2018年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷一.选择题（将正确选项填在相应的位置上，每小题3分，满分36分）1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）个．A.0B.1C.2D.3【答案】C【考点】轴对称图形中心对称图形【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念分别分析得出答案．【解答】等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，正五边形，是轴对称图形，不是中心对称图形，正方形和正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形，2. 下列运算正确的是（）A.2a−3⋅a4=2a−12B.(−3a2)3=−9a6=a2 D.a⋅a3+a2⋅a2=2a4C.a2÷a×1a【答案】D【考点】同底数幂的除法负整数指数幂分式的乘除运算同底数幂的乘法单项式乘单项式幂的乘方与积的乘方【解析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A.2a−3⋅a4=2a，故此选项错误；B.(−3a2)3=−27a6，故此选项错误；=1，故此选项错误；C.a2÷a×1aD.a⋅a3+a2⋅a2=2a4，正确．故选D.体的俯视图是（）A. B.C. D.【答案】A【考点】简单组合体的三视图由三视图判断几何体【解析】结合主视图、左视图可知俯视图中右上角有2层，其余1层，由此即可解决问题；【解答】结合主视图、左视图可知俯视图中右上角有2层，其余1层，4. 在函数y=√x+3中，自变量x的取值范围是（）A.x≤−3B.x≥−3C.x<−3D.x>−3【答案】B【考点】函数自变量的取值范围【解析】直接利用二次根式的定义得出x的取值范围．【解答】在函数y=√x+3中，x+3≥0，解得：x≥−3，故自变量x的取值范围是：x≥−3．5. 一组数据4，2，x，3，9的平均数为4，则这组数据的众数和中位数分别是（）A.3，2B.2，2C.2，3D.2，4【答案】C【考点】众数算术平均数中位数【解析】根据一组数据4，2，x，3，9的平均数为4，可以求得x的值，从而可以将这组数据按照从小到大排列起来，从而可以求得这组数据的众数和中位数．∵ 一组数据4，2，x ，3，9的平均数为4，∴ (4+2+x +3+9)÷5＝4，解得，x ＝2，∴ 这组数据按照从小到大排列是：2，2，3，4，9，∴ 这组数据的众数是2，中位数是3，6. 如图，在长为15，宽为12的矩形中，有形状、大小完全相同的5个小矩形，则图中阴影部分的面积为（ ）A.35B.45C.55D.65【答案】B【考点】二元一次方程的应用二元一次方程组的应用——行程问题【解析】设小长方形的长为x ，宽为y ，观察图形可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可求出x 、y 的值，再利用阴影部分的面积＝大矩形的面积−5×小矩形的面积，即可求出结论．【解答】设小矩形的长为x ，宽为y ，根据题意得：{x +2y =15x =3y， 解得：{x =9y =3， ∴ S 阴影＝15×12−5xy ＝45．7. 如图，△ABC 内接于⊙O ，若sin ∠BAC =13，BC =2√6，则⊙O 的半径为（ ）A.3√6B.6√6C.4√2D.2√2【答案】A【考点】圆周角定理三角形的外接圆与外心解直角三角形【解析】连接OB ，OC ．作OD ⊥BC 于D ，根据同弧所对圆心角是圆周角的两倍，可得∠BOC =2∠A ，根据等腰三角形的性质，可得CD =√6，∠COD =∠A ，根据锐角三角函数可得【解答】解：如图：连接OB，OC．作OD⊥BC于D∵OB=OC，OD⊥BC∴CD=12BC，∠COD=12∠BOC又∵∠BOC=2∠A，BC=2√6∴∠COD=∠A，CD=√6∵sin∠BAC=13∴sin∠COD=CDOC =13∴OC=3√6，故选A．8. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A(1, −1)，B(2, −2)，C(4, −1)，将△ABC绕着原点O旋转75∘，得到△A1B1C1，则点B1的坐标为（）A.(√2, √6)或(−√6, −√2)B.(√6, √2)或(−√6, −√2)C.(−√2, −√6)或(√6, √2)D.(−√2, −√6)或(√2, √6)【答案】C【考点】坐标与图形变化-旋转【解析】根据题意只研究点B的旋转即可，OB与x轴夹角为45∘，分别按顺时针和逆时针旋转75∘后，与y轴负向、x轴正向分别夹角为30∘，由此计算坐标即可．