杨浦区2014一模数学试题答案(理)
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杨浦区2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学学科试卷(理科)2015.1一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1. 已知1sin 2α=,()0,απ∈,则α= . 2. 设{}13A x x =≤≤,{}124,B x m x m m R =+≤≤+∈,A B ⊆,则的取值范围是 . 3. 已知等差数列{}n a 中,37a =,73a =,则通项公式n a 为 . 4.已知直线l 经过点()1,2A -、()3,2B -,则直线l 的方程是 . 5. 函数()()210f x x x =-<的反函数()1f x -= .6. 二项式91x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式(按x 的降幂排列)中的第4项是 .7. 已知条件:12p x +≤,条件:q x a ≤,若p 是q 的充分不必要条件,则α的取值范围是 . 8. 向量()2,3a =r ,()1,2b =-r ,若ma b +r r与2a b -r r 平行,则实数m = . 9. 一家5窗口 走廊 窗口其中爷爷行动不方便要坐靠近走廊的位置,小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一,则座位的安排方式一共有 种.10. 在底面直径为6的圆柱形容器中,放入一个半径为2的冰球,当冰球全部融化后,容器只不过液面的高度为 .(相同质量的冰与水的体积比为10:9) 11. 不等式()2log 431x x ->+的解集是 . 12. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ,若30a b c ab a b c++=+-,则角C = .13. 已知12ω=-,集合{}2*1,n A z z n N ωωω==++++∈L ,集合{}1212B x x z z z z A ==⋅∈,、(1z 可以等于2z ),则集合B 的子集个数为 .14. 如图所示,已知函数2log 4y x =图像上的两 点A 、B 和函数2log y x =上的点C ,线段AC)平行于y 轴,ABC ∆为正三角形时,点B 的坐 标为(),p q ,则22q p ⨯的值为 .二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且仅有一个正确答案. 15. 程序框图如图所示,若其输出结果是,则判断框中填写的是( )16.下列命题中正确的是( ) A. 若x C ∈,则方程32x =只有一个根 B. 若1z C ∈、2z C ∈且220z z ->,则22z z >C. 若z R ∈,则2z z z ⋅=不成立D. 若z C ∈,且20z <,那么z 一定是纯虚数17. 圆心在抛物线上,且与轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是( )18. 对于数列{}n a 、{}n b ,若区间[],n n a b 满足下列条件:①[][]()*11,,n n n n a b a b n N ++∈Þ;②()lim 0n n n b a →∞-=,则称[]{},n n a b 为区间套. 下列选项中,可以构成区间套的数列是( )三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,请在相应的位置作答,请写出必要的文字叙述.19. (本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题6分,第2小题6分.如图,正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1,异面直线AD 与1BC 所成角的大小为60o ,求: (1)线段11A B 到底面ABCD 的距离;(2)三棱锥11B ABC -的体积.A.7i <B.8i <C.7i >D.8i >A. 22210x y x y +--+=B. 221204x y x y +---= C. 22210x y x y ++-+=D. 221204x y x y +--+= A. 12n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,23nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭B. 13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,21n n b n =+C. 1n n a n -=,113nn b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. 