人教版八年级数学上册月考压轴题精选汇总

2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编全等三角形考试时间：120分钟试卷满分：100分姓名：__________ 班级：__________考号：__________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是△ABC的角平分线，点E在AC上，过点E作EF⊥BC于点F，延长CB至点G，使BG＝2FC，连接EG交AB于点H，EP平分∠GEC，交AD的延长线于点P，连接PH，PB，PG，若∠C＝∠EGC+∠BAC，则下列结论：①∠APE＝∠AHE；②PE＝HE；③AB＝GE；④S△P AB＝S△PGE．其中正确的有（）A．①②③B．①②③④C．①②D．①③④2．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，∠CAD＝2∠BAE，连接DE，下列结论中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正确的有（）A．①②③B．③④C．①④D．①③④3．（2分）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB．其中正确的是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2分）如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（）A．∠ADC＝∠AEB B．CD∥AB C．DE＝GE D．CD＝BE5．（2分）如图，已知AB∥CD，AB+CD＝BC，点G为AD的中点，GM⊥CD于点M，GN⊥BC于点N，连接AG、BG．张宇同学根据已知条件给出了以下几个结论：①∠BGC＝90°；②GM＝GN；③BG平分∠ABC；④CG平分∠BCD．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM 的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（）A．24B．22C．20D．187．（2分）习题课上，张老师和同学们一起探究一个问题：“如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，OB＝OC，添加下列哪个条件能判定△ABC是等腰三角形？”请你判断正确的条件应为（）A．AE＝BE B．BE＝CD C．∠BEO＝∠CDO D．∠BEO＝∠BOE8．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是OABC外一点，连接AD、BD、CD，且BD交AC于点O，在BD上取一点E，使得AE＝AD，∠EAD＝∠BAC，若∠ABC＝62°，则∠BDC的度数为（）A．56°B．60°C．62°D．64°9．（2分）在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个10．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，∠CAB的角平分线AP和∠MCB的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA＝45°；②AF﹣CG＝CA；③DE＝DC；④CF＝2CD+EG；其中正确的有（）A．②③B．②④C．①②③④D．①③④评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）已知：如图，△ABC中，E在BC上，D在BA上，过E作EF⊥AB于F，∠B＝∠1+∠2，AE＝CD，BF＝，则AD的长为．12．（2分）如图，在△ABC中，AB＝BC，BE、CF分别是AC、AB边上的高，在BE上取点D，使BD＝CA，在射线CF上取点G，使CG＝BA，连接AD、AG，若∠DAE＝38°，∠EBC＝20°，则∠GAB＝°．13．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上的一点，∠BAD＝28°，在AD的右侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE，DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠DOC的度数为．14．（2分）如图，已知四边形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，CD＝12cm，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度沿B﹣C﹣B运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等．15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF＝45°，连接EF，当AC＝6，BC＝8，AB＝10时，则△CEF的周长为．16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，E是AB上一点，且AE＝AD，连接DE，过E作EF⊥BD，垂足为F，延长EF交BC于点G．现给出以下结论：①EF＝FG；②CD＝DE；③∠BEG ＝∠BDC；④∠DEF＝45°．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）17．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，请你添加一个条件，使△BEC≌△CDA（填一个即可）．18．（2分）如图，E是△ABC的边AC的中点，过点C作CF∥AB，过点E作直线DF交AB于D，交CF 于F，若AB＝9，CF＝6.5，则BD的长为．19．（2分）如图，在正方形方格中，各正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．图中△ABC是格点三角形，请你找出方格中所有与△ABC全等，且以A为顶点的格点三角形．这样的三角形共有个（△ABC除外）．20．（2分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝15cm，AB＝17cm，∠CAB与∠CBA的角平分线相交于点O，过点O作OD⊥AB，垂足为点D，则线段OD的长为cm．评卷人得分三．解答题（共8小题，满分60分）21．（8分）综合与探究如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，CE的延长线交BD于点F．（1）求证：△ACE≌△ABD．（2）若∠BAC＝∠DAE＝50°，请直接写出∠BFC的度数．（3）过点A作AH⊥BD于点H，求证：EF+DH＝HF．22．（8分）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，设BE与CD相交于点F．（1）如图①，设∠A＝60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，证明：DF＝EF．（2）如图②，设BE⊥AC，CD⊥AB，点G在CD的延长线上，连接AG、AF；若∠G＝∠6，BD＝CD，证明：GD＝DF．23．（6分）如图①：△ABC中，AC＝BC，延长AC到E，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，延长CB到G，过点G作GH⊥AB交AB的延长线于H，且EF＝GH．（1）求证：△AEF≌△BGH；（2）如图②，连接EG与FH相交于点D，若AB＝4，求DH的长．24．（8分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC ＝DE，BC＝BE．（1）求证：AB＝BD；（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．25．（9分）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．（1）如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是；（2）如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展与应用：如图3，当α＝120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，且AB＝AF，分别连接FB，FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由．26．（6分）如图，线段AB上两点C，D，AC＝BD，∠A＝∠B，AE＝BF，连结DE并延长至点M，连结CF并延长至点N，DE、CF交于点P，MN∥AB．求证：△PMN是等腰三角形．27．（6分）如图，△AOB≌△COD，OD与AB交于点G，OB与CD交于点E．（1）∠AOD与∠COB的数量关系是：∠AOD∠COB；（2）求证：△AOG≌△COE；（3）若OA＝OB，当A，O，C三点共线时，恰好OB⊥CD，则此时∠AOB＝°．28．（9分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，且BD＝AD．（1）求证：CD⊥AB；（2）∠CAD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．①求证：DE平分∠BDC；②若点M在DE上，且DC＝DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；③若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数．。

人教版八年级上数学第一次月考题压轴题题目一：选择题1. 下列哪个数是无理数？A. 3.14B. 0.5C. √2D. 1/22. 若a:b = 3:4，且b:c = 5:6，则a:c = ？A. 3:5B. 4:5C. 3:6D. 4:63. 若x = -2，求2x^2 - 3x + 1的值为：A. 9B. 11C. 13D. 154. 若正方形的边长为x cm，则它的周长为：A. 2x cmB. 4x cmC. x^2 cmD. x/2 cm5. 若a:b = 2:3，且b:c = 4:5，则a:b:c = ？A. 8:12:15B. 4:6:8C. 2:3:4D. 6:9:12题目二：填空题1. 两个互为倒数的数的乘积为______。

2. 若a:b = 3:4，且b:c = 5:6，则a:c = ______。

3. 若x = -3，求2x^2 - 5x + 3的值为______。

4. 若正方形的边长为x cm，则它的面积为______。

5. 若a:b = 2:3，且b:c = 4:5，则a:b:c = ______。

题目三：解答题1. 一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶了4小时后，汽车行驶的距离是多少公里？2. 一个长方形的长是5 cm，宽是3 cm，求它的周长和面积。

3. 解方程2x + 5 = 13，求x的值。

4. 一个正方形的面积是36 cm^2，求它的边长。

5. 解方程3x - 2 = 7，求x的值。

题目四：应用题小明和小红一起去超市买东西，小明买了3个苹果和2个橙子，共花费12元；小红买了2个苹果和3个橙子，共花费10元。

苹果的单价是x元，橙子的单价是y元。

请你列方程组，并求出x和y的值。

解答：题目一：选择题1. C2. A3. A4. B5. D题目二：填空题1. 12. 8:103. 294. x^25. 8:12:15题目三：解答题1. 汽车行驶的距离 = 60 km/h × 4 h = 240 km2. 周长 = 2 × (5 cm + 3 cm) = 16 cm，面积 = 5 cm × 3 cm = 15 cm^23. 2x + 5 = 13，解得x = 44. 边长= √(36 cm^2) = 6 cm5. 3x - 2 = 7，解得x = 3题目四：应用题设苹果的单价为x元，橙子的单价为y元。

2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编乘法公式考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题满分20分每小题2分）1．（2分）（2022春•碑林区校级期末）如图正方形ABCD的边长为x其中AI＝5 JC＝3 两个阴影部分都是正方形且面积和为60 则重叠部分FJDI的面积为（）A．28 B．29 C．30 D．31【思路引导】利用正方形和长方形的性质将ID与DJ的关系表示出来再利用阴影部分面积和为60即可求出ID与DJ从而得到长方形FJDI的长和宽即可求解．【完整解答】解：设ID＝y DJ＝z∵两个阴影部分都是正方形∴DN＝ID＝x DM＝DJ＝y∵四边形ABCD为正方形∴AD＝CD∵AD＝AI+ID CD＝CJ+DJ∴AI+ID＝CJ+DJ∵AI＝5 CJ＝3∴5+y＝3+z∴y＝z﹣2∵阴影部分面积和为60∴y2+z2＝60将y＝z﹣2代入y2+z2＝60中得：（z﹣2）2+z2＝60解得：z＝1+或z＝1﹣（舍）∴y＝z﹣2＝﹣1∴ID＝﹣1 DJ＝1+∴S长方形FJDI＝ID•DJ＝（﹣1）×（1+）＝28．故选：A．2．（2分）（2022春•埇桥区校级期中）如图两个正方形的边长分别为a b如果a+b＝5 ab＝6 则阴影部分的面积为（）A．2.5 B．2 C．3.5 D．1【思路引导】用a和b表示出阴影部分面积再通过完全平方式的变换可求出阴影部分面积．【完整解答】解：S阴影＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝（a2+b2）﹣ab＝（a+b）2﹣ab把a+b＝5 ab＝6代入得：原式＝×25﹣×6＝3.5．故选：C．（2022春•碑林区校级期中）如图有两个正方形A B现将B放置在A的内部得到图甲将A B 3．（2分）并列放置以正方形A与正方形B的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和8 则正方形A B的面积之和为（）A．8 B．9 C．10 D．12【思路引导】设出大小正方形得边长a b用a和b表示出阴影部分的面积找出相应关系即可求解．【完整解答】解：设大小正方形边长分别为a bS阴1＝（a﹣b）2＝1 即a2+b2﹣2ab＝1S阴2＝（a+b）2﹣a2﹣b2＝8 得：ab＝4．∴a2+b2﹣2×4＝1∴a2+b2＝9．故选：B．4．（2分）（2022春•包河区期中）已知（2022﹣m）（2020﹣m）＝2021 那么（2022﹣m）2+（2020﹣m）2的值为（）A．4046 B．2023 C．4042 D．4043【思路引导】利用完全平方公式变形即可．【完整解答】解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab．∴（2022﹣m）2+（2020﹣m）2＝[（2022﹣m）﹣（2020﹣m）]2+2×（2022﹣m）（2020﹣m）＝4+2×2021＝4046．故选：A．5．（2分）（2022•重庆模拟）下列四种说法中正确的有（）①关于x y的方程2x+6y＝199存在整数解．②若两个不等实数a b满足2（a4+b4）＝（a2+b2）2则a b互为相反数．③若（a﹣c）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）＝0 则2b＝a+c．④若x2﹣yz＝y2﹣xz＝z2﹣xy则x＝y＝z．A．①④B．②③C．①②④D．②③④【思路引导】①对数的讨论利用小学知识可解决；②利用完全平方公式整理得到两个数的平方相等则两数相等或者互为相反数；③重新整理得到完全平方公式即得结论；④两两组合相等两数差为0 然后因式分解即得结论．【完整解答】①因为x y为整数时 2x+6y＝2（x+3y）是偶数而199是奇数它们不可能相等；故①错误．②由2（a4+b4）＝（a2+b2）2得：2a4+2b4＝a4+2a2b2+b4a4+b4﹣2a2b2＝0（a2﹣b2）2＝0∴a2﹣b2＝0∴a2＝b2∵a≠b∴a＝﹣b即a b互为相反数；故②正确．③若（a﹣c）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）＝0 则2b＝a+c（a﹣c）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）＝0a2﹣2ac+c2﹣4ab+4ac+4b2﹣4bc＝0a2+2ac+c2﹣4b（a+c）+4b2＝0（a+c）2﹣4b（a+c）+4b2＝0（a+c﹣2b）2＝0∴a+c﹣2b＝0∴2b＝a+c；故③正确．④∵x2﹣yz＝y2﹣xz＝z2﹣xy∴x2﹣yz﹣y2+xz＝0y2﹣xz﹣z2+xy＝0∴（x+y+z）（x﹣y）＝0（x+y+z）（y﹣z）＝0．∴x+y+z＝0或x﹣y＝0 y﹣z＝0∴x＝y＝z或x+y+z＝0故④错误．综上所述四种说法中正确的有②③故选：B．6．（2分）（2022•南京模拟）如图点C是线段BG上的一点以BC CG为边向两边作正方形面积分别是S1和S2两正方形的面积和S1+S2＝40 已知BG＝8 则图中阴影部分面积为（）A．6 B．8 C．10 D．12【思路引导】设BC＝a CG＝b建立关于a b的关系最后求面积．【完整解答】解：设BC＝a CG＝b则S1＝a2S2＝b2a+b＝BG＝8．∴a2+b2＝40．∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64∴2ab＝64﹣40＝24∴ab＝12∴阴影部分的面积等于ab＝×12＝6．故选：A．7．（2分）（2021秋•望城区期末）如果4x2+2kx+25是一个完全平方式那么k的值是（）A．20 B．±20 C．10 D．±10【思路引导】利用完全平方公式的特点即“首平方尾平方二倍底数乘积放中央”可知2kx为二倍底数乘积进而可得到答案．【完整解答】解：∵4x2+2kx+25＝（2x±5）2∴2kx＝±2×2x•5＝±20x∴k＝±10故选：D．8．（2分）（2021秋•凉山州期末）2×（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1的计算结果是（）A．332+1 B．332﹣1 C．331D．332【思路引导】把因数2写成3﹣1后利用平方差公式依次计算即可得出结果．【完整解答】解：2×（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（38﹣1）（38+1）（316+1）+1＝（316﹣1）（316+1）+1＝332﹣1+1＝332故选：D．9．（2分）（2021秋•望城区期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差那么这个正整数就称为“智慧数”例如：7＝7×1＝（4+3）×（4﹣3）＝42﹣32 7就是一个智慧数 8＝4×2＝（3+1）×（3﹣1）＝32﹣12 8也是一个智慧数则下列各数不是智慧数的是（）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【思路引导】根据“智慧数”的定义对每个选项进行判断即可得出答案．【完整解答】解：∵2021＝2021×1＝（1011+1010）（1011﹣1010）＝10112﹣10102∴2021是智慧数∴选项A不符合题意；∵2022不能写成两个正整数的平方差∴2022不是智慧数∴选项B符合题意；∵2023＝2023×1＝（1012+1011）（1012﹣1011）＝10122﹣10112∴2023是智慧数∴选项C不符合题意；∵2024＝1012×2＝（507+505）（507﹣505）＝5072﹣5052∴2024是智慧数∴选项D不符合题意；故选：B．10．（2分）（2021秋•井研县期末）如图所示将四张全等的长方形硬纸片围成一个正方形根据图形阴影部分面积的关系可以直观地得到一个关于a b的恒等式为（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab D．a2+ab＝a（a+b）【思路引导】用两种方法正确的表示出阴影部分的面积再根据图形阴影部分面积的关系即可直观地得到一个关于a b的恒等式．【完整解答】解：方法一阴影部分的面积为：（a﹣b）2方法二阴影部分的面积为：（a+b）2﹣4ab所以根据图形阴影部分面积的关系可以直观地得到一个关于a b的恒等式为（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．故选：C．二．填空题（共10小题满分20分每小题2分）11．（2分）（2022春•仪征市期末）计算20222﹣2020×2024的结果是 4 ．【思路引导】运用平方差公式进行简便运算．【完整解答】解：20222﹣2020×2024＝20222﹣（2022﹣2）（2022+2）＝20222﹣（20222﹣22）＝20222﹣20222+22＝4．故答案为：4．12．（2分）（2022春•文登区期末）如图由四张大小相同的矩形纸片拼成一个大正方形和一个小正方形．如果大正方形的面积为75 小正方形的面积为3 则矩形的宽AB为2．【思路引导】根据图形的面积设矩形的长为a宽为b得出（a+b）2＝75 （a﹣b）2＝3 进而得到a+b＝5a﹣b＝求出b即可．【完整解答】解：设矩形的长为a宽为b则有（a+b）2＝75 （a﹣b）2＝3所以a+b＝5a﹣b＝所以b＝2即矩形的AB为2故答案为：2．13．（2分）（2022春•钱塘区期末）如图边长为6的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为a b（a＜6 b ＜6）的长方形若长方形的周长为16 面积为15.75 则图中阴影部分面积S1+S2+S3＝12.5 ．【思路引导】由长方形的周长16 面积为15.75 确定a+b＝8 ab＝15.75 通过观察图形分别用含有a 和b的式子表示出阴影部分的面积S1S2S3然后整理化简S1+S2+S3通过完全平方公式计算出a2+b2从而求出值．【完整解答】解：由题知a+b＝16÷2＝8 ab＝15.75．∴（a+b）2＝64a2+2ab+b2＝64a2+b2＝64﹣2ab＝64﹣2×15.75＝32.5∵S1＝（6﹣b）2S3＝（6﹣a）2S2＝[b﹣（6﹣a）]2＝（a+b﹣6）2∴阴影部分面积S1+S2+S3＝（6﹣b）2+（6﹣a）2+（a+b﹣6）2＝36﹣12b+b2+36﹣12a+a2+（8﹣6）2＝a2+b2﹣12b﹣12a+76＝a2+b2﹣12（b+a）+76＝32.5﹣12×8+76＝12.5．故答案为：12.5．14．（2分）（2022•三水区一模）现有两个正方形A B．如图所示进行两种方式摆放：方式1：将B放在A 的内部得甲图；方式2：将A B并列放置构造新正方形得乙图．若甲图和乙图阴影部分的面积分别为1和12 则正方形A B的面积之和为13 ．【思路引导】设正方形A的边长为a正方形B的边长为b由图形得出关系式求解即可．【完整解答】解：设正方形A的边长为a正方形B的边长为b由图甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝1即a2+b2﹣2ab＝1由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝12得：2ab＝12所以a2+b2＝13故答案为：13．15．（2分）（2022春•海安市校级月考）若（2021﹣A）（2020﹣A）＝2022 则（2021﹣A）2+（A﹣2020）2＝4045 ．【思路引导】根据完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2即可求出答案．【完整解答】解：设x＝2021﹣A y＝2020﹣A∴x﹣y＝2021﹣A﹣2020+A＝1∵（2021﹣A）（2020﹣A）＝2022∴xy＝2022∴原式＝x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝1+2×2022＝4045故答案为：4045．16．（2分）（2022春•杏花岭区校级月考）①（x﹣1）•（x+1）＝x2﹣1②（x﹣1）•（x2+x+1）＝x3﹣1③（x﹣1）•（x3+x2+x+1）＝x4﹣1……A题：猜想（x﹣1）•（x49+x48+…+x+1）＝x50﹣1 ．B题：当（x﹣1）•（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0 代数式x2023﹣1＝﹣2或0 ．【思路引导】（1）由规律可得（x﹣1）•（x n﹣1+…+x5+x4+x3+x2+x+1）＝x n﹣1 再根据数值可得其答案；（2）可由（x﹣1）•（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1＝0 求出x的值再代入x2023﹣1得其值．【完整解答】解：（1）（x﹣1）•（x49+x48+…+x+1）＝x50﹣1故答案为x50﹣1；（2）∵（x﹣1）•（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1＝0 ∴x＝1或﹣1当x＝﹣1时x2023﹣1＝（﹣1）2023﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2；当x＝1时x2023﹣1＝12023﹣1＝1﹣1＝0 ∴x2023﹣1＝﹣2或0故答案为﹣2或0．17．（2分）（2022春•新华区月考）有甲乙丙三种纸片若干张（数据如图a＞b）．（1）若要用这三种纸片紧密拼接成一个边长为（2a+b）大正方形则需要取甲纸片 4 张．（2）取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形使其面积为a2+nab+12b2则n可能的整数值有 3 个．【思路引导】（1）通过拼成的正方形面积求解．（2）通过分解第三项求确定n．【完整解答】解：（1）大正方形的面积为；（2a+b）2＝4a2+4ab+b2．∴需要甲纸片4张乙纸片4张丙1张故答案为：4．（2）∵12b2＝b•12b＝2b•6b＝3b•4b∴n＝1+12＝13或n＝2+6＝8或n＝3+4＝7．故答案为：3．18．（2分）（2021春•龙岗区期中）计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+＝．【思路引导】本题是平方差公式的应用把多项式：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+转化为（5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+＝（532﹣1）+的形式然后再利用平方差公式计算（516•2﹣1）+＝．【完整解答】解：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+＝（5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+＝（532﹣1）+＝．19．（2分）（2021秋•黔江区期末）4x2+Q+1是完全平方式请你写一个满足条件的单项式Q是±4x或4x4或﹣4x2或﹣1 ．【思路引导】设这个单项式为Q如果这里首末两项是2x和1这两个数的平方那么中间一项为加上或减去2x和1积的2倍故Q＝±4x；如果这里首末两项是Q和1 则乘积项是4x2＝2•2x2所以Q＝4x4；如果该式只有4x2项或1 它也是完全平方式所以Q＝﹣1或﹣4x2．【完整解答】解：∵4x2+1±4x＝（2x±1）2；4x2+1+4x4＝（2x2+1）2；4x2+1﹣1＝（±2x）2；4x2+1﹣4x2＝（±1）2．∴加上的单项式可以是±4x 4x4﹣4x2﹣1中任意一个．故答案为±4x或4x4或﹣4x2或﹣1．20．（2分）（2022春•宁阳县期末）请看杨辉三角（1）并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律则（a+b）6的第三项的系数为15 ．【思路引导】通过观察可以看出（a+b）6的展开式为6次7项式a的次数按降幂排列b的次数按升幂排列各项系数分别为1 6 15 20 15 6 1．【完整解答】解：由题意可得：（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6则（a+b）6的第三项的系数为：15．故答案为：15．三．解答题（共8小题满分60分）21．（4分）（2022春•南京期中）计算：（1）（x+3）2﹣（x+3）（x﹣3）（2）（x+2y﹣1）（x+2y+1）【思路引导】（1）直接利用完全平方公式以及平方差公式计算得出答案；（2）直接利用完全平方公式以及平方差公式计算得出答案．【完整解答】解：（1）（x+3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝x2+6x+9﹣（x2﹣9）＝6x+18；（2）（x+2y﹣1）（x+2y+1）＝（x+2y）2﹣1＝x2+4y2+4xy﹣1．22．（6分）（2022春•榆阳区期末）如图某地有一块长为（a+4b）米宽为（a+3b）米的长方形地块规划部门计划将阴影部分进行绿化中间边长为（a+b）米的空白正方形地块将修建一个凉亭．（1）求绿化部分的总面积（用含有a b的代数式表示）；（2）若a＝2 b＝5 求出此时绿化部分的总面积．【思路引导】（1）求出长方形地块的面积和正方形凉亭的面积再相见得出答案；（2）把a＝2 b＝5代入（1）的式子计算即可．【完整解答】解：（1）由题意得：长方形地块的面积＝（a+4b）（a+3b）＝（a2+7ab+12b2）（平方米）正方形凉亭的面积为：（a+b）2＝（a2+2ab+b2）（平方米）则绿化面积S＝（a2+7ab+12b2）﹣（a2+2ab+b2）＝（5ab+11b2）（平方米）；（2）∵a＝2 b＝5∴绿化总面积S＝5ab+11b2＝5×2×5+11×52＝325（平方米）．23．（8分）（2022春•永丰县期末）如图将一个边长为a+b的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形）请认真观察图形解答下列问题：（1）用图1可以验证的乘法公式是（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）如果图1中的a b（a＞b）满足a2+b2＝57 ab＝12 求（a+b）2的值；（3）如图2 点C是线段AB上的一点以AC BC为边向两边作正方形面积分别是S1和S2设AB＝8 两正方形的面积和S1+S2＝28 求图中阴影部分面积．【思路引导】（1）利用面积相等求解；（2）代入完全平方公式求解；（3）代入公式整体求解．【完整解答】解：（1）正方形面积整体计算是：（a+b）2分割计算是：a2+2ab+b2；∴（a+b）2＝a2+2ab+b2．故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（2）（a+b）2＝a2+2ab+b2＝57+2×12＝81；（3）设AC＝m BC＝n则m+n＝8 m2+n2＝28∴2mn＝（m+n）2﹣（m2+n2）＝64﹣28＝36所以阴影部分得面积为：0.5mn＝9．24．（8分）（2022春•邗江区期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3 ab＝1 求a2+b2的值；解：因为a+b＝3 所以（a+b）2＝9 即：a2+2ab+b2＝9 又因为ab＝1 所以a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法解决下列问题：（1）若x+y＝8 x2+y2＝40 求xy的值；（2）填空：①若（4﹣x）x＝5 则（4﹣x）2+x2＝ 6 ；②若（4﹣x）（5﹣x）＝8 则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝17 ．（3）如图在长方形ABCD中AB＝25 BC＝15 点E．F是BC CD上的点且BE＝DF＝x分别以FC CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN若长方形CEPF的面积为200平方单位求图中阴影部分的面积和．【思路引导】（1）利用完全平方公式的变形求解；（2）利用完全平方公式的变形结合引入新参数简化计算；（3）理解题意转化问题再利用完全平方公式的变形求解．【完整解答】解：（1）∵2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝64﹣40＝26∴xy＝13．（2）①令a＝4﹣x b＝x则a+b＝4 ab＝5∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣10＝6.\∴（4﹣x）2+x2＝6故答案为：6．②令a＝4﹣x b＝5﹣x则a﹣b＝﹣1 ab＝8∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝1+16＝17∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝17故答案为：17．（3）由题意得：（25﹣x）（15﹣x）＝200令a＝25﹣x b＝15﹣x则：a﹣b＝10 ab＝200∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝100+400＝500∴（25﹣x）2+（15﹣x）2＝500所以阴影部分的面积和为500平方米．25．（8分）（2022春•渠县期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3 ab＝1 求a2+b2的值．解：因为a+b＝3所以（a+b）2＝9 即：a2+2ab+b2＝9 又因为ab＝1所以a2+b2＝7根据上面的解题思路与方法解决下列问题：（1）若x+y＝8 x2+y2＝40 求xy的值；（2）填空：若（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8 则（4﹣x）2+（x﹣5）2＝17 ．（3）如图点C是线段AB上的一点以AC BC为边向两边作正方形设AB＝6 两正方形的面积和S1+S2＝18 求图中阴影部分面积．【思路引导】（1）根据完全平方公式得出2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）整体代入求值即可；（2）根据完全平方公式将（4﹣x）2+（5﹣x）2转化为[（4﹣x）﹣（5﹣x）]2+2（4﹣x）（5﹣x）再整体代入求值即可；（3）设AC＝m CF＝n可得m+n＝6 m2+n2＝18 求出0.5mn即可．【完整解答】解：（1）2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝64﹣40＝24∴xy＝12（2）由（4﹣x）﹣（5﹣x）＝﹣1∴[（4﹣x）﹣（5﹣x）]2＝（4﹣x）2﹣2（4﹣x）（5﹣x）+（5﹣x）2＝（﹣1）2；又∵（4﹣x）（5﹣x）＝8∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝1+2（4﹣x）（5﹣x）＝1+2×8＝17；故答案为：17．（3）设AC＝m CF＝n∵AB＝6∴m+n＝6又∵S1+S2＝18∴m2+n2＝18由完全平方公式可得（m+n）2＝m2+2mn+n2∴62＝18+2mn∴mn＝9∴S阴影部分＝0.5×mn＝0.5×9＝4.5答：阴影部分的面积为4.5．26．（8分）（2022春•郴州期末）两个边长分别为m和n的正方形如图放置（图1）其未叠合部分（阴影）面积为S1；若在图1中大正方形的右上角再摆放一个边长为n的小正方形（如图2）两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．（1）用含m n的代数式分别表示S1S2；（2）若m﹣n＝10 mn＝20 求S1+S2的值；（3）若S1+S2＝30 求图3中阴影部分的面积S3．【思路引导】（1）S1可以看作两个正方形的面积差即S1＝m2﹣n2S2是长为2n﹣m高为n的长方形的面积即S2＝（2n﹣m）•n＝2n2﹣mn；（2）将S1+S2＝m2﹣n2+2n2﹣mn变形为（m﹣n）2+mn再代入计算即可；（3）由S1+S2＝30 可得到m2+n2﹣mn＝30 由图3看得出S3＝（m2+n2﹣mn）整体代入计算即可．【完整解答】解：（1）S1可以看作两个正方形的面积差即S1＝m2﹣n2S2是长为2n﹣m高为n的长方形的面积即S2＝（2n﹣m）•n＝2n2﹣mn；（2）∵m﹣n＝10 mn＝20∴S1+S2＝m2﹣n2+2n2﹣mn＝m2+n2﹣mn＝（m﹣n）2+mn＝100+20＝120；（3）∵S1+S2＝m2+n2﹣mn＝30∴S3＝m2+n2﹣m2﹣n（m+n）＝m2﹣mn+n2＝（m2+n2﹣mn）＝×30＝15．27．（8分）（2021秋•蒙阴县期末）图1 是一个长为2m宽为2n的长方形沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的面积为（m﹣n）2；（2）观察图2 三个代数式（m+n）2（m﹣n）2mn之间的等量关系是（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；（3）若x+y＝﹣6 xy＝2.75 求x﹣y；（4）观察图3 你能得到怎样的代数恒等式呢？【思路引导】（1）表示出阴影部分的边长即可得出其面积；（2）大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分的面积也可得出三个代数式（m+n）2（m﹣n）2mn之间的等量关系．（3）根据（2）所得出的关系式可求出（x﹣y）2继而可得出x﹣y的值．（4）利用两种不同的方法表示出大矩形的面积即可得出等式．【完整解答】解：（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2故答案为：（m﹣n）2；（2）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2故答案为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；（3）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝25则x﹣y＝±5；（4）（2m+n）（m+n）＝2m（m+n）+n（m+n）＝2m2+3mn+n2．28．（10分）（2021春•姑苏区期中）学习整式乘法时老师拿出三种型号的卡片如图1：A型卡片是边长为a的正方形B型卡片是边长为b的正方形C型卡片是长和宽分别为a b的长方形．（1）选取1张A型卡片 2张C型卡片 1张B型卡片在纸上按照图2的方式拼成一个为（a+b）的大正方形通过不同方式表示大正方形的面积可得到乘法公式（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）请用这3种卡片拼出一个面积为a2+5ab+6b2的长方形（数量不限）在图3的虚线框中画出示意图并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；（3）选取1张A型卡片 4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF的长度固定不变DG的长度可以变化图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1S2．若S＝S2﹣S1则当a与b满足a＝2b时S为定值且定值为a2．（用含a或b的代数式表示）【思路引导】（1）用两种方法表示图2的面积即可得出公式；（2）由a2+5ab+6b2可得A型卡片1张B型卡片6张C型卡片5张；（3）设DG长为x求出S1S2即可解决问题．【完整解答】解：（1）方法1：大正方形的面积为（a+b）2方法2：图2中四部分的面积和为：a2+2ab+b2因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（2）如图（3）设DG长为x．∵S1＝a[x﹣（a+2b）]＝ax﹣a2﹣2ab S2＝2b（x﹣a）＝2bx﹣2ab ∴S＝S2﹣S1＝（2bx﹣2ab）﹣（ax﹣a2﹣2ab）＝（2b﹣a）x+a2由题意得若S为定值则S将不随x的变化而变化可知当2b﹣a＝0时即a＝2b时S＝a2为定值故答案为：a＝2b a2。

