2019年高考数学 命题角度5.2 直线与椭圆位置关系大题狂练 理

线段和椭圆的位置关系专题练习题含答案题目一设直线方程为 `y = 2x + 3`，椭圆的标准方程为 `4(x - 2)^2 + 9(y + 1)^2 = 36`，求直线与椭圆的位置关系。

解答首先，我们可以观察到直线方程的斜率为 2，表示直线的倾斜程度。

而椭圆的标准方程可以转化为 `(x - 2)^2/9 + (y + 1)^2/4 = 1`，由此可知椭圆的中心坐标为 (2, -1)，长轴为 6，短轴为 4。

根据直线与椭圆的位置关系，我们有以下几种情况：1. 直线与椭圆相交：当直线穿过椭圆时，方程组 `y = 2x + 3`和 `(x - 2)^2/9 + (y + 1)^2/4 = 1` 有解。

我们可以将直线方程代入椭圆方程，得到一个二次方程，求解该方程即可得到交点的坐标。

2. 直线与椭圆相切：当直线与椭圆只有一个交点时，方程组 `y = 2x + 3` 和 `(x - 2)^2/9 + (y + 1)^2/4 = 1` 有且仅有一个解。

我们可以将直线方程代入椭圆方程，得到一个二次方程，判断该方程的根的个数即可。

3. 直线与椭圆不相交也不相切：当直线与椭圆没有交点时，方程组 `y = 2x + 3` 和 `(x - 2)^2/9 + (y + 1)^2/4 = 1` 无解。

我们可以将直线方程代入椭圆方程，得到一个二次方程，判断该方程无解即可。

根据以上思路，我们可以进一步分析出直线与椭圆的具体位置关系。

题目二设直线方程为 `4x - 3y + 6 = 0`，椭圆的标准方程为 `9(x + 2)^2+ 4(y + 1)^2 = 36`，求直线与椭圆的位置关系。

解答首先，我们可以观察到直线方程的系数相对较大，表示直线的倾斜程度较小。

而椭圆的标准方程可以转化为 `(x + 2)^2/4 + (y + 1)^2/9 = 1`，由此可知椭圆的中心坐标为 (-2, -1)，短轴为 6，长轴为 4。

根据直线与椭圆的位置关系，我们有以下几种情况：1. 直线与椭圆相交：当直线穿过椭圆时，方程组 `4x - 3y + 6 = 0` 和 `(x + 2)^2/4 + (y + 1)^2/9 = 1` 有解。

直线与椭圆位置关系（一道题折射出直线与椭圆的所有基本问题）直线与圆锥曲线位置关系问题：1.常利用数形结合方法解决；2.转化为研究方程组解的问题。

1. 已知直线:l y x m =+，椭圆C ：2241x y +=，（1）当m 为何值时直线与椭圆有：①一个公共点；②两个公共点；③没有公共点。

（2）求直线y x m =+被椭圆2241x y +=截得的弦最长时，求m 的值。

（3）直线y x m =+与椭圆交于不同的两点A,B,求AOB 面积的最大值。

（4）直线y x m =+与椭圆交于不同的两点A,B ，若OA OB ⊥,求实数m 。

（5）设直线y x m =+与y 轴交于点P ，512PA PB =- ,求实数m 。

（6）若直线2y x =-，求椭圆上点P 到直线l 距离的最值及此时P 的坐标。

（7）过椭圆2241x y +=内一点M 11(,)44引弦AB ，使AB 被M 平分，求AB 方程。

变式：设直线y x m =+与椭圆y x m =+与椭圆交于不同的两点A,B ，求中点的轨迹方程。

（8）若椭圆2241x y +=上有不同的两点，关于直线4y x m =+对称，求实数m 的取值范围。

（1）—（6）一节课，参考答案：（1）①m =m ∈（）；③m∈,-∞⋃+∞） （2）0m = （3）4m =±，max 14S = （4）5m =± （5）97m =± （6）P:(10-max 4d =P:(10min 4d = （7）16450x y +-= 变式：40x y += （8）（-6,6）。

圆锥曲线命题角度2：直线与椭圆位置关系1.已知椭圆的两个焦点为，，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)过的直线与椭圆交于两点(点位于轴上方)，若，且，求直线的斜率的取值范围.2.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率2e <形的周长为8，面积为 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若点()00,P x y 为椭圆C 上一点，直线l 的方程为0034120x x y y +-=，求证：直线l 与椭圆C 有且只有一个交点．3.（0a b >>）的左、右焦点分别为()11,0F -， ()21,0F ，点椭圆C 上. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在斜率为2的直线l ，使得当直线l 与椭圆C 有两个不同交点,M N 时，能在直线一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM NQ = ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.4.，点M 是x 轴上的一点，过点M 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点（点A 在x 轴的上方）（1）求椭圆C 的方程；（2）且直线l 与圆相切于点N ，.5.，左右焦点分别为12,F F A 是椭圆在第一象限上的一个动点，圆C 与1F A 的延长线， 12F F 的延长线以及线段2AF 都相切， ()2,0M 为一个切点.（1）求椭圆方程； （2，过2F 且不垂直于坐标轴的动点直线l 交椭圆于,P Q 两点，若以,NP NQ 为邻边的平行四边形是菱形，求直线l 的方程.6.设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积()20525b b -<<.（1）求点M 的轨迹方程；（2）在点M 的轨迹上有一点P 且点P 在x 轴的上方， 120APB ∠=︒，求b 的范围.7.已知椭圆C ： ，且椭圆C 过点，记椭圆C 的左、右顶点分别为,A B ，点P 是椭圆C 上异于,A B 的点，直线21:l x a =与直线,AP BP 分别交于点,M N .（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作椭圆C 的切线2l ，记2l MN Q ⋂=，且MQ QN λ= ，求λ的值.8.已知椭圆C ： 22221x y a b +=（1a b >>）的左焦点F 与抛物线24y x =-的焦点重合，直线0x y -+=与以原点O 为圆心，以椭圆的离心率e 为半径的圆相切．（Ⅰ）求该椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交椭圆于A ， B 两点，线段AB 的中点为G ， AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴分别交于D ， E 两点．记GFD ∆的面积为1S ， OED ∆的面积为2S ．问：是否存在直线AB ，使得12S S =，若存在，求直线AB 的方程，若不存在，说明理由．9.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>， O 是坐标原点， 12,F F 分别为其左右焦点， 12F F = M 是椭圆上一点， 12F MF ∠的最大值为23π （Ⅰ）求椭圆C 的方程; （Ⅱ）若直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点，且OP OQ ⊥（i ）求证： 2211OP OQ +为定值; （ii ）求OPQ ∆面积的取值范围.10.已知椭圆：，点是椭圆上任意一点，且点满足（，是常数）.当点在椭圆上运动时，点形成的曲线为. （Ⅰ）求曲线的轨迹方程； （Ⅱ）过曲线上点做椭圆的两条切线和，切点分别为，. ①若切点的坐标为，求切线的方程； ②当点运动时，是否存在定圆恒与直线相切？若存在，求圆的方程；若不存在，请说明理由.。

