数据结构讲义(严蔚敏版)第3章

第三章 投影基础§3-1 §3-2 §3-3 §3-4 §3-5 §3-6 投影法概述 三视图的形成及其投影关系 点的投影 直线的投影 平面的投影 直线与平面、平面与平面 的相对位置 §3-7 变换投影面法 结束放映3-1 投影法概述一、投影法基本知识投射中心投射线 投影面物体 投影三要素： a=SA∩P二、投影法分类及应用1. 分类 中心投影法投影法斜投影法投 射 方 向平行投影法正投影法投 射 方 向① 中心投影法：所有的投射线都交于一个点② 平行投影法 ： 所有的投射线都互相平行（1）斜投影法：投射线倾斜于投影面投 射 方 向90°② 平行投影法 ： 所有的投射线都互相平行（2）正投影法：投射线垂直于投影面的投影法投 射 方 向90°2. 特性中心投影法物体位置改 变，投影大 小也改变。

投 影 特 性●投射中心、物体、投影面三者之间的相 对距离对投影的大小有影响。

用于建筑图样中的透视图绘制。

● 度量性较差。

●平行投影法物体位置改 变，投影大 小不改变。

投 影 特 性● ● ●投影大小与物体和投影面之间的距离无关。

度量性较好。

工程图样多数采用正投影法绘制。

三、正投影的基本性质1. 实形性 2．积聚性∟三、正投影的基本性质3.类似性 4．平行性三、正投影的基本性质5．定比性 6．从属性3-2 三视图的形成及其投影关系一、 三视图的形成1. 三投影面体系的建立物体的一个投影不能确定空间物体的形状。

怎吗办？建立三面投影体系2．三视图的形成主视图左 视 图俯视图3．三视图之间的关系（1）三视图的位置关系 以主视图为准， 俯视图在主视图的正 下方，左视图在主视 图的正右方。

（2）三视图之间的投影关系 主、俯视图长对正。

主、左视图高平齐。

俯、左视图宽相等。

（3） 视图与物体的方位关系 主视图：反映上、下和左、 右位置关系； 俯视图：反映前、后和左、 右位置关系； 左视图：反映上、下和前、 后位置关系。

二、三视图的画法[例3-1] 画图3-15所示立体的三视图。

构成分析 作图： (a) 画底板的三视图(b) 画切槽的三视图(c) 画立板的三视图(d) 加深后的三视图3-3 点的投影一、点的投影规律点的正面投影与水平投影的连线垂直于OX轴，即点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴，即a a a a  ⊥OX；⊥OZ；水平投影到X轴的距离等于侧面投影到Z轴的距离，即a ax = aaz[例3-3] 根据点A和B的两个投影求第三个投影。

（二求三）求法：a:长对正 宽相等:高平齐 宽相等二、点的投影与空间直角坐标的关系空间点A到W面的距离，等于点A的x坐标；即： 空间点A到V面的距离，等于点A的y坐标；即： 空间点A到H面的距离，等于点A的z坐标；即：[例3-4] 已知点A(15,10,12)，求作点A的三面投影图。

作图步骤如下：1.自原点O沿OX轴向左量取x=15,得点 ax 2.过ax作OX轴的垂线，在垂线上自ax向下量取y=10,得点A的水平投影a 向上量取z=12,得点A的正面投影a 3.根据点的投影规律，可由点的两个投影作出第三投影 a 。

三、两点的相对位置两点的相对位置指两点在空间的上下、前 后、左右位置关系。

例3-5] 已知点A 的三面投影，又知另一点B 对点A 的相对坐标△X=-10，△Y=5，△Z=－5，求点B 的三面投影。

无轴投影AB如果空间两点处于某一投影面的同一条投射线上时,就有两个坐标相等，一个坐标不相等，则两点在一个投影面上的投影就重合为一点，此两点称为对该投影面的重影点。

3-4直线的投影直线的投影一般仍为直线，特殊情况下积聚为点。

求作直线的投影，实际上就是求作直线两端点的投影，然后连接同面投影即可。

一、直线的表示法AB投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面．投影面平行线正平线水平线侧平线立体及其三视图投影轴测图直线投影图投影特性：在与线段平行的投影面上，该线段的投影为倾斜的线段，且反映实长，其余两个投影分别平行于相应的投影轴，且都小于实长。

．投影面垂直线正垂线铅垂线侧垂线立体及其三视图投影轴测图直线投影图投影特性：直线在与其所垂直的投影面上的投影积聚成一点，在另两个投影面上的投影分别垂直于相应的投影轴，且反映该线段的实长。

．一般位置直线⒈从属性点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上，反之，点的各个投影在直线的同面投影上，则该点一定在直线上。