2021-2022学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题01 全等三角形一．选择题1．（2020秋•东城区期末）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（ ）A．20B．30C．50D．100【思路引导】根据角平分线的性质求出OE，最后用三角形的面积公式即可解答．【完整解答】解：过O作OE⊥AB于点E，∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，∴OE＝OD＝5，∴△AOB的面积＝，故选：C．2．（2020秋•定西期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（ ）A．4B．3C．2D．1【思路引导】根据垂线段最短得出当DP⊥BC时，DP的长最小，求出∠ABD＝∠CBD，根据角平分线的性质得出此时DP＝AD，再得出选项即可．【完整解答】解：当DP⊥BC时，DP的长最小，∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，∵∠A＝90°，∠ADB＝∠C，∠A+∠ADB+∠ABD＝180°，∠BDC+∠C+∠CBD＝180°，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠A＝90°，∴当DP⊥BC时，DP＝AD，∵AD＝4，∴DP的最小值是4，故选：A．3．（2020秋•莫旗期末）如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD＝8，则PE的最小值为（ ）A．8B．5C．4D．2【思路引导】过E作EP⊥BC于P，此时PE的值最小，求出AD⊥CD，根据角平分线的性质求出AE＝DE＝PE，求出AE的长即可．【完整解答】解：过E作EP⊥BC于P，此时PE的值最小，∵AB∥CD，AD⊥AB，∴AD⊥CD，∵BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，∴AE＝PE，ED＝PE，∴AE＝ED＝PE，∵AD＝8，∴PE＝4，即PE的最小值是4，故选：C．4．（2020秋•鞍山期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，点E在边AC上，若DE＝DB，则下列结论不正确的是（ ）A．DC＝DF B．DE＝BF C．AC＝AF D．AB＝AC+CE【思路引导】根据全等三角形的判定和性质解答即可．【完整解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，∴DC＝DF，故A正确，在Rt△DCE与Rt△DFB中，，∴Rt△DCE≌Rt△DFB（HL），∴CE＝BF，故B错误，在Rt△ADC与Rt△ADF中，，∴Rt△ADC≌Rt△ADF（HL），∴AC＝AF，故C正确，∴AB＝AF+BF＝AC+CE，故D正确，故选：B．5．（2020秋•新宾县期末）如图，AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝50°，以下四个结论：①△ADC≌△ABE；②CD＝BE；③∠DOB＝50°；④点A在∠DOE的平分线上，其中结论正确的个数是（ ）A．1B．2C．3D．4【思路引导】证明△ADC≌△ABE（SAS），可得出CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，则得出∠DOB＝50°，连接OA，过点A作AM⊥CD于点M，AN⊥BE于点N，证明△ABN≌△ADM（AAS），则可得出点A在∠DOE的平分线上．【完整解答】解：∵∠DAB＝∠CAE＝50°，∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，在△ADC与△ABE中，，∴△ADC≌△ABE（SAS），∴CD＝BE；故①，②正确；如图1，若AB与CD相交于点F，∵△ABE≌△ADC，∴∠ADC＝∠ABE，∵∠AFD＝∠CFB，∴∠DOB＝∠DAB＝50°．故③正确．如图2，连接OA，过点A作AM⊥CD于点M，AN⊥BE于点N，∴∠AMD＝∠ANB＝90°，∵△ABE≌△ADC，∴∠ABN＝∠ADM，在△ABN和△ADM中，，∴△ABN≌△ADM（AAS），∴AN＝AM，∴点A在∠DOE的平分线上．故④正确．故选：D．6．（2020秋•金昌期末）如图，AD是△ABC的角平分线，CE⊥AD，垂足为F．若∠CAB＝30°，∠B＝55°，则∠BDE的度数为（ ）A．35°B．40°C．45°D．50°【思路引导】根据三角形的内角和求出∠ACB＝95°，利用三角形全等，求出DC＝DE，再利用外角求出答案．【完整解答】解：∵∠CAB＝30°，∠B＝55°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣55°＝95°，∵CE⊥AD，∴∠AFC＝∠AFE＝90°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD＝∠EAD＝×30°＝15°，又∵AF＝AF，∴△ACF≌△AEF（ASA）∴AC＝AE，∵AD＝AD，∠CAD＝∠EAD，∴△ACD≌△AED（SAS），∴DC＝DE，∴∠DCE＝∠DEC，∵∠ACE＝90°﹣15°＝75°，∴∠DCE＝∠DEC＝∠ACB﹣∠ACE＝95°﹣75°＝20°，∴∠BDE＝∠DCE+∠DEC＝20°+20°＝40°，故选：B．7．（2020秋•宜兴市期中）如图，在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（ ）A．B．C．D．【思路引导】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．【完整解答】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△AHB中，∵∠ABC＝60°，AB＝4，∴BH＝2，AH＝2，在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，∴AH＝CH＝2，∴AC＝＝＝2，∵点D为BC中点，∴BD＝CD，在△BFD与△CKD中，，∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，得矩形ENCK，∴CK＝EN，∴AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，当直线l⊥AC时，最大值为2，综上所述，AE+BF的最大值为2．故选：B．8．（2020秋•江岸区校级月考）如图，方格中△ABC的三个顶点分别在正方形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角形，图中可以画出与△ABC全等的格点三角形共有（ ）个．（不含△ABC）A．28B．29C．30D．31【思路引导】当点B在下面时，根据平移，对称，可得与△ABC全等的三角形有8个，包括△ABC，当点B在其它3条边上时，有3×8＝24（个）三角形与△ABC全等，由此即可判断．【完整解答】解：当点B在下面时，根据平移，对称，可得与△ABC全等的三角形有8个，包括△ABC，当点B在其它3条边上时，有3×8＝24（个）三角形与△ABC全等，∴一共有：8+24﹣1＝31（个）三角形与△ABC全等，故选：D．二．填空题9．（2020秋•南岗区校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝5，则CH的长为　2　．【思路引导】先由AD⊥BC，CE⊥AB，判断出∠ADB＝∠AEH＝90°，再判断出∠BAD＝∠BCE，进而判断出△HEA≌△BEC，得出AE＝EC＝5，即可得出结论．【完整解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEH＝90°，∵∠AHE＝∠CHD，∴∠BAD＝∠BCE，在△HEA和△BEC中，，∴△HEA≌△BEC（AAS），∴AE＝EC＝5，则CH＝EC﹣EH＝AE﹣EH＝5﹣3＝2．故答案为：2．10．（2020•松北区一模）在△ABC中，点D在AC上，AD＝5，AB+AC＝16，E是BD中点，∠ACB＝∠ABC+2∠BCE，则CD＝　2　．【思路引导】延长CE于F，使CE＝EF，交AB于点G，根据SAS证明△BEF与△DEC全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．【完整解答】解：延长CE于F，使CE＝EF，交AB于点G，∵E是BD的中点，∴BE＝DE，在△BEF与△DEC中，，∴△BEF≌△DEC（SAS），∴∠F＝∠DCE，BF＝DC，∵∠ACB＝∠ABC+2∠BCE，∴∠DCE＝∠ACB﹣∠BCE＝∠ABC+∠BCE，∵∠AGC＝∠ABC+∠BCE，∴∠AGC＝∠DCE，∴∠F＝∠DCE＝∠AGC＝∠BGF，AG＝AC，∴BF＝BG＝CD，设BF＝BG＝CD＝x，∵AD＝5，AB+AC＝16，∴，解得：x＝2，∴CD＝2，故答案为：2．11．（2020•荷塘区模拟）在△ABC中，若其内部的点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则称P为△ABC的费马点．如图所示，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，设P为△ABC的费马点，且满足∠PBA＝45°，PA＝4，则△PAC的面积为　4　．【思路引导】如图，延长BP交AC于D，先说明△ABD是等腰直角三角形，△ADP是30°的直角三角形，可得PD和AD的长，根据费马点的定义可得∠APC＝120°，从而可知△PDC也是30°的直角三角形，可得CD的长，根据三角形的面积公式可得结论．【完整解答】解：如图，延长BP交AC于D，∵∠BAC＝∠PBA＝45°，∴∠ADB＝90°，AD＝BD，∵P为△ABC的费马点，∴∠APB＝∠CPA＝120°，∴∠BAP＝180°﹣120°﹣45°＝15°，∴∠PAC＝45°﹣15°＝30°，∴∠APD＝60°，Rt△PAD中，∵PA＝4，∴PD＝2，AD＝2，∵∠APC＝120°，∴∠CPD＝120°﹣60°＝60°，Rt△PDC中，∠PCD＝30°，∴CD＝2，∴AC＝AD+CD＝2+2＝4，∴△PAC的面积为＝＝4．故答案为：4．12．（2020秋•海珠区校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为点F，DE＝DG，△ADG 和△ADE的面积分别为50和39，则△EDF的面积为　5.5　．【思路引导】在线段AC上取一点M，使DM＝DE，过点D作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN＝DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．【完整解答】解：如图，在线段AC上取一点M，使DM＝DE，过点D作DN⊥AC于点N，∵DE＝DG，∴DM＝DG，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF＝DN，在Rt△DEF和Rt△DMN中，，∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，∴S△MDG ＝S△ADG﹣S△ADM＝50﹣39＝11，∴S△DNM ＝S△EDF＝S△MDG＝×11＝5.5．故答案是：5.5．13．（2020秋•青羊区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AB中点，FD⊥ED于D，BE＝，AF＝，则EF＝　3　．【思路引导】延长DE到H，使DH＝DE，连接FH，先证△BED≌△AHD（SAS），得AH＝BE，∠B＝∠DAH，再求出∠FAH＝90°，然后由勾股定理求出FH＝3，最后由线段垂直平分线上的性质即可得出答案．【完整解答】解：如图，延长DE到H，使DH＝DE，连接FH，∵D是AB中点，∴AD＝BD，在△BED和△AHD中，，∴△BED≌△AHD（SAS），∴AH＝BE＝，∠B＝∠DAH，∵∠C＝90°，∴∠FAH＝∠BAC+∠DAH＝∠BAC+∠B＝180°﹣90°＝90°，由勾股定理得，FH＝＝＝3，∵FD⊥ED，DE＝DH，∴EF＝FH＝3，故答案为：3．14．（2020秋•温岭市期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，给出下列结论：①DE＝DF；②△ADF≌△ADE；③△ABD和△ACD的面积相等．其中正确结论的序号是　①②　．【思路引导】根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．【完整解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，∴DE＝DF，故①正确；在Rt△ADF与Rt△ADE中，，∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），故②正确；∵得不出AB＝AC，∴△ABD和△ACD的面积无法判断相等，故③错误；故答案为：①②．15．（2019秋•南岗区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，AD＝AC，点E在BC边上，CE＝BD，过点E作EF⊥CD交AB于点F，若AF＝2，BC＝8，则DF的长为　4　．【思路引导】设∠BCD＝α，延长AC到点G，使AG＝AB，连接BG，延长EF和CA交于点H，根据已知条件证明△CEH≌△CGB，即可解决问题．【完整解答】解：设∠BCD＝α，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣α，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，∴∠CAB＝180°﹣2∠ACD＝2α，∴∠ABC＝90°﹣2α，∵EF⊥CD，∴∠CKF＝90°，∴∠DFK＝90°﹣（90°﹣α）＝α，∴∠CEF＝90°﹣α，如图，延长AC到点G，使AG＝AB，连接BG，∵AD＝AC，∴CD∥GB，BD＝CG＝CE，∴∠GBC＝∠BCD＝α，∴∠G＝90°﹣α，∴∠G＝∠CEF，延长EF和CA交于点H，∴∠H＝α＝∠GBC，∵∠CAB＝2α，∴∠AFH＝α，∴∠H＝∠AFH，∴AH＝AF＝2，在△CEH和△CGB中，，∴△CEH≌△CGB（ASA），∴CH＝CB＝8，∴DF＝AD﹣AF＝AC﹣AH＝CH﹣2AH＝8﹣4＝4．故答案为：4．16．（2019秋•江汉区期中）如图，AB⊥CD于点E，且AB＝CD＝AC，若点I是△ACE的角平分线的交点，点F是BD的中点．下列结论：①∠AIC＝135°；②BD＝BI；③S△AIC ＝S△BID；④IF⊥AC．其中正确的是　①③④　（填序号）．【思路引导】如图，延长IF到G，使得FG＝FI，连接DG，BG，延长FI交AC于K．利用全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质一一判断即可．【完整解答】解：如图，延长IF到G，使得FG＝FI，连接DG，BG，延长FI交AC于K．∵AB ⊥CD ，∴∠AEC ＝90°，∴∠EAC +∠ECA ＝90°，∴∠IAC +∠ICA ＝∠EAC +∠ECA ＝45°，∴∠AIC ＝180°﹣45°＝135°，故①正确，∵AB ＝AC ，∠IAB ＝∠IAC ，AI ＝AI ，∴△AIB ≌△AIC （SAS ），∴∠AIB ＝∠AIC ＝135°，IA ＝ID ，∴∠BIC ＝360°﹣135°﹣135°＝90°，同法可证：△ICA ≌△ICD （SAS ），∴∠AIC ＝∠CID ＝135°，IA ＝ID ，∴∠AID ＝360°﹣135°﹣135°＝90°，∴∠DIB +∠AIC ＝180°，∵DF ＝FB ，IF ＝FG ，∴四边形IBGD 是平行四边形，∴ID ＝BG ＝AI ，ID ∥BG ，∴∠DIB +∠IBG ＝180°，∴∠AIC ＝∠IBG ，∵IA ＝ID ，IC ＝IB ，∴△AIC ≌△GBI （SAS ），∴∠GIB ＝∠ACI ，S △AIC ＝S △BGI ＝S 平行四边形DGBI ＝S △BDI ，故③正确，∵∠GIB +∠CIK ＝90°，∴∠CIK +∠ICK ＝90°，∴∠IKC ＝90°，即IF ⊥AC ，故④正确，不妨设BI ＝BD ，则△BDI 是等腰直角三角形，显然ID ＝IB ，即AI ＝IC ，显然题目不满足这个条件，故②错误．故答案为①③④．17．（2018秋•襄城县期末）如图，△ABC 的内角∠ABC 和外角∠ACD 的平分线相交于点E ，BE 交AC 于点F，过点E作EG∥BD交AB于点G，交AC于点H，连接AE，有以下结论：①∠BEC＝∠BAC；②△HEF≌△CBF；③BG＝CH+GH；④∠AEB+∠ACE＝90°，其中正确的结论有　①③④　（将所有正确答案的序号填写在横线上）．【思路引导】①根据角平分线的定义得到∠EBC＝∠ABC，∠DCE＝ACD，根据外角的性质即可得到结论；②根据相似三角形的判定定理得到两个三角形相似，不能得出全等；③由BG＝GE，CH＝EH，于是得到BG﹣CH＝GE﹣EH＝GH．即可得到结论；④由于E是两条角平分线的交点，根据角平分线的性质可得出点E到BA、AC、BC和距离相等，从而得出AE为∠BAC外角平分线这个重要结论，再利用三角形内角和性质与外角性质进行角度的推导即可轻松得出结论．【完整解答】解：①BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABC，∵CE平分∠ACD，∴∠DCE＝ACD，∵∠ACD＝∠BAC+∠ABC，∠DCE＝∠CBE+∠BEC，∴∠EBC+∠BEC＝（∠BAC+∠ABC）＝∠EBC+BAC，∴∠BEC＝∠BAC，故①正确；∵②△HEF与△CBF只有两个角是相等的，能得出相似，但不含相等的边，所有不能得出全等的结论，故②错误．③BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵GE∥BC，∴∠CBE＝∠GEB，∴∠ABE＝∠GEB，∴BG＝GE，同理CH＝HE，∴BG﹣CH＝GE﹣EH＝GH，故③正确．④过点E作EN⊥AC于N，ED⊥BC于D，EM⊥BA于M，如图，∵BE平分∠ABC，∴EM＝ED，∵CE平分∠ACD，∴EN＝ED，∴EN＝EM，∴AE平分∠CAM，设∠ACE＝∠DCE＝x，∠ABE＝∠CBE＝y，∠MAE＝∠CAE＝z，如图，则∠BAC＝180°﹣2z，∠ACB＝180﹣2x，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴2y+180°﹣2z+180°﹣2x＝180°，∴x+z＝y+90°，∵z＝y+∠AEB，∴x+y+∠AEB＝y+90°，∴x+∠AEB＝90°，即∠ACE+∠AEB＝90°，故④正确；故答案为：①③④．18．（2019秋•潍坊月考）如图，△ABC中，AB＝4，AC＝7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交AC于F，则FC的长等于　5.5　．【思路引导】可通过作辅助线，即延长FM到N，使MN＝MF，连接BN，延长MF交BA延长线于E，从而利用角之间的关系转化为线段之间的关系，进而最终可得出结论．【完整解答】解：如图，延长FM到N，使MN＝MF，连接BN，延长MF交BA延长线于E，∵M是BC中点，∴BM＝CM，∠BMN＝∠CMF，∴△BMN≌△CMF，∴BN＝CF，∠N＝∠MFC，又∵∠BAD＝∠CAD，MF∥AD，∴∠E＝∠BAD＝∠CAD＝∠CFM＝∠AFE＝∠N，∴AE＝AF，BN＝BE，∴AB+AC＝AB+AF+FC＝AB+AE+FC＝BE+FC＝BN+FC＝2FC，∴FC＝（AB+AC）＝5.5．故答案为5.5．三．解答题19．（2021春•铁岭月考）如图，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，CE平分∠BCD交AB于点E，连接DE．（1）若∠A＝50°，∠B＝70°，求∠BEC的度数；（2）若∠A＝∠1，试说明∠CDE＝∠DCE．【思路引导】（1）求出∠A+∠BCD＝180°，求出∠BCD，求出∠BCE，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据三角形内角和定理和∠A+∠BCD＝180°求出∠CDE＝∠BCE，即可得出答案．【完整解答】解：（1）∵∠A+∠B+∠BCD+∠ADC＝360°，∠B+∠ADC＝180°，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠A＝50°，∴∠BCD＝130°，∵CE平分∠BCD∴∠BCE＝∠BCD＝×130°＝65°，∵∠B＝70°，∴∠BEC＝180°﹣65°﹣70°＝45°，（2）证明：由（1）知∠A+∠BCD＝180°，∴∠A+∠BCE+∠DCE＝180°，∵∠CDE+∠DCE+∠1＝180°，∠1＝∠A，∴∠BCE＝∠CDE，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠BCE，∴∠CDE＝∠DCE．20．（2021•南岗区模拟）已知：点E，F在BC上，AF＝DE，BE＝CF，∠AFE＝∠DEF．（1）如图1，求证：AB＝CD；（2）如图2，连接AC，BD，AE，DF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四组平行线．【思路引导】（1）证△ABF≌△DCE（SAS），即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得∠B＝∠C，得AB∥CD，再证四边形ABDC是平行四边形，得AC∥BD，同理证出AF∥DE，AE∥DF．【完整解答】（1）证明：∵BE＝CF，∴BE﹣EF＝CF﹣EF，即BF＝CE，∵∠AFE＝∠DEF，∴∠AFB＝∠DEC，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（SAS），∴AB＝CD；（2）解：图2中的四组平行线为：AB∥CD，AC∥BD，AF∥DE，AE∥DF，理由如下：由（1）得：△ABF≌△DCE，∴AB＝DC，∠B＝∠C，∴AB∥CD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴AC∥BD，∵∠AFE＝∠DEF，∴AF∥DE，∵AF＝DE，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AE∥DF．21．（2020秋•来宾期末）如图，在五边形ABCDE中，AB＝DE，AC＝AD．（1）请你添加一个与角有关的条件，使得△ABC≌△DEA，并说明理由；（2）在（1）的条件下，若∠CAD ＝65°，∠B ＝110°，求∠BAE 的度数．【思路引导】（1）添加∠BAC ＝∠EDA ，根据SAS 即可判定两个三角形全等；（2）根据全等三角形对应角相等，运用三角形内角和定理，即可得到∠BAE 的度数．【完整解答】解：（1）添加一个角方面的条件为：∠BAC ＝∠EDA ，使得△ABC ≌△DEA ，理由如下：在△ABC 和△DEA 中，，∴△ABC ≌△DEA （SAS ），（2）在（1）的条件下，∵△ABC ≌△DEA ，∴∠ACB ＝∠DAE ，∵∠CAD ＝65°，∠B ＝110°，∴∠ACB +∠BAC ＝180°﹣∠B ＝70°，∴∠DAE +∠BAC ＝∠ACB +∠BAC ＝70°，∴∠BAE ＝∠DAE +∠BAC +∠CAD ＝70°+65°＝135°．22．（2020秋•云南期末）如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 面积是152cm 2，AB ＝20cm ，AC ＝18cm ，求DE 的长．【思路引导】根据S △ABC ＝S △ABD +S △ACD ，再利用角平分线的性质即可解决问题．【完整解答】解：∵AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∴DE ＝DF ，∵S △ABC ＝S △ABD +S △ACD ，∴S △ABC ＝，∵△ABC 面积是152cm 2，AB ＝20cm ，AC ＝18cm ，∴152＝，∴10DE +9DF ＝152，∵DE ＝DF ，∴19DE ＝152，∴DE ＝8．23．（2021春•萧山区月考）如图，在△ABC 中，OE ⊥AB 与点E ，OF ⊥AC 与点F ，且OE ＝OF ．（1）如图①，当O 为BC 中点时，试说明AB ＝AC ；（2）如图②，当点O 在△ABC 内部，且OB ＝OC ，试判断AB 与AC 的关系．【思路引导】（1）证Rt △OBE ≌Rt △OCF （HL ），得∠B ＝∠C ，即可得出AB ＝AC ；（2）由等腰三角形的性质得∠OBC ＝∠OCB ，再证Rt △OBE ≌Rt △OCF （HL ），得∠ABO ＝∠ACO ，则∠ABC ＝∠ACB ，即可得出结论．【完整解答】（1）说明如下：∵O 为BC 中点，∴BO ＝CO ，∵OE ⊥AB ，OF ⊥AC ，∴∠OEB ＝∠OFC ＝90°，在Rt △OBE 和Rt △OCF 中，，∴Rt △OBE ≌Rt △OCF （HL ），∴∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC ；（2）解：AB＝AC，理由如下：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠OEB＝∠OFC＝90°，在Rt△OBE和Rt△OCF中，，∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL），∴∠ABO＝∠ACO，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC．24．（2021春•南山区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝110°时，∠EDC＝　30°　，∠AED＝　70°　．（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．【思路引导】（1）由平角的定义和三角形外角的性质可求∠EDC，∠DEC的度数；（2）当DC＝3时，由“AAS”可证△ABD≌△DCE；（3）分AD＝DE，DE＝AE，AE＝AD三种情况讨论，由三角形内角和和三角形外角的性质可求∠BDA 的度数．【完整解答】解：（1）∵∠ADB+∠ADE+∠EDC＝180°，且∠ADE＝40°，∠BDA＝110°，∴∠EDC＝180°﹣110°﹣40°＝30°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，∴∠AED＝∠EDC+∠C＝30°+40°＝70°，故答案为：30°，70°；（2）当DC＝3时，△ABD≌△DCE，理由如下：∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝40°，∴∠BAD＝∠CDE，且AB＝CD＝3，∠B＝∠C＝40°，∴△ABD≌△DCE（ASA）；（3）若AD＝DE时，∵AD＝DE，∠ADE＝40°，∴∠DEA＝∠DAE＝70°，∵∠DEA＝∠C+∠EDC，∴∠EDC＝30°，∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣30°＝110°，若AE＝DE时，∵AE＝DE，∠ADE＝40°，∴∠ADE＝∠DAE＝40°，∴∠AED＝100°，∵∠DEA＝∠C+∠EDC，∴∠EDC＝60°，∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，若AE＝AD时，∠AED＝∠ADE＝40°，∠DAE＝180°﹣40°﹣40°＝100°，此时D与B重合，不合题意，舍去．综上所述：当∠BDA＝80°或110°时，△ADE的形状可以是等腰三角形．25．（2021春•沂源县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC 上，且BD＝DF．（1）求证：CF＝EB；（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．【思路引导】（1）根据角平分线的性质得到DC＝DE，根据直角三角形全等的判定定理得到Rt△DCF≌Rt△DEB，根据全等三角形的性质定理得到答案；（2）根据全等三角形的性质定理得到AC＝AE，根据（1）的结论得到答案．【完整解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DC＝DE，在Rt△DCF和Rt△DEB中，，∴Rt△DCF≌Rt△DEB，∴CF＝EB；（2）AF+BE＝AE．∵Rt△DCF≌Rt△DEB，∴AC＝AE，∴AF+FC＝AE，即AF+BE＝AE．26．（2020秋•腾冲市期末）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．【思路引导】（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA＝CE，AE＝BD，可得DE＝BD+CE；（2）由条件可知∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，且∠DBA+∠BAD＝180°﹣α，可得∠DBA＝∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论；（3）由条件可知EM＝AH＝GN，可得EM＝GN，结合条件可证明△EMI≌△GNI，可得出结论I是EG 的中点．【完整解答】解：（1）如图1，∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（2）DE＝BD+CE．如图2，证明如下：∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠CAE，在△ADB和△CEA中．．∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE（3）如图3，过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N．∴∠EMI＝GNI＝90°由（1）和（2）的结论可知EM＝AH＝GN∴EM＝GN在△EMI和△GNI中，，∴△EMI≌△GNI（AAS），∴EI＝GI，∴I是EG的中点．27．（2020秋•大武口区期末）如图所示，已知△ABC中，点D为BC边上一点，∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）若AE∥BC，且∠E＝∠CAD，求∠C的度数．【思路引导】（1）由∠1＝∠2＝∠3，可得∠1+∠DAC＝∠DAC+∠2，即∠BAC＝∠DAE，又∠1+∠B＝∠ADE+∠3，则可得∠B＝∠ADE，已知AC＝AE，即可证得：△ABC≌△ADE；（2）由题意可得，∠ADB＝∠ABD＝4x，在△ABD中，可得x+4x+4x＝180°，解答处即可；【完整解答】解：（1）∵∠1＝∠2＝∠3，∴∠1+∠DAC＝∠DAC+∠2，即∠BAC＝∠DAE，又∵∠1+∠B＝∠ADE+∠3，则可得∠B＝∠ADE，在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（AAS）；（2）∵AE∥BC，∴∠E＝∠3，∠DAE＝∠ADB，∠2＝∠C，又∵∠3＝∠2＝∠1，令∠E＝x，则有：∠DAE＝3x+x＝4x＝∠ADB，又∵由（1）得AD＝AB，∠E＝∠C，∴∠ABD＝4x，∴在△ABD中有：x+4x+4x＝180°，∴x＝20°，∴∠E＝∠C＝20°．28．（2020秋•船营区期末）如图，太阳光线AC与A′C′是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗？说说你的理由．【思路引导】已知等边及垂直，在直角三角形中，可考虑AAS证明三角形全等，从而推出线段相等．【完整解答】解：影子一样长．证明：∵AB⊥BC，A′B′⊥B′C′∴∠ABC＝∠A′B′C′＝90°∵AC∥A′C′∴∠ACB＝∠A′C′B′在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）∴BC＝B′C′即影子一样长．。