直线与椭圆的位置关系训练题一、题点全面练1．若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( )A ．至多为1B ．2C ．1D ．0解析：选B 由题意知4m 2＋n2＞2，即m 2＋n 2＜2，∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2.2．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆的方程是( ) A.2x 275＋2y225＝1 B.x 275＋y 225＝1 C.x 225＋y 275＝1 D.2x 225＋2y275＝1 解析：选C 由题设知c ＝52，设椭圆方程为x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，y ＝3x －2，消去y ，整理得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝a 2－10a 2－450＝1，解得a 2＝75，所以椭圆方程为x 225＋y 275＝1.3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A ．2 B.455 C.4105D.8105解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝t 2－5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×t 2－5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105.4．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP ―→＋OF 2―→)·PF 2―→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4 B.3 C ．2D ．1解析：选D ∵(OP ―→＋OF 2―→)·PF 2―→＝(OP ―→－OF 1―→)·PF 2―→＝F 1P ―→·PF 2―→＝0，∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°.设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12,2mn ＝(m ＋n )2－m 2－n 2＝4，mn ＝2，∴＝12mn ＝1. 5.过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F .若13＜k ＜12，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：选C 由题意可知，|AF |＝a ＋c ，|BF |＝a 2－c 2a ，于是k ＝a 2－c 2a a ＋c .又13＜k ＜12，所以13＜a 2－c 2a a ＋c ＜12，化简可得13＜1－e 21＋e ＜12，从而可得12＜e ＜23，选C.6．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆C交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为__________．解析：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则c ＝1.因为过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，且|AB |＝3，所以b 2a ＝32，b 2＝a 2－c 2，所以a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝17．过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为__________．解析：过点M (－2,0)的直线m 的方程为y －0＝k 1(x ＋2)，代入椭圆方程化简得(2k 21＋1)x2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 212k 21＋1，所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 212k 21＋1，2k 12k 21＋1，直线OP 的斜率k 2＝－12k 1，所以k 1k 2＝－12. 答案：－128．(2019·广州模拟)已知中心在坐标原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，点F 关于直线y ＝12x 的对称点在椭圆C 上，则椭圆C 的方程为__________．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意可知c ＝1，即a 2－b 2＝1①，设点F (1,0)关于直线y ＝12x 的对称点为(m ，n )，可得n －0m －1＝－2②.又因为点F 与其对称点的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋12，n 2，且中点在直线y ＝12x 上，所以有n 2＝12×m ＋12③，联立②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝45，即对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，代入椭圆方程可得925a 2＋1625b 2＝1④，联立①④，解得a 2＝95，b 2＝45，所以椭圆方程为5x 29＋5y24＝1.答案：5x 29＋5y24＝19．(2019·长春监测)已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1―→＝2F 1B ―→，求直线l 的斜率k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝|EF 1|＋|EF 2|＝4，a 2＝b 2＋c 2，c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ＞0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，x 24＋y23＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k2＋4y 2－6ky －9＝0，Δ＝144k2＋144＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝6k 3＋4k 2，y 1y 2＝－9k23＋4k 2，又AF 1―→＝2F 1B ―→，所以y 1＝－2y 2， 所以y 1y 2＝－2(y 1＋y 2)2，则3＋4k 2＝8， 解得k ＝±52，又k ＞0，所以k ＝52. 10．(2018·成都模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，长半轴与短半轴的比值为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点A (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N .若点B (0,1)在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．解：(1)由题可知c ＝3，a b＝2，a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝2，b ＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)易知当直线l 的斜率为0或直线l 的斜率不存在时，不合题意．当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 2＝1，消去x 可得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0.Δ＝16m 2＋48＞0，y 1＋y 2＝－2m 4＋m 2，y 1y 2＝－34＋m2. ∵点B 在以MN 为直径的圆上， ∴BM ―→·BN ―→＝0.∵BM ―→·BN ―→＝(my 1＋1，y 1－1)·(my 2＋1，y 2－1)＝(m 2＋1)y 1y 2＋(m －1)(y 1＋y 2)＋2＝0， ∴(m 2＋1)·－34＋m 2＋(m －1)·－2m 4＋m 2＋2＝0，整理，得3m 2－2m －5＝0，解得m ＝－1或m ＝53.∴直线l 的方程为x ＋y －1＝0或3x －5y －3＝0.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1(x ≠0，y ≠0)上的动点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M ―→·MP ―→＝0，则|OM ―→|的取值范围是( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．(0,4]解析：选B 如图，延长F 1M 交PF 2的延长线于点G . ∵F 1M ―→·MP ―→＝0，∴F 1M ―→⊥MP ―→. 又MP 为∠F 1PF 2的平分线，∴|PF 1|＝|PG |，且M 为F 1G 的中点． ∵O 为F 1F 2的中点，∴OM 綊12F 2G .∵|F 2G |＝||PF 2|－|PG ||＝||PF 1|－|PF 2||， ∴|OM ―→|＝12|2a －2|PF 2||＝|4－|PF 2||.∵4－22＜|PF 2|＜4或4＜|PF 2|＜4＋22， ∴|OM ―→|∈(0,22)．2．已知椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( )A ．(1,6) B.(1,5) C ．(3,6)D ．(3,5)解析：选D 由于椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞6－a 2，6－a 2＞1，解得3＜a 2＜5.设椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0xa 2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1k 2∈(3,5)． 3.如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为______．解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∠B 1PA 2为钝角可转化为B 2A 2―→，F 2B 1―→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )＜0，即b 2＜ac ，则a 2－c 2＜ac ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫c a2＋c a－1＞0，即e 2＋e －1＞0，解得e ＞5－12或e ＜－5－12，又0＜e ＜1，所以5－12＜e ＜1. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫5－12，14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，A ，B 为椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a5，0，则椭圆的离心率e 的取值范围是__________． 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－a 52＋y 21＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－a 52＋y 22，x 21a 2＋y21b 2＝1，x 22a2＋y 22b 2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 5x 1－x 2＝x 21－x 22＋y 21－y 22，y 21＝b 2－b 2a 2x 21，y 22＝b 2－b 2a2x 22，所以2a 5(x 1－x 2)＝a 2－b 2a 2(x 21－x 22)，所以2a3a 2－b 2＝x 1＋x 2.又－a ≤x 1≤a ，－a ≤x 2≤a ，x 1≠x 2， 所以－2a ＜x 1＋x 2＜2a ，则2a 3a 2－b 2＜2a ，即b 2a 2＜45，所以e 2＝1－b 2a 2＞15. 又0＜e ＜1，所以55＜e ＜1. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫55，1 (二)难点专练——适情自主选5．(2018·唐山模拟)在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴，y 轴上滑动，CP ―→＝ 2 PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，当点M 在曲线E 上时，求四边形AOBM 的面积．解：(1)设C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )．由CP ―→＝ 2 PD ―→，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，所以⎩⎨⎧x －m ＝－2x ，y ＝2n －y ，得⎩⎨⎧m ＝2＋x ，n ＝2＋12y ，由|CD ―→|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2， 所以(2＋1)2x 2＋2＋22y 2＝(2＋1)2， 整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，知点M 坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 由题意知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0， 则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2. y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2.由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋y 1＋y 222＝1，即4k 2k 2＋2＋8k 2＋2＝1，解得k 2＝2.这时|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2]＝322，原点到直线AB 的距离d ＝11＋k2＝33， 所以平行四边形OAMB 的面积S ＝|AB |·d ＝62. 6．(2018·成都一诊)已知椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点为F ，设直线l ：x ＝5与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点．(1)若直线l 1的倾斜角为π4，求|AB |的值；(2)设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l . 解：由题意知，F (1,0)，E (5,0)，M (3,0)． (1)∵直线l 1的倾斜角为π4，∴斜率k ＝1.∴直线l 1的方程为y ＝x －1.代入椭圆方程，可得9x 2－10x －15＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝109，x 1x 2＝－53.∴|AB |＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1092＋4×53＝1659. (2)证明：设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)． 代入椭圆方程，得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k 2.设N (5，y 0)，∵A ，M ，N 三点共线， ∴－y 13－x 1＝y 02，∴y 0＝2y 1x 1－3. 而y 0－y 2＝2y 1x 1－3－y 2＝2k x 1－x 1－3－k (x 2－1)＝3kx 1＋x 2－kx 1x 2－5kx 1－3＝3k ·10k 24＋5k 2－k ·5k 2－204＋5k 2－5k x 1－3＝0.∴直线BN ∥x 轴，即BN ⊥l .。

