第二十三章旋转课文练习及答案

第二十三章旋转23． 1图形的旋转1．以下事件中，属于旋转运动的是A ．小明向北走了 4 米B．小朋友们在荡秋千时做的运动C．电梯从 1 楼到 12 楼D．一物体从高空坠下2．将图 23-1-8 按顺时针方向旋转()90°后获得的是( ) 图23-1-83．如图 23-1-9，在 6×4 方格纸中，格点三角形甲经过旋转后获得格点三角形乙，则其旋转中心是 (A ．格点C．格点MP)B．格点D．格点NQ图 23-1-9图23-1-104．如图 23-1-10，△ ABO 绕着点 O 旋转至△ A1 B1O，此时：(1)点 B 的对应点是 ______．(2)旋转中心是 ________，旋转角是 ____________ ．(3)∠ A 的对应角是 ________，线段 OB 的对应线段是 __________ ．5．如图23-1-11，将△ ABC 绕点 A 逆时针旋转30°获得△ AEF ，连结EB，则∠ AEB ＝____________.图 23-1-11图23-1-126．如图23-1-12，以点O 为旋转中心，将∠ 1 按顺时针方向旋转100 °获得∠ 2，若∠ 1 ＝40°，则∠ 2 的余角为 ____________度．7．如图 23-1-13，在画有方格图的平面直角坐标系中，△ABC 的三个极点均在格点上．(1)△ ABC 是 __________三角形，它的面积等于________；(2)将△ ACB 绕点 B 按顺时针方向旋转 90°，在方格图顶用直尺画出旋转后对应的△ A′C′B，则点 A′的坐标是 (__， __)，点 C′的坐标是 (__， __)．图23-1-138．已知：如图23-1-14，点 P 是正方形内一点，△ABP 旋转后能与△ CBE 重合．(1)△ ABP 旋转的旋转中心是什么？旋转了多少度？(2)若 BP＝ 2，求 PE 的长．图23-1-149．如图 23-1-15，四边形 EFGH 是由四边形 ABCD 经过旋转获得的．假如用有序数对 (2,1) 表示方格纸上点 A 的地点，用 (1,2)表示点 B 的地点，那么四边形 ABCD 旋转获得四边形 EFGH 时的旋转中心用有序数对表示是 ____________ ．图23-1-1510．如图 23-1-16， K 是正方形 ABCD 内一点，以 AK 为一边作正方形 AKLM ，使点 L ， M 在AK 的同旁，连结 BK 和 DM ，试用旋转性质说明线段 BK 与 DM 的大小关系．图23-1-1623． 2中心对称第 1 课时中心对称与中心对称图形1．以下命题正确的个数是()①对于中心对称的两个三角形是全等三角形；②两个全等三角形必然对于某一点成中心对称；③两个三角形对应点的连线都经过同一点，则这两个三角形对于该点成中心对称；④对于中心对称的两个三角形，对称点的连线都经过对称中心．A ． 1 个B． 2 个C．3 个D． 4 个2．如图 23-2-8，已知菱形ABCD 与菱形 EFGH 对于直线BD 上某个点成中心对称，则点 B 的对称点是 ()图23-2-8A ．点 EB ．点 F C．点 G D．点 H3．下边的图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是()4．如图 23-2-9 的四组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有________组．图23-2-95．在图 23-2-10 中，作出△ ABC 对于点 E 成中心对称的图形．图23-2-106．一块如图23-2-11 所示的钢板，如何用一条直线将其分红面积相等的两部分？图23-2-117．已知：如图23-2-12，已知△ ABC，点 O 为 BC 的中点．(1)画出△ ABC 绕边 BC 的中点 O 旋转 180 °获得的△ DCB ；(2)求证：四边形ABDC 是平行四边形．图23-2-128．如图 23-2-13，已知 BC 为等腰三角形纸片 ABC 的底边， AD ⊥ BC，∠ BAC≠90°，将此三角形纸片沿 AD 剪开，获得两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平行四边形，则能拼出中心对称图形________个．图23-2-139．如图 23-2-14，在每个边长均为 1 的小正方形的方格纸中，△ ABC 的极点和点 O 均与小正方形的极点重合．(1)在方格纸中，将△ABC 向下平移 5 个单位长度获得△A1B1C1，请画出△ A1B1C1；(2)在方格纸中，将△ABC 绕点 O 旋转 180 °获得△ A2B2C2，请画出△ A2B2 C2.图23-2-1410．如图 23-2-15，在 4× 3 的网格上，由个数同样的白色方块与黑色方块构成的一幅图案，请依据此图案分别设计出切合要求的图案 ( 注：①不得与原图案同样；②黑白方块的个数同样 )．图23-2-15(1)是轴对称图形，又是中心对称图形；(2)是轴对称图形，但不是中心对称图形；(3)是中心对称图形，但不是轴对称图形．第 2 课时对于原点对称的点的坐标1. 在平面直角坐标系中，与点(2，－ 3)对于原点中心对称的点是 ()A ． (－ 3,2) B． (3，－ 2)C．( －2,3) D． (2,3)2．如图 23-2-17，矩形 OABC 的极点 O 为坐标原点，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为 (2,1)．如果将矩形 OABC绕点O旋转180°，旋转后的图形为矩形OA1B1C1，那么点 B1的坐标为 ()图23-2-17A ． (2,1)B．( －2,1)C．( －2，－ 1)D． (2，－ 1)3．如图 23-2-18，已知平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与 BD 交于平面直角坐标系的原点，点 D 的坐标为 (3,2)，则点 B 的坐标为 ()A ． (－ 2，－ 3)B． (－ 3,2)C．(3，－ 2)D． (－ 3，－ 2)图 23-2-18 图 23-2-19 4．如图 23-2-19，暗影部分构成的图案既是对于x 轴成轴对称的图形，又是对于坐标原点 O 成中心对称的图形，若点 A 的坐标是 (1,3) ，则点 M 和点 N 的坐标分别为 ()A ． M (1，－ 3)， N(－ 1，－ 3)B．M (－ 1，－ 3)， N(－1,3)C．M (－ 1，－ 3)， N(1，－ 3)D． M (－1,3)， N(1，－ 3)5．在数轴上，点 A，B 对应的数分别为2，x－5，且 A， B 两点对于原点对称，则x 的值为 ____________ ．x＋ 16．如图 23-2-20，△ ABC 三个极点的坐标分别为A(－2,3)， B(－ 3,1)，C(－ 1,2)．图23-2-20(1)将△ ABC 向右平移 4 个单位，画出平移后的△A1B1C1；(2)画出△ ABC 对于 x 轴对称的△ A2B2C2；(3)将△ ABC 绕原点 O 旋转 180 °，画出旋转后的△A3 B3C3；(4)在△ ABC，△ A1B1C1，△ A2B2C2，△ A3B3C3中， ________与 ________成轴对称，对称轴是 ______； ______与 ______成中心对称，对称中心是____________________．7．在平面直角坐标系中，若点P( x－2， x)对于原点的对称点在第四象限，则x 的取值范围是 ________．8．