2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编最短路径问题考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题满分20分每小题2分）1．（2分）（2021八上·花都期末）如图点E在等边△ABC的边BC上BE＝4 射线CD⊥BC 垂足为点C 点P是射线CD上一动点点F是线段AB上一动点当EP+FP的值最小时BF＝5 则AB的长为（）A．7B．8C．9D．10【答案】A【完整解答】解：作E点关于CD的对称点E' 过E'作E'F⊥AB交于点F 交CD于点P 连接PE∴PE=PE'∴EP+FP=PE'+PF≥E'F此时EP+FP的值最小∵△ABC是正三角形∴∠B=60°∵E'F⊥AB∴∠FE'B=30°∴BE'=2BF∵BF=5 BE=4∴E'B=10∵CE=CE'∴10=2CE+BE=2CE+4∴CE=3∴BC=7故答案为：A．【思路引导】作E点关于CD的对称点E' 过E'作E'F⊥AB交于点F 交CD于点P 连接PE 此时EP+FP 的值最小由题意得出∠FE'B=30° 则BE'=2BF 再由BF=5 BE=4 得出10=2CE+BE=2CE+4 解出CE=3 即可得出BC=7。

2．（2分）（2022春•定海区期末）如图直线l1l2表示一条河的两岸且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直）使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短应该选择路线（）A．路线：PF→FQ B．路线：PE→EQC．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ【思路引导】根据两点间直线距离最短使FEPP′为平行四边形即可即PP′垂直河岸且等于河宽接连P′Q即可．【完整解答】解：作PP'垂直于河岸l2使PP′等于河宽连接QP′ 与另一条河岸相交于F作FE⊥直线l1于点E则EF∥PP′且EF＝PP′于是四边形FEPP′为平行四边形故P′F＝PE根据“两点之间线段最短” QP′最短即PE+FQ最短．故C选项符合题意故选：C．3．（2分）（2022春•沙坪坝区校级期末）如图在△ABC中AD是△ABC的角平分线点E、F分别是AD、AB上的动点若∠BAC＝50° 当BE+EF的值最小时∠AEB的度数为（）A．105°B．115°C．120°D．130°【思路引导】过点B作BB′⊥AD于点G交AC于点B′ 过点B′作B′F′⊥AB于点F′ 与AD交于点E′ 连接BE′ 可证得△ABG≌△AB′G（ASA）所以∠E′B′G＝∠E′BG由“直角三角形两锐角互余”可得∠AB′F′＝40°＝∠ABE所以∠BE′F′＝50° 由此可得结论．【完整解答】解：过点B作BB′⊥AD于点G交AC于点B′ 过点B′作B′F′⊥AB于点F′ 与AD交于点E′ 连接BE′ 如图此时BE+EF最小．∵AD是△ABC的角平分线∴∠BAD＝∠B′AD＝25°∴∠AE′F′＝65°∵BB′⊥AD∴∠AGB＝∠AGB′＝90°∵AG＝AG∴△ABG≌△AB′G（ASA）∴BG＝B′G∠ABG＝∠AB′G∴AD垂直平分BB′∴BE＝BE′∴∠E′B′G＝∠E′BG∵∠BAC＝50°∴∠AB′F′＝40°∴∠ABE＝40°∴∠BE′F′＝50°∴∠AE′B＝115°．故选：B．4．（2分）（2021八上·惠民月考）如图在锐角△ABC中∠ACB＝50°；边AB上有一定点P M、N分别是AC和BC边上的动点当△PMN的周长最小时∠MPN的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°【答案】D【完整解答】解：过点P作PD⊥AC于点E PG⊥BC于点F 连接DG交AC、BC于点M、N 连接MP、NP∵PD⊥AC PG⊥BC∴∠PEC＝∠PFC＝90°∴∠C+∠EPF＝180°∵∠C＝50°∵∠D+∠G+∠EPF＝180°∴∠D+∠G＝50°由对称可知：∠G＝∠GPN ∠D＝∠DPM∴∠GPN+∠DPM＝50°∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°故答案为：D．【思路引导】过点P作PD⊥AC于点E PG⊥BC于点F 连接DG交AC、BC于点M、N 连接MP、NP 由四边形内角和及三角形内角和求出∠C+∠EPF＝180° ∠D+∠G+∠EPF＝180° 从而求出∠D+∠G＝=∠C=50° 有轴对称的性质可得∠G＝∠GPN ∠D＝∠DPM 从而得出∠GPN+∠DPM＝50° 根据∠MPN＝∠DPG-（∠GPN+∠DPM）即可求解.5．（2分）（2022春•驻马店期末）如图四边形ABCD中∠BAD＝a∠B＝∠D＝90° 在BC、CD上分别找一点M、N当△AMN周长最小时则∠MAN的度数为（）A．a B．2a﹣180°C．180°﹣a D．a﹣90°【思路引导】延长AB到A′使得BA′＝AB延长AD到A″使得DA″＝AD连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N此时△AMN周长最小推出∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）进而得出∠MAN的度数．【完整解答】解：延长AB到A′使得BA′＝AB延长AD到A″使得DA″＝AD连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．∵∠ABC＝∠ADC＝90°∴A、A′关于BC对称A、A″关于CD对称此时△AMN的周长最小∵BA＝BA′ MB⊥AB∴MA＝MA′ 同理：NA＝NA″∴∠A′＝∠MAB∠A″＝∠NAD∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′ ∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）∵∠BAD＝a∴∠A′+∠A″＝180°﹣a∴∠AMN+∠ANM＝2×（180°﹣a）＝360°﹣2a．∴∠MAN＝180°﹣（360°﹣2a）＝2a﹣180°故选：B．6．（2分）（2022•桥西区校级模拟）如图在五边形ABCDE中∠BAE＝α（∠BAE为钝角）∠B＝∠E ＝90° 在BC DE上分别找一点M N当△AMN周长最小时∠MAN的度数为（）A．B．α﹣90°C．2α﹣180°D．α﹣45°【思路引导】作点A关于BC对称点A' 作点A关于DE对称点A'' 则A''E＝AE A'B＝AB连接A'A'' 分别交线段BC和线段DE于点M和点N连接AM AN这时候△AMN的周长取最小值．【完整解答】解：作点A关于BC对称点A' 作点A关于DE对称点A'' 则A''E＝AE A'B＝AB连接A'A'' 分别交线段BC和线段DE于点M和点N连接AM AN这时候△AMN的周长取最小值．∵∠B＝∠E＝90°∴A'M＝AM∴AN＝A''N∴∠AA'M＝∠A'AM∠AA''N＝∠A''AN∴∠AMN＝2∠A'AM∠ANM＝2∠A''AN∴∠MAN+∠MAB+∠NAE＝α ∠MAN+∠AMN+∠ANM＝180°∴∠MAN+2∠BAM+2∠EAN＝180°∴∠BAM+∠EAN＝180°﹣α∴∠MAN＝α﹣（180°﹣α）＝2α﹣180°故选：C．7．（2分）（2022春•袁州区校级月考）已知在△ABC中D为BC的中点AD＝6 BD＝2.5 AB＝6.5 点P为AD边上的动点．点E为AB边上的动点则PE+PB的最小值是（）A．5B．6C．D．【思路引导】根据勾股定理的逆定理得到∠ADB＝90° 得到点B点C关于直线AD对称过C作CE ⊥AB交AD于P则此时PE+PB＝CE的值最小根据三角形的面积公式即可得到结论．【完整解答】解：∵AD＝6 BD＝2.5 AB＝6.5∴AB2＝6.52＝42.25 AD2+BD2＝62+2.52＝42.25∴AB2＝AD2+BD2∴∠ADB＝90°∵D为BC的中点BD＝CD∴AD垂直平分BC∴点B点C关于直线AD对称过C作CE⊥AB交AD于P则此时PE+PB＝CE的值最小∵S△ABC＝AB•CE＝BC•AD∴6.5•CE＝5×6∴CE＝∴PE+PB的最小值为故选：C．8．（2分）（2022春•新郑市期末）小颖的爸爸要在某条街道l上修建一个奶站P向居民区A B提供牛奶要使点P到A B的距离之和最短则下列作法正确的是（）A．B．C．D．【思路引导】作A点关于直线l的对称点连接对称点和点B交l于点P进而根据轴对称性质解答即可．【完整解答】解：作A点关于直线l的对称点连接对称点和点B交l于点P P即为所求；故选：B．9．（2分）（2022春•中原区期末）如图在△ABC中AB＝AC AD BE是△ABC的两条中线AD＝5 BE ＝6 P是AD上的一个动点连接PE PC则PC+PE的最小值是（）A．5B．6C．7D．8【思路引导】如图连接PB只要证明PB＝PC即可推出PC+PE＝PB+PE由PE+PB≥BE可得P、B、E共线时PB+PE的值最小最小值为BE的长度．【完整解答】解：如图连接PB∵AB＝AC BD＝CD∴AD⊥BC∴PB＝PC∴PC+PE＝PB+PE∵PE+PB≥BE∴P、B、E共线时PB+PE的值最小最小值为BE的长度∴CP+EP的最小值是6．故选：B．10．（2分）（2022•西城区校级开学）如图在Rt△ABC中∠ACB＝90° AC＝3 BC＝4 AB＝5 AD平分∠CAB交BC于D点E、F分别是AD AC上的动点则CE+EF的最小值为（）A．B．5C．3D．【思路引导】利用角平分线构造全等使两线段可以合二为一则EC+EF的最小值即为点C到AB的垂线段长度．【完整解答】解：在AB上取一点G使AG＝AF∵∠CAD＝∠BAD AE＝AE∴△AEF≌△AEG（SAS）∴FE＝EG∴CE+EF＝CE+EG则最小值时CG垂直AB时CG的长度CG＝．故选：D．二．填空题（共10小题满分20分每小题2分）11．（2分）（2022春•临渭区期末）如图在△ABC中AB＝AC BC＝4 △ABC的面积是10．AB的垂直平分线ED分别交AC AB边于E、D两点若点F为BC边的中点在线段ED上存在一点P使P、B、F三点构成的△PBF的周长最小则△PBF周长的最小值为7．【思路引导】由垂直平分线的性质可得A与B关于ED对称连接AF交ED于点P则当A、P、F 三点共线时△PBF周长最小为AF+FB的长．【完整解答】解：∵ED是线段AB的垂直平分线∴A与B关于ED对称连接AF交ED于点P∵AP＝PB∴△PBF周长＝PB+PF+FB＝AP+PF+FB≥AF+FB当A、P、F三点共线时△PBF周长最小∵F为BC边的中点AB＝AC∴AF⊥BC∴S△ABC＝×BC×AF＝10∵BC＝4∴AF＝5∴△PBF周长＝AF+FB＝5+2＝7∴△PBF周长的最小值为7故答案为：7．12．（2分）（2022春•宝安区期末）如图在Rt△ABC中∠C＝90° AC＝4 AB＝12 AD平分∠BAC交BC于点D过点D作DE⊥AD交AB于点E P是DE上的动点Q是BD上的动点则BP+PQ的最小值为8．【思路引导】过点D作DH⊥AB于H并延长DH先判断出△ADH≌△ADC（AAS）再判断出∠BDE ＝∠HDE在DH上取一点Q' 时DQ'＝DQ连接PQ' BQ' 进而判断出△QDP≌△Q'DP（SAS）得出PQ＝PQ' 即可判断出垂直于DH时BP+PQ最小即可求出答案．【完整解答】解：如图过点D作DH⊥AB于H并延长DH∴∠AHD＝90°＝∠C∵AD是∠BAC的平分线∴∠DAH＝∠DAC∵AD＝AD∴△ADH≌△ADC（AAS）∴∠ADH＝∠ADC AH＝AC＝4∴BH＝AB﹣AC＝12﹣4＝8∵DE⊥AD∴∠ADE＝90°∴∠ADC+∠BDE＝90°＝∠ADH+∠EDH∴∠BDE＝∠HDE在DH上取一点Q' 时DQ'＝DQ连接PQ' BQ'∵DP＝DP∴△QDP≌△Q'DP（SAS）∴PQ＝PQ'∴BP+PQ＝BP+PQ'≥BQ'（假设点Q是定点点B P Q'共线时取最小BQ'）∵点Q是动点∴当BQ'⊥DH时即点Q'与点H重合BP+PQ的最小值为BH＝8故答案为：8．13．（2分）（2022春•青岛期末）如图在△ABC中∠A＝54° ∠C＝76° D为AB中点点P在AC上从C向A运动；同时点Q在BC上从B向C运动当∠PDQ＝28°时△PDQ的周长最小．【思路引导】根据两点之间线段最短把三角形的周长转化为一条线段的长利用三角形的内角和及平角的定义求解．【完整解答】解：过点D作DF⊥BC于N并截取NF＝DN过点D作DE⊥AC于M并截取ME＝DM连接EF则EF的长为△DPQ的最小值根据作图知：AC垂直平分DE BC垂直平分DF∴DQ＝FQ PD＝PE∴DQ+DP+PQ＝FQ+QP+PE根据两点之间线段最短所以EF的长是△DPQ的最小值此时有：∠FDQ＝∠DQP∠MDP＝∠DPQ在△ABC中有∠A＝54° ∠C＝76°∴∠B＝50°∴∠BDN＝40° ∠ADM＝36°∴∠QDP＝180°﹣∠BDN﹣∠ADM﹣∠FDQ﹣∠MDP＝180°﹣40°﹣36°﹣（∠DQP+∠DPQ）＝104°﹣（180﹣∠PDQ）＝104°﹣90°+∠QDP解得：∠QDP＝28°．故当∠PDQ＝28°时△PDQ的周长最小．14．（2分）（2022春•通川区期末）如图在四边形ABCD中AD∥BC AB＝BC＝4 AD＝DC连接BD △BCD的面积为点E是边AB边上一动点点P在线段BD上连接P A PE则P A+PE的最小值是．【思路引导】根据已知条件得到BD垂直平分AC得到点A与点C关于直线BD对称过C作CE⊥AB 于E交BD于P则此时P A+PE的值最小且P A+PE的最小值＝CE根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．【完整解答】解：连接AC∵AB＝BC＝4 AD＝DC∴BD垂直平分AC∴点A与点C关于直线BD对称过C作CE⊥AB于E交BD于P则此时P A+PE的值最小且P A+PE的最小值＝CE∵AD∥BC∴S△ABC＝S△BCD∴AB•CE＝4CE＝∴CE＝故答案为：．15．（2分）（2022春•碑林区校级期末）如图在等边△ABC中BF是AC上中线点D在BF上连接AD 在AD的右侧作等边△ADE连接EF当△AEF的周长最小时则∠EAF＝30°．【思路引导】首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°）作点A关于直线CE的对称点M连接FM交CE于E′ 此时AE′+FE′的值最小．【完整解答】解：如图∵△ABC△ADE都是等边三角形∴AB＝AC AD＝AE∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°∴∠BAD＝∠CAE∴△BAD≌△CAE∴∠ABD＝∠ACE∵AF＝CF∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°）作点A关于直线CE的对称点M连接FM交CE于E′ 此时AE′+FE′的值最小∵CA＝CM∠ACM＝60°∴△ACM是等边三角形∵AF＝CF∴FM⊥AC∴E′是等边三角形三条角平分线的交点∴∠E′AF＝30°即∠EAF＝30°．故答案为：30°．16．（2分）（2022•南京模拟）如图△ABC为等腰三角形其中∠ABC＝∠BAC＝30° 以AC为底边作△ACD 其中∠ACD＝∠CAD＝30° 再以AD为底边作△ADE其中∠ADE＝∠DAE＝30° △ADE两底角的角平分线交于点O点P为直线AC上的动点已知|BP﹣DP|最大值为8．则DP+OP的值为4．【思路引导】作D点关于AC的对称点D' BD'与AC的交点P为点A此时|BP﹣DP|的值最大为BD' 即BD'＝8 连接CD' 证明△ODD'≌△OAD'（SSS）求出D'O＝D'A＝4 即可求解．【完整解答】解：作D点关于AC的对称点D'∵∠DAC＝∠CAB＝30°∴D'在AB上∴BD'与AC的交点P为点A∴DP＝D'P此时|BP﹣DP|的值最大为BD'∵|BP﹣DP|最大值为8∴BD'＝8连接CD'∵∠CBA＝30° ∠ACD＝30° ∠ACD'＝∠DCA∴∠BCD'＝120°﹣30°＝90°∴AD＝AD'＝CD＝CD'＝BD'•sin30°＝4∵∠D'AD＝60°∴DD'＝4∵OA是∠DAE的角平分线DO是∠ADE的角平分线∴∠OAD＝∠ODA＝15°∴D'AO＝75°∵DO＝OA DD'＝AD'∴△ODD'≌△OAD'（SSS）∴∠AOD'＝∠DOD'＝75°∴∠D'OA＝∠D'AO＝75°∴D'O＝D'A＝4∴DP+OP的值为4故答案为：4．17．（2分）（2022春•卧龙区期末）如图已知△ABC直线a⊥AC于点D且AD＝CD点P是直线a上一动点连接PB PC若AB＝5 AC＝6 BC＝3 则△PBC周长的最小值是8．【思路引导】找出C点关于a的对称点A AB交a于P则△PBC的周长最小求出即可．【完整解答】解：设直线a与AB交于P′ 当点P与点P′重合时PB+PC最小即△PBC的周长最小∵直线a⊥AC于点D且AD＝CD∴直线a是AC的垂直平分线∴P′C＝P′A∴△PBC的周长＝PC+PB+BC＝P′A+P′B+BC＝AB+BC＝5+3＝8∴△PBC周长的最小值是8故答案为：8．18．（2分）（2021秋•西青区期末）如图在△ABC中∠B＝60° BC＝12．点M在BC边上且MC＝BC 射线CD⊥BC于点C点P是射线CD上一动点点N是线段AB上一动点．（Ⅰ）线段MP+NP是否存在最小值？是（用“是”或“否”填空）（Ⅰ）如果线段MP+NP存在最小值请直接写出BN的长；如果不存在请说明理由．【思路引导】作点M关于直线CD的对称点M' 过M作M'N⊥AB于N交CD于P此时MP+PN的值最小．则CM'＝CM＝3 所以BM'＝BC+CM'＝12+3＝15 推出BN＝BM'＝＝．【完整解答】解：如图作点M关于直线CD的对称点M' 过M作M'N⊥AB于N交CD于P此时MP+PN的值最小∵BC＝12 MC＝BC＝3∴CM'＝CM＝3∴BM'＝BC+CM'＝12+3＝15∵∠B＝60° ∠BNM'＝90°∴∠M'＝30°∴BN＝BM'＝＝．故答案为：是．19．（2分）（2022春•抚州期末）如图等腰△ABC的底边BC＝20 面积为160 点F是BC边上的一个动点EG是腰AC的垂直平分线若点D在EG上运动则CD+DF的最小值为16．【思路引导】如图作AH⊥BC于H连接AD．由EG垂直平分线段AC推出DA＝DC推出DF+DC ＝AD+DF可得当A、D、F共线时DF+DC的值最小最小值就是线段AF的长．【完整解答】解：如图作AH⊥BC于H连接AD．∵EG垂直平分线段AC∴DA＝DC∴DF+DC＝AD+DF∴当A、D、F共线时DF+DC的值最小最小值就是线段AF的长∵•BC•AH＝160∴AH＝16根据垂线段最短∴当AF＝AH时AF最小∴CD+DF的值最小为16．故答案为：16．20．（2分）（2022春•霞浦县期中）已知∠ABC＝60° 点P为平面内一点且BP为定长∠ABP＝20° Q 为射线BC上一动点连接PQ当BP+PQ的值最小时∠BPQ＝50°．【思路引导】当BP+PQ的值最小时PQ最小此时PQ⊥BC据此解答即可．【完整解答】解：∵BP为定长∴当BP+PQ的值最小时PQ最小此时PQ⊥BC∴∠PQB＝90°∵∠ABC＝60° ∠ABP＝20°∴∠PBQ＝40°∴∠BPQ＝90°﹣40°＝50°故答案为：50°．三．解答题（共8小题满分60分）21．（6分）（2020秋•饶平县校级期末）如图已知在△ABC中AB＝AC AD是BC边上的高P是AB边上的一点试在高AD上找一点E使得△PEB的周长最短．【思路引导】利用轴对称求最短路线作法得出答案．【完整解答】解：①连接PC交AD于点E．②由等腰三角形对称的性质可知BE＝CE故BE+PE＝PC③由两点之间线段最短可知△PMN的最短周长即为PC+PB．22．（6分）（2022春•二七区校级期中）在△ABC中AB＝AC D是直线BC上一点以AD为一边在AD 的右侧作△ADE使AE＝AD∠DAE＝∠BAC连接CE．设∠BAC＝α ∠BCE＝β．（1）如图（1）点D在线段BC上移动时①角α与β之间的数量关系是α+β＝180°；②若线段BC＝2 点A到直线BC的距离是3 则四边形ADCE周长的最小值是8；（2）如图（2）点D在线段BC的延长线上移动时①请问（1）中α与β之间的数量关系还成立吗？如果成立请说明理由；②线段BC、DC、CE之间的数量是CE＝BC+CD．【思路引导】（1）①先证∠CAE＝∠BAD再证明△ABD≌△ACE得出对应角相等∠ABD＝∠ACE即可得出结论；②根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论；（2）①如图2 根据等式的性质就可以得出∠CAE＝∠BAD就可以得出△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD＝∠ACE就可以得出结论；②根据全等三角形的性质即可得到结论．【完整解答】解：（1）①α+β＝180°；理由如下：∵∠DAE＝∠BAC∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC∴∠CAE＝∠BAD在△ABD和△ACE中∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠ABD＝∠ACE∵∠BAC+∠ABD+∠ACB＝180°∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝180°∴∠BAC+∠BCE＝180° 即α+β＝180°故答案为：α+β＝180°；②由①知△ABD≌△ACE∴BD＝CE AD＝AE∴CD+CE＝BD+CD＝BC＝2当AD⊥BC时AD最短即四边形ADCE周长的值最小∵点A到直线BC的距离是3∴AD＝AE＝3∴四边形ADCE周长的最小值是2+3+3＝8 故答案为：8；（2）①成立理由如下：∵∠DAE＝∠BAC∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD∴∠BAD＝∠CAE在△BAD和△CAE中∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠ABD＝∠ACE∵∠ACD＝∠ABD+∠BAC＝∠ACE+∠DCE ∴∠BAC＝∠DCE∴∠BAC+∠BCE＝∠DCE+∠BCE＝180° 即α+β＝180°；②∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠ABD＝∠ACE BD＝CE∵BD＝BC+CD∴CE＝BC+CD故答案为：CE＝BC+CD．23．（6分）（2021秋•潼南区校级期末）已知四边形ABCD请在四边形ABCD内部找一点O．（1）使点O到点A、B、C、D的距离之和最小．保留作图痕迹不写作法．（请用黑色签字笔作图）（2）这样作图的理由是两边之和大于第三边．【思路引导】连接AC和BD交于点O可得点O到点A B C D的距离之和最小．【完整解答】解：（1）连接AC、BD交于点O则点O为所求的点．理由如下：如果存在不同于点O的交点P连接P A、PB、PC、PD那么P A+PC＞AC即P A+PC＞OA+OC同理PB+PD＞OB+OD∴P A+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD即点O是线段AC、BD的交点时OA+OB+OC+OD之和最小．（2）这样作图的理由是两边之和大于第三边．故答案为：两边之和大于第三边．24．（8分）（2021春•东港市月考）如图所示P为△BOA内任一点在OB上找一点M在OA上找一点N 使得△PMN的周长最短．【思路引导】作点P关于OA、OB的对称点P''、P' 连接P'P'' 分别交OA、OB于点N、M即M、N 为所求．此时△PMN的周长最短．【完整解答】解：如图．作点P关于OA、OB的对称点P''、P' 连接P'P''分别交OA、OB于点N、M即M、N为所求．此时△PMN的周长为PM+PN+MN＝P''N+MN+P'M≥P'P''即最小值为P'P''的长度．25．（9分）（2021春•万州区期末）已知：M、N分别是∠AOB的边OA、OB上的定点（1）如图1 若∠O＝∠OMN过M作射线MD∥OB（如图）点C是射线MD上一动点∠MNC的平分线NE交射线OA于E点．试探究∠MEN与∠MCN的数量关系；（2）如图2 若P是线段ON上一动点Q是射线MA上一动点．∠AOB＝20° 当MP+PQ+QN取得最小值时求∠OPM+∠OQN的值．【思路引导】（1）设∠O＝∠OMN＝α 由三角形外角可得∠MNB＝2α 再由MD∥OB可得∠AMD＝α 根据NE平分∠MNC得到∠MNE＝∠ENC设∠MNE＝β 可求∠CNB＝2α﹣2β ∠MCN＝2α﹣2β 再由三角形内角和定理得∠EMC+∠MEN＝∠ENC+∠MCN可得∠MEN＝α﹣β 进而得到2∠MEN ＝∠MCN；（2）作M点关于OB的对称点M' N点关于OA的对称点N' 连接M'N'与OB、OA分别交于点P、点Q连接ON'、OM' 此时MP+PQ+QN的值最小由对称性可知∠OQN'＝∠OQN∠OPM'＝∠OPM 所以∠OPM'＝∠AOB+∠OQP＝∠AOB+（180°﹣∠OQN'）代入已知∠AOB＝20° 可得∠OM'P＝200°﹣∠OQN' 所以∠OPM+∠OQN＝200°．【完整解答】解：（1）设∠O＝∠OMN＝α∴∠MNB＝2α∵MD∥OB∴∠AMD＝α∵NE平分∠MNC∴∠MNE＝∠ENC设∠MNE＝β∴∠CNB＝2α﹣2β∵MD∥OB∴∠MCN＝2α﹣2β∴∠EMC+∠MEN＝∠ENC+∠MCN∴β+2α﹣2β＝α+∠MEN∴∠MEN＝α﹣β∴2∠MEN＝∠MCN；（2）作M点关于OB的对称点M' N点关于OA的对称点N' 连接M'N'与OB、OA分别交于点P、点Q连接ON'、OM'∴MP+PQ+QN＝M'N' 此时MP+PQ+QN的值最小由对称性可知∠OQN'＝∠OQN∠OPM'＝∠OPM∴∠OPM'＝∠AOB+∠OQP＝∠AOB+（180°﹣∠OQN'）∵∠AOB＝20°∴∠OM'P＝200°﹣∠OQN'∴∠OPM+∠OQN＝200°．26．（8分）（2021春•龙口市月考）如图直线a∥b点A D在直线b上射线AB交直线a于点B CD ⊥a于点C交射线AB于点E AB＝15cm BE：AE＝1：2 P为射线AB上一动点P从A点出发沿射线AB方向运动速度为1cm/s设点P运动时间为t M为直线a上一定点连接PC PD．（1）当t＝m时PC+PD有最小值求m的值；（2）当t＜m（m为（1）中的取值）时探究∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系并说明理由；（3）当t＞m（m为（1）中的取值）时直接写出∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系．【思路引导】（1）根据P、C、D三点共线时即点P与点E重合时PC+PD的值最小解答即可；（2）当t＜m时点P在AE上过点P作PH∥a∥b根据平行线的性质可得结论；（3）当t＞m时点P在BE上过点P作PH∥a∥b根据平行线的性质可得结论．【完整解答】解：（1）在△PCD中PC+PD＞CD当点P与E重合时此时PC+PD＝CD最小∴AP＝AE∵BE：AE＝1：2 AB＝15cm∴AE＝AB＝10cm∴t＝m＝＝10s．故m＝10时PC+PD值最小；（2）如图当t＜m即t＜10时点P在AE上过点P作PN∥a∵a∥b∴PN∥a∥b∴∠PCM＝∠CPN∠PDA＝∠DPN∴∠PCM+∠PDA＝∠CPN+∠DPN∵∠CPD＝∠CPN+∠DPN∴∠PCM+∠PDA＝∠CPD．（3）当t＞m即t＞4时点P在BE上过点P作PH∥a如图：又∵a∥b∴PH∥a∥b∴∠PCM+∠CPH＝180° ∠PDA+∠DPH＝180°∴∠PCM+∠CPH+∠PDA+∠DPH＝360°又∵∠CPD＝∠CPH+∠DPH∴∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°即当12≥t＞4时∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°．当t＞12时同法可得∠PCM＝∠CPD+∠PDA．综上所述t＞4时∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°或∠PCM＝∠CPD+∠PDA．27．（8分）（2020秋•天心区校级月考）如图把两个全等的腰长为8的等腰直角三角形沿他们的斜边拼接得到四边形ABCD N是斜边AC上一动点．（1）若E、F为AC的三等分点求证：∠ADE＝∠CBF；（2）若M是DC上一点且DM＝2 求DN+MN的最小值；（注：计算时可使用如下定理：在直角△ABC中若∠C＝90° 则AB2＝AC2+BC2）（3）若点P在射线BC上且NB＝NP求证：NP⊥ND．【思路引导】（1）用SAS证明△ADE≌△CBF从而得出∠ADE＝∠CBF；（2）由于D、B关于AC对称所以当B、N、M在一直线上时DN+MN最小．根据勾股定理可求出BM的长度从而得出DN+MN的最小值；（3）当点P在射线BC上时分三种情况进行讨论：①点P在线段BC上（P与B、C不重合）；②点P 与点C重合；③点P在BC延长线上．针对每一种情况都证明∠DNP＝90° 然后根据垂直的定义得出NP⊥ND．【完整解答】解：（1）证明：∵E、F为AC的三等分点∴AE＝AC CF＝AC∴AE＝CF．∵AB＝BC∠ABC＝90°∵∠BAC＝∠BCA＝45°同理∠DAC＝45°∴∠BCA＝∠DAC．∵△ADE≌△CBF∴CB＝AD∴在△ADE和△CBF中AE＝CF∠DAE＝∠BCF AD＝CB∴△ADE≌△CBF（SAS）∴∠ADE＝∠CBF．（2）∵D、B关于AC对称所以当B、N、M在一直线上时DN+MN最小．（4分）∵AB＝8 DM＝2 ∴CM＝6．在Rt△MCB中∠MCB＝90° CM＝6 BC＝8 根据题中定理可求出BM＝10．∴DN+MN最小值为10．（3）①当点P在线段BC上（P与B、C不重合）时∵NB＝NP∴∠NBP＝∠NPB．∵D、B关于AC对称∴∠NBP＝∠NDC∴∠NPB+∠NPC＝∠NDC+∠NPC＝180°∴∠DNP＝360°﹣（∠BCD+∠NDC+∠NPC）＝90°∴NP⊥ND．②当点P与点C重合时点N恰好在AC的中点处∵∠NDC＝∠NCD＝45° ∴∠DNC＝90°．∴NP⊥ND．③当点P在BC延长线上时∵NB＝NP∴∠NBP＝∠NPB．∴D、B关于AC对称∠NBP＝∠NDC∴∠NPC＝∠NDC又∵∠DHN＝∠CHP∴∠DNP＝∠DCP＝90°∴NP⊥ND．28．（9分）（2020八上·椒江期中）如图（1）（1分）性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 如图1：OP 平分∠MON PC ⊥OM 于C PB ⊥ON 于B 则PB PC （填“ > ”“ < ”或“=”）；（2）（5分）探索：如图2 小明发现 在△ABC 中 AD 是∠BAC 的平分线 则 ABD ADC S AB S AC=请帮小明说明原因.（3）（5分）应用：如图3 在小区三条交叉的道路AB BC CA 上各建一个菜鸟驿站D P E 工作人员每天来回的路径为P→D→E→P①问点P 应选在BC 的何处时 才能使PD+DE+PE 最小？②若∠BAC=30° S △ABC=10 BC=5 则PD+DE+PE 的最小值是多少？【答案】（1）=（2）解：理由：过点D 作DE ⊥AB 于E DF ⊥AC 于F∵AD 是∠BAC 的平分线∴DE=DF ∴ABD ADC 1AB SAB 21S AC AC 2DE DF ⋅==⋅ ； （3）解：①过点A 作AP ⊥BC 于P 分别作点P 关于AB 、AC 的对称点P 1、P 2 连接P 1P 2分别交AB 、AC 于D 、E 连接PD 、PE 、AP 1、AP 2由对称的性质可得AP 1=AP=AP 2 DP 1=DP EP 2=EP∴PD+DE+PE= DP 1+DE+ EP 2= P 1P 2 根据两点之间 线段最短和垂线段最短 即可得出此时PD+DE+PE 最小 即P 1P 2的长即当AP ⊥BC 于P 时 PD+DE+PE 最小；②∵S △ABC =10 BC=5∴12BC·AP=10 解得：AP=4由对称的性质可得AP 1=AP=AP 2=4 DP 1=DPEP 2=EP ∠DAP 1=∠DAP ∠EAP 2=∠EAP∴∠DAP1＋∠EAP2=∠DAP＋∠EAP=∠DAE=30°∴∠P1AP2=60°∴△P1AP2是等边三角形∴P1P2= AP1=4即PD+DE+PE的最小值是4.【完整解答】解：（1）∵OP平分∠MON PC⊥OM于C PB⊥ON于B∴PB=PC故答案为：=；【思路引导】（1）根据角平分线的性质即可得出结论；（2）过点D作DE⊥AB于E DF⊥AC于F 根据角平分线的性质可得DE=DF 然后根据三角形的面积公式即可证出结论；（3）①过点A作AP⊥BC于P 分别作点P关于AB、AC的对称点P1、P2连接P1P2分别交AB、AC于D、E 连接PD、PE、AP1、AP2即可；②根据三角形的面积公式即可求出AP 然后根据对称的性质可得AP1=AP=AP2=4 DP1=DP EP2=EP ∠DAP1=∠DAP ∠EAP2=∠EAP 从而证出△P1AP2是等边三角形即可得出结论.。

