 故原命题成立．典型例题七例7 设抛物线方程为)0(22>=p px y ，过焦点F 的弦AB 的倾斜角为α，求证：焦点弦长为α2sin 2pAB =． 分析：此题做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题．证法一：抛物线)0(22>=p px y 的焦点为)0,2(p，过焦点的弦AB 所在的直线方程为：)2(tan px y -=α由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x y 2)2(tan 2α消去y 得：0tan )(tan 4tan 422222=+-αααp p x设),(),,(2211y x B y x A ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅+=+=+4)cot 21(tan )2(tan 22122221p x x p p x x ααα 又)(tan 2121x x y y -=α[]ααααααααα242222222222122122212sin 2sin 14)cot 1(cot 4sec 44)cot 1()tan 1(4)()tan 1())(tan 1(pp p p p x x x x x x AB =⋅=+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-++=-++=-+=∴即α2sin 2pAB =证法二：如图所示，分别作1AA 、1BB 垂直于准线l ．由抛物线定义有：ααcos cos 11⋅-==+⋅==BF p BB BF p AF AA AF于是可得出：αcos 1-=p AF αcos 1+=pBFαααα22sin 2cos 12cos 1cos 1p pp p BFAF AB =-=++-=+=∴ 故原命题成立．典型例题八例8 已知圆锥曲线C 经过定点)32,3(P ，它的一个焦点为F （1，0），对应于该焦点的准线为1-=x ，过焦点F 任意作曲线C 的弦AB ，若弦AB 的长度不超过8，且直线AB 与椭圆22322=+y x 相交于不同的两点，求 （1）AB 的倾斜角θ的取值范围．（2）设直线AB 与椭圆相交于C 、D 两点，求CD 中点M 的轨迹方程． 分析：由已知条件可确定出圆锥曲线C 为抛物线，AB 为抛物线的焦点弦，设其斜率为k ，弦AB 与椭圆相交于不同的两点，可求出k 的取值范围，从而可得θ的取值范围，求CD 中点M 的轨迹方程时，可设出M 的坐标，利用韦达定理化简即可．解：（1）由已知得4=PF ．故P 到1-=x 的距离4=d ，从而d PF = ∴曲线C 是抛物线，其方程为x y 42=．设直线AB 的斜率为k ，若k 不存在，则直线AB 与22322=+y x 无交点． ∴k 存在．设AB 的方程为)1(-=x k y由⎩⎨⎧-==)1(42x k y x y 可得：0442=--k y ky 设A 、B 坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则：442121-=⋅=+y y ky y222122122212)1(44)(1))(11(k k y y y y k k y y kAB +=-++=-+=∴∵弦AB 的长度不超过8，8)1(422≤+∴k k 即12≥k 由⎩⎨⎧=+-=223)1(22y x x k y 得：0)1(24)32(2222=-+-+k x k x k∵AB 与椭圆相交于不同的两点，32<∴k 由12≥k 和32<k 可得：31<≤k 或13-≤<-k 故3tan 1≤≤θ或1tan 3-<<-θ 又πθ<≤0，∴所求θ的取值范围是：34πθπ<≤或4332πθπ≤< （2）设CD 中点),(y x M 、),(33y x C 、),(44y x D由⎩⎨⎧=+-=223)1(22y x x k y 得：0)1(24)32(2222=-+-+k x k x k 9325313231322232)1(2,324222224322132243<+≤∴<≤+-=∴+=+=+-=⋅+=+∴k k k x k k x x x k k x x k k x x则323211522<+-≤k 即3252<≤x ． 3)1(2)1(23221222222+-⋅-⋅=+=∴-=x y x y k k x x y k 化简得：032322=-+x y x∴所求轨迹方程为：)3252(032322<≤=-+x x y x典型例题九例9 定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y =2上移动，求AB 的中点到y 轴的距离的最小值，并求出此时AB 中点的坐标．分析：线段AB 中点到y 轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值．这是中点坐标问题，因此只要研究A 、B 两点的横坐标之和取什么最小值即可． 解：如图，设F 是x y =2的焦点，A 、B 两点到准线的垂线分别是AC 、BD ，又M 到准线的垂线为MN ，C 、D 和N 是垂足，则2321)(21)(21=≥+=+=AB BF AF BD AC MN ．设M 点的横坐标为x ，纵坐标为y ，41+=x MN ，则454123=-≥x ．等式成立的条件是AB 过点F ． 当45=x 时，41221-=-=P y y ，故 22122)(212221221=-=++=+x y y y y y y ， 221±=+y y ，22±=y ． 所以)22,45(±M ，此时M 到y 轴的距离的最小值为45． 说明：本题从分析图形性质出发，把三角形的性质应用到解析几何中，解法较简．典型例题十例10 过抛物线px y 2=的焦点F 作倾斜角为θ的直线，交抛物线于A 、B 两点，求AB 的最小值． 分析：本题可分2πθ=和2πθ≠两种情况讨论．当2πθ≠时，先写出AB 的表达式，再求范围． 解：(1)若2πθ=，此时p AB 2=． (2)若2πθ≠，因有两交点，所以0≠θ． )2(tan p x y AB -=θ：，即2tan py x +=θ．代入抛物线方程，有0tan 222=--p y py θ． 故θθ22222212csc 44tan 4)(p p p y y =+=-， θθθ2222212212tan csc 4tan )()(p y y x x =-=-． 故θθθ422222csc 4)tan 11(csc 4p p AB =+=． 所以p p AB 2sin 22>=θ．因2πθ≠，所以这里不能取“=”． 综合(1)(2)，当2πθ=时，p AB 2=最小值． 说明：(1)此题须对θ分2πθ=和2πθ≠两种情况进行讨论； (2)从解题过程可知，抛物线点弦长公式为θ2sin 2pl =； (3)当2πθ=时，AB 叫做抛物线的通径．通径是最短的焦点弦． 典型例题十一例11 过抛物线px y 22=)0(>p 的焦点F 作弦AB ，l 为准线，过A 、B 作l 的垂线，垂足分别为'A 、'B ，则①''FB A ∠为（ ），②B AF '∠为（ ）．