高二数学人教A版选修4-5课件：1.1.2基本不等式1

练一练
从而302a＋－aa2＝30t－2－t t－22＝34t－tt2－64＝34－t＋6t4，
∴y＝akb≥34－2 k
64＝1k8.当且仅当 t·t
t＝6t4，即
ห้องสมุดไป่ตู้
a＋2＝a6＋42时，取“＝”，∴a＝6.
由 a＝6，可得 b＝3.综上所述：当 a＝6 m，b＝3 m 时，经沉淀后流出的水中杂质
高二选修4-5
1.1.2 基本不等式
问题导入
已知 lg x＋lg y＝2，则1x＋1y的最小值为______．
【解析】 ∵lg x＋lg y＝2，∴x＞0，y＞0，lg(xy)＝2，∴xy＝102，
∴1x＋1y≥2 x1y＝15，当且仅当 x＝y＝10 时，等号成立．
【答案】
1 5
本节目标
1．了解两个正数的算术平均数与几何平均数． 2．理解定理1和定理2(基本不等式)． 3．掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题．
随堂检测
3．已知5x＋3y＝1(x>0，y>0)，则 xy 的最小值是( )
A．15
B．6
C．60
D.1
【解析】 ∵5x＋3y≥2 1xy5(当且仅当 x＝10，y＝6 时，取等号)，
∴a2＋b2≥a＋2b2成立；而选项 B 中，ba＋ab≥2 不成立，
因为若 ab＜0，则不满足不等式成立的条件．
【答案】 B
随堂检测
2．下列各式中，最小值等于 2 的是( )
A.xy＋yx C．tan θ＋tan1 θ
x2＋5 B. x2＋4 D.2x＋2－x
【解析】 ∵2x＞0,2－x＞0，∴2x＋2－x≥2 2x·2－x＝2， 当且仅当 2x＝2－x，即 x＝0 时，等号成立．故选 D. 【答案】 D
预习反馈
1．下列不等式中，正确的个数是( )
a＋b ①若 a，b∈R，则 2 ≥ ab；
②若 x∈R，则 x2＋2＋x2＋1 2≥2；
③若 x∈R，则 x2＋1＋x2＋1 1≥2；④若 a，b 为正实数，则
a＋ 2
b ≥
ab.
A．0 B．1 C．2 D.3
预习反馈
【解析】 显然①不正确；③正确；对于②，虽然 x2＋2＝x2＋1 2无解， 但 x2＋2＋x2＋1 2＞2 成立，故②正确；④不正确，如 a＝1，b＝4. 【答案】 C
典例精析
【自主解答】 在①④中，lg x∈R，sin x∈[－1,1]，不能确定 lg x>0 与 sin x>0. 因此①④是假命题； 在②中，ax>0，ax＋a1x≥2 ax·a1x＝2，当且仅当 x＝0 时，取等号，则②是真命题； 在③中，当 x∈0，π2时，tan x>0，有 tan x＋ta1n x≥2，且 x＝4π时取等号，∴③是真命题． 【答案】 C
∴当促销费定在 7 万元时，年利润最大．
归纳小结
设出变量
建――→立
数学模型
定――义→域
利用均值不等式求最值
“＝”成 立―的―――条→件
结论
练一练
3．如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为 2 m 的无盖长方 体沉淀箱，污水从 A 孔流入，经沉淀后从 B 孔流出，设箱体的长度为 a m，高 度为 b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与 a，b 的乘积 ab 成反比，现有 制箱材料 60 m2，问当 a，b 各为多长时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数 最小(A，B 孔的面积忽略不计)?
练一练
【解】 法一 设流出的水中杂质的质量分数为 y，由题意 y＝akb，其中 k 为比例系数(k>0)．
30－a
根据题意，得 2×2b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)，∴b＝
(由 a>0，b>0，可得 a<30)．
2＋a
∴y＝akb＝30ak－a2.令 t＝a＋2，则 a＝t－2. 2＋a
a2＋b2 a＋b
(1)
2 ≥2；
(2) ab≥1a＋2 1b.
【证明】 (1)左边＝ a2＋b2＋4 a2＋b2≥ a2＋b42＋2ab＝
a＋4b2＝a＋2 b＝右边，
原不等式成立．
(2)右边＝1a＋2 1b≤2
2＝ 1 ab
ab＝左边，原不等式成立．
课堂探究
教材整理 1 两个定理及算数平均与几何平均
2．当且仅当 a＝b＝c 时，上述不等式中“等号”成立，若三个式子中有一 个“＝”号取不到，则三式相加所得的式子中“＝”号取不到．
练一练
1．已知 x，y，z 均为正数，求证：yxz＋zyx＋xzy≥1x＋1y＋1z. 【证明】 ∵x，y，z 都是正数，∴yxz＋zyx＝1zxy＋yx≥2z. 同理可得zyx＋xzy≥2x，xzy＋yxz≥2y.将上述三个不等式两边分别相加，并除以 2， 得yxz＋zyx＋xzy≥1x＋1y＋1z.