若△ ABC 的三边为a， b， c，且点 A(|c－ 2|,1)与点 B( b－ 4，－ 1)对于原点对称，|a －4|＝ 0，则△ ABC 是 ______三角形．9．如图 23-2-21，以下网格中，每个小方格的边长都是 1.(1)分别作出四边形ABCD 对于 x 轴、 y 轴、原点的对称图形；(2)求出四边形ABCD 的面积．图23-2-2110．如图23-2-22，在直角坐标系中，已知点P(－ 2，－ 1)，点T(t,0) 是x 轴上的一个动点．(1)求点 P 对于原点的对称点P′的坐标；(2)当 t 取何值时，△P′ TO 是等腰三角形？图23-2-2223． 3课题学习图案设计1．以下基本图形中，经过平移、旋转或轴对称变换后，不可以获得如图23-3-6 的是 ()图23-3-62．要在一块长方形的空地上修筑一个既是轴对称图形又是中心对称图形的花坛，以下图案中不切合设计要求的是()3．经过平移和旋转变换能够将甲图案变为乙图案的是()4．在俄罗斯方块的游戏中，已拼好的图案如图 23-3-7，现又出现一小方格体正向下运动，为了使全部图案消逝，你一定进行以下哪项操作，才能拼成一个完好图案，使其自动消失()图23-3-7A ．顺时针旋转90°，向右平移B．逆时针旋转90°，向右平移C．顺时针旋转90°，向下平移D．逆时针旋转90°，向下平移5．如图 23-3-8，桌面上有两个完好同样的直角三角形，在它们所能拼成的部分图形中，运用旋转、平移能够拼成的图形是()图23-3-86．如图23-3-9，五角星的极点是一个正五边形的五个极点．这个五角星能够由一个基本图形 (图中的暗影部分) 绕中心 O 起码经过 ______次旋转而获得，每一次旋转________度．图23-3-97．图 23-3-10 是由 4 个正三角形构成的，它能够看作由此中一个正三角形经过如何的变化获得的？图23-3-108．已知图形 B 是一个正方形，图形 A 由三个图形 B 构成，如图23-3-11，请用图形 A 与 B 合拼成一个轴对称图形，并把它画在图23-3-12 所示网格中．图23-3-11图23-3-129．如图 23-3-13，方格纸中有三个点 A， B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边 (包含极点 )上，且四边形的极点在方格的极点上．(1)在图 23-3-14 甲中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；(2)在图 23-3-14 乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；(3)在图 23-3-14 丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．图23-3-13图23-3-1410．在平面上， 7 个边长均为 1 的等边三角形，分别用①至⑦表示(如图 23-3-15)．从④⑤⑥⑦构成的图形中，拿出一个三角形，使剩下的图形经过一次平移，与①②③构成的图形拼成一个正六边形．(1)拿出的是哪个三角形？写出平移的方向和平移的距离；(2)将拿出的三角形随意搁置在拼成的正六边形所在平面上，问：正六边形没有被三角5？请说明原因．形遮住的面积可否等于2图23-3-15第二十三章旋转23． 1图形的旋转【课后稳固提高】1． B 2.A 3.B4． (1) 点 B1(2)点 O∠ AOA1或∠ BOB1(3)∠ A1OB15． 75° 6.507． (1) 等腰直角三角形 5(2)按题意要求画出图形，由图D9 能够看出， A′ (3,3)， C′ (0,2)．8．解： (1) △ABP 旋转的旋转中心是点(2)由旋转的性质，得PB＝ BE，∠ PBE 是旋转角，为90°.图 D9B，按顺时针方向旋转90°.∴ PE＝PB 2＋ BE2＝ 2 2.9． (5,2) 分析：第一确立坐标轴，依据旋转的性质，对应点连线的垂直均分线都经过旋转中心．故连结 DH， AE，作它们的垂直均分线，垂直均分线的交点即为旋转中心．10．解：∵四边形ABCD ，四边形AKLM 是正方形，∴ AB＝ AD ， AK＝ AM，且∠ BAD＝∠ KAM ＝ 90°，且为旋转角．∴△ ADM 是以点 A 为旋转中心，∠BAD 为旋转角，由△ABK 按逆时针旋转而成的．∴BK＝ DM .23． 2中心对称第1 课时中心对称与中心对称图形【课后稳固提高】1． B 2.D 3.D4． 3分析：(1)(2)(3)切合条件．5．解：如图 D13.图D136．解：如图 D14，将图形分红两个矩形，画一条同时经过两个矩形中心的直线即可．有三种思路：图D147． (1) 解：如图 D15.图D15(2)证明：由于△ DCB 是由△ ABC 绕点 O 旋转 180 °所得，因此点 A 和 D ， B 和 C 对于点 O 中心对称．因此 OB ＝OC， OA＝ OD .因此四边形ABDC 是平行四边形．8． 39．解： (1) 、 (2)如图 D16.图D1610．解： (1) 如图 D17.(2)如图 D18.(3)如图 D19.图 D17图D18图D19 第2 课时对于原点对称的点的坐标【课后稳固提高】1． C 2.C 3.D4． C 分析：点 A 与点 N 对于 x 轴对称，点 A 与点 M 对于原点对称．5． 16．解： (1) ～ (3)作图略；(4)△ A2B2C2 △ A3B3C3 y 轴△ A1B1C1△ A3B3C3 (2,0)7．0＜x＜ 2 分析：点 P(x－2， x)对于原点的对称点的坐标为(2－x，－ x)，由题意，得2－ x＞ 0，解得 0＜ x＜ 2.－x＜ 0.8．等腰9．解： (1) 如图 D21 所示．图D211(2)四边形 ABCD 的面积＝ 2S△ABD＝ 2× ×2× 1＝ 2.10．解： (1)点 P 对于原点的对称点P′的坐标为 (2,1)．(2)OP′＝ 5.①动点 T 在原点左边．当TO＝ P′ O＝ 5时，△ P′ TO 是等腰三角形，∴点 T(－ 5， 0)．②动点 T 在原点右边．①当 TO＝ TP′时，△5， 0；P′ TO 是等腰三角形，得 T 4②当 TO＝ P′ O 时，△ P′ TO 是等腰三角形，得点 T( 5， 0)；③当 TP′＝ P′ O 时，△ P′ TO 是等腰三角形，得点T(4,0)．5综上所述，切合条件的t 的值为－5，4， 5， 4.23． 3 课题学习图案设计【课后稳固提高】1． C 2.D 3.D 4.A 5.C 6.4 727．解：能够看作由正三角形ADE 以 DE 为轴作轴对称，再把正三角形ADE 沿 AB，AC 方向分别平移而获得的．8．解：如图 D25.图D259．解：如图 D26( 答案不独一 )．图D2610．解： (1) 当拿出的是⑦时，将④⑤⑥向上平移 1，如图 D27(1) ；当拿出的是⑤时，将⑥⑦向上平移 2，如图 D27(2) ．图 D273，则五个等边三角形的面积和为 5 3，而正六边形(2)能．每个等边三角形的面积为4 43 3 5 3 5 3 3 5，而 4 < 2< 2 ，因此正六边形没有被三角形遮住的面积能等于2.的面积为 2。