【解答】由点B坐标为(2, −2)则OB=√2，且OB与x轴、y轴夹角为45∘当点B绕原点逆时针转动75∘时，OB1与x轴正向夹角为30∘则B1到x轴、y轴距离分别为√2，√6，则点B1坐标为(√6, √2)；同理，当点B绕原点顺时针转动75∘时，OB1与y轴负半轴夹角为30∘，则B1到x轴、y轴距离分别为√6，√2，则点B1坐标为(−√2, −√6)；9. 将抛物线y=x2+2x+3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线与直线y=3的交点坐标是（）A.(0, 3)或(−2, 3)B.(−3, 0)或(1, 0)C.(3, 3)或(−1, 3)D.(−3, 3)或(1, 3)【答案】D【考点】二次函数图象的平移规律二次函数图象与几何变换二次函数图象上点的坐标特征【解析】先把y=x2+2x+3向下平移得到y=x2+2x，再求其与y=3的交点即可．【解答】解：将抛物线y=x2+2x+3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线为y=x2+2x，当该抛物线与直线y=3相交时，x2+2x=3，解得：x1=−3，x2=1，则交点坐标为：(−3, 3)(1, 3).故选D.10. 如图，E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BE=1，BC=3，则CD的长为（）A.6B.5C.4D.3【答案】B【考点】矩形的性质翻折变换（折叠问题）【解析】设CD=x，则AE=x−1，证明△ADE≅△FCD，得ED=CD=x，根据勾股定理列方程可得CD的长．【解答】设CD=x，则AE=x−1，由折叠得：CF=BC=3，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=3，∠A=90∘，AB // CD，∴∠AED=∠CDF，∵∠A=∠CFD=90∘，AD=CF=3，∴△ADE≅△FCD，∴ED=CD=x，Rt△AED中，AE2+AD2=ED2，(x−1)2+32=x2，∴CD=5，11. 如图，直线y=kx−3(k≠0)与坐标轴分别交于点C，B，与双曲线y=−2x(x<0)交于点A(m, 1)，则AB的长是（）A.2√5B.√13C.2√3D.√26【答案】A【考点】函数的综合性问题【解析】作AD⊥y轴，由点A(m, 1)在y=−2x上知A(−2, 1)，即AD=2、OD=1，由y=kx−3可得B(0, −3)，即BO=3、BD=4，再根据勾股定理求解可得．【解答】如图，过点A作AD⊥y轴于点D，∵点A(m, 1)在y=−2x上，∴−2m=1，解得：m=−2，即A(−2, 1)，则AD=2、OD=1，由y=kx−3可得B(0, −3)，即BO=3，∴BD=4，则AB=√AD2+BD2=√22+42=2√5，12. 如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，AE的垂直平分线分别交AD，BC及AB的延长线于点F，G，H，连接HE，HC，OD，连接CO并延长交AD于点M．则下列结论中：①FG=2AO；②OD // HE；③BHEC =AMMD；④20E2=AH⋅DE；⑤GO+BH=HC正确结论的个数有（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【考点】全等三角形的性质线段垂直平分线的性质正方形的性质相似三角形的性质与判定【解析】①作辅助线，构建三角形全等，证明△ADE≅△GKF，则FG=AE，可得FG=2AO；②证明∠HEA=∠AED=∠ODE，OE≠DE，则∠DOE≠∠HEA，OD与HE不平行；③设正方形ABCD的边长为2x，则AD=AB=2x，DE=EC=x，证明△ADE∽△HOA，得HO=√5x，AH=5x2，所以BHCE=12xx=12，根据AR // CD，得AMMD=x2x=12，则BH CE =AMMD=12；④证明△HAE∽△ODE，可得AHOD =AEDE，等量代换可得OE2=AH⋅DE；⑤分别计算HC、OG、BH的长，可得结论．