二元一次方程解决实际问题 (2)

用二元一次方程组解决实际问题（一）对大小牛的含量估计1、某班学生参加运土劳动，一部分同学抬土，另一部分同学挑土，已知全班同学共用土筐59个，扁担36根，问抬土和挑土的同学各有多少人？2、某课外小组学生准备分组外出活动，若每组7人，则余下3人，若每组8人，则少5人，求学生有多少人？3、某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工上市销售，该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或粗加工16吨，现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天精加工，几天粗加工？4、两地相距280千米，一轮船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求轮船在静水中的速度？5、已知一铁桥长1000米，有一列火车从桥上通过，测得火车开始上桥到完全过桥共用1分钟，整列火车在桥是的时间为40秒，求火车的速度和列车的长分别是多少？6、一个两位数的数字之和为10，十位数字与个位数字互换后，所得新数比原数小36，求原来的两位数是多少？7、某车间有28个工人生产某种螺栓和螺母，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，为了合理分配劳动，使生产的螺栓和螺母配套（一个螺栓和两个螺母）应分配多少人生产螺栓？8、甲、乙两家超市销售同一价格的某种商品，甲超市分两次降价，每次降价10%，乙超市一次性降价20%，那么顾客到哪家超市购此种商品最合算？8、要修一段420千米长的公路，甲工程队先干2天，乙工程队加入，两队再合干2天完成任务，如果乙队先干2天，两队两队再合干3天完成任务，问两个队每天各能修多少千米？（二）调动问题行程问题中常用到的等量关系：路程=____________________相遇问题：同时两地相向而行，________ ×相遇时间=出发地间的距离追击问题：同时两地同向而行，________ ×追击时间=出发地间的距离环行问题：同时同地同向而行，则快的行的路程-慢的行的路程=n×环形的周长（n为相遇次数）同时同地反向而行，则快的行的路程+慢的行的路程= n×环形的周长（n为相遇次数）1、两人练习跑步，如果乙先跑16米，甲8秒可以追上乙，如果乙先跑2秒，则甲4秒可以追上乙，求甲、乙两人每秒各跑多少米？2、甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲骑车，乙步行，如果乙先行12千米，那么甲1小时就能追上乙，如果乙先走1小时，那么甲只用0.5小时就能追上乙，则乙的速度是多少？3、张华与李明两个同学相距15千米，同时出发，若同向而行，张华3小时追上李明，若相向而行，两人1小时后相遇，则张华与李明的速度分别是多少？4、一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，部货主应付运费多少元？5、北京和上海都有某种仪器可供外地使用，其中北京可提供10台，上海可提供4台，已知重庆需要8台，武汉需要6台，从北京、上海将仪器运往重庆、武汉的费用如下表所示。

利用二元一次方程组求解实际问题。

就拿2023年来说，预计在这一年里，我国经济将进一步发展，但同时还会伴随着一些新的问题。

在这篇文章中，我将结合一些实际情景，阐述如何利用二元一次方程组去解决问题。

1.解决消费问题：在未来，人们的生活水平会逐渐提高，消费水平也会相应地提高，但是人们的收入水平也一定会受到影响。

那么如何解决消费问题呢？我们可以利用二元一次方程组来攻克这个难题。

我们需要知道每个人的收入情况，然后再进行细致分析。

假设某市一个家庭的月收入为X，月支出为Y，且所得税率为10%，现在要求这个家庭必须达到一定的储蓄量，那么我们就可以列出方程组：X-0.1X=Y+AY-B=S其中，A代表储蓄量，B代表固定支出，S代表储蓄需求量。

通过求解这个方程组，我们就可以得到该家庭的收支平衡状态，并从而更好地规划家庭的每月开支。

2.解决生产问题：未来，我国经济建设将进一步深入，各个产业都将面对重大的发展机遇和挑战。

为了解决生产问题，我们可以利用二元一次方程组。

例如，在某工厂中，一种产品的单位成本为C元，单位售价为S元，每年销售量为M件，每年生产量为N件，那么我们可以列出方程组：CN=N(A+B)+M(C-D)SM=N(S-E)+M(F-G)其中，A代表固定成本，B代表可变成本，C代表一件产品的生产成本，D代表一件产品的销售成本，E代表一件产品的销售售价，F代表一件产品的利润，G代表一件产品的销售费用。

