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第五章第九节二次函数与一元二次方程复习(转).ppt1

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二次函数与一元二次方程二次函数优秀ppt课件

二次函数与一元二次方程二次函数优秀ppt课件
7.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1=－
2 ，x2=5/3，那么二次函数 y= 3 x2+x－10与x轴的交
点坐标是＿(-2＿，＿0＿) ＿(5＿/3，＿＿0).
8.已知抛物线y = ax2+bx+c的图象如图,则关 于x的方程ax2 + bx + c－3 = 0根的情况是（ A）
有 (2.5,0)， (-1,0)
归纳：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为 x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标 是(x1,0),(x2,0)
随堂练习
1.不与x轴相交的抛物线是（ D ）
A. y = 2x2 – 3
B. y=－2 x2 + 3
C. y= －x2 – 3x D. y=－2(x+1)2 －3
一般地，当y取定值时，二次函数为一元 二次方程。
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就 是一个一元二次方程。
从以上可以看出,
已知二次函数y的值为m，求相应自变量x的 值，就是求相应一元二次方程的解.
例如,已知二次函数y=-X2+4x的值为3,求自变 量x的值. 就是求方程3=-X2+4x的解,
例如,解方程X2-4x+3=0 就是已知二次函数y=X2-4x+3的值为0,求自变量 x的值.
考虑下列问题:（2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间?
20 m
2s
（2）当 h = 20 时， 20 t – 5 t 2 = 20 t 2 － 4 t ＋4 = 0 t1=t2=2 当球飞行 2s 时，它的高度为 20m .

《二次函数与一元二次方程》(上课)课件PPT1

《二次函数与一元二次方程》(上课)课件PPT1

有两个交点:
有两个不相等的 实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
学习目标(1分钟)
1.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的 近似根.
2.能利用图象确定方程的根和不等式的解集。
还可以解一元二自次学方指导一(3分钟) 思程考求：近由似图值象如何估计一元二次方程x2 +2x-10=0的根？ 由图象知方程有两个根，一个在-5和-4之间，另一个在2 和3之间. (1)先求-5和-4之间的根.
(2)经过_1_0_s ，炮弹落在地上爆炸．
3.一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数 y=ax2+bx+c与直线__y_=_h___交点的__横__坐标.
变式：（2019春•天心区校级期中）函数y=ax²+bx+c 的图象 如图所示，那么关于一元二次方程ax²+bx+c-2=0的根的情况
对应值：
x
1
1.1 1.2 1.3 1.4
y
-1 -0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程x²+3x-5=0的一个近似根是( C )
A.1
B.1.1
C.1.2
D.1.3
2.在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y(m)
与飞行时间x(s)的关系满足:y=-x2＋10x． (1)经过_5___s，炮弹达到最高点，最高点的高度是_2_5_m．
x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4
y -1.39 -0.76 -0.11 0.56 因此x=-4.3是方程的一用个图近象似法根求一元二次 (2)另一个根可以类似的方求程出的：近似根时，结 x 2.1 2.2 2.3 果只2.取4到十分位

二次函数与一元二次方程 初中九年级数学教学课件PPT 人教版

二次函数与一元二次方程 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
-2 -3
• 归纳总结：
• 一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象与一 元二次方程ax2+bx+c=0的根有如下关系：
• 1.如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个 公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不 相等的实数根。
• 2.如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有一 个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个 相等的实数根。
1、方程 x2 4x 的5 根0是 ；则-5函，数1
的 y x 2 4图x象与5x轴的交点有 个，其2坐标
是
（-5．，0）、（1，0）
2、方程 x2 10x 2的5 根0是 ；x则1 函x2数 5
的图象y 与xx轴2 的10交x 点25有 个，其坐标 1
是
．（5，0）
3.已知二次函数y=ax2+bx+c的系数有a-
22.2 二次函数与一元二次方程（1）
思考:抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元
二次方程的知识来说明呢？ Y △＜0
△=0
△＞0
O
X
复习巩固：
• 已知抛物线 y x2 x ，6 求它与x轴、y
轴的交点坐标
复习巩固：
• 1.二次函数的一般形式是？ y=ax2+bx+c(a≠0)
• 2.一元二次方程的一般形式是？
• 2．已知二次函数 y 2x 2 mx m2
• （1）求证：对于任意实数m，该二次函数 图象与x轴总有公共点．
• （2）若该二次函数图象与x轴有两个公共 点A、B，且A点坐标为（1，0），求B 点 的坐标．

