全国名校高考数学优秀学案(附详解)第32课时—三角函数的最值

2０18年高考数学黄金100题系列第32题三角函数的值域与最值问题理编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(2018年高考数学黄金1００题系列第32题三角函数的值域与最值问题理)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018年高考数学黄金１00题系列第32题三角函数的值域与最值问题理的全部内容。

第3２ 题 三角函数的值域与最值问题I ．题源探究·黄金母题例1.已知()22sin cos 2cos y x x x =++.①求它的递减区间;②求它的最大值和最小值. 【解析】()22sin cos 2cos 12sin cos 1cos22sin 2cos22sin 224y x x x x x xx x x π=++=+++⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭①令πππππk x k 2234222+≤+≤+,解得ππππk x k +≤≤+858,即函数的单调区间为)(85,8Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ．②由题意得22max +=y ，22min +-=y ．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修4第147页第9题.【母题评析】本题综合考查三角恒等变换与三角函数的图像与性质，是历年来高考的一个常考点. 【思路方法】灵活选择三角公式化为形式()sin y A x B ωϕ=++或()cos y A x B ωϕ=++,再讨论相关性质.II.考场精彩·真题回放例 2.(20１7课标II ）函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)的最大值是 ．【答案】１ 【解析】试题分析：化简三角函数的解析式：()22231cos 3413cos 3cos 14f x x x x x x =-+-⎛=-++=-+ ⎝⎭, 由自变量的范围：0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：[]cos 0,1x ∈,当3cos x =时,函数()f x 取得最大值1．【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性、对称性、单调性、零点等性质.【考试方向】这类试题可以是以选择题或填空题或解答题的形式出现，难度中等.【难点中心】注意本题解法中用到的两个结论：①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是半个周期;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题,二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”,它们常结合在一起,有关二次函数的问题,数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从:①开口方向;②对称轴位置;③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 例3．（2017山东理１6）设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-,其中03ω<<．已知()06f π=.(Ⅰ）求ω;(Ⅱ)将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移4π个单位,得到函数()y g x =的图象,求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值.【答案】(Ⅰ）2ω=．（Ⅱ）得最小值32-.【解析】试题分析:（Ⅰ)利用两角和与差的三角函数化简得到()y f x =3(sin )3x πω=-由题设知()06f π=及03ω<<可得．（Ⅱ)由(Ⅰ)得()3)3f x x π=-从而()3)3)4312g x x x πππ=+-=-. 根据3[,]44x ππ∈-得到2[,]1233x πππ-∈-，进一步求最小值．试题解析:（Ⅰ)∵()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-,∴31()cos cos 2f x x x x ωωω=-- 33cos 2x x ωω=-133(sin )2x x ωω= 的图象关于直线0x x = 对称，则()0f x A = 或()0f x A =-.3(sin )3x πω=-由题设知()06f π=,∴63k ωπππ-=，k Z ∈． 故62k ω=+,k Z ∈,又03ω<<,∴2ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得()3sin(2)3f x x π=-∴()3sin()3sin()4312g x x x πππ=+-=-． ∵3[,]44x ππ∈-,∴2[,]1233x πππ-∈-,当123x ππ-=-,即4x π=-时,()g x 取得最小值32-．例 4.(2０17江苏1６）已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,π].x x x ==-∈a b(1)若a ∥b ，求x 的值；(2）记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.【答案】(1）5π6x =；(2)0x =时,()f x 取得最大值,为３； 5π6x =时，()f x 取得最小值，为23-． 【解析】（1）∵co ()s ,sin x x =a ，(3,3)=-b ,a ∥b ，∴3sin 3cos x x =-，又cos 0x ≠,∴3tan 3x =-，∵，∴5π6x =． (2）π(cos ,sin )(3,3)3cos 3sin 23cos(())6f x x x x x x =⋅=⋅-=-=+a b .∵,∴ππ7π[,]666x +∈，从而π31cos()62x -≤+≤．于是,当ππ66x +=,即0x =时,取到最大值3;当π6x +=π,即5π6x =时,取到最小值23-.例5.(201６高考新课标1）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为 ( ）(Ａ）11 （B)9 （Ｃ)７ （D)5 【答案】B 【解析】4x π=-为()f x 的零点,4x π=为()f x 图象的对称轴，()444TkT ππ∴--=+,即41412244k k T ππω++==⋅，41(*)k k N ω∴=+∈,又()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调,5236181222T ππππω∴-=≤=，即12ω≤，由此ω的最大值为9．故选B.ＩI Ｉ．理论基础·解题原理考点 三角函数的最值与值域 有如下几种类型：（1）一次型:()()sin cos ,sin ,cos y a x b x y A x B y A x B ωϕωϕ=+=++=++，值域分别为,,,,A B A B A B A B ⎡-++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣;（２)二次型：2222sin sin ,cos cos ,sin sin cos cos y a x b x c y a x b x c y a x b x x c x =++=++=++等; （３)分式型:sin cos sin cos ,,,sin cos cos sin a x b a x b a x b a x by y y y c x d c x d c x d c x d++++====++++等．ＩV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上,通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小,往往考查对基础知识的识记与理解．