A ．大于等于︒90B ．小于等于︒90C ．等于︒90D 不确定分析：本题考查抛物线的定义、直线与圆的位置关系等方面的知识，关键是求角的大小以及判定直线与圆是否相切．解：①点A 在抛物线上，由抛物线定义，则21'∠=∠⇒=AF AA ，又x AA //'轴31∠=∠⇒．∴32∠=∠，同理64∠=∠，而︒=∠+∠+∠+∠1804632，∴︒=∠+∠9063，∴︒=∠90''FB A ．选C ．②过AB 中点M 作l MM ⊥'，垂中为'M ， 则AB BF AF BB AA MM 21)(21)(21'''=+=+=．∴以AB 为直径的圆与直线l 相切，切点为'M ．又'F 在圆的外部，∴︒<∠90'B AF ．特别地，当x AB ⊥轴时，'M 与'F 重合，︒=∠90'B AF ．即︒≤∠90'B AF ，选B ．典型例题十二例12 已知点)2,3(M ，F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 在该抛物线上移动，当PF PM +取最小值时，点P 的坐标为__________．分析：本题若建立目标函数来求PF PM +的最小值是困难的，若巧妙地利用抛物线定义，结合图形则问题不难解决．解：如图，由定义知PE PF =，故213=≥≥+=+MN ME PM PF PF PM ．取等号时，M 、P 、E 三点共线，∴P 点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2，所以P 点坐标为)2,2(．。

抛物线的简单几何性质典型例题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：ﻩ典型例题一例1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P 、Q ，通过点Ｐ和抛物线顶点的直线交准线于点M ,如何证明直线MQ 平行于抛物线的对称轴？解：思路一:求出M 、Q 的纵坐标并进行比较，如果相等,则ＭQ//x 轴,为此,将方程)2(,22px k y px y -==联立,解出),)11(,2)11((2222k k p k k p P ++++))11(,2)11((2222k k p kk p Q +--+ 直线OP 的方程为,)11()11(2222x k k k y ++++=即.)11(22x kk y +--=令2px -=,得M 点纵坐标Q M y k k p y =+-=)11(2得证. 由此可见，按这一思路去证,运算较为繁琐.思路二:利用命题“如果过抛物线px y 22=的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两上交点的纵坐标为1y 、2y ，那么221p y y -=”来证.设),(11y x P 、),(22y x Q 、),(33y x M ，并从px y 22=及)2(px k y -=中消去x ，得到0222=--kp py ky ，则有结论221p y y -=，即122y p y -=.又直线O Ｐ的方程为x x y y 11=, 2px -=,得1132x py y -=．因为),(11y x P 在抛物线上,所以p yx 2112=．从而212211113)(2y y p y p py x py y =-=⋅-==．这一证法运算较小．思路三:直线MQ 的方程为o y y =的充要条件是),2(),,2(0200y p y Q y pM -.将直线M Ｏ的方程p y y 02-=和直线ＱF 的方程)2(2220px py py y o --=联立,它的解（ｘ ,y )就是点Ｐ的坐标，消去o y 的充要条件是点P 在抛物线上,得证．这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维,运算量也较小.说明：本题中过抛物线焦点的直线与x 轴垂直时（即斜率不存在)，容易证明成立.典型例题二例２ 已知过抛物线)0(22>=p px y 的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、Ｂ两点，点Ｒ是含抛物线顶点Ｏ的弧AB 上一点，求△RAB 的最大面积.分析:求RA Ｂ的最大面积，因过焦点且斜率为１的弦长为定值,故可以AB 为三角形的底,只要确定高的最大值即可.解：设A Ｂ所在的直线方程为2p x y -=． 将其代入抛物线方程px y 22=,消去x 得0222=--p py yp y y y y y y AB 44)(222122121=-+⋅=-=∴当过R 的直线l 平行于ＡＢ且与抛物线相切时，△ＲAB 的面积有最大值. 设直线l 方程为b x y +=．代入抛物线方程得0222=+-pb py y 由,0842=-=∆pb p 得2p b =，这时),2(p pR .它到A Ｂ的距离为p h 22= ∴△RAB 的最大面积为2221p h AB =⋅.典型例题三例3 直线1l 过点)0,1(-M ，与抛物线x y 42=交于1P 、2P 两点,P 是线段1P 2P 的中点,直线2l 过Ｐ和抛物线的焦点Ｆ，设直线1l 的斜率为k ．(1)将直线2l 的斜率与直线1l 的斜率之比表示为k 的函数)(k f ; （2）求出)(k f 的定义域及单调区间.分析：2l 过点Ｐ及F ,利用两点的斜率公式,可将2l 的斜率用k 表示出来，从而写出)(k f ,由函数)(k f 的特点求得其定义域及单调区间．解：(1)设1l 的方程为：)1(+=x k y ,将它代入方程x y 42=，得0)42(2222=+-+k x k x k设),(),(),(222111y x P y x P y x P 、、,则2222212,24k k x k k x x -=-=+ 将222k k x -=代入)1(+=x k y 得：ky 2=,即Ｐ点坐标为)2,2(22k k k -.由x y 42=,知焦点)0,1(F ,∴直线2l 的斜率22221122kk k k k k -=--= ∴函数211)(kk f -=． （2)∵2l 与抛物线有两上交点,∴0≠k 且04)42(422>--=∆k k 解得01<<-k 或10<<k∴函数)(k f =的定义域为{}1001<<<<-k k k 或 当)0,1(-∈k 时,)(k f 为增函数.典型例题四例4 如图所示:直线l 过抛物线px y 22=的焦点，并且与这抛物线相交于A 、Ｂ两点，求证:对于这抛物线的任何给定的一条弦CD ，直线l 不是CD 的垂直平分线．分析：本题所要证的命题结论是否定形式,一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论;别一方面也可以根据ｌ上任一点到C 、Ｄ距离相等来得矛盾结论.证法一：假设直线l 是抛物线的弦CD 的垂直平方线,因为直线l 与抛物线交于Ａ、B 两点，所以直线l 的斜率存在,且不为零；直线CD的斜率存在,且不为0．设C 、D 的坐标分别为)2,2(121pt pt 与)2,2(222pt pt .