2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编等边三角形的性质考试时间：120分钟 试卷满分：100分姓名：__________ 班级：__________考号：__________题号一 二 三 总分得分评卷人得 分 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021八上·嵩县期末）如图， ABC 是等边三角形， BD 是中线，延长 BC 至E ，使CE CD = ，则下列结论错误．．的是（ ）A ．30CED ∠=︒B ．120BDE ∠=︒C ．DE BD = D ．DE AB = 2．（2分）（2021八上·凉山期末）三角形中，最大角 α 的取值范围是（ ）A ．090α︒<<︒B ．60180α︒<<︒C ．6090α︒≤<︒D ．60180α︒≤<︒3．（2分）（2021八上·遵义期末）点D 、E 分别是等边三角形 ABC 的边 BC 、 AB 的中点， 6AD = ，F 是AD 上一动点，则 BF EF + 的最小值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．94．（2分）（2021八上·松桃期末）如图，△ABC 是等边三角形，点E 是AC 的中点，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，延长BC 交EF 的反向延长线于点D ，若EF=1，则DF 的长为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.55．（2分）（2021八上·灌阳期末）△BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC 内.若BC ＝5，则五边形DECHF 的周长为（ ）A ．8B ．10C ．11D ．126．（2分）（2021八上·河东期末）如图，过边长为4的等边ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA=CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（ ）A ．95B ．2C ．115D ．1257．（2分）（2021八上·乌兰察布期末）如图所示，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正ABC 和正CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ．以下四个结论：①ACD BCE ≅；②AD BE =；③60AOB ∠=︒；④CPQ 是等边三角形．其中正确的是（ ）A．①②③④B．②③④C．①③④D．①②③8．（2分）（2021八上·江油期末）下列结论正确的是（）A．有两个锐角相等的两个直角三角形全等B．两个等边三角形全等C．一条斜边对应相等的两个直角三角形全等D．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等9．（2分）（2021八上·德阳月考）如图所示，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则最小值为()A．2B．3C．4D．610．（2分）（2021八上·句容期末）如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60 得到BN，连接HN.则在点M 运动过程中，线段HN长度的最小值是（）A．54B．1 C．2 D．52评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2021八上·丰台期末）如图，在等边三角形ABC 中，2AB =，BD 是AC 边的高线，延长BC 至点E ，使CE CD =，则BE 的长为 ．12．（2分）（2021八上·本溪期末）如图，ABC 和DEC 都是等边三角形，连接AD ，BD ，BE ，30EBD ∠=︒．下列四个结论中：①ACD ≌BCE ；②180ADC BDE ∠+∠=︒；③222BE BD BC +=；④90BED ∠=︒，正确的是 （填写所有正确结论的序号）．13．（2分）（2021八上·延边期末）如图，正三角形ABC 中，D 是AB 的中点，DE AC ⊥于点E ，过点E 作EF AB 与BC 交于点F ．若8BC =，则EFC 的周长为 ．14．（2分）（2021八上·道里期末）如图，ABC 是等边三角形，点E 在AC 的延长线上，点D 在线段AB 上，连接ED 交线段BC 于点F ，过点F 作FN AC ⊥于点N ，75DB CN =，EF FD =，若17FB =，则AN 的长为 ．15．（2分）（2021八上·铁西期末）如图，ABC 是等边三角形，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中点，P 是AD 上的一个动点，当PC 与PE 的和最小时，ACP ∠= 度．16．（2分）（2021八上·延边期末）如图，ABC 是等腰直角三角形，AB 是斜边，以BC 为一边在右侧作等边三角形BCD ，连接AD 与BC 交于点E ，则BED ∠的度数为 度．17．（2分）（2021八上·灌云期中）如图，等边△ABC 中，AD 为BC 边上的高，点M 、N 分别在AD 、AC 上，且AM ＝CN ，连BM 、BN ，当BM+BN 最小时，∠MBN ＝ 度.18．（2分）（2021八上·铁东期中）如图，在 Rt ABC 中， 90ACB ∠=︒ ， AC BC = ，以BC 为边+的在BC的右侧作等边BCD，点E为BD的中点，点P为CE上一动点，连结AP，BP．当AP BP ∠的度数为．值最小时，CBP19．（2分）（2021八上·平阳月考）如图，△ABC中，∠B=30°，∠C=90°，等边三角形DEF的三个顶点分别落在AC，AB，BC上，若CD=4，BE=6，则AB的长为.20．（2分）（2020八上·江岸月考）如图，等边三角形ABC中，BD⊥AC于D，BC＝8，E在BD上一动点，以CE为边作等边三角形ECP，连DP，则DP的最小值为.评卷人得分三．解答题（共7小题，满分60分）21．（5分）（2021八上·盐池期末）如图， ABC 是等边三角形， BD 是中线，延长 BC 至E ，使 CE CD = ．求证： DB DE = ．22．（5分）（2021八上·建邺期末）如图，在 Rt ABC 中， 90ACB ∠=︒ ， CAP 和 CBQ 都是等边三角形， BQ 和 CP 交于点 H ，求证： BQ CP ⊥ .23．（9分）（2021八上·覃塘期中）如图，已知 ABC 是等边三角形，点M ，N 分别在CB ，BC 的延长线上，且BM＝CN.（1）（4分）求证：AM＝AN；（2）（5分）在（1）的条件下，作∠AMN的平分线MF，MF与AB，AC，AN分别交于点D，E，F，若AD＝MD.求证：MF＝AC+CN.24．（13分）（2021八上·遵义期末）数学是一门充满乐趣、奥妙、又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”.几何图形更是变幻无穷，但只要我们借助图形的直观、特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来.下面是一道探索几何图形中线段AE与DB数量关系的例子：已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC.小强的思路是：（1）（3分）（特例探索）如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（选填“＞”、“＜”或“＝”）.（2）（5分）（特例引路）如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论并加以理由说明，格式如：答：AE ▲ DB（选填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E 作EF∥BC交AC于点F.（请你将接下来的解答过程补充完整）.（3）（5分）（拓展延伸）在等边三角形ABC中，当点E在直线AB上（在线段AB外），点D在线段CB的延长线上时，同样ED＝EC，若已知△ABC的边长为1，AE＝2，则请你帮助小强求出CD的长.（请你画出相应图形，并简要写出求CD长的过程）.25．（8分）（2019八上·同安期中）如图，△ABC是边长为10的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合）．（Ⅰ）如图1，若点Q是BC边上一动点，与点P同时以相同的速度由C向B运动（与C、B不重合）．求证：BP＝AQ；（Ⅰ）如图2，若Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D，在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．26．（10分）（2019八上·越秀期中）已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，以AC为边作等边三角形ACE，直线BE交直线AD于点F，连接FC．（1）（5分）如图1，120°＜∠BAC＜180°，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，且FC交AE于点M．①求证：∠FEA=∠FCA；②猜想线段FE，AD，FD之间的数量关系，并证明你的结论；（2）（5分）当60°＜∠BAC＜120°，且△ACE与△ABC在直线AC的异侧时，利用图2画出图形探究线段FE，AD，FD之间的数量关系，并直接写出你的结论．27．（10分）（2021八上·望花期末）已知，点P、点Q分别是等边△ABC的边AB、BC所在直线上的动点（端点除外）．点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发，连接AQ、CP，直线AQ、CP相交于点M．（1）（5分）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上时，①求证：△ABQ≌△CAP；②当点P、点Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；（2）（5分）如图2，当点P、Q分别在AB、BC的延长线上运动时，请直接写出∠QMC的度数．。