若为新定义题，则难度加大.【技能方法】(１）二次型22sin sin ,cos cos y a x b x c y a x b x c =++=++可化为区间上的二次函数来求值域;二次型22sin sin cos cos y a x b x x c x =++可先用倍角公式、降幂扩角公式及辅助角公式化为一次型来求解;(2）分式型sin cos ,sin cos a x b a x by y c x d c x d ++==++可以用sin x 或cos x 的有界性求值域,或利用分离常数法求解；分式型sin cos ,cos sin a x b a x by y c x d c x d++==++可以用数形结合法求值域．【易错指导】求解三角函数的最值(值域）时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性,正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得,因此要把这两个最值点弄清楚,不然极易出错误. V.举一反三·触类旁通考向1 三角函数的值域与最值例 6.（201８河北武邑调研)设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=( ）Ａ．255 B ．55 C.255- D.55- 【答案】C例7.已知函数()sin 3cos f x a x x =-关于直线6x π=-对称 ,且()()124f x f x ⋅=-,则12x x +的最小值为（ ）A ．6π B ．3π Ｃ．56π C ．23π 【答案】Ｄ【解析】()()23sin 3cos 3sin tan f x a x x a x a ϕϕ⎛⎫=-=+-=⎪ ⎪⎝⎭()()()12,463f x x k f x f x ππϕπ=-∴=+⋅=-对称轴为112212min 522,2,663x k x k x x πππππ∴=-+=+∴+=,故选D.例８．（2０17陕西西安)已知()sin 2017cos 201763f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A ,若存在实数12,x x ,使得对任意实数x 总有()()()12f x f x f x ≤≤成立,则12A x x -的最小值为( ）A.2017πＢ．22017π Ｃ．42017π D ．4034π【答案】B【解析】()sin 2017cos 201763f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3113πsin2017cos2017cos2017sin20172sin 201722226x x x x x ⎛⎫=+++=+ ⎪⎝⎭ ∴12122π2π2,2220172017T A x x A x x =-≥=∴-≥⨯ ,选B ． 例9.（20１6湖南湘西二模）若5,412x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则()2sin 4sin 2x x f x xπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=的最大值为（ )A.1B.2 C ．3 D.4 【答案】A例10．(201６河北沧州)函数sin (cos 3sin )(0)2y x x x x π=-≤≤的值域为( ）A ．3[3,1]2+ B.33[,1]22-- C ．[0,1] D ．3[3,1]2-- 【答案】D【解析】因2111cos 23sin 23sin sin 23sin(2)22232x y x x x x π-=-=-=+-,且由02x π≤≤,得42333x πππ≤+≤，3sin(2)123x π-≤+≤,3312y ∴-≤≤-，故应选D ． 例１1．（2016安徽安庆三模)已知()()32cos sin ,,,22f x x x x R ππϕϕ⎛⎫=++∈∈- ⎪⎝⎭的图像过,42π⎛⎫⎪⎝⎭点,则()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为（ ) A.[]5,5- B ．[]3,5 C ．[]3,4 D ．[]2,5 【答案】B【解析】由42f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，有32cos sin 422ππϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭,得2sin 2ϕ=-,而,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,∴()(),32cos sin 3cos 4sin 5sin 44f x x x x x x ππϕθ⎛⎫=-=-+=+=+ ⎪⎝⎭,其中34sin ,cos 55θθ==，故64ππθ<<，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦知,02x πθθ≤+≤+,故()35sin 5sin 5x θθ=≤+≤,即()f x 的值域为[]3,5,故选Ｂ．【方法点晴】本题考查两角和与差的正弦公式、三角函数的图象及三角函数的最值,属于难题.求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种:①化成2sin sin y a x b x c =++的形式利用配方法求最值;②形如sin sin a x by c x d+=+的可化为sin ()x y φ=的形式利用三角函数有界性求最值；③sin cos y a x b x =+型,可化为22sin()y a b x φ=++求最值.本题是利用方法③的思路解答的.例１２．(2０18广州)已知函数,当时,有最大值,则=__＿＿____＿＿.【答案】-5／12例13．(2018海南中学、文昌中学、海口市第一中学、农垦中学等八校联考）函数()sin cos 2sin cos ,44f x x x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=++∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最小值是_____＿＿___．【答案】1-【解析】解：f(x)=s ｉnx+co ｓx+2sin ｘｃosx,x ∈,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,化简f （x)=(si ｎx+c ｏsx ）２+ｓinx ＋cos ｘ﹣1设ｓi ｎx+cosx=t,则t=２ｓｉn （x)x+4π，那么函数化简为:g （t)=t 2+ｔ﹣1.∵x ∈,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∴ｘ＋4π∈［0， π２]，∴: 0t 1≤≤．∵函数g （t)=t 2+t ﹣1． 开口向上,对称轴ｔ=-１２，∴0t 1≤≤是单调递增．当t ＝０时,ｇ（t ）取得最小值为-1．例14.已知函数21()sin cos sin 2f x a x x x =-+的一条对称轴方程为6x π=，则函数()f x 的最大值为_＿_____＿__＿．【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值,意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想.【答案】１例１5.函数cos 2sin y θθ=+(R θ∈)的值域为 ．【答案】]33,33[-【解析】由函数cos 2sin y θθ=+可得θθcos sin 2=+y y ，即θθsin cos 2y y -=,令1sin ,11cos 22+=+=y y y αα,则y y 2)cos(12=++θα，∴1|12|2≤+y y ，解之得33||≤y .故其值域为]33,33[-.应填]33,33[-． 【易错点晴】本题考查的是三角函数的有关知识及综合运用.