浙江专用版2020版高考物理二轮复习专题五方法专题第12讲应用数学知识和方法处理物理问题讲义

高三物理复习计划通用8篇高三物理复习计划1一、情况分析（一）教材分析：高中前两年已经基本完成了高中物理教学内容，高三年级将进入全面的总复习阶段，为了配合高三的总复习，学校统一订购了由延边大学出版社出版的浙江专用《志鸿优化系列丛书物理优化设计》作为高三复习教材，该书以高中物理课程标准和高考考试大纲为指导，以《20xx年云南省普通高考考试说明》为依据编写，作为本学年参考用，本学期拟定完成本书的第一至第十三章的第一轮复习。

（二）学情分析：1、课堂情况：由于是高三年级，即将面临着高考的选拔考试，大多数的学生对基础知识的求知欲望比较强烈。

所以课堂纪律比较好，都比较认真地听课，自觉地与老师互动，完成教学任务。

2、对基础知识的掌握：大多数的学生对基本知识的掌握不够牢固，各章各节的知识点尚处于分立状态，不能很好地利用知识解决相应的基本问题，所以对知识的了解和掌握有待地提高。

3、解题技能：利用物理知识解决有关综合问题的。

能力很差，学生解决问题的技能还有待提高。

二、教学目标与任务加强和利用知识点的复习，尽快帮助学生把各章分立的知识点建立成为网状的状态，掌握物理思想的应用物理知识解决相关问题的思维方法，进一步提高解决问题的技能。

具体地说：1、知识方面，应达到熟练掌握每一个知识点的要求，即看到一个题目以后，题中包含了哪些知识点要一清二楚，不能模模糊糊，并且知识点之间的联系也要清楚，2、技能方面，主要是进一步培养学生分析问题和解决问题的能力，作到常规思维、逆向思维和发散思维相结合，同时，要求学生熟练掌握基本的解题方法，从而提高学生的解题速度。

3、情感与价值观方面，引导学生形成正确的价值观、人生观、世界观，使学生在物理美中陶冶自己的情操，从而达到全面育人的目的。

三、方法与措施1、面向全体，分类指导。

从学生的全面素质提高，对每一位学生负责的基本点出发，根据各层次学生具体情况，制定恰当的教学目标，满腔热情地使每一位学生在高三阶段都能得到发展和进步。

§ 8.4 直线、平面平行的判定与性质基础知识自主学习----------------------------------------------------------- 回加■眦利, 训—「知识梳理1 .线面平行的判定定理和性质定理2.面面平行的判定定理和性质定理:1.一条直线与一个平面平行，那么它与平面内的所有直线都平行吗？提示不都平行.该平面内的直线有两类，一类与该直线平行，一类与该直线异面.2.一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行吗？提示平行.可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”，这就是面面平行的判定定理.，基础自测题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打或“X”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面. (X )(2)平行于同一条直线的两个平面平行. (X )(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行. (x )(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面. ( V )(5)若直线a与平面a内无数条直线平行，则a// a .( x )⑹若 a //。

，直线all a，贝U a//。

.( X )题组二教材改编2.［P58练习T3］平面a //平面。

的一个充分条件是( )A.存在一条直线a, a// a , a//。

B.存在一条直线a, a? a , all(3C.存在两条平行直线a, b, a?也，b? (3 , a//。

，b// aD.存在两条异面直线a, b, a? a , b? (3 , a//。

，b// a答案D解析若 a n 3 = l , a // l , a? a , a?。

，则a // a , a // 3 ,故排除A.若a n 3 = l , a? a , a // l ,则a//。

，故排除 B.若 a n 3 = l，a?济，all l , b?。

考点05 一元二次方程及其应用【命题趋势】一元二次方程这个考点是中考数学，特别是几何数学中计算的基础，像二次函数以及相似的问题中，经常需要用到解一元二次方程，其根的判别式以及韦达定理也经常在二次函数图形问题中占据重要地位。

但是，在浙江中考中，一元二次方程单独出题的几率却不是很大，单独出题时，也常以选择或者填空题考察其简单应用，偶尔会在简答题17题出一元二次方程的求解问题，综合题出一元二次方程则基本是和其他知识点结合在22题统一考察。