人教版九年级上册数学第二十三章旋转含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转（）度才能与它本身重合．A.60°B.120°C.180°D.360°2、下列标识中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3、如图，将Rt△ABC绕直角顶点A，沿顺时针方向旋转后得到Rt△AB1C1，当点B1恰好落在斜边BC的中点时，则∠B1AC＝（）A.25°B.30°C.40°D.60°4、下面四个图案依次是我国汉字中的“福禄寿喜”的艺术字图．这四个图案中是中心对称图形的是（）A.①②B.②③C.②④D.②③④5、如图，在的正方形网格中，绕某点旋转，得到，则其旋转中心可以是（）A.点EB.点FC.点GD.点H6、下列选项中的图形，不属于中心对称图形的是( )A. B. C. D.7、下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.8、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.9、如图，下列图形绕直线l旋转一周后，能得到圆锥体的是（）A. B. C. D.10、如图，OA=OB=6cm，线段OB从与OA重合的位置开始沿逆时针方向旋转120°，在旋转过程中，设AB的中点为P（当OA与OB重合时，记点P与点A 重合），则点P运动的路径长为（）A.6cmB.4πcmC.2πcmD.3cm11、如图，在平面直角坐标系中，点A，P分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，是等边三角形，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，则点C的坐标为（）A. B. C. D.12、如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣5）（0≤x≤5），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，得到一“波浪线”，若点P（2018，m）在此“波浪线”上，则m的值为（）A.4B.﹣4C.﹣6D.613、如图，把绕点顺时针旋转35°得到，，交于点，若，则的度数为（）A.25°B.35°C.45°D.55°14、下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.15、在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论①△AEF≌△AED;②∠AED＝45°;③BE＋DC＝DE; ④BE ＋DC ＝DE ，其中正确的是（）A.②④B.①④C.②③D.①③二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝70°，将△ABC绕点A顺时针旋转70°，点B，C旋转后的对应点分别是点D和E，连接BD，则∠BDE的度数是________．17、点P(1,-1)关于原点对称的点的坐标是________.18、如图，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标是________.19、在4×4的方格中有四个同样大小的正方形如图摆放，再添涂一个空白正方形，使它与原来的四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添涂方法共有________种．20、如图，A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），C点的坐标为（5，3），D点的坐标为（3，﹣1），小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是________．21、如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m=________．22、如图，在中，于点D，点E在线段BD上，F为AC边的中点，将线段EF绕点E逆时针旋转得到EG，点G落在AB边上，若，，，则线段EF的长为________．23、如图所示的花朵图案，至少要旋转________度后，才能与原来的图形重合．24、如图,在平面直角坐标系中,已知点A(1,1),以点O为旋转中心,将点A逆时针旋转到点B的位置,则弧AB的长为________25、如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，作正方形DEFG，连接AE，若BC=DE=2，将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转，在旋转过程中，当AE为最大值时，则AF的值________.三、解答题(共5题，共计25分)26、已知点P(2x，y2+4)与Q(x2+1，-4y)关于原点对称，求x+y的值。

一、选择题1．如图，在ABC 中，15B ∠=︒，将ABC 绕点A 逆时针旋转得到ADE ，当点B ，C ，D 恰好在同一直线上时，50CAD ∠=︒，则E ∠的度数为（ ）A ．50°B ．75°C ．65°D ．60°C解析：C【分析】 由旋转的性质得出AD=AB ，∠E=∠ACB ，由点B ，C ，D 恰好在同一直线上，则△BAD 是底角为15°的等腰三角形，求出∠BAD=150°，可得100BAC ∠=︒，由三角形内角和定理即可得出结果．【详解】解：∵将ABC 绕点A 逆时针旋转得到ADE ，∴AD=AB ，∠E=∠ACB ，∵点B ，C ，D 恰好在同一直线上，∴△BAD 是底角为15°的等腰三角形，∴∠BDA=15B ∠=︒，∴∠BAD=150°,∵50CAD ∠=︒，∴100BAC ∠=︒∴1801001565BCA -∠=︒-=，∴65E ∠=.故选：C【点睛】此题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理等知识；判断出三角形ABD 是等腰三角形是解本题的关键．2．“保护生态，人人有责”．下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（ ） A ． B ．C ．D ．D解析：D【分析】根据中心对称图形的定义对各选项分析判断即可得解．【详解】A 、不是中心对称图形，故本选项错误；B 、不是中心对称图形，故本选项错误；C 、不是中心对称图形，故本选项错误；D 、是中心对称图形，故本选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．在一个无盖的正方体玻璃容器内装了一些水，把容器按不同方式倾斜一点，容器内的水面的形状可能是（ ）A ．B ．C ．D ．A解析：A【分析】结合题意，相当于把正方体一个面，即正方形截去一个角，可以得到三角形、四边形、五边形．【详解】解：根据题意，结合实际，容器内水面的形状不可能是正方形、六边形、七边形． 故选A ．【点睛】此类问题也可以亲自动手操作一下，培养空间想象力．4．如图，在等边ABC 中，点О在AC 上，且3,6AO CO ==，点P 是AB 上一动点，连接,OP 将线段OP 绕点О逆时针旋转60︒得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是（ ）A．4B．5C．6D．8C解析：C【分析】由于将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，当点D恰好落在BC上时，易得：△ODP是等边三角形，根据旋转的性质可以得到△AOP≌△CDO，由此可以求出AP的长．【详解】解：当点D恰好落在BC上时，OP=OD，∠A=∠C=60°，如图．