第4讲 直线与椭圆位置关系一．学习目标：1．会判断直线和椭圆位置关系2．会求椭圆的切线方程和弦长及三角形有关问题3．理解点差法在解决与弦中点和斜率有关问题中所表现出的“设而不求”思想二．重点难点：1.与直线和椭圆的位置关系相关的距离、弦长、中点等问题．(重点)2.与椭圆相关的综合应用问题．(难点)三．知识梳理1设P 是椭圆()222210y x a b a b+=>>上的点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2=θ，则 （1）S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin θ ＝sin θ1＋cos θ·b 2＝b 2tan θ2＝c ·|y 0|从上式来看：当P 为短轴端点时，12max ().PF F S bc =△当P 为短轴端点时，∠F 1PF 2为最大.（2）椭圆上的点A 1距F 1最近，A 2距F 1最远：||.a c PF a c -+≤≤ 2、点与椭圆的位置关系设P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则点P 与椭圆的位置关系如下表所示：3、判断y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的位置关系00(,)x y联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程的解（判别式为Δ）与位置关系的对应关系如下表4、直线和椭圆相交时根与系数的关系及弦长公式：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b 为常数)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)相交，两个交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则线段AB 叫做直线l 截椭圆所得的弦，线段AB 的长度叫做弦长．下面我们推导弦长公式：由两点间的距离公式，得AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，将y 1＝kx 1＋b ，y 2＝kx 2＋b 代入上式，得|AB|＝(x 1－x 2)2＋(kx 1－kx 2)2＝(x 1－x 2)2＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|，而|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，所以|AB|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，其中x 1＋x 2与x 1·x 2均可由根与系数的关系得到． ①弦长问题注：12x x -=而12x x +和12x x 可由韦达定理得到，而不必求出1x 和2x 的精确值，“设而不求”思想． ② 三角形面积1° 过x 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y a b+=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH y y ∆=-2° 弦任意，点任意12S ∆=弦长×点线距 ③弦的中点问题1°中点弦所在直线方程问题；2°平行弦中点轨迹；3°共点弦中点轨迹；4°其他问题．四．典例剖析题型一 直线与椭圆位置关系例1（1）若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，m 的取值范围是（ ）．A ．1≥mB ．101<<≥m m 或C ．51≠≥m m 且D ．150≠<<m m 且[解题过程] 方法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 25＋y 2m ＝1，消去y ，得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0，∴Δ＝100k 2－20(m ＋5k 2)(1－m )＝20m (5k 2＋m －1)．∵直线与椭圆总有公共点，∴Δ≥0对任意k ∈R 都成立．∵m ＞0，∴5k 2≥1－m 恒成立，∴1－m ≤0，即m ≥1，由此51≠≥m m 且.方法二：∵直线y ＝kx ＋1过定点M (0,1)，∴要使直线与该椭圆总有公共点，则点M (0,1)必在椭圆内或椭圆上，由此得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠5，025＋12m≤1，解得51≠≥m m 且.（2）直线y ＝x ＋k 与椭圆x 2＋y 24＝1只有一个公共点，则k ＝________.答案：－5或 5解析：将y ＝x ＋k 代入x 2＋y 24＝1中，消去y ，得5x 2＋2kx ＋k 2－4＝0. 因为直线与椭圆只有一个公共点，所以Δ＝(2k )2－4×5(k 2－4)＝0，解得k ＝－5或 5.（3）设A 1，A 2是椭圆x 24＋y 22＝1的左、右顶点，P 在椭圆上（异于A 1，A 2），直线1PA 和直线2PA 的斜率分别为1k ，2k ．则12=k k _________． 答案：1212=-k k 课堂小结：判断直线与椭圆的位置关系的常用方法为：联立直线与椭圆方程，消去y 或x ，得到关于x 或y 的一元二次方程，记该方程的判别式为Δ，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0.课堂练习1 （1）直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 22＋y 23＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定 答案 A解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交．（2）设A 1，A 2是椭圆x 24＋y 22＝1的左、右顶点，P 在椭圆上（异于A 1，A 2），直线1PA 和直线2PA 的斜率分别为1k ，2k ．若1[2,1]k ∈--，则2k 的取值范围是________________．答案：211[,]42k ∈（3）椭圆221169x y +=上的点到:7l y x =-+的距离的范围是____________．答案：（4）（选作）若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有公共点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多1个B ．2个C ．1个D ．0个 答案：B题型二 直线与椭圆的相交问题例2 （1）已知椭圆x 236＋y29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点．（Ⅰ）当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；（Ⅱ）当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程方程．解 （Ⅰ）由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 236＋y29＝1，消去y 可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18. 于是|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2＋14(x 1－x 2)2＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝52×62＝310.所以线段AB 的长度为310.（Ⅱ）方法一 设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x －4)，x 236＋y 29＝1，消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0.若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 2－16k 1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4,2)，所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12，且满足Δ>0.这时直线的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.方法二 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0，整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－9(x 2＋x 1)36(y 2＋y 1)，由于P (4,2)是AB 的中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，于是k AB ＝－9×836×4＝－12，于是直线AB 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.（2）已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．求实数m 的取值范围．解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1mx ＋b ，消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2bm x ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m2＞0，①设M 为AB 的中点，则M ⎝⎛⎭⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2，代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2.②由①②得m ＜－63或m ＞63.课堂练习2：（1）若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)F ，直线37y x =+与椭圆相交所得弦中点的纵坐标为1，则该椭圆的方程为（ ）A ．2211620x y += B ．2211216x y += C ．221128x y += D ．