二次函数与一元二次方程课件PPT

二次函数与一元二次方程课件PPT

知识点一
知识点二
知识点二用图象法求一元二次方程的近似解
用图象法求一元二次方程的近似解的基本步骤:
(1)画出二次函数的图象;
(2)确定抛物线与x轴交点的个数;
(3)确定数值,即确定抛物线与x轴交点的横坐标的近似值;
(4)写出方程的解,即根据交点的情况和数值写出一元二次方程的
近似解(或根).
名师解读:由于图象法准确度有限,所以求得的结果是一元二次
D.x<-1或x>4
解析:求y>0时x的取值范围,就是求二次函数的图象在x轴上方时
对应的x的范围,根据图象可得x的范围是x<-1或x>3.
答案:C
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点四
拓展点五
解决这类问题,要注意数形结合思想的应用,理解求y>0时
x的取值范围,就是求二次函数的图象在x轴上方时对应的
x的范围是关键.解不等式ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0时,找
(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种:没有公
共点,有一个公共点,有两个公共点.这对应着一元二次方程
ax2+bx+c=0的根的三种情况:没有实数根,有两个相等实数根,有两
个不等实数根.
知识点一
知识点二
名师解读:二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的
由图象可知抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别在-4和-3,1和2
之间,也就是方程x2+2x-5=0有两个根,一个在-4和-3之间,另一个在1
和2之间.

人教版《二次函数与一元二次方程》教学课件PPT1

人教版《二次函数与一元二次方程》教学课件PPT1
当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米. 即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面.
为一个常数 （定值）
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一 元二次方程?
一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为 一元二次方程.
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是 一个一元二次方程.
所以二次函数与一元二次方程关系密切．
4
易错点：K-1≠0
课堂小结（2分钟）
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴(直线y=0)交点的坐标 一元二次方程ax2+bx+c=0的根
2、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的个数 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数（判别式）
方程的根即交点横坐标
当堂训练（15分钟） 1.抛物线y=-3(x-2)(x+5)与x轴的交点坐标为(_2_,_0_)_,_(_-.5,0) 2.抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m=_8___.
1.小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m?
方法一：
解 :当 h 60时 ,得 5t2 40t 60
解 得 : t1 2 , t2 6
方法二：由图象可得 当 h 60时 ，
t1 2, t2 6
答：小球经过2s或6s时小球离地面的高度是60m.
自学指导二（4分钟）
1.每个图象与x轴有几个交点？怎么利用方程判断？
.
2已0知=2二0t次-5t函2,数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解是____________.
反一过元来 二，次解方方程程axx22+－bx4+xc+=30=的0根又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．

《二次函数与一元二次方程的关系》ppt课件

《二次函数与一元二次方程的关系》ppt课件

结论和要点
通过本课件，我们了解到二次函数与一元二次方程之间的密切关系，以及它们在实际应用中的重 要性和用途。
密切关系
二次函数与一元二次方程存在密切的对应关系。
实际应用
二次函数与一元二次方程在建筑设计、汽车行驶路程、项目成本控制等实际应用中发挥重要 作用。
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程是密切相关的，通过二次函数的系数可以求解一元二次方程的根，反之亦然。
1
系数的求解
通过一元二次方程的系数可以确定二次函数的形式。
2
根的求解
通过二次函数的图像可以推导出一元二次方程的根。
3
相互转换
二次函数与一元二次方程可以相互转换，实现从函数到方程的求解和从方程到函数的绘 图。
如何由一元二次方程求解二次函数的 系数
通过一元二次方程的系数可以确定二次函数的形式，具体步骤包括：
1 步骤一
找出一元二次方程的a、b、c。
2 步骤二
将a、b、c代入二次函数的表达式。
3 步骤三
得到二次函数的形式。
如何由二次函数求解一元二次方程的 根
通过二次函数的图像可以推导出一元二次方程的根，具体步骤包括：
1 步骤一
观察二次函数的图像。2 Leabharlann 骤二根据图像找到方程的根。
实际应用中的例子
二次函数与一元二次方程在实际应用中有广泛的应用，例如：
建筑设计
二次函数的抛物线形状可以用于 建筑设计中的拱形结构。
汽车行驶路程
通过二次函数的图像可以预测汽 车行驶的路程。
项目成本控制
通过二次函数的图像可以进行项 目成本的控制和优化。
《二次函数与一元二次方 程的关系》
本课件将介绍二次函数与一元二次方程之间的关系，包括定义与图像、基本 形式、系数的求解、根的求解、实际应用的例子以及结论和要点。