解答时先依据题设条件借助辅助角α的引入将其转化为y y 2)cos(12=++θα，然后在借助三角函数中余弦函数的值域为]1,1[-建立不等式1|12|2≤+y y ，通过解不等式1|12|2≤+y y 求出函数cos 2sin y θθ=+的值域为]33,33[-.体现数学中的转化与化归的数学思想和方法，整个解答过程充满了化归与转化的数学思想的交替使用.例16.（2018河南洛阳)已知()51ax by ++（a , b 为常数*a N ∈, *b N ∈)的展开式中不含字母x 的项的系数和为２4３,则函数()sin22sin 4x b f x x π+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值为______＿___． 【答案】2例1７.（２０1８江苏南通如皋联考）已知函数()()()sin 00πf x x ωϕωϕ=+><<，的周期为４，将函数ｆ（x )的图象向右平移13个单位后,所得图象关于原点轴对称，则函数ｙ=f （ｘ)在[]01，上的值域为__＿__＿＿_．【答案】112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】∵函数()()()sin 00πf x x ωϕωϕ=+><<，的周期为4，∴2πω=，即()sin 2f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,将函数f （x )的图象向右平移13个单位后得: sin 26y x ππϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,由其为图象关于原点轴对称,故sin 06πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,∵0πϕ<<，∴6πϕ=,故()sin 26f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,∵[]0,1x ∈，∴2,2663x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, ()1,12f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,即值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,故答案为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 例18．(２018江西）已知函数的一条对称轴为,且最高点的纵坐标是.(1)求的最小值及此时函数的最小正周期、初相;（2)在（1）的情况下，设,求函数在上的最大值和最小值．【答案】（1)取得最小正值，,初相为.（2)最大值为，最小值为.试题解析：解:（1）,∵函数的一条对称轴为，∴，解得．又,∴当时,取得最小正值.∵最高点的纵坐标是,∴,解得,故此时．此时，函数的最小正周期为，初相为．（2），∵函数在上单调递增,在上单调递减，∴在上的最大值为，最小值为．点睛:已知函数的图象求解析式（１)．(2)由函数的周期求（3）利用“五点法”中相对应的特殊点求．例19.(2018浙江名校协作体）已知函数()2sin cos cos f x x x x ωωω=+ (0)ω>的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数()y g x =的图象,求函数()y g x =在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值．【答案】（Ⅰ） 1ω=；(Ⅱ)1.试题解析:（Ⅰ） ()21sin 2242f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭22T ππω==,∴1ω= （Ⅱ） ()()212sin 4242g x f x x π⎛⎫==++ ⎪⎝⎭ 当,04x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时， 34,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦∴()min 312162g x g π-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭; ()()max 01g x g ==例20.(20１8安徽合肥调研)已知函数()sin cos f x x x =+．(Ⅰ)当()2f x =时，求sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(Ⅱ)若()()2g x f x =,求函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域．【答案】（Ⅰ）1sin 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ (Ⅱ)值域为1,2⎡⎤-⎣⎦解:(Ⅰ)依题意， ()2sin cos 2sin cos 2sin21x x x x x +=+=⇒= ∴cos20x =，∴1sin 2cos 332x ππ⎛⎫+== ⎪⎝⎭［(Ⅱ)()sin2cos22sin 24g x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴2sin 24x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦．∴函数()f x 的值域为1,2⎡⎤-⎣⎦.例21．（2０18山东平阴)已知函数()cos 22sin sin 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程(Ⅱ）求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】（1)()3x k k Z ππ=+∈(2）函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：先化简求得ｆ(x)sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭求出最小正周期和对称轴方程.（2)先确定()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性,分析图像找出最值.试题解析:(1）()cos 22sin sin 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2213cos2sin2sin cos 22x x x x =++-13cos2sin2cos222x x x =+- sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭[22T ππ∴==周期,对称轴方程为(２）5,,2,122636x x πππππ⎡⎤⎡⎤∈-∴-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∵()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴ 当3x π=时， ()f x 取最大值 １．又311222f f ππ⎛⎫⎛⎫-=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴当12x π=-时， ()f x 取最小值3∴ 函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为3⎡⎤⎢⎥⎣⎦例22．(2０16黑龙江哈尔滨二模)已知函数()()R x x x x x f ∈--=21cos cos sin 232.(Ⅰ)当5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,求函数()f x 取得最大值和最小值时x 的值;（Ⅱ)设锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对应边分别是,,a b c ，且*1,a c N =∈，若向量()11,sin A =n 与向量()22,sin B =n 平行,求c 的值．