【解答】①如图，过G作GK⊥AD于K，∴∠GKF=90∘，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADE=90∘，AD=AB=GK，∴∠ADE=∠GKF，∵AE⊥FH，∴∠AOF=∠OAF+∠AFO=90∘，∵∠OAF+∠AED=90∘，∴∠AFO=∠AED，∴△ADE≅△GKF，∴FG=AE，∵FH是AE的中垂线，∴AE=2AO，∴FG=2AO，故①正确；②∵FH是AE的中垂线，∴AH=EH，∴∠HAE=∠HEA，∵AB // CD，∴∠HAE=∠AED，Rt△ADE中，∵O是AE的中点，∴OD=12AE=OE，∴∠ODE=∠AED，∴∠HEA=∠AED=∠ODE，当∠DOE=∠HEA时，OD // HE，∴OE>DE，即∠DOE≠∠HEA，∴OD与HE不平行，故②不正确；③设正方形ABCD的边长为2x，则AD=AB=2x，DE=EC=x，∴AE=√5x，AO=√5x2，易得△ADE∽△HOA，∴ADDE =HOAO，∴2xx =√5x2，∴HO=√5x，Rt△AHO中，由勾股定理得：AH=(√2)=5x2，∴BH=AH−AB=5x2−2x=x2，∴BHCE =12xx=12，延长CM、BA交于R，∵RA // CE，∴∠ARO=∠ECO，∵AO=EO，∠ROA=∠COE，∴△ARO≅△ECO，∴AR=CE，∵AR // CD，∴AMMD =ARDC，∴AMMD =x2x=12，∴BHCE =AMMD=12，故③正确；④由①知：∠HAE=∠AEH=∠OED=∠ODE，∴△HAE∽△ODE，∴AHOD =AEDE，∵AE=20E，OD=OE，∴OE⋅20E=AH⋅DE，∴20E2=AH⋅DE，故④正确；⑤由③知：HC=√(2x)2+(12x)2=√174x，∵AE=2AO=OH=√5x，tan∠EAD=DEAD =OFAO=12，√5∴OF=√54x，∵FG=AE=√5x，∴OG=√5x−√54x=3√54x，∴OG+BH=3√54x+12x，∴OG+BH≠HC，故⑤不正确；本题正确的有；①③④，3个，二.填空题（将正确的答案填在相应的横线上，每小题3分，满分24分）从党的“十八大”到“十九大”经历43800小时，我国的“天宫、蛟龙、天眼、悟空、墨子、大飞机”等各项科技创新成果“井喷”式发展，这些记录下了党的极不平凡的壮阔进程，请将数43800用科学记数法表示为________【答案】4.38×104【考点】科学记数法--表示较大的数【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【解答】将43800用科学记数法表示为：4.38×104．如图，AC=BC，请你添加一对边或一对角相等的条件，使AD=BE．你所添加的条件是________．【答案】∠A=∠B【考点】全等三角形的性质【解析】根据全等三角形的判定解答即可．【解答】解：因为AC=BC，∠C=∠C，所以添加∠A=∠B，可得△ADC与△BEC全等，利用全等三角形的性质得出AD=BE，故答案为：∠A=∠B(答案不唯一).同时抛掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率是________．【答案】12【考点】列表法与树状图法【解析】列举出所有情况，看一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的情况数占总情况数的多少即可．【解答】画树形图得：由树形图可知共4种情况，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的情况数有2种，所以概率是24=12．一列数1，4，7，10，13，……按此规律排列，第n个数是________【答案】3n−2【考点】规律型：图形的变化类规律型：点的坐标规律型：数字的变化类【解析】观察依次为1，4，7，…，的一列数，分析找出规律，据此求出第n个数．【解答】通过观察得出：依次为1，4，7，…，的一列数是首项为1，公差为3的等差数列，所以第n个数为：1+(n−1)×3=3n−2，小明按标价的八折购买了一双鞋，比按标价购买节省了40元，这双鞋的实际售价为________元．【答案】160【考点】一元一次方程的应用——打折销售问题【解析】等量关系为：标价×0.8=标价−40，依此列出方程，解方程即可．【解答】解：设这双鞋的标价为x元，根据题意，得0.8x=x−40，x=200.200−40=160（元）.故答案为：160.为________．【答案】2【考点】圆锥的计算【解析】设圆锥底面的半径为r ，由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，则2πr =240π×3180，然后解方程即可．【解答】设圆锥底面的半径为r ，根据题意得2πr =240π×3180，解得r ＝2，矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，点M 在对角线AC 上，且AM:MC ＝2:3，过点M 作EF ⊥AC 交AD 于点E ，交BC 于点F ．在AC 上取一点P ，使∠MEP ＝∠EAC ，则AP 的长为________．【答案】74或254 【考点】相似三角形的性质与判定矩形的性质【解析】根据题意可得AC ＝10，由AM:MC ＝2:3可得AM ＝4，根据三角函数求EM ＝3，根据∠MEP ＝∠EAC ，则tan ∠PEM ＝tan ∠DAC =34，可求PM 的长，即可求AP 的长． 