中考数学压轴题解题策略：线段和差最值的存在性问题

一次函数的应用—线段和差、存在性问题一、一次函数线段和差最值问题【知识点】1. 最短路径原理【原理1】作法作图原理在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小。

连AB，与l 交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为AB．【原理2】作法作图原理在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小．作 B 关于l 的对称点B＇连A B＇，与l 交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为A B＇．【原理3】作法作图原理在直线l 上求一点P，使作直线AB，与直线l的交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．≤AB .PBPA－（1）求线段和最小时动点坐标或直线解析式； （2）求三角形周长最小值；（3）求线段差最大时点的坐标或直线解析式。

3. 口诀：“和小异，差大同”（一）一次函数线段和最小值问题【例题讲解】★★☆例题1．在平面直角坐标系xOy 中，y 轴上有一点P ，它到点(4,3)A ，(3,1)B 的距离之和最小，则点P 的坐标是( ) A ．(0,0)B ．4(0,)7C ．5(0,)7D ．4(0,)5【答案】C的值最大 .【原理 4】作法作图原理在直线 l 上求一点 P ，使的值最大 .作 B 关于 l 的对称点 B ＇作直线 A B ＇，与 l 交点即为 P ．三角形任意两边之差小于第三边．≤A B ＇ .PB PA －PB PA －PB PA －【解析】解：作A 关于y 轴的对称点C ，连接BC 交y 轴于P ，则此时AP PB +最小，即此时点P 到点A 和点B 的距离之和最小，(4,3)A ，(4,3)C ∴-，设直线CB 的解析式是y kx b =+，把C 、B 的坐标代入得：3413k bk b =-+⎧⎨-=+⎩，解得：47k =-，57b =，4577y x ∴=-+，把0x =代入得：57y =， 即P 的坐标是5(0,)7，故选：C ．【备注】本题考查了轴对称-最短路线问题，一次函数的解析式，坐标与图形性质等知识点，关键是能画出P 的位置，题目比较典型，是一道比较好的题目．★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,3)A ，点(2,1)B -，在x 轴上存在点P 到A ，B 两点的距离之和最小，则P 点的坐标是 ．【答案】(1,0)-【解析】解：作A 关于x 轴的对称点C ，连接BC 交x 轴于P ，则此时AP BP +最小，A 点的坐标为(2,3)，B 点的坐标为(2,1)-，(2,3)C ∴-，设直线BC 的解析式是：y kx b =+，把B 、C 的坐标代入得：2123k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解得11k b =-⎧⎨=-⎩．即直线BC 的解析式是1y x =--，当0y =时，10x --=，解得：1x =-，P ∴点的坐标是(1,0)-．故答案为：(1,0)-．【备注】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，轴对称-最短路线问题的应用，关键是能找出P 点，题目具有一定的代表性，难度适中．★★☆练习2．如图，直线34120x y +-=与x 轴、y 轴分别交于点B 、A 两点，以线段AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ．若点P 为x 轴上的一个动点，求当PC PD +的长最小时点P 的坐标．【答案】详见解析【解析】解：直线34120x y +-=与x 轴、y 轴分别交于点B 、A 两点，则点A 、B 的坐标分别为：(0,3)，(4,0)，如图所示，过点C 作CH x ⊥轴交于点H ，90ABO BAO ∠+∠=︒，90ABO CBH ∠+∠=︒，CBH BAO ∴∠=∠，又90AOB CHB ∠=∠=︒，AB BC =，()AOB BHC AAS ∴∆≅∆，4CH OB ∴==，3HB OA ==，故点(7,4)C ，同理可得点(3,7)D ，确定点C 关于x 轴的对称点(7,4)C '-，连接C D '交x 轴于点P ，则此时PC PD +的长最小，将点C '、D 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线CD 的表达式为：116144y x =-+， 当0y =时，6111x =，故点61P，0)．(11【备注】本题考查的是一次函数上坐标点的特征，涉及到点的对称性、正方形性质等，本题的难点在于：通过证明三角形全等，确定点C、D的坐标．★★☆例题2．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，3OB=，D为边OB的中点，若E为x轴上的一个动点，当CDE∆的周长最小时，求点E OA=，4的坐标()A．(3,0)-B．(1,0)C．(0,0)D．(3,0)【答案】B【解析】解：如图，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'与x轴交于点E，连接DE．若在边OA上任取点E'与点E不重合，连接CE'、DE'、D E''由DE CE D E CE CD D E CE DE CE'+'=''+'>'='+=+，可知CDE∆的周长最小．OB=，D为边OB的中点，42∴=，OD∴，(0,2)D在矩形OACB 中，3OA =，4OB =，D 为OB 的中点，3BC ∴=，2D O DO '==，6D B '=，//OE BC ，Rt ∴△D OE Rt '∽△D BC '，∴OE D OBC D B '=' 即236OE = 1OE =，∴点E 的坐标为(1,0)故选：B ．【备注】此题主要考查轴对称--最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为(1,4)和(3,0)，点C 是y 轴上的一个动点，连接AC 、BC ，当ABC ∆的周长最小值时，ABC ∆的面积为 ．【答案】3【解析】解：如图，作点A 关于y 轴的对称点A '，连接A B '交y 轴于点C '，此时ABC ∆'的周长最小，设直线A B ' 的解析式为y kx b =+，(1,4)A '-，(3,0)B ，∴430k b k b -+=⎧⎨+=⎩，1k ∴=-，3b =，∴直线A B ' 的解析式为3y x =-+，当0x =时，3y =，(0,3)C ∴'，ABC AA BAA C S SS∆'''∴=-11242122=⨯⨯-⨯⨯ 413=-=．所以ABC ∆'的面积为3．故答案为：3．【备注】本题考查了轴对称、最短路线问题、坐标与图形性质、三角形的面积，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．★★☆练习2．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边 在第二象限内作正方形ABCD ．（1）求点A 、B 的坐标，并求边AB 的长；（2）求点C 和点D 的坐标；（3）在x 轴上找一点M ，使MDB ∆的周长最小，请求出M 点的坐标，并直接写出MDB ∆的周长最小值．【答案】详见解析【解析】解： （1）对于直线122y x =+， 令0x =，得到2y =；令0y =，得到4x =-，(4,0)A ∴-，(0,2)B ，即4OA =，2OB =， 则224225AB =+=；（2）过D 作DE x ⊥轴，过C 作CF y ⊥轴，四边形ABCD 为正方形，AB BC AD ∴==，90ABC BAD BFC DEA AOB ∠=∠=∠=∠=∠=︒，90FBC ABO ∠+∠=︒，90ABO BAO ∠+∠=︒，90DAE BAO ∠+∠=︒，FBC OAB EDA ∴∠=∠=∠，()DEA AOB BFC AAS ∴∆≅∆≅∆，2AE OB CF ∴===，4DE OA FB ===，即426OE OA AE =+=+=，246OF OB BF =+=+=，则(6,4)D -，(2,6)C -；（3）如图所示，连接BD ，找出B 关于y 轴的对称点B '，连接DB '，交x 轴于点M ，此时BM MD DM MB DB +=+'='最小，即BDM ∆周长最小，(0,2)B ，(0,2)B ∴'-，设直线DB '解析式为y kx b =+，把(6,4)D -，(0,2)B '-代入得：642k b b -+=⎧⎨=-⎩，解得：1k =-，2b =-，∴直线DB '解析式为2y x =--，令0y =，得到2x =-，则M 坐标为(2,0)-， 此时MDB ∆的周长为21062+．【备注】本题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾 股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，对称性质，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握 性质及定理是解本题的关键（二）一次函数线段差最大值问题【例题讲解】★★☆例题1．已知，如图点(1,1)A ，(2,3)B -，点P 为x 轴上一点，当||PA PB -最大时，点P的坐标为( )A ．1(,0)2B ．5(,0)4C ．1(,0)2-D ．(1,0)【答案】A【解析】解：作A 关于x 轴对称点C ，连接BC 并延长交x 轴于点P ， (1,1)A ，C ∴的坐标为(1,1)-，连接BC ，设直线BC 的解析式为：y kx b =+，∴123k b k b +=-⎧⎨+=-⎩， 解得：21k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为：21y x =-+， 当0y =时，12x =， ∴点P 的坐标为：1(2，0)，当B ，C ，P 不共线时，根据三角形三边的关系可得：||||PA PB PC PB BC -=-<，∴此时||||PA PB PC PB BC -=-=取得最大值．故选：A ．【备注】此题考查了轴对称、待定系数法求一次函数的解析式以及点与一次函数的关系．此题难度较大，解题的关键是找到P 点，注意数形结合思想与方程思想的应用．★★☆练习1．平面直角坐标系中，已知(4,3)A 、(2,1)B ，x 轴上有一点P ，要使PA PB -最大，则P 点坐 标为【答案】(1,0)【解析】解：(4,3)A 、(2,1)B ，x 轴上有一点P ，||PA PB AB ∴-，∴当A ，B ，P 三点共线时，PA PB -最大值等于AB 长，此时，设直线AB 的解析式为y kx b =+，把(4,3)A 、(2,1)B 代入，可得3412k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得11k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线AB 的解析式为1y x =-，令0y =，则1x =，P ∴点坐标为(1,0)，故答案为：(1,0)． 【备注】本题主要考查了坐标与图形性质，利用待定系数法求得直线AB 的解析式是解决问题的关键． ★★☆练习2．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(6,0)，点P 在一次函数1322y x =+的图象上运动，则PB PA -的最大值为( )A ．2B ．233C ．4D ．143【答案】C【解析】解：如图，作点A 关于直线1322y x =+的对称点K ，连接AK 交直线于H ，连接PK ．AK PH ⊥，(0,4)A ，∴直线AK 的解析式为24y x =-+，由132224y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩， (1H ∴，20，AH KH =，(2,0)K ∴．PB PA PB PK KB ∴-=-，∴当点P 在BK 的延长线上时，P B P K BK '-'=的值最大，最大值为624-=，故选：C ．【备注】本题考查一次函数图象上的点的特征、轴对称等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题 属于中考常考题型．【题型知识点总结】一次函数最短路径问题注意事项：1. 根据“和小异，差大同”判断是否需要作对称；2. 作对称时注意要选取动点运动的直线为对称轴作某一定点的对称点。