则211t t k CD += ∴l 的方程为)2()(21px t t y -⋅+-=∵直线l 平分弦CD∴CD 的中点))(),((212221t t p t t p ++在直线l 上, 即]2)()[()(22212121p t t p t t t t p -++-=+,化简得:0)21)((222121=+++t t t t p由0)(21≠+t t p 知0212221=++t t 得到矛盾,所以直线l 不可能是抛物线的弦C Ｄ的垂直平分线. 证法二：假设直线l 是弦CD 的垂直平分线∵焦点F 在直线l 上,∴DF CF =由抛物线定义，),(),,(2211y x D y x C 到抛物线的准线2px -=的距离相等. ∵2121,y y x x -==,∴CD 的垂直平分线l ：0=y 与直线l 和抛物线有两上交点矛盾，下略.典型例题五例5 设过抛物线)0(22>=p px y 的顶点Ｏ的两弦OA 、O Ｂ互相垂直，求抛物线顶点O 在ＡＢ上射影N 的轨迹方程．分析：求与抛物线有关的轨迹方程,可先把N 看成定点),(00y x ；待求得00y x 、的关系后再用动点坐标)(y x ，来表示,也可结合几何知识,通过巧妙替换,简化运算．解法一：设),,(),,(),,(002211y x N y x B y x A则:2221212,2px y px y ==,22221214p y y x x ⋅=∴OB OA ⊥ ,1-=⋅∴OB OA k k 即02121=+y y x x042122221=+∴y y py y 021≠y y ,2214p y y -=∴ ①把N 点看作定点，则AB 所在的直线方程为:),(000x x y x y y --=-显然00≠x 0200)(x y x y y x -+-=∴代入,22px y =化简整理得：0)(222020020=+-+y x p y py y x 00≠∴x ，0202021)(2x y x p y y +-=∴ ②由①、②得：020202)(24x y x p p +-=-，化简得)0(02002020≠=-+x px y x 用x 、y 分别表示00y x 、得:)0(0222≠=-+x px y x解法二:点N 在以O Ａ、OB 为直径的两圆的交点(非原点)的轨迹上，设)2,2(2pt pt A ,则以OA 为直径的圆方程为:)()()(242222t t p pt y pt x +=-+-022222=--+pty pt y x ①设)2,2(121pt pt B ，O Ａ⊥ＯＢ,则tt t t 1111-=⇒-=在求以ＯB 为直径的圆方程时以t1-代1t ，可得022)(222=+-+pty px y x t ②由①+②得：0)2)(1(222=-++px y x t)0(0222≠=-+∴x px y x典型例题六例6如图所示，直线1l 和2l 相交于点M ，1l ⊥2l ，点1l N ∈，以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到2l 的距离与到点Ｎ的距离相等,若△AMN 为锐角三角形,7=AM ，3=AN ，且6=BN ,建立适当的坐标系,求曲线段C 的方程.分析:因为曲线段C 上的任一点是以点N 为焦点，以2l 为准线的抛物线的一段,所以本题关键是建立适当坐标系,确定Ｃ所满足的抛物线方程．解:以1l 为ｘ轴，MN 的中点为坐标原点O ，建立直角坐标系．由题意，曲线段C 是Ｎ为焦点,以2l 为准线的抛物线的一段,其中A 、Ｂ分别为曲线段的两端点．∴设曲线段Ｃ满足的抛物线方程为:),0,)(0(22>≤≤>=y x x x p px y B A 其中A x 、B x 为A 、Ｂ的横坐标令,p MN =则)0,2(),0,2(pN p M -，3,17==AN AM ∴由两点间的距离公式,得方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++92)2(172)2(22A A A Apx p x px p x解得⎩⎨⎧==14A x p 或⎩⎨⎧==22A x p∵△ＡMN 为锐角三角形，∴A x p>2,则4=p ，1=A x 又B 在曲线段C 上，4262=-=-=∴pBN x B 则曲线段C 的方程为).0,41(82>≤≤=y x x y典型例题七例7如图所示,设抛物线)10(22<<=p px y 与圆9)5(22=+-y x 在ｘ轴上方的交点为Ａ、Ｂ，与圆27)6(22=+-y x 在x 由上方的交点为C 、Ｄ,P 为AB 中点，Q 为C Ｄ的中点.（1)求PQ ．(2）求△AB Ｑ面积的最大值.分析：由于P 、Q 均为弦ＡB 、CD 的中点,故可用韦达定理表示出Ｐ、Q 两点坐标，由两点距离公式即可求出PQ ．解:(1)设),(),,(),,(),,(),,(),,(2211y x Q y x P y x D y x C y x B y x A D D C C B B A A由⎪⎩⎪⎨⎧==+-pxy y x 29)5(222得：016)5(22=+--x p x , P x x x BA -=+=∴5212198)5(222222)(222p p p p x x x x p x x p y y y BA B A B A B A -=+-=++=+=+=由⎪⎩⎪⎨⎧==+-pxy y x 227)6(222得09)6(22=+--x p x ， p x x x DC -=+=∴622 )(2222D C DC x x py y y +=+=同1y 类似,229p p y -=则0,12121=-=-y y x x ，1=∴PQ（２）B A B A APQ ABQ x x P y y PQ S S S BPQ -=-⋅=+=∆∆∆2221)1(821022p p p P-=--=10<<p ,∴当21=p 时,ABQ S ∆取最大值21． 典型例题八例８ 已知直线l 过原点,抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上,且点)0,1(-A 和点)8,0(B 关于直线l 的对称点都在C 上，求直线l 和抛物线C 的方程.分析：设出直线l 和抛物线C 的方程,由点A 、B 关于直线l 对称，求出对称点的坐标，分别代入抛物线方程.或设α=∠Ox B ',利用对称的几何性质和三角函数知识求解.