221812x y += 试题分析：设椭圆的方程为22221y x a b+=，直线37y x =+与椭圆相交所得弦设为()()1122,,,,AB A x y B x y ，联立22221y x a b +=，37y x =+消y 可得()2222222942490a b x b x b a b +++-=，由条件知124x x +=-，所以222222242494b a b c a b c ⎧-=-⎪+⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2212,8a b ==，所以椭圆的方程为221812x y +=，故选D . （2）已知中心在原点的椭圆C 的左焦点F （），右顶点20A （，）. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）斜率为21的直线 l 与椭圆C 交于A B 、两点，求弦长 AB 的最大值及此时l 的直线方程．题型三 综合问题例3 （1）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，过右焦点F 且斜率为()0k k >的直线与C相交于A B 、两点，若3AF FB =，则k 等于（ ）A ．1 BCD ．2【答案】B（2）已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝6，直线y ＝kx 与椭圆交于A ，B两点.（Ⅰ）若△AF 1F 2的周长为16，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若k ＝24，且A ，B ，F 1，F 2四点共圆，求椭圆离心率e 的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，且直线P A 的斜率k 1∈(－2，－1)，试求直线PB 的斜率k 2的取值范围.解 （Ⅰ）由题意得c ＝3，根据2a ＋2c ＝16，得a ＝5.结合a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝25，b 2＝16.所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.（Ⅱ）法一 由⎩⎨⎧x 2a 2＋y2b 2＝1，y ＝24x ，得⎝⎛⎭⎫b 2＋18a 2x 2－a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a 2b 2b 2＋18a 2，由AB ，F 1F 2互相平分且共圆，易知，AF 2⊥BF 2，因为F 2A →＝(x 1－3，y 1)，F 2B→＝(x 2－3，y 2)，所以F 2A →·F 2B →＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫1＋18x 1x 2＋9＝0.即x 1x 2＝－8， 所以有－a 2b 2b 2＋18a 2＝－8，结合b 2＋9＝a 2，解得a 2＝12，∴e ＝32.法二 设A (x 1，y 1)，又AB ，F 1F 2互相平分且共圆，所以AB ，F 1F 2是圆的直径，所以x 21＋y 21＝9，又由椭圆及直线方程综合可得⎩⎨⎧x 21＋y 21＝9，y 1＝24x 1，x 21a 2＋y21b 2＝1.由前两个方程解得x 21＝8，y 21＝1，将其代入第三个方程并结合b 2＝a 2－c 2＝a 2－9，解得a 2＝12，故e ＝32. （Ⅲ）由（Ⅱ）的结论知，椭圆方程为x 212＋y 23＝1，由题可设A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，k 1＝y 0－y 1x 0－x 1，k 2＝y 0＋y 1x 0＋x 1，所以k 1k 2＝y 20－y 21x 20－x 21，又y 20－y 21x 20－x 21＝3⎝⎛⎭⎫1－x 2012－3⎝⎛⎭⎫1－x 2112x 20－x 21＝－14. 即k 2＝－14k 1，由－2＜k 1＜－1可知，18＜k 2＜14. 故直线PB 的斜率k 2的取值范围是⎝⎛⎭⎫18，14.（3）已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0，2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝2PB →. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m 的取值范围．[解] （Ⅰ）由题意知椭圆的焦点在y 轴上，可设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由题意知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2，所以椭圆的方程为y 24＋x 22＝1.（Ⅱ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m .则(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0，Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)>0. 由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk2＋k 2x 1x 2＝m 2－42＋k 2，又由AP →＝2PB →，即(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )，得－x 1＝2x 2，故⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22， 可得m 2－42＋k2＝－2⎝⎛⎭⎫2mk 2＋k 22，整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2， 又9m 2－4＝0时不符合题意，所以k 2＝8－2m 29m 2－4>0，解得49<m 2<4，此时Δ>0，解不等式49<m 2<4，得23<m <2或－2<m <－23，所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－23∪⎝⎛⎭⎫23，2. （4）已知离心率为63的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点为F ，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A 、B两点，|AB |＝233.（Ⅰ）求此椭圆的方程；（Ⅱ）已知直线y ＝kx ＋2与椭圆交于C 、D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点E (－1，0)，求k 的值．[解] （Ⅰ）设焦距为2c ，因为e ＝c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，所以b a ＝33，因为b 2a ＝33，所以b ＝1，a ＝3，所以椭圆方程为x23＋y 2＝1.（Ⅱ）将y ＝kx ＋2代入椭圆方程，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0，又直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)>0，解得k 2>1.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k2，若以CD 为直径的圆过E 点，则EC →·ED →＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4，则(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5＝9（k 2＋1）1＋3k 2－12k （2k ＋1）1＋3k 2＋5＝0，解得k ＝76，满足k 2>1.所以k ＝76.课堂小结：1．直线与椭圆位置关系判断的3步骤（1）联立直线方程与椭圆方程．（2）消元得出关于x (或y )的一元二次方程．（3）当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离． 21．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36 B.13 C.12 D.33答案 D2．椭圆C 的两个焦点分别是F 1，F 2，若C 上的点P 满足|PF 1|＝32|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是( )A ．e ≤12 B ．e ≥14 C.14≤e ≤12 D ．0<e ≤14或12≤e<1[解析] 因为椭圆C 上的点P 满足|PF 1|＝32|F 1F 2|，所以|PF 1|＝32×2c ＝3c .由a －c ≤|PF 1|≤a ＋c ，得14≤e ≤12.3．已知椭圆：y29＋x 2＝1，过点P ⎝⎛⎭⎫12，12的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( )A ．9x －y －4＝0 B ．9x ＋y －5＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋y －5＝0 答案：B4．已知经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q ，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－22，22B.⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞C ．(－2，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选B 由题意得，直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝4k 2－2>0，解得k <－22或k >22，即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞.故选B. 5．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点⎝⎛⎭⎫1，32，离心率为12，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点。