初中数学几何线段及线段和、差的最值问题探析一、一般处理方法常用定理两点之间，线段最短垂线段最短三角形三边关系PA+PB最小，需转化，使点在线异侧|PA-PB|最大，需转化，使点在线同侧具体例题分析类型一利用两点之间线段最短1.立体图形平面展开图求最短路径例1.有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离。

试题分析：此题为常规题型，碰到立体图形中的最短路径问题把它展开成平面图形再利用两点之间线段求解即可。

解：AB =，BC为底面周长的一半即BC =πAC = ==答：蚂蚁爬行的最短距离为cm。

2.通过作轴对称求距离之和的最小值例2：如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10.在OA上有一点Q，OB上有一点R.若△PQR周长最小，则最小周长是试题分析：此题出现一个定点两条定直线，所以我们是通过这个定点分别关于这两条直线作对称点，再根据三角形三边关系，最终转为两点之间线段最短来处理。

解：设∠POA=θ，则∠POB=30°﹣θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM.作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN.连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形. 联盟∵OA是PE的垂直平分线，∴EQ=QP；同理，OB是PF的垂直平分线，∴FR=RP，∴△PQR的周长=EF.∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2=60°，∴△EOF是正三角形，∴EF=10，即在保持OP=10的条件下△PQR的最小周长为10.故选A.3.利用平移求线段和的最小值例3：荆州护城河在CC’处直角转弯，河宽相等，从A 处到达B处，需经过两座桥DD’、EE’，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直.如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？试题分析：由于含有固定线段“桥”，导致不能将ADD’E’EB通过轴对称直接转化为线段，需要构造平行四边形将AD、BE平移至D’F、E’G，即可得到桥所在位置解：作AF⊥CD，且AF=河宽，作BG⊥CE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E’、D’，作DD’、EE’即为桥证明：由做法可知，AF∥DD’，AF=DD’，则四边形AFDD’为平行四边形于是AD=FD’同理，BE=GE’由两点之间线段最短可知，GF最小即当桥建于如图所示位置时，ADD’E’EB最短二、利用垂线段最短求最值1.通过转移点，转化为一个定点到一条定直线的距离的最小值例1：如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是C. D.试题分析：此题，两条线段涉及到三个点，其中B为定点，另外两个点均为动点，但通过角平分线这个条件可以把BM转化成关于线段AD对称的线段EM. 从而把两条线段之和的最值转化为点E到直线AB的最短距离。

最短路线（线段和差的最值）问题（教师） 【知识基础】 两点之间线段最短； 垂线段最短； 平行线间的距离； 三角形三边关系； 圆中直径是最长的弦。

一、已知两个定点： 1、在一条直线 m 上，求一点 P，使 PA+PB 最小； （1）点 A、B 在直线 m 两侧：A2、在直线 m、n 上分别找两点 P、Q，使 PA+PQ+QB 最小。

（1）两个点都在直线外侧：AAmm PAnP'Q'Q Bnm BP BmB拓展：利用平移确定最短路径选址：通过平移，除去固定部分的长，使其余几段的和正好为 两定点之间的距离。

如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥 MN，桥造在何处才能使从 A 到 B 的路 径 AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）（2）一个点在内侧，一个点在外侧：A mA mPB Q n B'B n（3）两个点都在内侧： 解：1.将点 B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到 E， 2.连接 AE 交河对岸与点 M, 则点 M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。

证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且 BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE, 所以 A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在 CD 处，连接 AC.CD.DB.CE, 则 AB 两地的距离为： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在△ACE 中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN,即 AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在 CD 处，AB 两地的路程最短。