单独出题在一张试卷里占分并不大。

【中考考查重点】一、一元二次方程及其解法 二、一元二次方程根的判别式 三、一元二次方程根与系数的关系 四、一元二次方程的简单应用考向一：一元二次方程及其解法1. 一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax判断一元二次方程的特征：是整式方程③次未知数的最高次数是②只含有一个未知数①.2..2. 一元二次方程的解法：➢ 判断方程是不是一元二次方程需要化简后再根据特征判断；➢ 一元二次方程的解，要么无解，有解必有2个，所以最后的方程的解一定要写明x1、x2；➢ 一元二次方程公式法也称万能公式，但是利用万能公式时一定要先写清楚其a 、b 、c 以及b 2-4ac 的值，之后再带入计算； 【同步练习】1．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．1﹣x ＝3xB ．ax 2+bx +c ＝0C ．x 2﹣2x ﹣1＝x 2D ．（x ﹣2）2+1＝0【分析】根据一元二次方程的定义求解．【解答】解：A ．是一元一次方程，故本选项不合题意；B ．当a ＝0时，ax 2+bx +c ＝0不是一元二次方程，故本选项不合题意；C ．方程整理，得﹣2x ﹣1＝0，是一元一次方程，故本选项不合题意；D ．符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意． 故选：D ．2．已知关于x 的一元二次方程（a ﹣3）x 2﹣2x +a 2﹣9＝0的常数项是0，则a ＝ ，方程的根为 ．【分析】由方程常数项为0求出a 的值，检验即可得到a ＝﹣3，则方程为﹣6x 2﹣2x ＝0，利用因式分解法即可求得方程的根．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程（a ﹣3）x 2﹣2x +a 2﹣9＝0的常数项是0， ∴a 2﹣9＝0，即a ＝3或a ＝﹣3，当a ＝3时，方程为﹣2x ＝0，不符合题意， 则a ＝﹣3．∴一元二次方程为﹣6x 2﹣2x ＝0， ∴2x （3x +1）＝0， 解得x 1＝0，x 2＝﹣，故答案为：﹣3；x 1＝0，x 2＝﹣．3．用配方法解一元二次方程x 2﹣9x +19＝0，配方后的方程为（ ）公式法适用所有一元二次方程02=++c bx ax ；(2) 分别写出a 、b 、c 的表达式，带入求出根的判别式ac b 42-的值 (3) 将数据带入公式）（042422≥--±-=ac b aac b b x ，得到方程的两个解x 1、x 2A．（x﹣）2＝B．（x+）2＝C．（x﹣9）2＝62D．（x+9）2＝62【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．【解答】解：∵x2﹣9x+19＝0，∴x2﹣9x＝﹣19，∴x2﹣9x+＝﹣19+，即（x﹣）2＝，故选：A．4．方程（5x﹣1）2＝3（5x﹣1）的解是．【分析】利用因式分解法起即可．【解答】解：（5x﹣1）2＝3（5x﹣1），（5x﹣1）2﹣3（5x﹣1）＝0，（5x﹣1）（5x﹣1﹣3）＝0，∴5x﹣1＝0或5x﹣4＝0，∴x1＝，x2＝．故答案为：x1＝，x2＝．5．方程7x2﹣6x﹣5＝0的解为．【分析】找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．【解答】解：∵a＝7，b＝﹣6，c＝﹣5，∵△＝36﹣4×7×（﹣5）＝176＞0，∴x＝＝＝，解得：x1＝，x2＝．6．用适当的方法解下列方程：（1）（x﹣1）2＝9；（2）x2+4x﹣1＝0．（3）3（x﹣5）2＝4（5﹣x）．（4）x2﹣4x+10＝0．【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；（2）利用配方法求解即可．（3）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．（4）利用公式法求解即可． 【解答】解：（1）（x ﹣1）2＝9， ∴x ﹣1＝3或x ﹣1＝﹣3， ∴x 1＝4，x 2＝﹣2．（2）x 2+4x ﹣1＝0， x 2+4x ＝1，x 2+4x +4＝1+4，即（x +2）2＝5， ∴x +2＝或x +2＝﹣，∴x 1＝﹣2+，x 2＝﹣2﹣．（3）∵3（x ﹣5）2＝4（5﹣x ）， ∴3（x ﹣5）2+4（x ﹣5）＝0， ∴（x ﹣5）（3x ﹣11）＝0， 则x ﹣5＝0或3x ﹣11＝0， 解得x 1＝5，x 2＝．（4）∵a ＝1，b ＝﹣4，c ＝10，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×10＝8＞0，∴x ＝＝＝2±，∴x 1＝2+，x 2＝2﹣．考向二：一元二次方程根的判别式对于一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ， (1) 042＞ac b - 方程有两个不相等的实数根 (2) 042=-ac b 方程有两个相等的实数根 (3) 042＜ac b - 方程没有实数根 【易错警示】➢ 在应用跟的判别式时，若二次项系数中含有字母，注意二次项系数不为0这一条件； ➢ 当042≥-ac b 时，可得方程有两个实数根，相等不相等未知 【同步练习】1．如果关于x 的一元二次方程x 2﹣8x +2k ＝0有两个不相等的实数根，那么实数k 的取值范围是（）A．k≤8B．k＜8C．k≥8D．k＞8【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣8）2﹣4×2k＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣8）2﹣4×2k＞0，解得k＜8．故选：B．2．若一元二次方程ax2+bx+c＝0的系数满足ac＜0，则方程根的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．无法判断【分析】判别式Δ＝b2﹣4ac，由于ac＜0，则﹣ac＞0，而b2≥0，于是可判断Δ＞0，然后根据判别式的意义判断根的情况．【解答】解：Δ＝b2﹣4ac，∵ac＜0，∴﹣ac＞0，而b2≥0，∴Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．3．下列一元二次方程中有两个相等实数根的是（）A．x2﹣8＝0B．x2﹣4x+4＝0C．2x2+3＝0D．x2﹣2x﹣1＝0【分析】由根的判别式为Δ＝b2﹣4ac，挨个计算四个选项中的Δ值，由此即可得出结论．【解答】解：A、∵Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×（﹣8）＝32＞0，∴该方程有两个不相等的实数根；B、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣4）＝0，∴该方程有两个相等的实数根；C、∵Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×2×3＝﹣24＜0，∴该方程没有实数根；D、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选：B．4．如果关于x的方程ax2+2x+3＝0有两个相等的实数根，那么a＝．【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝（2）2﹣4a×3＝0，然后解关于a的方程即可．【解答】解：根据题意得Δ＝（2）2﹣4a ×3＝0，解得a ＝1． 故答案为：1．5．已知关于x 的一元二次方程（a ﹣3）x 2﹣4x +3＝0，若方程有实数根，求满足条件的正整数a 的值．【分析】由根的判别式和一元二次方程的定义求出a 的取值范围即可得出答案． 【解答】解：关于x 的一元二次方程（a ﹣3）x 2﹣4x +3＝0有实数根， ∴Δ≥0，且a ≠3， ∴16﹣12（a ﹣3）≥0， 解得a ≤，∵a 是正整数， ∴a ＝1或2或4．6．求证：无论m 取任何实数，关于x 的方程mx 2﹣（3m ﹣1）x +2m ﹣2＝0恒有实数根． 【分析】讨论：当m ＝0时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当m ≠0时，方程为一元二次方程，由于Δ＝（m ﹣1）2≥0，则可判断方程有两个实数根． 【解答】证明：当m ＝0时，方程化为x ﹣2＝0，解得x ＝2； 当m ≠0时，∵Δ＝（3m ﹣1）2﹣4m （2m ﹣2） ＝m 2﹣2m +1 ＝（m ﹣1）2≥0，∴关于x 的一元二次方程mx 2﹣（3m ﹣1）x +2m ﹣2＝0有两个实数根，综上所述，无论m 取任何实数，关于x 的方程mx 2﹣（3m ﹣1）x +2m ﹣2＝0恒有实数根．考向三：一元二次方程根与系数的关系若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为21x x 、，则有a b x x -21=+，acx x =•21 【同步练习】1．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣kx +k ﹣3＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，且x 12+x 22＝5，则k 的值是（ ） A ．﹣2B ．2C ．﹣1D ．1【分析】利用根与系数的关系得出x 1+x 2＝k ，x 1x 2＝k ﹣3，进而得出关于k 的一元二次方程求出即可．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣kx +k ﹣3＝0的两个实数根分别为x 1，x 2， ∴x 1+x 2＝k ，x 1x 2＝k ﹣3，∵x12+x22＝5，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，∴k2﹣2（k﹣3）＝5，整理得出：k2﹣2k+1＝0，解得：k1＝k2＝1，故选：D．2．如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（）A．7B．6C．﹣2D．0【分析】根据方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，得到α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，将α2+β﹣2αβ变形为α+β+2﹣2αβ后代入即可求值．【解答】解：∵方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，∴α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，∴α2+β﹣2αβ＝α+2+β﹣2αβ＝1+2﹣2×（﹣2）＝7，故选：A．3．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于（）A．2020B．2019C．2029D．2028【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12﹣4x1＝2020，x1+x2＝4，代入原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2（x1+x2）计算可得．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2（x1+x2）＝2020+2×4＝2020+8＝2028．故选：D．4．若a、b为方程x2﹣2x﹣5＝0的两个不相等的实数根，则+的值为．【分析】根据根与系数的关系得到a+b＝2，ab＝﹣5；先对所求的代数式通分，然后利用整体思想计算．【解答】解：根据题意，得a+b＝2，ab＝﹣5．所以+＝＝＝﹣．故答案是：﹣．5．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，然后解关于m的不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，利用整体代入的方法得到m2﹣m﹣6＝0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，解得m≤0．故m的取值范围是m≤0；（2）根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝12，∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，即m2﹣m﹣6＝0，解得m1＝﹣2，m2＝3（舍去）．故m的值为﹣2．考向四：一元二次方程的实际应用列方程解应用题的一般步骤：1．新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有81人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确是（）A．x+x（1+x）＝81B．1+x+x2＝81C．1+x+x（1+x）＝81D．x（1+x）＝81【分析】若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮传染了x（1+x）人，根据经过两轮传染后有81人患病，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮传染了x（1+x）人，依题意得：1+x+x（1+x）＝81．故选：C．2．如图是一个长20cm，宽15cm的矩形图案，其中有两条宽度相等，互相垂直的彩条，彩条所占面积是图案面积的，设彩条的宽度为xcm，则下列方程正确的是（）A．B．C．D．【分析】设彩条的宽度为xcm，表示出两条彩条的面积，根据彩条所占面积是图案面积的四分之一列出方程即可．【解答】解：设彩条的宽度为xcm，根据题意列方程得，，故选：B．3．永德利商场某书包原价144元，连续两次降价a%后售价为81元，下列所列方程正确的是（）A．144（1+a%）2＝81B．144（1﹣a%）2＝81C．144（1﹣2a%）2＝81D．144（1﹣a2%）2＝81【分析】一般用降价后的量＝降价前的量×（1﹣降价率），根据已知条件可以用x表示两次降价后的价格144（1﹣a%）2，然后由题意可列方程．【解答】解：∵永德利商场某书包原价144元，连续两次降价a%后售价为81元，∴可列方程144（1﹣a%）2＝81，故选：B．4．某一皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店若想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？（1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整：小明：设每件皮衣降价x元，由题意，可列方程：．小红：设每件皮衣定价为y元，由题意，可列方程：．（2）请写出一种完整的解答过程．【分析】（1）根据总利润＝每件皮衣的利润×销售数量，即可得出关于x（y）的一元二次方程；（2）选择小明（小红）的设法，解方程即可求出结论．【解答】解：（1）小明：设每件皮衣降价x元，则平均每天的销售量为（30+x÷50×10）件，依题意，得：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；小红：设每件皮衣定价为y元，则平均每天的销售量为（30+×10）件，依题意，得：（y﹣750）（30+）＝12000．故答案为：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；（y﹣750）（30+）＝12000．（2）选择小明的的设法，则（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000，整理，得：x2﹣200x+7500＝0，解得：x1＝50，x2＝150，∴1100﹣x＝1050或950．答：每件皮衣定价为1050元或950元．选择小红的设法，则（y﹣750）（30+）＝12000，整理，得：y2﹣2000y+997500＝0，解得：y1＝1050，y2＝950．答：每件皮衣定价为1050元或950元．5．某学校为美化校园，准备在长35米，宽20米的长方形场地上，修建若干条宽度相同的道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与方案设计，现有3位同学各设计了一种方案，图纸分别如图1、图2和图3所示（阴影部分为草坪）．请你根据这一问题，在每种方案中都只列出方程不解．①甲方案设计图纸为图1，设计草坪的总面积为600平方米．②乙方案设计图纸为图2，设计草坪的总面积为600平方米．③丙方案设计图纸为图3，设计草坪的总面积为540平方米．【分析】①设道路的宽为x米．长应该为35﹣2x，宽应该为20﹣2x；那么根据草坪的面积为600m2，即可得出方程．②如果设路宽为xm，草坪的长应该为35﹣x，宽应该为20﹣x；那么根据草坪的面积为600m2，即可得出方程．③如果设路宽为xm，草坪的长应该为35﹣2x，宽应该为20﹣x；那么根据草坪的面积为540m2，即可得出方程．【解答】解：①设道路的宽为x米．依题意得：（35﹣2x）（20﹣2x）＝600；②设道路的宽为x米．依题意得：（35﹣x）（20﹣x）＝600；③设道路的宽为x米．依题意得：（35﹣2x）（20﹣x）＝540．1．（2021秋•越秀区校级期中）方程4x2﹣3x﹣2＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．4，3，2B．4，﹣3，2C．4，﹣3，﹣2D．4，3，﹣2【分析】根据方程找出二次项的系数，一次项系数及常数项即可．【解答】解：方程4x2﹣3x﹣2＝0中二次项系数、一次项系数、常数项分别是4，﹣3，﹣2，故选：C．2．（2021秋•越秀区校级期中）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2018的值为（）A．2018B．2019C．2020D．2021【分析】由已知可得2m2﹣3m﹣1＝0，再化简所求代数为6m2﹣9m+2018＝3（2m2﹣3m）+2018，即可求解．【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，∴2m2﹣3m﹣1＝0，∴2m2﹣3m＝1，∴6m2﹣9m+2018＝3（2m2﹣3m）+2018＝3×1+2018＝3+2018＝2021，故选：D．3．（2021秋•天津期中）用配方法解方程x2+8x+3＝0，正确的变形为（）A．（x﹣4）2＝13B．（x+4）2＝5C．（x+4）2＝13D．（x+4）2＝﹣5【分析】把常数项1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数8的一半的平方．【解答】解：∵x2+8x+3＝0，∴x2+8x＝﹣3，∴x2+8x+16＝﹣3+16，∴（x+4）2＝13，故选：C．4．（2021秋•兴平市期中）若关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是（）A．m＞﹣4B．m＞4C．m≤﹣4D．m＜4【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝42﹣4m＜0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝42﹣4m＜0，解得m＞4．故选：B．5．（2021秋•偃师市月考）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有（）个班级．A．8B．9C．10D．11【分析】设该校八年级有x个班级，利用比赛的总场次数＝参赛的班级数×（参赛的班级数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设该校八年级有x个班级，依题意得：x（x﹣1）＝28，整理得：x2﹣x﹣56＝0，解得：x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．故选：A．6．（2021秋•常州期中）中秋佳节前某月饼店7月份的销售额是2万元，9月份的销售额是4.5万元，从7月份到9月份，该店销售额平均每月的增长率是（）A．20%B．25%C．50%D．62.5%【分析】设该商店销售额平均每月的增长率为x，利用9月份的销售额＝7月份的销售额×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出该商店销售额平均每月的增长率为50%..【解答】解：设该商店销售额平均每月的增长率为x，依题意得：2（1+x）2＝4.5，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．∴该商店销售额平均每月的增长率为50%．故选：C．7．（2021秋•温岭市期中）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则﹣6m2+9m﹣13的值为（）A．﹣16B．﹣13C．﹣10D．﹣8【分析】由已知可得2m2﹣3m﹣1＝0，再化简所求代数为﹣6m2+9m﹣13＝3（2m2﹣3m）﹣13，即可求解．【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，∴2m2﹣3m﹣1＝0，∴2m2﹣3m＝1，∴﹣6m2+9m﹣13＝﹣3（2m2﹣3m）﹣13＝﹣3×1﹣13＝﹣16，故选：A．8．（2021春•西城区校级期中）已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程（x﹣3）2＝4的根，则此三角形的周长为（）A．17B．11C．15D．11或15【分析】求出方程的解得到原方程的解，即可能为三角形的第三边，然后利用三角形的两边之和大于第三边判断能否构成三角形，选择满足题意的第三边，即可求出三角形的周长．【解答】解：（x﹣3）2＝4，x﹣3＝±2，解得x1＝5，x2＝1．若x＝5，则三角形的三边分别为4，5，6，其周长为4+5+6＝15；若x＝1时，6﹣4＝2，不能构成三角形，则此三角形的周长是15．故选：C．9．（2021春•永嘉县校级期末）方程x2﹣25＝0的解为．【分析】移项得x2＝25，然后采用直接开平方法即可得到方程的解．【解答】解：∵x2﹣25＝0，移项，得x2＝25，∴x＝±5．故答案为：x＝±5．10．（2021秋•江岸区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0有两根α，β．若＝1，则m的值为（）A．3B．﹣1C．3或﹣1D．【分析】先利用根的判别式得到m≥﹣，再根据根与系数的关系得α+β＝2m+3，αβ＝m2，则2m+3＝m2，然后解关于m的方程，最后利用m的范围确定m的值．【解答】解：根据题意得Δ＝（2m+3）2﹣4m2≥0，解得m≥﹣，根据根与系数的关系得α+β＝2m+3，αβ＝m2，∵＝1，∴α+β＝αβ，即2m+3＝m2，整理得m2﹣2m﹣3＝0，解得m1＝3，m2＝﹣1，∵m≥﹣，∴m的值为3．故选：A．11．（2021秋•奉贤区校级期中）方程的根的情况是．【分析】将原方程变形为一般式，由根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，可得出方程2x2+3＝2x 有两个相等的实数根．【解答】解：原方程可变形为2x2﹣2x+3＝0，∴a＝2，b＝﹣2，c＝3．∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×2×3＝0，∴方程2x2+3＝2x有两个相等的实数根．故答案为：有两个相等的实数根．12．（2014秋•东西湖区校级期末）某校准备组织一次排球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，共有多少个队参加？设有x个队参赛，则所列方程为．【分析】设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加（x﹣1）场比赛，则共有场比赛，可以列出一个一元二次方程．【解答】解：∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，∴共7×4＝28场比赛．设比赛组织者应邀请x队参赛，则由题意可列方程为：＝28．故答案为：＝28．13．用合适的方法解下列方程（1）36x2＝81．（2）3x2﹣10x+6＝0；（3）（x﹣3）2﹣2（x+1）＝x﹣7．【分析】（1）方程利用平方根定义开方即可求出解．（2）利用公式法求解可得；（3）整理后，利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）方程整理得：x2＝，开方得：x＝±．（2）3x2﹣10x+6＝0，∵a＝3，b＝﹣10，c＝6，∴Δ＝（﹣10）2﹣4×3×6＝28＞0，∴x＝＝＝，∴x1＝，x2＝；（3）整理得x2﹣9x+14＝0，（x﹣2）（x﹣7）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣7＝0，∴x1＝2，x2＝7．14．（2021秋•玉田县期中）卫生部疾病控制专家经过调研提出，如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为“超级传播者”．如果某镇有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有144人成为新冠肺炎病毒的携带者．（1）经过计算，判断最初的这名病毒携带者是“超级传播者”吗？请先写出结论，再说明理由；（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有多少人成为新冠肺炎病毒的携带者？【分析】（1）最初的这名病毒携带者是“超级传播者”，设每人每轮传染的人数为x人，则第一轮传染了x人，第二轮传染了x（1+x）人，根据经过两轮传染后共有144人成为新冠肺炎病毒的携带者，即可得出关于x的一元二次方程，解之将其正值与10比较后即可得出结论；（2）利用经过3轮传染后成为新冠肺炎病毒的携带者的人数＝经过两轮传染后成为新冠肺炎病毒的携带者的人数+经过两轮传染后成为新冠肺炎病毒的携带者的人数×每人每轮传染的人数，即可求出结论．【解答】解：（1）最初的这名病毒携带者是“超级传播者”，理由如下：设每人每轮传染的人数为x人，则第一轮传染了x人，第二轮传染了x（1+x）人，依题意得：1+x+x（1+x）＝144，解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．∵11＞10，∴最初的这名病毒携带者是“超级传播者”．（2）144+144×11＝1728（人）．答：若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有1728人成为新冠肺炎病毒的携带者．1.（2021·浙江丽水）用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（）A．（x﹣2）2＝5B．（x﹣2）2＝3C．（x+2）2＝5D．（x+2）2＝3【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．【解答】解：方程x2+4x+1＝0，整理得：x2+4x＝﹣1，配方得：（x+2）2＝3．故选：D．2.（2021·浙江台州）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＞2B．m＜2C．m＞4D．m＜4【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0，解得m＜4．故选：D．3.（2021·浙江舟山）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：小敏：两边同除以（x﹣3），得3＝x﹣3，则x＝6．小霞：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝0．你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．【分析】小敏：没有考虑x﹣3＝0的情况；小霞：提取公因式时出现了错误．利用因式分解法解方程即可．【解答】解：小敏：×；小霞：×．正确的解答方法：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0．则x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，解得x1＝3，x2＝6．4.（2021·浙江湖州）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．（1）求四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长百分之几；（2）若该景区仅有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：购票方式甲乙丙可游玩景点A B A和B门票价格100元/人80元/人160元/人据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万，并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？【分析】（1）设四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为x，根据增长率问题应用题列出方程，解之即可；（2）①根据题意丙种门票价格下降10元，列式100×（2﹣10×0.06）+80×（3﹣10×0.04）+（160﹣10）×（2+10×0.06+10×0.04）计算，即可求景区六月份的门票总收入；②设丙种门票价格降低m元，景区六月份的门票总收入为W万元，由题意可得W＝100（2﹣0.06m）+80（3﹣0.04m）+（160﹣m）（2+0.06m+0.04m），化简得W＝﹣0.1（m﹣24）2+817.6，然后根据二次函数的性质即可得结果．【解答】解：（1）设四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为x，由题意，得4（1+x）2＝5.76，解这个方程，得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），答：四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为20%；（2）①由题意，得100×（2﹣10×0.06）+80×（3﹣10×0.04）+（160﹣10）×（2+10×0.06+10×0.04）＝798（万元）．答：景区六月份的门票总收入为798万元．②设丙种门票价格降低m元，景区六月份的门票总收入为W万元，由题意，得W＝100（2﹣0.06m）+80（3﹣0.04m）+（160﹣m）（2+0.06m+0.04m），化简，得W＝﹣0.1（m﹣24）2+817.6，∵﹣0.1＜0，∴当m＝24时，W取最大值，为817.6万元．答：当丙种门票价格下降24元时，景区六月份的门票总收入有最大值，最大值是817.6万元．1.（2020•绍兴月考）用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果正确的是（）A．（x﹣3）2＝17B．（x﹣3）2＝14C．（x﹣6）2＝44D．（x﹣3）2＝1【分析】方程利用完全平方公式变形即可得到结果．【解答】解：用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17，故选：A．2.（2021•莲都区校级模拟）不解方程，判别方程2x2﹣3x＝3的根的情况（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无实数根【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．【解答】解：∵2x2﹣3x＝3，∴2x2﹣3x﹣3＝0，∵Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣3）＝18+24＝42＞0，∴有两个不相等的实数根，故选：C．3.（2021•吴兴区二模）关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+m2＝0有实数根，则m的最小整数值为（）A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣3【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（m+4）2﹣4×m2≥0，解不等式得到m的范围，然后确定m的最小整数值．【解答】解：根据题意得Δ＝（m+4）2﹣4×m2≥0，解得m≥﹣2，所以m的最小整数值为﹣2．故选：C．4.（2021•余杭区一模）某市2017年年底自然保护区覆盖率为8%，经过两年努力，该市2019年年底自然保护区覆盖率达到9%，求该市这两年自然保护区面积的平均增长率．设年均增长率为x，可列方程为（）A．9%（1﹣x）2＝8%B．8%（1﹣x）2＝9%C．9%（1+x）2＝8%D．8%（1+x）2＝9%【分析】2018年年底保护区的覆盖率为8%（1+x），2019年为8%（1+x）（1+x），再由“2019年年底自然保护区覆盖率达到9%”可得方程．【解答】解：设该市总面积为1，该市这两年自然保护区的年均增长率为x，根据题意得1×8%×（1+x）2＝1×9%，即8%（1+x）2＝9%．故选：D．5.（2021•嘉善县一模）若关于x的一元二次方程mx2+（2m﹣1）x+m﹣＝0有实数根，则m的取值范围是．【分析】根据判别式即可求出答案．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+（2m﹣1）x+m﹣＝0有实数根，∴m≠0且Δ＝（2m﹣1）2﹣4m（m﹣）＝﹣2m+1≥0，则m的范围为m≤且m≠0．故答案为：m≤且m≠0．6.（2021•嘉善县一模）新能源汽车节能环保，越来越受到消费者的喜爱，各种品牌相继投放市场．某地2018年新能源汽车的销售量为50.7万辆，销售量逐年增加，到2020年为125.6万辆．若年增长率x不变，则x的值是多少？根据题意可列方程为．【分析】根据2018年新能源汽车的销售量为50.7万辆，到2020年为125.6万辆，若年增长率x不变，可得关于x的一二次方程【解答】解：依题意，得：50.7（1+x）2＝125.6．故答案为：50.7（1+x）2＝125.6．7.（2021•南浔区模拟）设x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个实数根，则4x12+4x1﹣2x2的值为．【分析】先根据一元二次方程根的定义得到2x12＝﹣3x1+4，则4x12+4x1﹣2x2化为﹣2（x1+x2）+8，再根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵x1是方程2x2+3x﹣4＝0的根，∴2x12+3x1﹣4＝0，∴2x12＝﹣3x1+4，∴4x12+4x1﹣2x2＝2（﹣3x1+4）+4x1﹣2x2＝﹣2（x1+x2）+8，∵x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣，∴4x12+4x1﹣2x2＝﹣2（x1+x2）+8＝﹣2×（﹣）+8＝11．故答案为11．8．（2021秋•西城区校级期中）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，若设平均每次降价的百分率为x，则由题意可列方程为，可得x ＝．【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是100（1﹣x），第二次后的价格是100（1﹣x）2，据此即可列方程求解．【解答】解：根据题意得：100（1﹣x）2＝81，解得：x＝0.1＝10%或x＝1.1（舍去），故答案为：100（1﹣x）2＝81，10%．9．（2021秋•西城区校级期中）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为60m2，求道路的宽是多少m？【分析】设道路的宽是xm，则栽种花草的部分可合成长（12﹣x）m，宽（8﹣x）m的矩形，根据栽种花草的面积为60m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合8﹣x＞0，即可得出道路的宽是2m．【解答】解：设道路的宽是xm，则栽种花草的部分可合成长（12﹣x）m，宽（8﹣x）m 的矩形，依题意得：（12﹣x）（8﹣x）＝60，整理得：x2﹣20x+36＝0，解得：x1＝2，x2＝18．又∵8﹣x＞0，∴x＜8，∴x＝2．答：道路的宽是2m．10．（2021秋•奉贤区校级期中）某单位组织员工前往九棵树艺术中心欣赏上海说唱《金铃塔》的表演．表演前，主办方工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三边，设立一个面积为300平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．假设这个长方形平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少米呢？【分析】设长方形等候区的边AB为x米，根据面积为300平方米的封闭型长方形等候区可得（48+2﹣2x）x＝300，再解一元二次方程即可．【解答】解：设长方形等候区的边AB为x米，由题意得：x（48﹣2x+2）＝300，整理，得x2﹣25x+150＝0，解得x1＝10，x2＝15，当x＝10时，BC＝30＞26；当x＝15时，BC＝20＜26，∴x＝10不合题意，应舍去．答：长方形等候区的边AB为15米，BC为20米．。