∵∠POD=60°∴∠AOP+∠COD=∠COD+∠CDO=120°，∴∠AOP=∠CDO，∴△AOP≌△CDO，∴AP=CO=6．故选：C．【点睛】此题要把旋转的性质和等边三角形的性质结合求解．属探索性问题，难度较大，近年来，探索性问题倍受中考命题者青睐，因为它所强化的数学素养，对学生的后续学习意义深远．5．如图，正方形OABC的两边OA，OC分别在x轴、y轴上，点D(5，3)在边AB上，以C 为中心，把△CDB旋转90º，则旋转后点D的对应点D的坐标是( )A．(-2，0) B．(-2，10) C．(2，10)或(-2，0) D．(10，2)或( -2，10)C解析：C【分析】根据题意，分顺时针和逆时针旋转两种情况解答即可．【详解】解：由题意，AB=BC=5，BD=5﹣3=2，∠B=90°，若把△CDB 顺时针旋转90º，则点D 在x 轴的负半轴上，O D =BD=2，所以点D 坐标为（﹣2，0）；若把△CDB 逆时针旋转90º，则点D 到x 轴的距离是5+5=10，到y 轴的距离是2，∴点D 的坐标为（2，10），综上，旋转后点D 的对应点D 的坐标是(2，10)或(-2，0)，故选：C ．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转、正方形的性质，熟练掌握旋转的性质，分顺时针和逆时针旋转两种情况是解答的关键．6．如图：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，现将△ABC 绕点C 逆时针旋转至△EFC ，使点E 恰巧落在AB 上，连接BF ，则BF 的长度为（ ）A 3B ．2C ．1D 2A解析：A【解析】 试题分析：由题意可知：∠A=60°，AC=EC ，所以△ACE 是等边三角形，所以∠CEA=∠ECA=60°，由旋转可知，∠CEF=∠A=60°，所以∠FEB=60°，因为∠ECF=∠ACB=90°，所以∠BCF=∠ACE=60°，因为CB=CF ，所以△CBF 是等边三角形，所以∠CBF=60°， ∠FBE=60°+30°=90°， △BEF 是30度角直角三角形，因为AE=AC=1，AB=2AC=2，所以BE=1，EF=2，21213-=A ．考点：1．旋转性质；2．直角三角形性质．7．如图，Rt OCB ∆的斜边在y 轴上，3OC ＝30︒角的顶点与原点重合，直角顶点C 在第二象限，将Rt OCB ∆绕原点顺时针旋转120︒后得到'OC B ∆'，则B 点的对应点B ′的坐标是（ ）A ．(3,1)-B ．(1,3)-C ．(2,0)D ．(3,0)A解析：A【分析】 如图，利用含30度的直角三角形三边的关系得到1BC =，再利用旋转的性质得到3,1,90OC OC B C BC B C O BCO ====∠''''=='∠︒，然后利用第四象限点的坐标特征写出点B ′的坐标．【详解】如图，在Rt OCB ∆中，30BOC ∠=︒，333133BC OC ∴==⨯=， Rt OCB ∆绕原点顺时针旋转120︒后得到'OC B ∆'，3,1,90OC OC B C BC B C O BCO ∴====''''∠'=∠=︒，∴点B ′的坐标为(3,1)-．故选A ．本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30456090180︒︒︒︒︒，，，，． 8．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．C解析：C【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 9．如图，点O 是矩形ABCD 的对称中心，点E 在AB 边上，连接CE ．若点B 与点O 关于CE 对称，则CB ：AB 为（ ）A ．12B ．512-C ．33D ．32C 解析：C【分析】连接DB ，AC ，OE ，利用对称得出OE ＝EB ，进而利用全等三角形的判定和性质得出OC ＝BC ，进而解答即可．【详解】解：连接DB ，AC ，OE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝DB ，∠ABC ＝90°，OC ＝OA ＝OB ＝OD ，∵点B 与点O 关于CE 对称，∴OE ＝EB ，∠OEC ＝∠BEC ，在△COE 与△CBE 中，OE BE OEC BEC CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COE ≌△CBE （SAS ），∴OC ＝CB ，∴AC ＝2BC ，∵∠ABC ＝90°，∴AB 3CB ，即CB：AB＝33，故选：C．【点睛】此题考查中心对称，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，和勾股定理，利用对称得出OE=EB是解题的关键．10．如图，△ABC的顶点在网格中，现将△ABC绕格点O顺时针旋转α角（0°＜α＜360°），使旋转后所得三角形的顶点也在格点上，则当旋转前后的图形形成轴对称图形时，符合条件的α角的度有（）A．1个B．3个C．6个D．8个B解析：B【分析】画出图形，利用图象法解决问题即可．【详解】观察图象可知，满足条件的α的值为90°或180°或270°，故选B．【点睛】本题考查了旋转变换，轴对称的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．二、填空题11．如图．面积为8的正方形ABCD的顶点A在数轴上，点A表示实数2，正方形ABCD绕点A旋转时，顶点B的运动轨迹与数轴的交点表示的数为______________或﹣【分析】先由正方形的面积公式求出AB=再根据点A 表示实数即可求出顶点B 的运动轨迹与数轴的交点表示的数【详解】解：∵正方形ABCD 的面积为8∴AB=∵点A 表示实数∴顶点B 的运动轨迹与数轴的交点表示 2或﹣32【分析】先由正方形的面积公式求出AB=22A 表示实数2-，即可求出顶点B 的运动轨迹与数轴的交点表示的数．【详解】解：∵正方形ABCD 的面积为8，∴AB=22∵点A 表示实数2-，∴顶点B 的运动轨迹与数轴的交点表示的数为2-+22或2-﹣2﹣32 232【点睛】本题考查了正方形的面积、实数和数轴、旋转的性质、算术平方根、二次根式的加减运算，理解实数与数轴的关系是解答的关键．12．点()1,2--A 绕点()10B ,旋转180︒得到点C ，则点C 坐标为_______________________．【分析】过AC 两点向x 轴作垂线构造全等三角形得到CF 和AE 相等BF 和BE 相等即可得到结果【详解】解：过点A 作AE ⊥x 轴过点C 作CF ⊥x 轴∴∠AEB=∠CFB=90°由旋转性质可得AB=BC ∵∠CBF解析：()32，【分析】过A 、C 两点向x 轴作垂线，构造全等三角形，得到CF 和AE 相等，BF 和BE 相等，即可得到结果．【详解】解：过点A 作AE ⊥x 轴，过点C 作CF ⊥x 轴，∴∠AEB=∠CFB=90°，由旋转性质可得AB=BC ，∵∠CBF=∠EBA ，∴△ABE ≌△CFB∴CF=AE ，BF=EB ，又∵EB=2，∴BF=2，CF=2，∴OF=2+1=3，∴C （3，2）故答案为：（3，2）．【点睛】本题考查旋转变换和三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线证明全等是解题的关键． 13．在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕顶点C 顺时针旋转得到A B C ''，点M 是BC 的中点，点P 是A B ''的中点，连接PM ．