【答案】(Ⅰ）3x π=，()f x 取得最大值0;12x π=-，()f x 取得最小值312--;（Ⅱ）2.试题解析：（Ⅰ)()31cos 213122cos 21sin 212226x f x x x x x π+⎛⎫=--=--=-- ⎪⎝⎭, ∵5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,∴22363x πππ-≤-≤，∴3sin 216x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭,∴当sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时,即262x ππ-=,得3x π=,()f x 取得最大值0;当3sin 262x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时,即263x ππ-=-,得12x π=-,()f x 取得最小值312--; （Ⅱ）∵向量()1,sin A =n 与向量()2,sin B =n 平行，∴sin 2sin B A =,根据正弦定理的推论,得2b a =,∴1,2a b ==,由余弦定理214212cos 54cos c C C =+-⨯⨯=-，∵02C π<<,∴0cos 1C <<,∴215c <<,∴15c <<，∵*c N ∈，∴2c =,经检验符合三角形要求,∴c 的值为2.例2３.(2016天津和平区四模）已知3sin tan 2αα=,且0απ<<. (Ⅰ)求α的值;(Ⅱ）求函数()()4cos cos f x x x α=-在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【答案】(1)3πα=(2)[]2,3（Ⅱ）由(Ⅰ)得()()()4cos cos 4cos cos cos sin sin f x x x x x x ααα=-=+134cos cos sin 22x x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭22cos 23sin cos 1cos23sin 2x x x x x =+=++12sin 26x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．由0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,得22663x πππ≤+≤,当0x =时,()()min 02f x f ==;当6x π=时,()max 36f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭.∴,函数()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,3.考向２ 已知三角函数的值域或最值求参数的值或范围例2４.（2０17辽宁锦州）若函数()22sin sin21f x x x ωω=+-(x R ∈)满足()2f α=-, ()0f β=,且αβ-的最小值为34π，则正数ω的值为（ ） A ．13 B ．23 C ．43 Ｄ．83【答案】A例２５．（2０１8“超级全能生”２6省９月联考）已知向量()()sin ,cos ,1,1a x x b ωω==-，函数()f x a b =⋅,且1,2x R ω>∈,若()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间()3,4ππ，则ω的取值范围是（)Ａ.][7151319,,12161216⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦ B ．][7111115,,12161216⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦C ．][171119,,2121216⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦ D.][1111115,,2161216⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【解析】()sin cos f x x x ωω=-,()2sin 4f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭,由12ω>,得24T ππω=<， ,2T π> 112ω<<,由对称轴13,424x k x k ππωπππω⎛⎫-=+=+ ⎪⎝⎭ ,k z ∈，假设对称轴在区间()3,4ππ内,可知31,16443k k ω+<<+当k ＝1,２，３时， 771111155,,16121612164ωωω<<<<<<,现不属于区间()3,4ππ,∴上面的并集在全集112ω<<中做补集，得ω∈ ][7111115,,12161216⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦,选B ．【名师点睛】对于否定性，或完全肯定性的命题，经常用补集思想来做，要注意全集的选择.例２６．（２018百校联盟开学摸底联考）若()()2cos 2(0)f x x ϕϕ=+>的图像关于直线3x π=对称，且当ϕ取最小值时, 00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,使得()0f x a =，则a 的取值范围是（ )Ａ.(]1,2- B.[)2,1-- C ．()1,1- D.[)2,1- 【答案】D例27.(2０16湖北七市教研协作体4月联考）已知函数()sin cos f x a x b x =-(,a b 为常数，0a ≠,x R ∈）在4x π=处取得最大值，则函数()4y f x π=+是（ )A.奇函数且它的图象关于点(,0)π对称Ｂ．偶函数且它的图象关于点3(,0)2π对称 Ｃ．奇函数且它的图象关于点3(,0)2π对称Ｄ．偶函数且它的图象关于点(,0)π对称【解析】∵22()sin cos sin()f x a x b x a b x φ=-=++在4x π=处取得最大值,∴2()4k k Z πφπ=+∈,即2222()sin(2)sin()44f x a b x k a b x πππ=+++=++,∴函数2222()sin()cos 42y f x a b x a b x ππ=+=++=+，故函数()4y f x π=+是偶函数,且关于点3(,0)2π对称,故选B ．例28.设函数()3x f x mπ=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是 .【答案】2m <-或2m > 【解析】试题分析：()3'cos f x x mπ=，令()'0f x =,则(),2x k k Z m πππ=+∈，解得(),2m x km k Z =+∈．即()0,2mx km k Z =+∈． ()222222003sin 3cos 222m m x f x km k km k πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=++⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭22132m k ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， k Z ∈,0k ∴=时()2200x f x +⎡⎤⎣⎦取得最小值为234m +，存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦只需2234m m +<，即24m >,解得2m <-或2m >.以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。