Ⅲ核心突破落实比方法更重要核心突破一鉴赏古诗形象——因象悟境，入境始亲(说明：在诗歌中，形象与意象是可以合二为一的，但从理论上看，二者还是有区别的。

意象是隶属诗歌形象的，诗歌形象所指范围广，既可是具体的，也可是抽象的情感或理趣；而意象只能是客观的、具体的。

诗歌形象可以是人，也可以是物、情、理等，而意象通常只是自然景象、物象。

)题点一人物形象——因形悟神人物形象大致有两类：一是主观形象(作者塑造的抒情主人公，即作者自己)；二是客观形象(作者描写或刻画的人物)。

每首诗都有抒情主人公形象，但不一定都有客观的人物形象。

诗中客观的人物形象只是抒情主人公抒情达意的途径之一。

如苏轼的《念奴娇·赤壁怀古》，词中的周瑜，风流倜傥，指挥若定，是词中的人物形象，而那中年失意、壮志未酬又略显旷达的苏轼，就是主观形象。

结合课本知识填空。

《琵琶行》一诗中的客观人物形象是琵琶女，其形象特征是年老色衰、沦落江湖。

主观人物形象是作者(白居易)，其形象特征是怀才不遇、沦落江湖、忧愁痛苦。

古诗中八类人物形象及其特征①正直之士：不慕权贵、豪放洒脱、傲岸不羁。

②爱国之士：心忧天下、忧国忧民。

③隐士：寄情山水、归隐田园。

④失意之士：怀才不遇、壮志难酬。

⑤报国之士：矢志报国、慷慨愤世。

⑥游子：友人送别、思念故乡。

⑦疆场将士：献身边疆、反对征伐。

⑧痴情儿女：缠绵悱恻、爱恨情长。

1．(2017·全国Ⅱ)阅读下面这首宋诗，然后回答问题。

送子由使契丹苏轼云海相望寄此身，那因远适更沾巾。

不辞驿骑凌风雪，要使天骄识凤麟。

沙漠回看清禁月①，湖山应梦武林春②。

单于若问君家世，莫道中朝第一人③。

注①清禁：皇宫。

苏辙时任翰林学士，常出入宫禁。

②武林：杭州的别称。

苏轼时知杭州。

③唐代李揆被皇帝誉为“门地、人物、文学皆当世第一”。

后来入吐蕃会盟，酋长问他：“闻唐有第一人李揆，公是否？”李揆怕被扣留，骗他说：“彼李揆，安肯来邪？”本诗首联表现了诗人什么样的性格？请加以分析。

第2讲抛体运动目标要求 1.掌握平抛运动的规律，学会运用运动的合成与分解处理类平抛、斜抛运动问题.2.学会处理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题.3.会处理平抛运动中的临界、极值问题．考点一平抛运动的规律及应用平抛运动1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动．2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．3．研究方法：化曲为直(1)水平方向：匀速直线运动；(2)竖直方向：自由落体运动．4．基本规律如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy.1．平抛运动的加速度方向与速度方向总垂直．(×)2．相等时间内做平抛运动的物体速度变化量相同．(√)3．相等时间内做平抛运动的物体速度大小变化相同．(×)1．平抛运动物体的速度变化量因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g ，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt 内的速度变化量Δv ＝g Δt 是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示．2．两个推论(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点． (2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α .例1 (多选)a 、b 两个物体做平抛运动的轨迹如图所示，设它们抛出的初速度分别为v a 、v b ，从抛出至碰到台上的时间分别为t a 、t b ，则( )A ．v a ＞v bB ．v a ＜v bC ．t a ＞t bD ．t a ＜t b 答案 AD解析 由题图知，h b ＞h a ，因为h ＝12gt 2，所以t a ＜t b ，又因为x ＝v 0t ，且x a ＞x b ，所以v a ＞v b ，选项A 、D 正确．例2 (多选)(2023·浙江省金华十校模拟)如图是飞镖盘示意图，盘面画有多个同心圆用来表示环数，O 是圆心，盘竖直挂在墙上，A 是盘的最高点，B 是盘的最低点．某同学玩飞镖时，飞镖的出手点与A 等高，且每次飞镖的出手点相同，出手时飞镖速度与盘面垂直，第一支飞镖命中B 点，第二支飞镖命中O 点，若空气阻力不计，可知前、后两支飞镖( )A．空中飞行时间之比是2∶1B ．空中飞行时间之比是2∶1C．出手时飞镖速度大小之比是1∶ 2 D．命中前瞬间速度大小之比是1∶ 2 答案BC解析飞镖飞出时在竖直方向做自由落体运动，由y＝12gt2，解得飞镖飞行时间为t＝2y g，由题意可知，第一支飞镖和第二支飞镖飞行时间之比为t1∶t2＝2∶1，A错误，B正确；飞镖飞出后水平方向做匀速直线运动，且水平位移相同，由x＝v0t可知，第一支飞镖和第二支飞镖出手速度大小之比为v01∶v02＝1∶2，C正确；飞镖命中时的速度大小为v＝v02＋(gt)2＝v02＋g2x2v02可见，第一支飞镖和第二支飞镖命中时速度大小之比不可能为1∶2，D错误．考点二与斜面或圆弧面有关的平抛运动已知条件情景示例解题策略已知速度方向从斜面外平抛，垂直落在斜面上，如图所示，已知速度的方向垂直于斜面分解速度tan θ＝v0v y＝v0gt从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，已知速度方向沿该点圆弧的切线方向分解速度tan θ＝v yv0＝gtv0已知位移方向从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示，已知位移的方向沿斜面向下分解位移tan θ＝yx＝12gt2v0t＝gt2v0在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面分解位移tan θ＝xy＝v0t12gt2＝2v0gt利用位移关系从圆心处水平抛出，落到半径为R 的圆弧上，如图所示，已知位移大小等于半径R⎩⎪⎨⎪⎧x＝v0ty＝12gt2x2＋y2＝R2从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示，已知水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方⎩⎪⎨⎪⎧x＝R＋R cos θx＝v0ty＝R sin θ＝12gt2(x－R)2＋y2＝R2考向1与斜面有关的平抛运动例3(2023·浙江省名校协作体模拟)第24届冬季奥运会于2022年2月在北京成功举办，如图甲所示为运动员跳台滑雪运动瞬间，运动示意图如图乙所示，运动员从助滑雪道AB上由静止滑下，到达C点后水平飞出，落到滑道上的D点，运动轨迹上的E点的速度方向与滑道CD平行，设运动员从C到E与从E到D的运动时间分别为t1与t2，忽略空气阻力，运动员可视为质点，下列说法正确的是()A．t1<t2B．t1>t2C．若运动员离开C点时的速度加倍，则落在滑道上的速度方向不变D．若运动员离开C点时的速度加倍，则落在滑道上到C的距离也加倍答案 C解析以C点为原点，以CD为x轴，以垂直CD向上方向为y轴，建立坐标系如图所示．对运动员的运动进行分解，y 轴方向上的运动类似竖直上拋运动，x 轴方向做匀加速直线运动．当运动员速度方向与滑道平行时，在y 轴方向上到达最高点，根据竖直上拋运动的对称性，知t 1＝t 2，A 、B 错误；设运动员落在滑道上的速度方向与水平方向的夹角为α，滑道的倾角为θ，则有tan α＝v y v 0，tan θ＝y x ＝v y2tv 0t ＝v y 2v 0，得tan α＝2tan θ，θ一定，则α一定，可知运动员落在滑道上的速度方向与从C 点飞出时的速度大小无关，C 正确．从抛出至落到滑道，tan θ＝y x ＝gt2v 0，得t ＝2v 0tan θgx ＝v 0t ＝2v 02tan θg若运动员离开C 点时的速度v 0加倍，则水平位移变为原来的4倍， 又s ＝xcos θ，则s 也变为原来的4倍， D 错误．例4 (2023·福建宁德市高三月考)如图所示，1、2两个小球以相同的速度v 0水平抛出．球1从左侧斜面抛出，经过时间t 1落回斜面上，球2从某处抛出，经过时间t 2恰能垂直撞在右侧的斜面上．已知左、右两侧斜面的倾角分别为α＝30°、β＝60°，则( )A ．t 1∶t 2＝1∶2B ．t 1∶t 2＝1∶3C ．t 1∶t 2＝2∶1D ．t 1∶t 2＝3∶1答案 C解析 由题意可得，对球1，有tan α＝12gt12v 0t 1＝gt 12v 0，对球2，有tan β＝v 0gt 2，又tan α·tan β＝1，联立解得t 1∶t 2＝2∶1，A 、B 、D 错误，C 正确．考向2 与圆弧面有关的平抛运动例5 如图所示，一小球从一半圆轨道左端A 点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B 点，O 为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R ，OB 与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g ，不计空气阻力，则小球抛出时的初速度为( )A.33gR2 B.3gR2 C.3gR2D.3gR3答案 A解析 小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B 点，可知小球运动到B 点时速度方向与水平方向的夹角为30°，设位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝tan 30°2＝36，由tan θ＝y x ＝y 32R ，可得竖直方向的位移y ＝34R ，而v y 2＝2gy ，tan 30°＝v y v 0，联立解得v 0＝33gR2，选项A 正确．考点三 平抛运动的临界和极值问题1．平抛运动的临界问题有两种常见情形：(1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；(2)物体的速度方向恰好为某一方向．2．解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题．考向1 平抛运动的临界问题例6 如图所示，一网球运动员将网球(可视为质点)从O 点水平向右击出，网球恰好擦网通过落在对方场地的A 点，A 点到球网的水平距离是击球点到球网的水平距离的2倍．已知球网的高度为h ，重力加速度为g ，不计空气阻力，则网球击出后在空中飞行的时间为( )A.3h gB.32h gC.5h 2gD.322h g答案 B解析 设网球击出后在空中飞行的时间为t ，因为A 点到球网的水平距离是击球点到球网的水平距离的2倍，所以网球从击球点运动到球网的时间为t 3，则H ＝12gt 2，H －h ＝12g (t3)2，联立解得t ＝32hg，故选B.考向2 平抛运动的极值问题例7 某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示．模型放到0.8 m 高的水平桌子上，最高点距离水平地面2 m ，右端出口水平．现让小球在最高点由静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为( )A ．0B ．0.1 mC ．0.2 mD ．0.3 m答案 C解析 小球从最高点到右端出口，机械能守恒，有mg (H －h )＝12m v 2，从右端出口飞出后，小球做平抛运动，有x ＝v t ，h ＝12gt 2，联立解得x ＝2(H －h )h ，根据数学知识可知，当H －h＝h 时，x 最大，即h ＝1 m 时，小球飞得最远，此时右端出口距离桌面高度为Δh ＝1 m －0.8 m ＝0.2 m ，故C 正确．考点四 斜抛运动1．定义：将物体以初速度v 0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动． 2．性质：斜抛运动是加速度为g 的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线． 3．研究方法：运动的合成与分解(1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：匀变速直线运动． 4．基本规律以斜抛运动的抛出点为坐标原点O ，水平向右为x 轴的正方向，竖直向上为y 轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy . 初速度可以分解为v 0x ＝v 0cos θ，v 0y ＝v 0sin θ. 在水平方向，物体的位移和速度分别为 x ＝v 0x t ＝(v 0cos θ)t ① v x ＝v 0x ＝v 0cos θ②在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y ＝v 0y t －12gt 2＝(v 0sin θ)t －12gt 2③v y ＝v 0y －gt ＝v 0sin θ－gt ④1．斜抛运动中的极值在最高点，v y ＝0，由④式得到t ＝v 0sin θg ⑤将⑤式代入③式得物体的射高y m ＝v 02sin 2θ2g ⑥物体落回与抛出点同一高度时，有y ＝0， 由③式得总时间t 总＝2v 0sin θg⑦将⑦式代入①式得物体的射程x m ＝v 02sin 2θg当θ＝45°时，sin 2θ最大，射程最大．所以对于给定大小的初速度v 0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大． 2．逆向思维法处理斜抛问题对斜上抛运动，从抛出点到最高点的运动可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题．例8 (2021·江苏卷·9)如图所示，A 、B 两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同，下列判断正确的是( )A ．A 比B 先落入篮筐 B ．A 、B 运动的最大高度相同C ．A 在最高点的速度比B 在最高点的速度小D ．A 、B 上升到某一相同高度时的速度方向相同 答案 D解析 若研究两个过程的逆过程，可看成是从篮筐沿同方向斜向上的斜抛运动，落到同一高度上的两点，则A 上升的高度较大，高度决定时间，可知A 运动时间较长，即B 先落入篮筐中，A 、B 错误；因为两球抛射角相同，A 的射程较远，则A 球的水平速度较大，即A 在最高点的速度比B 在最高点的速度大，C 错误；由斜抛运动的对称性可知，当A 、B 上升到某一相同高度时的速度方向相同，D 正确．例9 (2023·浙江温州市模拟)如图甲所示是一种投弹式干粉消防车．如图乙，消防车从出弹口到高楼的水平距离为x ，在同一位置消防车先后向高层建筑发射2枚灭火弹，且灭火弹均恰好垂直射入建筑玻璃窗，假设发射初速度大小均为v 0，v 0与水平方向夹角分别为θ1、θ2，击中点离出弹口高度分别为h 1、h 2，空中飞行时间分别为t 1、t 2.