二次函数与一元二次方程ppt

公式法
适用于任何一元二次方程，将方程化成一般形式后，找出系数代入求根公式即可求出方程 的解。
一元二次方程在现实生活中的应用
01 02
几何中的应用
已知三角形一边及其对角求其余两边时使用；已知圆的一般式方程求 圆心和半径时使用；已知圆锥曲线的一般式方程求它的焦点坐标时使 用等。
代数中的应用
已知一个数的平方与另外两个数的和，求这两个数时使用；已知三个 数中两个数的平方和与第三个数的值，求这三个数时使用等。
针对这些易错题进行深入解析，提出正确的解题思路和技巧，帮助学生有效 避免类似错误。
经典例题解析与拓展训练
经典例题分享
选取几道二次函数与一元二次方程的经典例题，进行详细解答与拓展训练，帮助 学生加深对知识点的理解和应用。
拓展训练
在经典例题的基础上进行变式训练，让学生自主探究和拓展思路，提高分析和解 决问题的能力。
抛物线的对称性与极值点
总结词
对称性、极值点、最值
详细描述
1.对称性：二次函数图像关于直线x=-b/2a对称。2.极 值点：二次函数图像有极大值点( -b/2a，f( -b/2a ) ) 和极小值点( -b/2a，f( -b/2a ) )。3.最值：当a>0时， 二次函数图像有最小值f( -b/2a )=4ac-b^2/4a；当 a<0时，二次函数图像有最大值f( -b/2a )=4acb^2/4a。
二次函数与一元二次方程ppt
xx年xx月xx日
目录
• 二次函数与一元二次方程的概述 • 二次函数的图像与性质 • 一元二次方程的解法与应用 • 二次函数与一元二次方程的关系探究 • 一元二次方程的根的判别式及其实验活动 • 复习与巩固
01
二次函数与一元二次方程的概述

二次函数与一元二次方程公开课优秀课件ppt

解题技巧：利用判别式、对称轴等性质，结合图像和性质分析题目。
解题步骤：先观察方程形式和特点，选择合适的方法和步骤解题。
易错点：注意方程的解的情况和图像的交点情况，避免漏解或误解题目。
经典例题解析
解题思路清晰，问题建模合理 解题方法多样，学生易于掌握 题目难度适中，具有代表性 解析过程详细，学生易于理解
二次函数的定义
二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0)
二次函数的定义域和值域：R
二次函数的单调性：在区间(-∞,-b/2a)和(b/2a,+∞)内递增，在区间(-b/2a,b/2a) 内递减 二次函数的对称性：二次函数的最小值在对称轴处取得，即当x=-b/2a时， ymin=(4ac-b2)/4a
二次函数的实际应用
股票：根据股票的涨跌情况，利用二次函数求出最佳买卖时机。 物理：利用二次函数求解单摆周期公式。 经济学：利用二次函数求解最优化问题，实现利益最大化。 工程：在桥梁、建筑等领域，利用二次函数进行结构设计，确保安全性和稳定性。
02
一元二次方程
一元二次方程的定义
只含有一个未知数
未知数的最高次数是2
二次函数的图像和性质
图像：抛物线形状， 开口方向，顶点， 对称轴
性质：增减性，最 值，奇偶性
表达式：一般式， 顶点式，交点式
实际应用：解决实 际问题，如最大利 润问题等
二次函数的解析式和极值
解析式： y=ax²+bx+c
极值：顶点坐标、 开口方向、对称 轴
图像变化：增减 性、最大数根
应用：用于解一 元二次方程、判 断根的情况、求
根的近似值等
二次函数与一元二
03
次方程的关系