【解答】如图：∵ 矩形ABCD ，∴ AB ＝CD ＝6，AD ＝BC ＝8，∴ AC ＝10；∵ AM:MC ＝2:3，∴ AM ＝4，MC ＝6；∵ tan ∠DAC =CD AD =EM AM ，∴ 68=EM4，∴ EM ＝3；若P 在线段AM 上，∵ ∠EAC ＝∠PEM ，∴ tan ∠PEM ＝tan ∠DAC =PM ME =MEAM ，∴PM3=34，∴PM=94，∴AP＝AM−PM=74；若P在线段MC上，∵∠EAC＝∠PEM，∴tan∠PEM＝tan∠DAC=PMME =MEAM，∴PM3=34，∴PM=94，∴AP＝AM+PM=254，∴AP的长为74254．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−1，下列结论中：①abc<0；②9a−3b+c<0；③b2−4ac>0；④a>b，正确的结论是________（只填序号）【答案】②③④【考点】二次函数图象与系数的关系二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质【解析】根据抛物线开口方向，对称轴为直线x=−1，与y轴的交点，可得abc>0，则可判断①，根据图象可得x=−3时y<0，代入解析式可判断②，根据抛物线与x轴的交点个数可判断③．根据a−b=−a>0，可判断④【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a<0，∵对称轴为x=−1，∴b−2a=−1，∴b=2a<0，∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴，∴c>0∴abc>0，故①错误；∵由图象得x=−3时y<0，∴9a−3b+c<0，故②正确；∵图象与x轴有两个交点，∴Δ=b2−4ac>0，故③正确；∵a−b=a−2a=−a>0，∴a>b，故④正确.故答案为：②③④.三.解答题（满分60分）先化简，再求值：x2−1x2−2x+1⋅1x+1−1x，其中x=2．【答案】原式=(x+1)(x−1)(x−1)2⋅1x+1−1x=1x−1−1x=xx(x−1)−x−1x(x−1)=1x(x−1)，当x=2时，原式=12×1=12．【考点】分式的化简求值【解析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．【解答】原式=(x+1)(x−1)(x−1)2⋅1x+1−1x=1x−1−1x=xx(x−1)−x−1x(x−1)=1x(x−1)，当x=2时，原式=12×1=12．如图，在⊙O中，AB̂=2AĈ，AD⊥OC于D．求证：AB=2AD．【答案】证明：延长AD交⊙O于E，∵OC⊥AD，∴AÊ=2AĈ，AE=2AD，∵AB̂=2AĈ，∴AÊ=AB̂，∴AB=AE，∴AB=2AD．【考点】圆心角、弧、弦的关系垂径定理【解析】延长AD交⊙O于E，利用圆心角、弧、弦的关系证明即可．【解答】证明：延长AD交⊙O于E，∵OC⊥AD，∴AÊ=2AĈ，AE=2AD，∵AB̂=2AĈ，∴AÊ=AB̂，∴AB=AE，∴AB=2AD．如图，抛物线y＝−x2+bx+c经过A(−1, 0)，B(3, 0)两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD，点H为BD的中点．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）在y轴上找一点P，使PD+PH的值最小，则PD+PH的最小值为________．（注：抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=−b2a，顶点坐标为(−b2a , 4ac−b24a)【答案】∵ 抛物线y ＝−x 2+bx +c 过点A(−1, 0)，B(3, 0)∴ {−1−b +c =0−9+3b +c =0解得{b =2c =3∴ 所求函数的解析式为：y ＝−x 2+2x +3y ＝−x 2+2x +3＝−(x −1)2+4∴ 顶点D(1, 4) √13【考点】二次函数的性质二次函数图象上点的坐标特征待定系数法求二次函数解析式轴对称——最短路线问题【解析】（1）把已知两点的坐标代入，求出b 、c 的值，就可以确定抛物线的解析式，配方或用公式求出顶点坐标（2）根据B 、D 两点的坐标确定中点H 的坐标，作出H 点关于y 轴的对称点点H′，连接H′D 与y 轴交点即为P ，求出H′D 即可【解答】∵ 抛物线y ＝−x 2+bx +c 过点A(−1, 0)，B(3, 0)∴ {−1−b +c =0−9+3b +c =0解得{b =2c =3∴ 所求函数的解析式为：y ＝−x 2+2x +3y ＝−x 2+2x +3＝−(x −1)2+4∴ 顶点D(1, 4)∵ B(3, 0)，D(1, 4)∴ 中点H 的坐标为(2, 2)其关于y 轴的对称点H′坐标为(−2, 2)连接H′D 与y 轴交于点P ，则PD +PH 最小且最小值为：√(12+(4−2)2=√13∴ 答案：√13在四边形ABCD 中，∠B =∠C =90∘，AB =3，BC =4，CD =1．