灭火弹可视为质点，两运动轨迹在同一竖直面内，且不计空气阻力，重力加速度为g .则下列说法正确的是( )A ．高度之比h 1h 2＝cos θ1cos θ2B ．时间之比t 1t 2＝cos θ1cos θ2C ．两枚灭火弹的发射角满足θ1＋θ2＝90°D ．水平距离与两枚灭火弹飞行时间满足x ＝2gt 1t 2 答案 C解析 两灭火弹在竖直方向的初速度分别为v y 1＝v 0sin θ1，v y 2＝v 0sin θ2，根据v y 2＝2gh ，可得h 1h 2＝sin 2 θ1sin 2 θ2，根据v y ＝gt ，可得t 1t 2＝sin θ1sin θ2，故A 、B 错误；两灭火弹在水平方向有x ＝v 0cos θ1·v 0sin θ1g ，x ＝v 0cos θ2·v 0sin θ2g ，可得sin 2θ1＝sin 2θ2＝sin (180°－2θ2)，结合数学关系可得θ1＋θ2＝90°，故C 正确；水平方向有x t 1＝v 0cos θ1，竖直方向有gt 2＝v 0sin θ2，又由θ1＋θ2＝90°得sin θ2＝cos θ1，可得x ＝gt 1t 2，故D 错误．课时精练1.(2023·浙江省稽阳联谊学校联考)在北京冬奥会自由式滑雪女子空中技巧决赛中，中国选手徐梦桃以压倒性优势夺冠．空中技巧比赛中，运动员经跳台斜向上滑出后在空中运动时，若其重心轨迹与相同速度、不计阻力的斜抛小球轨迹重合，下列说法正确的是( )A ．斜向上运动过程中，运动员受斜向上作用力和重力B ．加速下落过程就是自由落体运动C ．在空中运动时，相等时间内运动员重心的速度变化相同D ．运动员运动到最高点瞬间，竖直方向分速度为零，竖直方向合力为零 答案 C解析 斜向上运动过程中，斜向上作用力的施力物体不存在，所以运动员不受斜向上作用力，故A 错误；加速下落过程不是自由落体运动，因为水平方向有速度，故B 错误；在空中运动时，加速度恒为重力加速度，为定值，则相等时间内运动员重心的速度变化相同，故C 正确；运动员运动到最高点瞬间，竖直方向受重力作用，合力不为零，故D 错误．2.(2022·广东卷·6)如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P 点等高且相距为L .当玩具子弹以水平速度v 从枪口向P 点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t .不计空气阻力．下列关于子弹的说法正确的是( )A ．将击中P 点，t 大于Lv B ．将击中P 点，t 等于Lv C ．将击中P 点上方，t 大于Lv D ．将击中P 点下方，t 等于Lv 答案 B解析 由题意知枪口与P 点等高，子弹和小积木在竖直方向上均做自由落体运动，当子弹击中积木时子弹和积木的运动时间相同，根据h ＝12gt 2，可知下落高度相同，所以将击中P 点；又由于初始状态子弹到P 点的水平距离为L ，子弹在水平方向上做匀速直线运动，故有t ＝Lv ，故选B.3.(多选)如图所示，从某高度处水平抛出一小球，经过时间t 到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g .下列说法正确的是( )A ．小球水平抛出时的初速度大小为gt tan θB ．小球在t 时间内的位移方向与水平方向的夹角为θ2C ．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长D ．若小球初速度增大，则θ减小 答案 AD解析 由tan θ＝gt v 0可得小球平抛的初速度大小v 0＝gttan θ，A 正确；设小球在t 时间内的位移方向与水平方向的夹角为α，由tan α＝h x ＝12gt 2v 0t ＝gt 2v 0＝12tan θ可知，α≠θ2，B 错误；小球做平抛运动的时间t ＝2h g ，与小球初速度无关，C 错误；由tan θ＝gtv 0可知，v 0越大，θ越小，D 正确．4.如图所示，滑板爱好者先后两次从坡道A 点滑出，均落至B 点，第二次的滞空时间比第一次长，不计空气阻力，则( )A ．两次滑出速度方向相同B ．两次腾空最大高度相同C ．第二次滑出速度一定大D ．第二次在最高点速度小 答案 D解析 设滑板爱好者从A 点滑出后竖直方向的分速度为v y ，则空中运动的时间t ＝2v yg ，第二次的滞空时间比第一次长，则第二次竖直方向的分速度大；两次水平方向的分位移大小相等，则第二次水平方向的分速度v x 小，滑出速度方向与水平方向之间的夹角满足tan θ＝v yv x ，所以两次滑出速度方向一定不相同，故A 错误；滑板爱好者从A 到B 做斜上抛运动，上升到的最大高度h ＝v y 22g ，第二次竖直方向的分速度大，则第二次腾空最大高度大，故B 错误；结合A的分析可知，第二次滑出竖直方向的分速度大，水平方向的分速度小，所以不能判断出两次滑出速度的大小关系，故C 错误；滑板爱好者到达最高点时竖直方向的分速度为零，在最高点的速度等于水平方向的分速度；第二次滑出水平方向的分速度小，则第二次滑出在最高点速度小，故D 正确．5.(2023·浙江瑞安市第六中学月考)如图所示，在M 点分别以不同的速度将两个小球水平抛出，两小球分别落在水平地面上的P 点和Q 点．已知O 点是M 点在地面上的竖直投影，OP ∶PQ ＝1∶3，且不考虑空气阻力的影响，下列说法中正确的是( )A ．两小球的下落时间之比为1∶3B ．两小球的下落时间之比为1∶4C ．两小球的初速度大小之比为1∶3D ．两小球的初速度大小之比为1∶4 答案 D解析 依题意两小球下落高度相同，根据公式h ＝12gt 2，可知两小球的下落时间之比为1∶1，故A 、B 错误；两小球的水平位移之比为x 1x 2＝OP OP ＋PQ ＝14，又x ＝v 0t ，解得v 01v 02＝14，故C错误，D 正确．6.(2023·山东烟台市高三模拟)如图所示，小球以v 0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则飞行时间t 为(重力加速度为g )( )A ．t ＝v 0tan θB ．t ＝2v 0tan θgC ．t ＝v 0g tan θD ．t ＝2v 0g tan θ答案 D解析 如图所示，要使小球到达斜面的位移最小，则要求落点与抛出点的连线与斜面垂直，所以有tan θ＝x y ，而x ＝v 0t ，y ＝12gt 2，联立解得t ＝2v 0g tan θ，故选D.7.如图所示，一小球(视为质点)以速度v 从倾角为θ的斜面底端斜向上抛出，落到斜面上的M 点且速度水平向右．现将该小球以2v 的速度从斜面底端朝同样方向抛出，落在斜面上的N 点．下列说法正确的是( )A ．落到M 和N 两点的小球在空中运动的时间之比大于1∶2B ．小球落到M 和N 两点的速度之比大于1∶2C ．小球落到N 点时速度方向水平向右D ．M 和N 两点距离斜面底端的高度之比为1∶2 答案 C解析 由于落到斜面上M 点时小球速度水平向右，故可把小球在空中的运动逆向看成从M 点向左的平抛运动，设在M 点的速度大小为v x ，把小球在斜面底端的速度v 分解为水平速度v x 和竖直速度v y ，则x ＝v x t ，y ＝12gt 2，位移间的关系tan θ＝yx ，联立解得在空中飞行时间t ＝2v x tan θg ，且v y ＝gt ＝2v x tan θ，v 和水平方向夹角的正切值tan α＝v yv x ＝2tan θ，为定值，即落到N 点时速度方向水平向右，故C 正确；速度大小为v ＝v x 2＋v y 2＝v x1＋4tan 2θ，即v 与v x 成正比，故落到M 和N 两点的速度之比为1∶2，故B 错误；由t ＝2v x tan θg 知，落到M 和N 两点的小球在空中运动的时间之比为1∶2，故A 错误；竖直高度为y ＝12gt 2＝2v x 2tan 2θg ，y与v x 2成正比，则M 和N 两点距离斜面底端的高度之比为1∶4，故D 错误．8.(多选)(2023·辽宁省模拟)如图所示，一倾角为θ且足够长的斜面固定在地面上，将小球A 从斜面顶端以速度v 1水平向右抛出，小球击中了斜面上的C 点，将小球B 从空中与小球A 等高的某点以速度v 2水平向左抛出，小球恰好垂直斜面击中C 点，不计空气阻力，斜面足够长，重力加速度为g ，下列说法中正确的是( )A ．小球A 在空中运动的时间为2v 1tan θgB ．小球B 在空中运动的时间为v 2tan θgC ．若将小球B 以大小相等的初速度从该点向各个方向抛出，则竖直下抛落到斜面上所用时间最短D ．若将小球B 以大小相等的初速度从该点向各个方向抛出，则垂直斜面向上抛出落到斜面上所用时间最长答案 AD解析 设小球A 在空中运动的时间为t 1，则x 1＝v 1t 1，y 1＝12gt 12，tan θ＝y 1x 1，联立解得t 1＝2v 1tan θg ，故A 正确；设小球B 在空中运动的时间为t 2，则tan θ＝v 2gt 2，解得t 2＝v 2g tan θ，故B 错误；根据运动的合成与分解可知，小球B 落到斜面上所用时间取决于其在垂直于斜面方向的分运动的情况，易知小球B 在垂直于斜面方向的加速度大小始终为g cos θ，则当小球B 以垂直于斜面向下的初速度抛出时，其落到斜面上所用时间最短，当小球B 以垂直于斜面向上的初速度抛出时，其落到斜面上所用的时间最长，故C 错误，D 正确．9.套圈游戏是一项趣味活动，如图，某次游戏中，一小孩从距地面高0.45 m 处水平抛出半径为0.1 m 的圆环(圆环面始终水平)，套住了距圆环前端水平距离为1.0 m 、高度为0.25 m 的竖直细圆筒．若重力加速度大小取g ＝10 m/s 2，忽略空气阻力，则小孩抛出圆环的初速度可能是( )A ．4.3 m/sB ．5.6 m/sC ．6.5 m/sD ．7.5 m/s答案 B解析 根据h 1－h 2＝12gt 2得t ＝2(h 1－h 2)g＝2(0.45－0.25)10s ＝0.2 s ，则平抛运动的最大速度v 1＝x ＋2R t ＝1.0＋2×0.10.2 m/s ＝6.0 m/s ，最小速度v 2＝x t ＝1.00.2 m/s ＝5.0 m/s ，则5.0 m/s ＜v ＜6.0 m/s ，故选B.10.为加大生态环保力度，打赢污染防治攻坚战，某工厂坚决落实有关节能减排政策，该工厂水平的排水管道满管径工作，减排前、后落水点距出水口的水平距离分别为x 0、x 1，则减排前、后相同时间内的排水量之比为( )A.x 1x 0B.x 0x 1C.x 1x 0D.x 0x 1答案 B解析 设水下落的高度为h ，与水下落的时间t 的关系为h ＝12gt 2，故下落高度相同，水流入下方的时间相同，根据平抛运动水平方向的位移与时间关系x ＝v t ，减排前、后水的流速比就等于水平位移之比，所以减排前、后相同时间内的排水量之比就等于水平位移之比，即为x 0x 1，A 、C 、D 错误，B 正确．11.(2023·河北保定市高三检测)如图所示，某次跳台滑雪训练中，运动员(视为质点)从倾斜雪道上端的水平平台上以10 m/s 的速度飞出，最后落在倾角为37°的倾斜雪道上．重力加速度大小取g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力．下列说法正确的是( )A ．运动员的落点距雪道上端的距离为18 mB ．运动员飞出后到雪道的最远距离为1.25 mC ．运动员飞出后距雪道最远时的速度大小为12.5 m/sD ．若运动员水平飞出时的速度减小，则他落在雪道上的速度方向将改变 答案 C解析 根据平抛运动知识可知，x ＝v 0t ，y ＝12gt 2，tan 37°＝y x ，联立解得t ＝1.5 s ，则运动员的落点距雪道上端的距离为s ＝v 0tcos 37°＝18.75 m ，选项A 错误；当运动员速度方向与倾斜雪道方向平行时，距离倾斜雪道最远，根据平行四边形定则知，速度v ＝v 0cos 37°＝12.5 m/s ，选项C 正确；运动员飞出后到雪道的最远距离为h ＝(v 0sin 37°)22g cos 37°＝2.25 m ，选项B 错误；当运动员落在倾斜雪道上时，速度方向与水平方向夹角的正切值tan α＝2tan 37°，即速度方向与水平方向的夹角是一定值，可知若运动员水平飞出时的速度减小，则他落在雪道上的速度方向不变，选项D 错误．12.(2022·全国甲卷·24)将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05 s 发出一次闪光．某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示．图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度s 1和s 2之比为3∶7.重力加速度大小取g ＝10 m/s 2，忽略空气阻力．求在抛出瞬间小球速度的大小．答案255m/s 解析 频闪仪每隔0.05 s 发出一次闪光，每相邻两个球之间被删去3个影像，故相邻两球的时间间隔为t ＝4T ＝4×0.05 s ＝0.2 s ．设抛出瞬间小球的速度为v 0，每相邻两球间的水平方向上位移为x ，竖直方向上的位移分别为y 1、y 2，根据平抛运动位移公式有x ＝v 0t ，y 1＝12gt 2＝12×10×0.22 m ＝0.2 m ，y 2＝12g (2t )2－12gt 2＝12×10×(0.42－0.22) m ＝0.6 m ，令y 1＝y ，则有y 2＝3y 1＝3y已标注的线段s 1、s 2分别为s 1＝x 2＋y 2s 2＝x 2＋(3y )2＝x 2＋9y 2 则有x 2＋y 2∶x 2＋9y 2＝3∶7整理得x ＝255y ，故在抛出瞬间小球的速度大小为v 0＝x t ＝255m/s.13.(多选)2022年北京冬奥会在北京和张家口举行，北京成为了历史上第一个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．图示为某滑雪运动员训练的场景，运动员以速度v 1＝10 m/s 沿倾角α＝37°、高H ＝15 m 的斜面甲飞出，并能无碰撞地落在倾角β＝60°的斜面乙上，顺利完成飞越．把运动员视为质点，忽略空气阻力，重力加速度取g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.以下说法正确的是( )A ．运动员落至斜面乙时的速率为16 m/sB ．斜面乙的高度为7.2 mC ．运动员在空中飞行时离地面的最大高度为20 mD ．两斜面间的水平距离约为11.1 m 答案 AB解析 运动员在水平方向做匀速直线运动，水平方向速度大小为v x ＝v 1cos α＝8 m/s ，落到斜面乙时，设速度大小为v 2，则满足v x ＝v 2cos β，解得v 2＝16 m/s ，故A 正确；设斜面乙高度为h ，从斜面甲到斜面乙过程中，由机械能守恒定律得mg (H －h )＝12m v 22－12m v 12，解得h ＝7.2 m ，故B 正确；从斜面甲飞出时，运动员在竖直方向的速度大小为v y ＝v 1sin α＝6 m/s ，则运动员在空中飞行时离地面的最大高度为H max ＝H ＋v y 22g ＝16.8 m ，故C 错误；运动员到达斜面乙的竖直方向速度大小为v y ′＝v 2sin β＝8 3 m/s ，则在空中运动的时间t ＝v y ′－(－v y )g ＝43＋35s ，则水平距离为x ＝v x t ≈15.9 m ，故D 错误．。