若4BC =，30A ∠=︒，则在旋转一周的过程中线段PM 长度的最大值等于_____．6【分析】连接PC 由直角三角形的性质及旋转的性质可得根据可进行求解【详解】解：连接PC 如图所示：在Rt △ABC 中∵∠A=30°BC=4∴AB=8根据旋转的性质可得：∴∴PC=4∵CM=BM=2又∵即 解析：6【分析】连接PC ，由直角三角形的性质及旋转的性质可得8A B AB ''==，4PC =，根据PM PC CM ≤+，可进行求解．【详解】解：连接PC ，如图所示：在Rt △ABC 中，∵∠A=30°，BC=4，∴AB=8，根据旋转的性质可得：8A B AB ''==，∴A P B P PC ''==，∴PC=4，∵CM=BM=2，又∵PM PC CM ≤+，即6PM ≤，∴PM 的最大值为6（此时P 、C 、M 共线）；故答案为6．【点睛】本题主要考查旋转的性质及直角三角形的斜边中线定理，熟练掌握旋转的性质及直角三角形的斜边中线定理是解题的关键．14．如图，平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 相交于直角坐标系的原点．若点A 的坐标为（－2，3），则点C 的坐标为___________．【分析】根据平行四边形是中心对称的特点可知点A 与点C 关于原点对称所以C 的坐标为（2-3）【详解】∵在平行四边形ABCD 中A 点与C 点关于原点对称∴C 点坐标为（2-3）故答案为：（2-3）【点睛】本题主 解析：(2,3)-【分析】根据平行四边形是中心对称的特点可知，点A 与点C 关于原点对称，所以C 的坐标为（2，-3）.【详解】∵在平行四边形ABCD 中，A 点与C 点关于原点对称，∴C 点坐标为（2，-3）．故答案为：（2，-3）．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的关系．要会根据平行四边形的性质得到点A 与点C 关于原点对称的特点，是解题的关键．15．在平面直角坐标系中，点A （-5，b)关于原点对称的点为B （a ，6），则(a+b)2019=____．-1【分析】根据关于原点对称的点横坐标与纵坐标都互为相反数可得ab再根据负数的奇数次幂是负数可得答案【详解】解：点A（-5b）关于原点对称的点为B（a6）得a=5b=-6（a+b）2019=（-1）解析：-1【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得a，b，再根据负数的奇数次幂是负数，可得答案．【详解】解：点A（-5，b）关于原点对称的点为B（a，6），得a=5，b=-6．（a+b）2019=（-1）2019=-1，故答案为：-1．【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，解题关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．16．在平面直角坐标系中，△OAB的位置如图所示，将△OAB绕点O顺时针旋转90°得△OA1B1；再将△OA1B1绕点O顺时针旋转90°得△OA2B2；再将△OA2B2绕点O顺时针旋转90°得△OA3B3；……依此类推，第2020次旋转得到△OA2020B2020，则项点A的对应点A2020的坐标是_______．（12）【分析】根据旋转的概率即可得出每旋转4次一个循环进而得到第2020次旋转得到△OA2020B2020则顶点A的对应点A2020的坐标与点A4的坐标相同【详解】解：将△OAB绕点O顺时针旋转9解析：（1，2）【分析】根据旋转的概率，即可得出每旋转4次一个循环，进而得到第2020次旋转得到△OA2020B2020，则顶点A的对应点A2020的坐标与点A4的坐标相同．【详解】解：将△OAB绕点O顺时针旋转90°得△OA1B1；此时，点A1的坐标为（2，-1）；再将△OA1B1绕点O顺时针旋转90°得△OA2B2；此时，点A2的坐标为（-1，2）；再将△OA2B2绕点O顺时针旋转90°得△OA3B3；此时，点A3的坐标为（-2，1）；再将△OA3B3绕点O顺时针旋转90°得△OA4B4；此时，点A4的坐标为（1，2）；∴每旋转4次一个循环，…依此类推，第2020次旋转得到△OA2020B2020，则顶点A的对应点A2020的坐标与点A4的坐标相同，为（1，2）；故答案为：（1，2）．【点睛】本题考查了坐标与图形变化，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．17．如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是菱形，OB＝OD＝2，∠BOD＝60°，将菱形OBCD绕点O旋转任意角度，得到菱形OB1C1D1，则点C1的纵坐标的最小值为_____．【分析】连接OC过点C作CE⊥x轴于E由直角三角形的性质可求BE＝BC＝1CE＝由勾股定理可求OC的长据此进一步分析即可求解【详解】如图连接OC过点C作CE⊥x轴于点E∵四边形OBCD是菱形∴OD∥解析：23-【分析】连接OC，过点C作CE⊥x轴于E，由直角三角形的性质可求BE＝12BC＝1，CE＝3，由勾股定理可求OC的长，据此进一步分析即可求解．【详解】如图，连接OC，过点C作CE⊥x轴于点E，∵四边形OBCD是菱形，∴OD∥BC，∴∠BOD＝∠CBE＝60°，∵CE⊥OE，∴BE＝12BC＝1，CE3∴2223OC OE CE=+=∴当点C1在y轴上时，点C1的纵坐标有最小值为3-，故答案为：23-． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 18．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90°后，得到矩形AB′C′D′，若CD ＝2，DA=2，那么CC′=____________．4【分析】根据矩形的性质可以得到再由旋转的性质可得最后根据勾股定理即可求得的长度【详解】解：∵CD=2DA=2∴根据矩形的性质可得由旋转的性质可得：∴故答案为4【点睛】本题考查旋转性质及勾股定理的综解析：4 【分析】根据矩形的性质可以得到22AC =，再由旋转的性质可得290AC CAC ︒'=∠='，，最后根据勾股定理即可求得 CC '的长度． 【详解】解：∵CD=2，DA=2， ∴根据矩形的性质可得222222AC =+=，由旋转的性质可得：290AC AC CAC ==∠'=︒'，，∴()()222222224CC AC AC '+=+'==，故答案为4． 【点睛】本题考查旋转性质及勾股定理的综合应用，根据旋转性质得到直角三角形的基础上应用勾股定理求出边的长度是解题关键．19．一副直角三角尺叠放，如图①所示，现将含45°角的三角尺ADE 固定不动，将含30°角的三角尺ABC 绕顶点A 顺时针转动（旋转角不超过180度），使两个三角尺有一组边互相平行．例如图②，当∠BAD =15°时，BC ∥DE ，当90°<∠BAD <180°时，∠BAD 的度数为___．