浙教版八年级数学下1.3二次根式的运算(2)_

浙教版数学八年级下册1.1《二次根式》教案2一. 教材分析《二次根式》是初中数学八年级下册的重要内容，主要让学生了解二次根式的概念、性质和运算。

浙教版教材通过引入实际问题，引导学生探究二次根式的运算规律，培养学生的逻辑思维能力和运算能力。

本节课的内容为1.1二次根式，主要包括二次根式的定义、性质和运算。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，具备了一定的逻辑思维能力和运算能力。

但二次根式较为抽象，学生对其概念和性质的理解可能存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，通过举例、讲解等方式，帮助学生理解和掌握二次根式的相关知识。

三. 教学目标1.理解二次根式的定义和性质；2.掌握二次根式的运算方法；3.能够运用二次根式解决实际问题；4.培养学生的逻辑思维能力和运算能力。

四. 教学重难点1.二次根式的定义和性质；2.二次根式的运算方法；3.二次根式在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生探究二次根式的运算规律；2.讲授法：讲解二次根式的定义、性质和运算方法，引导学生理解并掌握相关知识；3.实践操作法：让学生在实际操作中，运用二次根式解决相关问题，提高学生的运算能力；4.小组讨论法：学生进行小组讨论，培养学生的合作意识和团队精神。

六. 教学准备1.教学课件：制作二次根式的相关课件，包括图片、动画等素材，以便于引导学生直观地理解二次根式；2.练习题：准备一些有关二次根式的练习题，用于巩固所学知识；3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具，以便于进行板书。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些实际问题，如计算物体体积、求解方程等，引导学生发现这些问题都与二次根式有关。