由此，我们可以求解出这种产品的生产成本、销售成本、利润等各项数据，并据此制定出更加合理的生产计划和定价策略。

3.解决环境问题：未来环境保护问题也将成为亟待解决的问题。

我们可以通过利用二元一次方程组来分析环保相关问题的数据和经济经验。

例如，某个城市的空气质量指数为Q，环境污染治理费用为M，环保条例罚款为C，那么我们可以列出方程组：Q=A-BM-CFM+NF=P其中，A、B、C、F、N、P分别代表各种影响环保的因素。

通过解方程，我们可以得出治理费用和罚款应该如何分担的方案，从而更好地发挥环境保护的效果。

知识点：二元一次方程组的概念及解法:代入法和加减法二元一次方程组解决实际问题的基本步骤：1、审题，搞清已知量和待求量，分析数量关系. （审题，寻找等量关系）2、考虑如何根据等量关系设元，列出方程组．（设未知数，列方程组）3、列出方程组并求解，得到答案．（解方程组）4、检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意．（检验,答）相似题：鸡兔同笼问题（1）1、野鸡和兔子共有39只，它们的腿共有100条，求野鸡和兔子各有多少只。

2、已知板凳和木马共有33个，腿共有101条。

板凳和木马各有多少个？（注：板凳4条腿，木马3条腿）3、某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演。

其中成人票每张8元，学生票每张5元，共售出1000张票，共筹得票款6950元。

问成人票与学生票各售出多少张？分析：两个相等关系：①；②。

4、某校买了甲、乙两种型号的彩电共7台，花去人民币15900元。

已知这两种型号的彩电的价格分别是3000元和1300元，问该校两种彩电各买了多少台？鸡兔同笼问题（2）1、某校150名学生参加数学考试，平均每人55分，其中及格的学生人均77分，不及格的学生人均47分。

及格、不及格的学生各有多少人？2、一队敌军一队狗，两队并成一队走；脑袋共有八十个，数腿却有二百条；请君仔细算一算，多少敌军多少狗3、现有大人、幼儿共100人，大人一餐吃4个面包，幼儿4人一餐吃一个面包，一餐刚好吃光100个面包，问大人、幼儿各有几人？分配问题（1）【例】栖树一群鸦，鸦树不知数；三只坐一棵，五只没去处；五只栖一棵，闲了一棵树；请你列式算，鸦树各几何？分析：两个等量关系：①3⨯树的棵数＋5＝乌鸦的只数；②5⨯（树的棵数－1）＝乌鸦的只数。

解：设乌鸦有x只，树有y棵。

1、某单位召开会议，安排参加会议人员住宿，若每间宿舍住12人，便有34人没有住处；若每间住14人便多处4间宿舍没人住。

求参加会议的人数和宿舍数。

分析：两个相等关系：①；②。

第1课时利用二元一次方程组解决实际问题一般步骤：（1）审：审题、弄清题意及题目中的数量关系；（2）设：设未知数，可直接设元，也可以间接设元；（3）找：找出等量关系；（4）列：列方程组，根据题目中能表示全部含义的相等关系列出方程，并组成方程组；（5）解：解方程组，并检验是否符合问题的实际意义；（6）答：写出答案，作答。

1、产品配套问题：加工总量成比例例1、用白铁皮做罐头盒。

每张铁皮可制盒身16个，或制盒底43个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。

现有150张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以刚好配套？等量关系：练1-1、现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问：用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？等量关系：练1-2、某车间有技术工人85人，平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件10个。

两个甲种部件和三个乙种部件配成一套，问加工甲乙部件各安排多少人才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套？等量关系：练1-3、某车间有工人56名，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓24个或螺母36个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使一个螺栓配2个螺母刚好配套？等量关系：练1-4、机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？等量关系：2、航速问题①顺流（风）：航速=静水（无风）中的速度+水（风）速；②逆流（风）：航速=静水（无风）中的速度-水（风）速；例2、一条船顺水行驶36千米和逆水行驶24千米的时间都是3小时，求船在静水中的速度与水流的速度。

练2-1、两地相距280km，一艘轮船在其间航行，顺流用了14h，逆流用了20h，那么这艘轮船在静水中的速度是。

等量关系：练2-2、一只船顺水每小时行17千米，逆水每小时行13千米，求这只船在静水中的速度和水流速度？等量关系：3、工程问题工作量=工作效率×工作时间；①工作总量已知；②工作总量未知时，一般设为“单位1”。