____第32课__三角函数综合问题____1. 能灵活运用三角函数公式进行化简、求值、求取值范围等．2. 能综合应用函数、方程、不等式等知识解决与三角函数相关的问题.1. 阅读：必修 4 第103～122页；必修5第5～16页．2. 解悟：①三角函数中的同角三角函数关系，诱导公式，两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式、辅助角公式；②解三角形中的正余弦定理，三角形的面积公式；③重解必修4第109页例3，体会辅助角公式的应用；第110页例5，体会整体代换思想；第116页例5，这是三角函数应用题中的一个重要模型，体会角的拆分与合成；第121页例3，体会降幂扩角公式．3. 践习：在教材空白处完成必修4第109页练习第8题；第111页练习第5题；第116页练习第4、5、6题；第117页练习第5题.基础诊断1. 若α是三角形的一个内角，且sin αcos α＝18，则cos α＋sin α的值为2．解析：因为α是三角形的一个内角，且sin αcos α＝18，所以α为锐角，所以cos α＋sin α＝1＋2sin αcos α＝52. 2. 已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin (α＋β)＝__－12__．解析：因为sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，平方相加得sin 2α＋2sin αcos β＋cos 2β＋cos 2α＋2cos αsin β＋sin 2β＝1，所以2sin (α＋β)＝－1，sin (α＋β)＝－12.3. 已知角α，β，γ构成公差为π3的等差数列，若cos β＝－23，则cos α＋cos γ＝__－23__．解析：因为α，β，γ构成公差为π3的等差数列，所以α＝β－π3，γ＝β＋π3，所以cos α＋cos γ＝cos ⎝⎛⎭⎫β－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫β＋π3＝2cos βcos π3＝－23.4. 在锐角三角形ABC 中，若tan A ＝t ＋1，tan B ＝t －1，则实数t 的取值范围是＋∞)__．解析：因为在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以tan C ＝－tan (A ＋B)＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝2tt 2－2.因为△ABC 为锐角三角形，所以tan A>0，tan B>0，tan C>0，即⎩⎪⎨⎪⎧t ＋1>0，t －1>0，2t t 2－2>0，解得t>2.范例导航考向❶ 三角恒等变换与解三角形例1 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且2cos A cos C(tan A tan C －1)＝1.(1) 求角B 的大小；(2) 若a ＋c ＝332，b ＝3，求△ABC 的面积．解析：(1) 由2cos A cos C(tan A tan C －1)＝1得2(sin A sin C －cos A cos C)＝1，即cos (A ＋C)＝－12，所以cos B ＝－cos (A ＋C)＝12.又0<B<π，所以B ＝π3.(2) 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，所以（a ＋c ）2－2ac －b 22ac ＝12.又a ＋c ＝332，b ＝3，所以274－2ac －3＝ac ，即ac ＝54，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×54×32＝5316.【变式1】 若本题(2)条件变为“若b ＝3，S △ABC ＝332”，求a ＋c 的值． 解析：由已知S △ABC ＝12ac sin B ＝332，所以12ac ×32＝332，则ac ＝6.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c)2－3ac ， 所以(a ＋c)2＝b 2＋3ac ＝21，所以a ＋c ＝21.【变式2】 在本例条件下，若b ＝3，求△ABC 面积的最大值．解析：由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，则3＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ， 所以ac ≤3(当且仅当a ＝c ＝3时取等号)， 所以S △ABC ＝12ac sin B ≤12×3×sin π3＝334.故△ABC 面积的最大值为334.在△ABC 中，已知tan A ＝14，tan B ＝35.(1) 求角C 的大小；(2) 若△ABC 的最大边长为17，求最小边长．解析：(1) 因为A ＋B ＋C ＝π，所以tan C ＝－tan (A ＋B)＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－ 14＋351－14×35 ＝－1.因为0<C<π，所以C ＝3π4.(2) 因为C ＝3π4，所以最大边为AB ＝17，因为tan A ＝14<35＝tan B ，A ，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以A<B<C ，所以角A 最小，即边BC 最小．由tan A ＝14，sin 2A ＋cos 2A ＝1得sin A ＝1717，由AB sin C ＝BC sin A 得BC ＝sin A·AB sin C＝2， 所以最小的边长为 2.【注】 本例训练三角函数基本关系、正余弦定理及两角和与差公式的简单综合运用，注意三角形基本知识的运用. 考向❷ 三角函数与解三角形例2 已知函数f(x)＝sin ωx sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－34(ω>0)，且其图象的相邻对称轴间的距离为π4. (1) 求f(x)在区间⎣⎡⎦⎤11π12，9π8上的值域；(2) 在锐角三角形ABC 中，若f ⎝⎛⎭⎫A －π8＝12，a ＝1，b ＋c ＝2，求△ABC 的面积． 解析：(1) f(x)＝sin ωx(32sin ωx ＋12cos ωx)－34＝32sin 2ωx ＋12sin ωx cos ωx －34 ＝34(1－cos 2ωx)＋14sin 2ωx －34＝14sin 2ωx －34cos 2ωx ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3. 由条件知T ＝π2.又T ＝2π2ω，所以ω＝2，所以f(x)＝12sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤11π12，9π8， 所以4x －π3∈⎣⎡⎦⎤10π3，25π6， 所以sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3∈⎣⎡⎦⎤－1，12， 所以f(x)的值域是[－12，14]．(2) 由f ⎝⎛⎭⎫A －π8＝12得 A ＝π3.由 a ＝1，b ＋c ＝2及余弦定理 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得bc ＝1，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝34.