人教版八年级数学上学期期末压轴精选30题考试范围：全册的内容，共30小题.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角定义，直角三角形等知识，熟悉掌握有关知识是解题关键．2．（2022·湖南常德·八年级期中）A．0个B．1【答案】C，∵BF 是ABC Ð的角平分线，∴HBO EBO Ð=Ð，在△HBO 和EBO V 中，BH BE HBO EBO BO BO =ìïÐ=Ðíï=î，∵BAC Ð和ABC Ð的平分线相交于点∴点O 在C Ð的平分线上，∴OH OM OD a ===，∵2AB AC BC b ++=，∴1122ABC S AB OM AC OH =×+×V形一边边长大于另两边之差，小于它们之和，即可得中线长m 的取值范围．【详解】由2212161000a a b b -+-+=可得22680a b -+-=（）（）\ 6a = ，8b =如图，设AC b =，BC a =，CO 是对边AB 的中线，延长CO 至D 点，使得DO CO =，并连接AD ，Q AOD BOC Ð=Ð , AO BO =，DO CO=\ AOD BOCD D ≌\ AD BC a==\b a CD b a-<<+\214CD <<\17CO <<\中线长m 的取值范围为：17m <<．故答案为：17m <<【点睛】本题考查了因式分解，全等三角形的证明以及三角形的三边关系，掌握相应的知识点是解题的关键．12．（2022·山东济宁·八年级期中）已知一张三角形纸片ABC （如图甲），其中AB AC =，将纸片沿过点B 的直线折叠，使点C 落到AB 边上的E 点处，折痕为BD （如图乙），再将纸片沿过点E 的直线折叠，点A 恰好与点D 重合，折痕为EF （如图丙）．原三角形纸片ABC 中，BAC Ð的大小为______．【答案】36°##36度【分析】由折叠的性质可得：A ADE Ð=Ð，EDB CDB Ð=Ð，ABD CBD Ð=Ð，由等腰三角形的性质可得，C ABC Ð=Ð，求解即可．【详解】解：由等腰三角形的性质可得，C ABC Ð=Ð，由折叠的性质可得：A ADE Ð=Ð，EDB CDB Ð=Ð，ABD CBD Ð=Ð，【答案】11802n -æö´ç÷èø°【分析】根据内角和定理及外角的定义解题即可．【详解】解：∵在1A BC V 中，20B Ð=°，1A B CB =∴()118020280BA C Ð=°-°¸=°，④BD CE DE +＝．其中正确的是 _____．【答案】①②③【分析】先根据垂直定义和等角的余角相等证得BAD CAF Ð=Ð，B ACF Ð=Ð，再利用ASA 可判断①正确；再证明ADE AFE △≌△可判断②正确；利用全等三角形的面积相等可判断③正确；根据全等三角形的性质和三角形的三边关系可判断④错误．【详解】解：Q 在Rt ABC V 中，=90BAC Ðo ，=AB AC ，45B ACB \Ð=Ð=o ，90BAD DAC Ð+Ð=o ，Q AF AD ^，90CAF DAC \Ð+Ð=°，BAD CAF \Ð=Ð，CF BC ^Q ，9045ACF ACB \Ð=°-Ð=o ，则B ACF Ð=Ð，在ABD △和ACF △中，BAD CAF AB ACB ACF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî()ABD ACF ASA \V V ≌，故①正确；AD AF \=，45DAE Ð=o Q ，AF AD ^，9045FAE DAE DAE \Ð=-Ð==Ðo o ，在ADE V 和AFE △中，AD AF DAE FAEAE AE =ìïÐ=Ðíï=î()ADE AFE SAS \V V ≌，∴=DE EF ，故②正确；∵ADE AFE △≌△，ABD ACF ≌△△，ABD ACF S S \=V V ，ADE AFE S S =V V ，BD CF =，DE EF =，ABC ABD ADE AECS S S S \=++V V V VÐ的度数；(1)如图1，求BFC(2)如图2，连接ED交BC于点G，连接AG，若【答案】(1)90°(2)见解析∵AE AD ^，∴90BAC DAE °Ð==Ð，∴BADCAE Ð=Ð，在ABD △和ACE △中，AB AC BAD CAE AD AE ìïÐÐíïî＝＝＝ ，∴(SAS)ABD ACE @V V ，∴ABD ACF Ð=Ð，∵AHB FHC Ð=Ð，∴90BFC BAC °Ð=Ð=；（2）设AC 交EG 于点H ，在AB 上截取AK AD =，连接KG ，如图2所示：∵,90AD AE DAE °=Ð=∴45,AED ACG °Ð==Ð∵,AHE GHC Ð=Ð∴,EAC CGE Ð=Ð由（1）知：,BAD CAE Ð=Ð∴,BAD CGD Ð=Ð设2,BAD a CGD Ð==Ð∴2,EAC BAD a Ð=Ð=∴1802,BGD a °Ð=-∴180,BAD BGD °Ð+Ð=∴180,ABG ADG °Ð+Ð=∵AG 平分,BAD Ð∴,KAG DAG a Ð=Ð=在AKG △和ADG △中，,AK AD KAG DAG AG AG =ìïÐ=Ðíï=î（2）解：∵221012610a b a b +--+=，∴22221051260a a b b -++-+=，∴()()22560a b -+-=，∵()()225060a b -³-³，，∴()()22560a b -=-=，∴5060a b -=-=，，∴56a b ==，，∵b a c a b -<<+，∴111c <<，∵c 是最大边，∴611c £<；（3）解：∵2261P x y x =-+-，22413Q x y =++，∴222612413P Q x y x x y -=-+----，226414x x y y =-+---2269441x x y y =-+-----()()22321x y =---+-，∵()()223020x y -³+³，，∴()()22320x y ---+£，()()223210x y ---+-<∴0P Q -<，∴P Q <．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，三角形三边的关系，平方的非负性，熟知完全平方公式是解题的关键．22．（2022·福建·莆田锦江中学八年级期中）如图，AB AD ^，且AB AD =，AC AE ^，且AC AE =(1)如图1，连接DC 、BE ，求证：DC BE =；(2)如图2，求证：ABC ADE S S D D =(3)如图3，GF 经过A 点与DE 交于G 点，且GF BC ^于F 点．求证：G 为DE 的中点．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析．【分析】（1）根据垂直可得90BAE CAE ==°∠∠，得出DAC BAE Ð=Ð，根据全等三角形的判定证明DAC BAE @V V ，可得答案；（2）作EM AD ^交DA 的延长线于M ，作CN AB ^，进而可得CAN MAE =∠∠，根据全等三角形的判定证明ACN AEM @V V ，进而得出CN EM =，根据三角形的面积公式可得；（3）作DM AG ^交AG 的延长线于M ，作EN AG ^，先证明C NAE =∠∠，再证FCA NAE @V V ，得出AF NE =；再证明BAF ADM @V V ，得出AF DM =，进而得出DM NE =，再证明DMG ENG @V V ，即可得出答案．【详解】（1）∵AB AD ^，AC AE ^，∴90BAE CAE ==°∠∠∴BAD BAC BAC CAE +=+∠∠∠∠∴DAC BAE Ð=Ð在DAC △和BAE V 中，AD AB DAC BAE AC AE =ìïÐ=Ðíï=î∴DAC BAE@V V ∴DC BE=（2）作EM AD ^交DA 的延长线于M ，作CN AB^∴90EMD CNA ==°∠∠∵90MAN CAE ==°∠∠∴MAN CAM CAE CAM-=-∠∠∠∠∴CAN MAE=∠∠在ACN △和AEM △中，）DM AG ^交AG 的延长线于M ，作90EMA DMG AFC ===°∠∠90FAC CAF NAE +=+=∠∠∠NAE =∠CAF 和NEA V 中，90CFA ENA C NAE AC AE =Ð=°Ð=Ð=根据三角形三边关系，易得0a b c +->∴0a b -=∴a b=∴ABC V 为等腰三角形【点睛】本题考查了因式分解、等腰三角形的判定；熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．24．（2022·浙江·八年级专题练习）(1)阅读理解：如图1，在ABC V 中，若10AB =，6AC =．求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，再连接BE (或将ACD V 绕着点D 逆时针旋转180°得到EBD △)，把AB ，AC ，2AD 集中在ABE V 中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是______；(2)问题解决：如图2，在ABC V 中，D 是BC 边上的中点，DE DF ^于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：BE CF EF +>；(3)问题拓展：如图3，在四边形ABCD 中，180B D Ð+Ð=°，CB CD =，140BCD Ð=°，以C 为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB ，AD 于E ，F 两点，连接EF ，探索线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并加以证明．【答案】(1)28AD <<；(2)见解析；(3)BE DF EF +=，证明见解析【分析】（1）延长AD 至E ，使DE AD =，连接BE ，证明SAS BDE CDA ≌（）V V ，根据三角形三边关系即可求解；（2）延长FD 至点M ，使DM DF =，连接BM ，EM ，同（1）得，(SAS)BMD CFD D V V ≌，证明(SAS)EDM EDF V V ≌在BME D 中，由三角形的三边关系得BE BM EM +>，即可得证；（3）延长AB 至点N ，使BN DF =，连接CN ，证明(SAS)NBC FDC V V ≌，(SAS)NCE FCE V V ≌，根据求的三角形的性质即可得证．【详解】（1）解：延长AD 至E ，使DE AD =，连接BE ，如图①所示：∵AD 是BC 边上的中线，∴BD CD =，在BDE △和CDA V 中，BD CD BDE CDADE AD =ìïÐ=Ðíï=î∴SAS BDE CDA ≌（）V V，∴6BE AC ==，在ABE V 中，由三角形的三边关系得：AB BE AE AB BE -<<+，∴106106AE -<<+，即416AE <<，∴28AD <<；故答案为：28AD <<；（2）证明：延长FD 至点M ，使DM DF =，连接BM ，EM ，如图所示同（1）得，(SAS)BMD CFD D V V ≌，BM CF\=DE DF ^Q ，DM DF =，DE DE=(SAS)EDM EDF \V V ≌，EM EF\=在BME D 中，由三角形的三边关系得BE BM EM +>，BE CF EF\+>（3）BE DF EF+=证明如下：延长AB 至点N ，使BN DF =，连接CN ，如图所示180ABC D Ð+Ð=°Q ，180NBC ABC Ð+Ð=°NBC D\Ð=Ð在NBC V 和FDC △中，BN DF NBC D BC DC =ìïÐ=Ðíï=î，(SAS)NBC FDC \V V ≌CN CF \=，NCB FCDÐ=Ð140BCD Ð=°Q ，70ECF Ð=°70BCE FCD \Ð+Ð=°，70ECN ECF\Ð=°=Ð在NCE △和FCE △中，（1） （2）(1)求证：PAB AQE ≌△△；(2)连接CQ 交AB 于M ，求证：BM EM =；(3)如图（2），过Q 作QF AQ ^于AB 的延长线于点F ，过PQ，HA AC^QA AP^QAH HAP HAP \Ð+Ð=Ð\Ð=Ð，QAH PADPAQQ为等腰直角三角形，D\=，AQ AP(1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．方法1：；方法2：．(2)观察图2写出()2m n +，()2m n -，mn 三个代数式之间的等量关系：(3)根据（2）中你发现的等量关系，解决如下问题：若【点睛】本题主要考查完全平方差公式和完全平方和公式的联系，会用代数式表示图形面积是解决问题的关键；两数的完全平方和比它们的完全平方差多了两数积的4倍，该结论经常用到．28．（2022·广东·江门市新会尚雅学校八年级阶段练习）（1）如图1，已知，在ABC V 中，10AB AC ==，BD 平分ABC Ð，CD 平分ACB Ð，过点D 作EF BC ∥，分别交AB 、AC 于E 、F 两点，则图中共有________个等腰三角形：EF 与BE 、CF 之间的数量关系是________，AEF △的周长是________．（2）如图2，若将（1）中“ABC V 中，10AB AC ==”改为“若ABC V 为不等边三角形，8AB =，10AC =”其余条件不变，则图中共有________个等腰三角形；EF 与BE 、CF 之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出AEF △的周长．（3）已知：如图3，D 在ABC V 外，AB AC >，且BD 平分ABC Ð，CD 平分ABC V 的外角ACG Ð，过点D 作DE BC ∥，分别交AB 、AC 于E 、F 两点，则EF 与BE 、CF 之间又有何数量关系呢？写出结论并证明．【答案】（1）5，EF BE CF =+，20（2）2，EF BE CF =+，证明见详解，18（3）EF BE CF =-，证明见详解【分析】（1）根据角平分线的定义可得,EBD CBD FCD BCD Ð=ÐÐ=Ð，再根据平行线的性质，“两直线平行，同位角相等”、“两直线平行，内错角相等”可知DB DC =,AEF ABC AFE ACB Ð=ÐÐ=Ð，,EDB CBD FDC BCD Ð=ÐÐ=Ð，即可求出AEF AFE Ð=Ð，,EBD EDB FDC FCD Ð=ÐÐ=Ð，根据“等角对等边”可知,,BE DE CF DF AE AF ===，即可确定等腰三角形的数量，EF 与BE 、CF 之间的数量关系以及AEF △的周长；（2）若ABC V 为不等边三角形，根据角平分线的定义可知,EBD CBD FCD BCD Ð=ÐÐ=Ð，再结合平线性的性质“两直线平行，内错角相等”可知,EDB CBD FDC BCD Ð=ÐÐ=Ð，即可推导,EBD EDB FDC FCD Ð=ÐÐ=Ð，然后根据“等角对等边”即可证明,BE DE CF DF ==，然后解答即可；（3）根据角平分线的定义可知,EBD CBD FCD GCD Ð=ÐÐ=Ð，再结合平线性的性质“两直线平行，内错角相等”可知,EDB CBD FDC GCD Ð=ÐÐ=Ð，即可推导,EBD EDB FDC FCD Ð=ÐÐ=Ð，然后根据“等角对等边”即可证明,BE DE CF DF ==，即可证明EF 与BE 、CF 之间的数量关系．【详解】解：（1）∵AB AC =，∴A ABC CB =Ð∠，∵BD 平分ABC Ð，CD 平分ACB Ð，∴,EBD CBD FCD BCD Ð=ÐÐ=Ð，∴DBC DCB Ð=Ð，∴DB DC =，∵EF BC ∥，∴,AEF ABC AFE ACB Ð=ÐÐ=Ð，,EDB CBD FDC BCD Ð=ÐÐ=Ð，∴AEF AFE Ð=Ð，,EBD EDB FDC FCD Ð=ÐÐ=Ð，∴,,BE DE CF DF AE AF ===，∴等腰三角形有,,,,ABC AEF DEB DFC DBC V V V V V ，共计5个，∴EF DE DF BE CF =+=+，即EF BE CF =+，∴AEF △的周长AE EF AF=++AE DE DF AF=+++AE BE CF AF=+++AB AC=+1010=+20=，故答案为：5，EF BE CF =+，20；（2）若ABC V 为不等边三角形，∵BD 平分ABC Ð，CD 平分ACB Ð，∴,EBD CBD FCD BCD Ð=ÐÐ=Ð，∵EF BC ∥，∴,EDB CBD FDC BCD Ð=ÐÐ=Ð，∴,EBD EDB FDC FCD Ð=ÐÐ=Ð，∴,BE DE CF DF ==，∴等腰三角形有,DEB DFC V V ，共计2个，故答案为：2；∵,BE DE CF DF ==，∴EF DE DF BE CF =+=+，即EF BE CF =+；∴AEF △的周长AE EF AF=++AE DE DF AF=+++AE BE CF AF=+++AB AC=+810=+18=；（3）大长方形的面积为()()222365122815a b a b a ab b ++=++，小图形的面积分别为22,,a b ab ，进一步即可得到答案．【详解】（1）拼成的大长方形面积之和()()2a b a b =++，各个小图形面积之和2232a ab b =++，∴图2所表示的数学等式是()()22232a b a b a ab b ++=++．故答案为：()()22232a b a b a ab b ++=++．（2）图（3）中大正方形的面积＝()2a b c ++，各个小图形面积之和＝222222a b c ab ac bc +++++，∴()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++．∵8a b c ++=，19ab ac bc ++=．∴()222222228a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，即()222264a b c ab ac bc +++++=，∴()2226426421926a b c ab ac bc ++=-++=-´=．（3）大长方形的面积为：()()2222236512101815122815a b a b a ab ab b a ab b ++=+++=++，∵小图形的面积分别为22,,a b ab ，∴12,15,28x y z ===．∴12152855x y z ++=++=．【点睛】本题考查多项式乘多项式的计算，整体代入思想，数形结合思想，能够通过几何图形找到代数之间的等量关系是解决此类题型的关键．30．（2022·全国·八年级专题练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．(1)探究1：如图1，在ABC V 中，O 是ABC Ð与ACB Ð的平分线BO 和CO 的交点，试分析BOC Ð与A Ð有怎样的关系？请说明理由．(2)探究2：如图2中，O 是ABC Ð与外角ACD Ð的平分线BO 和CO 的交点，试分析BOC Ð与A Ð有怎样的关系？请说明理由．(3)探究3：如图3中，O 是外角DBC Ð与外角ECB Ð的平分线BO 和CO 的交点，则BOC Ð与A Ð有怎样的∵BO 和CO 分别是ABC Ð∴111,222ABC Ð=ÐÐ=Ð又∵ACD Ð是ABC V 的一个外角，(112ACD A Ð=Ð=Ð在PCD V 中，()()1801801808595CPD PCD PDC PCD PDC °°°°°Ð=-Ð+Ð=-Ð+Ð=-=．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质与三角形内角和定理，多边形内角和定理，熟练掌握三角形外角的性质与三角形内角和定理，多边形内角和定理，利用类比思想解答是解题的关键．。