解法一:设抛物线C 的方程为px y 22=)0(>p ，直线l 的方程为kx y =)0(≠k ， 则有点)0,1(-A ,点)8,0(B 关于直线l 的对称点为),(11'y x A 、),(22'y x B ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅+-⋅=,11,2121111k x y x k y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=;12,1121221k k y k k x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-⋅=+,18,2282222k x y x k y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=.1)1(8,11622222k k y k k x 如图，'A 、'B 在抛物线上∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅=+-+-⋅=+.1162)1()1(64,112)1(42222222222k k p k k k k p k k 两式相除,消去p ，整理，得012=--k k ，故251±=k , 由0>p ,0>k ,得251+=k .把251+=k 代入，得552=p . ∴直线l 的方程为x y 251+=,抛物线C 的方程为x y 5542=． 解法二:设点A 、B 关于l 的对称点为),(11'y x A 、),(22'y x B ， 又设α=∠Ox B ',依题意,有1'==OA OA ,8'==OB OB . 故αcos 82=x ，αsin 82=y ． 由︒=∠90BOA ，知︒=∠90''OA B ．∴ααsin )90cos(1=︒-=x ,ααcos )90sin(1-=︒-=y .又01>x ,02>x ，故α为第一象限的角．∴)cos ,(sin 'αα-A 、)sin 8,cos 8('ααB ．将'A 、'B 的坐标代入抛物线方程,得⎪⎩⎪⎨⎧==.cos 16sin 64,sin 2cos 22ααααp p ∴αα33cos sin 8=，即21tan =α从而55sin =α，552cos =α, ∴552=p ，得抛物线C 的方程为x y 5542=. 又直线l 平分OB B '∠,得l 的倾斜角为︒+=-︒+452290ααα． ∴251sin 1cos )90cos(1)90sin()452tan(+=-=︒++︒+=︒+=αααααk ． ∴直线l 的方程为x y 251+=． 说明：(１)本题属于点关于直线的对称问题.解法一是解对称点问题的基本方法，它的思路明确，但运算量大,若不仔细、沉着,难于解得正确结果.解法二是利用对称图形的性质来解,它的技巧性较强，一时难于想到．(2)本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程．在已知曲线的类型求曲线方程时，这种方法是最常规方法,需要重点掌握．典型例题九例9 如图，正方形ABCD 的边AB 在直线4+=x y l ：上，C 、D 两点在抛物线x y =2上，求正方形ABCD 的面积．分析：本题考查抛物线的概念及其位置关系,方程和方程组的解法和数形结合的思想方法，以及分析问题、解决问题的能力．解：∵直线4+=x y AB ：,CD AB //,∴设CD 的方程为b x y +=，且),(11y x C 、),(22y x D .由方程组⎩⎨⎧+==bx y x y 2，消去x ,得02=+-b y y ，于是 121=+y y ,b y y =21,∴21211y y k CD -+=(其中1=k ) ∴)41(24)(221221b y y y y CD -=-+⋅=.由已知,ABCD 为正方形,AD CD =，∴CD 可视为平行直线AB 与CD 间的距离，则有24bCD -=,于是得24)41(2bb -=-.两边平方后,整理得,01282=++b b ,∴6-=b 或2-=b .当6-=b 时,正方形ABCD 的面积50)241(22=+==CD S ．当2-=b 时，正方形ABCD 的面积18)81(22=+==CD S .∴正方形ABCD 的面积为１8或5０.说明：运用方程（组)的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的、贯穿始终的方法,本题应充分考虑正方形这一条件．典型例题十例10 设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行,地球恰好位于抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为410⨯d km 时，经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为︒30，求这彗星与地球的最短距离.分析:利用抛物线有关性质求解．解：如图，设彗星轨道方程为px y 22=，0>p ,焦点为)0,2(p F , 彗星位于点),(00y x P 处.直线PF 的方程为)2(33p x y -=.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==),2(33,22p x y px y 得2)347(p x ±=, 故2)347(0p x ±=． p p p p x PF )324(|22)347(|332|2|3320±=-±=-=. 故d p =±)324(,得d p 232±=． 由于顶点为抛物线上到焦点距离最近的点,所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的点.焦点到抛物线顶点的距离为d p 4322±=，所以彗星与地球的最短距离为410432⨯+d km 或410432⨯-d km ，（P 点在F 点的左边与右边时,所求距离取不同的值)． 说明：（1)此题结论有两个，不要漏解；（２)本题用到抛物线一个重要结论：顶点为抛物线上的点到焦点距离最近的点，其证明如下：设),(00y x P 为抛物线px y 22=上一点,焦点为)0,2(p F ，准线方程为2p x -=,依抛物线定义,有220p x p PF ≥+=)0(0≥x ,当00=x 时，PF 最小，故抛物线上到焦点距离最近的点是抛物线的顶点．典型例题十一例11 如图,抛物线顶点在原点,圆x y x 422=+的圆心是抛物线的焦点，直线l 过抛物线的焦点，且斜率为2,直线l 交抛物线与圆依次为A 、B 、C 、D 四点，求CD AB +的值.分析:本题考查抛物线的定义,圆的概念和性质，以及分析问题与解决问题的能力,本题的关键是把CD AB +转化为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题.解：由圆的方程x y x 422=+,即4)2(22=+-y x 可知，圆心为)0,2(F ,半径为２,又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为)0,2(F ,设抛物线方程为x y 82=,BC AD CD AB -=+ ∵BC 为已知圆的直径，∴4=BC ，则4-=+AD CD AB ．设),(11y x A 、),(22y x D ，∵FD AF AD +=，而A 、D 在抛物线上，由已知可知,直线l 方程为)2(2-=x y ，于是,由方程组⎩⎨⎧-==).2(2,82x y y 消去y ，得0462=+-x x ，∴621=+x x ． ∴1046=+=AD ，因此,6410=-=+CD AB ．说明:本题如果分别求AB 与CD 则很麻烦，因此把CD AB +转化成4-=-AD BC AD 是关键所在,在求AD 时，又巧妙地运用了抛物线的定义,从而避免了一些繁杂的运算.。