（2）点 A、B 在直线同侧：AA'm Am AP BB nQ B'n（4） 、台球两次碰壁模型 变式一：已知点 A、B 位于直线 m,n 的内侧，在直线 n、m 分别上求点 D、E 点，使得围成的 四边形 ADEB 周长最短.nnAPB mA'A B D E m B'A BB mA'mA、A’ 是关于直线 m 的对称点。

线段和（差）最值问题引例：如图，有一圆形透明玻璃容器，高15cm，底面周长为24cm，在容器内壁柜上边缘4cm 的 A 处，停着一只小飞虫，一只蜘蛛从容器底部外向上爬了3cm 的 B 处时（ B 处与 A 处恰好相对），发现了小飞虫，问蜘蛛怎样爬去吃小飞虫最近？它至少要爬多少路？（厚度忽略不计）．Ⅰ．专题精讲：最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，要归归于几何模型：（1 ）归于“两点之间的连线中，线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型．（2 ）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型．Ⅱ．典型例题剖析 :一．归入“两点之间的连线中，线段最短”BⅠ ．“饮马”几何模型：A条件：如下左图， A、B 是直线 l 同旁的两个定点．问题：在直线l 上确定一点 P，使 PA＋ PB 的值最小．l模型应用：1．如图，正方形ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点， P 是 AC 上一动点．则PB+PE 的最小值是．2．如图，⊙ O 的半径为 2，点 A、B、C 在⊙ O 上， OA⊥ OB，∠ AOC=60 °， P 是 OB 上一动点，则 PA+PC 的最小值是．3．如图，在锐角△ ABC 中， AB＝ 42，∠ BAC＝ 45°，∠ BAC 的平分线交 BC 于点 D， M、 N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是．第1题第2题第3题第4题4．如图，在直角梯形ABCD 中，∠ ABC＝ 90°， AD ∥BC，AD ＝ 4， AB＝ 5，BC＝ 6，点 P 是 AB 上一个动点，当PC＋ PD 的和最小时，PB 的长为 __________．5．如图，等腰梯形ABCD 中， AB＝ AD ＝ CD＝ 1，∠ ABC＝ 60°，P 是上底，下底中点 EF 直线上6．如图， MN 是半径为 1 的⊙ O 的直径，点 A 在⊙ O 上，∠ AMN ＝ 30°，B 为 AN 弧的中点， P 是直径 MN 上一动点，则PA＋ PB 的最小值为．第 5 题第 6 题第 7 题7．已知 A(－ 2， 3)， B(3， 1)， P 点在 x 轴上，若 PA＋ PB 长度最小，则最小值为．8．已知：如图所示，抛物线y＝－ x2＋ bx＋ c 与 x 轴的两个交点分别为A(1，0)， B(3， 0)．（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）设点 P 在该抛物线上滑动，且满足条件S△PAB＝ 1 的点 P有几个？并求出所有点P 的坐标；（ 3）设抛物线交 y 轴于点 C，问该抛物线对称轴上是否存在点M ，使得△ MAC 的周长最小？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．Ⅱ．台球两次碰壁模型已知点 A 位于直线m，n 的内侧，在直线m、 n 分别上求点P、Q 点，使 PA+PQ+QA 周长最短 .变式：已知点 A、B 位于直线 m，n 的内侧，在直线 m、 n 分别上求点 D、 E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短 .模型应用：2．如图，已知平面直角坐标系， A， B 两点的坐标分别为 A(2 ，－ 3）， B(4，－ 1）设 M，N 分别为 x 轴和 y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点M(m，0）， N(0，n),使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请求出m＝______，n ＝ ______（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．中考赏析：1 ．著名的恩施大峡谷（ A）和世界级自然保护区星斗山（ B）位于笔直的沪渝高速公路X 同侧， AB=50km 、B 到直线 X 的距离分别为 10km 和 40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向 A、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（ AP 与直线X 垂直，垂足为P）， P 到 A、 B 的距离之和 S1＝ PA＋ PB，图（ 2）是方案二的示意图（点 A 关于直线 X 的对称点是 A'，连接 BA'交直线 X 于点 P），P 到 A、B 的距离之和 S2＝PA＋ PB．（1）求 S1、S2，并比较它们的大小；（2）请你说明 S2＝ PA＋ PB 的值为最小；（ 3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B 到直线 Y 的距离为 30km，请你在 X 旁和 Y 旁各修建一服务区 P、 Q，使 P、 A、B、 Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．3218x＋ 3 和 y 轴的交点为A，M 为2．如图，抛物线 y＝ x －55OA 的中点，若有一动点 P，自 M 点处出发，沿直线运动到 x轴上的某点（设为点 E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点 F），最后又沿直线运动到点 A，求使点 P 运动的总路程最短的点 E，点 F 的坐标，并求出这个最短路程的长．Ⅲ．已知A、B 是两个定点，P、Q 在直线m 上要求P、Q 两点，使得（ 1）点 A、 B 在直线 m 两侧：是直线 m 上的两个动点，P 在 Q 的左侧，且 PQ 间长度恒定 , PA+PQ+QB 的值最小． (原理用平移知识解 )（ 2）点 A、 B 在直线 m 同侧：实战演练：1．如图，已知平面直角坐标系，A， B 两点的坐标分别为A(2 ，－ 3）， B(4，－ 1）若 C(a，0) ，D (a+3，0) 是 x 轴上的两个动点，则当 a ＝ ______时，四边形ABDC 的周长最短．2．如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点 O 在坐标原点，顶点A、B 分别在x 轴、 y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4， D 为边 OB 的中点 .（ 1）若 E 为边 OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点 E 的坐标；（ 2）若 E、F 为边 OA 上的两个动点，且 EF＝ 2，当四边形 CDEF 的周长最小时，求点 E、F 的坐标 .3．如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，直角梯形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上， OC 在 x 轴的正半轴上， OA=AB=2，OC=3，过点 B 作 BD⊥ BC，交 OA 于点 D．将∠ DBC 绕点 B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点 E 和 F．（ 1）求经过A、 B、 C 三点的抛物线的解析式；（ 2）当 BE 经过（ 1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（ 3）在抛物线的对称轴上取两点P、 Q（点 Q 在点 P 的上方），且 PQ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P、 Q 两点的坐标．4．如图，已知点 A（－ 4， 8）和点 B（ 2， n）在抛物线y＝ax 2 上．（ 1）求 a 的值及点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标，并在x 轴上找一点 Q，使得 AQ＋ QB 最短，求出点 Q 的坐标；（ 2）平移抛物线y＝ ax2，记平移后点 A 的对应点为 A′，点 B 的对应点为 B′，点 C（－ 2， 0）和点 D （－ 4， 0）是 x 轴上的两个定点．① 当抛物线向左平移到某个位置时，′′A C＋ CB 最短，求此时抛物线的函数解析式；②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形′′A B CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．yA8642BD C- 4- 2 O24x- 2- 4二．求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)几何模型：在一条直线m 上，求一点P，使 PA－PB 的差最大；（ 1）点 A、 B 在直线 m 同侧：（2）点A、B在直线m异侧：模型应用：12－x＋2的顶点为 A，与 y 轴交于点 B．1. 如图，抛物线y＝－ x4(1)求点 A、点 B 的坐标；(2)若点 P 是 x 轴上任意一点，求证：PA－ PB≤ AB；(3)当 PA－ PB 最大时，求点P的坐标 .2. 如图，已知直线 y＝1x＋1 与y轴交于点 A，y2与 x 轴交于点 D ，抛物线 y＝1x 2＋ bx＋ c 与直线交于A、E 两E 2（ 1）求该抛物线的解析式；（ 3）在抛物线的对称轴上找一点M，使 | AM － MC| 的值最大，求出点M 的坐标．3.如图，直线y＝－3x＋ 2 与 x 轴交于点C，与 y 轴交于点B，点 A 为 y 轴正半轴上的一点，⊙A 经过点 B 和点 O，直线 BC 交⊙A 于点 D．（ 1）求点 D 的坐标；（ 2）过 O，C，D 三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使线段 PO 与 PD 之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P 的坐标．若不存在，请说明理由．4.已知：如图，把矩形 OCBA 放置于直角坐标系中， OC＝3， BC＝ 2，取 AB 的中点 M，连接MC ，把△ MBC 沿 x 轴的负方向平移OC 的长度后得到△DAO ．（ 1）试直接写出点 D 的坐标；（ 2）已知点 B 与点 D 在经过原点的抛物线上，点P 在第一象限内的该抛物线上移动，过点P 作 PQ⊥ x 轴于点 Q，连接 OP．若以 O、P、Q 为顶点的三角形与△ DAO 相似，试求出点 P 的坐标；（ 3）试问在（ 2）抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得|TO－ TB|的值最大？若存在，则求出。