以AD 为腰作等腰△ADE ，使∠ADE =90∘，过点E 作EF ⊥DC 交直线CD 于点F ．请画出图形，并直接写出AF 的长．【答案】如图1中，作AN ⊥CF 于N ，DM ⊥AB 于M ．∵∠B=∠C=∠DMB=90∘，∴四边形BCDM是矩形，易证四边形AMDN是矩形，∴CD=BM=1，AM=AB−BM=2，DM=BC=AN=4，DN=AM=2，∵∠AMD=∠DFE，∠ADM=∠FDE，DA=DE，∴△ADM≅△EDF，∴DF=DM=4，∴FN=DF−DN=2，在Rt△AFN中，AF=√42+22=2√5．如图2中，作AN⊥FD交FD的延长线于N．易证AN=BC=4，△ADN≅△DEF，∴DF=AN=4，DN=CN−CD=2，∴FN=6，在Rt△AFN中，AF=√42+62=2√13．【考点】全等三角形的性质勾股定理等腰直角三角形作图—复杂作图【解析】分两种情形画出图形，分别求解即可解决问题；【解答】如图1中，作AN⊥CF于N，DM⊥AB于M．∵∠B=∠C=∠DMB=90∘，∴四边形BCDM是矩形，易证四边形AMDN是矩形，∴CD=BM=1，AM=AB−BM=2，DM=BC=AN=4，DN=AM=2，∵∠AMD=∠DFE，∠ADM=∠FDE，DA=DE，∴△ADM≅△EDF，∴DF=DM=4，∴FN=DF−DN=2，在Rt△AFN中，AF=√42+22=2√5．如图2中，作AN⊥FD交FD的延长线于N．易证AN=BC=4，△ADN≅△DEF，∴DF=AN=4，DN=CN−CD=2，∴FN=6，在Rt△AFN中，AF=√42+62=2√13．某校在一次社会实践活动中，组织学生参观了虎园、烈士陵园、博物馆和植物园，为了解本次社会实践活动的效果，学校随机抽取了部分学生，对“最喜欢的景点”进行了问卷调查，并根据统计结果绘制了如下不完整的统计图．其中最喜欢烈士陵园的学生人数与最喜欢博物馆的学生人数之比为2:1，请结合统计图解答下列问题：（1）本次活动抽查了________名学生；（2）请补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，最喜欢植物园的学生人数所对应扇形的圆心角是________度；（4）该校此次参加社会实践活动的学生有720人，请求出最喜欢烈士陵园的人数约有多少人？【答案】60设最喜欢博物馆的学生人数为x，则最喜欢烈士陵园的学生人数为2x，则x+2x=60−18−6，解得：x=12，即最喜欢博物馆的学生人数为12，则最喜欢烈士陵园的学生人数为24，补全条形图如下：36=288人．最喜欢烈士陵园的人数约有720×2460【考点】用样本估计总体扇形统计图条形统计图【解析】（1）由虎园人数及其所占百分比可得总人数；（2）设最喜欢博物馆的学生人数为x，则最喜欢烈士陵园的学生人数为2x，根据各参观项目人数和等于总人数求得x的值，据此即可补全图形；（3）用360∘乘以最喜欢植物园的学生人数占被调查人数的比例可得；（4）用总人数乘以样本中最喜欢烈士陵园的人数所占比例．【解答】本次活动调查的学生人数为18÷30%=60人，故答案为：60；设最喜欢博物馆的学生人数为x，则最喜欢烈士陵园的学生人数为2x，则x+2x=60−18−6，解得：x=12，即最喜欢博物馆的学生人数为12，则最喜欢烈士陵园的学生人数为24，补全条形图如下：=36∘，在扇形统计图中，最喜欢植物园的学生人数所对应扇形的圆心角是360∘×660故答案为：36；=288人．最喜欢烈士陵园的人数约有720×2460在一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车去B地，途经C地休息1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行从B地前往A地．甲、乙两人距A地的路程y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）请写出甲的骑行速度为________米/分，点M 的坐标为________；（2）求甲返回时距A 地的路程y 与时间x 之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）请直接写出两人出发后，在甲返回A 地之前，经过多长时间两人距C 地的路程相等．