抛物线（1）抛物线——二次曲线【例1】P 为抛物线px y 22=上任一点，F 为焦点，则以PF 为直径的圆与y 轴（ ）.A 相交 .B 相切 .C 相离 .D 位置由P 确定【解析】如图，抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线是 :2pl x =-.作PH ⊥l 于H ，交y 轴于Q ，那么PF PH =，且2pQH OF ==.作MN ⊥y 轴于N 则MN 是梯形PQOF 的中位线，()111222MN OF PQ PH PF =+==.故以PF 为直径的圆与y 轴相切，选B.【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则 分别是相离或相交的.（2）焦点弦——常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.【例2】 过抛物线()022p px y =的焦点F 作直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，求证：（1）12AB x x p =++ （2）pBF AF 211=+ 【证明】（1）如图设抛物线的准线为l ，作1AA l ⊥11111,2pA BB l B AA x ⊥==+于，则AF ，122pBF BB x ==+.两式相加即得：12AB x x p =++（2）当AB ⊥x 轴时，有AF BF p ==，112AF BF p∴+=成立； 当AB 与x 轴不垂直时，设焦点弦AB 的方程为：2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.代入抛物线方程：2222p k x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.化简得：()()222222014p k x p k x k -++=∵方程（1）之二根为x 1，x 2，∴1224k x x ⋅=.()122111212121111112224x x p p p p p AF BF AA BB x x x x x x +++=+=+=+++++ ()()121222121222424x x p x x p p p p p p x x p x x ++++===+++++. 故不论弦AB 与x 轴是否垂直，恒有p BF AF 211=+成立.（3）切线——抛物线与函数l XY FA(x,y)11B(x,y)22A 1B 1l【例3】证明：过抛物线22y px =上一点M （x 0，y 0）的切线方程是：y 0y=p （x+x 0）【证明】对方程22y px =两边取导数：22.py y p y y''⋅=∴=，切线的斜率 00x x p k y y ='==.由点斜式方程：()()20000001p y y x x y y px px y y -=-⇒=-+20021y px =，代入（）即得： y 0y=p （x+x 0）（4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏例如：1.一动圆的圆心在抛物线x y 82=上，且动圆恒与直线02=+x 相切，则此动圆必过定点 （ ）()()()().4,0.2,0.0,2.0,2A B C D -显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B. 2.抛物线22y px =的通径长为2p ；3.设抛物线22y px =过焦点的弦两端分别为()()1122,,,A x y B x y ，那么：212y y p =-以下再举一例【例4】设抛物线22y px =的焦点弦AB 在其准线上的射影是A 1B 1，证明：以A 1B 1为直径的圆必过一定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A 1B 1=AB=2p ，而A 1B 1与AB 的距离为p ，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB 的一般情形给于证明. 【证明】如图设焦点两端分别为()()1122,,,A x y B x y ， 那么：22121112.y y p CA CB y y p =-⇒⋅== 设抛物线的准线交x 轴于C ，那么.CF p =2111111.90A FB CF CA CB A FB ∴∆=⋅∠=︒中故.这就说明：以A 1B 1为直径的圆必过该抛物线的焦点.● 通法 特法 妙法（1）解析法——为对称问题解困排难解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）. 【例5】（07.四川文科卷.10题）已知抛物线 y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点 A 、B ，则|AB|等于（ ）A.3B.4C.32D.42 【分析】直线AB 必与直线x+y=0垂直，且线段 AB 的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.【解析】∵点A 、B 关于直线x+y=0对称，∴设直线AB 的方程为：y x m =+.由()223013y x m x x m y x =+⎧⇒++-=⎨=-+⎩设方程（1）之两根为x 1，x 2，则121x x +=-.11,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 设AB 的中点为M （x 0，y 0），则120122x x x +==-.代入x+y=0：y 0=12.故有从而1m y x =-=.直线AB 的方程为：1y x =+.方程（1）成为：220x x +-=.解得：2,1x =-，从而1,2y =-，故得：A （-2，-1），B （1，2）.AB ∴=，选C.（2）几何法——为解析法添彩扬威 虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.【例6】（07.全国1卷.11题）抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F x 轴XYAB FA 1B 11M CXOY ABMl x y +=ÿxyM(x,y)F 1(-c ,0)F 2(c,0)O H2:a l x c=-r 1r 2r 2上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积（ ） A ．4B ．33C ．43D ．8【解析】如图直线AF 3AFX=60°. △AFK 为正三角形.设准线l 交x 轴于M ，则2,FM p == 且∠KFM=60°，∴234,43AKF KF S ∆===选C. 