中考几何中“线段和的最值”问题的教学策略一、问题产生的背景在初四总复习中，我们在教学中发现有一类求线段和差极值的题目，学生常常找不到解题的突破口，教学难度及学生掌握难度较大。

如：（中考数学选）如图，已知直线y ＝21x ＋1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y ＝21x2＋bx ＋c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为(1，0)．（1）求该抛物线的解析式；（3）－MC |的值最大，求出点问题的第三问常令许多同学甚至是优等生的同学都瞠目结舌。

综观近几年的数学中考题，此类题频频出现在选择、填空、综合题中。

通过平日测试来看，此类题的失分很高，应该引起我们的重视。

二、造成学生对问题困惑的原因我们一起研究分析后，发现几何极值问题在教课书虽然没有专题讲解，但却给出了它的模型。

学生对几何极值模型的陌生，及教师在复习时对教材例习题的拓展延伸程度不够，是导致学生对这类问题困惑的根本原因。

课本中的例题与习题，都是通过筛选的题目的精华，在解题的思路和方法上具有典型性和代表性，在由知识转化为能力的过程中具有示范性和启发性．它们的解题方法和结论本身都具有广泛迁移的可能．现实教学过程中，教师对教材例题、习题开发的意识不强，在备课中不能对例题、习题进行深层次的挖掘、拓展、再创造，在授课时也往往出现一笔带过、草草了事的教学现状，根本没有很好的利用例题、习题的所潜在的价值，而教材例题、习题的开发能促使学生的学习方式由“重结论轻过程”向“过程与结果”并重的方向发展，使学生挖掘隐含问题的本质属性，从而达到“做一题，通一类，会一片”的解题境界．正如数学教育家波利亚指出的：“一个有责任性的教师穷于应付繁琐的数学内容和过量的题目，还不如适当选择某些有意义但有不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面，在指导学生的解题过程中，提高他们的才智和解题能力．三、问题前后知识的联系：课本题目再现：鲁教版七年级教材第一册第一章第三节第轴对称的性质15页试一试：如图所示，要在公路帝修建一个蔬菜收购站，由蔬菜基地A，B向收购站运送蔬菜，收购站应建在什么地方，才能使从A,B到它的距离之各最短？本题涉及的知识不是一个简单的轴对称变换，其变化过程实际是求一类几何极值的过程，此题模式是求几何几何的典型模式。

中考数学压轴题解题策略几何图形中线段和差最值问题的解题策略两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，P A 与PB 的差的最大值就是AB ，此时点P 在AB 的延长线上，即P ′．解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题．图1 图2 图31.如图，在锐角ABC △中，45AB BAC =∠=°，BAC ∠的平分线交BC 于点D M N ，、分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是___________ ．2．如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是边AB 、BC 的中点，则PM +PN 的最小值是_____________．3、如图，已知正方形ABCD 的边长为8，F 是DA 上一点，且FA=2，点P 是BD 上一动点，则 AP+PF 的最小值为 .4、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE 的和最小，则其最小值为A B CD N M （第1题第2题图 D A B C P M N5.如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点，求PK＋QK的最小值．6.如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙B和⊙A上的动点，求PE＋PF的最小值．7.如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD=30°，BC=4，CD=3，M是AD边的中点，N 是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C 长度的最小值是．8.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF 沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的小值是（）A．B．6 C．D．49.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C. 则A′C长度的最小值是 .10.如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A为圆心，1为半径画圆，E是⊙A上一动点，P 是BC上的一动点，则PE+PD的最小值是．11.如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为____12.如图，已知A (0, 2)、B (6, 4)、E (a , 0)、F (a ＋1, 0)，求a 为何值时，四边形ABEF 周长最小？请说明理由．13. 如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝1．点A 、C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 也随之在y 轴上运动．在整个运动过程中，求点B 到原点的最大距离.14. 如图，已知A (－2,0)、B (4, 0)、(D -．设F 为线段BD 上一点（不含端点），连结AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止．当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？15.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8．点E 是BC 边上的点，连结AE ，过点E 作AE 的垂线交AB 边于点F ，求AF 的最小值．16.如图，抛物线21442y x x =-+与y 轴交于点A ，B 是OA 的中点．一个动点G 从点B 出发，先经过x 轴上的点M ，再经过抛物线对称轴上的点N ，然后返回到点A ．如果动点G 走过的路程最短，请找出点M 、N 的位置，并求最短路程．17.如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =6，BC =8，O 为AC 的中点，过O 作OE⊥OF ，OE ，OF 分别交射线AB ，BC 于E ，F ，连接EF ，则EF 长度的最小值为_______．18.如图，在Rt AOB ∆中，OA OB ==,⊙O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则切线长PQ 的最小值为 ．O B F E A19、在三角形ABC中，AB=AC=2,∠ABC=30°，点M,N分别在边AB,AC上，将三角形AMN沿MN 翻折，点A落到点A’处，则线段BA’长度的最小值是ANMA'B C20.如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是．。