二元一次方程组在应用题（实际问题）中的应用二元一次方程组解实际问题的方法步骤：对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般要比列一元一次方程解题容易，列方程组解应用题有以下几个步骤： 1． 选取定几个未知数；2． 依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组； 3． 解方程组，得到方程组的解；4． 检验求得的未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解.\例题分析： 例：某同学在A 、B 两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元。

（1）求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A 所有商品打八折销售，超市B 全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？解：（1）解法一：设书包的单价为x 元，则随身听的单价为()48x -元根据题意，得48452x x -+= 解这个方程，得 x =92484928360x -=⨯-=答：该同学看中的随身听单价为360元，书包单价为92元。

解法二：设书包的单价为x 元，随身听的单价为y 元 根据题意，得x y y x +==-⎧⎨⎩45248解这个方程组，得x y ==⎧⎨⎩92360答：该同学看中的随身听单价为360元，书包单价为92元。

（2）在超市A 购买随身听与书包各一件需花费现金： 45280%3616⨯=.（元） 因为3616400.<，所以可以选择超市A 购买。

在超市B 可先花费现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，总计共花费现金： 3602362+=（元）因为362400<，所以也可以选择在超市B 购买。

知识点二元一次方程组的简单应用2.用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒.现在有36张白铁皮.设用x张制盒身，y张制盒底可以使盒身和盒底正好配套，则所列方程组正确的是( )A.362540x yx y+=⎧⎨=⎩B.3622540x yx y+=⎧⎨⨯=⎩C.3625240x yx y+=⎧⎨=⨯⎩D.364025x yx y+=⎧⎨=⎩3.某次知识竞赛共出了25道题，评分标准如下:答对1题加4分;答错1题扣1分，不答记0 分，已知李刚不答的题比答错的题多2题，他的总分为74分，则他答对了( )A. 19题B. 18题C. 20题D. 21题5.某公园在儿童节当天举行特优读书游园活动，成人票和儿童票均有较大折扣.张凯、李利都随他们的家人参加了本次活动.王斌也想去，就去打听张凯、李利买门票花了多少钱.张凯说他家去了3个大人和4个小孩，门票共花了38元;李利说他家去了4个大人和2个小孩，门票共花了44元，王斌家计划去3个大人和2个小孩，请你帮他计算一下，需准备元买门票.6.有一个两位数和一个一位数，如果在这个一位数后面多写一个0，则它与这个两位数的和是146，如果用这个两位数除以这个一位数，则商6余2，求这个两位数和这个一位数.8.甲、乙隔河放羊，两人相互问数量，甲说:“得你羊九只，我羊是你羊二倍.”乙说:“得你羊八只，两人羊数正相当.”请你帮助算一算，甲、乙各放多少羊?【作业精选】1.甲、乙两个人有如下对话，甲说:“我是你现在这个年龄时，你是10岁”.乙说:“我是你现在这个年龄时，你是25岁”.设现在甲x岁，乙y岁，则下列方程组正确的是( )A.1025y x yx y x+=-⎧⎨-=-⎩B.1025y x yx y y-=-⎧⎨-=-⎩C.1025y x yx y x-=-⎧⎨-=+⎩D.1025y x yx y x-=-⎧⎨-=-⎩5.在一次猜年龄的游戏中，孙小雅出的题是:我爷爷和爸爸的岁数恰好都是由两个数字组成，且这两个数字之和为9，若爸爸的岁数加上27就得到爷爷的岁数.你能猜出小雅爷爷和爸爸的年龄吗?6.某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨的利润为1 000元;经粗加工后销售，每吨的利润可达4 500元;经精加工后销售，每吨的利润涨至7 500元.当地一家农工商公司收购这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是:如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨;如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行.