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且b 2＋c 2－a 2＝bc.(1) 求角A 的大小；(2) 设函数f(x)＝sin x 2cos x 2＋3cos 2x2，当f(B)取得最大值时，判断△ABC 的形状．解析：(1) 因为在△ABC 中，b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2) f(x)＝sin x 2cos x 2＋3cos 2x2＝12sin x ＋32cos x ＋32 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋32， 所以f(B)＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＋32. 因为B ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，所以B ＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，π. 当B ＋π3＝π2时，即B ＝π6时，f(B)取最大值，此时C ＝π2，所以△ABC 是直角三角形．【注】 本例通过辅助角公式将三角函数化同名同角进而研究三角形中三角函数性质. 考向❸ 平面向量与解三角形例3 已知向量m ＝(2sin ωx ，cos 2ωx －sin 2ωx )，n ＝(3cos ωx ，1)，其中ω>0，x ∈R ，若函数f (x )＝m ·n 的最小正周期为π.(1) 求ω的值；(2) 在△ABC 中，若f (B )＝－2，BC ＝3，sin B ＝3sin A ，求BA →·BC →的值． 解析：(1) f (x )＝m·n＝23sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin2ωx ＋cos2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6. 因为f (x )的最小正周期为π， 所以T ＝2π2ω＝π，所以ω＝1.(2) 因为f (B )＝－2，所以2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝－1. 因为0<B <π，所以2B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，13π6， 所以2B ＋π6＝3π2，所以B ＝2π3.因为BC ＝3，即a ＝3，因为sin B ＝3sin A ，所以b ＝3a ＝3. 由正弦定理3sin A ＝3sin 2π3，所以sin A ＝12.因为0<A <π3，所以A ＝π6，所以C ＝π6，c ＝3，所以BA →·BC →＝ca cos B ＝－32.设△ABC 的面积为S ，且2S ＋3AB →·AC →＝0. (1) 求角A 的大小；(2) 若|BC →|＝3，且角B 不是最小角，求S 的取值范围．解析：(1) 设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由2S ＋3AB →·AC →＝0， 得2×12bc sin A ＋3bc cos A ＝0，即sin A ＋3cos A ＝0，tan A ＝－ 3. 又因为A ∈(0，π)，所以A ＝2π3.(2) 因为a ＝3， 由正弦定理得3sin 2π3＝b sin B ＝csin C ，所以b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，从而S ＝12bc sin A ＝3sin B sin C＝3sin B sin ⎝⎛⎭⎫π3－B ＝3sin B ⎝⎛⎭⎫32cos B －12sin B＝3⎝⎛⎭⎫34sin2B －1－cos2B 4 ＝32sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6－34. 又B ∈⎝⎛⎭⎫π6，π3，2B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π2，5π6， 所以S ∈⎝⎛⎭⎫0，34. 【注】 本例突出训练平面向量数量积、三角函数与正余弦定理相结合在解三角形中的综合应用．自测反馈1. 函数f(x)＝(sin x －cos x)2的最大值为__2__．解析：f(x)＝(sin x －cos x)2＝1－2sin x cos x ＝1－sin 2x.因为sin 2x ∈[－1，1]，所以f(x)max＝2.2. 在△ABC 中，若a ＝2，c ＝3，tan B ＝－15，则b ＝__4__．解析：因为tan B ＝－15＝sin B cos B ，sin 2B ＋cos 2B ＝1，解得cos B ＝－14.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋9－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16，所以b ＝4. 3. 若方程sin x ＋3cos x ＋a ＝0在(0，2π)内有相异的两解α，β，则α＋β＝__π3或7π3__．解析：因为方程sin x ＋3cos x ＋a ＝0在(0，2π)内有相异的两解α，β，所以sin α＋3cos α＋a ＝0，sin β＋3cos β＋a ＝0，两式相减得(sin α－sin β)＋3(cos α－cos β)＝0，sin ⎝⎛⎭⎫α＋β2＋α－β2－sin (α＋β2－α－β2)＋3[cos (α＋β2＋α－β2)－cos (α＋β2－α－β2)]＝0，化简整理得2sin α－β2cos α＋β2－23sin α＋β2sin α－β2＝0.又因为sin α－β2≠0，所以tan α＋β2＝33，所以α＋β2＝k π＋π6，k ∈Z ，则α＋β＝2k π＋π3，k ∈Z.因为α，β∈(0，2π)，所以α＋β＝π3或7π3.4. 已知△ABC 外接圆的半径是R ，C ＝π3，则a ＋b R 的取值范围是____．解析：由正弦定理得csin C ＝2R ，则a ＋b R ＝3（a ＋b ）c ＝3（sin A ＋sin B ）sin C＝2(sin A ＋sin B)＝2[sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ]＝2(32sin A ＋32·cos A)＝23sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6，又因为A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，所以A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6，所以23sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6∈(3，23]，即a ＋b R∈(3，23]．1. 在三角形中研究三角函数，应与正余弦定理结合，注意角的范围，特别是锐角三角形中角的范围．2. 三角函数与向量的结合，向量的夹角问题或向量的坐标化可化为三角函数形式进行处理．3. 你还有哪些体悟，写下来：。