32n n a n +=+,21n n b n +=+ 1D ABCD 1A 1B 1C20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题6分,第2小题8分. 如图,有一块扇形草地OMN ,已知半径为R ,2MON π∠=,现要在其中圈出一块矩形场地ABCD 作为儿童乐园使用,其中点,A B 在弧MN 上,且线段AB 平行于线段MN .(1)若点A 为弧MN 的一个三等分点,求矩形ABCD 的面积S ; (2)当A 在何处时,矩形ABCD 的面积S 最大?最大值为多少?21.(本题满分14分)本题共有3个小题,第1小题3分,第2小题5分,第3小题6分.已知函数()21ax f x bx c+=+是奇函数,,,a b c 为常数(1)求实数c 的值;(2)若,a b Z ∈,且()()12,23f f =<,求()f x 的解析式;(3)对于(2)中的()f x ,若()2f x m x ≥-对()0,x ∈+∞恒成立,求实数m 的取值范围.22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题3分,第2小题7分,第3小题6分.如图,曲线Γ由曲线()22122:10,0x y C a b y a b +=>>≤和曲线()22222:10x y C y a b-=>组成,其中点12,F F 为曲线1C 所在圆锥曲线的焦点,点34,F F 为曲线2C 所在圆锥曲线的焦点, (1)若()()232,0,6,0F F -,求曲线Γ的方程;(2)如图,作直线l 平行于曲线2C 的渐近线,交曲线1C 于点,A B ,求证:弦AB 的中点M 必在曲线2C 的另一条渐近线上;(3)对于(1)中的曲线Γ,若直线1l 过点4F23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分. 数列{}n a 各项均不为0,前n 项和为n S ,3,n n n b a b =的前n 项和为n T ,且2n n T S =. (1)若数列{}n a 共3项,求所有满足要求的数列; (2)求证:()n a n n N *=∈是满足已知条件的一个数列;(3)请构造出一个满足已知条件的无穷数列{}n a ,并使得20152014a =-;若还能构造其他符合要求的数列,请一并写出(不超过四个).。
2014年高考数学模拟试卷 (理答案仅供参考)一. 填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1. 设U R =,2{|20}M x x x =->,则U C M = [0,2]2.(理科)计算:=+⋅⋅⋅+++∞→nP n n 321lim22 3. 二项展开式61()x x-中的常数项为 20- .(用数字作答)4.(理科)已知一个关于x y 、的二元一次方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-210211,则+=x y 6 . 5.(理科)已知点G 为∆ABC 的重心,过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点,且x =,y =,则yx xy +的值为_______31_________.解:M 、G 、N 三点共线⇒(1)(1)AG AM AN xAB yAC λλλλ=+-=+-又G 为∆ABC 的重心⇒1133AG AB AC =+,所以11313(1)3x xy x y y λλ⎧=⎪⎪⇒=⎨+⎪-=⎪⎩6.(理科)直线l 的方程为10223012xy=-,则直线l 的一个法向量是 .答案 (),2k k 其中0k ≠ 7. (理科)函数x x y cos 6sin ⎪⎭⎫⎝⎛+=π的最大值为 43. 8. (理科)在极坐标系中,点)4π到直线cos sin 10ρθρθ--=的距离等于____2____.9.(理科)若直线340x y m ++=与曲线 ⎩⎨⎧+-=+=θθsin 2cos 1y x (θ为参数)没有公共点,则实数m 的取值范围是______10m >或0m <.______.10.(理科)已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ,如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等,那么这个圆锥的母线长为cm .11.(理科)已知函数)()(),1,0(2)(11x f x fa a a x f x 是设且-+≠>-=的反函数.若)(1x f y -=的图象不经过第二象限,则a解得)(,1)2(log )(11x f y x x fa --=-+=要使的图象不过第二象限, 只需⎩⎨⎧>≤-,1,012l o g a a 解得.2≥a12.(理科)知离散型随机变量x 的分布列如右表。
上海市杨浦区2014-2015学年4月基础考数学试卷
一、选择题:
1.如果x=2是方程的一个根,那么a的值是( )
(A)0;(B)2;(C)-2;(D)-6.
2.在同一直角坐标系内,若正比例函数的图像与反比例函数的图像没有公
共点,则( )
(A);(B);(C);(D).