受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜处理完毕，为此公司研制了三种加工方案:方案1:将蔬菜全部进行粗加工;方案2:尽可能多地对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上直接销售;方案3:将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在巧天之内完成.你认为选择哪种方案获利最多?知识点1 和差倍分问题1.父子二人并排竖直站立于游泳池中时，爸爸露出水面的高度是他自身身高的13李，儿子露出水面的高度是他自身身高的14，父子二人的身高之和为3. 4米.若设爸爸的身高为x米，儿子的身高为y米，则可列方程组为()A.3.41134x yx y+=⎧⎪⎨=⎪⎩B.3.411(1)34x yx y+=⎧⎪⎨-=⎪⎩C.3.411(1)34x yx y+=⎧⎪⎨=-⎪⎩D.3.411(1)(1)34x yx y+=⎧⎪⎨-=-⎪⎩知识点2 计费问题4.为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分.(水价计费=自来水销售费用+污水处理费用)已知小王家2012年4月份用水20吨，缴水费66元;5月份用水25吨，缴水费91元.(1)求,a b的值;(2)6月份小王家用水32吨，应缴水费多少元?知识点3 销售问题5.某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给山区困难孩子.每件文化衫的批发价和零售价如下表:假设文化衫全部售出，共获利1 860元，求黑白两种文化衫各多少件?知识点4 工程问题6.某市准备对一段长120 m的河道进行清淤疏通，若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天;若甲工程队单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天.设甲工程队平均每天疏通河道x m，乙工程队平均每天疏通河道y m，则x y+的值为( )A.20B.15C.10D.5【作业精选】2.甲、乙两个药品仓库共存药品45吨，为共同抗击“非典”，现从甲仓库调出库存药品的60%，从乙仓库调出40%支援疫区.结果，乙仓库所余药品比甲仓库所余药品多3吨，那么甲、乙仓库原来所存药品分别为( )A. 21吨、24吨B. 24吨、21吨C. 25吨、20吨D. 20吨、25吨6.小林在某商店购买商品,A B共三次，只有一次购买时，商品,A B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品,A B的数量和费用如表所示.(1)小林以折扣价购买商品,A B是第次购物;(2)求出商品,A B的标价;(3)若商品,A B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的?7.一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3 520元;若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3 480元.问:(1)甲、乙两组工作一天，商店各应付多少元?(2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用少?(3)若装修完后，商店每天可赢利200元，你认为如何安排施工更有利于商店?请你帮助商店决策.[可用(1)(2)问的条件及结论]用二元一次方程组解决问题(三)知识点1 从图表中获取信息列二元一次方程组解决问题4.根据图中的信息，求梅花鹿和长颈鹿现在的高度.知识点2 行程问题5.甲、乙两人在相距18 km的两地，若同时出发相向而行，经2h相遇;若同向而行，且甲比乙先出发1h追及乙，那么在乙出发后4h两人相遇.求甲、乙两人的速度.设甲的速度为x km/h，乙的速度为y km/h ,则可列方程组为( )A.22185418x yx y-=⎧⎨+=⎩B.22185418x yx y+=⎧⎨-=⎩C.22185418x yx y+=⎧⎨=-⎩D.22185418x yx y+=⎧⎨+=⎩7.甲、乙两地相距160 km，一辆汽车和一辆拖拉机同时由两地以各自的速度匀速相向而行，113h后相遇，相遇后，拖拉机以其原速度继续匀速前进，汽车在相遇处停留1h后掉头以其原速度匀速返回，在汽车再次出发0. 5 h后追上拖拉机，求这时汽车、拖拉机各自行驶的路程.【作业精选】1.从A地到B地有一段上坡路和一段平路，如果车辆保持上坡每小时行驶30 km,平路每小时行驶50 km，下坡每小时行驶60 km，那么车辆从A地到B地需要36 min，从B地到A地需要21 min，问,A B两地之间的坡路和平路各有多少km?