函数与导数综合问题巧在“转”、难在“分”[思维流程——找突破口] [技法指导——迁移搭桥]函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，重点考查函数的一些性质，如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨论，函数不等式中参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论等，是近几年高考试题的命题热点．对于这类综合问题，一般是先转化(变形)，再求导，分解出基本函数，分类讨论研究其性质，再根据题意解决问题.[典例] 已知函数f (x )＝eln x －ax (a ∈R)． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝e 时，证明：xf (x )－e x＋2e x ≤0. [快审题] 求什么 想什么 讨论函数的单调性，想到利用导数判断． 证明不等式，想到对所证不等式进行变形转化． 给什么 用什么 已知函数的解析式，利用导数解题．差什么 找什么 证不等式时，对不等式变形转化后还不能直接判断两函数的关系，应找出所构造函数的最值.[稳解题](1)f ′(x )＝ex－a (x >0)，①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②若a >0，则当0<x <e a 时，f ′(x )>0，当x >ea时，f ′(x )<0，故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，e a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫e a ，＋∞上单调递减．(2)证明：法一：因为x >0，所以只需证f (x )≤exx－2e ，当a ＝e 时，由(1)知，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f (x )max＝f (1)＝－e.记g (x )＝exx－2e(x >0)，则g ′(x )＝x －1e xx 2，所以当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减； 当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， 所以g (x )min ＝g (1)＝－e.综上，当x >0时，f (x )≤g (x )，即f (x )≤exx－2e ，即xf (x )－e x＋2e x ≤0. 法二：证xf (x )－e x＋2e x ≤0， 即证e x ln x －e x 2－e x＋2e x ≤0， 从而等价于ln x －x ＋2≤exe x .设函数g (x )＝ln x －x ＋2， 则g ′(x )＝1x－1.所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0，故g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 从而g (x )在(0，＋∞)上的最大值为g (1)＝1. 设函数h (x )＝e xe x，则h ′(x )＝exx －1e x2. 所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，故h (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 从而h (x )在(0，＋∞)上的最小值为h (1)＝1. 综上，当x >0时，g (x )≤h (x )， 即xf (x )－e x＋2e x ≤0.[题后悟道] 函数与导数综合问题的关键(1)会求函数的极值点，先利用方程f (x )＝0的根，将函数的定义域分成若干个开区间，再列成表格，最后依表格内容即可写出函数的极值；(2)证明不等式，常构造函数，并利用导数法判断新构造函数的单调性，从而可证明原不等式成立；(3)不等式恒成立问题除了用分离参数法，还可以从分类讨论和判断函数的单调性入手，去求参数的取值范围．[针对训练]已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝ax 22，直线l ：y ＝(k －3)x －k ＋2.(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝e 处的切线与直线l 平行，求实数k 的值； (2)若至少存在一个x 0∈[1，e]使f (x 0)<g (x 0)成立，求实数a 的取值范围； (3)设k ∈Z ，当x >1时，函数f (x )的图象恒在直线l 的上方，求k 的最大值． 解：(1)由已知得，f ′(x )＝ln x ＋1，且y ＝f (x )在x ＝e 处的切线与直线l 平行， 所以f ′(e)＝ln e ＋1＝2＝k －3，解得k ＝5.(2)因为至少存在一个x 0∈[1，e]使f (x 0)<g (x 0)成立，所以至少存在一个x 使x ln x <ax 22成立，即至少存在一个x 使a >2ln x x成立．令h (x )＝2ln x x ，当x ∈[1，e]时，h ′(x )＝21－ln xx 2≥0恒成立，因此h (x )＝2ln x x在[1，e]上单调递增.故当x ＝1时，h (x )min ＝0，所以实数a 的取值范围为(0，＋∞)．(3)由已知得，x ln x >(k －3)x －k ＋2在x >1时恒成立，即k <x ln x ＋3x －2x －1.令F (x )＝x ln x ＋3x －2x －1，则F ′(x )＝x －ln x －2x －12.令m (x )＝x －ln x －2，则m ′(x )＝1－1x ＝x －1x>0在x >1时恒成立.所以m (x )在(1，＋∞)上单调递增，且m (3)＝1－ln 3<0，m (4)＝2－ln 4>0， 所以在(1，＋∞)上存在唯一实数x 0(x 0∈(3,4))使m (x 0)＝0，即x 0－ln x 0－2＝0. 当1<x <x 0时，m (x )<0，即F ′(x )<0，当x >x 0时，m (x )>0，即F ′(x )>0， 所以F (x )在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增． 故F (x )min ＝F (x 0)＝x 0ln x 0＋3x 0－2x 0－1＝x 0x 0－2＋3x 0－2x 0－1＝x 0＋2∈(5,6)．故k <x 0＋2(k ∈Z)，所以k 的最大值为5. [总结升华]函数与导数压轴题堪称“庞然大物”，所以征服它需要一定的胆量和勇气，可以参变量分离、可把复杂函数分离为基本函数、可把题目分解成几个小题、也可把解题步骤分解为几个小步，也可从逻辑上重新换叙．注重分步解答，这样，即使解答不完整，也要做到尽可能多拿步骤分．同时要注意分类思想、数形结合思想、化归与转化等数学思想的运用．[专题过关检测] 1．(2018·武汉调研)已知函数f (x )＝ln x ＋a x(a ∈R)． (1)讨论函数f (x )的单调性； (2)当a >0时，证明：f (x )≥2a －1a.解：(1)f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax2(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a >0时，若x >a ，则f ′(x )>0，函数f (x )在(a ，＋∞)上单调递增； 若0<x <a ，则f ′(x )<0，函数f (x )在(0，a )上单调递减． (2)证明：由(1)知，当a >0时，f (x )min ＝f (a )＝ln a ＋1. 要证f (x )≥2a －1a ，只需证ln a ＋1≥2a －1a，即证ln a ＋1a－1≥0.令函数g (a )＝ln a ＋1a－1，则g ′(a )＝1a －1a 2＝a －1a2(a >0)，当0<a <1时，g ′(a )<0，当a >1时，g ′(a )>0，所以g (a )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以g (a )min ＝g (1)＝0. 所以ln a ＋1a－1≥0恒成立，所以f (x )≥2a －1a.2．(2018·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝e x－ax 2. (1)若a ＝1，证明：当x ≥0时，f (x )≥1；(2)若f (x )在(0，＋∞)只有一个零点，求a .解：(1)证明：当a ＝1时，f (x )≥1等价于(x 2＋1)e －x－1≤0. 设函数g (x )＝(x 2＋1)e －x－1，则g ′(x )＝－(x 2－2x ＋1)e －x＝－(x －1)2e －x. 当x ≠1时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减．而g (0)＝0，故当x ≥0时，g (x )≤0，即f (x )≥1. (2)设函数h (x )＝1－ax 2e －x.f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点等价于h (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．(ⅰ)当a ≤0时，h (x )>0，h (x )没有零点； (ⅱ)当a >0时，h ′(x )＝ax (x －2)e －x. 当x ∈(0,2)时，h ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )>0. 所以h (x )在(0,2)上单调递减， 在(2，＋∞)上单调递增．故h (2)＝1－4ae 2是h (x )在(0，＋∞)上的最小值．①当h (2)>0，即a <e24时，h (x )在(0，＋∞)上没有零点．②当h (2)＝0，即a ＝e24时，h (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．③当h (2)<0，即a >e24时，因为h (0)＝1，所以h (x )在(0,2)上有一个零点．由(1)知，当x >0时，e x>x 2，所以h (4a )＝1－16a 3e 4a ＝1－16a3e2a2>1－16a32a4＝1－1a>0，故h (x )在(2,4a )上有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)上有两个零点．综上，当f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点时，a ＝e24.3．(2018·西安质检)设函数f (x )＝ln x ＋k x(k ∈R)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线与直线x －2＝0垂直，求f (x )的单调性和极小值(其中e 为自然对数的底数)；(2)若对任意的x 1>x 2>0，f (x 1)－f (x 2)<x 1－x 2恒成立，求k 的取值范围． 解：(1)由条件得f ′(x )＝1x －kx2(x >0)，∵曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线与直线x －2＝0垂直，∴f ′(e)＝0，即1e －ke 2＝0，得k ＝e ，∴f ′(x )＝1x －e x 2＝x －ex2(x >0)．由f ′(x )<0，得0<x <e ；由f ′(x )>0，得x >e ， ∴f (x )在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增， 当x ＝e 时，f (x )取得极小值，且f (e)＝ln e ＋ee ＝2.∴f (x )的极小值为2.(2)由题意知对任意的x 1>x 2>0，f (x 1)－x 1<f (x 2)－x 2恒成立， 设h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋k x－x (x >0)， 则h (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴h ′(x )＝1x －kx2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，即当x >0时，k ≥－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14恒成立，∴k ≥14.故k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞. 4．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝(2＋x ＋ax 2)·ln(1＋x )－2x . (1)若a ＝0，证明：当－1<x <0时，f (x )<0；当x >0时，f (x )>0； (2)若x ＝0是f (x )的极大值点，求a .解：(1)证明：当a ＝0时，f (x )＝(2＋x )ln(1＋x )－2x ，f ′(x )＝ln(1＋x )－x1＋x. 设函数g (x )＝ln(1＋x )－x1＋x ，则g ′(x )＝x1＋x2.当－1<x <0时，g ′(x )<0；当x >0时，g ′(x )>0， 故当x >－1时，g (x )≥g (0)＝0， 且仅当x ＝0时，g (x )＝0，从而f ′(x )≥0，且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0. 所以f (x )在(－1，＋∞)上单调递增． 又f (0)＝0，故当－1<x <0时，f (x )<0；当x >0时，f (x )>0.(2)①若a ≥0，由(1)知，当x >0时，f (x )≥(2＋x )ln(1＋x )－2x >0＝f (0)， 这与x ＝0是f (x )的极大值点矛盾． ②若a <0， 设函数h (x )＝f x 2＋x ＋ax 2＝ln(1＋x )－2x2＋x ＋ax2.由于当|x |<min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a |时，2＋x ＋ax 2>0， 故h (x )与f (x )符号相同． 又h (0)＝f (0)＝0， 故x ＝0是f (x )的极大值点， 当且仅当x ＝0是h (x )的极大值点． h ′(x )＝11＋x－22＋x ＋ax 2－2x 1＋2ax2＋x ＋ax22＝x 2a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1x ＋1ax 2＋x ＋22.若6a ＋1>0，则当0<x <－6a ＋14a，且|x |<min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a |时，h ′(x )>0， 故x ＝0不是h (x )的极大值点．若6a ＋1<0，则a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1＝0存在根x 1<0，故当x ∈(x 1,0)，且|x |<min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a |时，h ′(x )<0， 所以x ＝0不是h (x )的极大值点．若6a ＋1＝0，则h ′(x )＝x 3x －24x ＋1x 2－6x －122，则当x ∈(－1,0)时，h ′(x )>0； 当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0. 所以x ＝0是h (x )的极大值点， 从而x ＝0是f (x )的极大值点． 综上，a ＝－16.。