二次函数二次函数与一元二次方程课件ppt

定义1
一般地，形如$y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$的函数叫做二次函数。
定义2
二次函数是关于$x$的二次多项式。
二次函数的基本形式
$y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$是二次函数的基本形式。
需要注意：当$a > 0$时，$y$有最小值；当$a < 0$时，$y$ 有最大值。
2023
二次函数与一元二次方程 课件ppt
目录
• 引言 • 二次函数的定义与性质 • 一元二次方程的定义与解法 • 两者之间的关系 • 实际应用举例 • 复习与总结
01
引言
课程目标和目的
理解和掌握二次函 数与一元二次方程 的基本概念和性质 ；
培养学生的数学思 维能力和创新意识 。
会用二次函数与一 元二次方程解决实 际问题；
一元二次方程的定义
含有未知数且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程 形式为ax²+bx+c=0（a≠0）的方程
一元二次方程的解法
直接开平方法 因式分解法
公式法
一元二次方程的应用
根的判别式 根与系数的关系
一元二次方程在经济生活中的应用
04
两者之间的关系
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程在形式上的统一性
圆和椭圆
二次函数在圆和椭圆等圆锥曲线的计算中有着广泛应用，圆的方程和椭圆的 方程都可以表示为二次函数的形式。
日常生活中的应用
房屋按揭贷款
房屋按揭贷款的还款总额与贷款总额成二次函数关系，通过求解一元二次方程可 以得到每月需要还款的金额。
最大利润问题
在商品销售中，销售额和利润率成二次函数关系，通过求解一元二次方程可以得 到最大利润。

人教版九年级数学上册《二次函数与一元二次方程》课件(共8张PPT)


关闭
C
解析
答案
1
2
3
4
3.二次函数 y=x2-mx+3 的图象与 x 轴的交点如图所示,根据图中信息可得到
m 的值是
.
关闭
把点(1,0)的坐标代入 y=x2-mx+3,得 0=1-m+3,即 m=4.
关闭
4
解析
答案
1
2