若设,A B两地之间的坡路为x km，平路为y km，根据题意可列方程组为( )A.213050366050x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩B.363050216050x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C.0.630500.356050x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩D.0.3530500.66050x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩3.如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的13，另一根露出水面的长度是它的15，两根铁棒长度之和为55 cm，此时木桶中水的深度是cm.课时1 用二元一次方程组解决问题(一)2. B3. A 5. 34 6. 设这个两位数为x ，这个一位数为y ，得1014662x y x y +=⎧⎨=+⎩解得569x y =⎧⎨=⎩所以这个两位数为56，一位数为9.8.设甲放羊x 只，乙放羊y 只，根据意，得92(9)88x y x y +=-⎧⎨-=+⎩解得5943x y =⎧⎨=⎩所以甲放羊59只，乙放羊43只.【作业精选】1. D5.设这两个数字分别是a 与b 则设爷爷的岁数是10a b +，爸爸的岁数是10b a + 由题意可得9102710a b b a a b +=⎧⎨++=+⎩解得63a b =⎧⎨=⎩所以小雅爷爷的年龄是63岁.小雅爸爸的年龄是36岁.6. 方案1：1615240140⨯=> 所以获利为4500140630000⨯= (元)方案2：获利为75006151000(140615)67500050000725000⨯⨯+⨯-⨯=+= (元). 方案3：设将x 吨蔬菜进行精加工，y 吨蔬菜进行粗加工，由题意，得14015616x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得6080x y =⎧⎨=⎩所以方案3获利为750060450080810000⨯+⨯= (元).因为630 000 < 725 000 < 810 000 所以选择方案3获利最多.课时2 用二元一次方程组解决问题(二)1. D4. (1)由题意，得1730.820661780.82591a b a b ++⨯=⎧⎨++⨯=⎩解得 2.24.2a b =⎧⎨=⎩答： 2.2, 4.2a b ==(2)(3017) 4.217 2.226320.8129.6-⨯+⨯+⨯+⨯= (元)答：6月份小王家，应缴水费129.6元5. 设黑色文化衫x 件，白色文化衫y 件根据题意得140(2510)(208)1860x y x y +=⎧⎨-+-=⎩解得6080x y =⎧⎨=⎩答：黑色文化衫60件，白色文化衫80件.6. A【作业精选】 2. B 6. (1)三(2)设商品A 的标价为x 元，商品B 的标价为y 元根据题意，得651140371110x y x y +=⎧⎨+=⎩解得90120x y =⎧⎨=⎩答：商品A 的标价为90元，商品B 的标价为120元.(3)设商店是打a 折出售这两种商品的根据题意得(9908120)106210a⨯+⨯⨯=解得6a = 答：商店是打6析出售这两种商品的.7. (1)设甲组工作一天商店应付x 元，乙组工作一天商店应付y 元根据题意，得8835206123480x y x y +=⎧⎨+=⎩解得 300140x y =⎧⎨=⎩答:甲、乙两组工作一天，商店各应付300元和140元.(2)单独请甲组，商店所需费用为300123600⨯= (元)单独请乙组，商店所需费用为241403360⨯= (元)因为3 360 < 3 600，所以单独请乙组所需费用少.答:单独请乙组，商店所需费用少 (3)请两组同时装修，理由:甲单独做，需费用3 600元，少盈利200122400⨯=元，相当于损失6 000元; 乙单独做，需费用3 360元，少盈利200244800⨯=元，相当于损失8 160元;甲、乙合作完成，需费用3 520元，少盈利20081600⨯=元，相当于损失5 120元;因为5 120 < 6 000 < 8 160，所以甲、乙合作损失费用最少.答:甲、乙合作施工更有利于商店.用二元一次方程组解决问题(三)4. 设梅花鹿现在的离度是x m ，长颈鹿现在的离度是y m 根据题意，得431x y x y +=⎧⎨+=⎩解得 1.55.5x y =⎧⎨=⎩所以梅花鹿现在的离度是1. 5 m ，长颈鹿现在的离度是5. 5 m 5. B7. 设汽车的速度是x km/h ，拖拉机的速度是y km/h. 由题意，得4()10031322x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得9030x y =⎧⎨=⎩则汽车行驶的路程是41()9016532+⨯= (km).拖拉机行驶的路程是43()308532+⨯= (km).答：汽车行驶的路程是165 km ，拖拉机行驶的路程是85 km. 【作业精选】 1. C 3. 20。