3.某篮球队12名队员的年龄如下表所示:
年龄(岁) 18 19 20 21
人数 5 4 1 2 则这12名队员年龄的众数和中位数分别是( )
(A)2,19;(B)18,19;(C)2,9.5;(D)18,19.5
4.下列命题中,真命题是( )
(A)周长相等的锐角三角形都全等;(B)周长相等的直角三角形都全等;
(C)周长相等的钝角三角形都全等;(D)周长相等的等腰直角三角形都全等。
5.下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
(A)(B)(C)(D)
6.设边长为3的正方形的对角线长为a,下列关于a的四种说法:①a是无理数;②a可以
用数轴上的一个点来表示;③3<a<4;④a是18的一个平方根。
其中,所有正确说法的序号是( )
(A)①④;(B)②③(C)①②④(D)①③④
1。
杨浦区2013-2014学年度第一学期高三年级学业质量调研物理学科试卷本试卷分为第I卷(第1—5页)和第Ⅱ卷(第6—10页)两部分.全卷共10页.满分150分.考试时间120分钟第I卷(共56分)考生注意:1.答第I卷前.考生务必在答题卡上用钢笔或圆珠笔清楚填写姓名、准考证号.并用2B铅笔正确涂写准考证号.2.第I卷(1-20小题).由机器阅卷.答案必须全部涂写在答题纸上.考生应将代表正确答案的小方格用2B 铅笔涂黑.注意试题题号和答题纸编号一一对应,不能错位.答案需要更改时,必须将原选项用橡皮擦去,重新选择.答案不能涂写在试卷上.涂写在试卷上一律不给分.一、(16分)单项选择题.本大题共8小题,每小题2分.每小题给出的四个答案中,只有一个是正确的.选对的得2分,选错的或不答的,得0分;选两个或两个以上的,得0分.1.历史上首先正确认识力和运动的关系,批驳“力是维持物体运动的原因”观点的物理学家是(A)阿基米德 . (B)牛顿. (C)伽利略. (D)以上三个都不是.2.下列公式中,既适用于点电荷产生的静电场,也适用于匀强电场的有:①场强E=F/q, ②场强E=U/d,③场强E=kQ/r2,④电场力做功W=Uq.(A)①③. (B)②③. (C)②④. (D)①④.3.关于产生摩擦力的条件,下列说法中正确的是(A)相互压紧的粗糙物体之间总有摩擦力存在.(B)相对运动的物体间一定有滑动摩擦力存在.(C)只有相互挤压和有相对运动的物体之间才有摩擦力的作用.(D)只有相互挤压和发生相对运动或有相对运动趋势的粗糙物体之间才有摩擦力的作用.4.关于力矩,下列说法中正确的是(A)力对物体的转动作用效果决定于力矩的大小和方向.(B)力不等于零时,力对物体一定产生转动作用.(C)力矩等于零时,力对物体也可以产生转动作用.(D)力矩的单位是“牛·米”,也可以写成“焦”.5.有一质量均匀分布的圆形薄板,若将其中央挖掉一个小圆板,则薄板的余下部分(A)重力减小,重心随挖下的小圆板移走了.(B)重力和重心都没改变.(C)重力减小,重心位置没有改变.(D)重力减小,重心不存在了.6.关于磁感线的概念,下列说法中正确的是运用科技和互联网的力量,让教育变的更容易。
杨浦区2013学年度第一学期高三年级学业质量调研政治试卷2014年1月考生注意:1.考试时间120分钟,试卷满分150分。
2.本考试设试卷和答题纸两部分,试卷包括试题与答题要求。
所有答题必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上,做在试卷上一律不得分。
3.答题前,务必在答题纸上填写准考证号和姓名,并将核对后的条形码贴在指定位置上。
一、单项选择题(共90分,每题3分。
每题只能选一个选项)1.2013年12月16日,最高人民检察院召开高检院党组会议,会议强调要始终把检察工作置于党和国家工作大局来谋划和推进,立足检察职能,维护社会和谐稳定。
我国人民检察院的专门职能是A. 管理户口、居民身份证等事宜B.解决民事、经济和行政纠纷C.从事法律监督,保证国家法律统一实施 D.监督国家权力机关及其工作人员2.全国假日办于2013年10月和11月先后两次就2014年节假日安排面向社会征求意见。
假日办向社会公开征求意见这一举措体现了政府A.决策的形式化B.决策的民主化C.决策的传统化D.决策的智能化3.发展社会主义民主政治,建设社会主义政治文明,是全面建成小康社会的重要目标。
以下关于社会主义民主政治的叙述,正确的有①没有民主就没有社会主义现代化②社会主义法制是社会主义民主的基础③社会主义民主的本质是保持公有制经济的主体地位④必须在党的领导下进行社会主义民主建设A.①②B.②③C.②④D.①④4.公民通过选出的人大代表,参与国家各项事务的决策,履行参与决策的重要任务。
这种参与属于A.直接参加选举B.间接参与民主决策C.直接参与民主决策D.间接参与民主监督5.在互联网时代,人人都是“麦克风”,由“微博”发起监督,由主流媒体扩展报道,由纪检部门跟进履职的监督,使“表哥”、“房叔”们纷纷落马。
这说明A.科学技术的进步是公民政治权利和自由的根本保障B.人民知情权、表达权、监督权的充分行使是权利正确运行的重要保证C. 网络反腐已经成为反腐的根本渠道D. 发挥网络的作用是让权力在阳光下运行的决定性因素6.我国改革开放三十多年来,党和政府领导、支持各少数民族地区发展取得了辉煌成就,提高了各少数民族地区人民的生活水平,巩固了民族团结。
