北师大版数学九年级下册《第二章 3 确定二次函数的表达式》教学课件

9a+3b+1=10，
解这个方程组，得
3
a , b 3.
2
2
3 2 3
∴所求的二次函数的表达式是 y 2 x 2 x 1.
五、当堂达标检测
6.若抛物线经过(0，1)，(一1，0)，(1，0)三点，求此抛物线的表达式.
解: 由抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y=a(x+1)(x-1).
知识要点
一般式法求二次函数表达式的方法
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
二、自主合作，探究新知
典型例题
例1：已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个
（-2，13），求这个二次函数的表达式.
想一想：除了上节课的解法，还有没有其他解法呢？
分析：因为二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，即函数图象过点
（0，1），因此知道三个点的坐标，设y＝ax2+bx+c，能不能确定这个
二次函数的表达式呢？
将三个点代入y＝
ax2+bx+c后，会得
到一个什么样的方
程组呢？
∴ 4=a+b+c
解得 b=-3，
你会解三元一
c=5.
7=4a+2b+c，
次方程组吗？
2
∴所求二次函数表达式为 y=2x -3x+5.
2
3 31

y 2 x 3x 5 2 x ,

为(8,9)，求这个二次函数的表达式. 解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为
(8,9)，因此，可以设函数表达式为
y=a(x-8)2+9. 又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得
1 a . 解得 8
1=a(0-8)2+9.
1 2 y ( x 8) 9. ∴所求的二次函数的表达式是 8
1 2 x
归纳总结 交点法求二次函数表达式的方法 这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交 点法. 其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于
a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
三 交点法求二次函数的表达式
选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函
数的表达式. 解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点. 所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2 为交点的横坐标.因此得 y=a(x+3)(x+1). 再把点（0，-3）代入上式得 a(0+3)(0+1)=-3， 解得a=-1， ∴所求的二次函数的表达式是 y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3. y 2 1 O -4 -3 -2 -1-1 -2 -3 -4 -5
.ห้องสมุดไป่ตู้
3 y= x2 4
2.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式
2+6 y =-2( x -1) 是
. 顶点坐标是（1，6）

解： 因为已知抛物线的顶点为（－1，－3）
所以设所求的二次函数解析式为：y=a(x＋1)2-3
又点( 0,-5 )在抛物线上
a-3=-5, 解得a= -2
故所求的抛物线解析式为 y=－2(x＋1)2-3 即：y=－2x2-4x－5
y
x o
2. 已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)，并且 当x=3时有最大值4，试确定这个二次函数的 解析式。
析式。
例1 已知:抛物线y=ax2+bx+c过点（2，1）、（1，-2 ）
（0，5）三点，求抛物线的解析式
பைடு நூலகம்
解：由题意可得：
｛4a+2b+c=1 a+b+c=-2
①
c=5
解之得：
｛a=5 b=-12 c=5 所以抛物线的解析式是：y=5x2-12x+5.
练
已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、 （1,4）、（2,7）三点，求这个函数的表达式？
解： 设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c
a-b+c=10
由条件得： a+b+c=4 4a+2b+c=7
解方程得： a=2, b=-3, c=5
所以所求二次函数是：y=2x2-3x+5
y ox
二、顶点式y=a(x-h)2+k(a、h、k为常数
a≠0).
1.若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个点的
2.3确定二次函数表达式
用待定系数法求二次函数的解析式
一、一般式：y=ax²+bx+c (a,b,c为常数,a ≠0)
求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，

解析:设二次函数的解析式为y=a(x-3)(x-4),而a=1,所以二次函数 的解析式y=(x-3)(x-4)=x2-7x+12.故填y=x2-7x+12.
4.已知二次函数的图象如图所示,则这个二次函 y=x2-2x-3 数的表达式为 . 解析:∵抛物线过(0,-3),∴c=-3,设二次函数的表达式 为y=ax2+bx-3, 把(-1,0),(3,0)分别代入二次函数表达式 y=ax2+bx-3中,得 a b 3=0，
泉喷出的最远距离,即地面点A距离点B所在的柱子的距 离(OA的长度)是3 m,李冰同学建立了如图所示的直角坐
3 5 标系,得到该抛物线还经过(2,1), 2 ， 4
两点,你能
1.某抛物线的顶点坐标为(1,-2),且经过(2,1),则 抛物线的解析式为 ( B )
检测反馈
A.y=3x2-6x-5
C.y=3x2+6x+1
B.y=3x2-6x+1
D.y=3x2+6x+5
解析:∵抛物线的顶点坐标为(1,-2),且经过(2,1),∴设抛物线的解析 式为y=a(x-1)2-2,把(2,1)代入得1=a(2-1)2-2,解得a=3,∴y=3(x-1)22=3x2-6x+1.故选B. 2. 二次函数的图象如图所示,则它的解析式正确的是( D ) A.y=2x2-4x B.y=-x(x-2) C.y=-(x-1)2+2 D.y=-2x2+4x 解析:根据图象得:抛物线的顶点坐标为
解:∵(4,3)是抛物线的顶点坐标,∴设二次 函数表达式为y=a(x-4)2+3, 把点(10,0)代入y=a(x-4)2+3,解得a= 之间的函数表达式为y=-