初中数学线段和差最值问题（史上最全版）⼀、知识依据1．线段公理：两点之间，线段最短；2．对称的性质：①关于⼀条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；3．三⾓形的三边关系：①三⾓形两边之和⼤于第三边；②三⾓形两边之差⼩于第三边。

4.垂直线段最短。

⼆、从“将军饮马”说起话说在古罗马时代，在亚历⼭⼤城有⼀位精通数学和物理的学者，名叫海伦。

⼀天，⼀位罗马将军专程去拜访他，向他请教⼀个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧B地开会，应该怎样⾛才能使路程最近？从此，这个被称为“将军饮马”的问题⼴泛流传。

这个问题的解决并不难，据说海伦略作思考就解决了它。

为了解决“将军饮马”问题，我们先看下⾯的问题。

（⼀）点A、B在直线m的异侧，在直线m上，求⼀点P，使PA+PB最⼩由两点之间线段最短知，由A到B⾛直线距离最短，所以连接AB与直线m交于点P，此时PA+PB最⼩。

我们选取除P之外的任意⼀点P’，由三⾓形的三边关系可以证明。

综上，我们可知点A、B在直线m异侧时，连接AB与直线m交于点P，即为所求。

搞清楚上⾯这个问题后，我们再来研究“将军饮马”问题就简单了。

（⼆）点A、B在直线m的同侧，在直线m上，求⼀点P，使PA+PB最⼩作图步骤：①作点A关于直线m的对称点A,②连接BA,，与直线L相交于点P③此时PA+PB最⼩。

看到这个问题后，我们会怎么思考呢？结合上⾯的问题及解答思路，我们会想到将直线m同侧的两个点转化到直线m异侧，那么问题就迎刃⽽解了。

所以，我们作A关于直线m的对称点A’（做B的对称点也⼀样），则将同侧的两点A、B转化到了异侧两点A’、B。

此时，连接A’B与直线m交于点P，即为所求。

综上，我们可知“将军饮马”问题转化为对称点，则问题就轻松解决了。

三、“将军饮马”的拓展延伸总结“将军饮马”问题，我们发现是两个顶点及定直线上的⼀个动点问题，那么接下来我们将刚才的问题进⾏升级。

线段和差最值问题解题技巧
1. 嘿，你知道吗？平移线段有时就像变魔术一样神奇！比如在这个问题里，把这两条线段平移到一起，你看，是不是一下子就找到答案啦！
2. 哇塞，利用对称性质来解决线段和差最值问题，那可真是绝了呀！就像给问题找到了一把万能钥匙。

比如这个图形，通过对称，一下子就柳暗花明了呢！
3. 哎呀呀，有时候转换思维超重要的啦！别死磕一种方法呀，就像走不通的路咱就换一条呗。

像这个例子，转换一下思考角度，答案不就出来啦！
4. 嘿，当遇到难题不要慌，想想三角形三边关系呀！这就好比给你指了一条明路。

比如看到这样的条件，马上想起三边关系，难题迎刃而解咯！
5. 哇哦，构造辅助线简直就是秘密武器呀！就如同给问题搭了一座桥。

像这个情况，构造出合适的辅助线，一下子就突破难关啦！
6. 哈哈，把复杂问题简单化，不就轻松多了吗？就像把一大团乱麻理清楚。

看这个例子，简单化之后，答案显而易见呀！
7. 哟呵，关注特殊点和特殊位置呀，这可是关键呢！如同发现了宝藏的线索。

像这个情况，抓住特殊点，难题瞬间攻克啦！
8. 嘿呀，寻找等量关系也很重要呀，就像在迷宫里找到了正确的路线。

看看这个例子，一旦找到等量关系，答案就水到渠成啦！
9. 最后我想说，掌握了这些解题技巧，遇到线段和差最值问题根本不用怕呀！它们就是我们的得力助手，能让我们在数学的海洋里畅游无阻呀！。

二次函数与线段和差问题例题精讲：如图抛物线与x轴交于A,B（1,0），与y 轴交于点C,直线经过点A,C.抛物线的顶点为D，对称轴为直线l, （1）求抛物线解析式。

（2）求顶点D的坐标与对称轴l.（3）设点E为x轴上一点，且AE=CE,求点E的坐标。

（4）设点G是y轴上的一点，是否存在点G，使得GD+GB的值最小，若存在，求出G点坐标，若不存在，说明理由。

（5）在直线l上是否存在一点F，使得△BCF的周长最小，若存在，求出点F 的坐标及△BCF周长的最小值，若不存在，说明理由。

（6）在y轴上是否存在一点S,使得SD-SB的值最大，若存在，求出S点坐标，若不存在，说明理由。

（7）若点H是抛物线上位于AC上方的一点，过点H作y轴的平行线，交AC 于点K，设点H的横坐标为h,线段HK=d①求d关于h的函数关系式②求d的最大值及此时H点的坐标（8）设点P是直线AC上方抛物线上一点，当P点与直线AC距离最大值时，求P点的坐标，并求出最大距离是多少？1.如图，矩形的边OA在轴上，边OC在轴上，点的坐标为(10,8)，沿直线OD折叠矩形，使点正好落在上的处，E点坐标为(6,8)，抛物线经过、、三点。

（1）求此抛物线的解析式。

（2）求AD的长。

（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标。

2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线412+=x y 与轴相交于点A ，点B 与点O 关于点A 对称。

（1）填空：点B 的坐标是 。

（2）过点的直线（其中）与轴相交于点C ，过点C 作直线平行于轴，P 是直线上一点，且PB=PC ，求线段PB 的长（用含k 的式子表示），并判断点P 是否在抛物线上，说明理由。

（3）在（2）的条件下，若点C 关于直线BP 的对称点恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P 的坐标。