CHAPTER
06
总结与展望
总结
三角函数值域与最值的定义和性 质
总结了三角函数值域与最值的定义，以及 相关的基本性质，如周期性、对称性等。
三角函数值域与最值的求法
归纳了几种常见的求三角函数值域与最值 的方法，如配方法、换元法、不等式法等 。
三角函数了三角函数值域与最值在解 决数学问题中的应用，如代数、几何等领 域。
解决实际问题
在实际问题中，如物理、工程等领域 ，常常需要求解三角函数的最值或值 域，以解决实际问题。
三角函数值域与最值的求解方法
代数法
通过代数运算，利用三角函数的 性质和公式，求出三角函数的最
值或值域。
几何法
将三角函数与几何图形相结合，利 用几何意义求出三角函数的最值或 值域。
导数法
利用导数求出函数的极值点，再结 合函数的单调性求出三角函数的最 值。
详细描述
反解法适用于一些难以直接观察的三角函数。通过反解，将 自变量表示为因变量的函数，然后利用函数的性质，如单调 性、奇偶性等，来求解函数的值域。反解法有时需要结合其 他方法一起使用，以简化求解过程。
CHAPTER
03
三角函数最值的求解方法
代数法
总结词
通过代数运算，将三角函数式转化为 更易于处理的形式，从而求得最值。
数形结合法
将三角函数与图像结合，利用 图像的直观性，得出函数的值
域或最值。
CHAPTER
05
三角函数值域与最值的应用实 例
在三角形中的应用
总结词
解决三角形问题
详细描述
三角函数在三角形问题中有着广泛的应用，尤其是在求解角度、边长等问题时。通过三角函数，我们可以利用已 知条件推导出未知量，从而解决三角形的问题。