2020版高考物理复习专题讲义浙江专用版专题一力与运动第1讲力与物体的平衡第2讲力与直线运动第3讲力与曲线运动专题二能量与动量第4讲功和功率功能关系第5讲力学中的动量与能量问题专题三电场与磁场第6讲电场与磁场的理解第7讲带电粒子在复合场中的运动专题四电路与电磁感应第8讲直流电路与交流电路第9讲电磁感应的综合应用第10讲电学中的动量和能量问题专题五方法专题第11讲物理图象问题第12讲应用数学知识和方法处理物理问题专题六选修第13讲机械振动和机械波电磁波第14讲光的折射全反射第15讲波粒二象性原子与原子核专题七实验题题型强化第16讲力学和光学实验第17讲电学实验力与物体的平衡专题定位 1.深刻理解各种性质力的特点,熟练掌握分析共点力平衡问题的各种方法；2.掌握匀变速直线运动的规律及运动图象问题；3.综合应用牛顿运动定律和运动学公式解决问题；4.熟练掌握平抛、圆周运动的规律,熟悉解决天体运动问题的两条思路．第1讲力与物体的平衡[相关知识链接]1．受力分析的步骤明确研究对象→隔离物体分析→画受力示意图→验证受力合理性．2．分析受力的思路(1)先数研究对象有几个接触处,每个接触处最多有两个力(弹力和摩擦力)．(2)同时注意对场力的分析．(3)假设法是判断弹力、摩擦力是否存在及其方向的基本方法．3．注意(1)只分析研究对象受到的力．(2)只分析性质力,不分析效果力．(3)善于变换研究对象,分析不能直接判断的力．[规律方法提炼]1．整体法与隔离法在分析两个或两个以上的物体间的相互作用时,一般采用整体法与隔离法进行分析；采用整体法进行受力分析时,要注意各个物体的运动状态必须相同．2．共点力平衡的常用处理方法(1)合成法：物体受三个共点力的作用而平衡,则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等,方向相反．(2)效果分解法：物体受三个共点力的作用而平衡,将某一个力按力的效果分解,则其分力和其他两个力满足平衡条件．(3)正交分解法：物体受到三个或三个以上共点力的作用而平衡,通过建立平面直角坐标系将物体所受的力分解为相互垂直的两组,每组力都满足平衡条件．(4)力的三角形法：对受三个共点力作用而平衡的物体,将力的矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形,根据数学知识求解未知力．例1 (2019·浙南名校联盟期末)如图所示,一个质量为4kg 的半球形物体A 放在倾角为θ＝37°的斜面B 上静止不动．若用通过球心的水平推力F ＝10N 作用在物体上,物体仍静止在斜面上,斜面仍相对地面静止．已知sin37°＝0.6,cos37°＝0.8,取g ＝10m/s 2,则( )A ．地面对斜面B 的弹力不变 B ．地面对斜面B 的摩擦力增加8NC ．物体A 受到斜面B 的摩擦力增加8ND ．物体A 对斜面B 的作用力增加10N 答案 A解析 对A 、B 整体分析,力F 是水平的,竖直方向地面对B 的弹力不变,地面对B 的摩擦力增加10N,故A 项正确,B 项错误；对物体A 分析,加力F 前,斜面B 对物体A 的摩擦力F f ＝mg sin θ＝24N,加力F 后,F f ′＋F cos θ＝mg sin θ,F f ′＝16N,故减小8N,选项C 错误；加F 前A 对B 的作用力大小等于A 的重力,即40N,加F 后,A 对B 的作用力大小为F 2＋G 2＝102＋402N ＝1017N,故D 项错误．拓展训练1 (2019·绍兴市3月选考)如图所示,攀岩者仅凭借鞋底和背部的摩擦停留在竖直的岩壁间,鞋子、背部与岩壁间的动摩擦因数分别为0.80和0.60.为了节省体力,他尽可能减小身体与岩壁间的正压力,使自己刚好不下滑．假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,下列判断正确的是( )A ．攀岩者受到三个力的作用B ．鞋子受到的静摩擦力方向竖直向下C ．岩壁对鞋子的支持力大于岩壁对背部的支持力D ．攀岩者背部受到的静摩擦力支撑了体重的37答案 D解析 对攀岩者分析,受重力、鞋与岩壁间弹力和摩擦力、背部与岩壁间弹力和摩擦力共五个力作用；重力方向竖直向下,鞋子和背部受到的静摩擦力方向竖直向上,故水平方向上两支持力大小相等,方向相反,F N1＝F N2,又据平衡μ1F N1＋μ2F N2＝G ,可得F f2＝μ2F N2＝37G .拓展训练2 (多选)(2019·全国卷Ⅰ·19)如图,一粗糙斜面固定在地面上,斜面顶端装有一光滑定滑轮．一细绳跨过滑轮,其一端悬挂物块N ,另一端与斜面上的物块M 相连,系统处于静止状态．现用水平向左的拉力缓慢拉动N ,直至悬挂N 的细绳与竖直方向成45°.已知M 始终保持静止,则在此过程中( )A ．水平拉力的大小可能保持不变B ．M 所受细绳的拉力大小一定一直增加C ．M 所受斜面的摩擦力大小一定一直增加D ．M 所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加 答案 BD解析 对N 进行受力分析如图所示,因为N 的重力与水平拉力F 的合力和细绳的拉力F T 是一对平衡力,从图中可以看出水平拉力F 的大小逐渐增大,细绳的拉力F T 也一直增大,选项A 错误,B 正确；M 的质量与N 的质量的大小关系不确定,设斜面倾角为θ,由分析可知F Tmin ＝m N g ,故若m N g ≥m M g sin θ,则M 所受斜面的摩擦力大小会一直增大,若m N g <m M g sin θ,则M 所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增大,选项D 正确,C 错误．1．基本思路化“动”为“静”,“静”中求“动”． 2．两种方法(1)解析法：物体受到三个以上的力,且某一夹角发生变化时,将力进行正交分解,两个方向上列平衡方程,用三角函数表示各个作用力与变化角之间的关系,从而判断各力的变化． (2)图解法：物体一般受三个共点力作用；其中有一个大小、方向都不变的力；还有一个方向不变的力．画受力分析图,作出力的平行四边形或矢量三角形,依据某一参数的变化,分析各边变化从而确定力的大小及方向的变化情况．例2 (2019·江苏省模拟)如图所示,在粗糙的水平地面上放着一左侧截面是半圆的柱状物体B ,在B 与竖直墙之间放置一光滑小球A ,整个装置处于静止状态．现用水平力F 拉动B 缓慢向右移动一小段距离后,它们仍处于静止状态,在此过程中,下列判断正确的是( )A ．小球A 对物体B 的压力逐渐增大 B ．小球A 对物体B 的压力逐渐减小C ．墙面对小球A 的支持力逐渐减小D ．墙面对小球A 的支持力先增大后减小 答案 A解析 解法1 以A 球为研究对象,分析受力情况：受重力G 、墙面支持力F N 、B 的弹力F N B ,由平衡条件知F N 与F N B 的合力与G 大小相等,方向相反,将B 缓慢向右移动,F N 方向不变,F N B 沿逆时针方向缓慢转动,作出转动过程三个位置力的合成图如图甲所示,由图可知,F N 逐渐增大,F N B 逐渐增大,由牛顿第三定律知小球A 对物体B 的压力逐渐增大,故A 正确,B 、C 、D 错误．解法2 对A 球受力分析如图乙,得：竖直方向：F N B cos θ＝G水平方向：F N ＝F N B sin θ 解得：F N B ＝Gcos θF N ＝G tan θB 缓慢向右移动一小段距离,A 缓慢下落,则θ增大,所以F N B 增大,F N 增大,由牛顿第三定律知小球A 对物体B 的压力逐渐增大,故A 正确,B 、C 、D 错误．拓展训练3 (2019·广东省“六校”第三次联考)为迎接新年,小明同学给家里墙壁粉刷涂料,涂料滚由滚筒与轻杆组成,示意图如图所示．小明同学缓缓向上推涂料滚(轻杆与墙壁夹角变小),不计轻杆的重力以及滚筒与墙壁的摩擦力．轻杆对涂料滚筒的推力为F 1,墙壁对涂料滚筒的支持力为F 2,以下说法中正确的是( )A ．F 1增大B ．F 1先减小后增大C ．F 2增大D ．F 2减小答案 D解析 以涂料滚为研究对象,分析受力情况,如图,F 1与F 2的合力与重力G 总是大小相等、方向相反．小明缓缓向上推涂料滚,F 1与竖直方向夹角减小,由图可知F 1逐渐减小,F 2逐渐减小,故选D.拓展训练4 (2019·温州市联考)2018年9月2号的亚运会中,中国队包揽了跳水项目的全部10金．图示为跳水运动员在走板时,从跳板的a 端缓慢地走到b 端,跳板逐渐向下弯曲,在此过程中,该运动员对跳板的( )A ．摩擦力不断增大B ．作用力不断减小C ．作用力不断增大D ．压力不断增大答案 A解析 运动员对跳板的作用力等于重力,故大小不变；摩擦力等于重力沿跳板面方向的分力,不断增大,压力等于重力垂直于跳板方向的分力,不断减小,故A 正确．[相关知识链接] 电场力(1)大小：F ＝Eq ,F ＝kq 1q 2r 2. (2)方向：正电荷受电场力的方向与电场强度的方向相同；负电荷受电场力的方向与电场强度的方向相反．[规律方法提炼]1．方法：与纯力学问题的分析方法一样,学会把电学问题力学化． 2．步骤(1)选取研究对象(整体法或隔离法)．(2)受力分析,多了个电场力．(3)列平衡方程． 例3 (2018·嘉、丽3月联考)如图所示,水平地面上固定一个绝缘直角三角形框架ABC ,其中∠ACB ＝θ.质量为m 、带电荷量为q 的小圆环a 套在竖直边AB 上,AB 与圆环的动摩擦因数为μ,质量为M 、带电荷量为＋Q 的小滑块b 位于斜边AC 上,a 、b 静止在同一高度上且相距L .圆环、滑块均视为质点,AC 光滑,则( )A ．圆环a 带正电B ．圆环a 受到的摩擦力为μk Qq L2 C ．小球b 受到的库仑力为Mgtan θD ．斜面对小球b 的支持力为Mgcos θ答案 D解析 a 、b 静止在同一高度上,故b 受到重力G b 、斜面的支持力F N b 及a 对b 的库仑引力F ,从而处于平衡状态,由于b 带正电,因此环a 带负电,故A 错误；环a 处于静止状态,受到的是静摩擦力,那么其大小为F f ＝mg ,并不是滑动摩擦力,因此不可能为F f ＝μk Qq L2,故B 错误；对b 受力分析有：库仑引力F ＝k Qq L 2,或F ＝Mg tan θ,而斜面对b 的支持力为F N b ＝Mgcos θ,故C 错误,D正确．拓展训练5 (2019·全国卷Ⅰ·15)如图,空间存在一方向水平向右的匀强电场,两个带电小球P 和Q 用相同的绝缘细绳悬挂在水平天花板下,两细绳都恰好与天花板垂直,则( )A ．P 和Q 都带正电荷B ．P 和Q 都带负电荷C ．P 带正电荷,Q 带负电荷D．P带负电荷,Q带正电荷答案 D解析对P、Q整体进行受力分析可知,在水平方向上整体所受电场力为零,所以P、Q必带等量异种电荷,选项A、B错误；对P进行受力分析可知,匀强电场对它的电场力应水平向左,与Q对它的库仑力平衡,所以P带负电荷,Q带正电荷,选项D正确,C错误．拓展训练6(2019·浙江新高考研究联盟二次联考)如图所示,两个带电荷量分别为Q1与Q2的小球固定于相距为5d的光滑水平面上,另有一个带电小球A,悬浮于空中不动,此时A离Q1的距离为4d,离Q2的距离为3d.现将带电小球A置于水平面上某一位置,发现A刚好静止,则此时小球A到Q1、Q2的距离之比为( )A.3∶2B．2∶3C．3∶4D．4∶3答案 B解析小球A悬浮于空中时,Q1对其库仑力F1＝k Q1q(4d)2,Q2对其库仑力F2＝kQ2q(3d)2,由平衡条件F1＝35mg,F2＝45mg,得Q1Q2＝43.将A置于水平面上Q1、Q2之间静止,则kQ1·qr12＝kQ2·qr22,得r1r2＝23,故选B.[相关知识链接]1．安培力(1)大小：F＝BIL,此式只适用于B⊥I的情况,且L是导线的有效长度,当B∥I时F＝0.(2)方向：用左手定则判断,安培力垂直于B、I决定的平面．2．洛伦兹力(1)大小：F洛＝qvB,此式只适用于B⊥v的情况．当B∥v时F洛＝0.(2)方向：用左手定则判断,洛伦兹力垂直于B、v决定的平面,洛伦兹力永不做功．[规律方法提炼]1．立体平面化该模型一般由倾斜导轨、导体棒、电源和电阻等组成．这类题目的难点是题图具有立体性,各力的方向不易确定．因此解题时一定要先把立体图转化成平面图,通过受力分析建立各力的平衡关系． 2．带电体的平衡如果带电粒子在重力场、电场和磁场三者组成的复合场中做直线运动,则一定是匀速直线运动．例4 (2019·台州3月一模)如图所示,在水平绝缘杆上用两条等长的平行绝缘丝线悬挂一质量为m 的通电导体棒．将导体棒放置在蹄形磁铁的磁场中,由于安培力的作用,当两条丝线与竖直方向均成30°角时,导体棒处于平衡状态,若重力加速度为g .则关于导体棒在平衡状态时的说法正确的是( )A ．导体棒所在处的磁感应强度处处相等B ．导体棒受到的安培力大小一定是12mgC ．每条丝线对导体棒的拉力大小一定是33mg D ．导体棒受到的安培力与拉力的合力大小一定是mg 答案 D解析 蹄形磁铁靠近两极处的两个磁铁之间才近似可以看作匀强磁场,其余部分不是匀强磁场,所以可知导体棒所在处的磁感应强度不会处处相等,故A 错误；当安培力的方向与细线垂直时,安培力最小,F ＝mg sin30°＝12mg ,所以导体棒受到的安培力大小不一定是0.5mg ,故B 错误；安培力等于0.5mg 时,两条丝线的拉力的和等于32mg ,每条丝线对导体棒的拉力大小都是34mg ,故C 错误；导体棒受到的安培力与拉力的合力大小一定与重力大小相等,方向相反,故D 正确．拓展训练7 均匀带正电的薄圆盘的右侧,用绝缘细线A 、B 悬挂一根水平通电直导线ab ,电流方向由a 到b ,导线平行于圆盘平面．现圆盘绕过圆心的水平轴沿如图所示方向匀速转动,细线仍然竖直,与圆盘静止时相比,下列说法正确的是( )A ．细线所受弹力变小B ．细线所受弹力不变C ．细线所受弹力变大D ．若改变圆盘转动方向,细线所受弹力变大 答案 C解析 圆盘静止时,通电直导线受到竖直向上的弹力和竖直向下的重力,两者等大反向,合力为零．当圆盘匀速转动时,根据右手螺旋定则,圆盘产生水平向右的磁场,根据左手定则,通电直导线受到方向向下的安培力,故细线所受的弹力变大,选项A 、B 错误,C 正确；若改变圆盘转动方向,通电直导线受到的安培力方向向上,细线所受的弹力变小,选项D 错误． 拓展训练8 (多选)长方形区域内存在有正交的匀强电场和匀强磁场,其方向如图所示,一个质量为m 且带电荷量为q 的小球以初速度v 0竖直向下进入该区域．若小球恰好沿直线下降,则下列判断正确的是( )A ．小球带正电B ．电场强度E ＝mgqC ．小球做匀速直线运动D ．磁感应强度B ＝mg qv 0答案 CD解析 小球在复合场内受到自身重力、电场力和洛伦兹力,其中电场力和重力都是恒力,若速度变化则洛伦兹力变化,合力变化,小球必不能沿直线下降,所以合力等于0,小球做匀速直线运动,选项C 正确．若小球带正电,则电场力斜向下,洛伦兹力水平向左,和重力的合力不可能等于0,所以小球不可能带正电,选项A 错误．小球带负电,受到斜向上的电场力和水平向右的洛伦兹力,根据力的合成可得qE ＝2mg ,电场强度E ＝2mgq,选项B 错误．洛伦兹力qv 0B ＝mg ,磁感应强度B ＝mgqv 0,选项D 正确．专题强化练基础题组1．(2019·福建厦门市上学期期末质检)如图所示,在水平晾衣杆上晾晒床单时,为了使床单尽快晾干,可在床单间支撑轻质小木棍．小木棍的位置不同,两侧床单间夹角θ将不同,设床单重力为G,晾衣杆对床单的作用力大小为F,下列说法正确的是( )A．θ越大,F越大B．θ越大,F越小C．无论θ取何值,都有F＝GD．只有当θ＝120°时,才有F＝G答案 C解析以床单和小木棍整体为研究对象,整体受到重力G和晾衣杆的支持力F,由平衡条件知F ＝G,与θ取何值无关,故A、B、D错误,C正确．2.(2019·广东珠海市质量监测)区伯伯在海边钓获一尾鱼,当鱼线拉着大头鱼在水中向左上方匀速运动时,鱼受到水的作用力方向可能是( )A．竖直向上B．竖直向下C．水平向左D．水平向右答案 D解析鱼处于平衡状态,受到竖直向下的重力、斜向左上的拉力、水的作用力,根据受力平衡的条件,结合力的合成可知,鱼受到的水的作用力的方向一定是与拉力和重力的合力的方向相反,故D正确,A、B、C错误．3.(2019·金华十校期末)体操运动员在进行自由体操比赛时,有如图所示的比赛动作：运动员两手臂对称支撑,竖直倒立保持静止状态．当运动员两手间距离缓慢增大时,每只手臂对人体的作用力T及它们的合力F的大小变化情况为( )A．T增大,F不变B．T增大,F减小C．T增大,F增大D．T减小,F不变答案 A4.(2019·超级全能生2月联考)打印机是现代办公不可或缺的设备,正常情况下,进纸系统能做到“每次只进一张纸”,进纸系统的结构如图所示．设图中刚好有10张相同的纸,每张纸的质量均为m,搓纸轮按图示方向转动时带动最上面的第1张纸向右运动,搓纸轮与纸张之间的动摩擦因数为μ1,纸张与纸张之间、纸张与底部摩擦片之间的动摩擦因数均为μ2,下列说法正确的是( )A．第1张纸受到搓纸轮的摩擦力方向向左B．第2张与第3张纸之间的摩擦力大小为2μ2mgC．第10张纸与摩擦片之间的摩擦力为0D．要做到“每次只进一张纸”,应要求μ1＞μ2答案 D解析第1张纸上表面受到搓纸轮施加的静摩擦力F f0,方向向右,第1张纸下表面受到第2张纸施加的滑动摩擦力F f,方向向左,F f＝μ2(mg＋F),F为搓纸轮对第1张纸的压力,F f0＝F f＜μ1F,正常情况F≫mg,故μ1＞μ2,A错误,D正确．第2张与第3张纸之间的摩擦力及第10张纸与摩擦片之间的摩擦力都是静摩擦力,根据受力平衡知,大小均为F f,B、C错误．5．(2019·广东深圳市4月第二次调研)如图所示,用缆绳将沉在海底的球形钢件先从a处竖直吊起到b,再水平移到c,最后竖直下移到d.全过程钢件受到水的阻力大小不变,方向与运动方向相反,所受浮力恒定．则上升、平移、下降过程中的匀速运动阶段,缆绳对钢件拉力F1、F2、F3的大小关系是( )A．F1>F2>F3B．F1>F3>F2C．F2>F1>F3D．F3>F2>F1答案 A解析钢件从a匀速运动到b,对钢件受力分析得到：F1＝mg＋F f；从b匀速运动到c,有：F2＝F f 2＋(mg)2；从c匀速运动到d,有：F3＝mg－F f；由于F2＝F f 2＋(mg)2＝(F f＋mg)2－2mgF f,故F 1>F 2>F 3,故A 正确,B 、C 、D 错误．6．(2019·绍兴诸暨市期末)如图所示为复印机工作原理图：正电荷根据复印图案排列在鼓表面,带负电的墨粉颗粒由于电场作用被吸附到鼓表面,随后转移到纸面上“融化”产生复印图案．假设每个墨粉颗粒质量为8.0×10－16kg,带20个多余电子,已知墨粉颗粒受到的电场力必须超过它自身重力的2倍才能被吸附,则鼓表面电场强度至少为(g 取10m/s 2)( )A ．2.5×103N/C B ．5.0×103N/C C ．5.0×104N/C D ．1.0×105N/C答案 B解析 由题意知：qE ＝2mg ,E ＝2mg q ＝2×8×10－16×1020×1.6×10－19N/C ＝5.0×103 N/C,故选项B 正确．7.(2019·金华十校高三期末)如图所示,a 、b 、c 为真空中三个带电小球,b 球带正电且带电荷量为＋Q ,用绝缘支架固定,a 、c 两个小球用绝缘细线悬挂,处于平衡状态时三个小球球心等高,且a 、b 和b 、c 间距离相等,悬挂a 小球的细线向左倾斜,悬挂c 小球的细线竖直,则以下判断正确的是( )A ．a 小球带负电且带电荷量为－4QB ．c 小球带正电且带电荷量为＋4QC ．a 、b 、c 三个小球带同种电荷D ．a 、c 两小球带异种电荷 答案 A解析 根据受力平衡条件可知,因b 球带正电,要使a 、c 两球平衡,所以a 、c 两球一定带负电,对c 小球进行分析,a 、c 间的距离是b 、c 间的两倍,由库仑定律,则有：k |QQ c |r 2＝k |Q a Q c |(2r )2,因a 球带负电,可得：Q a ＝－4Q ,故A 正确．8．(2019·山东济南市模拟)如图甲所示,用电流天平测量匀强磁场的磁感应强度．若挂在天平右臂下方的为单匝矩形线圈且通入如图乙所示的电流,此时天平处于平衡状态．现保持边长MN 和电流大小、方向不变,将该矩形线圈改为三角形线圈,挂在天平的右臂下方,如图丙所示．则( )A．天平将向左倾斜B．天平将向右倾斜C．天平仍处于平衡状态D．无法判断天平是否平衡答案 B解析由左手定则分析可知,线圈受到的安培力方向向上,矩形线圈改成三角形线圈,安培力变小,故天平将向右倾斜．9.如图所示,两根光滑金属导轨平行放置,导轨所在平面与水平面间的夹角为θ.整个装置处于沿竖直方向的匀强磁场中．金属杆ab垂直导轨放置,当金属杆ab中通有从a到b的恒定电流I时,金属杆ab刚好静止．则( )A．磁场方向竖直向上B．磁场方向竖直向下C．金属杆ab受安培力的方向平行导轨向上D．金属杆ab受安培力的方向平行导轨向下答案 A解析受力分析如图所示,当磁场方向竖直向上时,由左手定则可知安培力水平向右,金属杆ab受力可以平衡,若磁场方向竖直向下,由左手定则可知安培力水平向左,则金属杆ab受力无法平衡,A正确,B、C、D错误．10.(2019·陕西汉中市3月联考)如图所示,固定的木板与竖直墙面的夹角为θ,重为G的物块静止在木板与墙面之间,不计一切摩擦,则( )A ．物块对墙面的压力大小为G tan θB ．物块对墙面的压力大小为G sin θcos θC ．物块对木板的压力大小为G cos θD ．物块对木板的压力大小为Gsin θ答案 D解析 对物块受力分析,根据平行四边形定则可知：物块对墙面的压力大小为F 1′＝F 1＝G tan θ；物块对木板的压力大小为F 2′＝F 2＝Gsin θ,故选项A 、B 、C 错误,D 正确． 能力题组11.(2019·河南普通高中高考物理模拟)如图所示,六根原长均为l 的轻质细弹簧两两相连,在同一平面内六个大小相等、互成60°的恒定拉力F 作用下,形成一个稳定的正六边形．已知正六边形外接圆的半径为R ,每根弹簧的劲度系数均为k ,弹簧在弹性限度内,则F 的大小为( )A.k2(R －l )B ．k (R －l )C ．k (R －2l )D ．2k (R －l )答案 B解析 正六边形外接圆的半径为R ,则弹簧的长度为R ,弹簧的伸长量为：Δx ＝R －l 由胡克定律可知,每根弹簧的弹力为：F 弹＝k Δx ＝k (R －l ),两相邻弹簧夹角为120°,两相邻弹簧弹力的合力为：F 合＝F 弹＝k (R －l ), 弹簧静止处于平衡状态,由平衡条件可知,F 的大小为：F ＝F 合＝k (R －l ),故B 正确,A 、C 、D 错误．12.(2019·山东烟台市下学期高考诊断)如图所示,质量为M 的斜劈静止在粗糙水平地面上,质量为m 的小物块正在斜面上匀速下滑．现在m 上施加一个水平推力F ,则在m 的速度减小为零之前,下列说法正确的是( )A ．加力F 之后,m 与M 之间的摩擦力变小B ．加力F 之后,m 与M 之间的作用力不变C ．加力F 之后,M 与地面之间产生静摩擦力D ．加力F 前后,M 与地面间都没有摩擦力 答案 D解析 加力F 前,m 匀速下滑,则垂直斜面方向：F N ＝mg cos θ, 滑动摩擦力为F f ＝μmg cos θ；在m 上加一水平向右的力F ,垂直斜面方向：F N ′＝mg cos θ＋F sin θ, 滑动摩擦力为F f ′＝μF N ′＝μ(mg cos θ＋F sin θ)；对物块,所受支持力增加了F sin θ,摩擦力增加了μF sin θ,即支持力与摩擦力成比例的增加,其合力方向还是竖直向上,大小增大,m 与M 之间的作用力即为其合力,也是增大的,如图所示：则斜面所受的摩擦力与压力的合力方向还是竖直向下,水平方向仍无运动趋势,则不受地面的摩擦力,故A 、B 、C 错误,D 正确．13.(2019·宁波市3月模拟)在光滑的水平面上建立如图所示的直角坐标系xOy ,现在O 点固定一个带电荷量为Q 的正电荷,在x 轴正半轴上的点N (d,0)固定有带电荷量为8Q 的负电荷,y 轴正半轴位置固定有一根光滑绝缘细杆,细杆上套有带电荷量为＋q 的轻质小球,当小球置于M 点时,恰好保持静止,则M 的纵坐标为( )A.12dB.33dC.32d D ．d 答案 B解析 设OM 为y ,由平衡条件及数学知识可知kQq y 2＝8kQq d 2＋y 2·y d 2＋y 2,得d 2＋y 2＝2y ,即y ＝33d ,故B 正确．14.(2019·广东肇庆市第二次统一检测)如图所示,质量分别为m A 和m B 的物体A 、B 用细绳连接后跨过滑轮,A 静止在倾角为45°的斜面上,B 悬挂着．已知m A ＝2m B ,不计滑轮摩擦,现将斜面倾角由45°增大到50°,系统仍保持静止．下列说法中正确的是( )A ．绳子对A 的拉力将增大B ．物体A 对斜面的压力将增大C ．物体A 受到的静摩擦力增大D ．物体A 受到的静摩擦力减小 答案 C解析 设m A ＝2m B ＝2m ,对物体B 受力分析,受重力和拉力,由二力平衡得到：F T ′＝mg ；再对物体A 受力分析,受重力、支持力、拉力F T 和静摩擦力,F T ＝F T ′,如图,根据平衡条件得到：F f ＋F T －2mg sin θ＝0,F N －2mg cos θ＝0,解得：F f ＝2mg sin θ－F T ＝2mg sin θ－mg ,F N ＝2mg cos θ,当θ由45°增大到50°时,F T 不变,F f 不断变大,F N 不断变小,故C 正确,A 、B 、D 错误．。