105°或135°【分析】根据题意画出图形再由平行线的判定定理即可得出结论【详解】解：如图（1）当AC ∥DE 时∠BAD=∠DAE=45°；如图（2）当BC ∥AD 时∠DAB=∠B=60°；如图（3）当解析：105°或135° 【分析】根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图（1），当AC ∥DE 时，∠BAD =∠DAE =45°； 如图（2），当BC ∥AD 时，∠DAB =∠B =60°； 如图（3），当BC ∥AE 时， ∵∠EAB =∠B =60°，∴∠BAD =∠DAE +∠EAB =45°+60°=105°；如图（4），当AB ∥DE 时， ∵∠E =∠EAB =90°，∴∠BAD =∠DAE +∠EAB =45°+90°=135°． ∴当90°<∠BAD <180°时， ∠BAD =105°或135°． 故答案为：105°或135°． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键．20．如图，在正方形ABCD 内部有一点P ，PB =1，PC =2，135BPC ∠=︒，则PA = ____．【分析】将△PBA 沿B 点顺时针旋转90°此时A 与C 点重合P 点旋转到E 点连接PE 易证△BPE 是等腰直角三角形利用勾股定理可求出PE 的长再证明△PCE 是直角三角形利用勾股定理求出CE 的长即可得到PA 的长解析：6【分析】将△PBA 沿B 点顺时针旋转90°，此时A 与C 点重合，P 点旋转到E 点，连接PE ，易证△BPE 是等腰直角三角形，利用勾股定理可求出PE 的长，再证明△PCE 是直角三角形．利用勾股定理求出CE 的长，即可得到PA 的长． 【详解】将△PBA 沿B 点顺时针旋转90°，此时A 与C 点重合，P 点旋转到E 点，连接PE ，∴PB=BE=1，PA=EC ，∠BPE=90° ∴△PEB 是等腰直角三角形， ∴∠PEB=∠EPB =45°， ∴22， 又∵∠BPC=135°， ∴∠EPC=135°-45°=90°，∴在直角△PEC 中，()2222226PC PE +=+=∴PA=EC 6=6． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，解答此题的关键是利用旋转构建直角三角形，由勾股定理求解．三、解答题21．有这样一个问题：探究函数的图象()()2)3(1y x x x =---与性质．小东对函数()()23()1y x x x =---的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数()()23()1y x x x =---的自变量x 的取值范围是全体实数； （2）下表是y 与x 的几组对应值．x… －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 … y…m－24－662460…①m =②若()(),720,11,720M n N -为该函数图象上的两点，则n =（3）在平面直角坐标系xOy 中，如图所示，点()11,A x y 是该函数在23x ≤≤范围的图象上的最低点．①直线1y y =-与该函数图象的交点个数是②根据图象，直接写出不等式()()12()30x x x --->的解集．解析：（2）①60-；②7n =-； （3）①2；②12x <<或3x > 【分析】（2）①通过观察表格，（-2，m ），（6，60）关于 （2，0）成中心对称即可； ②由于M 与N 的函数值互为相反数，()(),720,11,720M n N -关于（2，0）成中心对称，11-2=2-n 求出即可；（3）①由点()11,A x y 是该函数在23x ≤≤范围的图象的最低点，直线1y y =-与该函数图象的有一个交点()11,A x y ,与x <1部分还有一个交点即可； ②()()12()30x x x --->分四段讨论当x<1时，x-1，x-2，x-3，判断符号即可则， 当1<x<2时，x-1，x-2，x-3， 判断符号即可则当2<x<3时，x-1，x-2，x-3，判断符号即可则 当x>3时，x-1，x-2，x-3，判断符号即可则即可求出 ()()12()30x x x --->的范围． 【详解】（2）①通过观察表格，（-2，m ），（6，60）关于 （2，0）成中心对称，m=60-； ②()(),720,11,720M n N -为该函数图象上的两点，由于M 与N 的函数值互为相反数，()(),720,11,720M n N -关于（2，0）成中心对称，11-2=2-n ，n=-7；（3）①由点()11,A x y 是该函数在23x ≤≤范围的图象的最低点直线1y y =-与该函数图象的有一个交点()11,A x y ,与x <1部分还有一个交点，直线1y y =-与该函数图象的有一个交点有2个；②()()12()30x x x --->， 分四段讨论，当x<1时，x-1<0，x-2<0，x-3<0，三负，则()()12()30x x x ---<， 当1<x<2时，x-1>0，x-2<0，x-3<0，两负一正，则()()12()30x x x --->， 当2<x<3时，x-1>0，x-2>0，x-3<0，两正一负，则()()12()30x x x ---<， 当x>3时，x-1>0，x-2>0，x-3>0，三正，则()()12()30x x x --->，()()12()30x x x --->的范围是12x <<或3x >．【点睛】本题考查多次函数的图像与性质，根据给定的表格找出函数图像关于点（2，0）中心对称是解题关键．22．（1）如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，求证：EF BE FD =+；（2）如图，四边形ABCD 中，90≠︒∠BAD ，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，则当EAF ∠与BAD ∠满足什么关系时，仍有EF BE FD =+，说明理由．解析：（1）见解析；（2）2BAD EAF ∠∠=，见解析【分析】（1）根据旋转的性质可以得到△ADG ≌△ABE ，则GF=BE+DF ，只要再证明△AFG ≌△AFE 即可．（2）延长CB 至M ，使BM=DF ，连接AM ，证△ADF ≌△ABM ，再证△FAE ≌△MAE ，即可得出答案； 【详解】（1）证明：把ABE △绕点A 逆时针旋转90°至ADG ，连结EF ，如图所示：则ADG ABE △△≌．∴AG AE =，DAG BAE ∠∠=，DG BE =， 又∵45EAF ∠=︒，∴45DAF BAE EAF ∠+∠=∠=︒， ∴GAF FAE ∠=∠， 在GAF 和FAE 中，AG AE GAF FAE AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴)(AFG AFE SAS ≌，∴GF EF =， 又∵DG BE =， ∴GF BE DF =+， ∴BE DF EF +=；（2）2BAD EAF ∠∠=．理由如下：如图所示，延长CB 至M ，使BM DF =，连接AM ．∵180ABC D ∠+∠=︒，180ABC ABM ∠+∠=︒，∴D ABM ∠=∠， 在ABM 和ADF 中，AB AD ABM D BM DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴)(ABM ADF SAS ≌，∴AF AM =，DAF BAM ∠∠=， ∵2BAD EAF ∠∠=，∴DAF BAE EAF ∠+∠=∠，∴EAB BAM EAM EAF ∠+∠=∠=∠， 在FAE 和MAE 中，AE AE FAE MAE AF AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴)(FAE MAE SAS ≌，∴EF EM BE BM BE DF ==+=+， 即EF BE DF =+． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识；作出合适的辅助线构建全等三角形是解决问题的关键．23．把两个全等的等腰直角三角板ABC 和EFG 叠放在一起（如图①），两直角三角板的直角边长均为4，且使三角板EFG 的直角顶点G 与三角板ABC 的斜边中点O 重合．现将三角板EFG 绕O 点按顺时针方向旋转（旋转角α满足条件：090α︒<<︒），四边形CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．（1）在上述旋转过程中，BH 与CK 有怎样的数量关系：________． （2）四边形CHGK 的面积有何变化？证明你发现的结论．（3）连接HK ，在上述旋转过程中，设BH x =，GKH △的面积为y ，求y 与x 之间的关系，并通过“配方法”求出GKH △面积的最小值．解析：（1）BH CK =；（2）不变，证明见解析；（3）2482x x y -+=；2【分析】（1）连接CG ，可通过证明KCG HBG ≅△△则可证得BH=CK ；（2）由KCG HBG ≅△△可得它们的面积相等，进而得出四边形CHGK 的面积不变； （3）过点G 作GQ BC ⊥于点Q ，利用等腰三角形的性质和勾股定理可求得222248GH GQ QH x x =+=-+，再利用KCG HBG ≅△△证得KGH 为等腰直角三角形，再根据三角形的面积公式可得到y 与x 之间的关系式，然后利用二次函数的最值求法即可解答． 【详解】（1）连接CG ，如图：∵ABC 为等腰直角三角形，G 为AB 中点， ∴CG BG =，45ACG CBG ∠=∠=︒， 90CGB ∠=︒，∵90KGC CGF ∠+∠=︒，90CGF FGB ∠+∠=︒， ∴KGC FGB ∠=∠，∴在KCG △与HBG 中， KCG HBG CG BGCGK BGH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()KCG HBG ASA ≅△△， ∴BH CK =， 故答案为：BH=CK ． （2）∵KCG HBG ≅△△， ∴CGK S △=GHBS∴CHGK CGK CGH S S S =+△△四边形CGH GHB S S =+△△ CGB S =△12ABC S =△4=．故四边形CHGK 面积不变，为4．（3）过点G 作GQ BC ⊥于点Q ，∵ABC 为等腰直角三角形，G 为AB 中点，∴2GQ =，2BQ =， ∴2QH x =-．故222248GH GQ QH x x =+=-+．由（1）可知GH KG =，又∵90KGH ∠=︒，∴GKH △为等腰直角三角形， ∴212GKH S GH =⨯△， ∴2482x x y -+=． ∵旋转角度为090α<<︒，∴x 的取值范围为02x <≤．又GKH △的面积：2482x x y -+= 2(2)42x -+= 2(2)2(02)2x x -=+<≤ ∵()220x -≥， ∴022y ≥+=（当x=2时取等号）．故GKH △面积最小值为2．【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的性质，通过全等三角形将面积进行转换是解答的关键，综合性很强，平时应加强对各知识的综合运用．24．如图，在一个1010⨯的正方形网格中有一个,ABC ABC ∆∆的顶点都在格点上．（1）在网格中画出ABC ∆向下平移4个单位，再向右平移6个单位得到的111A B C ∆． （2）在网格中画出ABC ∆关于点P 成中心对称得到的222A B C ∆．（3）若可将111A B C ∆绕点О旋转得到222A B C ∆，请在正方形网格中标出点O ，连接12A A 和12B B ，请直接写出四边形2211A B A B 的面积．解析：（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）画图见解析，10．【分析】（1）根据平移的方向和距离即可得到111A B C ∆；（2）根据中心对称变换的性质作图即可得到222A B C ∆；（3）根据各对应点的连线都经过旋转中心即可找到点O ，再根据平行四边形的面积公式可求得2211A B A B 的面积．【详解】()1如图所示，111A B C ∆即为所求．()2如图所示，222A B C ∆即为所求．()3如图所示，O 为所求点．∵11A B ∥22A B ，11A B =22A B ，∴四边形2211A B A B 为平行四边形，5210,S ∴=⨯=∴四边形2211A B A B 的面积为10．【点睛】本题考查了基本作图-平移变换、作图-中心对称变换、平行四边形的判定与性质，掌握平移变换和中心对称变换的性质，找到变换的对应点是解答的关键．25．如图将三角形绕点B 顺时针旋转得到A BC ''△，使点A '落在AC 上，已知45,4,2,//C BC A A C C BC '∠==︒'=求：（1）A BC '∠的度数；（2）AC 的长度．解析：（1）22.5︒；（2）4【分析】（1）根据平行和旋转的性质证明ABC 和ABA '△是等腰三角形，利用等腰三角形的性质求出A BC ∠''的度数，就可以求得A BC '∠的度数；（2）由（1）知ABC 是等腰三角形，可得AC=BC=4．【详解】解：（1）∵//AC BC '，∴AA B A BC '''∠=∠，∵旋转，∴AB A B '=，∴A AA B '∠=∠，∴A A BC ''∠=∠，∵ABC A BC ''∠=∠，∴A ABC ∠=∠，∵45C ∠=︒， ∴1804567.52A BC ABC ︒-︒''∠=∠==︒， ∵//AC BC '，∴45C CBC '∠=∠=︒，∴67.54522.5A BC A BC CBC ''''∠=∠-∠=︒-︒=︒；（2）由（1）知A ABC ∠=∠，∴AC=BC=4．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，旋转和平行的性质，解题的关键是熟练运用这些性质定理进行求解．26．在学习利用旋转解决图形问题时，老师提出如下问题：（1）如图1，点Р是正方形ABCD 内一点，1,2,3PA PB PC ===，你能求出APB ∠的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将PBC ∆绕点B 逆时针旋转90，得到'P BA ∆，连接'PP ，可求出APB ∠的度数；思路二：将PAB ∆绕点B 顺时针旋转90，得到'P CB ∆，连接'PP ，可求出APB ∠的度数．请参照小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．（2）如图2，若点P 是正方形ABCD 外一点，要使45APB ∠=，线段PA ，PB ，PC 应满足怎样的等量关系？请参考小明上述解决问题的方法进行探究，直接写出线段PA ，PB ，PC 满足的等量关系．解析：（1）135；（2）2222PA PB PC +=【分析】（1）利用旋转法构造全等三角形以及直角三角形即可解决问题．（2）将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP'A ，连接PP'．则△ABP'≌△CBP ，AP'=CP ，BP'=BP ，∠PBP'=90°，证得PA 2+P'P 2=AP'2，由△PBP'是等腰直角三角形可得出结论．