二元一次方程组的实际问题解析在数学中，二元一次方程组是由两个未知数的一次方程组成的。

它可以用来解决各种实际问题，如物理、经济和工程等领域中的模型建立与求解。

本文将从实际问题的角度出发，分析二元一次方程组的求解方法及其应用。

一、二元一次方程组的基本形式二元一次方程组的一般形式为：a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂其中，x和y为未知数，a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂为已知数或系数。

二、求解方法二元一次方程组的求解方法有多种，常见的包括代入法、消元法和矩阵法。

1. 代入法：代入法是通过将一个方程的一个变量表示为另一个方程的变量，然后代入另一个方程中进行求解。

具体步骤如下：（1）选择一个方程，将其中一个变量表示为另一个方程的变量。

（2）将所得结果代入另一个方程中，得到一个只含有一个变量的方程。

（3）求解得到一个变量的值。

（4）将求得的变量值代入任意一个方程中，求解得到另一个变量的值。

2. 消元法：消元法是通过联立两个方程，通过加减运算，将其中一个变量消去，从而得到一个只含一个变量的方程，然后进行求解。

具体步骤如下：（1）通过乘以适当的倍数，使得两个方程的系数相等或倍数关系。

（2）将等式相减，得到一个只含有一个变量的方程。

（3）求解得到该变量的值。

（4）将求得的变量值代入任意一个方程中，求解得到另一个变量的值。

3. 矩阵法：矩阵法是通过使用矩阵运算的方法求解二元一次方程组。

具体步骤如下：（1）将二元一次方程组的系数矩阵和常数矩阵表示出来。

（2）计算系数矩阵的逆矩阵。

（3）将逆矩阵与常数矩阵相乘，得到未知数的矩阵。

（4）得到未知数的矩阵后，将其转换为方程的形式，即得到方程的解。

三、应用实例二元一次方程组的实际应用非常广泛，下面举例说明：1. 物理问题：假设有一便士和一美分的价值总和为21美分，而两枚硬币的总价值为30美分。

我们可以用二元一次方程组来解决这个问题。

设x为便士的数量，y为美分的数量，则有方程组：x + y = 21x + 5y = 30通过求解这个方程组，我们可以得到便士的数量和美分的数量。

二元一次方程组解决实际问题二元一次方程组是我们在数学学习中经常遇到的问题之一。

它是由两个一次方程组成的方程组，其中每个方程都包含两个未知数。

通过解决这个方程组，我们可以找到未知数的值，从而解决一些实际问题。

想象一下，你正在计划参加一次旅行。

你计划租一辆汽车，但是汽车租赁公司将一天收取固定的基本费用和每公里的费用。

你希望计算出最终租车的总费用。

这个问题就可以通过二元一次方程组来解决。

设基本费用为x元，每公里费用为y元。

你知道如果你不开车，你也需要支付基本费用作为租车费用，所以你可以得到方程1：x = 基本费用。

此外，你知道如果你开车d公里，则你还需要支付d乘以每公里费用，所以你可以得到方程2：y = 每公里费用。

现在我们有了一个二元一次方程组：方程1：x = 基本费用方程2：y = 每公里费用解这个方程组，我们可以计算出基本费用和每公里费用的具体值。

这将帮助你确定你最终租车的总费用。

另一个例子是关于购买水果。

假设你去市场买了几个苹果和几个橙子，你知道每个苹果的价格和每个橙子的价格。

你想计算你购买所有水果的总费用。

同样，这个问题可以通过二元一次方程组来解决。

设苹果的个数为x，橙子的个数为y。

每个苹果的价格为a元，每个橙子的价格为b元。

你可以得到方程1：x = 苹果的个数。

同样，你可以得到方程2：y = 橙子的个数。

现在我们有了一个二元一次方程组：方程1：x = 苹果的个数方程2：y = 橙子的个数通过解决这个方程组，你可以计算出苹果的个数和橙子的个数，并进一步计算出购买所有水果的总费用。

这只是二元一次方程组应用的两个简单例子。

在现实生活中，我们可以遇到更复杂的问题，例如计算两个不同列车的速度，或者计算不同产品的成本和利润。

通过学习解决二元一次方程组的方法，我们可以在实际问题中找到准确的答案。

不仅可以提高我们的数学能力，还可以帮助我们在日常生活中做出更好的决策。

总结起来，二元一次方程组是数学中常见的一个概念，通过解决这个方程组，我们可以解决一些实际问题。

实际问题与二元一次方程组题型归纳知识点一：列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系1.行程问题：(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。

这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。

其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；；；(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。

这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。

这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。

(3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；③顺水速度－逆水速度＝2×水速。

注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。

2．工程问题：工作效率×工作时间=工作量.3．商品销售利润问题：(1)利润＝售价－成本(进价)；(2)；(3)利润＝成本（进价）×利润率；(4)标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率；注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。

打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。

（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）4．储蓄问题：(1)基本概念①本金：顾客存入银行的钱叫做本金。