【评注】（1）平面几何知识：边长为a 的正三角形的面积用公式23S ∆=计算. （2）本题如果用解析法，需先列方程组求点A 的坐标，，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单.（3）定义法——追本求真的简单一着许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单. 【例7】（07.湖北卷.7题）双曲线22122:1(00)x y C a b a b-=>>，的左准线为l ，左焦点和右焦点分别为1F 和2F ；抛物线2C 的线为l ，焦点为21F C ；与2C 的一个交点为M ，则12112F F MF MF MF -等于（ ）A ．1-B ．1C ．12-D ．12【分析】 这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半 焦距c ，离心率为e ，作 MH l H ⊥于，令 1122,MF r MF r ==.∵点M 在抛物线上， 1112222,MF MF r MH MF r e MH MF r ∴=====故，这就是说：12||||MF MF 的实质是离心率e.其次，121||||F F MF 与离心率e 有什么关系？注意到：()1212111122111F F e r r c e a e e MF r r r e +⋅⎛⎫====-=- ⎪⎝⎭. 这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于()12112||||11||||F F MF e e MF MF -=-+=-.∴选 A..（4）三角法——本身也是一种解析三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”——达到解题目的.因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.线x y 82=的【例8】（07.重庆文科.21题）如图，倾斜角为a 的直线经过抛物焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点。

《抛物线》典型例题12 例典型例题一例 1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程．22（1）x24 y （2）x ay2（a 0）分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程．（2）先把方程化为标准方程形式，再对 a 进行讨论，确定是哪一种后，求p 及焦点坐标与准线方程．解：（1）p 2 ，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：y 12 1 1（2）原抛物线方程为：y2 1 x， 2 p 1 a a①当 a 0时，p 1，抛物线开口向右，2 4a11∴焦点坐标是（1 ,0），准线方程是：x 1．4a 4a②当a 0 时，p 1，抛物线开口向左，2 4a11∴焦点坐标是（ ,0），准线方程是：x ．4a 4a2 1 1 综合上述，当a 0时，抛物线x ay2的焦点坐标为（1 ,0），准线方程是：x14a 4a 典型例题二例 2 若直线y kx 2与抛物线y28x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程．分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k 的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求 k ．故所求直线方程为： y 2x 2 ．则所求直线方程为： y 2x 2 ．典型例题三例 3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切． 分析：可设抛物线方程为 y 2 2px(p 0)．如图所示，只须证明 A 2B MM 1 ，解法一：设 A(x 1, y 1) 、 B(x 2, y 2 ) ，则由：y kx 22y 28x可得：k 2x 2 (4k 8)x 4 0．∵直线与抛物线相交， k 0 且 0， 则k1．∵AB 中点横坐标为： x 1 x 2 4k 82 k 22，解得： k 2 或 k 1舍去)．解法二： 设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2) ，则有 y 1 28x 12y28x 2 ．两式作差解： ( y 1 y 2)(y 1 y 2) 8(x 1 x 2) ，即y 1 y 2 x 1x28 y 1 y 2x 1 x 2 4 y 1y 2 kx 1 2 kx 2 2 k( x 1 x 2) 4 4k 4 ，k 4k 8 4 故 k2或 k 1 (舍去)．1MM 1AB ，故以 AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切．12说明：类似有： 以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离， 以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．典型例题四例4（1）设抛物线 y 2 4x 被直线 y 2x k 截得的弦长为 3 5，求 k 值．为 9 时，求 P 点坐标．求 P 点坐标．k 2x 1 x 2 1 k, x 1 x 242 解：（ 1）由 yy4x 2x 得： 4x 2 k2(4k 4)x k 2 0AB (1 22)( x 1 x 2)2 5( x 1 x 2)2 4x 1x 2 5 (1 k)2 k 2 5(1 2k)AB 3 5, 5(1 2k) 3 5 ，即 k 4 2）S 9 ，底边长为 3 5 ，∴三角形高 h 2 9 6 535 ∵点 P 在x 轴上，∴设 P 点坐标是 （x 0,0） 则点 P 到直线 y 2x 4的距离就等于 h ，即 0 2 2 22 12655x1或 x 0 5，即所求 P 点坐标是（－ 1，0）或（ 5，0）．典型例题五MM 111 12( AA 1 BB 1) 12(AF2）以（1）中的弦为底边，以x 轴上的点 P 为顶点作三角形，当三角形的面积 分析：（1）题可利用弦长公式求 k ，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离设直线与抛物线交于 A （x 1,y 1）与B （x 2,y 2） 两点．则有：BF )范文 范例 指导 参考例5 已知定直线 l 及定点 A (A 不在 l 上)，n 为过A 且垂直于 l 的直线，设 N 为 l 上任一点， AN 的垂直平分线交 n 于 B ，点 B 关于 AN 的对称点为 P ，求证 P 的轨迹为抛物线．