杨浦区2014学年度第一学期高三学业质量调研历史试卷本试卷分为选择题和非选择题两部分2015年1月(参考答案)一、选择题(1——30题每小题2分,31——35题每小题3分,共75分)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 题号B A D BC A C A B A B C C 答案14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 题号B D BCD A A B A C B C B 答案题27 28 29 30 31 32 33 34 35号B C D B CABD ABCD CABD ABDC BACD答案(注明:31——35题每小题3分。
每选项的分值3、1、1、0分,选出最佳一项,多选不得分)二、非选择题:(共75分)36.日本史学家眼中的中国历史(11分)(1)作者认为隋唐较好地解决了胡族与汉族的问题,建立各民族之间的平等关系,从而换发出无尽的活力。
(2分)唐太宗实行开明的民族政策,他将文成公主嫁给吐蕃赞普松赞干布促进了唐蕃友好,在历史上传为佳话。
(2分)(2)特点:隋唐文化的开放性与包容性。
(2分)A指日本;(2分)日本派“遣唐使”来中国,并将大量的文献典籍传到日本;(1分)日本不仅在政治、经济、法律等制度层面仿效唐朝(1分)而且对对宗教、文学、历法、艺术、儒学、建筑,服装饮食和风俗文化以及各类生产技术,加以吸收融合(1分)(此外如答出“东亚文化圈”“丝绸之路”的贸易等可也可赋分,最多3分)37. 欧洲人视野中的世界(12分)(1)B.(1分)(2)从A到B可以看出:世界的形状从三叶状变成了球状,大陆板块在欧亚非三大陆基础上增加美洲;世界的中心从欧亚非交汇处转向以大西洋为中心;海岸线由平滑转向更加曲折清晰;能绘制出的岛屿更多;开始用经纬度来划分世界区域等。
(任意3条6分,其它答案若有合理之处酌情赋分)(3)新航路开辟后,欧洲人发现了新大陆,并通过环球航行对世界面貌获得了更多的认识。
上海市各区2014届高三数学(理科)一模试题分类汇编平面向量2014.01.26(普陀区2014届高三1月一模,理)2. 设1e 、2e 是平面内两个不平行的向量,若21e e a +=与21e e m -=平行,则实数=m .2.1-;(徐汇区2014届高三1月一模,理)5. 直线()1:330l a x y ++-=与直线()2:5340l x a y +-+=,若1l 的方向向量是2l 的法向量,则实数a = .5.-2(徐汇区2014届高三1月一模,理)10. 在平面直角坐标系中,动点P 和点M (-2,0)、N (2,0)满足0MN MP MN NP ⋅+⋅= ,则动点P (x ,y )的轨迹方程为.(普陀区2014届高三1月一模,理)18. 若i A (n i ,,3,2,1 =)是AOB ∆所在的平面内的点,且OA i ⋅=⋅.给出下列说法: ①||||||||21OA OA OA n ==== ; ②||i OA 的最小值一定是||;③点A 、i A 在一条直线上; ④向量OA 及i OA 在向量OB 的方向上的投影必相等.其中正确的个数是…………………………………………………………………………( ) )(A 1个. )(B 2个. )(C 3个. )(D 4个.(嘉定区2014届高三1月一模,理)15.设向量)1,1(-=x a ,)1,3(+=x b ,则“a ∥b ”是“2=x ”的………………()第18题A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充分必要条件D .既非充分又非必要条件15.B(虹口区2014届高三1月一模,理)15、已知)2,0(=,)1,1(= ,则下列结论中正确的是( ).A ⊥-)( .B )()(+⊥- .C // .D =15.B(杨浦区2014届高三1月一模,理)20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第(1)小题满分7分,第(2)小题满分7分 . 已知向量()1,2x m =,()ax a n 21,-=,其中0>a .函数()n m x g ⋅=在区间[]3,2∈x 上有最大值为4,设()()xx g x f =. (1)求实数a 的值;(2)若不等式()033≥-x x k f 在[]1,1-∈x 上恒成立,求实数k 的取值范围.20. 【解】(1)由题得 ()a x a ax ax x g -+-=-+=⋅=1)1(2122 ……4分 又0>a 开口向上,对称轴为1=x ,在区间[]3,2∈x 单调递增,最大值为4,()()43m ax ==∴g x g 所以,1=a ……7分(2)由(1)的他,()21)(-+==x x x x g x f ……8分令x t 3=,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,31t 以()033≥-x x k f 可化为kt t f ≥)(, 即tt f k )(≤恒成立, ……9分 2)11()(-=t t t f 且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,311t ,当11=t ,即1=t 时tt f )(最小值为0, ……13分 0≤∴k ……14分。