②利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。

③本息和：本金与利息的和叫做本息和。

④期数：存入银行的时间叫做期数。

⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。

⑥利息税：利息的税款叫做利息税。

(2)基本关系式①利息＝本金×利率×期数②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。

利用二元一次方程组解决实际问题二元一次方程组是高中数学中的重要知识点，它可以帮助我们解决很多实际问题。

本文将从解决实际问题的角度出发，介绍二元一次方程组的应用。

一、车票问题假设一辆旅游大巴车每张座位卖30元，车上共有80个座位，卖出的车票数比空座位多8张，求卖出的车票数和空座位的数目各是多少？设卖出的车票数为x，空座位的数目为y。

根据题意，我们可以列出一个关于x和y的方程组：x + 8 = 30yx + y = 80解这个方程组，可以采用消元法。

将第二个方程变形为x = 80 - y，代入第一个方程中，得到：80 - y + 8 = 30y化简后，得到：31y = 88解得y ≈ 2.838，由于座位数必须是整数，所以我们取最接近的整数值y=3。

代入第二个方程，得到x = 80 - 3 = 77。

因此，卖出的车票数为77张，空座位的数目为3个。

二、混合液体问题某实验室需要制备一种混合液体，A液与B液按照1:3的比例混合，现有A液200毫升，B液300毫升。

已知混合液体中A液的含量为40%，求需要加入多少毫升的B液使得混合液体中A液含量达到60%？设加入的B液的体积为x毫升。

根据题意，我们可以列出一个关于x的方程：0.4 * (200 + 3x) = 0.6 * (200 + 3x + 300)化简后，得到：0.4 * (200 + 3x) = 0.6 * (500 + 3x)进一步化简，得到：80 + 1.2x = 300 + 1.8x解得x ≈ 100。

因此，需要加入100毫升的B液体。

三、运动问题甲、乙两人同时从两地相向而行，相遇后甲用2小时的时间赶到了B地，乙用3小时的时间赶到了A地。

已知甲每小时行30公里，乙每小时行20公里，求A、B两地的距离。

设A、B两地的距离为x公里。

根据题意，我们可以列出一个关于x的方程：2(30) + 3(20) = x化简后，得到：60 + 60 = x解得x=120。

二元一次方程组的实际问题在数学中，方程是解决问题的重要工具之一。

二元一次方程组是由两个含有两个未知数的一次方程组成。

它是数学中最常见的方程形式之一，解决二元一次方程组的实际问题有助于我们理解方程的应用。

下面我将通过几个实际问题来阐述如何解决二元一次方程组，并解释其应用。

问题1：甲乙两个人共有25个苹果，甲拿了5个苹果，乙拿了3个苹果，现在他们想要平分剩下的苹果，请问每个人应该分到几个苹果？解决方案：设甲拿到的苹果数为x，乙拿到的苹果数为y。

根据题意，我们可以得到以下两个方程：x + y = 25 （甲乙两人共有25个苹果）x - 5 = y - 3 （甲拿了5个苹果，乙拿了3个苹果）将第一个方程变形为 x = 25 - y，然后将其代入第二个方程中，得到：25 - y - 5 = y - 3化简得到 -2y = -17解方程得到 y = 17/2 = 8.5将y的值代入第一个方程，可得到 x = 25 - 8.5 = 16.5所以，甲应该分到16.5个苹果，乙应该分到8.5个苹果。

考虑到苹果是不可分割的，所以实际上甲应该分到16个苹果，乙应该分到8个苹果。

问题2：某商场举办打折活动，购买商品A和商品B的折扣率分别为15%和20%，张三购买了5个商品A和3个商品B，一共花费了480元，请问商品A和商品B的原价分别是多少？解决方案：设商品A的原价为x，商品B的原价为y。

根据题意，我们可以得到以下两个方程：0.85x + 0.8y = 480 （购买商品A和商品B的折后总价为480元）5x + 3y = x + y （购买5个商品A和3个商品B）化简第二个方程得到 4x - 2y = 0将第二个方程中的x用y代入第一个方程中，得到 0.85(4y) + 0.8y = 480化简得到 3.4y + 0.8y = 480解方程得到 y = 120将y的值代入第二个方程，可得到 4x - 2(120) = 0解方程得到 x = 60所以，商品A的原价为60元，商品B的原价为120元。