关于中点的几点联想

你口前•学习过哪些和中点有关的知识点，请写出来?知识点一、中点有关联想归类：【知识梳理】一.中点有关联想归类：1. 等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想"三线合一”的性质；2. 直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；3. 三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；4. 两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；5. 有中点时常构造垂直平分线；6. 有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；7. 倍长中线。

二.与中点问题有关的四大辅助线：1•出现三角形的中线时，可以延长（简称“倍长中线”）；2. 出现直角三角形斜边的中点，作斜边中线；3. 出现三角形边上的中点，作中位线；4. 出现等腰三角形底边上的中点，构造“三线合一”。

三.几何证明之辅助线构造技巧：1. 假如作一条辅助线，能起到什么作用；2. 常作那些辅助线能与已知条件联系更紧密，且不破坏已知条件。

【例题精讲】例1、(2018•广东)如图，四边形ABCD中，AB = AD=CD,以AB为直径的经过点C,连接AC, OD交于点E.(1) 证明：OD〃BC；(2) 若AC = 2BC,证明：DA与OO相切；【课堂练习】1・如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC=1, CE=3, H 是AF 的中点，那么CH 的长是（）2. （2018-南京）如图，在"BC 中，用直尺和圆规作A3、AC 的垂直平分线，分别交AB 、AC 于点D 、E,连接3. （2020-徐州）如图，在 RtA ABC 中，ZABC=90°, D 、E 、F 分别为 AB. BC 、CA 的中点，若 BF=5,则 DE4. （2019-泰州）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 在小正方形的顶点上，则△ ABC 的重心是（） A.点DB.点EC •点FD.点GDE.若 BC=Wcm,则 DE= ___________ cm.5. （2020-苏州）如图，在MBC 中，已知AB = 2, AD1BC.垂足为D, BD = 2CD •若E 是AQ 的中 点，则EC =.6. （2020-镇江）如图，在△SBC 中，BC = 3 ,将△SBC 平移5个单位得到△力i/C — 点P 、Q 分别是43、7. （2020黑龙江牡丹江）如图，四边形ABCD 内接于0O ,连接BD ・若AC = BC , Z3DC = 50。

专题22 关于中点的联想例1 、6例2 B 提示：取CG 的中点T ，连MT ，NT ，则12MT =，2NT =，∠90MTN =? 例3 提示：取AC 中点F ，连BF ，证明BF CE =例4 （1）四边形EFGH 为菱形；（2）成立，连AD ，BC ，由APD D ≌CPB D ，得AD BC =，又12EF BC =， 12FG AD =，12HG BC =，12EH AD =，则EF FG GH HE ===，故四边 形EFGH 为菱形；（3）四边形EFGH 是正方形例5 证明：延长BD 至P ，使DP DB =，延长CE 至Q ，使EQ EC =，连AP ，AQ ，PC A B A P =，AC AQ =，∠PAC =∠BAQ ，ABQ \D ≌APC D ，有PC BQ =，又 MD ，ME 分别是BPC D 与BQC D 的中位线，12MD PC \=，12ME BQ =，故 MD ME =例6 （1）如图a ，b ，CPM D ，CNQ D皆为等腰三角形，连CE ，CF ，则CE ⊥PM ， CF ⊥NQ（2）如图c ，分别延长CE ，CF 交AB 于S ，R ，则EF ∥12RSA 级1.平行四边形 （1）菱形、矩形、正方形、菱形；（2）对角线互相垂直、对角线相等、对角线互相垂直且相等2.303.64.30230cm 5.D 6.C 7.C 8.C 9.提示：取AC 中点N ，连结MN ，DN ，则12MN AB =，证明DM MN = 10.提示：取BC 中点R ，连结MR ，NR ，则MR NR = 11.（1）略（2）连MB ，MD ，则四边形BCDM 为平行四边形，可证明FBM D ≌MDH D ，则 FM MH =，∠BFM =∠DMH ，延长AC 交MH 于S ，则∠DMH =∠CSM ∠BFM ，则∠FBC =∠90FMH =?，故∠FMH 是等腰直角三角形（3）是12.如图，作□ABPF ，连接DP ，取DP 的中点M ，则四边形BCDP 是梯形，连接1B M ， 1E M ，由梯形中位线定理知，1B M ∥CD ∥BP ∥AF ，1ME ∥DE ∥FP ∥AB ， 且122BP CD AF CD B M ++==，122PF DE AB DE E M ++==，同理作□BCDO ， 取OF 的中点N ，连接1A N ，1D N ，由梯形中位线定理知，1A N ∥AF ∥BO ∥CD ， 1ND ∥EF ∥OD ∥BC且122AF BO AF CD A N ++==，1222EF OD EF BC AB DE D N +++===， 在11B ME D与11A ND D 中，11B M A N =，11E M D N =。

三角形的中位线在数量上是第三边的一半在位置上涉及到平行它起着传递角的位置关系和线段长度的功能
关于中点的联想
线段的中点把线段分成相等的 两部分，是几何图形中的一个特殊 的点，图形中出现的中点，可以引 发我们丰富的联想。
例1、如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中 点，MN⊥AC于点N，求MN的长度。
练习：在Rt △ABC中， ∠ACB=90 °，点E是AC的中点， 延长BC到点F，使BC=2CF，若AB=10，求EF的长。
B
D
B
D
C
C
A
E
A
E
F
F
EF=5
熟悉一下基本图形：
1、等腰三角形三线合一 2、中线倍长 3、直角三角形斜边上的中线 4、三角形的中位线
练习： 在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB， 垂足为E，求DE：EA的值。
A E
B
D
C
DE : EA 3
例2、如图，在△ABC中，AB=10，AC=26，BC边上的中线
AD=12，求BC的长。
A
10
26
解：延长AD到E，使得DE AD
12
AD是BC边上的中线， BD CD
AB 10，AD 12， BD 102 122 2 61
BC 4 61
中线与中点联系紧密，中线倍长 是处理中线的常用手段。
例2、如图，在△ABC中，AB=10，AC=26，BC边上的中线 AD=12，求BC的长。
A
E
B
D
C
构造中点，中位线是解题的常用技巧。
练习：如图，在△ABC中，AB=3，AC=5，BC边上的 中线AD=A2，求△ABC的面积。

10，则EF的长为⁠ 4
⁠.
例2题图
模型解读
遇到直角三角形斜边的中点：连中线构造斜边上的中线.
结论：出现两个等腰三角形.
变式2
如图，已知在△ABC中，BD⊥AC于点D，
CE⊥AB于点E，M，N分别是BC，DE的中点.若BC＝
10，DE＝6，则△MDE的面积为⁠ 12
变式2题图ຫໍສະໝຸດ ⁠.类型三见多个中点，联想到中位线
A.3
B.4
第4题图
C.2
B ）
D.3 ��
5.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC


的中点，MN⊥AC于点N，则MN的长是⁠
第5题图
⁠.
6.如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG
上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长
是⁠ ⁠.
第6题图
⁠
2MN＝6.∴AC＝AD＋DC＝16.
类型四
见中线
联想
倍长中线
典例精讲
例4 如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，
BD⊥BC，∠ABC＝120°，AB＝8，则BC的长为
（
B ）
例4题图
A.3
B.4
C.5
D.6
变式4
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为BC
的中点，点E，F分别为AB，AC上的点，且ED⊥FD，
的中点，且S△ABC＝16，则S△DEF＝（
A.2
B.8
第1题图
C.4
A
D.1
）
2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CE＝
2，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则AE