典例精析
－t2＋98t＋35
由题意，生产 x 万件化妆品正好销完，得年利润 y＝
(t≥0)．
t＋
(2)y＝－t2＋t＋98t＋35＝50－t＋2 1＋t＋321≤50－2
t＋2 1×t＋321＝50－2 16＝42，
当且仅当t＋2 1＝t＋321，即 t＝7 时，等号成立，ymax＝42，
预习反馈
2.若 x≠0，则 f(x)＝2－3x2－1x22 的最大值是________，取得最值时 x 的值是________. 【解析】 f(x)＝2－3x2＋x42≤2－3×4＝－10，当且仅当 x2＝x42，即 x＝± 2时取等号． 【答案】 －10 ± 2
预习反馈
3．已知 a，b 是正数，求证：
教材整理 2 利用基本不等式求最值 已知 x，y 为正数，x＋y＝S，xy＝P，则 (1)如果 P 是 定值，那么当且仅当 x＝y时，S 取得最小值 2 P ；
(2)如果 S 是 定值 ，那么当且仅当 x＝y 时，P 取得最大值
S2 4.
典例精析
题型一、利用基本不等式证明不等式
例 1 已知 a，b，c 都是正数，求证：ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
其和或积为定值；③等号必须成立，即“一正、二定、三相等”．在具体问题中， “定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，决定着成败的关键．
练一练
2．已知 x>0，y>0，且1x＋9y＝1，试求 x＋y 的最小值. 【解】 ∵x>0，y>0，且1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)1x＋9y ＝yx＋9yx＋10≥2 yx·9yx＋10＝16.当且仅当yx＝9yx，即 y＝3x 时等号成立． 又1x＋9y＝1，∴当 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.
典例精析
题型二、利用基本不等式求最值
例 2 设 x，y，z 均是正数，x－2y＋3z＝0，则xyz2的最小值为________． 【精彩点拨】 由条件表示 y，代入到xyz2中，变形为能运用基本不等式求最值
的形式，求出最小值，但要注意等号取到的条件． 【自主解答】 由 x－2y＋3z＝0，得 y＝x＋23z，∴xyz2＝x2＋94zx2z＋6xz＝14xz＋9xz＋6
本课小结
— 定理的理解
基本不等式—— —
证明不等式 求最值
— 实际应用
随堂检测
1．下列结论中不正确的是( )
A．a＞0 时，a＋1a≥2
B.ba＋ab≥2
C．a2＋b2≥2ab
D.a2＋b2≥a＋2 b2
【解析】 选项 A，C 显然正确；选项 D 中，2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－2ab≥0，
归纳小结
1．本题主要涉及基本不等式成立的条件及取等号的条件．在定理 1 和定理 2 中，“a＝b”
a＋b 是等号成立的充要条件．但两个定理有区别又有联系：(1) 2 ≥ ab是 a2＋b2≥2ab 的特例，但
a＋b 二者适用范围不同，前者要求 a，b 均为正数，后者只要求 a，b∈R；(2)a，b 大于 0 是 2 ≥ ab 的充分不必要条件；a，b 为实数是 a2＋b2≥2ab 的充要条件．
(2)表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式．利用基本 不等式求最值．
典例精析
【自主解答】 (1)由题意可设 3－x＝ k (k＞0)，将 t＝0，x＝1 代入，得 k＝2. t＋1
∴x＝3－t＋2 1.当年生产 x 万件时，年生产成本为 32x＋3＝32×3－t＋2 1＋3. 当销售 x 万件时，年销售收入为 150%×32×3－t＋2 1＋3＋12t.
1．两个定理
定理
内容
等号成立的条件
定理 1 a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R) 当且仅当 a＝b时，等号成立
定理 2
a＋b 2≥
ab (a，b＞0)
当且仅当 a＝b时，等号成立
2.算术平均与几何平均
a＋b 如果 a，b 都是正数，我们称 2
为 a，b 的算术平均，
ab 为 a，b 的几何平均．
课堂探究
典例精析 (1)若计划 2016 年生产的化妆品正好能销售完，试将 2016 年的利润 y(万元)表示
为促销费 t(万元)的函数； (2)该企业 2016 年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
【精彩点拨】 (1)两个基本关系式是解答关键，即利润＝销售收入－生产成本－促销费； 生产成本＝固定费用＋生产费用；
典例精析
题型三、基本不等式的实际应用
例 3 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在 2016 年里约热内卢奥运 会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量 x 万件与年促销 费 t 万元之间满足 3－x 与 t＋1 成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只 能是 1 万件．已知 2016 年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为 3 万元，每生产 1 万件化妆品需要投入 32 万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的 150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．