上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷(理科)考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上.2.本试卷共有23道题,满分150分,考试时间120分钟.一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1. 计算:=+∞→133lim nnn . 2.若直线013=--x y 的倾斜角是θ,则=θ (结果用反三角函数值表示).3.若行列式124012x -=,则x = .4.若全集U R =,函数21x y =的值域为集合A ,则=A C U .5.双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线方程为3y x =,则b =________.6.若函数()23-=xx f 的反函数为()x f1-,则()=-11f.7. 若将边长为cm 1的正方形绕其一条边所在直线旋转一周,则所形成圆柱的体积 等于 ()3cm .8. 已知函数()lg f x x =,若()1f ab =,则22()()f a f b += _________.9. 已知函数()1cos sin )(2-+=x x x f ωω的最小正周期为π,则=ω _________.10. 某公司一年购买某种货物600吨,每次都购买x 吨,运费为3万元/次,一年的总存储费 用为2x 万元,若要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次需购买 吨.11. 已知复数i -=2ω(i 为虚数单位),复数25-+=ωωz ,则一个以z 为根的实系数一元二次方程是________.12. 若21()n x x+的二项展开式中,所有二项式系数和为64,则该展开式中的常数项为 .13.设a ,b 随机取自集合{1,2,3},则直线30ax by ++=与圆221x y +=有公共点的 概率是 .14.已知函数()21(0)xf x a a =⋅+≠,定义函数(),0,()(),0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩ 给出下列命题:①()()F x f x =; ②函数()F x 是奇函数;③当0a <时,若0mn <,0m n +>,总有()()0F m F n +<成立,其中所有正确命题的序号是 .二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得5分,否则一律得零分.15. 若空间三条直线c b a 、、满足b a ⊥,c b //,则直线a 与c ………( ).)(A 一定平行 )(B 一定相交 )(C 一定是异面直线 )(D 一定垂直16.“21<-x 成立”是“01<-x x成立”的 ………( ). )(A 充分非必要条件. )(B 必要非充分条件. )(C 充要条件. )(D 既非充分又非必要条件. 17. 设锐角的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ,且 1=a ,A B 2=, 则b 的取值范围为 ………( ). )(A ()3,2 . )(B ()3,1 .)(C()2,2 . )(D ()2,0 .ABC ∆18.定义一种新运算:,(),()b a b a b a a b ≥⎧⊗=⎨<⎩,已知函数24()(1)log f x x x =+⊗,若函数()()g x f x k =-恰有两个零点,则k 的取值范围为 ………( ). )(A (]1,2 . )(B (1,2) . )(C (0,2) . )(D (0,1) .三、解答题(本大题满分74分)本大题共5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19.(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分 .已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a . (1)求异面直线B A 1与C B 1所成角的大小; (2)求四棱锥ABCD A -1的体积.20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第(1)小题满分7分,第(2)小题满分7分 . 已知向量()1,2x m =,()ax a n 21,-=,其中0>a .函数()n m x g ⋅=在区间[]3,2∈x 上有最大值为4,设()()xx g x f =.(1)求实数a 的值; (2)若不等式()033≥-xxk f 在[]1,1-∈x 上恒成立,求实数k 的取值范围.21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第(1)小题满分5分,第(2)小题满分9分 . 某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案(阴影区域)”,其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F 的两条弦,且其焦点)1,0(F ,0=⋅BD AC ,点E 为y 轴上一点,记α=∠EFA ,其中α为锐角. (1) 求抛物线Γ方程;(2) 如果使“蝴蝶形图案”的面积最小,求α的大小?22. (本题满分16分)本题共有3个小题,第(1)小题满分10分,第①问5分,第②问5分,第(2)小题满分6分.已知椭圆Γ:2214x y +=.