人教版八年级数学上册压轴题试卷及答案一、压轴题1．如图1，在平面直角坐标系中，点A 的坐为()2,0，点D 的坐标为()0,2-，在ABC ∆中45ABC ACB ∠=∠=，//BC x 轴交y 轴于点M ．（1）求OAD ∠和ODA ∠的度数；（2）如图2，在图1的基础上，以点B 为一锐角顶点作Rt BOE ∆，90BOE =∠，OE 交AC 于点P ，求证：OB OP =；（3）在第（2）问的条件下，若点B 的标为()2,4--，求四边形BOPC 的面积．2．已知在△ABC 中，AB ＝AC ，射线BM 、BN 在∠ABC 内部，分别交线段AC 于点G 、H ． （1）如图1，若∠ABC ＝60°，∠MBN ＝30°，作AE ⊥BN 于点D ，分别交BC 、BM 于点E 、F ．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF ＝2AF ，连接CF ，求证：BF ⊥CF ；（2）如图3，点E 为BC 上一点，AE 交BM 于点F ，连接CF ，若∠BFE ＝∠BAC ＝2∠CFE ，求ABFACF S S 的值．3．（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC =∠DAE ，AB =AC ，AD =AE ，则△ABD ≌△ACE ．（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．（深入探究）（2）如图2，△ABC 和△AED 是等边三角形，连接BD ，EC 交于点O ，连接AO ，下列结论：①BD =EC ；②∠BOC =60°；③∠AOE =60°；④EO =CO ，其中正确的有 ．(将所有正确的序号填在横线上)．（延伸应用）（3）如图3，AB =BC ，∠ABC =∠BDC =60°，试探究∠A 与∠C 的数量关系．4．（1）填空①把一张长方形的纸片按如图①所示的方式折叠，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1B M 或1B M 的延长线上，那么EMF ∠的度数是________；②把一张长方形的纸片按如图②所示的方式折叠，B 点与M 点重合，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线上，那么EMF ∠的度数是_______． （2）解答：①把一张长方形的纸片按如图③所示的方式折叠，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1B M 或1B M 的延长线上左侧，且80EMF ∠=︒，求11C MB ∠的度数； ②把一张长方形的纸片按如图④所示的方式折叠，B 点与M 点重合，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线右侧，且60EMF ∠=︒，求11C MA ∠的度数．（3）探究：把一张四边形的纸片按如图⑤所示的方式折叠，EB ，FB 为折痕，设ABC α∠=︒，EBF β∠=︒，11A BC γ∠=︒，求α，β，γ之间的数量关系．5．已知ABC 和ADE 都是等腰三角形，AB AC =，AD AE =，DAE BAC ∠=∠． （初步感知）（1）特殊情形：如图①，若点D ，E 分别在边AB ，AC 上，则DB __________EC ．（填＞、＜或=）（2）发现证明：如图②，将图①中的ADE 绕点A 旋转，当点D 在ABC 外部，点E 在ABC 内部时，求证：DB EC =．（深入研究）（3）如图③，ABC 和ADE 都是等边三角形，点C ，E ，D 在同一条直线上，则CDB ∠的度数为__________；线段CE ，BD 之间的数量关系为__________．（4）如图④，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点C 、D 、E 在同一直线上，AM 为ADE 中DE 边上的高，则CDB ∠的度数为__________；线段AM ，BD ，CD 之间的数量关系为__________．（拓展提升）（5）如图⑤，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连结BE 、CD ．当5AB =，2AD =时，在旋转过程中，ABE △与ADC 的面积和的最大值为__________．6．探究：如图①，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，若∠B ＝30°，则∠ACD的度数是 度；拓展：如图②，∠MCN ＝90°，射线CP 在∠MCN 的内部，点A 、B 分别在CM 、CN 上，分别过点A 、B 作AD ⊥CP 、BE ⊥CP ，垂足分别为D 、E ，若∠CBE ＝70°，求∠CAD 的度数；应用：如图③，点A 、B 分别在∠MCN 的边CM 、CN 上，射线CP 在∠MCN 的内部，点D 、E 在射线CP 上，连接AD 、BE ，若∠ADP ＝∠BEP ＝60°，则∠CAD +∠CBE +∠ACB ＝ 度．7．如图，在等边ABC ∆中，线段AM 为BC 边上的中线．动点D 在直线AM 上时，以CD 为一边在CD 的下方作等边CDE ∆，连结BE ．（1）求CAM ∠的度数；（2）若点D 在线段AM 上时，求证：ADC BEC ∆≅∆；（3）当动点D 在直线AM 上时，设直线BE 与直线AM 的交点为O ，试判断AOB ∠是否为定值？并说明理由．8．已知：ABC 中，过B 点作BE ⊥AD ，=90=，∠︒ACB AC BC ．(1)如图1，点D 在BC 的延长线上，连AD ，作BE AD ⊥于E ，交AC 于点F ．求证：=AD BF ；(2)如图2，点D 在线段BC 上，连AD ，过A 作AE AD ⊥，且=AE AD ，连BE 交AC 于F ，连DE ，问BD 与CF 有何数量关系，并加以证明；(3)如图3，点D 在CB 延长线上，=AE AD 且AE AD ⊥，连接BE 、AC 的延长线交BE 于点M ，若=3AC MC ，请直接写出DB BC的值．9．在ABC 中，AB AC =，D 是直线AB 上一点，E 在直线BC 上，且DE DC =． （1）如图1，当D 在AB 上，E 在CB 延长线上时，求证：EDB ACD ∠=∠；（2）如图2，当ABC 为等边三角形时，D 是BA 的延长线上一点，E 在BC 上时，作//EF AC ，求证：BE AD =；（3）在（2）的条件下，ABC ∠的平分线BF 交CD 于点F ，连AF ，过A 点作AH CD ⊥于点H ，当30EDC ∠=︒，6CF =时，求DH 的长度．10．(1)问题发现：如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE ．①请直接写出∠AEB 的度数为_____；②试猜想线段AD 与线段BE 有怎样的数量关系，并证明；(2)拓展探究：图2， △ACB 和△DCE 均为等腰三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点A 、D 、E 在同－直线上， CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系，并说明理由．11．如图，在ABC ∆中，90,,8ACB AC BC AB cm ∠=︒==，过点C 做射线CD ，且//CD AB ，点P 从点C 出发，沿射线CD 方向均匀运动，速度为3/cm s ；同时，点Q 从点A 出发，沿AB 向点B 匀速运动，速度为1/cm s ，当点Q 停止运动时，点P 也停止运动．连接,PQ CQ ，设运动时间为()()08t s t <<．解答下列问题：（1）用含有t 的代数式表示CP 和BQ 的长度；（2）当2t =时，请说明//PQ BC ；（3）设BCQ ∆的面积为()2S cm ，求S 与t 之间的关系式．12．问题背景：（1）如图1，已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．求证：DE ＝BD ＋CE ．拓展延伸：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ．请写出DE 、BD 、CE 三条线段的数量关系．（不需要证明）实际应用：（3）如图，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点C 的坐标为(－2，0)，点A 的坐标为(－6，3)，请直接写出B 点的坐标．13．已知：如图1，直线//AB CD ，EF 分别交AB ，CD 于E ，F 两点，BEF ∠，DFE ∠的平分线相交于点K ．（1）求K ∠的度数；（2）如图2，BEK ∠，DFK ∠的平分线相交于点1K ，问1K ∠与K ∠的度数是否存在某种特定的等量关系？写出结论并证明；（3）在图2中作1BEK ∠，1DFK ∠的平分线相交于点2K ，作2BEK ∠，2DFK ∠的平分线相交于点3K ，依此类推，作n BEK ∠，n DFK ∠的平分线相交于点1n K +，请用含的n 式子表示1n K ∠+的度数．（直接写出答案，不必写解答过程）14．已知，如图1，直线l2⊥l1，垂足为A，点B在A点下方，点C在射线AM上，点B、C 不与点A重合，点D在直线11上，点A的右侧，过D作l3⊥l1，点E在直线l3上，点D的下方．（1）l2与l3的位置关系是；（2）如图1，若CE平分∠BCD，且∠BCD＝70°，则∠CED＝°，∠ADC＝°；（3）如图2，若CD⊥BD于D，作∠BCD的角平分线，交BD于F，交AD于G．试说明：∠DGF＝∠DFG；（4）如图3，若∠DBE＝∠DEB，点C在射线AM上运动，∠BDC的角平分线交EB的延长线于点N，在点C的运动过程中，探索∠N:∠BCD的值是否变化，若变化，请说明理由；若不变化，请直接写出比值．15．在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题：（1）非等边的等腰三角形有________条对称轴，非正方形的长方形有________条对称轴，等边三角形有___________条对称轴；（2）观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图1-2和图1-3都可以看作由图1-1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图1-4和图1-5中，分别修改图1-2和图1-3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；（3）小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；（4）请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴．16．在△ABC 中，AB =AC ，D 是直线BC 上一点，以AD 为一条边在AD 的右侧作△ADE ，使AE =AD ，∠DAE =∠BAC ，连接CE ．（1）如图，当点D 在BC 延长线上移动时，若∠BAC =40°，则∠ACE = ，∠DCE = ，BC 、DC 、CE 之间的数量关系为 ；（2）设∠BAC =α，∠DCE =β．①当点D 在BC 延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由； ②当点D 在直线BC 上（不与B ，C 两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．（3）当CE ∥AB 时，若△ABD 中最小角为15°，试探究∠ACB 的度数（直接写出结果，无需写出求解过程）．17．（阅读材料）：（1）在ABC ∆中，若90C ∠=︒，由“三角形内角和为180°”得1801809090A B C ∠︒+∠=-∠︒︒-=︒=．（2）在ABC ∆中，若90A B ∠+∠=︒，由“三角形内角和为180°”得180()1809090C A B ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒．（解决问题）：如图①，在平面直角坐标系中，点C 是x 轴负半轴上的一个动点．已知//AB x 轴，交y 轴于点E ，连接CE ，CF 是∠ECO 的角平分线，交AB 于点F ，交y 轴于点D ．过E 点作EM平分∠CEB ，交CF 于点M ．（1）试判断EM 与CF 的位置关系，并说明理由；（2）如图②，过E 点作PE ⊥CE ，交CF 于点P ．求证：∠EPC=∠EDP ；（3）在（2）的基础上，作EN 平分∠AEP ，交OC 于点N ，如图③．请问随着C 点的运动，∠NEM 的度数是否发生变化？若不变，求出其值：若变化，请说明理由．18．在△ABC 中，已知∠A ＝α．（1）如图1，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点D ．求∠BDC 的大小（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若∠ABC 的平分线与∠ACE 的平分线交于点F ，求∠BFC 的大小（用含α的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，将△FBC 以直线BC 为对称轴翻折得到△GBC ，∠GBC 的平分线与∠GCB 的平分线交于点M （如图3），求∠BMC 的度数（用含α的代数式表示）．19．直线MN 与PQ 相互垂直，垂足为点O ，点A 在射线OQ 上运动，点B 在射线OM 上运动，点A 、点B 均不与点O 重合．（1）如图1，AI 平分BAO ∠，BI 平分ABO ∠，若40BAO ∠=︒，求AIB ∠的度数； （2）如图2，AI 平分BAO ∠，BC 平分ABM ∠，BC 的反向延长线交AI 于点D ． ①若40BAO ∠=︒，则ADB =∠______度（直接写出结果，不需说理）；②点A 、B 在运动的过程中，ADB ∠是否发生变化，若不变，试求ADB ∠的度数：若变化，请说明变化规律．（3）如图3，已知点E 在BA 的延长线上，BAO ∠的角平分线AI 、OAE ∠的角平分线AF 与BOP ∠的角平分线所在的直线分别相交于的点D 、F ，在ADF 中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出ABO ∠的度数．20．如图（1），AB ＝4cm ，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC ＝BD ＝3cm ．点 P 在线段 AB 上以 1/cm s 的速度由点 A 向点 B 运动，同时，点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动．它们运动的时间为 t （s ）．（1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当t ＝1 时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由， 并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC ⊥AB ，BD ⊥AB”为改“∠CAB ＝∠DBA ＝60°”，其他条件不变．设点 Q 的运动速度为x /cm s ，是否存在实数x ，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的x 、t 的值；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）∠OAD=∠ODA=45°；（2）证明见解析；（3）18．【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可求解；（2）通过“ASA ”可证得△ODB ≌△OAP ，进而可得BO=OP ；（3）过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，延长FP 交BC 于N ，过点A 作AQ ⊥BC 于Q ，由“AAS ”可证△OBM ≌△OPF ，可得PF=BM=2，OF=OM=4，由面积和差关系可求四边形BOPC 的面积．【详解】（1）∵点A 的坐为（2，0），点D 的坐标为（0，-2），∴OA=OD ，∵∠AOD=90°，∴∠OAD=∠ODA=45°；（2）∵∠BOE=∠AOD=90°，∴∠BOD=∠AOP ，∵∠ABC=∠ACB=45°，∴∠BAC=90°，AB=AC ，∵∠OAD=∠ODA=45°，∴∠ODB=135°=∠OAP ，在△ODB 和△OAP 中，BOD AOP OD OAODB OAP ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△ODB ≌△OAP （ASA ），∴BO=OP ；（3）如图，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，延长FP 交BC 于N ，过点A 作AQ ⊥BC 于Q ，∵BC ∥x 轴，AQ ⊥BC ，PF ⊥x 轴，∴AQ ⊥x 轴，PN ⊥BC ，∠AOM=∠BMO=90°，∴点Q 横坐标为2，∵∠BAC=90°，AB=AC ，AQ ⊥BC ，∴BQ=QC ，∵点B 的标为（-2，-4），∴BM=2，OM=4，BQ=4=QC ，∵PF ⊥x 轴，∴∠OFP=∠OMB=90°，在△OBM 和△OPF 中，BOM POF BMO OFP BO PO ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△OBM ≌△OPF （AAS ），∴PF=BM=2，OF=OM=4，∵BC ∥x 轴，AQ ⊥x 轴，NF ⊥x 轴，∴OM=AQ=FN=4，∴PN=2，∵∠PNC=90°，∠ACB=45°，∴∠ACB=∠CPN=45°，∵四边形BOPC的面积=S△OBM+S梯形OMNP+S△PNC，∴四边形BOPC的面积=12×2×4+12×4×（2+4）+12×2×2=18．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的面积公式等知识，难度较大，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解本题的关键．2．（1）①见解析；②见解析；（2）2【解析】【分析】（1）①只要证明∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF＝60°即可解决问题；②只要证明△BFC≌△ADB，即可推出∠BFC＝∠ADB＝90°；（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．只要证明△ABK≌CAF，可得S△ABK＝S△AFC，再证明AF＝FK＝BK，可得S△ABK＝S△AFK，即可解决问题；【详解】（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∵BF ＝2AF ，∴BF ＝AD ，∵∠BAE ＝∠FBC ，AB ＝BC ，∴△BFC ≌△ADB ，∴∠BFC ＝∠ADB ＝90°，∴BF ⊥CF（2）在BF 上截取BK ＝AF ，连接AK ．∵∠BFE ＝∠2+∠BAF ，∠CFE ＝∠4+∠1，∴∠CFB ＝∠2+∠4+∠BAC ，∵∠BFE ＝∠BAC ＝2∠EFC ，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB ＝AC ，∴△ABK ≌CAF ，∴∠3＝∠4，S △ABK ＝S △AFC ，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE ＝∠AKB ，∠BAC ＝2∠CEF ，∴∠KAF ＝∠1+∠3＝∠AKF ，∴AF ＝FK ＝BK ，∴S △ABK ＝S △AFK ， ∴ABF AFCS 2S ∆∆=． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是能够正确添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．3．（1）证明见解析；（2）①②③；（3）∠A +∠C =180°．【解析】【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE ，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△ABD ≌△ACE ，得出BD=CE ，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，再判断出△BCF ≌△ACO ，得出∠AOC=120°，进而得出∠AOE=60°，再判断出BF ＜CF ，进而判断出∠OBC ＞30°，即可得出结论；（3）先判断出△BDP 是等边三角形，得出BD=BP ，∠DBP=60°，进而判断出△ABD ≌△CBP （SAS ），即可得出结论．【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE ，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ，∴∠BAD=∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ABD ≌△ACE ；（2）如图2，∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，∴AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ABD ≌△ACE ，∴BD=CE ，①正确，∠ADB=∠AEC ，记AD 与CE 的交点为G ，∵∠AGE=∠DGO ，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE ，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°，②正确，在OB 上取一点F ，使OF=OC ，∴△OCF 是等边三角形，∴CF=OC ，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB ，∴∠BCF=∠ACO，∵AB=AC，∴△BCF≌△ACO（SAS），∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正确，连接AF，要使OC=OE，则有OC=12 CE，∵BD=CE，∴CF=OF=12 BD，∴OF=BF+OD，∴BF＜CF，∴∠OBC＞∠BCF，∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，∴∠OBC＞30°，而没办法判断∠OBC大于30度，所以，④不一定正确，即：正确的有①②③，故答案为①②③；（3）如图3，延长DC至P，使DP=DB，∵∠BDC=60°，∴△BDP是等边三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°，∵∠BAC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．【点睛】此题考查三角形综合题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解题的关键．4．90︒，45︒；20︒，30︒；2a γβ+=，2a γβ-=.【解析】【分析】（1）①如图①知1112EMC BMC ∠=∠，1112C MF C MC ∠=∠得 ()1112EMF BMC C MC ∠=∠+∠可求出解. ②由图②知111111,22EBA ABC C BF C BC ∠=∠∠=∠得()1112EBF ABC C BC ∠=∠+∠可求出解.（2）①由图③折叠知11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠，可推出11()BMC EMF EMF C MB ∠-∠-∠=∠，即可求出解.②由图④中折叠知11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠，可推出()112906090AMC ︒︒︒-+∠=，即可求出解. （3）如图⑤-1、⑤-2中分别由折叠可知，a ββγ-=-、a ββγ-=+，即可求得 2a γβ+=、2a γβ-=.【详解】解：（1）①如图①中，1112EMC BMC ∠=∠，1112C MF C MC ∠=∠， ()1111111800229EMF EMC C MF BMC C MC ︒︒∴∠=∠+∠=∠⨯=+∠=， 故答案为90︒. ②如图②中，111111,22EBA ABC C BF C BC ∠=∠∠=∠， ()111111904522EBF EBC C BF ABC C BC ︒︒∴∠=∠+∠=∠+∠=⨯=， 故答案为45︒.（2）①如图③中由折叠可知，11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠，1111C MF EMB EMF C MB ∠+∠-∠=∠，11CMF BME EMF C MB ∴∠+∠-∠=∠，11()BMC EMF EMF C MB ∴∠-∠-∠=∠，111808020C MB ︒︒︒∴-=∠=；②如图④中根据折叠可知，11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠，112290CMF ABE A MC ︒∠+∠+∠=，112()90CMF ABE A MC ︒∴∠+∠+∠=，()1129090EMF AMC ︒︒∴-∠+∠=，()112906090AMC ︒︒︒∴-+∠=， 1130A MC ︒∴∠=；（3）如图⑤-1中，由折叠可知，a ββγ-=-，2a γβ∴+=；如图⑤-2中，由折叠可知，a ββγ-=+，2a γβ∴-=.【点睛】本题考查了图形的变换中折叠属全等变换，图形的角度及边长不变及一些角度的计算问题，突出考查学生的观察能力、思维能力以及动手操作能力，本题是代数、几何知识的综合运用典型题目.5．（1）=；（2）证明见解析；（3）60°，BD=CE ；（4）90°，AM+BD=CM ；（5）7【解析】【分析】（1）由DE ∥BC ，得到DB EC AB AC=，结合AB=AC ，得到DB=EC ； （2）由旋转得到的结论判断出△DAB ≌△EAC ，得到DB=CE ； （3）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理证明△DAB ≌△EAC ，根据全等三角形的性质求出结论；（4）根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论；（5）根据旋转的过程中△ADE 的面积始终保持不变，而在旋转的过程中，△ADC 的AC 始终保持不变，即可．【详解】[初步感知]（1）∵DE ∥BC ， ∴DB EC AB AC=，∵AB=AC ，∴DB=EC ，故答案为：=，（2）成立．理由：由旋转性质可知∠DAB=∠EAC ，在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴DB=CE ；[深入探究]（3）如图③，设AB ，CD 交于O ，∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，∴AD=AE ，AB=AC ，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAB=∠EAC ，在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴DB=CE ，∠ABD=∠ACE ，∵∠BOD=∠AOC ，∴∠BDC=∠BAC=60°；（4）∵△DAE 是等腰直角三角形，∴∠AED=45°，∴∠AEC=135°，在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴∠ADB=∠AEC=135°，BD=CE ，∵∠ADE=45°，∴∠BDC=∠ADB-∠ADE=90°，∵△ADE都是等腰直角三角形，AM为△ADE中DE边上的高，∴AM=EM=MD，∴AM+BD=CM；故答案为：90°，AM+BD=CM；【拓展提升】（5）如图，由旋转可知，在旋转的过程中△ADE的面积始终保持不变，△ADE与△ADC面积的和达到最大，∴△ADC面积最大，∵在旋转的过程中，AC始终保持不变，∴要△ADC面积最大，∴点D到AC的距离最大，∴DA⊥AC，∴△ADE与△ADC面积的和达到的最大为2+12×AC×AD=5+2=7，故答案为7．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解本题的关键是三角形全等的判定．6．探究：30；（2）拓展：20°；（3）应用：120【解析】【分析】（1）利用直角三角形的性质依次求出∠A，∠ACD即可；（2）利用直角三角形的性质直接计算得出即可；（3）利用三角形的外角的性质得出结论，直接转化即可得出结论．【详解】（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD ＝90°﹣∠A ＝30°；故答案为：30，（2）∵BE ⊥CP ，∴∠BEC ＝90°，∵∠CBE ＝70°，∴∠BCE ＝90°﹣∠CBE ＝20°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝90°﹣∠BCE ＝70°，∵AD ⊥CP ，∴∠CAD ＝90°﹣∠ACD ＝20°；（3）∵∠ADP 是△ACD 的外角，∴∠ADP ＝∠ACD +∠CAD ＝60°，同理，∠BEP ＝∠BCE +∠CBE ＝60°，∴∠CAD +∠CBE +∠ACB ＝∠CAD +∠CBE +∠ACD +∠BCE ＝（∠CAD +∠ACD ）+（∠CBE +∠BCE ）＝120°，故答案为120．【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质，三角形的外角的性质，垂直的定义，解本题的关键是充分利用直角三角形的性质：两锐角互余，是一道比较简单的综合题．7．（1）30°；（2）证明见解析；（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC AC =，DC EC =，，60ACB DCE ∠=∠=︒，由等式的性质就可以BCE ACD ∠=∠，根据SAS 就可以得出ADC BEC ∆≅∆；（3）分情况讨论：当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，就可以求出结论；当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，可以得出ACD BCE ≅∆∆而有30CBE CAD ∠=∠=︒而得出结论；当点D 在线段MA 的延长线上时，如图3，通过得出ACD BCE ≅∆∆同样可以得出结论．【详解】（1）ABC ∆是等边三角形，60BAC ∴∠=︒．线段AM 为BC 边上的中线，12CAM BAC ∴∠=∠， 30CAM ∴∠=︒．（2）ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，ACD DCB DCB BCE ∴∠+∠=∠+∠，ACD BCE ∠∠∴=．在ADC ∆和BEC ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆；（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒，理由如下：①当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，则30CBE CAD ∠=∠=︒，又60ABC ∠=︒，603090CBE ABC ∴∠+∠=︒+︒=︒，ABC ∆是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线AM ∴平分BAC ∠，即11603022BAM BAC ∠=∠=⨯︒=︒ 903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，ACB DCB DCB DCE ∴∠+∠=∠+∠，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD ∆和BCE ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，30CBE CAD ∴∠=∠=︒，同理可得：30BAM ∠=︒，903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．③当点D 在线段MA 的延长线上时，ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，60ACD ACE BCE ACE ∴∠+∠=∠+∠=︒，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD ∆和BCE ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，CBE CAD ∴∠=∠，同理可得：30CAM ∠=︒150CBE CAD ∴∠=∠=︒30CBO ∴∠=︒，∵30BAM ∠=︒，903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．综上，当动点D 在直线AM 上时，AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒．【点睛】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形三线合一的性质，解题中注意分类讨论的思想解题.8．（1）见详解，（2）2BD CF =，证明见详解，（3）23． 【解析】【分析】（1）欲证明BF AD =，只要证明BCF ACD ∆≅∆即可；（2）结论：2BD CF =．如图2中，作EH AC ⊥于H ．只要证明ACD EHA ∆≅∆，推出CD AH =，EH AC BC ==，由EHF BCF ∆≅∆，推出CH CF =即可解决问题； （3）利用（2）中结论即可解决问题；【详解】（1）证明：如图1中，BE AD ⊥于E ，90AEF BCF ∴∠=∠=︒，AFE CFB ∠=∠，DAC CBF ∴∠=∠，BC AC =，BCF ACD ∴∆≅∆(AAS )，BF AD ∴=．（2）结论：2BD CF =．理由：如图2中，作EH AC ⊥于H ．90AHE ACD DAE ∠=∠=∠=︒，90DAC ADC ∴∠+∠=︒，90DAC EAH ∠+∠=︒，ADC EAH ∴∠=∠，AD AE =，ACD EHA ∴∆≅∆，CD AH ∴=，EH AC BC ==，CB CA =，BD CH ∴=，90EHF BCF ∠=∠=︒，EFH BFC ∠=∠，EH BC =，EHF BCF ∴∆≅∆，FH FC ∴=，2BD CH CF ∴==．（3）如图3中，作EH AC ⊥于交AC 延长线于H ．90AHE ACD DAE ∠=∠=∠=︒，90DAC ADC ∴∠+∠=︒，90DAC EAH ∠+∠=︒，ADC EAH ∴∠=∠，AD AE =，ACD EHA ∴∆≅∆，CD AH ∴=，EH AC BC ==，CB CA =，BD CH ∴=，90EHM BCM ∠=∠=︒，EMH BMC ∠=∠，EH BC =，EHM BCM ∴∆≅∆，MH MC ∴=，2BD CH CM ∴==．3AC CM =，设CM a =，则3AC CB a ==，2BD a =， ∴2233DB a BC a ==．【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．另外对于类似连续几步的综合题，一般前一步为后一步提供解题的条件或方法．9．（1）见解析；（2）见解析；（3）3【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和外角的性质即可得到结论；（2）过E 作EF ∥AC 交AB 于F ，根据已知条件得到△ABC 是等边三角形，推出△BEF 是等边三角形，得到BE=EF ，∠BFE=60°，根据全等三角形的性质即可得到结论； （3）连接AF ，证明△ABF ≌△CBF ，得AF=CF ，再证明DH=AH=12CF=3． 【详解】解：（1）∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∵DE=DC ，∴∠E=∠DCE ，∴∠ABC-∠E=∠ACB-∠DCB ，即∠EDB=∠ACD ；（2）∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=60°，∴△BEF 是等边三角形，∴BE=EF ，∠BFE=60°，∴∠DFE=120°，∴∠DFE=∠CAD ，在△DEF 与△CAD 中，EDF DCA DFE CAD DE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEF ≌△CAD （AAS ），∴EF=AD ，∴AD=BE ；（3）连接AF ，如图3所示：∵DE=DC ，∠EDC=30°，∴∠DEC=∠DCE=75°，∴∠ACF=75°-60°=15°，∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABF=∠CBF ，在△ABF 和△CBF 中，AB BC ABF CBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△ABF ≌△CBF （SAS ），∴AF=CF ，∴∠FAC=∠ACF=15°，∴∠AFH=15°+15°=30°，∵AH ⊥CD ，∴AH=12AF=12CF=3， ∵∠DEC=∠ABC+∠BDE ，∴∠BDE=75°-60°=15°，∴∠ADH=15°+30°=45°，∴∠DAH=∠ADH=45°，∴DH=AH=3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等边三角形的判定和性质，证明三角形全等是解决问题的关键．10．（1）①60°；②AD=BE.证明见解析；（2）∠AEB ＝90°；AE=2CM+BE ；理由见解析.【解析】【分析】（1）①由条件△ACB 和△DCE 均为等边三角形，易证△ACD ≌△BCE ，从而得到：AD=BE ，∠ADC=∠BEC ．由点A ，D ，E 在同一直线上可求出∠ADC ，从而可以求出∠AEB 的度数．②由△ACD ≌△BCE ，可得AD=BE ；（2）首先根据△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，可得AC=BC ，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE ；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD ≌△BCE ，即可判断出BE=AD ，∠BEC=∠ADC ，进而判断出∠AEB 的度数为90°；根据DCE=90°，CD=CE ，CM ⊥DE ，可得CM=DM=EM ，所以DE=DM+EM=2CM ，据此判断出AE=BE+2CM ．【详解】（1）①∵∠ACB=∠DCE ，∠DCB=∠DCB ，∴∠ACD=∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ACD ≌△BCE ，∴AD=BE ，∠CEB=∠ADC=180°−∠CDE=120°，∴∠AEB=∠CEB−∠CED=60°；②AD=BE.证明：∵△ACD ≌△BCE ，∴AD=BE ．（2）∠AEB ＝90°；AE=2CM+BE ；理由如下：∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 90°，∴AC = BC ， CD = CE ， ∠ACB =∠DCB =∠DCE －∠DCB ， 即∠ACD = ∠BCE ，∴△ACD ≌△BCE ，∴AD = BE，∠BEC = ∠ADC=135°．∴∠AEB =∠BEC－∠CED =135°－ 45°= 90°．在等腰直角△DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM =DM= ME，∴DE = 2CM．∴AE = DE+AD=2CM+BE．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，解题时需注意运用已有的知识和经验解决相似问题．11．（1）CP=3t，BQ=8-t；（2）见解析；（3）S=16-2t．【解析】【分析】（1）直接根据距离=速度⨯时间即可；（2）通过证明PCQ BQC≅，得到∠PQC=∠BCQ，即可求证；（3）过点C作CM⊥AB，垂足为M，根据等腰直角三角形的性质得到CM=AM=4，即可求解．【详解】解：（1）CP=3t，BQ=8-t；（2）当t=2时，CP=3t=6，BQ=8-t=6∴CP=BQ∵CD∥AB∴∠PCQ=∠BQC又∵CQ=QC∴PCQ BQC≅∴∠PQC=∠BCQ∴PQ∥BC（3）过点C作CM⊥AB，垂足为M∵AC=BC，CM⊥AB∴AM=118422AB=⨯=（cm）∵AC=BC，∠ACB=90︒∴∠A=∠B=45︒∵CM⊥AB∴∠AMC=90︒∴∠ACM=45︒∴∠A=∠ACM∴C M=AM=4（cm ） ∴118t 416222BCQ S BQ CM t ==⨯-⨯=- 因此，S 与t 之间的关系式为S=16-2t ．【点睛】 此题主要考查列代数式、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握逻辑推理是解题关键．12．（1）证明见解析；（2）DE ＝BD ＋CE ；（3）B(1，4)【解析】【分析】（1）证明△ABD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明∠ABD=∠CAE ，证明△ABD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；（3）根据△AEC ≌△CFB ，得到CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，根据坐标与图形性质解答．【详解】（1）证明：∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，∴∠ADB ＝∠CEA ＝90°∵∠BAC ＝90°∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°∵∠BAD ＋∠ABD ＝90°∴∠CAE ＝∠ABD∵在△ADB 和△CEA 中ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△CEA （AAS ）∴AE ＝BD ，AD ＝CE∴DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE即：DE ＝BD ＋CE（2）解：数量关系：DE ＝BD ＋CE理由如下：在△ABD 中，∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD ，∵∠CAE=180°-∠BAC-∠BAD ，∠BDA=∠AEC ，∴∠ABD=∠CAE ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE BDA AEC AB CA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ABD ≌△CAE （AAS ）∴AE=BD ，AD=CE ，∴DE=AD+AE=BD+CE ；（3）解：如图，作AE ⊥x 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，由（1）可知，△AEC ≌△CFB ，∴CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，∴OF=CF-OC=1，∴点B 的坐标为B （1，4）．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．13．（1）90︒；（2）12K K ∠∠=，证明见解析；（3）111902n n K ∠++=⨯︒ 【解析】【分析】（1） 过 K 作KG ∥AB ，交 EF 于 G ，证出//AB CD ∥KG ，得到BEK EKG ∠∠=，GKF KFD ∠∠=，根据角平分线的性质及平行线的性质得到()2180BEK DFK ∠∠+=，即可得到答案；（2）根据角平分线的性质得到1112BEK KEK KEB ∠∠∠==，1112KFK DFK DFK ∠∠∠==，根据90BEK KFD ∠∠+=求出1145KEK KFK ∠∠+=，根据()()111180K KEF EFK KEK KFK ∠∠∠∠∠=-+-+求出答案；（3）根据（2）得到规律解答即可.【详解】（1） 过 K 作KG ∥AB ，交 EF 于 G ，∵//AB CD ，∴//AB CD ∥KG ，BEK EKG ∠∠∴=，GKF KFD ∠∠=， EK ，FK 分别为BEF ∠与EFD ∠的平分线，BEK FEK ∠∠∴=，EFK DFK ∠∠=，∵//AB CD ，180BEK FEK EFK DFK ∠∠∠∠∴+++=，()2180BEK DFK ∠∠∴+=，90BEK DFK ∠∠∴+=，则 90EKF EKG GKF ∠∠∠=+=；（2） 12K K ∠∠=，理由为：BEK ∠，DFK ∠的平分线相交于点1K ，1112BEK KEK KEB ∠∠∠∴==，1112KFK DFK DFK ∠∠∠==， 180BEK FEK EFK DFK ∠∠∠∠+++=，即 ()2180BEK KFD ∠∠+=， 90BEK KFD ∠∠∴+=，1145KEK KFK ∠∠∴+=，()()11118045K KEF EFK KEK KFK ∠∠∠∠∠∴=-+-+=，12K K ∠∠∴=；（3）由（2）知90K ∠=；1119022K K ∠∠==⨯ 同理可得2112K K ∠∠==14K ∠1904=⨯， ∴111902n n K ∠++=⨯. 【点睛】此题考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等；平行公理的推论：平行于同一直线的两直线平行；角平分线的性质；(3)是难点，注意总结前两问的做题思路得到规律进行解答.14．（1）互相平行；（2）35，20；（3）见解析；（4）不变，1 2【解析】【分析】（1）根据平行线的判定定理即可得到结论；（2）根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论；（3）根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论；（4）根据角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质即可得到结论．【详解】解：（1）直线l2⊥l1，l3⊥l1，∴l2∥l3，即l2与l3的位置关系是互相平行，故答案为：互相平行；（2）∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE＝12BCD，∵∠BCD＝70°，∴∠DCE＝35°，∵l2∥l3，∴∠CED＝∠DCE＝35°，∵l2⊥l1，∴∠CAD＝90°，∴∠ADC＝90°﹣70°＝20°；故答案为：35，20；（3）∵CF平分∠BCD，∴∠BCF＝∠DCF，∵l2⊥l1，∴∠CAD＝90°，∴∠BCF+∠AGC＝90°，∵CD⊥BD，∴∠DCF+∠CFD＝90°，∴∠AGC＝∠CFD，∵∠AGC＝∠DGF，∴∠DGF＝∠DFG；（4）∠N:∠BCD的值不会变化，等于12；理由如下：∵l2∥l3，∴∠BED＝∠EBH，∵∠DBE＝∠DEB，∴∠DBE＝∠EBH，∴∠DBH＝2∠DBE，∵∠BCD+∠BDC＝∠DBH，∴∠BCD+∠BDC＝2∠DBE，∵∠N+∠BDN＝∠DBE，∴∠BCD+∠BDC＝2∠N+2∠BDN，∵DN平分∠BDC，∴∠BDC＝2∠BDN，∴∠BCD＝2∠N，∴∠N:∠BCD＝12．【点睛】本题考查了三角形的综合题，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确的识别图形进行推理是解题的关键．15．（1）1，2，3；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质、矩形的性质以及等边三角形的性质进行判断即可；（2）中图1-2和图1-3都可以看作由图1-1修改得到的，在图1-4和图1-5中，分别仿照类似的修改方式进行画图即可；（3）长方形具有两条对称轴，在长方形的右侧补出与左侧一样的图形，即可构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形；（4）在等边三角形的基础上加以修改，即可得到恰好有3条对称轴的凸六边形．【详解】解：（1）非等边的等腰三角形有1条对称轴，非正方形的长方形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴，故答案为1，2，3；（2）恰好有1条对称轴的凸五边形如图中所示．（3）恰好有2条对称轴的凸六边形如图所示．。