【答案】240,(6, 1200)设MN 的解析式为：y =kx +b(k ≠0)，∵ y =kx +b(k ≠0)的图象过点M(6, 1200)、N(11, 0)，∴ {6k +b =120011k +b =0， 解得{k =−240b =2640， ∴ 直线MN 的解析式为：y =−240x +2640；即甲返回时距A 地的路程y 与时间x 之间的函数关系式：y =−240x +2640；设甲返回A 地之前，经过x 分两人距C 地的路程相等，乙的速度：1200÷20=60（米/分），如图1所示：∵ AB =1200，AC =1020，∴ BC =1200−1020=180，分5种情况：①当0<x ≤3时，1020−240x =180−60x ，x =143>3，此种情况不符合题意；②当3<x <214−1时，即3<x <174，甲、乙都在A 、C 之间，∴ 1020−240x =60x −180，x =4，③当214<x ≤6时，甲在B 、C 之间，乙在A 、C 之间，∴ 240x −1020=60x −180，x =143<214，此种情况不符合题意；④当x =6时，甲到B 地，距离C 地180米，乙距C 地的距离：6×60−180=180（米），即x =6时两人距C 地的路程相等，⑤当x >6时，甲在返回途中，当甲在B 、C 之间时，180−[240(x −1)−1200]=60x −180，x =6，此种情况不符合题意，当甲在A 、C 之间时，240(x −1)−1200−180=60x −180，x =8，综上所述，在甲返回A 地之前，经过4分钟或6分钟或8分钟时两人距C 地的路程相等．【考点】一次函数的应用【解析】（1）根据路程和时间可得甲的速度，根据甲去和返回时的时间共计11分，休息了一分，所以一共用了10分钟，可得M 的坐标；（2）利用待定系数法求MN 的解析式；（3）先根据总路程1200米，时间为20分，计算乙的速度，根据A ，C ，B 三地在同一直线上，计算B 、C 之间的路程，分情况讨论：设甲返回A 地之前，经过x 分两人距C 地的路程相等，①因为乙从B 地到C 地一共需要3小时，所以第一个时间为0<x ≤3，即乙在B 、C 之间时，列方程可知不符合题意；②3<x <6，根据两人距C 地的路程相等列方程可得结论；③计算甲到B 地时，符合条件；④计算乙走过C 地，即乙在A 、C 之间时，列方程，注意此时甲用了(x −1)分．【解答】由题意得：甲的骑行速度为：1020(214−1)=240（米/分），240×(11−1)÷2=1200（米），则点M 的坐标为(6, 1200)，故答案为：240，(6, 1200)；设MN 的解析式为：y =kx +b(k ≠0)，∵ y =kx +b(k ≠0)的图象过点M(6, 1200)、N(11, 0)，∴ {6k +b =120011k +b =0， 解得{k =−240b =2640， ∴ 直线MN 的解析式为：y =−240x +2640；即甲返回时距A 地的路程y 与时间x 之间的函数关系式：y =−240x +2640；设甲返回A 地之前，经过x 分两人距C 地的路程相等，乙的速度：1200÷20=60（米/分），如图1所示：∵ AB =1200，AC =1020，∴ BC =1200−1020=180，分5种情况：①当0<x ≤3时，1020−240x =180−60x ，x =143>3，此种情况不符合题意；②当3<x <214−1时，即3<x <174，甲、乙都在A 、C 之间，∴ 1020−240x =60x −180，x =4，③当214<x ≤6时，甲在B 、C 之间，乙在A 、C 之间，∴ 240x −1020=60x −180，x =143<214，此种情况不符合题意；④当x=6时，甲到B地，距离C地180米，乙距C地的距离：6×60−180=180（米），即x=6时两人距C地的路程相等，⑤当x>6时，甲在返回途中，当甲在B、C之间时，180−[240(x−1)−1200]=60x−180，x=6，此种情况不符合题意，当甲在A、C之间时，240(x−1)−1200−180=60x−180，x=8，综上所述，在甲返回A地之前，经过4分钟或6分钟或8分钟时两人距C地的路程相等．在等腰△ABC中，∠B=90∘，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N，∠EMF=135∘．将∠EMF绕点M旋转，使∠EMF的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题：（1）当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF=BM；（2）当∠EMF绕点M旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE，CF，BM 之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）和（2）的条件下，tan∠BEM=√3，AN=√2+1，则BM=________，CF=________．