3
4
4.若抛物线 y=2x2+8x+m 与 x 轴只有一个公共点,则 m 的值为
.
关闭
因为抛物线 y=2x2+8x+m 与 x 轴只有一个公共点,
所以 82-4×2m=0,解得 m=8.
关闭
8
解析
答案
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另
一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12
A.(0,2)
B.(1,0)
C.(0,-3)
2
3
4
)
D.(0,0)
关闭
A
答案
1
3
2
1
4
2.二次函数 y=x2-6x+ 的图象与 x 轴的交点个数是(
A.0
B.1
C.2
4
)
D.3
关闭
1
4
因为 Δ=(-6)2-4×1× =36-1>0,
1
4
所以二次函数 y=x2-6x+ 的图象与 x 轴的交点个数是 2.故选 C.
You made my day!
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2
A
试试看 求下列抛物线与x轴的交点的横坐标 （1） y=4x2+12x+5，（2） y=x2+2x+1 （3） y=x2+2x+2 解（1） 4x2+12x+5=0这里a=4,b=12,c=5 ,b2-4ac=122-4×4×5=144-80=64
x 12 24 64 12 8 8
思考3、上题中求铅球能扔出多远，就是求 y=0时x的值，实际上就是求函数图像与x轴 的交点A的横坐标。怎样求二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴的交点坐标 呢 令y=0,解一元二次方程 1 9 2+bx+c=0(a≠0)，这个 ax y x x 1 40 20 方程的解就是函数图像与 y x的交点的横坐标
∴ x1=- 1/2,x2=-5/2
∴ 抛物线y=4x2+12x+5与x的交点的横坐标为 -1/2，或-5/2
（2） y=x2+2x+1
解：
（x+1）2=0, x+1=±0, ∴x1=x2=-1 ∴抛物线y=x2+2x+1与x轴的交点 的横坐标为-1
（3）y=x2+2x+2
解：x2+2x+2=0 这里a=1,b=2,c=2, b2-4ac=22-4×1×2=-4<0
小结 1、一元二次方程ax2+bx+c=0的解是二次函数 y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点横坐标。 2、知道二次函数y=ax2+bx+c的函数值y，就对 应点自变量的值，只需要把y的值代入函数式解 方程，方程的解就是y的对应值。 3、函数y=ax2+bx+c图像与x轴交点的横坐标就 是方程ax2+bx+c=0的解的近似值。
此方程无解，所以，抛物线x2+2x+2=0与 x轴没有交点。
思考4、上面三条抛物线与x轴的交点有的 有两个，有的只有一个，有的一个也没有， 这是为什么呢？ 因为上面三个方程的判别式的值的符号 不同，所以根的个数也不同，而一元二次方程 的根的个数等于抛物线与x轴的交点个数，因 此上面三条抛物线与x轴的交点个数也不同。
思考1、根据“其中x是铅球离初始位置 的水平距离，y是铅球离地面的高度”。 直角坐标系是怎样建立的？
y 1 40 x
2
9 20
x 1
y
x
思考2、根据题意“铅球能仍出多远？”实 际上是求什么？ 铅球着地点的纵坐标为0，横坐标就是铅球 扔出去的水平距离。因此就是求当y=0时，x等 于多少？
二次函数与一元二次方程
复习提问
纵 1、平面直角坐标系中，x轴上的点___坐标为 横 0，y轴上的点____坐标为0. (0,b) 2+bx+c=0 2、一元二次方程ax (a≠0)的求根公式是什么？ (a,0
x b b 4ac
2
)
2a
3、怎样利用b2-4ac的符号判定一 元二次ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况？
y 1 40 x
2
9 20
x 1
y A x
解：依题意，得：
1 40
x
2
9 20
x 1 0，
x2-18x-40=0, x2-18x=40, x2-18x+92=40+92 (x-9)2=121, x-9=-11,或x-9=11, x1=-2(不合题意，舍去),x2=20 所以，球被仍出去20m远。
请看下面上面三个函数在同一坐标系中的图像。
思考5、怎样判断抛物线y=ax2+bx+c与x 轴的交点个数呢？
b2-4ac>0 抛物线与x轴有两个交点
b2-4ac<0
b2-4ac=0
抛物线与x轴没有交点
抛物线与x轴有一个交点
b2-4ac ≥0
抛物线与x轴有交点
思考6、在上问题中，铅球在空中经过的抛物线 是 y 1 x 9 x 1 ，当铅球离地面高度为
2 2
因 此 x=
18
164
2 1

18 2 41 2 1
9
4 1 x1 1 5 . 4 0 , x 2 2 .6 0
思考8、已知抛物线上点的纵坐标y的 值，怎样求该点的横坐标x的值呢？ 只要把y的值代入抛物线解析式， 解一元二次方程，方程的解就是y的对 应值。
思考9、上面例子表明已知二次函数的函数 值，求对应的自变量的值时，需要解一元二 次方程，反过来，解一元二次方程能不能借 助二次函数呢？ 【例】求一元二次方程x2-2x-1=0的解的近似值。 【分析】这个方程的解就是函数y=x2-2x-1当函 数值为0时自变量的值。也就是图像与x轴交点 的横坐标。因此只要画出函数图像，利用图像 找出交点的横坐标就ok了。
b2-4ac>0 方程有两个不相等的实数根
b2-4ac<0
b2-4ac=0
方程没有实数根
方程有两个相等的实数根
b2-4ac ≥0
方程有实数根
动脑筋 掷铅球时，球在空中经过的路线是抛物线 ，已知某运动员掷铅球时，铅球在空中经过的 抛物线解析式是：y 1 x 9 x 1
2
40
20
其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球 离地面的高度。如图，你能求出铅球能仍出多 远吗？
2
40
20
2m时，它离初始位置的水平距离是多少（精确 大0.01m）？
解：由题意，得：
2
1 40
x
2
9 20
x 1 2
即 ： x 1 8 x 4 0 0 , 这 里 a 1, b 1 8, c 4 0
b 4 ac (18) 4 1 40=164