3.如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点O为坐标原点,点D为抛物线的顶点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3,.(1)写出抛物线对应的函数解析式:△AOD的面积是(2)连结CB交EF于M,再连结AM交OC于R,求△ACR的周长.(3)设G(4,-5)在该抛物线上,P是y轴上一动点,过点P作PH垂直于直线EF并交于H,连接AP,GH,问AP+PH+HG是否有最小值?如果有,求点P的坐标;如果没有,请说明理由.4.在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，3OA =，4OB =，D 为边OB 的中点． 若E 、F 为边OA 上的两个动点，且2EF =，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标．5.四边形ABCD 是直角梯形，BC ∥AD ，∠BAD =90°，BC 与y 轴相交于点M ，且M 是BC 的中点，A 、B 、D 三点的坐标分别是A （ 1 0-，），B （ 1 2-，），D （3，0）．连接DM ，并把线段DM 沿DA 方向平移到ON ．若抛物线2y ax bx c =++经过点D 、M 、N ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P ，使得PA =PC ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设抛物线与x 轴的另一个交点为E ，点Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q 在什么位置时有|QE -QC |最大？并求出最大值．6.已知，如图，二次函数223y ax ax a =+-(0)a ≠图象的顶点为H ，与x 轴交于A 、B 两点（B 在A 点右侧），点H 、B 关于直线:3l y x =+ （1）求A 、B 两点坐标，并证明点A 在直线l 上；（2）求二次函数解析式；（3）过点B 作直线BK ∥AH 交直线l 于K 点，M 、N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点，连接HN 、NM 、MK ，求HN +NM +MK 和的最小值．7.如图，已知点A (-4，8)和点B (2，n )在抛物线2=y ax 上．（1）求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ +QB 最短，求出点Q 的坐标；（2）平移抛物线2=y ax ，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点C (-2，0)和点D (-4，0)是x 轴上的两个定点．①当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C +CB ′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．8.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．（1）求线段AB的长；（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值；（3）在（2）中，PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．9.在Rt △ABC 中，∠A=90°，AC=AB=4， D ，E 分别是AB ，AC 的中点．若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α（0<α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P ．（1）如图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于 ，线段CE 1的长等于 ；（直接填写结果）（2）如图2，当α=135°时，求证：BD 1= CE 1，且BD 1⊥CE 1；（3）①设BC 的中点为M ，则线段PM 的长为 ；②点P 到AB 所在直线的距离的最大值为 ．（直接填写结果）E 1B C E D （D 1）A PE 1BCED D 1A。

几何最值的存在性问题【考题研究】在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

从历年的中考数学压轴题型分析来看，经常会考查到距离或者两条线段和差最值得问题，并且这部分题目在中考中失分率很高，应该引起我们的重视。

几何最值问题再教材中虽然没有进行专题讲解，到却给了我们很多解题模型，因此在专题复习时进行压轴训练是必要的。

【解题攻略】最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，要归归于几何模型：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型．（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型．两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，PA与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P′．解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，建立一次函数或者二次函数求解最值问题．【解题类型及其思路】解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。

【典例指引】类型一【确定线段（或线段的和，差）的最值或确定点的坐标】【典例指引1】（2018·天津中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A、C分别在x 轴、y轴的正半轴上．点B的坐标为（8，4），将该长方形沿OB翻折，点A的对应点为点D，OD与BC 交于点E．（I）证明：EO=EB；（Ⅱ）点P是直线OB上的任意一点，且△OPC是等腰三角形，求满足条件的点P的坐标；（Ⅲ）点M是OB上任意一点，点N是OA上任意一点，若存在这样的点M、N，使得AM+MN最小，请直接写出这个最小值．【举一反三】（2020·云南初三）如图，抛物线y=ax2+bx+3经过点B（﹣1，0），C（2，3），抛物线与y轴的焦点A，与x轴的另一个焦点为D，点M为线段AD上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）过点M作y轴的平行线，交抛物线于点P，设线段PM的长为1，当t为何值时，1的长最大，并求最大值；（先根据题目画图，再计算）（3）在（2）的条件下，当t为何值时，△PAD的面积最大？并求最大值；（4）在（2）的条件下，是否存在点P，使△PAD为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．类型二【确定三角形、四边形的周长的最值或符合条件的点的坐标】【典例指引2】（2020·重庆初三期末）如图，抛物线2y ax bx =+（0a >）与双曲线k y x =相交于点A 、B ，已知点A 坐标()1,4，点B 在第三象限内，且AOB ∆的面积为3（O 为坐标原点）.（1）求实数a 、b 、k 的值；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P 使得POB ∆为等腰三角形？若存在请求出所有的P 点的坐标，若不存在请说明理由.（3）在坐标系内有一个点M ，恰使得MA MB MO ==，现要求在y 轴上找出点Q 使得BQM ∆的周长最小，请求出M 的坐标和BQM ∆周长的最小值.【举一反三】（2019·重庆实验外国语学校初三）如图1，已知抛物线y ＝﹣23384x +x +3与x 轴交于A 和B 两点，（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求出直线BC 的解析式．（2）M 为线段BC 上方抛物线上一动点，过M 作x 轴的垂线交BC 于H ，过M 作MQ ⊥BC 于Q ，求出△MHQ 周长最大值并求出此时M 的坐标；当△MHQ 的周长最大时在对称轴上找一点R ，使|AR ﹣MR |最大，求出此时R 的坐标．（3）T 为线段BC 上一动点，将△OCT 沿边OT 翻折得到△OC ′T ，是否存在点T 使△OC ′T 与△OBC 的重叠部分为直角三角形，若存在请求出BT 的长，若不存在，请说明理由．类型三 【确定三角形、四边形的面积最值或符合条件的点的坐标】【典例指引3】（2019·甘肃中考真题）如图，已知二次函数y ＝x 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A （1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P 为抛物线上的一点，点F 为对称轴上的一点，且以点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；（3）点E 是二次函数第四象限图象上一点，过点E 作x 轴的垂线，交直线BC 于点D ，求四边形AEBD 面积的最大值及此时点E 的坐标．【举一反三】（2019·内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于()1,0A -），()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；（2）点D 为抛物线对称轴上一点，连接CD BD 、，若DCB CBD ∠=∠，求点D 的坐标；（3）已知()1,1F ，若(),E x y 是抛物线上一个动点（其中12x <<），连接CE CF EF 、、，求CEF ∆面积的最大值及此时点E 的坐标．（4）若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以,,,B C M N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【新题训练】1．如图，直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y＝ax2＋4x＋c的图象交x轴于另一点B.(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；(3)若点H为二次函数y＝ax2＋4x＋c图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F、E的坐标．2．（2019·江苏中考真题）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合），直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’.（1）如图1，当PB=4时，若点B’恰好在AC边上，则AB’的长度为_____；（2）如图2，当PB=5时，若直线l//AC，则BB’的长度为；（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线l始终垂直于AC，△ACB’的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值.3．（2019·湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y 轴的正半轴上随之上下移动．(1)当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；(2)设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为212时，求OA的长；(3)当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．4.（2018·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣23x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒．（1）当t=13秒时，点Q的坐标是；（2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；（3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值．5.（2020·江苏初三期末）已知二次函数223y x x =--+的图象和x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点P 是直线AC 上方的抛物线上的动点.(1)求直线AC 的解析式.(2)当P 是抛物线顶点时，求APC ∆面积.(3)在P 点运动过程中，求APC ∆面积的最大值.6．（2020·江苏初三期末）如图，抛物线265y ax x =+-交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()5,0，直线5y x =-经过点B 、C .（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，求BCP ∆面积S 的最大值并求出此时点P 的坐标；（3）过点A 的直线交直线BC 于点M ，连接AC ，当直线AM 与直线BC 的一个夹角等于ACB ∠的3倍时，请直接写出点M 的坐标.7.（2019·石家庄市第四十一中学初三）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x （x ﹣b ）﹣与y 轴相交于A 点，与x 轴相交于B 、C 两点，且点C 在点B 的右侧，设抛物线的顶点为P ．（1）若点B 与点C 关于直线x ＝1对称，求b 的值；（2）若OB ＝OA ，求△BCP 的面积；（3）当﹣1≤x≤1时，该抛物线上最高点与最低点纵坐标的差为h ，求出h 与b 的关系；若h 有最大值或最小值，直接写出这个最大值或最小值．8.（2020·江西初三期中）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．9．（2020·山东初三期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD 的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD 绕点C 逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E ，求证：△CEQ ∽△CDO ； （4）在（3）的条件下，若点P 是线段QE 上的动点，点F 是线段OD 上的动点，问：在P 点和F 点移动过程中，△PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 10．（2020·盘锦市双台子区第一中学初三月考）如图①,已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图像经过点A （0，3)、B （1，0），其对称轴为直线l ：x=2，过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C ，∠AOB 的平分线交线段AC 于点E ，点P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P 在直线OE 下方的抛物线上，连结PE 、PO ，当m 为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P 使△POF 成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.11．（2020·四川初三）如图，一次函数122y x =-+的图像与坐标轴交于A 、B 两点，点C 的坐标为(1,0)-，二次函数2y ax bx c =++的图像经过A 、B 、C 三点．（1）求二次函数的解析式（2）如图1，已知点(1,)D n 在抛物线上，作射线BD ，点Q 为线段AB 上一点，过点Q 作QM y ⊥轴于点M ，作QN BD ⊥于点N ，过Q 作//QP y 轴交抛物线于点P ，当QM 与QN 的积最大时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AP ，若点E 为抛物线上一点，且满足APE ABO ∠=∠，求点E 的坐标．12．（2019·广东初三）如图，已知抛物线y ＝﹣3x 2+bx +c 与x 轴交于原点O 和点A （6，0），抛物线的顶点为B ．（1）求该抛物线的解析式和顶点B 的坐标；（2）若动点P 从原点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿线段OB 运动，设点P 运动的时间为t （s ）．问当t 为何值时，△OPA 是直角三角形？（3）若同时有一动点M 从点A 出发，以2个长度单位的速度沿线段AO 运动，当P 、M 其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t （s ），连接MP ，当t 为何值时，四边形ABPM 的面积最小？并求此最小值．13．（2019·山东初三期中）如图，已知抛物线经过两点A （﹣3，0），B （0，3），且其对称轴为直线x ＝﹣1．（1）求此抛物线的解析式．（2）若点Q 是对称轴上一动点，当OQ +BQ 最小时，求点Q 的坐标．（3）若点P 是抛物线上点A 与点B 之间的动点（不包括点A ，点B ），求△PAB 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．14.（2019·四川中考真题）如图，抛物线212y x bx c =-++过点(3,2)A ，且与直线72y x =-+交于B 、C两点，点B 的坐标为(4,)m ．（1）求抛物线的解析式；（2）点D 为抛物线上位于直线BC 上方的一点，过点D 作DE x ⊥轴交直线BC 于点E ，点P 为对称轴上一动点，当线段DE 的长度最大时，求PD PA +的最小值；（3）设点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点Q ，使45AQM ︒∠=？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．15.（2019·天津中考真题）已知抛物线2y x bx c =-+（b c ，为常数，0b >）经过点(1,0)A -，点(,0)M m 是x 轴正半轴上的动点．（Ⅰ）当2b =时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点(,)D D b y 在抛物线上，当AM AD =，5m =时，求b 的值；（Ⅲ）点1(,)2QQ b y+在抛物线上，当22AM QM+的最小值为3324时，求b的值．16.（2019·湖南中考真题）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3.（1）求抛物线的解析式；（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为610？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.17.（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE和抛物线的表达式；（2）在y 轴上取点F （0，1），连接PF ，PB ，当四边形OBPF 的面积是7时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P 在抛物线对称轴的右侧时，直线DE 上存在两点M ，N （点M 在点N 的上方），且MN ＝22，动点Q 从点P 出发，沿P→M→N→A 的路线运动到终点A ，当点Q 的运动路程最短时，请直接写出此时点N 的坐标．18.（2019·湖南中考真题）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点(1,0)A ，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，=3OC ．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)过点A 作AM BC ⊥，垂足为M ，求证：四边形ADBM 为正方形；(3)点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点，当PBC ∆面积最大时，求点P 的坐标； (4)若点Q 为线段OC 上的一动点，问：12AQ QC +是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．几何最值的存在性问题【考题研究】在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