【答案】（1）证明：由题意得∠BMN=135∘，即∠BME+∠EMN=135∘．∵∠EMF=135∘，即∠NMF+∠EMN=135∘，∵MN⊥AC，∴∠MNF=90∘=∠B，∴∠BME=∠NMF，∵BM=NM，∴△NMF≅△BME(ASA)，∴BE=NF，BM=MN，∵在Rt△MNC中，∠C=45∘，∴CN=NM，∵FN+CF=CN，∴BE+CF=BM；（2）证明：题图中②中，BE−CF=BM；题图③中，BE+BM=CF．1,1+√33【考点】几何变换综合题【解析】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，角平分线定理，勾股定理，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，判断出BE=NF是解本题的关键．【解答】（1）证明：由题意得∠BMN=135∘，即∠BME+∠EMN=135∘．∵∠EMF=135∘，即∠NMF+∠EMN=135∘，∵MN⊥AC，∴∠MNF=90∘=∠B，∴∠BME=∠NMF，∵BM=NM，∴△NMF≅△BME(ASA)，∴BE=NF，BM=MN，∵在Rt△MNC中，∠C=45∘，∴CN=NM，∵FN+CF=CN，∴BE+CF=BM；（2）证明：题图中②中，BE−CF=BM；题图③中，BE+BM=CF．（3）故答案为：1；1+√33某书店现有资金7700元，计划全部用于购进甲、乙、丙三种图书共20套，其中甲种图书每套500元，乙种图书每套400元，丙种图书每套250元．书店将甲、乙、丙三种图书的售价分别定为每套550元，430元，310元．设书店购进甲种图书x套，乙种图书y 套，请解答下列问题：（1）请求出y与x的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；（2）若书店购进甲、乙两种图书均不少于1套，则该书店有几种进货方案？（3）在（1）和（2）的条件下，根据市场调查，书店决定将三种图书的售价作如下调整：甲种图书的售价不变，乙种图书的售价上调a（a为正整数）元，丙种图书的售价下调a元，这样三种图书全部售出后，所获得的利润比（2）中某方案的利润多出20元，请直接写出书店是按哪种方案进的货及a的值．【答案】根据题意得购进丙种图书(20−x−y)套，则有500x+400y+250(20−x−y)= 7700，x+18；所以解析式为：y=−53x+18≥1，根据题意得：−53解得：x≤101，5又∵x≥1，∴1≤x≤101，5因为x，y，(20−x−y)为整数，∴x=3，6，9，即有三种购买方案：①甲、乙、丙三种图书分别为3套，13套，4套，②甲、乙、丙三种图书分别为6套，8套，6套，③甲、乙、丙三种图书分别为9套，3套，8套，（不是正整数，不符合题意），若按方案一：则有13a−4a=20，解得a=209若按方案二：则有8a−6a=20，解得a=10（符合题意），若按方案三：则有3a−8a=20，解得a=−4（不是正整数，不符合题意），所以购买方案是：甲种图书6套，乙种图书8套，丙种图书6套，a=10．【考点】二元一次方程组的应用——行程问题一元一次不等式的运用一次函数的应用【解析】（1）根据题意列出函数解析式即可；（2）根据题意列出不等式，进而解答即可；（3）根据（2）中解集得出购买方案．【解答】根据题意得购进丙种图书(20−x−y)套，则有500x+400y+250(20−x−y)= 7700，x+18；所以解析式为：y=−53x+18≥1，根据题意得：−53解得：x≤101，5又∵x≥1，∴1≤x≤101，5因为x，y，(20−x−y)为整数，∴x=3，6，9，即有三种购买方案：①甲、乙、丙三种图书分别为3套，13套，4套，②甲、乙、丙三种图书分别为6套，8套，6套，③甲、乙、丙三种图书分别为9套，3套，8套，（不是正整数，不符合题意），若按方案一：则有13a−4a=20，解得a=209若按方案二：则有8a−6a=20，解得a=10（符合题意），若按方案三：则有3a−8a=20，解得a=−4（不是正整数，不符合题意），所以购买方案是：甲种图书6套，乙种图书8套，丙种图书6套，a=10．菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线AC与BD的交点E恰好在y轴上，过点D和BC的中点H的直线交AC于点F，线段DE，CD的长是方程x2−9x+18= 0的两根，请解答下列问题：（1）求点D的坐标；（2）若反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点H，则k=________；（3）点Q在直线BD上，在直线DH上是否存在点P，使以点F，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】x2−9x+18=0，(x−3)(x−6)=0，x=3或6，∵CD>DE，∴CD=6，DE=3，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AE=EC=√62−32=3√3，∴∠DCA=30∘，∠EDC=60∘，Rt△DEM中，∠DEM=30∘，∴DM=12DE=32，∵OM⊥AB，∴S菱形ABCD =12AC⋅BD=CD⋅OM，∴12×6√3×6=60M，OM=3√3，∴D(−32, 3√3)；9√3①∵DC=BC，∠DCB=60∘，∴△DCB是等边三角形，∵H是BC的中点，∴DH⊥BC，∴当Q与B重合时，如图1，四边形CFQP是平行四边形，∵FC=FB，∴∠FCB=∠FBC=30∘，∴∠ABF=∠ABC−∠CBF=120∘−30∘=90∘，∴AB⊥BF，CP⊥AB，Rt△ABF中，∠FAB=30∘，AB=6，∴FB=2√3=CP，∴P(92, √3)；②如图2，∵四边形QPFC是平行四边形，∴CQ // PH，由①知：PH⊥BC，∴CQ⊥BC，Rt△QBC中，BC=6，∠QBC=60∘，∴∠BQC=30∘，∴CQ=6√3，连接QA，∵AE=EC，QE⊥AC，∴QA=QC=6√3，∴∠QAC=∠QCA=60∘，∠CAB=30∘，∴∠QAB=90∘，∴Q(−92, 6√3)，由①知：F(32, 2√3)，由F到C的平移规律可得P到Q的平移规律，则P(−92−3, 6√3−√3)，即P(−152, 5√3)；③如图3，四边形CQFP是平行四边形，同理知：Q(−92, 6√3)，F(32, 2√3)，C(92, 3√3)，∴P(212, −√3)；综上所述，点P的坐标为：(92, √3)或(−152, 5√3)或(212, −√3)．【考点】反比例函数综合题【解析】（1）先解方程可得CD 和DE 的长，根据直角三角形的性质可得∠DCA =30∘，分别计算AC 、BD 、DM 的长，根据菱形面积的两种计算方法可得高OM 的长，得D 的坐标；（2）根据（1）中的结论可得B 和C 的坐标，根据中点坐标公式可得H 的坐标，代入反比例函数可得k 的值；（3）分三种情况：①以CF 为边时，在CF 的上方，②以CF 为边，在CF 的下方，③以CF 为对角线时，分别根据平移规律求点P 的坐标．【解答】x 2−9x +18=0，(x −3)(x −6)=0，x =3或6，∵ CD >DE ，∴ CD =6，DE =3，∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AC ⊥BD ，AE =EC =√62−32=3√3，∴ ∠DCA =30∘，∠EDC =60∘，Rt △DEM 中，∠DEM =30∘，∴ DM =12DE =32， ∵ OM ⊥AB ，∴ S 菱形ABCD =12AC ⋅BD =CD ⋅OM ，∴ 12×6√3×6=60M ，OM =3√3， ∴ D(−32, 3√3)；∵ OB =DM =32，CM =6−32=92，∴ B(32, 0)，C(92, 3√3)，∵ H 是BC 的中点，∴ H(3, 3√32)， ∴ k =3×3√32=9√32； 故答案为：9√32；①∵ DC =BC ，∠DCB =60∘，∴△DCB是等边三角形，∵H是BC的中点，∴DH⊥BC，∴当Q与B重合时，如图1，四边形CFQP是平行四边形，∵FC=FB，∴∠FCB=∠FBC=30∘，∴∠ABF=∠ABC−∠CBF=120∘−30∘=90∘，∴AB⊥BF，CP⊥AB，Rt△ABF中，∠FAB=30∘，AB=6，∴FB=2√3=CP，∴P(92, √3)；②如图2，∵四边形QPFC是平行四边形，∴CQ // PH，由①知：PH⊥BC，∴CQ⊥BC，Rt△QBC中，BC=6，∠QBC=60∘，∴∠BQC=30∘，∴CQ=6√3，连接QA，∵AE=EC，QE⊥AC，∴QA=QC=6√3，∴∠QAC=∠QCA=60∘，∠CAB=30∘，∴∠QAB=90∘，∴Q(−92, 6√3)，由①知：F(32, 2√3)，由F到C的平移规律可得P到Q的平移规律，则P(−92−3, 6√3−√3)，即P(−152, 5√3)；③如图3，四边形CQFP是平行四边形，同理知：Q(−92, 6√3)，F(32, 2√3)，C(92, 3√3)，∴P(212, −√3)；综上所述，点P的坐标为：(92, √3)或(−152, 5√3)或(212, −√3)．。