第二课时 直线与椭圆的位置关系考点一 直线与椭圆的位置关系[基础自学过关][题组练透]1．若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)∪(1,5)D ．[1,5)∪(5，＋∞)解析：选D 由于直线y ＝kx ＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则0＜1m≤1且m ≠5， 故m ≥1且m ≠5.2．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ： (1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．解：将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y 22＝1， ② 将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ＞0，即－32＜m ＜32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ＜0，即m ＜－32或m ＞32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．[名师微点]判断直线与椭圆位置关系的方法(1)判断直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点． 考点二 弦长问题 [师生共研过关][典例精析]如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 的斜率为0时，|AB |＝4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程． [解] (1)由题意知e ＝c a ＝12，2a ＝4. 又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB |＋|CD |＝7，不满足条件．②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线CD 的方程为y ＝－1k (x －1)．将直线AB 的方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2， 所以|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2| ＝k 2＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝12(k 2＋1)3＋4k 2. 同理，|CD |＝12⎝⎛⎭⎫1k 2＋13＋4k 2＝12(k 2＋1)3k 2＋4. 所以|AB |＋|CD |＝12(k 2＋1)3＋4k 2＋12(k 2＋1)3k 2＋4＝84(k 2＋1)2(3＋4k 2)(3k 2＋4)＝487，解得k ＝±1， 所以直线AB 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.[解题技法]1．弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．(2)当直线的斜率存在时，斜率为k 的直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：①|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|；②|AB |＝ 1＋1k 2|y 1－y 2|(k ≠0)； ③|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]； ④|AB |＝ ⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]. 2．弦长公式的运用技巧弦长公式的运用需要利用曲线方程和直线方程联立建立一元二次方程，设直线方程也很考究，不同形式的直线方程直接关系到计算量的大小．我们的经验是：若直线经过的定点在纵轴上，一般设为斜截式方程y ＝kx ＋b 便于运算，即“定点落在纵轴上，斜截式帮大忙”；若直线经过的定点在横轴上，一般设为my ＝x －a 可以减小运算量，即“直线定点落横轴，斜率倒数作参数”．[口诀记忆]弦长公式形式多，巧设直线是杰作；定点落在纵轴上，斜截式帮大忙；直线定点落横轴，斜率倒数作参数．[过关训练]1．已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．解析：由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1,0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2(x －1)，x 25＋y 24＝1，消去y ，整理得3x 2－5x ＝0. 解得x ＝0或x ＝53， 取A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎫53，43，则|AB |＝ ⎝⎛⎭⎫0－532＋⎝⎛⎭⎫－2－432＝553. 答案：553 2．经过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点的直线x ＋y －3＝0交椭圆M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且直线OP 的斜率为12. (1)求椭圆M 的方程；(2)C ，D 为椭圆M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 的面积的最大值．解：(1)令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知右焦点为(3，0)．联立⎩⎨⎧ b 2x 2＋a 2y 2－a 2b 2＝0，x ＝3－y ，得(a 2＋b 2)y 2－23b 2y ＋b 2(3－a 2)＝0，①则y 1＋y 2＝23b 2a 2＋b 2，x 1＋x 2＝23－(y 1＋y 2)，即k OP ＝y Px P ＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝y 1＋y 223－(y 1＋y 2)＝b 2a 2＝12⇒a 2＝2b 2.因为a 2－b 2＝3，所以a 2＝6，b 2＝3.所以椭圆M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由(1)知方程①为3y 2－23y －3＝0.由弦长公式得：|AB |＝2·|y 1－y 2|＝ 2 (y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝ 2 43＋4＝463.令CD 的方程为：x ＝y ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧ x 26＋y 23＝1，x ＝y ＋m ，得3y 2＋2my ＋m 2－6＝0， 则y 1＋y 2＝－2m 3，y 1y 2＝m 2－63.由弦长公式得|CD |＝2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2·72－8m 23≤4.所以S 四边形ACBD ＝12|AB |·|CD |≤863(当且仅当m ＝0时取最大值)．故四边形ACBD 的面积的最大值为863.考点三 中点弦问题[师生共研过关][典例精析](1)过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被点P 平分的弦所在直线的方程是() A ．4x ＋3y －13＝0 B ．3x ＋4y －13＝0C ．4x －3y ＋5＝0D ．3x －4y ＋5＝0(2)如图，已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点，设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，则点G 横坐标的取值范围为________．[解析] (1)设所求直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由于A ，B 两点均在椭圆上，故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0. ∵P (3,1)是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2，故k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－34， 直线AB 的方程为y －1＝－34(x －3)， 即3x ＋4y －13＝0，故选B.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.因为直线AB 过椭圆的左焦点F ，所以方程有两个不等实根，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k 2k 2＋1， 所以AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)． 令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k 22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2. 因为k ≠0，所以－12＜x G ＜0， 所以点G 横坐标的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，0. [答案] (1)B (2)⎝⎛⎭⎫－12，0 [解题技法]1．处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：2．解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意“如果点A ，B 关于直线l 对称，则l 垂直于直线AB 且A ，B 的中点在直线l 上”的应用．[过关训练]1．(2018·南宁模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是( )A.12B.22C.32D.55解析：选C 设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程，得⎩⎨⎧ x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.因为k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1，且x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2，所以b 2a 2＝14，e ＝c a ＝ 1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝32，故选C.2．已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称，求实数m 的取值范围．解：由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋b . 由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m2＞0.① 将线段AB 中点⎝⎛⎭⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12解得b ＝－m 2＋22m 2.② 由①②得m ＜－63或m ＞63.故m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－63∪⎝⎛⎭⎫63，＋∞. 考点四 直线与椭圆位置关系的综合问题[师生共研过关] [典例精析]设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433. (1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC ―→·DB ―→＋AD ―→·CB ―→＝8，O 为坐标原点，求△OCD 的面积．[解] (1)因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为433，所以2b 2a ＝433. 因为椭圆的离心率为33，所以c a ＝33， 又a 2＝b 2＋c 2，可解得b ＝2，c ＝1，a ＝ 3. 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. (2)由(1)可知F (－1,0)，则直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 23＋y 22＝1， 消去y 得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2. 又A (－3，0)，B (3，0)，所以AC ―→·DB ―→＋AD ―→·CB ―→＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k 2＝8， 解得k ＝±2.从而x 1＋x 2＝－6×22＋3×2＝－32，x 1x 2＝3×2－62＋3×2＝0. 所以|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ ⎝⎛⎭⎫－322－4×0＝32， |CD |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋2×32＝332. 而原点O 到直线CD 的距离为d ＝|k |1＋k 2＝21＋2＝63， 所以△OCD 的面积为S ＝12|CD |×d ＝12×332×63＝324. [解题技法]1．由直线与椭圆的位置关系解决离心率问题的思路(1)由题中直线、直线与椭圆的条件寻找a ，b ，c 间的关系式(等式或不等式)．(2)借助a 2＝b 2＋c 2转化为c a的方程或不等式即可． 2．直线与椭圆相交时有关弦问题的处理方法(1)合理消元，消元时可以选择消去y ，也可以消去x .(2)利用弦长公式、点到直线的距离公式等将所求量表示出来．(3)构造不等式或利用函数知识求解．[过关训练]设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是C 上一点且直线MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； (2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .解：(1)根据题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，即b 2a －0c －(－c )＝34， 整理得2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12或c a＝－2(舍去)． 故C 的离心率为12. (2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a ＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |.设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.② 将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a ＝1， 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.。