实验九 用单摆测量重力加速度 目标要求 1.知道利用单摆测量重力加速度的原理.2.掌握利用单摆测量重力加速度的方法．实验技能储备1．实验原理当摆角较小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T ＝2πl g ，由此得到g ＝4π2l T 2，因此，只要测出摆长l 和振动周期T ，就可以求出当地的重力加速度g 的值．2．实验器材单摆、游标卡尺、毫米刻度尺、停表．3．实验过程(1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，做成单摆．(2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图所示．(3)用毫米刻度尺量出摆线长度l ′，用游标卡尺测出金属小球的直径，即得出金属小球半径r ，计算出摆长l ＝l ′＋r .(4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t ，计算出单摆的振动周期T .(5)根据单摆周期公式，计算当地的重力加速度．(6)改变摆长，重做几次实验．4．数据处理(1)公式法：利用T ＝t N 求出周期，算出三次测得的周期的平均值，然后利用公式g ＝4π2l T2求重力加速度．(2)图像法：根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作l－T2的图像，由单摆周期公式得l＝g4π2 T2，图像应是一条过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率k，即可利用g＝4π2k求重力加速度．5．注意事项(1)一般选用一米左右的细线．(2)悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定．(3)应在小球自然下垂时用毫米刻度尺测量悬线长．(4)单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于5°.(5)选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数．考点一教材原型实验例1(2023·江苏南通市模拟)某小组在“用单摆测量重力加速度”实验中：(1)组装单摆时，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线的上端，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图甲所示．这样做的目的有__________；A．保证摆动过程中摆长不变B．需要改变摆长时便于调节C．保证摆球在同一竖直平面内摆动(2)安装好实验装置后，先用刻度尺测量摆线长l，再用游标卡尺测量摆球直径d，其示数如图乙所示，则d＝________ mm；(3)某次实验过程中，用秒表记录时间的起点应该是摆球运动过程中的________________(选填“最高点”或“最低点”)；(4)该组同学测出五组单摆振动周期T与摆长L的数据如表，请在图丙中作出T2－L关系图像．根据图像算出重力加速度g＝________ m/s2(结果保留3位有效数字)．次数1234 5L/m0.500 00.600 00.700 00.800 00.900 0T/s 1.43 1.55 1.67 1.78 1.90T2/s2 2.04 2.40 2.79 3.17 3.61(5)若测量值与当地重力加速度值相比偏大，可能原因是____________________(写出一个)．答案(1)AB(2)18.9(3)最低点(4)见解析图9.84(9.83～9.89范围内均可)(5)见解析解析(1)用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，可以在需要改变摆长时便于调节；用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，从而保证摆动过程中摆长不变．上述做法并不能保证摆球在同一竖直平面内摆动，故选A、B.(2)由题图乙可知摆球直径为d＝18 mm＋9×0.1 mm＝18.9 mm.(3)摆球在最高点附近运动速度较小，人由于视觉原因不可能精确定位摆球是否经过最高点，由此造成时间测量的相对误差较大．摆球在最低点附近速度较大，因位置判断造成的误差对时间测量的影响较小，所以应在摆球经过最低点时开始计时．(4)作出T2－L关系图像如图所示．根据单摆周期公式有T ＝2πL g 变形可得T 2＝4π2L g ，所以图像的斜率为k ＝4π2g ＝3.610.9s 2/m ，解得g ≈9.84 m/s 2.(5)本实验通过累积法来测量周期，即测量摆球完成n 次全振动的总时间t ，从而求得周期，若计算时不慎将n 的值记录得偏大，则所测周期偏小，会造成g 的测量值偏大．实验时，摆球有时不一定严格在竖直面内运动，而是做圆锥摆运动，在摆角为θ的情况下，小球向心力为F ＝mg tan θ＝m 4π2T 2L sin θ，解得T ＝2πL cos θg ，由上式可知摆球做圆锥摆运动时，所测周期比严格做单摆运动时偏小，从而造成g 的测量值偏大．还有可能在实验过程中，铁夹处摆线出现了松动，使摆长的真实值比测量值偏大，从而造成g 的测量值偏大．例2 在“用单摆测量重力加速度”的实验中，由单摆做简谐运动的周期公式得到g ＝4π2l T2，只要测出多组单摆的摆长l 和运动周期T ，作出T 2－l 图像，就可以求出当地的重力加速度，理论上T 2－l 图像是一条过坐标原点的直线．(1)某同学在家里做用单摆测量重力加速度的实验，但没有合适的摆球，他找到了一块外形不规则的长条状的大理石块代替了摆球(如图)，以下实验步骤中存在错误或不当的步骤是________(只填写相应的步骤前的字母即可)．A ．将石块用细尼龙线系好，结点为N ，将尼龙线的上端固定于O 点B ．用刻度尺测量ON 间尼龙线的长度L 作为摆长C ．将石块拉开一个大约5°的角度，然后由静止释放D ．从石块摆到最低点时开始计时，当石块第30次到达最低点时结束计时，记录总时间为t ，由T ＝t 30得出周期E ．改变ON 间尼龙线的长度再做几次实验，记下相应的L 和TF ．求出多次实验中测得的L 和T 的平均值作为计算时使用的数据，代入公式g ＝⎝⎛⎭⎫2πT 2l ，求出重力加速度g(2)该同学根据实验数据作出的T 2－L 图像如图所示：①由图像求出的重力加速度g ＝________ m/s 2(取π2＝9.87)．②由于图像没有能通过坐标原点，求出的重力加速度g 值与当地真实值相比________(选填“偏大”“偏小”或“不变”)；若利用g ＝4π2l T2，采用公式法计算，则求出重力加速度g 值与当地真实值相比________(选填“偏大”“偏小”或“不变”)．答案 (1)BDF (2)①9.87 ②不变 偏小解析 (1)该同学以上实验步骤中有错误或不当的步骤的是B 、D 、F ，B 步骤中摆长应是悬点到大理石块重心的距离；D 步骤中第30次经过最低点，则此单摆一共完成了15个全振动，所以周期为T ＝t 15；F 步骤中必须先分别求出各组L 和T 值对应的g ，再取所求得的各个g 的平均值．(2)①图像的斜率k ＝4πg 2＝ 4.0－0[99－(－1)]×10－2 s 2/m ＝4 s 2/m ，所以加速度g ＝9.87 m/s 2. ②根据T ＝2πL g 得T 2＝4π2L g ，根据数学知识可知，T 2－L 图像的斜率k ＝4π2g，则当地的重力加速度g ＝4π2k ，由于图像不通过原点，则T 2＝4π2l g ＝4π2(L ＋r )g ＝4π2L g ＋4π2r g，根据数学知识可知，对于T 2－L 图像来说两种情况下图像的斜率不变，所以测得的g 值不变；经分析可知出现上述图像不过坐标原点的原因是摆长测量值偏小，若利用g ＝4π2l T2计算，则求出的重力加速度g 值与当地真实值相比偏小．考点二 探索创新实验例3 (2023·浙江温州市模拟)在探究单摆运动的实验中：(1)如图所示，图(a)是用力传感器对单摆运动过程进行测量的装置图，图(b)是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F －t 图像．根据图(b)的信息可得，从t ＝0时刻开始摆球第一次摆到最低点的时刻为________ s ，摆长为________ m(取重力加速度g ＝10 m/s 2，π2＝10)；(2)某同学的操作步骤如下，其中正确的是________；A ．取一根弹性细线，下端系住直径为d 的金属小球，上端固定在铁架台上B ．用米尺量得细线长度l 0，则测得摆长为l 0C ．在摆线偏离竖直方向5°位置静止释放小球D ．让小球在水平面内做圆周运动，测得周期，再根据公式计算重力加速度(3)某小组利用单摆测量当地的重力加速度．改变摆线长度l 0，测得了多组数据，在进行数据处理时，甲同学把摆线长l 0作为摆长，直接利用公式求出各组重力加速度值再求出平均值；乙同学作出T 2－l 0图像后求出斜率，然后算出重力加速度．两同学处理数据的方法对结果的影响是：甲________，乙________(选填“偏大”“偏小”或“无影响”)．答案 (1) 0.5 0.64 (2) C (3) 偏小 无影响解析 (1)因为摆球在最低点时满足F －mg ＝m v 2L， 力传感器显示的力最大，从F －t 图像中可以看出从t ＝0时刻开始摆球第一次摆到最低点的时刻为t ＝0.5 s由F －t 图像可知单摆的周期为T ＝1.6 s ，又因为T ＝2πL g ，可得L ＝T 2g 4π2＝0.64 m (2)取一根细线(伸长量不计)，下端系住直径为d 的金属小球，上端固定在铁架台上，A 错误；摆长应为l 0＋d 2，B 错误；在摆线偏离竖直方向5°位置静止释放小球，C 正确；若让小球在水平面内做圆周运动，则为圆锥摆运动，测得的摆动周期不是单摆运动周期，D 错误．(3)根据单摆周期公式T ＝2πl g ，解得重力加速度g ＝4π2l T2，而摆长应该是摆线长度与摆球半径之和，甲同学把摆线长l 0作为摆长，摆长小于实际摆长，故重力加速度的测量值小于真实值；根据T ＝2πl 0g ，得T 2＝4π2l 0g ，则T 2－l 0图像的斜率k ＝4π2g ，重力加速度g ＝4π2k，当摆长为实际摆长时，则T 2＝4π2(l 0＋d 2)g ＝4π2g l 0＋2π2d g，对于T 2－l 图像来说，两种情况下图像的斜率不变，所以测得的g 值不变．例4 滑板运动场地有一种常见的圆弧形轨道，其截面如图所示，某同学用一辆滑板车和手机估测轨道半径R (滑板车的长度远小于轨道半径)．主要实验过程如下：(1)用手机查得当地的重力加速度为g ；(2)找出轨道的最低点O ，把滑板车从O 点移开一小段距离至P 点，由静止释放，用手机测出它完成n 次全振动的时间t ，算出滑板车做往复运动的周期T ＝________；(3)将滑板车的运动视为简谐运动，则可将以上测量结果代入R ＝________(用T 、g 表示)中计算出轨道半径．答案 (2)t n (3)gT 24π2 解析 (2)(3)滑板车做往复运动的周期T ＝t n ，根据单摆的周期公式有T ＝2πR g ，得R ＝gT 24π2. 课时精练1．(2020·浙江7月选考·17(2))某同学用单摆测量重力加速度．(1)为了减少测量误差，下列做法正确的是________(多选)；A ．摆的振幅越大越好B ．摆球质量大些、体积小些C ．摆线尽量细些、长些、伸缩性小些D ．计时的起、止位置选在摆球达到的最高点处(2)改变摆长，多次测量，得到周期平方与摆长的关系图像如图所示，所得结果与当地重力加速度值相符，但发现其延长线没有过原点，其原因可能是________．A ．测周期时多数了一个周期B ．测周期时少数了一个周期C．测摆长时直接将摆线的长度作为摆长D．测摆长时将摆线的长度加上摆球的直径作为摆长答案(1)BC(2)C解析(1)摆的振幅过大，摆角大于5°，单摆周期公式不再成立，故A错误；摆球质量大、体积小(用密度大的实心金属球)，摆线细长、伸缩性小可使阻力及摆长变化等影响更小，是单摆模型的要求，故B、C正确；摆球在最高点附近速度小，计时误差大，故计时起、止点应选在平衡位置，故D错误．(2)测周期时，无论是多数一个周期还是少数一个周期，T2－l图线都是过原点的直线，只是图线的斜率变化，即测得的重力加速度变化，故A、B错误；T2－l的图像的纵轴截距大于0，可知测量的摆长比实际摆长小了一些，故可判断测摆长时未加摆球的半径，直接将摆线的长度作为摆长，故C正确，D错误．2．(2023·浙江宁波市检测)“利用单摆测重力加速度”的实验中：(1)用游标卡尺测量小钢球直径，读数如图所示，读数为________ mm；(2)下列最合理的装置是________；(3)测单摆周期时，当摆球经过平衡位置时开始计时并记1次，测出经过该位置N次所用时间为t，则单摆周期为T＝________；(4)该同学根据实验数据，利用计算机拟合得到的方程为：T 2＝4.04l ＋0.05.由此可以得出当地重力加速度g ＝________ m/s 2(π取3.14，结果保留2位有效数字)，从方程中可知T 2与l 没有成正比关系，其原因可能是________．A ．计算摆长时，可能加了小球的直径B ．小球摆动过程中，可能摆角太大C ．开始计时时，小球可能在最高点D ．计算摆长时，可能只算了绳长答案 (1)9.7 (2)D (3)2t N －1(4)9.8 D 解析 (1)用游标卡尺测量小钢球直径，读数为9 mm ＋0.1 mm ×7＝9.7 mm(2)固定摆线时要用铁夹夹住，防止摆球摆动时摆长变化；摆球要用质量大、体积相对较小的铁球，以减小相对阻力；摆线要用无弹力的细丝线，故选D.(3)单摆周期为T ＝t N －12＝2t N －1(4)根据T ＝2πl g ，可得T 2＝4π2g l ，则4π2g＝4.04，解得g ≈9.8 m/s 2 由T 2＝4.04l ＋0.05可知图像在纵轴上有正截距，表明实验中摆长的测量值偏小，即计算摆长时，可能少加了小球的半径，即只算了绳长，故选D.3．利用如图甲所示的装置做“用单摆测重力加速度”的实验．(1)实验室有如下器材可供选用：A ．长约1 m 的细线B ．长约1 m 的橡皮绳C ．直径约2 cm 的均匀铁球D ．直径约5 cm 的均匀木球E ．秒表F ．时钟G ．10分度的游标卡尺H ．最小刻度为毫米的米尺用了米尺后，还需要从上述器材中选择________(填写器材前面的字母)．(2)用10分度的游标卡尺测量小球的直径d ，测量的示数如图乙所示，读出小球直径的值为________ mm.(3)将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，将其上端固定，下端自由下垂．用米尺测量摆线长度为L .小球在竖直平面内小角度平稳摆动后，测得小球完成n 次全振动的总时间为t ，请写出重力加速度的表达式g ＝________.(用L 、d 、n 、t 表示)(4)正确操作后，根据多次测量数据计算出实验所在处的重力加速度值，比较后发现：此值比北京的重力加速度值略小，则实验所在处的地理位置与北京的主要不同点可能是__________________________________________(写出一条即可)．答案 (1)ACEG (2)17.6 (3)4π2n 2⎝⎛⎭⎫L ＋d 2t 2 (4)实验所在处比北京纬度低或海拔高(其他答案合理也可) 解析 (1)摆线的长度不能伸长，所以摆线选择长约1 m 的细线，摆球选择质量大、体积小的球，所以选择直径约2 cm 的均匀铁球，实验中需要用秒表测量单摆摆动的时间，从而得出周期，实验中需用10分度的游标卡尺测量摆球的直径，故选A 、C 、E 、G .(2)游标卡尺的主尺读数为17 mm ，游标尺读数为0.1×6 mm ＝0.6 mm ，则小球直径为17.6 mm.(3)单摆的摆长l ＝L ＋d 2，单摆的周期T ＝t n ，根据T ＝2πl g 得g ＝4π2l T 2＝4π2n 2⎝⎛⎭⎫L ＋d 2t 2. (4)多次测量数据计算出实验所在处的重力加速度值比北京的重力加速度值略小，可能实验所在处纬度低或海拔比较高．4.(2023·浙江金华市检测)用单摆测定重力加速度的实验装置如图甲所示(1)组装单摆时，应在下列器材中选用________(选填选项前的字母)．A ．长度为1 m 左右的细线B ．长度为30 cm 左右的细线C ．直径为1.8 cm 的塑料球D．直径为1.8 cm的铁球(2)测量周期时用到了秒表，长针转一周的时间为30 s，表盘上部的小圆共15大格，每一大格为1 min，该单摆摆动n次长短针的位置如图乙所示，所用时间t＝________ s.(3)用多组实验数据作出T2－L图像，可以求出重力加速度g，已知三位同学作出的T2－L图线的示意图如图丙中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，根据图线b求得的g值最接近当地重力加速度的数值．则相对于图线b，下列分析正确的是________(选填选项前的字母)．A．出现图线a的原因可能是误将悬点到小球最下端的距离记为摆长LB．出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次C．图线c求得的g值小于图线b求得的g值(4)利用摆长约为 1 m的单摆进行周期测量，下列有关单摆周期测量的操作正确的是________(选填选项前的字母)．A．测量的计时起点选取振动最低点B．记录单摆摆动1次的时间作为单摆周期C．单摆振动振幅可以达到30 cm答案(1) AD(2) 100.0(3) B(4)A解析(1)为了便于观察和计时，且单摆要求绳长远大于小球半径，故选择长度为1 m左右的细线，选项A正确，B错误；为了减小空气阻力的影响，应选择密度较大的铁球，选项C错误，D正确．(2)小盘读数是90 s，大盘读数是10.0 s，故秒表的读数为t＝90 s＋10.0 s＝100.0 s(3)根据单摆的周期公式T＝2πLg，整理得T2＝4π2g L，则T2－L图像的斜率k＝4π2g，重力加速度g＝4π2k由题图可知，图线a当L为零时T不为零，所测摆长偏小，可能是把摆线长度作为摆长，即把悬点到摆球上端的距离作为摆长，选项A错误；实验中误将49次全振动记为50次，则周期的测量值偏小，导致重力加速度的测量值偏大，图线的斜率偏小，选项B正确；由题图可知，图线c对应的斜率小于图线b对应的斜率，可知图线c求得的g值大于图线b求得的g 值，选项C错误．(4)为了减小误差，测量的计时起点选取振动最低点，选项A正确；记录单摆摆动多次的时间，然后取平均值作为单摆周期，选项B错误；单摆模型要求在摆角小于5°之间摆动，摆长约为1 m的单摆，根据数学知识可知此时的振幅约等于弧长，即A＝lθ＝1×5360m≈0.014 m＝1.4 cm，选项C错误．5．(1)在“探究单摆周期与摆长的关系”的实验中，两位同学用游标卡尺测量小球的直径的操作如图甲、乙所示．测量方法正确的是________(选填“甲”或“乙”)．(2)实验时，若摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动的最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，如图丙所示．光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图像如图丁所示，则该单摆的振动周期为________．若保持悬点到摆球顶点的绳长不变，改用直径是原摆球直径2倍的另一摆球进行实验，则该单摆的周期将________(选填“变大”“不变”或“变小”)，图丁中的Δt将________(选填“变大”“不变”或“变小”)．答案(1)乙(2)2t0变大变大解析(1)游标卡尺应该用两外测量爪对齐的地方测量，正确的是题图乙．(2)一个周期内小球应该两次经过最低点，使光敏电阻的阻值发生变化，故周期为T ＝t 1＋2t 0－t 1＝2t 0；摆球的直径变大后，摆长变长，根据T ＝2πl g可知，周期变大；每次经过最低点时小球的挡光的时间变长，即Δt 变大．6．某同学用图(a)所示的沙漏摆研究单摆的运动规律．实验中，木板沿图示O ′O 方向移动，根据漏在板上的沙描出了如图(b)所示的图形，然后分别沿中心线OO ′和沙漏摆摆动方向建立直角坐标系，并测得图(b)中Oa ＝ab ＝bc ＝cd ＝s ，则：(1)该同学认为此图像经过适当处理可看成单摆的振动图像，则其横坐标表示的物理量应为________；(2)若该同学利用计时器测得沙漏摆的周期为T ，则木板移动的速度表达式为v ＝________；(3)该同学利用该装置测定当地的重力加速度，他认为只有少量沙子漏出时，沙漏重心的变化可忽略不计，但是重心位置不确定，于是测量了摆线的长度L ，如果此时他直接利用单摆周期公式计算重力加速度，则得到的重力加速度值比真实值________(选填“偏大”“偏小”或“相等”)，若要避免由于摆长无法准确测量产生的误差，则可通过改变沙漏摆的摆线长L ，测出对应的周期T ，并绘制________图像，根据图像的斜率可求得重力加速度，此时__________________________________表示沙漏摆的重心到摆线下端的距离．答案 (1)时间 (2)2s T(3)偏小 T 2－L 图像与横轴L 的交点到坐标原点的距离 解析 (1)该同学认为此图像经过适当处理可看成单摆的振动图像，则其横坐标表示的物理量应为时间；(2)若该同学利用计时器测得沙漏摆的周期为T ，则木板移动的速度表达式为v ＝2s T； (3)根据T ＝2πL g ，可得g ＝4π2L T2，则只用摆线长作为单摆的摆长，则L 偏小，测得的重力加速度值偏小；若沙漏摆的重心到摆线下端的距离为h ，则摆长为L ＋h ，根据T ＝2πL ＋h g ，可得T 2＝4π2g L ＋4π2h g，则可绘制T 2－L 图像，根据图像的斜率可求得重力加速度，当T ＝0时L ＝－h ，则图像与横轴L 的交点到坐标原点的距离表示沙漏摆的重心到摆线下端的距离．。

