数学：18.2《勾股定理的逆定理》课件1(人教新课标八年级下)

问题4：命题1和命题2的题设和结论有着什么的关系？ 两个命题的题设和结论正好相反，象这样的两个命题叫 做互逆命题，如果其中一个叫原命题，那么另一个就叫 做它的逆命题.
归纳概念
如果三角形的三边长a、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理
互逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，b，
勾股定理逆定理的证明
已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2
求证:△ ABC是直角三角形.
证明:画一个△A’B’C’,使
∠ C’=90°,B’C’=a, C’A’=b ∵ ∠ C/=900 ∴ A’B’2= a2+b2
A
ac
Cb B
A′
a
C′ b B′
∵ a2+b2=c2
∴ A’B’ 2=c2 ∵ 边长取正值
∴ A’B’ =c
勾股定理逆定理的证明
在△ ABC和△ A’B’C’中 BC=a=B’C’ CA=b=C’A’ AB=c=A’B’
∴ △ ABC ≌△ A’B’C’（SSS） ∴ ∠ C= ∠ C/=90° 则 △ ABC是直角三角形 （直角三角形的定义）
定理与逆定理
斜边为c，那么有a2 + b2 = c2
• 问题5 :请同学们举出一些互逆命题，并思考：是否原命题 正确，它的逆命题也正确呢？举例说明．
• 追问1： 在我们大家举出的互逆命题中原命题和逆命题都成吗？ • 问题6 : 原命题正确，它的逆命题不一定正确.那么勾股定理 的逆命题正确吗？如果你认为是真确的，你能证明这个命题 “如果三角形的三边长、b、c满足，那么这个三角形是直角 三角形”吗？

18.2 勾股定理的逆定理
古埃及人把一根绳子打上等距离的 13个结，然后把第1个结和第13个结 用木桩钉在一起，再分用木桩把第４ 个结和第８个结钉牢（拉直绳子）。
三角形的三边有什么关系呢？
（1）（13 ） （ 12 ）
你能猜想出其中的数学道理吗？
（2）
（11）
（3）
（10 ） （9）
32 + 42 = 52
c Ba
a2 + b2 = c2
直角三角形
b
（1）勾股定理主要反映了直角三角形三边之间 的数量关系，它是解决直角三角形中有关计算与
证明的主要依据；
C （2）勾股定理的逆定理主要的应用是把数转化
为形，通过计算三角形三边之间的关系来判断一
个三角形是否是直角三角形，它可作为直角三角
形的判定依据．
1、判断下列△ＡＢＣ是不是直角三角形？
4、如图, AC⊥BC ，AB=13， BC=12 ， CD=3 ， AD=4 。求：(1)求AC长
(2)求 ?ADC 的面积。
C 12 B
3 D
4 13 A
(1) a=1 b=2 c= ３ (2) a=13 b=14 c=15
(3) a=15 b=20 c=25 (4) a:b: c=3:4:5
练习
(一)选择题： 1．在已知下列三组长度的线段中，不能构
成直角三角形的是 (C )
(A)5、12、13 (B)2、3、 5
(C)4、7、5
(D)1、2、3
练习
如果△ABC的三边分别为a、b、c且满足 a2＋b2＋2＋50＝6a＋8b＋10c，
判定△ABC的形状.
这个三角形是直角三角 形．
思考1:△ABC三边a,b,c为边向外作正方形，

一般地，有的原命题成立，它的逆命题也 成立，如本章的命题1和命题2。但有的原 命题成立，逆命题却不成立。你能举出几 个例子吗？即任何一个命题都有逆命题， 但任何一个定理不一定都有逆定理！
判断下列命题都成立，说出 它们的逆命题，它们的逆命 题成
立吗？
（1）同（旁√内）角互补，两 直线平行；
（2）如果两个（角×是）直角，
∴ △ABC是直角三角形，且∠ ACB=90°, AC ⊥ BC.
又∵S△ABC=1/2AC×BC=1/2×12×5=30, ∵CD ⊥ AB, S△ABC=1/2AB×CD=30, ∴CD=30×2/13=60/13.
(4) 如图，已知△ABC 中，CD ⊥ AB 于D,AC=4,BC=3,DB=9/5, (1)求CD的长;
பைடு நூலகம்
(2)求AD的长; (3) △ABC是直角三角形吗?为什么?
4
A
?
∟
C
3 ? D9/5 B
证明：(1) ∵ CD ⊥ AB,CB=3,BD=9/5, ∴在Rt △ CBD中,CD²+BD²=CB²,
CD²=3²-(9/5) ²=9-81/25=144/25, ∴ CD=12/5. (2)在 Rt △ ACD中，AC=4,CD=12/5,AD²=AC²CD²=4²-(12/5) ²=16-144/25=256/25, ∴ AD=16/5. (3) ∵ AC=4,BC=3,AB=AD+BD=16/5+9/5=5, ∵ 4²+3²=5², 即AC²+BC²=AB² ∴ △ABC是直角三角形。
问题 （1）命题一如何叙述的? 勾股定理的 内容是什么？ (命题1 :如果直角三角形的两直角边长分 别为a,b, 斜边长为c,那么a²+b²=c². 勾股定理：直角三角形的两直角边的平 方和等于斜边的平方。）

的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角. (2)∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152，不符合勾股定
理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形.
总结：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三 角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
巩固练习
D
在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.
在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF为直角三角形，且AE为
斜边．∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
课堂小结
勾股定理 的逆定理
内容 作用 注意
如果三角形的三边长a 、b 、c满
下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是( D )
A. 1,2,3
B. 2,3,4
C. 4,5,6
D. 1, 2, 3 C
满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是( C )
A.三个内角比为1：2：1
C.三边之比为 3 : 2 : 5
B. 三边之比为1：2： 5 D. 三个内角比为1：2：3
探究新知 考 点 2 勾股定理的逆定理和乘法公式判断三角形
b
根据勾股定理，则有 A1B1 2=B1C1 2+C1A1 2=a2+b2. B
B
∵a2+b2=c2, ∴A1B1 =c， ∴AB=A1B1.
A1
在△ABC和△A1B1C 1中，
aC
BC=B1C1,
b
CA=C1A1, AB=A1B1.
B1 a C1
∴∆ABC ≌ ∆A1B1C1. ∠C=∠ C1 =90°.