直线与椭圆的位置关系题型一： 直线与椭圆位置关系的判断例1：已知：直线:l y x m =-与椭圆2242x y +=，判断它们的位置关系。

练习：已知直线2y x m =+与椭圆22194x y +=相交，求m 的取值范围。

方法小结：题型二：弦长问题例2：求直线11:22l y x =-被椭圆2214x y +=所截得的弦长变题：已知直线y x m =+被椭圆2241x y +=m 的值。

方法小结：题型三：中点弦问题 例3：已知椭圆221164x y +=过点(2,1)P 引一弦AB ，使弦被这点平分，求此弦所在直线的方程。

练习：中点在原点，一个焦点为F 的椭圆被直线32y x =-所截得的弦的中点的横坐标是12，求椭圆方程。

方法小结：题型四：求范围（最值）问题例4 ： 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为（3，0），右顶点为（2，0）.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线2:+=kx y l 与椭圆C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>•OB OA (其中O 为原点)，求k 的取值范围.练习： 已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．方法小结：题型五：定点定值问题例5 ： 如图，ADB 为半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆圆心，且OD ⊥AB ，Q 为线段OD 的中点，已知|AB|=4，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变. （I ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；（II ）过点B 的直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，与OD 所在直线交于E 点， 1212,,:EM MB EN NB λλλλ==+求证为定值.练习： 已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，该椭圆经过点⎪⎭⎫⎝⎛23,1P ，且离心率为21． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线m kx y l +=:与椭圆C 相交B A ,两点（B A ,不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．方法小结：。