然后提问：“这些二次根式有什么共同特点？我们可以如何对其进行简化？”从而引出二次根式的概念。

2.呈现（10分钟）讲解二次根式的定义、性质和运算方法。

浙江版2022-2023学年度下学期八年级数学下册第1章二次根式1.3 二次根式的运算（2）【知识重点】一、同类二次根式：1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.2.注意：一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式. 要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数或因式，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断.3.同类二次根式合并法则：“同类二次根式相加减，根式不变，系数相加减”. 二、二次根式的运算法则：实数的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序相同，而且有理数的运算法则、运算律以及运算公式在实数范围内仍然适用.【经典例题】【例1】若最简二次根式√x 2+3x 与√x +15是同类二次根式，则x 的值是 ．【例2】如果最简根式 √3a −8 与√17−2a 是同类二次根式，那么使√4a −2x 有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x≤10 B ．x≥10 C ．x ＜10 D ．x ＞10 【例3】计算：（1）(√27−3√13)÷√3×√20−(2+√5)2．（2）√8+√32−(√2−4√12)【例4】a=1√2−1，b=1√2+1，则a +b −ab 的值是 ．【例5】已知x =5−√17√17−3，y =√17−35−√17，则4x 2−3xy +4y 2= ．【基础训练】1．若最简二次根式√x +3与最简二次根式√2x 是同类二次根式，则x 的值为（ ） A ．x ＝0 B ．x ＝1 C ．x ＝2 D ．x ＝3 2．已知二次根式√32−a 与√8化成最简二次根式后，被开方数相同，则符合条件的正整数a 有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．计算 4√12+3√13−√8 的结果是（ ）A ．√3+√2B ．√3C ．√33D ．√3−√24．化简 √12−√0.5−√13+√18 的结果是 .5．若最简二次根式√2−3a 与√2a +7可以合并，则a 的值为 ．6．已知x ，y 是两个不相等的有理数，且满足等式(3√2−1)x =3−√2y ，则x = ；y = ．7．计算（1）√12−√127+√48（2）√24 × √13 -4× √18 ×(1- √2 )0-( √23)-1（3）(2 √48 -3 √27 )÷ √3 -( √2 - √3 )28．计算：（1）√48÷√3－√12×√12＋√24；（2）√8－18√48－（23√412－2√34）；（3）（2－√3）2017×（2＋√3）2016－2|−√32|－（－√2）0（4）（a ＋2√ab ＋b ）÷（√a ＋√b ）－（√b －√a ）．【培优训练】9．下列二次根式中，同类二次根式是（ ）A ．√81ab 3和3√a 316bB ．√4a 2b 和和√2abC ．√a 3bc 和和√bcD ．√a 3+b 2和和√a 2+b 3 10．我们知道6−√2的小数部分b 为2−√2，如果用a 代表它的整数部分，那么ab 2−a 2b 的值是（ ） A ．8 B ．－8 C ．4 D ．－4 11．已知x 为实数，化简√−x 3−x √−1x的结果为（ ）A ．(x −1)√−xB ．(−1−x )√−xC ．(1−x )√−xD ．(1+x )√−x 12． 化简 −√−a +√−a 3−a √−1a＝ .13．已知：m+n ＝10，mn ＝9，则 √m−√n√m+√n＝ ．14．先化简，再求值： [4(√x+√y)(√x−√y)+√x+√y √xy(√y−√x)]÷√x−√y √xy，其中x ＝1，y ＝2．15．若x，y为实数，且y＝√1−4x＋√4x−1＋12．求√xy+2+yx－√xy−2+yx的值．16．已知：x＝√3+√2√3−√2，y＝√3−√2√3+√2，求x3−xy2x4y−2x3y2+x2y3的值．17．计算（√a＋b−√ab√a+√b ）÷（a√ab+b＋b√ab−a－a+b√ab）（a≠b）．18．已知函数y=kx，其中x>0，且满足√xy−y√xy−x +3=0.（1）求k；（2）求√xy−3yx+2√xy+y的值.19．观察下列格式，√5−12-√5−1，√8−222√8−2，√13−322√13−3，√20−422√20−4…（1）化简以上各式，并计算出结果；（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．20．先阅读，再解答问题：恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法.利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式.例如：当x =√3+1时，求12x 3−x 2−x +2的值.为解答这道题，若直接把x =√3+1代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答.方法：将条件变形，因x =√3+1，得x −1=√3，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算.由x −1=√3，可得x 2−2x −2=0，即x 2−2x =2，x 2=2x +2.原式=12x(2x +2)−x 2−x +2=x 2+x −x 2−x +2=2.请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题： （1）若x =√2−1，求2x 3+4x 2−3x +1的值；（2）已知x =2+√3，求x 4−x 3−9x 2−5x+5x 2−4x+3的值.21．如果记 y =x 1+x =f(x) ，并且 f(√1) 表示当 x =√1 时y 的值，即 f(√1)=√11+√1=12 ；f(√2) 表示当 x =√2 时y 的值，即 f(√2)=√21+√2； f(√12) 表示当 x =√12 时 y 的值，即 f(√12)=√12√12=√2+1；… （1）计算下列各式的值：f(√2)+f(√12)= .f(√111)+f(√1111)= .（2）当n 为正整数时，猜想 f(√n)+f(√1n) 的结果并说明理由；（3）求 f(√1)+f(√2)+f(√12)+f(√3)+f(√13)+⋅⋅⋅+f(√100)+f(√1100) 的值.【直击中考】22．计算：√12−2√3= ．23．估计(2√5+5√2)×√15的值应在（ ）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间24．计算(√27+√18)(√3−√2)=；25．计算√24−√65×√45的结果是．26．计算：(√5+12−1)⋅√5+12=（）A．0B．1C．2D．√5−1227．从√2，−√3，−√2这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（）个.A．0B．1C．2D．328．人们把√5−12这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数.设a=√5−12，b=√5+12，则ab=1，记S1=11+a+11+b，S2=11+a2+11+b2，…，S10=11+a10+11+b10.则S1+S2+⋯+S10=.。