【详解】（1）思路一：如图1，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP'A ，连接PP'，则△ABP'≌△CBP ，AP'=CP=3，BP'=BP=2，∠PBP'=90°∴∠BPP'=45°， 根据勾股定理得，2222'2222PP PB P B '=+=+=∵AP=1，∴AP 2+P'P 2=1+8=9，又∵P'A 2=32=9，∴AP 2+P'P 2=P'A 2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135°；思路二：将△PAB 绕点B 顺时针旋转90°，得到△P′CB ，连接PP′，∴P'B=PB=2，P'C=AP=1，∠P'BP=90°，∠APB=∠BP'C，∴∠BP'P=45°，2222'=+=+=，'2222PP PB P B∵PC=3，P'C=1，∴P'C2+PP'2=PC2，∴∠PP'C=90°，∴∠BP'C=∠BP'P+∠PP'C=45°+90°=135°，∴∠APB=∠BP'C=135°；（2）线段PA，PB，PC满足的数量关系是PA2+2PB2=PC2．如图3，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'．则△ABP'≌△CBP，AP'=CP，BP'=BP，∠PBP'=90°，∴∠BPP'=45°，∵∠APB=45°，∴∠APP'=∠APB+∠BPP'=45°+45°=90°，∴PA2+P'P2=AP'2，又∵△PBP'是等腰直角三角形，∴PB2+P'B2=2PB2=P'P2，∴PA2+2PB2=PC2．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．27．如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）将△ABC以x轴为对称轴，画出对称后的△A1B1C1；（2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2.解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）依据轴对称的性质，即可画出对称后的△A1B1C1；（2）依据旋转变换，即可画出旋转后的△A2B2C2．【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所求的三角形；（2）如图，△A2B2C2为所求的三角形；【点睛】本题考查了利用轴对称变换和旋转变换作图以及勾股定理的运用，解答本题的关键是掌握旋转的性质及轴对称的性质．28．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，若AB＝3，BC＝4，求BD的长？解析：5【分析】连接BE，如图，根据旋转的性质得∠BCE=60°，CB=CE，BD=AE，再判断△BCE为等边三角形得到BE=BC=4，∠CBE=60°，从而有∠ABE=90°，然后利用勾股定理计算出AE即可．【详解】解：连接BE，如图，∵△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，∴∠BCE=60°，CB=CE，BD=AE，∴△BCE为等边三角形，∴BE=BC=4，∠CBE=60°，∵∠ABC=30°，∴∠ABE=90°，在Rt△ABE中，223+4=5，∴BD=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．。

人教版九年级上册数学第二十三章旋转含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0 α 180°）得到△ADE，若DE AB，则α的值为（）A.65°B.75°C.85°D.130°2、观察下列图形，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3、如图，将△ABC绕着点A顺时针旋转120°得到△ADE．若点C、D、E在同一条直线上．∠BAC=20°. 则∠ADC 的度数为（）A.20°B.30°C.50°D.60°4、如图所示的图形绕虚线旋转一周，所形成的几何体是（）A. B. C. D.5、下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.6、如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为（）A.（0，1）B.（1，﹣1）C.（0，﹣1）D.（1，0）7、如下图所示，在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转a度，得到△A1BC1， A1B交AC于A点E，A1C1分别交AC，BC于点D、F，下列结论：①∠CDF=a，②DF=FC，③A1E=CF，④AD=CE，⑤A1F=CE．其中一定正确的有( )A.①②④B.①③⑤C.②③⑤D.③④⑤8、以下国产新能源电动车的车标图案不是轴对称图形的是（）A. 北汽新能源B. 长城新能源C.东风新能源 D. 江淮新能源9、如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是（）A. B.13π C.25π D.2510、在平面直角坐标系中，点的坐标为，以原点为中心，将点顺时针旋转得到点，则点的坐标为（）A. B. C. D.11、下列轴对称图形中，对称轴的条数四条的有（）个．A.1B.2C.3D.412、下面四个图案是某种衣物的洗涤说明标识．其中没有用到图形的平移，旋转或轴对称设计的是（）A. B. C. D.13、在四张完全相同的卡片上，分别画有圆、菱形、等腰三角形正六边形，现从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是（）A. B. C. D.114、如图是奥迪汽车的标志，则标志图中所包含的图形变换没有的是（）A.平移变换B.轴对称变换C.旋转变换D.相似变换15、在平行四边形、等腰梯形、等腰三角形、矩形、菱形五个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到（点B的对应点是，点的对应点是），连接．若，则________ ．17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，将这个梯形绕点D按顺时针方向旋转，使点C落在边AD上的点C′处，点B落在点B′处，如果直线B′C′经过点C，那么旋转角等于________度．18、如图，将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE=90°，AB=1，则BD=________．19、已知点A（﹣2，3），则点A关于x轴的对称点A1的坐标为________；关于y轴对称点A2的坐标为________，关于原点的对称点A3的坐标为________．20、如图所示直线y= x+ 与x轴、y轴分别交于点A、B，当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时，点B运动到点B1，线段BB1长度为________．21、如图，三角形ABC绕点A逆时针旋转90°到三角形AB'C'的位置．已知∠BAC=36°，则∠B'AC=________度。