命题角度 5.2 ：直线与椭圆地点关系1. 已知椭圆C：x2y2 1 （a b 1）的左焦点 F 与抛物线 y 24x 的焦点重合，直a2b220 与以原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切．线x y2（Ⅰ）求该椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设点 P 坐标为1,0 ，若PA PB ，求直线AB的方程．8【答案】（Ⅰ）x2y2 1 ；（Ⅱ）直线 AB 的方程为x1或y3x 1 . 432（Ⅱ）若直线AB 斜率不存在，即AB ：x1，知足 PA PB .若直线 AB 的斜率存在，设其方程为y k x 1 ，将其代入 x2y2 1 ，整理得 4k23x28k 2 x 4k 2 120 ，0 ，4 3设 A x1 , y1， B x2 , y2，则 x18k26kx22，y1 y2 k x1 1 k x2 14k 2，4k33 4k 23k，依据题意 PG AB ，∴AB中点G23,24k4k33k 3 ∴4k 2 3 k1 ，解得 k21 ，4k24k 2 38综上，直线 AB 的方程为 x1 或 y3x 1 ．22. 已知椭圆 C ：x 2y 21(ab 0) 的左、右焦点分别为 F 1, F 2 ，点 P1,2 3在椭圆a 2b 23C 上， PF 2 4 3F 1 的直线 l 与椭圆 C 分别交于 M , N 两点 .，过点3（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）若 OMN 的面积为12，求直线 l 的方程 .11【答案】（ 1）x 2y 21 . （ 2） y 3 x 1 或 y 3 x 1 .32【分析】试题剖析：(1) 由题意可求得 a3 ， b2 ， c 1 ，则所求椭圆方程为x 2 y 2 31 .2(2) 很显然直线的斜率存在，设出直线方程的点斜式，联立直线与椭圆的方程，联合根与系数的 关 系 可 得 得 到 关 于 斜 率 的 方 程 ， 解 方 程 可 得 直 线 l 的 方 程 是 y3 x 1 或y 3 x 1 .试题分析：14 1a23b2（ 1）由题意得： {1 c24 4 3，解得 a3， b2 ， c 1，3 3a 2b 2c 2故所求椭圆方程为x 2 y 231 .2（ 2）当直线 MN 与 x 轴垂直时，4 3 2 3MN，此时S MON，不切合题意，舍去；33当直线 MN 与 x 轴不垂直时，设直线MN 的方程为 y k x 1 ，x 2 y 21消去 y 得：3k 2 x 2 6k 2 x 3k 2由{ 3 2 2 6 0 ，y k x 1x 1 x 26k 22 3k2设 M x 1 , y 1 , N x 2 , y 2 ，则 {，3k 26x 1 x 22 3k 2∴MNx 1 x 2 2y 12x 1 x 2 2k x 1 1 k x 22y 211 k2x 1 x 2 21 k2x 1 x 2 24x 1 x 2222221 k236k12k2448 k14 3 k122 3k 223k 22 3k 222 3k 2原点 O 到直线 MN 的距离 dk .1 k2SMON1 1 4 3 k2 1k∴三角形的面积 MN d 22 3k 21 k2 ，2由SMON12 ，得 k 2 3，故 k3 ，11∴直线 MN 的方程为 y3 x 1 或 y3 x 1 .点睛： (1) 解答直线与椭圆的题目时，经常把两个曲线的方程联立，消去x ( 或 y ) 成立一元二次方程，而后借助根与系数的关系，并联合题设条件成立相关参变量的等量关系．(2) 波及到直线方程的想法时，务必考虑全面，不要忽视直线斜率为0 或不存在等特别情况．3. 已知椭圆 C： x 2y 21(ab0) 的长轴长为22，且椭圆C 与圆M ：a 2 b2x 2y212 .1的公共弦长为2（ 1）求椭圆 C 的方程 .（ 2）经过原点作直线 l （不与坐标轴重合） 交椭圆于 A ， B 两点， AD x 轴于点 D ，点 E在椭圆 C 上，且ABEB DB AD0 ，求证：B ， D ， E 三点共线 ..【答案】（ 1）x 2 y 2 1; （2）看法析 .2【分析】 试题剖析：（ ）依据题意列出对于 a 、 b 、 c 的方程组， 联合性质 a 2 b 2 c 21， ，求出 a 、b 、 c ，即可得结果；（ 2）设 A x 1 , y 1 ， E x 2 , y 2，则 Bx 1, y 1 ， D x 1 ,0 .