中学数学“线段和差之最值”那些事罗外初中实验部段建华近几年全国各地数学中考中，关于求线段和、差的最小值、最大值等问题时有出现，这类问题背景复杂，种类繁多，动静结合，花样翻新，往往使许多学生束手无策。

因此，有必要对这类问题进行成因分析，归纳整理，寻求解决此类问题的一般方法，以供学生学习，教师教学参考。

一、知识储备线段和、差之最小值、最大值的相关问题，属于初中平面几何基础知识的应用。

涉及的知识点主要有以下几点：①两点之间，线段最短；②点到直线上所有点的连线中，垂线段最短；③三角形三边之间的关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边；④平行线之间的距离处处相等；⑤平移、旋转、对称的性质，等等。

此外，还需具备娴熟的作图能力和精准的计算能力。

二、基本模型和原理（一）利用“两点之间，线段最短”或“三角形任意两边之和大于第三边”解决线段和最小的问题。

问题：如图1，A、B两点在直线l的异侧，点P是直线l上一个动点，问点P在何位置时，AP+BP的值最小。

做法：连接AB交直线l于点P，则此时AP+BP的值最小。

原理：因为此时A、P、B三点共线，所以PA+PB=AB。

当我们在直线l上取一点不与P点重合的点P1时，P1\、A、B三点构成△P1AB，显然P1A+P1B＞AB。

即三角形任意两边之和大于第三边，因此，当点P与A、B共线时，AP+BP的值最小。

拓展一：如图2，A、B两点在直线l的同侧，点P是直线l点，问点P 在何位置时，AP+BP的值最小。

做法：作点A关于直线l的对称点A1，连接A1B交直线l于点P此时AP+BP的值最小。

原理：因为点A、A1关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段AA1，由线段垂直平分线上的点到线段的两端点距离相等的性质可知，PA=PA1。