分析：要证 P 的轨迹为抛物线， 有两个途径， 一个证明 P 点的轨迹符合抛物线的 定义，二是证明 P 的轨迹方程为抛物线的方程， 可先用第一种方法，由 A 为定点， l 为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明 PA PN 且 PN l 即可． 证明： 如图所示，连结 PA 、PN 、NB ．由已知条件可知： PB 垂直平分 NA ，且 B 关于 AN 的对称点为 P ． ∴ AN 也垂直平分 PB ．则四边形 PABN 为菱形．即有 PA PN ．AB l. PN l.则 P 点符合抛物线上点的条件：到定点 A 的距离与到定直线的距离相等，所以 P 点的轨迹为抛物线．典型例题六例6 若线段 P 1P 2为抛物线 C:y 2 2px(p 0)的一条 分析： 此题证的是距离问题，如果把它们用两点间 的距离表示出来，其计算量是很大的．我们可以用 抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的定义与平面几何知识，把结论证明出来．证法一：F(2p ,0)，若过 F 的直线即线段 P 1P 2所在直线斜率不存在时，则有 P 1F P 2F p,111 1 2P 1F P 2F p p p焦点弦， F 为 C 的焦点，求证：1 12 P 1F P 2F p若线段P1P2 所在直线斜率存在时，设为k，则此直线为：y k(x 2p)(k 0) ，且设P1(x1,y1),P2(x2,y2) ．k(x p )2得：k(x p )2 k2x2p(k22)xk2p24x 1 x22p(k 22)k2x 1 x 2根据抛物线定义有：P1 F x1 2p,P2F x12p , P1P2 x1 x2 p则 1 1 P1F P2F P1F P2 F P1F P2Fx1x2(x1 2p)(x2 2 )x2 p2p4x1x1x2 2p (x1 x2)1请将①②代入并化简得：112P1F P2F p证法二：如图所示，设P1、P2 、F点在C的准线l 上的射影分别是P1 、P2 、F ，且不妨设P2P2 n m P1P1 ，又设P2 点在FF P1P1 上的射影分别是A、B点，由抛物线定义知，P2 F n, P1F m, FF p又P2 AF ∽P2 BP1 ，AF P2 F BP1 P2P1p(m n ) 2mn 112 m n p即 AB 2psin 2故原命题成立．典型例题七例 7 设抛物线方程为 y 2 2px(p 0) ，过焦点 F 的弦 AB 的倾斜角为 焦点弦长为 AB 2 2p ．sin分析： 此题做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题． 证法一： 抛物线 y 2 2px( p 0)的焦点为 (2p ,0)， 过焦点的弦 AB 所在的直线方程为： y tan ( x 2p ) 由方程组 y tan (x 2p)消去 y 得： y 2 2 px2 2 2 2 24 x 2 tan 2 4 p(tan 2 ) p 2 tan 2，求证：x 1 x2设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2) ，则x1x2p(tan 22)tan 22p4p(1 2cot 2 )又 y 1 y 2 tan ( x 1 x 2 )AB (1 tan 2 )( x 1 x 2)2 (1 tan 2 ) (x 1 x 2) 2 4x 1x 2 (1 tan 2 ) p 2 (1 cot 2 ) 4 p4sec 2 4p 2 cot 2 (1 cot 2 )2p 2 sin1 4 sin证法二： 如图所示，分别作 AA 1、 BB 1垂直于准线 l ．由抛物线定义有：AFAA 1 AF cos p BFBB 1pBF cos典型例题八例 8 已知圆锥曲线 C 经过定点 P （3,2 3） ，它的一个焦点为 F （1，0），对应于该 焦点的准线为 x 1，过焦点 F 任意作曲线 C 的弦 AB ，若弦 AB 的长度不超过 8， 且直线 AB 与椭圆 3x 2 2y 2 2 相交于不同的两点，求 （ 1） AB 的倾斜角 的取值范围．（2）设直线 AB 与椭圆相交于 C 、 D 两点，求 CD 中点 M 的轨迹方程． 分析：由已知条件可确定出圆锥曲线 C 为抛物线， AB 为抛物线的焦点弦，设其 斜率为 k ，弦 AB 与椭圆相交于不同的两点， 可求出 k 的取值范围， 从而可得 的 取值范围，求 CD 中点 M 的轨迹方程时，可设出 M 的坐标，利用韦达定理化简即 可．于是可得出：AFp1 cosBFp1 cosABAF BFpp1 cos1 cos2p21 cos2p2sin故原命题成立．解：(1)由已知得PF 4 ．故P到x 1 的距离 d 4 ，从而PF d ∴曲线C是抛物线，其方程为y24x ．设直线AB的斜率为k，若k 不存在，则直线AB与3x2∴k 存在．设AB的方程为y k ( x 1)4 x 2可得：ky24 y 4k 0 k( x 1)2 y22 无交点．2 由y2y设A、B坐标分别为(x1,y1)、(x2, y2)，则：y1y2y1y2 4AB12 (1 k2 )(y1y2)2 1k k2 (y1 y2)2 k4(1 k2 )4y1 y2 k2∵弦AB的长度不超过8，24(1 k 2)k28即k2由y2k(x21)得：(2k23x22 y223)x24k 2x 2(k21)∵AB与椭圆相交于不同的两点，k2由k21和k2 3可得： 1 k故1 tan 3 或 3 tan又0 ，∴所求的取值范围是：3或232) 设CD中点M ( x, y) 、C( x3, y3 )、D(x4,y4)由y2k(x21)得：(2k23)x24k2x3x22 y222(k 21) 0典型例题九例 9 定长为 3的线段 AB 的端点 A 、 B 在抛物线 y 2 x 上移动，求 AB 的中点到 y 轴的距离的最小值，并求出此时 AB 中点的坐标．分析： 线段 AB 中点到 y 轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值．这是中点坐 标问题，因此只要研究 A 、 B 两点的横坐标之和取什么最小值即可．解：如图，设 F 是y 2 x 的焦点， A 、 B 两点到准线的垂线分别是 AC 、BD ， 又M 到准线的垂线为 MN ， C 、 D 和N 是垂足，则x34k 22, x 3 x 12k 232 x3 x 42k 2 2k 2 3 1 232k 2 3 k 2 322k 23 9x42(k 2 1) 2k 2 3则2 51 2k 21 2223即25yx12k 2 2k 2322 y 2 2 (x 1)2 22 y 22 ( x 1) 2化简得： 3x 2 2 y 2 3x∴所求轨迹方程为： 3x 22y 23x 0( 2 x 2) 531 3 1 设M 点的横坐标为 x ，纵坐标为 y ， MN x ，则 x 42 4等式成立的条件是 AB 过点 F ．2 2 21(y 1 y 2) y 1 y 2 2y 1y 2 2x 2 2，y 1 y 2 2 ， y5 2 5 所以 M(54, 22) ，此时 M 到y 轴的距离的最小值为 45 ．