三角函数的最值问题（高三复习）课例评析江苏省南菁高级中学祁平南京师范大学谭顶良一、教学目的1．使学生能熟练运用三角函数的单调性及有界性，研究三角函数的最值问题。

2．能运用化归思想、数形结合等思想将一些较复杂的三角函数的最值问题转化为熟悉的易于解决的问题。

3．培养学生在“变化中创新”，在“比较中创新”，在“批判中创新”的能力，努力拓展学生的思维空间。

二、教学过程1．导言从近几年来的高考试卷中可以－看到，三角函数的最值问题是高考中一个重要内容（如2000年的高考第17题），在以后的复习中，我们还将看到：一些较为复杂的综合问题化归为三角函数的最值问题较为简便，下面我们一起来研究“三角函数的最值问题”（揭示课题）。

[点评] “研究”一词，摆脱了传统教育中教师是知识的“传授者”这一角色，而将教师自己置于与学生平等的地位，为学生主体性、创造性的发挥创设了良好的师生关系；同时，“研究”一词的运用，还暗含着教学不是简单的“传”与“授”过程，而是不断探索、不断创新的过程这一“创造性基本思想”。

2．例题选讲例1 ，求函数的最值。

教师审题，请学生谈思路。

学生甲：运用和差化积公式，（以下略）。

教师：有其他解法吗？学生乙：运用公式，将函数变形为(以下略)。

学生丙：观察发现函数中角与角的差恰好为，故将看成基本量，将函数化归为同一角的函数式，即为：（以下略）。

教师肯定了学生能从不同角度出发，积极探索。

[点评] 首先引导学生从多角度思考问题，寻找不同的解题思路，在此基础上启发学生比较不同的解题思路，找出最佳答案。

这种做法，既训练了学生的思维创新，又训练了学生高效的解题策略。

教师：把例1稍加改变一下，情况如何？问题1 ：，求函数的最值。

学生：把看成一角，变形为（以下略）。

（说明：例1中最好的方法“解法一”在这里失效了，指出要辩证对待“巧法”。

）[点评] 通过“解法一”在例1变式问题1中的失效，使学生深刻理解并掌握“一把钥匙开一把锁，具体问题具体分析”的思维方法。