人教版八年级上册数学压轴题试卷及答案一、压轴题1．如图，在ABC ∆中，90,,8ACB AC BC AB cm ∠=︒==，过点C 做射线CD ，且//CD AB ，点P 从点C 出发，沿射线CD 方向均匀运动，速度为3/cm s ；同时，点Q 从点A 出发，沿AB 向点B 匀速运动，速度为1/cm s ，当点Q 停止运动时，点P 也停止运动．连接,PQ CQ ，设运动时间为()()08t s t <<．解答下列问题：（1）用含有t 的代数式表示CP 和BQ 的长度；（2）当2t =时，请说明//PQ BC ；（3）设BCQ ∆的面积为()2S cm ，求S 与t 之间的关系式．解析：（1）CP=3t ，BQ=8-t ；（2）见解析；（3）S=16-2t ．【解析】【分析】（1）直接根据距离=速度⨯时间即可；（2）通过证明PCQ BQC ≅，得到∠PQC=∠BCQ，即可求证； （3）过点C 作CM⊥AB ，垂足为M ，根据等腰直角三角形的性质得到CM=AM=4，即可求解．【详解】解：（1）CP=3t ，BQ=8-t ；（2）当t=2时，CP=3t=6，BQ=8-t=6∴CP=BQ∵CD ∥AB∴∠PCQ=∠BQC又∵CQ=QC∴PCQ BQC ≅∴∠PQC=∠BCQ∴PQ∥BC（3）过点C 作CM⊥AB，垂足为M∵AC=BC，CM⊥AB ∴AM=118422AB =⨯=（cm ） ∵AC=BC，∠ACB=90︒∴∠A=∠B=45︒∵CM⊥AB∴∠AMC=90︒∴∠ACM=45︒∴∠A=∠ACM∴CM=AM=4（cm ）∴118t 416222BCQ S BQ CM t ==⨯-⨯=- 因此，S 与t 之间的关系式为S=16-2t ．【点睛】 此题主要考查列代数式、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握逻辑推理是解题关键．2．直线MN 与PQ 相互垂直，垂足为点O ，点A 在射线OQ 上运动，点B 在射线OM 上运动，点A 、点B 均不与点O 重合．（1）如图1，AI 平分BAO ∠，BI 平分ABO ∠，若40BAO ∠=︒，求AIB ∠的度数； （2）如图2，AI 平分BAO ∠，BC 平分ABM ∠，BC 的反向延长线交AI 于点D ． ①若40BAO ∠=︒，则ADB =∠______度（直接写出结果，不需说理）；②点A 、B 在运动的过程中，ADB ∠是否发生变化，若不变，试求ADB ∠的度数：若变化，请说明变化规律．（3）如图3，已知点E 在BA 的延长线上，BAO ∠的角平分线AI 、OAE ∠的角平分线AF 与BOP ∠的角平分线所在的直线分别相交于的点D 、F ，在ADF 中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出ABO ∠的度数．解析：（1）135°；（2）①45°；②不变；45°；（3）45°或36°【解析】【分析】灵活运用三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角和；（1）求出IBA ∠，IAB ∠，根据180()AIB IBA IAB ∠=-∠+∠，即可解决问题； （2）①求出CBA ∠，BAI ∠，根据CBA ADB BAD ∠=∠+∠，即可求出ADB ∠的值； ②根据D CBA BAD ∠=∠-∠1122MBA BAO =∠-∠12AOB =∠即可得出结论； （3）首先证明90DAF ∠=，2ABO D ∠=∠，再分四种情况讨论①当4DAF D ∠=∠时，②4DAF F ∠=∠时， ③4F D ∠=∠时，④4D F ∠=∠时， 分别计算，符合题意得保留即可．【详解】解：（1）如图1中，MN PQ ⊥，90AOB ∴∠=，40BAO ∠=︒，∴905040ABO ∠=-=︒， 又AI 平分BAO ∠，BI 平分ABO ∠，∴1252IBA ABO ∠==，1202IAB OAB ∠==， ∴180()135AIB IBA IAB ∠=-∠+∠=，（2）如图2中：①MBA AOB BAD ∠=∠+∠（三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角和）， 9040=+130=AI 平分BAO ∠，BC 平分ABM ∠，∴1652CBA MBA ∠=∠=，1202BAI BAO ∠=∠=， CBA ADB BAD ∠=∠+∠，∴45ADB ∠=；②结论：点A 、B 在运动过程中，45ADB ∠=， 理由：D CBA BAD ∠=∠-∠1122MBA BAO =∠-∠ 1()2MBA BAO =∠-∠12AOB =∠ 1902=⨯45=∴点A 、B 在运动过程中，ADB ∠的角度不变，45ADB ∠=；（3）如图3中，BAO ∠的角平分线AI 、OAE ∠的角平分线AF 与BOP ∠的角平分线所在的直线分别相交于的点D 、F ， ∴12DAO BAO ∠=∠，12FAO EAP ∠=∠， 又BAO EAP ∠+∠为平角，∴11118090222DAF BAO EAP ∠=∠+∠=⨯=， ∴111222D POD DAO POB BAO ABO ∠=∠-∠=∠-∠=∠， ∴2ABO D ∠=∠， 又在AOB 中：AOB 90∠=，∴ABO ∠﹤90，在ADF 中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，则：①当4DAF D ∠=∠时，22.5D ∠=，此时245ABO D ∠=∠=，②4DAF F ∠=∠时，22.5F ∠=，67.5D ∠=，此时2135ABO D ∠=∠=（不符合题意舍去），③4F D ∠=∠时，18D ∠=，此时236ABO D ∠=∠=，④4D F ∠=∠时，72D ∠=，此时2144ABO D ∠=∠=（不符合题意舍去），综上所述，当45ABO ∠=或36时，在ADF 中，有一个角的度数是另一个角的4倍．【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理，以及分类讨论的数学思想的理解及应用，分类讨论时，没有讨论完全是本题的易错点．3．已知：MN ∥PQ ，点A ，B 分别在MN ，PQ 上，点C 为MN ，PQ 之间的一点，连接CA ，CB ．（1）如图1，求证：∠C=∠MAC+∠PBC ；（2）如图2，AD ，BD ，AE ，BE 分别为∠MAC ，∠PBC ，∠CAN ，∠CBQ 的角平分线，求证：∠D+∠E=180°；（3）在（2）的条件下，如图3，过点D 作DA 的垂线交PQ 于点G ，点F 在PQ 上，∠FDA=2∠FDB ，FD 的延长线交EA 的延长线于点H ，若3∠C=4∠E ，猜想∠H 与∠GDB 的倍数关系并证明．解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）猜想：∠H= 3∠GDB ，证明见解析．【解析】【分析】（1）作辅助线：过C 作EF ∥MN ，根据平行的传递性可知这三条直线两两平行，由平行线的性质得到内错角相等∠MAC=∠ACF ，∠BCF=∠PBC ，再进行角的加和即可得出结论；（2）根据角平分线线定理得知11,22MAD MAC NAE NAC ∠=∠∠=∠，利用平角为180°得到∠DAE=90°，同理得90DBE ∠=︒，再根据四边形内角和180°，得出结论；（3）由（1）（2）中的结论进行等量代换得到3∠ADB=2∠E ，并且两角的和为180°，由此得到两个角的度数分别为72°和108°，利用角的和与差得到∠HDA=36°，∠H=54°，由此得到倍数关系． 【详解】（1）如图：过C 作EF ∥MN ，∵MN ∥PQ ， ∴MN ∥EF ∥PQ ，∴∠MAC=∠ACF ，∠BCF=∠PBC ，∴∠ACF+∠BCF=∠MAC+∠PBC ，即∠ACB=∠MAC+∠PBC ．（2）∵AD ，AE 分别为∠MAC ，∠CAN 的角平分线，∴11,22MAD MAC NAE NAC ∠=∠∠=∠， ∴11118090222MAD NAE MAC NAC ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，于是∠DAE=90° 同理可得：90PBD QBE ∠+∠=︒，由（1）可得： ∵ 180D E MAD PBD NAE QBE ∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒．（3）猜想：∠H= 3∠GDB.理由如下：由（1）可知：2()2C MAC PBC MAD PBD ADB ∠=∠+∠=∠+∠=∠， ∵3∠C=4∠E ，∴6∠ADB=4∠E ，∴3∠ADB=2∠E ，∵∠ADB+∠E=180°，∴∠ADB=72°，∠E=108°，∵DG ⊥DA ，∴∠GDB=18°，∵∠FDA=2∠FDB ，∴∠ADF=144°，∴∠HDA=36°，∵DA ⊥AE ，∴∠H=54°，∴∠H=3∠GDB ．【点睛】考查平行线中角度的关系，学生要熟悉掌握平行线的性质以及角平分线定理，结合角的和与差进行计算，本题的关键是平行线的性质．4．在△ABC 中，已知∠A ＝α．（1）如图1，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点D ．求∠BDC 的大小（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若∠ABC 的平分线与∠ACE 的平分线交于点F ，求∠BFC 的大小（用含α的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，将△FBC 以直线BC 为对称轴翻折得到△GBC ，∠GBC 的平分线与∠GCB 的平分线交于点M （如图3），求∠BMC 的度数（用含α的代数式表示）．解析：（1）∠BDC ＝90°+2α；（2）∠BFC ＝2α；（3）∠BMC ＝90°+4α． 【解析】【分析】 （1）由三角形内角和可求∠ABC +∠ACB ＝180°﹣α，由角平分线的性质可求∠DBC +∠BCD ＝12（∠ABC +∠ACB ）＝90°﹣2α，由三角形的内角和定理可求解； （2）由角平分线的性质可得∠FBC ＝12∠ABC ，∠FCE ＝12∠ACE ，由三角形的外角性质可求解；（3）由折叠的性质可得∠G ＝∠BFC ＝2α，方法同（1）可求∠BMC ＝90°+2G ∠，即可求解.【详解】解：（1）∵∠A ＝α，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣α，∵BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，∴∠DBC ＝12∠ABC ，∠BCD ＝12∠ACB ， ∴∠DBC +∠BCD ＝12（∠ABC +∠ACB ）＝90°﹣2α， ∴∠BDC ＝180°﹣（∠DBC +∠BCD ）＝90°+2α； （2）∵∠ABC 的平分线与∠ACE 的平分线交于点F ，∴∠FBC ＝12∠ABC ，∠FCE ＝12∠ACE ， ∵∠ACE ＝∠A +∠ABC ，∠FCE ＝∠BFC +∠FBC ，∴∠BFC ＝12∠A ＝2α； （3）∵∠GBC 的平分线与∠GCB 的平分线交于点M ， ∴方法同（1）可得∠BMC ＝90°+2G ∠， ∵将△FBC 以直线BC 为对称轴翻折得到△GBC ，∴∠G ＝∠BFC ＝2α， ∴∠BMC ＝90°+4α. 【点睛】此题考查三角形的内角和定理，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，角平分线的性质定理，折叠的性质.5．如图，在ABC 中，3AB AC ==，50B C ∠=∠=，点D 在边BC 上运动（点D 不与点,B C 重合），连接AD ，作50ADE ∠=，DE 交边AC 于点E ．（1）当100BDA ∠=时，EDC ∠= ，DEC ∠=（2）当DC 等于多少时，ABD DCE ≌△△，请说明理由；（3）在点D 的运动过程中，ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出BDA ∠的度数；若不可以，请说明理由．解析：（1）30，100；（2）3DC =，见解析；（3）可以，115或100【解析】【分析】（1）根据平角的定义，可求出 ∠EDC 的度数，根据三角形内和定理，即可求出 ∠DEC ；（2）当 AB=DC 时，利用 AAS 可证明 ΔABD ≅ΔDCE ，即可得出 AB=DC=3 ； （3）假设 ΔADE 是等腰三角形，分为三种情况讨论：①当 DA=DE 时，求出∠DAE=∠DEA=70° ，求出 ∠BAC ，根据三角形的内角和定理求出 ∠BAD ，根据三角形的内角和定理求出 ∠BDA 即可；②当 AD=AE 时， ∠ADE=∠AED=40° ，根据 ∠AED>∠C ，得出此时不符合；③当 EA=ED 时，求出 ∠DAC ，求出 ∠BAD ，根据三角形的内角和定理求出 ∠ADB ．【详解】（1）在 △BAD 中，∵∠B=50°,∠BDA=100° ，∴1801805010030EDC ADE ADB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，1801803050100DEC EDC C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．故答案为30EDC ∠=︒，100DEC ∠=︒．（2）当3DC =时，ABD DCE ∆≅∆，理由如下：∵3AB =，3DC =∴AB DC =∵50B ∠=，50ADE ∠=∴B ADE ∠=∠∵180ADB ADE EDC ∠+∠+∠=180DEC C EDC ∠+∠+∠=∴ADB DEC ∠=∠在ABD ∆和DCE ∆中AB DC B CADB DEC =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴ABD ∆≅DCE ∆（3）可以，理由如下：∵50B C ︒∠=∠=，180B C BAC ︒∠+∠+∠=∴180180505080BAC B C ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=分三种情况讨论：①当DA DE =时，DAE DEA ∠=∠∵50ADE ︒∠=，180ADE DAE DEA ︒∠+∠+∠=∴()18050265DAE ︒︒︒∠=-÷=∴BAD BAC DAE ∠=∠-∠ 8065︒︒=-15︒=∵180B BAD BDA ︒∠+∠+∠=∴180BDA B BAD ︒∠=-∠-∠1805015︒︒︒=--115︒=②当AD AE =时，50AED ADE ︒∠=∠=∵180ADE AED DAE ︒∠+∠+∠=∴180DAE AED ADE ︒∠=-∠-∠1805050︒︒︒=--80︒=又∵80BAC ︒∠=∴DAE BAE ∠=∠∴点D 与点B 重合，不合题意．③当EA ED =时，50DAE ADE ︒∠=∠=∴BAD BAC DAE ∠=∠-∠8050︒︒=-30︒=∵180B BAD BDA ︒∠+∠+∠=∴180BDA B BAD ︒∠=-∠-∠1805030100︒︒︒︒=--=综上所述，当BDA ∠的度数为115或100时，ADE ∆是等腰三角形．【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．6．已知：如图1，直线//AB CD ，EF 分别交AB ，CD 于E ，F 两点，BEF ∠，DFE ∠的平分线相交于点K ．（1）求K ∠的度数；（2）如图2，BEK ∠，DFK ∠的平分线相交于点1K ，问1K ∠与K ∠的度数是否存在某种特定的等量关系？写出结论并证明；（3）在图2中作1BEK ∠，1DFK ∠的平分线相交于点2K ，作2BEK ∠，2DFK ∠的平分线相交于点3K ，依此类推，作n BEK ∠，n DFK ∠的平分线相交于点1n K +，请用含的n 式子表示1n K ∠+的度数．（直接写出答案，不必写解答过程）解析：（1）90︒；（2）12K K ∠∠=，证明见解析；（3）111902n n K ∠++=⨯︒ 【解析】【分析】 （1） 过 K 作KG ∥AB ，交 EF 于 G ，证出//AB CD ∥KG ，得到BEK EKG ∠∠=，GKF KFD ∠∠=，根据角平分线的性质及平行线的性质得到()2180BEK DFK ∠∠+=，即可得到答案；（2）根据角平分线的性质得到1112BEK KEK KEB ∠∠∠==，1112KFK DFK DFK ∠∠∠==，根据90BEK KFD ∠∠+=求出1145KEK KFK ∠∠+=，根据()()111180K KEF EFK KEK KFK ∠∠∠∠∠=-+-+求出答案；（3）根据（2）得到规律解答即可.【详解】（1） 过 K 作KG ∥AB ，交 EF 于 G ，∵//AB CD ，∴//AB CD ∥KG ，BEK EKG ∠∠∴=，GKF KFD ∠∠=，EK ，FK 分别为BEF ∠与EFD ∠的平分线，BEK FEK ∠∠∴=，EFK DFK ∠∠=，∵//AB CD ，180BEK FEK EFK DFK ∠∠∠∠∴+++=，()2180BEK DFK ∠∠∴+=，90BEK DFK ∠∠∴+=，则 90EKF EKG GKF ∠∠∠=+=；（2） 12K K ∠∠=，理由为：BEK ∠，DFK ∠的平分线相交于点1K ，1112BEK KEK KEB ∠∠∠∴==，1112KFK DFK DFK ∠∠∠==， 180BEK FEK EFK DFK ∠∠∠∠+++=，即 ()2180BEK KFD ∠∠+=， 90BEK KFD ∠∠∴+=，1145KEK KFK ∠∠∴+=，()()11118045K KEF EFK KEK KFK ∠∠∠∠∠∴=-+-+=，12K K ∠∠∴=；（3）由（2）知90K ∠=；1119022K K ∠∠==⨯ 同理可得2112K K ∠∠==14K ∠1904=⨯， ∴111902n n K ∠++=⨯. 【点睛】此题考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等；平行公理的推论：平行于同一直线的两直线平行；角平分线的性质；(3)是难点，注意总结前两问的做题思路得到规律进行解答. 7．某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点P ，∠A ＝64°，则∠BPC ＝ ；（2）如图2，△ABC 的内角∠ACB 的平分线与△ABC 的外角∠ABD 的平分线交于点E ．其中∠A ＝α，求∠BEC ．（用α表示∠BEC ）；（3）如图3，∠CBM 、∠BCN 为△ABC 的外角，∠CBM 、∠BCN 的平分线交于点Q ，请你写出∠BQC 与∠A 的数量关系，并说明理由；（4）如图4，△ABC 外角∠CBM 、∠BCN 的平分线交于点Q ，∠A=64°，∠CBQ ，∠BCQ 的平分线交于点P ，则∠BPC= ゜，延长BC 至点E ，∠ECQ 的平分线与BP 的延长线相交于点R ，则∠R= ゜．解析：（1） 122°；（2）12BEC α∠=；（3）01902BQC A ；（4）119，29 ； 【解析】【分析】 （1）根据三角形的内角和角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用A ∠与1∠表示出2∠，再利用E ∠与1∠表示出2∠，于是得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出EBC ∠与ECB ∠，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（4）根据（1），（3）的结论可以得出∠BPC 的度数；根据（2）的结论可以得到∠R 的度数．【详解】解：（1）BP 、CP 分别平分ABC ∠和ACB ∠，12PBC ABC ∴∠=∠，12PCB ACB ∠=∠， 180()BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠11180()22ABC ACB =︒-∠+∠， 1180()2ABC ACB =︒-∠+∠， 1(180180)2A =︒-︒-∠， 1180902A =-︒+︒∠， 9032122，故答案为：122︒；（2）如图2示，CE 和BE 分别是ACB ∠和ABD ∠的角平分线，112ACB ∴∠=∠，122ABD ∠=∠， 又ABD ∠是ABC ∆的一外角，ABD A ACB ∴∠=∠+∠，112()122A ABC A ∴∠=∠+∠=∠+∠， 2∠是BEC ∆的一外角，112111222BEC A A α∴∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠=； （3）1()2QBC A ACB ∠=∠+∠，1()2QCB A ABC ∠=∠+∠， 180BQC QBC QCB ∠=︒-∠-∠，11180()()22A ACB A ABC =︒-∠+∠-∠+∠， 11180()22A A ABC ACB =︒-∠-∠+∠+∠， 结论1902BQC A ∠=︒-∠． （4）由（3）可知，119090645822BQCA ， 再根据（1），可得180()BPCPBC PCB 1118022QBC QCB 1180902Q 118090582119；由（2）可得：11582922R Q ;故答案为：119，29．【点睛】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．8．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点 P 在线段 AB 上以1/cm s的速度由点 A 向点 B 运动，同时，点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当t＝1 时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由，并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点 Q 的运动速度为x/cm s，是否存在实数x，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．解析：（1）全等，垂直，理由详见解析；（2）存在，11tx=⎧⎨=⎩或232tx=⎧⎪⎨=⎪⎩【解析】【分析】（1）在t =1的条件下，找出条件判定△ACP和△BPQ全等，再根据全等三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质，可证∠CPQ= 90°，即可判断线段 PC 和线段 PQ 的位置关系;（2）本题主要在动点的条件下，分情况讨论，利用三角形全等时对应边相等的性质进行解答即可.【详解】(1)当t=1时，AP= BQ=1, BP= AC=3,又∠A=∠B= 90°，在△ACP和△BPQ中，{AP BQA B AC BP=∠=∠=∴△ACP ≌△BPQ(SAS).∴∠ACP=∠BPQ ,∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP = 90*.∴∠CPQ= 90°，即线段PC 与线段PQ 垂直；(2)①若△ACP ≌△BPQ ，则AC= BP ，AP= BQ ，34t t xt =-⎧⎨=⎩解得11t x =⎧⎨=⎩; ②若△ACP ≌△BQP ，则AC= BQ ，AP= BP ，34xt t t=⎧⎨=-⎩ 解得：232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩ 综上所述,存在11t x =⎧⎨=⎩或232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP 与△BPQ 全等. 【点睛】本题主要考查三角形全等与动点问题，熟练掌握三角形全等的性质与判定定理，是解决本题的关键.9．在△ABC 中，已知∠A ＝α．（1）如图1，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点D ．①当α＝70°时，∠BDC 度数＝ 度（直接写出结果）；②∠BDC 的度数为 （用含α的代数式表示）；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE角平分线交于点F，求∠BFC的度数（用含α的代数式表示）．（3）在（2）的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M（如图3），求∠BMC的度数（用含α的代数式表示）．解析：（1）（1）①125°；②1902α︒+，（2）1BFC2α∠=；（3）1 BMC904α︒∠=+【解析】【分析】（1）①由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=110°，然后根据角平分线的定义，结合三角形内角和定理可求∠BDC；②由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，采用①的推导方法即可求解；（2）由三角形外角性质得BFC FCE FBC∠=∠-∠，然后结合角平分线的定义求解；（3）由折叠的对称性得BGC BFC∠=∠，结合（1）②的结论可得答案．【详解】解：（1）①∵12DBC∠=∠ABC，∠DCB＝12∠ACB，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣12（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣12（180°﹣70°）＝125°②∵12DBC∠=∠ABC，∠DCB＝12∠ACB，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣12（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣12（180°﹣∠A）＝90°+12∠A＝90°+12α．故答案分别为125°，90°+12α．（2）∵BF和CF分别平分∠ABC和∠ACE∴1FBC ABC 2∠=∠，1FCE ACE 2∠=∠， ∴BFC FCE FBC ∠=∠-∠＝11(ACE ABC)A 22∠-∠=∠ 即1BFC 2α∠=． （3）由轴对称性质知：1BGC BFC 2α∠=∠=， 由（1）②可得1BMC 90BGC 2∠=︒+∠， ∴1BMC 904α∠=︒+． 【点睛】 本题考查三角形中与角平分线有关的角度计算，熟练掌握三角形内角和定理，以及三角形的外角性质是解题的关键．10．如图，若要判定纸带两条边线a ，b 是否互相平行，我们可以采用将纸条沿AB 折叠的方式来进行探究．（1）如图1，展开后，测得12∠=∠，则可判定a//b ，请写出判定的依据_________； （2）如图2，若要使a//b ，则1∠与2∠应该满足的关系是_________；（3）如图3，纸带两条边线a ，b 互相平行，折叠后的边线b 与a 交于点C ，若将纸带沿11A B （1A ，1B 分别在边线a ，b 上）再次折叠，折叠后的边线b 与a 交于点1C ，AB//11A B ，137BB AC ==，，求出1A C 的长．解析：（1）内错角相等，两直线平行；（2）∠1+2∠2=180°；（3）4或10【解析】【分析】（1）根据平行线的判定定理，即可得到答案；（2）由折叠的性质得：∠3=∠4，若a ∥b ，则∠3=∠2，结合三角形内角和定理，即可得到答案；（3）分两种情况：①当B 1在B 的左侧时，如图2，当B 1在B 的右侧时，如图3，分别求出1A C 的长，即可得到答案．【详解】（1）∵12∠=∠，∴a ∥b （内错角相等，两直线平行），故答案是：内错角相等，两直线平行；（2）如图1，由折叠的性质得：∠3=∠4，若a ∥b ，则∠3=∠2，∴∠4=∠2，∵∠2+∠4+∠1=180°，∴∠1+2∠2=180°，∴要使a ∥b ，则1∠与2∠应该满足的关系是：∠1+2∠2=180°．故答案是：∠1+2∠2=180°；（3）①当B 1在B 的左侧时，如图2，∵AB//11A B ，a ∥b ，∴AA 1=BB 1=3，∴1A C =AC- AA 1=7-3=4；②当B 1在B 的右侧时，如图3，∵AB//11A B ，a ∥b ，∴AA 1=BB 1=3，∴1A C =AC+AA 1=7+3=10．综上所述：1A C =4或10．【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质定理，折叠的性质以及三角形的内角和定理，掌握“平行线间的平行线段长度相等”是解题的关键．11．已知ABC 和ADE 都是等腰三角形，AB AC =，AD AE =，DAE BAC ∠=∠．（初步感知）（1）特殊情形：如图①，若点D ，E 分别在边AB ，AC 上，则DB __________EC ．（填＞、＜或=）（2）发现证明：如图②，将图①中的ADE 绕点A 旋转，当点D 在ABC 外部，点E 在ABC 内部时，求证：DB EC =．（深入研究）（3）如图③，ABC 和ADE 都是等边三角形，点C ，E ，D 在同一条直线上，则CDB ∠的度数为__________；线段CE ，BD 之间的数量关系为__________．（4）如图④，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点C 、D 、E 在同一直线上，AM 为ADE 中DE 边上的高，则CDB ∠的度数为__________；线段AM ，BD ，CD 之间的数量关系为__________．（拓展提升）（5）如图⑤，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连结BE 、CD ．当5AB =，2AD =时，在旋转过程中，ABE △与ADC 的面积和的最大值为__________．解析：（1）=；（2）证明见解析；（3）60°，BD=CE；（4）90°，AM+BD=CM；（5）7【解析】【分析】（1）由DE∥BC，得到DB EC ABAC=，结合AB=AC，得到DB=EC；（2）由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；（3）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理证明△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质求出结论；（4）根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论；（5）根据旋转的过程中△ADE的面积始终保持不变，而在旋转的过程中，△ADC的AC始终保持不变，即可．【详解】[初步感知]（1）∵DE∥BC，∴DB ECAB AC=，∵AB=AC，∴DB=EC，故答案为：=，（2）成立．理由：由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中AD AEDAB EACAB AC⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB=CE；[深入探究]（3）如图③，设AB，CD交于O，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AD=AE ，AB=AC ，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAB=∠EAC ，在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴DB=CE ，∠ABD=∠ACE ，∵∠BOD=∠AOC ，∴∠BDC=∠BAC=60°；（4）∵△DAE 是等腰直角三角形，∴∠AED=45°，∴∠AEC=135°，在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴∠ADB=∠AEC=135°，BD=CE ，∵∠ADE=45°，∴∠BDC=∠ADB-∠ADE=90°，∵△ADE 都是等腰直角三角形，AM 为△ADE 中DE 边上的高，∴AM=EM=MD ，∴AM+BD=CM ；故答案为：90°，AM+BD=CM ；【拓展提升】（5）如图，由旋转可知，在旋转的过程中△ADE 的面积始终保持不变，△ADE 与△ADC 面积的和达到最大，∴△ADC 面积最大，∵在旋转的过程中，AC 始终保持不变，∴要△ADC面积最大，∴点D到AC的距离最大，∴DA⊥AC，∴△ADE与△ADC面积的和达到的最大为2+12×AC×AD=5+2=7，故答案为7．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解本题的关键是三角形全等的判定．12．阅读下面材料，完成(1)-(3)题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，以AB为边向AB左侧作等边△ABE，直线CE与直线AD交于点F．请探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自已的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠DFC的度数可以求出来．”小强：“通过观察和度量，发现线段DF和CF之间存在某种数量关系．”小伟：“通过做辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．”......老师：“若以AB为边向AB右侧作等边△ABE，其它条件均不改变，请在图2中补全图形,探究线段EF、AF、DF三者的数量关系，并证明你的结论．”（1）求∠DFC的度数；（2）在图1中探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明；（3）在图2中补全图形，探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．解析：（1）60°；（2）EF=AF+FC，证明见解析；（3）AF=EF+2DF，证明见解析．【解析】【分析】（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，根据三角形内角和可得2α＋60＋2β＝180°，从而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC的度数；（2）在EC上截取EG＝CF，连接AG，证明△AEG≌△ACF，然后再证明△AFG为等边三角形，从而可得出EF＝EG＋GF＝AF＋FC；（3）在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，证明方法类似（2），先证明△ABG≌△EBF，再证明△BFG为等边三角形，最后可得出结论．【详解】解：（1）∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴可设∠BAD＝∠CAD＝α，又△ABE为等边三角形，∴AE=AB=AC，∠EAB=60°，∴可设∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，2α＋60°＋2β＝180°，∴α＋β＝60°，∴∠DFC=α＋β＝60°；（2）EF=AF+FC，证明如下：∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠FDC=90°，∵∠CFD＝60°，则∠DCF=30°，∴CF＝2DF，在EC上截取EG＝CF，连接AG，又AE=AC，∴∠AEG=∠ACF，∴△AEG≌△ACF（SAS）,∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF，又∠CAF=∠BAD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠GAF＝∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°，∴△AFG为等边三角形，∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC，即EF=AF+FC；（3）补全图形如图所示，结论：AF=EF+2DF．证明如下：同（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β，∴∠CAE＝180°－2β，∴∠BAE＝2α＋180°－2β＝60°，∴β－α＝60°，∴∠AF C=β－α＝60°，又△ABE为等边三角形，∴∠ABE=∠AFC=60°，∴由8字图可得：∠BAD＝∠BEF，在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，又AB=BE，∴△ABG≌△EBF（SAS），∴BG＝BF，又AF垂直平分BC，∴BF=CF，∴∠BFA=∠AFC=60°，∴△BFG为等边三角形，∴BG=BF，又BC⊥FG，∴FG=BF=2DF，∴AF＝AG＋GF＝BF＋EF＝2DF＋EF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是常用辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．13．问题情景：数学课上，老师布置了这样一道题目，如图1，△ABC是等边三角形，点D 是BC的中点，且满足∠ADE＝60°，DE交等边三角形外角平分线于点E．试探究AD与DE 的数量关系．操作发现：（1）小明同学过点D作DF∥AC交AB于F，通过构造全等三角形经过推理论证就可以解决问题，请您按照小明同学的方法确定AD与DE的数量关系，并进行证明．类比探究：（2）如图2，当点D 是线段BC 上任意一点(除B 、C 外)，其他条件不变，试猜想AD 与DE 之间的数量关系，并证明你的结论．拓展应用：（3）当点D 在线段BC 的延长线上，且满足CD ＝BC ，在图3中补全图形，直接判断△ADE 的形状(不要求证明)．解析：（1）AD ＝DE ，见解析；（2）AD ＝DE ，见解析；（3）见解析，△ADE 是等边三角形，【解析】【分析】（1）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明ADF EDC ∆∆≌即可得解； （2）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明AFD DCE ∆∆≌即可得解； （3）根据垂直平分线的性质及等边三角形的判定定理进行证明即可.【详解】（1）如下图，数量关系：AD ＝DE .证明：∵ABC ∆是等边三角形∴AB ＝BC ，60B BAC BCA ∠∠∠︒＝＝＝∵DF ∥AC∴BFD BAC ∠∠＝，∠BDF ＝∠BCA∴60B BFD BDF ∠∠∠︒＝＝＝∴BDF ∆是等边三角形，120AFD ∠︒＝∴DF ＝BD∵点D 是BC 的中点∴BD ＝CD∴DF ＝CD∵CE 是等边ABC ∆的外角平分线∴120DCE AFD ∠︒∠＝＝∵ABC ∆是等边三角形，点D 是BC 的中点∴AD ⊥BC∴90ADC ∠︒＝∵60BDF ADE ∠∠︒＝＝∴30ADF EDC ∠∠︒＝＝在ADF ∆与EDC ∆中AFD ECD DF CDADF EDC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ∴()ADF EDC ASA ∆∆≌∴AD ＝DE ；（2）结论：AD ＝DE .证明：如下图，过点D 作DF ∥AC ，交AB 于F∵ABC ∆是等边三角形∴AB ＝BC ，60B BAC BCA ∠∠∠︒＝＝＝∵DF ∥AC∴BFD BAC BDF BCA ∠∠∠∠＝，＝∴60B BFD BDF ∠∠∠︒＝＝＝∴BDF ∆是等边三角形，120AFD ∠︒＝∴BF ＝BD∴AF ＝DC∵CE 是等边ABC ∆的外角平分线∴120DCE AFD ∠︒∠＝＝∵∠ADC 是ABD ∆的外角∴60ADC B FAD FAD ∠∠∠︒∠＝＋＝＋∵60ADC ADE CDE CDE ∠∠∠︒∠＝＋＝＋∴∠FAD ＝∠CDE在AFD ∆与DCE ∆中AFD DCE AF CDFAD EDC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ∴()AFD DCE ASA ∆∆≌∴AD ＝DE ；（3）如下图，ADE ∆是等边三角形.证明：∵BC CD =∴AC CD =∵CE 平分ACD ∠∴CE 垂直平分AD∴AE =DE∵60ADE ∠=︒∴ADE ∆是等边三角形.【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及判定，三角形全等的判定及性质，平行线的性质，垂直平分线的性质等相关内容，熟练掌握三角形综合解决方法是解决本题的关键.14．已知，在平面直角坐标系中，(42,0)A ，(0,42)B ，C 为AB 的中点，P 是线段AB 上一动点，D 是线段OA 上一点，且PO PD =，DE AB ⊥于E ．（1）求OAB ∠的度数；（2）当点P 运动时，PE 的值是否变化？若变化，说明理由；若不变，请求PE 的值． （3）若45OPD ∠=︒，求点D 的坐标．解析：（1）45°；（2）PE 的值不变，PE=4，理由见详解；（3）D(8-，0)．【解析】【分析】（1）根据A，(0,B ，得△AOB 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，即可求出∠OAB 的度数；（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠AOC=∠BOC=45°，OC ⊥AB ，再证明△POC ≌△DPE ，根据全等三角形的性质得到OC=PE ，即可得到答案；（3）证明△POB ≌△DPA ，得到PA=OB=，DA=PB ，进而得OD 的值，即可求出点D 的坐标．【详解】（1）A，(0,B ，∴OA=OB=∵∠AOB=90°，∴△AOB 为等腰直角三角形，∴∠OAB=45°；（2）PE 的值不变，理由如下：∵△AOB 为等腰直角三角形，C 为AB 的中点，∴∠AOC=∠BOC=45°，OC ⊥AB ，∵PO=PD ，∴∠POD=∠PDO ，∵D 是线段OA 上一点，∴点P 在线段BC 上，∵∠POD=45°+∠POC ，∠PDO=45°+∠DPE ，∴∠POC=∠DPE ，在△POC 和△DPE 中，90POC DPE OCP PED PO PD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△POC ≅△DPE(AAS)，∴OC=PE ，∵OC=12AB=12××=4， ∴PE=4；（3）∵OP=PD ，∴∠POD=∠PDO=(180°−45°)÷2=67.5°，∴∠APD=∠PDO−∠A=22.5°，∠BOP=90°−∠POD=22.5°，∴∠APD=∠BOP ，在△POB 和△DPA 中，OBP PAD BOP APD OP PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△POB ≌△DPA(AAS)，∴PA=OB=42，DA=PB ， ∴DA=PB=42×2-42=8-42，∴OD=OA−DA=42-(8-42)=828-，∴点D 的坐标为(828-，0)．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质定理，图形与坐标，掌握等腰直角三角形的性质，是解题的关键．15．直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，直线l 过点C ．（1）当AC BC =时，如图1，分别过点A 和B 作AD ⊥直线l 于点D ，BE ⊥直线l 于点E ，ACD 与CBE △是否全等，并说明理由；（2）当8AC cm =，6BC cm =时，如图2，点B 与点F 关于直线l 对称，连接 BF CF 、，点M 是AC 上一点，点N 是CF 上一点，分别过点M N 、作MD ⊥直线l 于点D ，NE ⊥直线l 于点E ，点M 从A 点出发，以每秒1cm 的速度沿A C →路径运动，终点为C ，点N 从点F 出发，以每秒3cm 的速度沿F C B C F →→→→路径运动，终点为F ，点,M N 同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t 秒，当CMN △为等腰直角三角形时，求t 的值．解析：（1）全等，理由见解析；（2）t=3.5秒或5秒【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DAC=∠ECB ，利用AAS 定理证明△ACD ≌△CBE ；（2）分点F 沿C→B 路径运动和点F 沿B→C 路径运动两种情况，根据等腰三角形的定义列出算式，计算即可；【详解】解：（1）△ACD 与△CBE 全等．理由如下：∵AD ⊥直线l ，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠ECB ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB DAC ECB CA CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ）；（2）由题意得，AM=t ，FN=3t ，则CM=8-t ，由折叠的性质可知，CF=CB=6，∴CN=6-3t ，点N 在BC 上时，△CMN 为等腰直角三角形，当点N 沿C→B 路径运动时，由题意得，8-t=3t-6，解得，t=3.5，当点N 沿B→C 路径运动时，由题意得，8-t=18-3t ，解得，t=5，综上所述，当t=3.5秒或5秒时，△CMN 为等腰直角三角形；【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．二、选择题16．如图，实数﹣3、x 、3、y 在数轴上的对应点分别为M 、N 、P 、Q ，这四个数中绝对值最小的数对应的点是（ ）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q 解析：B【解析】【分析】【详解】∵实数-3，x，3，y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，∴原点在点P与N之间，∴这四个数中绝对值最小的数对应的点是点N．故选B．17．如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A．垂线段最短B．经过一点有无数条直线C．两点之间，线段最短D．经过两点，有且仅有一条直线解析：C【解析】【详解】用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，∴线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，故选C．【点睛】根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小”得到线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，从而确定答案．本题考查了线段的性质，能够正确的理解题意是解答本题的关键，属于基础知识，比较简单．18．如图，已知线段AB的长度为a，CD的长度为b，则图中所有线段的长度和为( )A．3a+b B．3a-b C．a+3b D．2a+2b解析：A【解析】【分析】依据线段AB长度为a，可得AB=AC+CD+DB=a，依据CD长度为b，可得AD+CB=a+b，进而得出所有线段的长度和．【详解】∵线段AB长度为a，∴AB=AC+CD+DB=a ，又∵CD 长度为b ，∴AD+CB=a+b ，∴图中所有线段的长度和为：AB+AC+CD+DB+AD+CB=a+a+a+b=3a+b ，故选A ．【点睛】本题考查了比较线段的长度和有关计算，主要考查学生能否求出线段的长度和知道如何数图形中的线段．19．2019年6月21日甬台温高速温岭联络线工程初步设计通过，本项目为沿海高速和甬台温高速公路之间的主要联络通道，总投资1289000000元，这个数据用科学记数法表示为（ ）A ．0.1289×1011B ．1.289×1010C ．1.289×109D ．1289×107 解析：C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】解：12 8900 0000元，这个数据用科学记数法表示为1.289×109．故选：C ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．20．根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）A ．若2a ＝3b ，则a ＝23b B ．若a ＝b ，则a +1＝b ﹣1 C ．若a ＝b ，则2﹣3a ＝2﹣3b D ．若23a b ，则2a ＝3b 解析：C【解析】【分析】利用等式的性质对每个式子进行变形即可找出答案．【详解】解：A 、根据等式性质2，2a ＝3b 两边同时除以2得a ＝32b ，原变形错误，故此选项不符合题意；B 、根据等式性质1，等式两边都加上1，即可得到a+＝b+1，原变形错误，故此选项不符。