新浙教版八年级下册初中数学全册资料汇编教案(教学设计)第1章二次根式1.1二次根式【教学目标】知识与技能，1.理解二次根式的概念。

2.使学生掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值范围。

过程与方法1.经历探究二次根式意义的过程，并能观察思考得出二次根式的特点。

2.通过探究，进一步发展观察、归纳、概括等能力。

3.培养与提高灵活运用知识的能力、准确计算能力以及语言表达能力。

情感态度与价值观1.通过探究二次根式，让学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

2.通过探究，鼓励学生敢于发表自己的观点，尊重与理解他人的见解，从交流中获益。

3.通过对二次根式特点的归纳，提高学生的逻辑思维能力。

教学重难点重点：二次根式的概念和二次根式有意义的条件。

难点：确定较复杂的二次根式中字母的取值范围。

【教学过程】知识回顾求一求：(1)3的平方根；(2)3的算术平方根是；(3)有意义吗？为什么？呢？归纳：①一个正数有个平方根，负缨；一个非负数a的算术平方根可以表示为_o②情景导入根据图1.1-1的直角三角形、正方形和圆的条件，完成以下填空:2cm（h-3）cm-a cm直角三角形的斜边长是;解诵的边长;圆的半径是学生写出表示算术平方根的式子。

问：你认为所得的各代数式的共同特点是什么？学生通过观察，感知二次根式的特征，从而引出课题。

探究新知1.二次根式的概念引导学生概括二次根式的概念:像.疽+4.£这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式。

2.深化二次根式的概念：①提问：9,a/g+1是不是二次根式？yja+1呢？②议一议：二次根式表示什么意义？此算术平方根的被开方数是什么？被开方数必须满足什么条件的二次根式才有意义？其中字母a需满足什么条件？为什么？经学生讨论后，让学生回答，并让其他学生点评。

③教师总结：强调二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于0。

④巩固练习一：下列式子，哪些是二次根式？.r-13.讲解例题例1求下列二次根式中字母。

浙教版数学八年级下册1.3《二次根式的运算》教案3一. 教材分析浙教版数学八年级下册1.3《二次根式的运算》是学生在学习了实数、分数、代数等知识的基础上，进一步深化对二次根式的理解和应用。

本节内容通过具体的例子，引导学生掌握二次根式的加减乘除运算方法，为后续学习二次根式的方程和不等式打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了实数、分数、代数等知识，对数学运算有了一定的理解。

但二次根式的运算相对于其他运算来说较为复杂，需要学生有一定的空间想象能力和抽象思维能力。

同时，学生可能对二次根式的实际应用场景有一定的疑惑，需要教师在教学中进行解答。

三. 教学目标1.理解二次根式的加减乘除运算方法；2.能够熟练地进行二次根式的运算；3.了解二次根式的实际应用场景。

四. 教学重难点1.二次根式的加减乘除运算方法；2.二次根式的实际应用。

五. 教学方法采用讲解法、示例法、练习法、讨论法等教学方法，通过教师的讲解和学生的练习，使学生掌握二次根式的运算方法。

六. 教学准备1.教师准备PPT，内容包括二次根式的运算方法、实例讲解、练习题等；2.学生准备笔记本，用于记录教学内容和做练习。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过PPT展示二次根式的实际应用场景，引导学生思考二次根式在实际问题中的作用，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现二次根式的加减乘除运算方法，并进行详细的讲解和示例。