因此，图2 A1PA+PB=PA 1+PB=A 1B ，得到AP+BP 的值最小。

当我们在直线l 上取一点不与P 点重合的点P 1时，P 1\、A 1、B 三点构成△P 1AB ，原理同图1。

中考数学压轴题解题策略线段和差最值的存在性问题解题策略专题攻略两条动线段的和的最小值问题， 常见的是典型的“牛喝水”问题， 关键是指出一条对称 轴“河流”（如图1）.三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射” 问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）.两条线段差的最大值问题， 一般根据三角形的两边之差小于第三边， 当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长.如图 3, PA 与PB 的差的最大值就是 AB ,此时点P 在AB 的延长线上，即 P解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题.例题解析例1、如图1-1,抛物线y = x 2— 2x — 3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ,点PA 与点B 对称，连结BC ,那么在△ PBC 中，PB + PC 总是大于 BC 的.如图1-3，当点此FA + PC 最小，△ PAC 的周长也最小.由 y = x 2OD = 1.所以 DB = DP = 2,因此 P(1, — 2).P 落在BC 上时，PB + PC 最小，因图3P 的坐标.【解析】如图1-2,把抛物线的对称轴当作河流，点例2、如图，抛物线y 1x2 4x 4与y轴交于点A, B是OA的中点.一个动点G从2点B出发，先经过x轴上的点M，再经过抛物线对称轴上的点N，然后返回到点 A .如果动点G走过的路程最短，请找出点M、N的位置，并求最短路程.JAB岸L0N图2-1【解析】如图2-2，按照“台球两次碰壁”的模型，作点A关于抛物线的对称轴对称的点A'，作点B关于x轴对称的点B 连结A'B与x轴交于点M ,与抛物线的对称轴交于点N .在Rt△ AAB中，MH = 4, NH = 1•所以M(8,0), N(4, 1).3 3L60'I V图2-2【解析】题目读起来像绕口令，其实就是求|FA —PB |的最小值与最大值.由抛物线的解析式可以得到A(0, 2), B(3, 6).设P(x, 0).绝对值|PA —PB|的最小值当然是0 了，此时PA = PB,点P在AB的垂直平分线上(如图3-2).解方程x2+ 22= (x—3)2+ 62，得x 41.此时P (410).AA = 8, AB = 6，所以A 'B = 10,即点G走过的最短路程为10.根据OM = 83相似比可以计算得到例3、如图3-1 , 抛物线的一个动点，求线段出相应的点P的坐标.PA 与PB4 2x9中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求8x 2与y轴交于点A,顶点为B.点P是x轴上36 6在厶PAB中，根据两边之差小于第三边，那么|PA—PB|总是小于AB 了 .如图3-3，当这道题目应用了两个典型的最值结论：两点之间，线段最短；垂线段最短.点P 在BA 的延长线上时，|PA — PB|取得最大值，最大值/ A = 120°点P 、Q 、K 分别为线段 BC 、CD 、BD 上的任意一点，求【解析】如图4-2,点 于PQ 的 .如图4-3，当点Q 关于直线BD 的对称点为 0',在厶KPQ 中, PK + QK 总是 大 K 落在PQ 上时，PK + QK 的最小值为 PQ '.如图4-4, PQ 的最小值为Q H , Q H 就是菱形 ABCD 的高，QH =3 .例五、如图，/ AOB= 45 点，求△ PQR 周长的最小值.,P 是/ AOB 内一定点， （要求画出示意图，写出解题过P0= 10, Q, )R 分别是OA 0B 上的动 PK + QK 的最小值.例4、图4-3 图4-4【解析】例3.解：分别作点P关于0A , OB的对称点M, N，连接0M , ON , MN , MN交OA , OB于点Q , R，连接PR, PQ,此时APQR周长的最小值等于MN.由轴对称性质可得，OM = ON = OP= 10,/ MOA =Z POA，/ NOB =Z POB,「./ MON = 2/ AOB = 2 >45 ° = 90°，在Rt A MON 中，MN = .'OM2+ ON2= 10.：2，即APQR 周长的最小值等于10 ；2。

专题7利用三边关系求线段和差或线段最值问题-备战2020年中考数学压轴题专题研究2020深圳中考数学6月冲刺专题利用三边关系求线段和差或线段最值问题模型讲解（1）定直线l上一动点与异侧两点所连线段之和最小[来源:学,科,网Z,X,X,K]说明：当PO为直线AB与l的交点时，此时PA+PB最小定直线l上一动点与同侧两点所连线段之和最小（将军饮马问题）当A、P、B三点共线的时候，PA+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）说明：作B关于l的对称点B′，连接AB′交l于点P，此时PA+PB最小【方法指引】：我们利用三角形三边关系来求解两点之间的最值问题，往往需要我们构造一个三角形，这个三角形是是有条件的，即“这个三角形有两条边为定值，另外一边为需要我们求的那条边”．说明：“化折为直”是我们解决问题的根本．（3）两定点A,B位于直线同侧，在直线上找一点P，使得|PA-PB|的值最大？【方法指引】连接AB并延长交直线于点p，所以当且仅当A，B’，P三点共线时，|PA-PB|值最大。

（4）两定点A,B位于直线异侧，在直线上找一点P，使得|PA-PB|的值最大？【方法指引】作点B关于直线的对称点B’，因为BP=B’P，所以当且仅当A，B’，P三点共线时，|PA-PB|值最大。

方法讲解线段和差是初中阶段比较重要的一类问题，在选择、填空、压轴题和相应解答题中都有出现过，那么在处理相应线段和差问题时，我们要学会找到相应知识解决问题，可以从以下模型来进行考虑有关线段差的最大值与线段和的最小值问题所涉及的原理:两点之间线段最短；三角形的两边之和大于第三边（两线段和的最小值）；（3）三角形的两边之差小于第三边（两线段差的最大值）。

典例剖析类型一：定直线上一动点与同侧两定点所连线段之和最小例1．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AB＝8，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值_____．【分析】连接DE，利用轴对称可知PB=PD，所以PB＋PE=EP+PD，在△BEP中，利用三边关系，可知当点E，P，D在一条直线上时，PB+PE有最小值．类型二：动态问题下构造三边关系来求最值例2．如图，D在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是边AD一个动点，将△ABE沿BE对折成△BEF，则线段DF长的最小值为．【分析】连接DF、BD，由DF＞BD﹣BF知点F落在BD上时，DF取得最小值，且最小值为BD﹣BF的长，再根据矩形和折叠的性质分别求得BD、BF的长即可．类型三：定直线上一动点与同侧两定点所连线段之差最大例3.如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+2的顶点为A，与y轴交于点B．（1）求点A、点B的坐标；（2）若点P是x轴上任意一点，求证：PA﹣PB≤AB；（3）当PA﹣PB最大时，求点P的坐标．【分析】（1）把抛物线解析式的一般式写成顶点式，可求顶点A坐标，令x＝0，y＝2，可得B 点坐标；（2）当A、B、P三点共线时，PA﹣PB＝AB，当三点不共线时，根据“三角形的两边之差小于第三边”可证结论；（3）通过分析可知，PA﹣PB最大时，A、B、P三点共线，求直线AB解析式，令y＝0，可得P 点坐标．类型四：定直线上一动点与异侧两定点所连线段之差最大例4.如图，在△ABC中，AB＝AC,AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12，△BMC 的周长是20，若点P在直线MN上，则PA－PB的最大值为（）A.12B.8C.6D.2【分析】在MN上取点P，MN垂直平分AC，将PA、PB转到一个三角形中，利用三角形三边关系即可求得。