(1) 椭圆Γ的短轴端点分别为B A ,(如图),直线BM AM ,分别与椭圆Γ交于F E ,两点,其中点⎪⎭⎫⎝⎛21,m M 满足0m ≠,且3m ≠±.①证明直线F E 与y 轴交点的位置与m 无关; ②若∆BME 面积是∆AMF 面积的5倍,求m 的值;(2)若圆ψ:422=+y x .21,l l 是过点)1,0(-P 的两条互相垂直的直线,其中1l 交圆ψ于T 、R 两点,2l 交椭圆Γ于另一点Q .求TRQ ∆面积取最大值时直线1l 的方程.23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第(1)小题满分5分,第(2)小题满分13分,第①问5分,第②问8分.设是数列的前项和,对任意*N n ∈都有()()p a a b kn S n n +++=12成立, (其中k 、b 、p 是常数) .(1)当0k =,3b =,4p =-时,求n S ; (2)当1k =,0b =,0p =时,①若33a =,915a =,求数列{}n a 的通项公式;②设数列中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“Ω数列”. 如果212a a -=,试问:是否存在数列为“Ω数列”,使得对任意*N n ∈,都有0n S ≠,且12311111111218n S S S S <++++<.若存在,求数列的首项1a 的所 有取值构成的集合;若不存在,说明理由.n S {}n a n {}n a {}n a {}n a杨浦区2013—2014学年度第一学期高三模拟测试 2014.1.2数学试卷(理科)参考答案说明1. 本解答列出试题的解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2. 评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分.3. 第19题至第23题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数.4. 给分或扣分均以1分为单位.一.填空题(本大题满分56分) 1. 1 ; 2.3arctan ; 3.2; 4. ()0,∞- ; 5.3 ; 6. 1 ; 7. π; 8. 2;9. 理1±; 10. 30 ; 11. 01062=+-x x ; 12. 理15 ;13.理95, 14.理②、③,二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题 15. D ; 16. B ; 17. A ; 18.理B ; 三、解答题(本大题满分74分)本大题共5题 19. 【解】(1)因为 D A C B 11//,∴直线B A 1与D A 1所成的角就是异面直线B A 1与C B 1所成角.又BD A 1∆为等边三角形,∴异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为︒60.(2)四棱锥ABCD A -1的体积=V 323131a a a =⨯⨯ 20. 【解】(1)由题得 ()a x a ax ax n m x g -+-=-+=⋅=1)1(2122 又0>a 开口向上,对称轴为1=x ,在区间[]3,2∈x 单调递增,最大值为4,()()43max ==∴g x g 所以,1=a(2)由(1)的他,()21)(-+==x x x x g x f令xt 3=,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,31t 以()033≥-x x k f 可化为kt t f ≥)(,即tt f k )(≤恒成立,2)11()(-=tt t f 且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,311t ,当11=t ,即1=t 时t t f )(最小值为0, 0≤∴k 21. 【解】理科 (1) 由抛物线Γ焦点)1,0(F 得,抛物线Γ方程为y x 42= (2) 设m AF =,则点)1cos ,sin (+-ααm m A 所以,)cos 1(4)sin (2ααm m +=-,既04cos 4sin 22=--ααm m解得αα2s i n )1(c o s 2+=AF ……8分 同理: αα2cos )sin 1(2-=BF ……9分αα2cos )sin 1(2+=DF ……10分 αα2sin )cos 1(2-=CF ……11分“蝴蝶形图案”的面积2)cos (sin cos sin 442121αααα-=⋅+⋅=+=∆∆DF CF BF AF S S S CFD AFB 令 ⎝⎛⎥⎦⎤∈=21,0,cos sin t t αα, [)+∞∈∴,21t则121141422-⎪⎭⎫⎝⎛-=-=t t t S , 21=∴t 时,即4πα=“蝴蝶形图案”的面积为822. 