说明：本题从分析图形性质出发， 把三角形的性质应用到解析几何中， 解法较简．典型例题十例 10 过抛物线 y 2 px 的焦点 F 作倾斜角为 的直线，交抛物线于 A 、B 两点， 求 AB 的最小值．分析：本题可分 2 和 2两种情况讨论．当 2 时，先写出 AB 的表达式， 再求范围．解：(1) 若 2 ，此时 AB 2p ．11 12( AC BD) 21( AFBF)12AB当x 45时， y 1y 2 P 214，故MN1AB ：y tan (x 2p )，即 x ta y n说明：(2) 若 2 ，因有两交点，所以 0．代入抛物线方程，有 ta 2 3n p y tan p 2 0 ．故 ( y 2 y 1 ) 2 4 p 2tan 2 4p 2 4p 2 csc( x 2 x 1) 2 ( y 2 y 1)2tan 2 22 csc4 p 2 2tan 故 AB 22 4 p csc (1 12 ) 4p 2 csc 4 tan 2所以 AB 2p 2 sin 2p ．因 2 ，所以这里不能取“=” 综合(1)(2) ，当 2 时， AB 最小值 2p ．(1) 此题须对 分 2 和 2两种情况进行讨论；的大小以及判定直线与圆是否相切．解：①点 A 在抛物线上，由抛物线定义，则 AA ' AF 1 2， 又 AA ' // x 轴 1 3 ． ∴ 2 3，同理 4 6 ， 而 2 3 6 4 180 ，∴ 3 6 90 ，∴ A 'FB ' 90 ．选 C ．②过AB 中点 M 作MM ' l ，垂中为 M '，∴以 AB 为直径的圆与直线 l 相切，切点为 M ' ．又 F ' 在圆的外部，∴ AF 'B 90 ． 特别地，当 AB x 轴时， M '与 F '重合， AF 'B 90 ．即 AF 'B 90 ，选 B ．典型例题十二例 12 已知点 M(3,2)， F 为抛物线 y 2 2x 的焦点，点 P 在该抛物线上移动， 当 PM PF 取最小值时，点 P 的坐标为 __________ ．分析： 本题若建立目标函数来求 PM PF 的最小值是困难的，若巧妙地利用抛则 MM1(AA ' BB ' ) 2 1 12( AF BF ) 1 AB 2物线定义，结合图形则问题不难解决．1 由定义知PF PE ，故PM PF PF PM ME MN 3 ．取等号时，M 、P、E三点共线，∴ P点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2，所以P点坐标为(2, 2) ．。

抛物线焦点弦典型例题设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x 1·x 2＝p 24. (2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α(α是直线AB 的倾斜角)． (4)1|AF |＋1|BF |＝2p为定值(F 是抛物线的焦点)． [典例1] 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( )A ．4B.92 C ．5 D ．6[一般解法] 易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 得x A ·x B ＝1，①关注公众号《品数学》，获取更多干货！因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2(x B ＋1)，即x A ＝2x B ＋1，②由①②解得x A ＝2，x B ＝12， 所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92. [应用结论] 法一：由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图，设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ，则|AB |＝3m ，由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，所以tan θ＝22，则sin 2θ＝8cos 2θ，所以sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝92. 法二：因为|AF |＝2|BF |，1|AF |＋1|BF |＝12|BF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p ＝1，解得|BF |＝32，|AF |＝3，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝92. [答案] B[典例2] 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334B.938C.6332D.94[一般解法] 由已知得焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，即4x －43y －3＝0.与抛物线方程联立，化简得4y 2－123y －9＝0，故|y A －y B |＝(y A ＋y B )2－4y A y B ＝6.因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94. [应用结论] 由2p ＝3，及|AB |＝2p sin 2 α，关注公众号《品数学》，获取更多干货！ 得|AB |＝2p sin 2α＝3sin 230°＝12. 原点到直线AB 的距离d ＝|OF |·sin 30°＝38， 故S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×12×38＝94. [答案] D[典例3] 如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )A ．5B ．6 C.163 D.203[一般解法] 如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AD |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，可得y 1＝23，所以A (3,23)，又F (1,0)，所以直线AF 的斜率k ＝233－1＝3，所以直线AF 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得3x 2－10x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C. [应用结论] 法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝3＋13＋2＝163. 法二：因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163. [答案] C。