学生在笔记本上做好笔记。

3.操练（10分钟）教师给出一些二次根式的运算题目，学生独立完成，并及时给予解答和指导。

4.巩固（10分钟）教师再次给出一些二次根式的运算题目，学生独立完成，并与同学进行讨论。

教师选取一些典型的题目进行讲解。

5.拓展（10分钟）教师引导学生思考二次根式运算在更复杂问题中的应用，如二次根式的方程、不等式等，为学生后续学习打下基础。

6.小结（5分钟）教师对本节课的内容进行小结，学生做好笔记。

1.3 二次根式的运算1．如图，长方形内相邻两正方形的面积分别是2和6，那么长方形内阴影部分的面积是______(结果保留根号)．2．在平面直角坐标系中，点P(3，1)到原点的距离是___．3．如图，一道斜坡的坡比为1∶8，已知AC＝16m，则斜坡AB的长为_______m.4．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称．若A，B两点对应的实数分别是3和－1，则点C所对应的实数是_______．5．已知x＝1－2，y＝1＋2，则x2＋y2－xy－2x＋2y的值为．6．已知一次函数y＝x＋b的图象与x轴，y轴的交点分别为A，B，△OAB的周长为2＋2(O 为坐标原点)，求b的值．7．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，∠B＝45°，AB＝26，CD＝ 3.求四边形ABCD的面积．8．如图，∠B＝90°，点P从点B开始沿射线BA以1cm/s的速度移动；同时，点Q也从点B开始沿射线BC以2cm/s的速度移动．问：几秒后△PBQ的面积为35cm2？此时PQ的长是多少厘米？(结果用最简二次根式表示．)9．在△ABC中，∠C＝90°，周长为(5＋23) cm，斜边上的中线CD＝2 cm，求Rt△ABC的面积.10．已知x＝2＋12，则求代数式4x4＋4x3－9x2－2x＋1的值．11．如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D在BD两侧作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC.已知AB＝5，DE＝9，BD＝8，设CD＝x.(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长．(2)请问：点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式x2＋4＋（12－x）2＋9的最小值．12．如图，在平面直角坐标系中，已知点M0的坐标为(1，0)，将线段OM0绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到点M1，使得M1M0⊥OM0，得到线段OM1；将线段OM1绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到点M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2……如此下去，得到线段OM3，OM4，…，OM n.(1)写出点M5的坐标．(2)求△M5OM6的周长．(3)我们规定：把点M n(x n，y n)(n＝0，1，2，3，…)的横坐标x n，纵坐标y n都取绝对值后得到的新坐标(|x n|，|y n|)称之为点M n的“绝对坐标”．根据图中点M n的分布规律，请你猜想点M n的“绝对坐标”，并写出来．13．如图，B地在A地的正东方向，两地相距282km.A，B两地之间有一条东北走向的高速公路，且A，B两地到这条高速公路的距离相等．某日8：00测得一辆在高速公路上行驶的汽车位于A地的正南方向P处，至8：20，测得该车在B地的西北方向Q处，该段高速公路限速为110 km/h.问：该车是否超速行驶？参考答案 3－2 65 3＋1 5.7＋4 2 6.易知一次函数y ＝x ＋b 的图象分别交x 轴，y 轴于点A(－b ，0)，B(0，b)，∴OA ＝|b|＝OB ，∴AB ＝2|b|，∴|b|＋|b|＋2|b|＝2＋2，(2＋2)|b|＝2＋2，∴|b|＝1，∴b ＝±1.7.延长AD ，BC 交于点E.∵∠B ＝45°，∠A ＝90°，∴∠B ＝∠E ＝45°，∴AE ＝AB ＝2 6.同理，CE ＝CD ＝ 3.∴S 四边形ABCD ＝S △ABE －S △CDE＝12×(26)2－12×(3)2 ＝12－32＝212. 8.设x(s)后△PBQ 的面积为35cm 2，则PB ＝x ，BQ ＝2x.由题意，得12x ·2x ＝35， 解得x 1＝35，x 2＝－35(不合题意，舍去)．∴PQ ＝PB 2＋BQ 2＝x 2＋4x 2＝5x 2＝5×35＝57(cm)．答：35 s 后△PBQ 的面积为35cm 2，此时PQ 的长为57 cm.△ABC 中，∵∠C ＝90°，斜边上的中线CD ＝2 cm ，∴斜边c 的长为4 cm ，∴两直角边的和为a ＋b ＝5＋23－4＝(1＋23)cm.∵a 2＋b 2＝c 2＝16，(a ＋b)2＝a 2＋b 2＋2ab ，∴2ab ＝(1＋23)2－16＝43－3，∴Rt △ABC 的面积＝ab 2＝43－34(cm 2)． 10.∵x ＝2＋12， ∴2x －1＝2，∴4x 2－4x ＋1＝2，∴4x 2－4x ＝1.原式＝4x 4－4x 3＋8x 3－8x 2－x 2－2x ＋1＝x 2(4x 2－4x)＋2x(4x 2－4x)－x 2－2x ＋1＝x 2＋2x －x 2－2x ＋1＝1.11.(1)AC ＋CE ＝（8－x ）2＋25＋x 2＋81.(2)当A ，C ，E 三点共线时，AC ＋CE 的值最小．(3)如解图所示，作BD ＝12，过点B 作AB ⊥BD ，过点D 作ED ⊥BD(点A 与点E 在BD 的异侧)，使AB ＝2，ED ＝3，连结AE 交BD 于点C ，设BC ＝x ，则AE 的长即为x 2＋4＋（12－x ）2＋9的最小值．过点E 作EF ⊥AB ，交AB 的延长线于点F ，构成Rt △AEF ，易得AF ＝2＋3＝5，EF ＝12，∴AE ＝13，即x 2＋4＋（12－x ）2＋9的最小值为13.12.(1)点M 5(－4，－4)．(2)△M 5OM 6的周长＝42＋42＋8＝82＋8.(3)设k 为自然数，当n ＝4k 时，M n 的绝对坐标为(2n2，0)；当n ＝4k ＋2时，M n 的绝对坐标为(0，2n2)；当n ＝4k ＋1或4k ＋3时，M n 的绝对坐标为(2n －12，2n －12)．⊥PQ 于点D ，设PQ 与AB 交于点C.由题意知，∠CBQ ＝45°，∠ACP ＝∠BCQ ＝45°，∴∠CQB ＝90°，即BQ ⊥CQ.∵A ，B 两地到公路的距离相等，∴AD ＝BQ.∴△ACD ≌△BCQ.∴AC ＝BC ＝14 2.∵∠APC ＝45°，∴AD ＝PD ＝CD ＝CQ ＝BQ ＝14.∴PQ ＝42.∴该车的速度为42÷2060＝126(km/h)>110 km/h ，∴该车超速行驶．。