2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编含30°角的直角三角形考试时间：120分钟试卷满分：100分一、选择题(共10题；共20分)1．（2分）（2021八上·松桃期末）如图△ABC是等边三角形点E是AC的中点过点E作EF⊥AB于点F 延长BC交EF的反向延长线于点D 若EF=1 则DF的长为（）A．2B．2.5C．3D．3.5【答案】C【完整解答】解：连接BE∵△ABC是等边三角形点E是AC的中点∴∠ABC=60° ∠ABE=∠CBE=30°∵EF⊥AB∴∠D=90°-∠ABC=30° 即∠D=∠CBE=30°∴BE=DE在Rt△BEF中EF=1∴BE=2EF=2∴BE=DE=2∴DF=EF+DE=3故答案为：C.【思路引导】连接BE 根据等边三角形的性质得∠ABC=60° ∠ABE=∠CBE=30° 易求∠D=30° 即得∠D=∠CBE 由等角对等边可得BE=DE 根据含30°角的直角三角形的性质可得BE=2EF=2 即得DE=2 从而得出DF=EF+DE=32．（2分）（2021八上·平阴期末）如图 △ABC 中 ∠C ＝90° AB ＝8 ∠B ＝30° 点P 是BC 边上的动点 则AP 长不可能是( )A ．3.5B ．4.2C ．5.8D ．7.3【答案】A 【完整解答】解：∵∠C=90° AB=8 ∠B=30°∴AC=12AB=12×8=4 ∵点P 是BC 边上的动点∴4＜AP ＜8∴AP 的值不可能是3.5．故答案为：A ．【思路引导】根据含30°角的直角三角形的性质可得AC=12AB=4 根据垂线段最短得出AP 的最小值 然后得出AP 的范围 即可判断.3．（2分）（2021八上·海丰期末）如图 OE 为AOB ∠的角平分线 30AOB ∠=︒ 6OB = 点P C 分别为射线OE OB 上的动点 则PC PB +的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A 【完整解答】解：过点B 作BD ⊥OA 于D 交OE 于P 过P 作PC ⊥OB 于C 此时PC PB +的值最小∵OE 为AOB ∠的角平分线 PD ⊥OA PC ⊥OB∴PD=PC∴PC PB +=BD∵30AOB ∠=︒ 6OB = ∴132BD OB == 故答案为：A ．【思路引导】根据角平分线的性质求出PD=PC 再求出PC PB +=BD 最后求出BD 的值即可。

人教版八年级数学上册月考压轴题精选汇总12.如果一个数等于它的不包括自身的所有因数之和，那么这个数就叫完全数。

例如，6 的不包括自身的所有因数为 1,2,3，且 6=1+2+3，所以 6 是完全数；大约 2200 多年前，欧几里德提出：如果2n -1是质数，那么2n-1 ⋅(2n -1)是一个完全数。

根据这个结论，则6之后的第一个完全数是（）A. 24B. 25C. 28D. 2718.如图3，在△ABC 中，AB=3, AC=4，BC=5，EF 垂直平分B C，点P为直线E F 上一动点，则△ABP周长的最小值是。

图3图4【补充题】如图 4，等腰△ABC 的底边长为 4，面积是 16，腰 AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC、AB 边于E、F 点。

若点D为B C 边的中点，点M为线段E F 上一动点，则△CDM 周长的最小值为。

25.直角△ABC 中，∠ACB=90°，直线l 过点 C。

⑴当 AC=BC 时，如图 1，分别过点 A 和 B 作 AD⊥直线l 于点 D，BE⊥直线l 于点 E。

△ACD 与△CBE 是否全等？若全等，给予证明；若不全等，请说明理由；⑵当AC = 8cm, BC = 6cm 时，如图 2，点 B 与点 F 关于直线l 对称，连接 BF、CF。

点 M 是AC 上一点，点N 是CF 上一点，分别过点 M、N 作MD⊥直线l 于点 D，NE⊥直线l 于点 E，点M 从A 点出发，以每秒1 cm 的速度沿A→C 路径运动，终点为 C。

点 N 从点 F 出发，以每秒3 cm 的速度沿F→C→B→C→F 路径运动，终点为F。

点 M、N 同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t 秒。

①当△CMN 为等腰直角三角形时，求t 的值；②当△MDC 与△CEN 全等时，求t 的值。

26. 如图 1，已知 A (a ,0)， B (0, b )分别为两坐标轴上的点， a ,b 满足a 2- 24a + b -12 = -144 ，且3OC=OA 。

八上第一次月考压轴题分类汇编最小值问题（2019秋季长培第一次12题）12.已知：如图，NAOB内一点P,匕鸟分别是P关于。

AO8的对称点，々打交。

4于M .交OB于N , H=6c〃?，则APMN的周长是（）A.3cmB.4cm（2019秋季青一第一次12题）12.如图，在五边形A3C。

石中，N3AE=150。

，NB = NE = 9O。

，AB = BC，AE = DE ,在BC，£花上分别找一点M，N,使得△AWV的周长最小时，则N4WN + NA2W的度数为（） A.60° C.1000B.90°D.12O0（2018秋季青一第一次18题）18.如图3,在AABC中，AB=3, AC=4, BC=5, EF垂直平分BC,点P为直线EF上一动点，则4ABP周长的最小值是图3 图4【补充题】如图4,等腰△耳（?的底边长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB 边于E、F点。

若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△©口■1周长的最小值为-等边三角形手拉手结论（2018秋季长培第一次12题）12.如图，A、C、B三点在同一条直线上，Z\DAC和AEBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N,有如下结论：（DAACE^ADCB：②CM=CN；③AC=CN0其中，正确的结论个数是（）A. 3个B. 2个C.1个D. 0个［补充题1］如图，A、C、B三点在同一条直线上，ZXDAC ^lAEBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N, AE、BD交于点H,连接CH、MN。

有如下结论：① MN=MC：②CH平分NAHB：③NAHB=2NADC：④点B到直线HE的距离等于点B到直线HC的距离：⑤NHCA=NHEB。

其中，正确的结论序号是新定义：幕的运算（如19秋季青一第一次25题）25.若规定两数根，〃之间满足一种运算，记作。

初中数学新人教版八上期考压轴题汇编(三角形部分)一、动点问题：例 1( 1)如图 10，在 Rt △ ABC 中，AC = BC,Z ACB= 90°, M 为 AB 中点，AF=CE 请判断△ MEF 的形状.(2)已知：如图 11 在 Rt △ ABC 中，AC=BC, / C=90°,点 D 为 AB 上任一点，DF 丄 AC 于 F , DE 丄 BC 于 E , M 为BC 的中点.① 判断△ MEF 是什么形状的三角形并证明你的结论 •② 当点D 在AB 上运动时，四边形 FMEC 勺面积是否会改变,并证明你的结论.③ 当点D 在BA 的延长线上运动时，如图 12,①中的结论还成立吗？AM-CMZA=Z1AF=CE•••△ AMF^A CME( SAS••• MF=ME / 2=Z 3•••/ 2+Z CMF=90，•/ 3+Z CMF=90，即/ EMF=90• △ MEF 是等腰直角三角形.② 当点D 在AB 上运动时，四边形 FMEC 勺面积不会改变，由①可知，△ AMF^A CME • S ^AM =S A CMET S A AC =S A BCM 「・ S A CM =S ^BME -• - S 四边形 FME =S A CM + S A CM E F J S A ABC .•四边形FMEC 勺面积不会改变.思路点拨: 解析： (1)图10在等腰三角形中，M 为底边AB 的中点，连结 CM 是常用的辅助线. △MEF 是等腰直角三角形.(2)©A MEF 是等腰直角三角形.理由如下：连结CM 如图13••• DF 丄 AC 于 F , DE 丄 BC 于 E ,Z ACB=90•四边形CEDF 为长方形，• DF=CE•••在 Rt △ ABC 中，AB= AC, / ACB= 90°,M 为AB 中点，•••/ A=Z 1=45°, CML AB, AM=BM=CM•••在 Rt △ ADF 中，/ A=45°• AF=DF • AF=CE•••在△ AMF^ CME 中 证明如下:图13③成立，理由如下：连结CM如图14••• DF丄AC于F, DE 丄BC于E,Z ACB=90•••四边形CEDF为长方形，••• DF=CE•••在Rt△ ABC中，AC= BC, / ACB= 90°, M为AB中点，•••/ BAC玄1=45°, CML AB, AM=BM=CM•••/ MAF=/ MCE=135 .•••在Rt△ ADF中，/ DAF=Z BAC=45• AF=DF • AF=CE•••在△ AMF^ CME中AF=CE•△AMF^A CME（ SAS• MF=ME / AMF=/ CME•••/ CME y AME=90，•/ AMF f AME=90，即/ EMF=90•△ MEF是等腰直角三角形.总结升华：对比（2）中的①与③，都是先证明四边形CEDF是长方形，从而得到AF=CE接着证△ AMF^A CME得到MF=ME且/ EMF=90，可以看出这两问的证明思路大体上是相同的.也就是说，在这类问题中，可以通过第一问的解决来推测下面问题的推理方法，从而达到解题的目的.举一反三【变式1】已知四边形MUD中，启召丄丿口，丄OD，血二占□，/二120"，丄二2，绕丘点旋转，它的两边分别交C二（或它们的延长线）于上」’.当一=二丄」绕衣点旋转到個二借时（如图15 ），易证= .当乙亟N绕衣点旋转到AE^CF时，在图16和图17这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段」昱-"-7，巨F又有怎样的数量关系?ffi 15请写出你的猜想，不需证明.【答案】图16，延长EA到O使得OA=CF连结OB易证△ ABO^A CBF, OB=BF进而证明厶BEF^A BEQ即可得到EF=AE+CF 图17中，在AE中取一点O,使得OA=CF连结OB易证△ ABO^^ CBF，OB=BF进而证明厶BEF^A BEO 即可得到EF=AE-CF【变式2】已知：正方形二二中，二U -'，：，丄」匚虫」「绕点V顺时针旋转，它的两边分别交-厶 --ffl 16 團17（或它们的延长线） 于点二 二•当一工丄T 绕点上旋转到二一二.时（如图18）,易证二.m 二-.（1）当绕点』旋转到BMr DN 时（如图19）,线段B 血，DU 和泗之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明.接写出你的猜想.【答案】此题与第1题方法相同.（1） BM+DN=MN （ 2） DN-BM=M.N 21.如图1,点0是边长为1的等边△ ABC 内的任一点，设/ AOB=。