【解】理科解:(1)①因为)1,0(),1,0(-B A ,M (m ,12),且0m ≠, ∴直线AM 的斜率为k 1=m 21-,直线BM 斜率为k 2=m23,∴直线AM 的方程为y =121+-x m,直线BM 的方程为y =123-x m ,由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,121,1422x m y y x 得()22140m x mx +-=, 240,,1m x x m ∴==+22241,,11m m E m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭由⎪⎩⎪⎨⎧-==+,123,1422x m y y x 得()229120m x mx +-=, 2120,,9m x x m ∴==+222129,99m m F m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭; 据已知,20,3m m ≠≠,∴直线EF 的斜率22222222219(3)(3)194124(3)19m m m m m m k m m m m m m ---+-++===---++23,4m m +-∴直线EF 的方程为 2222134141m m m y x m m m -+⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭, 令x =0,得,2=y ∴ EF 与y 轴交点的位置与m 无关. ②1||||sin 2AMF S MA MF AMF ∆=∠,1||||sin 2BME S MB ME BME ∆=∠,AMF BME ∠=∠, 5AMF BME S S ∆∆=,∴5||||||||MA MF MB ME =,∴5||||||||MA MB ME MF =,∴225,41219m m m mm m m m =--++ 0m ≠,∴整理方程得22115119m m =-++,即22(3)(1)0m m --=, 又有3m ≠±,∴230m -≠, 12=∴m ,1m ∴=±为所求. (2) 因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=, 直线21:10l y x x ky k k=--⇒++=, 所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为211d k=+,所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦222143242kk d TR ++=-=;由22222048014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以482+-=+k k x x P Q 所以 418)4(64)11(222222++=++=k k k k k QP 所以 13131613232341334324348212222=≤+++=++==∆k k k k TR QP S TRQ 当22213510432243k k k k +=⇒=⇒=±+时等号成立, 此时直线110:12l y x =±- 23【解】(理科)解: (1)当0k =,3b =,4p =-时,由()()p a a b kn S n n +++=12得 n n S a a 24)(31=-+ ①用1n +去代n 得,11124)(3++=-+n n S a a , ②②—①得,113()2n n n a a a ++-=,13n n a a +=, 在①中令1n =得,11a =,则n a ≠0,∴13n na a +=, ∴数列{}n a 是以首项为1,公比为3的等比数列,∴n S =312n - (2)当1k =,0b =,0p =时,112()2()n n n a a a a a +=++, ③用1n +去代n 得,11121(1)()2()n n n n a a a a a a ++++=+++, ④ ④—③得, 11(1)0n n n a na a +--+=, ⑤用1n +去代n 得,211(1)0n n na n a a ++-++=, ⑥⑥—⑤得,2120n n n na na na ++-+=,即211n n n n a a a a +++-=-, ∴数列{}n a 是等差数列.∵33a =,915a =, ∴公差93293a a d -==-,∴23n a n =-易知数列{}n a 是等差数列,∵212a a -=,∴12(1)n a a n =+-. 又是“Ω数列”,得:对任意*,N m n ∈,必存在*N p ∈使 1112(1)2(1)2(1)a n a m a p +-++-=+-,得12(1)a p m n =--+,故1a 是偶数, 又由已知,111111218S <<,故1181211a << 一方面,当1181211a <<时,1(1)n S n n a =+-0>,对任意*N n ∈, 都有123111111112n S S S S S ++++≥> 另一方面,当12a =时,(1)n S n n =+,1111n S n n =-+, 则1231111111n S S S S n ++++=-+, 取2n =,则1211121113318S S +=-=>,不合题意. 当14a =时,(3)n S n n =+,1111()33n S n n =-+,则 1231111111111()183123n S S S S n n n ++++=-+++++1118<, {}n a当16a ≥时,1(1)n S n n a =+-(3)n n >+,1111()33n S n n <-+, 123111*********()18312318n S S S S n n n ++++<-++<+++, 又1181211a <<,∴14a =或16a =或18a =或110a = 所以,首项1a 的所有取值构成的集合为{}10,8,6,4。