已知直线AB的点C的水平投影c ，求另两投影。

[例3–6] 已知侧平线AB 的两投影和直线上点S 的正面投影，求水平投影。

方法一方法二⒉定比性点分割线段成定比，则分割线段的各个同面投影之比等于其线段之比。

ⅢⅣ平行两直线相交两直线交叉两直线1.两直线平行若空间两直线相互平行，它们的各同面投影也一定互相平行。

反之，若两直线的三面投影都互相平行，则空间两直线也互相平行 。

2.两直线相交若空间两直线相交，则它们的各同面投影必定相交，且交点符合 点的投影规律；反之，如果两直线的同面投影相交，且交点符合点的投影规律， 则该两直线在空间也一定相交 。

3．两直线交叉交叉两直线各组同面投影不会都平行，特殊情况下可能有一两组 平行；其各组同面投影交点的连线与相应的投影轴不垂直，即不符合 点的投影规律。

重影点 反之，如果两直线的投影既不符合平行两直线的投影特性，也不 符合相交两直线的投影特性，则该两直线空间为交叉两直线。

4．两直线垂直一般情况下，在投影图中不能确定空间两直线是否垂直， 但当直线处于特殊位置时可以直接从投影图中判断：⑴ AB⊥BC(垂直相交)a′ b′ c′⑵ AB⊥CD(垂直交叉)c′ a′b′ d′c doac bxoxab⑶ 直角投影定理：如果两直线垂直，其中一条直线是某一投影面平行 线时，两直线在该投影面上的投影垂直。

c′ a′ b′ d′ Qoc bxACBDcd ab da 证明:AB⊥CD3-5 平面的投影一、平面的表示法c ●● a ● a ●c ●● ac ●● d a ● ● ●●c● a ●●c●b ●b a● ●b A ●b a●●b ●bC●b ● bb ● ba●c 直线及线 外一点●a● d●a●●c 不在同一直 线上的三点c 两相交 直线c 平面 图形cB两平行直线二、各种位置平面的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类：垂直于某一投影面， 倾斜于另两个投影面投影面垂直面特殊位置平面平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面正垂面 侧垂面 铅垂面投影面平行面正平面 侧平面 水平面与三个投影面都倾斜一般位置平面1．投影面垂直面正垂面 轴 测 投 影 图 铅垂面 侧垂面平 面 投 影 图应 用 举 例2． 投影面平行面正平面轴 测 投 影 图 平 面 投 影 图水平面侧平面应 用 举 例3．一般位置平面主视图投射方向[例3-8] 分析图所示立体各平面的位置。

主视图投射方向(a)立体图(1) △ABC是水平面。

(2) △DEF是侧垂面。

(b)三视图(3) 侧面ACDE是一般位置平面。

三、平面上的点和直线的投影1. 平面上的点 点在平面内的条件是：点在该平面内的一条线上。

2．平面上的直线 直线在平面内的条件是：通过平面内的两点或通过平 面内一点并平行于平面内的 另一直线。

(a) 通过平面内的两点(b) 过平面内一点且平行 于平面内的一直线[例3-9] 如图3-39a所示，已知平面△ABC上点M的正面投影m ，求点M的水平投影m。

分析：利用点、线从属关系求出M的水平投影m。

作图：[例3-10] 已知平面五边形ABCDE的正面投影和AB、 AE边的水平投影，试完成五边形的水平投影。

分析：利用在△ＡＢＥ上取点的方法完成水平投影。

作图B AC I E3-6 直线与平面、平面与平面的相对位置 相对位置包括平行、相交和垂直三种情况:一、平行问题包括① 直线与平面平行 ② 平面与平面平行⒈ 直线与平面平行直线与平面平 行的几何条件是：直线平行于平面 内的一条直线。

线面平行问题就归结 为: ①面上取线和②线线 平行的两问题.2. 平面与平面平行① 若一平面上的两相交 直线对应平行于另一平 面上的两相交直线，则 这两平面相互平行。

abe c dfc a b d e ff② 若两投影面垂直面相 互平行，则它们具有积 聚性的那组投影必相互 平行。

b dahc deacbf eh二、相交问题包括① 直线与平面相交 ② 平面与平面相交⒈ 直线与平面相交直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。

要讨论的问题： ● 求直线与平面的交点。

● 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。

解决问题的方法:当直线或平面与某一投影面垂直时，其投影有积聚性， 交点的投影必定在有积聚性的投影上，由此直接求得交点的 一个投影，再根据点在直线或平面上的投影特性，求出另外 的投影。

★ 我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。

[例3-11] 求一般位置直线MN与铅垂面ABC的交点分析： 作图：判可见性：[例3-12] 求铅垂线MN与一般位置平面△ABC的交点分析： 作图：判可见性：。