浙教版数学八年级下册1.3《二次根式的运算》说课稿1一. 教材分析《二次根式的运算》是浙教版数学八年级下册第1章第3节的内容。

本节课的主要内容有：二次根式的加减运算、乘除运算和乘方运算。

这部分内容是整个初中数学中比较重要的一个部分，也是学生学习数学过程中难以理解的部分。

二次根式的运算不仅涉及到数学知识的运用，还涉及到数学思维的转化，对于学生来说是一个较大的挑战。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了实数、有理数和无理数的相关知识，对数学的基本概念和运算规则有一定的了解。

但是，对于二次根式的概念和运算规则，学生可能还比较陌生，需要通过本节课的学习来掌握。

另外，学生可能对于数学思维的转化还不是很熟练，需要通过老师的引导和练习来提高。

三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次根式的加减运算、乘除运算和乘方运算的规则和方法。

2.过程与方法：培养学生对于数学思维的转化和运用，提高学生的数学运算能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和团队合作精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：二次根式的加减运算、乘除运算和乘方运算的规则和方法。

2.教学难点：二次根式的乘除运算和乘方运算，以及数学思维的转化。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等，引导学生自主学习，培养学生的数学思维能力。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等，进行直观的教学展示，帮助学生理解和掌握二次根式的运算规则。

六. 说教学过程1.导入：通过复习实数、有理数和无理数的相关知识，引导学生进入二次根式的学习。

2.讲解：讲解二次根式的加减运算、乘除运算和乘方运算的规则和方法，通过具体的例子来进行讲解，让学生理解和掌握。

3.练习：进行一些相关的练习题，让学生巩固所学的知识，并及时发现和解决问题。

4.总结：对本节课的内容进行总结，让学生明确学习的重点和难点。

5.作业：布置一些相关的作业，让学生进行巩固和提高。