专题02 功和能（解析版）一、单选题（本大题共11小题）1. (2023年浙江省宁波市镇海中学高考物理模拟试卷)如图甲所示，“复兴号”高速列车正沿直线由静止驶出火车站，水平方向的动力FF随运动时间tt的变化关系如图乙所示。

tt=400ss后，列车以288kkkk/ℎ的速度做匀速直线运动，已知列车所受阻力大小恒定。

则下列说法正确的是( )A. 前400ss，列车做匀减速直线运动B. 列车所受阻力的大小为3.0×106NNC. 根据已知条件可求出列车的质量为1.0×107kkkkD. 在tt=400ss时，列车牵引力的功率为8.0×104kkkk【答案】D【解析】根据题图和牛顿第二定律知，前400ss列车加速度减小，即列车做加速度逐渐减小的变加速运动，当tt=400ss时加速度减为0”所受阻力的大小；根据动量定理求解复兴号”的质量；根据PP=FFFF，分析牵引力的功率。

本题主要是考查图像问题、动量定理，功率的计算，利用动量定理解答问题时，要注意分析运动过程中物体的受力情况，知道合外力的冲量才等于动量的变化。

【解答】A.根据题图和牛顿第二定律知，前400ss，列车加速度减小，即列车做加速度逐渐减小的变加速运动，当tt= 400ss时速度大小为288kkkk/ℎ=80kk/ss，加速度减为0，之后做匀速直线运动，A错误；B.根据图像得列车匀速运动时的动力FF=1.0×106NN，可知列车所受阻力的大小为ff=1.0×106NN，B错误；C.在0∼400ss内，由动量定理有II FF−II ff=△pp，根据已知条件得(1+3)×1062×400NN⋅ss−1×106×400NN⋅ss= kk×80kk/ss，得列车的质量kk=5×106kkkk，C错误；D.在tt=400ss时，列车牵引力的功率PP=FFFF，代入数据可得PP=8.0×104kkkk，D正确。

第02讲命题及其关系、逻辑联结词、充分条件与必要条件---讲1．理解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义，及其相互之间的关系.2．了解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义.3．理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.4. 高考预测：命题重点主要集中在以函数、方程、不等式、立体几何线面关系、数列等为背景的充分条件和必要条件的判定．从近5年命题看，其在试卷中的位置基本稳定在选择题第5 、6小题..5.备考重点：（1）命题的真假的判断；（2）充分条件、必要条件的判断知识点1．命题及其关系（1）命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．（2）四种命题及相互关系（3）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．【典例1】【浙江省浙南名校联盟2019届高三上期末】设是方程的两个不等实根，记.下列两个命题：①数列的任意一项都是正整数；②数列第5项为10. ( )A．①正确，②错误 B．①错误，②正确C．①②都正确 D．①②都错误【答案】A【解析】因为是方程的两个不等实根，所以1，，因为，所以，即当时，数列中的任一项都等于其前两项之和，又1，，所以，，，以此类推，即可知：数列的任意一项都是正整数，故①正确；②错误；因此选A.【规律方法】1.正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．2. 判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假．如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假．【变式1】【山东省枣庄市2019届高三上期末】有如下命题：①函数，，，中有三个在上是减函数；②函数有两个零点；③若，则其中真命题的个数为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题①函数，，，中，根据函数的单调性易知，，，三个函数在上是减函数，在R上递增的，故①正确；②令函数=0化简：=x+2，作出图像有两个交点，故由两个零点；②正确； ③若，因为为单调递减函数，所以故③正确. 故选D知识点2．逻辑联结词（1）用联结词“且”联结命题p 和命题q ，记作____，读作______”． （2）用联结词“或”联结命题p 和命题q ，记作_____，读作“____”． （3）对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作_____，读作“_____”． （4）命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断【典例2】【2017山东】已知命题p ：,x ∃∈R ;命题q ：若22a b <,则a <b .下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧ B.p q ∧⌝ C.p q ⌝∧ D.p q ⌝∧⌝ 【答案】B 【解析】由0x =时成立知p 是真命题,由可知q 是假命题,所以p q ∧⌝是真命题,故选B. 【重点总结】1．逻辑联结词与集合的关系：“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题． 2．“p ∨q ”“p ∧q ”“⌝p ”形式命题真假的判断步骤： （1）确定命题的构成形式； （2）判断其中命题p 、q 的真假；（3）确定“p ∧q ”“p ∨q ”“⌝p ”形式命题的真假． 3．含逻辑联结词命题真假的等价关系（1）p ∨q 真⇔p ,q 至少一个真⇔(⌝p )∧(⌝q )假. （2）p ∨q 假⇔p ,q 均假⇔(⌝p )∧(⌝q )真. （3）p ∧q 真⇔p ,q 均真⇔(⌝p )∨(⌝q )假. （4）p ∧q 假⇔p ,q 至少一个假⇔(⌝p )∨(⌝q )真. （5）⌝p 真⇔p 假; ⌝p 假⇔p 真.4．命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断规律：p ∧q 中p 、q 有一假为假，p ∨q 有一真为真，p 与非p 必定是一真一假．【变式2】【新疆乌鲁木齐市2018届高三第二次质量监测】命题:p 若0x <，则ln(1)0x +<，q 是p 的逆命题，则（ ） A ．p 真，q 真 B ．p 真，q 假 C ．p 假，q 真 D ．p 假，q 假【答案】C【解析】由题意，ln(1)0x +<，所以011x <+<，得10x -<<， 所以命题p 为假命题，又因为q 是p 的逆命题，所以命题q ：若ln(1)0x +<，则0x <为真命题，故选C. 知识点3．充分条件与必要条件(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． (2)如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．【典例3】【2019年高考浙江】若a >0，b >0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0, 0a >b >时，，则当4a b +≤时，有，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 故选A. 【规律方法】充要关系的几种判断方法 (1)定义法：若 ，则p 是q 的充分而不必要条件；若 ，则p 是q 的必要而不充分条件；若，则p 是q 的充要条件； 若，则p 是q 的既不充分也不必要条件.(2)等价法：即利用p q ⇒与q p ⌝⌝⇒；q p ⇒与p q ⌝⌝⇒；p q ⇔与q p ⌝⌝⇔的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3) 集合关系法：从集合的观点理解，即若满足命题p 的集合为M ，满足命题q 的集合为N ，则M 是N 的真子集等价于p 是q 的充分不必要条件，N 是M 的真子集等价于p 是q 的必要不充分条件，M ＝N 等价于p 和q 互为充要条件，M ，N 不存在相互包含关系等价于p 既不是q 的充分条件也不是q 的必要条件 【变式3】【2019年高考天津理】设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由250x x -<可得05x <<，由|1|1x -<可得02x <<， 易知由05x <<推不出02x <<， 由02x <<能推出05x <<，故05x <<是02x <<的必要而不充分条件，即“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要而不充分条件. 故选B.考点1 四种命题的关系及真假判断【典例4】【黑龙江省海林市朝鲜族中学2019届复习】以下命题为假命题的是( ) A ．“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实数根”的逆命题 B ．“面积相等的三角形全等”的否命题 C ．“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题D．“若A∪B＝B，则A⊆B”的逆否命题【答案】A【解析】A．“若m＞0，则方程x2+x-m=0有实数根”的逆命题是“若方程x2+x-m=0有实数根，则m＞0”，由判别式△=1+4m≥0得，故A是假命题，B．“面积相等的三角形全等”的逆命题是“全等的三角形面积相等”为真命题，根据逆命题和否命题为逆否命题，则命题“面积相等的三角形全等”的否命题是真命题，C．“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy=1”为真命题．D．“若A∪B=B，则A⊆B”为真命题，则“若A∪B=B，则A⊆B”的逆否命题为真命题．，故选：A．【思路点拨】1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系（尤其是两种等价关系）的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：（1）交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题；（2）同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题；（3）交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题.2.本题解答思路：A．求出命题的逆命题，进行判断即可，B．根据逆否命题的等价性判断命题的逆命题C．根据逆命题的定义进行判断D．根据逆否命题的等价性判断原命题的真假即可．【变式4】【甘肃省酒泉市敦煌中学2019届高三一诊】在下列四个命题中,其中真命题是( )①“若,则”的逆命题;②“若,则”的否命题;③“若,则方程有实根”的逆否命题;④“等边三角形的三个内角均为”的逆命题.A．①② B．①②③④ C．②③④ D．①③④【答案】B【解析】逐一考查所给命题的真假：①“若,则”的逆命题为“若，则”该命题为真命题;②“若,则”的否命题为“若,则不垂直”，由可得：，据此可知：不垂直”，该命题为真命题;③若,则方程的判别式，方程有实根为真命题，则其逆否命题为真命题;④“等边三角形的三个内角均为”的逆命题为“三个内角均为的三角形为等边三角形”，该命题为真命题;综上可得：真命题是①②③④.本题选择B选项.考点2 含有逻辑联结词的命题【典例5】【山东省2018年普通高校招生（春季）】设命题，命题，则下列命题中为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为命题为真，命题为真，所以为真，、为假，选A.【总结提高】若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可.【变式5】【河北省唐山市2018届三模】已知命题在中，若，则；命题，.则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】B命题，当时，不成立，故为假命题，故选B.考点3 充分必要条件的判定【典例6】【2018年浙江卷】已知平面α，直线m ，n 满足m α，n α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为，所以根据线面平行的判定定理得.由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.【思路点拨】一般地，充分、必要条件判断方法有三种.本题难度较小，根据线面平行的判定定理可得充分性成立，而由无法得到m 平行于平面内任一直线，即必要性不成立．【变式6】【2018年理数天津卷】设，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不重复条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】绝对值不等式，由.据此可知是的充分而不必要条件.本题选择A 选项. 考点4 充分条件与必要条件的应用【典例7】【江西省新八校2019届高三第二次联考】若“3x >”是“x m >”的必要不充分条件，则m 的取值范围是________． 【答案】3m >【解析】因为“3x >”是“x m >”的必要不充分条件， 所以(),m +∞是()3,+∞的真子集，所以3m >， 故答案为3m >. 【规律方法】1.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．2.把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面 (1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；(2)注意问题的形式，看清“p 是q 的……”还是“p 的……是q ”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断． 【变式7】【安徽省江南片2019届高三开学联考】设p ：实数x 满足，q ：实数x 满足302x x +>+． （Ⅰ）当1a =时，若p q ∨为真，求实数x 的取值范围；（Ⅱ）当0a <时，若p 是q ⌝的必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）；（2）()2,1--．【解析】（Ⅰ）当1a =时，p ：13x <<，q ：3x <-或2x >-. 因为p q ∨为真，所以p ，q 中至少有一个真命题. 所以13x <<或3x <-或2x >-， 所以3x <-或2x >-， 所以实数x 的取值范围是.（Ⅱ）当0a <时，p ：3a x a <<，由302x x +>+得：q ：3x <-或2x >-， 所以q ⌝：32x -≤≤-，因为p 是q ⌝的必要条件， 所以，所以332a a <-⎧⎨>-⎩，解得21a -<<-，所以实数a 的取值范围是()2,1--.。

第12讲归纳法（解析版）—高中物理解题方法28法20讲江苏省特级教师学科网特约金牌名师戴儒京著名物理学家、诺贝尔奖获得者杨振宁教授在谈到他从中国到美国留学时说：在中国学了推演法，就是学了第一定律、第二定律等，然后用这些定律解题，从一般到特殊；在美国学习了归纳法，就是从实验总结规律，从特殊到一般。

杨振宁教授的这番话，告诉我们中美学习物理的方法之不同。

在我们物理学的茫茫题海中，大部分是用推演法（即演绎法）去解的，但也有少数用归纳法解的题目。

1.什么叫归纳法？归纳论证是一种由个别到一般的论证方法。

它通过许多个别的事例，然后归纳出它们所共有的特性，从而得出一个一般性的结论。

归纳法可以先举事例再归纳结论，即我们通常所说之归纳法，归纳法是从个别性知识，引出一般性知识的推理，是由已知真的前提，引出可能真的结论。

它把特性或关系归结到基于对特殊的代表(token)的有限观察的类型；或公式表达基于对反复再现的现象的模式(pattern)的有限观察的规律。

2.归纳法是物理学研究方法之一。

通过样本信息来推断总体信息的技术。

要做出正确的归纳，就要从总体中选出的样本，这个样本必须足够大而且具有代表性。

3.归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法。

归纳推理也可称为归纳方法.完全归纳推理，也叫完全归纳法.不完全归纳推理，也叫不完全归纳法。

4.归纳法在解物理题中的应用：物理过程与序数n有关的情况，n的个数较多，可考虑用归纳法解题。

5.用归纳法解物理题的解题程序：首先分析物理过程，找出物理过程适用的物理规律，例如用动量守恒定律或动能定理，根据物理规律写出方程式，求解出第1个物理过程的解，例如v1、s1等，然后根据第2、3个物理过程的结果（如v2、v3或s2、s3等）找出其中的规律性，列出递推公式（如v n、s n等与v1、s1及n的关系式），最后根据递推公式求解未知量，如求n或求总路程。

例1．回旋加速器在核科学、核技术、核医学等高新技术领域得到了广泛应用，有力地推动了现代科学技术的发展。