由于点 A ， E都在椭圆C 上，所以x 122 y 12 2,x 222 y 22，利用“点差法”证明2,kBEy 1 y 2y 1 y 1 y 2 y 1 y 2 0 ，即可得结论 .kBDx 22x 1x 1 x 2x 1 x 2x 1（ 2）证明：设A x 1, y 1 ， E x 2 , y 2 ，则 Bx 1 , y 1 ， D x 1 ,0 . 由于点 A ，E 都在椭圆 C 上，所以x 12 2 y 12 2, x 222 y 222,所以x 1x 2 x 1 x 22 y 1y 2y 1 y 20 ，y 1 y 2 x 1 x 2.即x 1 x 22 y 1y 2又 AB EBDBADAE AB 0，所以 k AB kAE1 ， 即y1y 1 y 2 1，x 1x 1 x 2所以y1x1x21 x12 y1y2所以y1 2 y1y2x1x1 x2又k BE kBDy1y2y1y1y2y1y20，x1x22x1x1x2x1x2所以k BE k BD，所以 B， D， E 三点共线.4. 如下图，椭圆x2y21 a b0 的左右焦点分别为F1 , F2，点 A 为椭圆在第一象限a2b2上的点，且 AF2x 轴，AF23（ 1）若，求椭圆的离心率；AF15（ 2）若线段BF1与x轴垂直，且满足BF1AF1，证明：直线AB 与椭圆只有一个交点.【答案】（ 1）e 1；（ 2）看法析 . 2试题分析：AF 23 AF 22a ，则 AF 15 a, AF 2 3理得（ 1）由于，又 AF 14 a ，所以由勾股定AF 154F 1F 2 a ，即 a2c ，所以离心率 e12（ 2 ） 把 xc 代 入 椭 圆x 2y 2 1 得 yb 2 ，即 AF 2 b 2 , 所 以 A c, b 2， 又a 2b 2aaa AF 1AF 22a 所 以 AF 12ab 22a 2 b 2a 2 c 2a 2 c 2aa，即 BF 1a， 故aa 2 c 2a 2c 2 b 2cB c,，则直线 AB 的斜率 K ABa a ，则直线 AB 方 程 为a2cay b 2c x c ，整理得 y cx aa a ax 2 y 2 1a 2b 2联立 {消去 y 得： a 2 x2ca 2 x a 2c 2 0 ，易得△ 4c 2 a 4 4c 2a 4cyx aa故直线 AB 与椭圆只有一个交点5. 已知椭圆 E :x 2y 21(a b 0) 过点 P 1,2，且 E 的离心率为2 . a 2b 222（ 1）求 E 的方程；（ 2）过 E 的极点 A 0,b作两条相互垂直的直线与椭圆分别订交于B,C 两点. 若 BAC 的角均分线方程为 y 3x 1 ，求 ABC 的面积及直线 BC 的方程 .【答案】（ 1）x2y2 1;（2） 3x 6 y 2 0 . 2【分析】试题剖析：（ 1）依据椭圆离心率和椭圆上一点P 的坐标，列方程组，解方程组可求得椭圆的标准方程. （ 2）设出过A点的直线方程，联立直线的方程和椭圆的方程，求得 B 点的横坐标，由此获得AB ，利用角均分线上的点到两边的距离相等成立方程，可求得斜率，由此求得三角形面积和直线方程.（ 2）设过A斜率为k k0的直线为 y kx1，代入椭圆方程 x2 2 y2 2 0 得2k 2 1x24kx0 ，①则 x B4k，2k 21∴ AB 1 k 2 x B0 4 k11 k 2，②2k 211 k1在直线 y3x1上取一点，则Q 到直线 y kx 1的距离为3，Q ,0k 2 311 1k点Q 到直线3，y x1k的距离为k 2 11 k11k1由已知条件33，解得 k 2 或k2k 2.112代入②得AB 8525 9， AC3，∴ ABC 的面积S1AB AC18 5 2 540 .229327由①得 B8 ,7， C 4,1.9933∴ BC 的方程为y11x 4，即 3x 6 y 2 0 .323点睛：此题主要考察椭圆标准方程的求法，考察直线与圆锥曲线地点关系. 考察化归与转变的数学思想方法和角均分线的几何性质. 第一问求椭圆的标准方程，需要两个条件，一个是椭圆的离心率，另一个是椭圆上一点的坐标，依据这两个条件列方程组即可求得椭圆方程. 第二问需要用到角均分线上的点到两边距离相等这一性质来成立方程.6. 已知椭圆W：x2y21(b0)的一个焦点坐标为3,0. 4b2（Ⅰ）求椭圆 W 的方程和离心率；（Ⅱ）若椭圆 W 与y轴交于A，B两点（A点在B点的上方），M是椭圆上异于A， B的随意一点，过点 M 作 MN y 轴于N， E 为线段MN的中点，直线 AE 与直线 y 1 交于点C， G为线段 BC的中点，O 为坐标原点．求OEG 的大小．【答案】（ 1）3（ 2）看法析2【分析】试题剖析：（ 1）由焦点坐标为3,0，可知 c 3 ，可得x2y21.离心率4e c3。