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2 2a 4
2
5
x
2时,
ymax
4a
2(2a
1)
1
3. a
1 2
2 5
7
6
5
fx = ax2+2a-1x+1
隐藏 函数图像
4
隐藏 四边形
隐藏 轨迹
3
3
a = 0.50
2
1
拖动点
-6
-4
-2 -3/2
o 1 22
4
6
8
10
-1
-2
-3
-4
若 1 1 2a 2,则 a 1 2a 4a,即 1 a 2 时
4
3 2M
2
1
-8
-6
-4
-2
M
N
o
12
4
6
8
-1
解法一 y x 12 2,函数对称轴为x 1 1当1 m时,函数在[m, n]上单调递减.
m2 2m 1 2n n2 2n 1 2m
相减得n mn m 4n m 0,m nn m 4 n2 2n 1 24 n,n2 4n 7 0,无解.
fx = -x2+2x+1 xM = 1.56 xN = 3.62
3.二次函数在某一闭区间上的最大值不大于其 在全体实数集上的最大值.
解：
（1）当a 3 时， 2
函数在 23，2上单调递减
x
3 2
时，ym a x
3 2
2
2a
3 2
1
3a
5 4
.
10
fx = -x2+2ax+1
隐藏 函数图像
隐藏 四边形 8
隐藏 轨迹
a = -2.28 6
4
2
拖动点
-5
x
3 2
时,
ymax
3,
a
2 3
(1,0)
7
6
5
fx = ax2+2a-1x+1 4
隐藏 函数图像
隐藏 四边形 隐藏 轨迹
3
3
a = -0.66 2
1
拖动点
-6
-4
-2 -3/2
o 1 22
4
6
8
10
-1
-2
-3
-4
若 3 1 2a 2，则 3a 1 2a 4a，即a 1时 2 2a
x1 = 1.00 3
隐藏 函数图像
2
1
-6
-4
-2 -2
0 12
4
6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
fx = -x2+2x+1
x1 = 1.00
隐藏 函数图像
-4
-2
3 2 1
0
12
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
-6
fx = -x2+2x+1
x1 = 1.00
3
隐藏 函数图像
2
8
10
12
1
-4
-2 -1
-3/2 o 1 2
5
10
15
-2
-4
-6
2当 3 a 2时，
2 x a时，ymax 1 a2
10
fx = -x2+2ax+1
隐藏 函数图像 隐藏 四边形
8
隐藏 轨迹
a = 1.28 6
4
2
拖动点
-5
-3/2 o 1 2
5
10
15
-2
-4
-6
(3)当a 2时,
函数在
3 2
,2上单调递增
1
拖动点
-6
-4
-2 -3/2
o 1 22
4
6
8
10
-1
-2
-3
-4
若x
1
2a 2a
时，函数有最大值，则ym
ax
1
（1
2a）2 4a
3
4a2 4a 1 0，a 1 ，此时y 1 x2 2x 1，对称轴为
2
2
x 2,2 [ 3 ,2],不符合题意. 2
综上所述, a 1 或 2 . 23
4 2a
2
6
5
x
3 2
时,
ymax
9 4
a
3 2
2a
1 1
3, a
2 3
[1 6
,
2) 5
若1 2a 2,则1 2a 4a,即0 a 1 时
2a
6
x
3 2
时,
ymax
9 4
a
3a
3 2
1
3a
2 3
(0,
1) 6
当a 0时
若1 2a 3 ,则1 2a 3a,即1 a 0时 2a 2
x
1
2a 2a
时，
ym
ax
1
1 2a2
4a
3，a
1 （ ，1] 2
若1 2a 2,则1 2a 4a,即a 1 ,矛盾.
2a
6
综上所述: a 1 或a 2
2
3
解法二：二次函数的最值应该在函数的定义域（闭区间） 的端点处或图象顶点处取到.
若x
3 2
时,函数有最大值,
则ym
ax
9 4
思考题：已知二次函数y x2 2x 1,问是否存在实数m, nm n,
使此函数的定义域为m, n且值域为2m,2n,若存在,求出m, n值.若不
存在, 请说明理由.
思考题：已知二次函数y x2 2x 1在区间0, a上的最大值为2,最小值
为1, 求a的取值范围.
一般地,设函数y f x在x0处的函数值是f x0 . 如果对于定义域内任意x,不等式f x f x0 都成立, 那么f x0 叫做函数y f x的最大值,记作ymax f x0 . 如果对于定义域内任意x,不等式f x f x0 都成立, 那么f x0 叫做函数y f x的最小值,记作ymin f x0 .
a
3 2
(2a
1)
1
3
a 2 3
此时y 2 x2 7 x 1, 对称轴x 7 ,函数在[ 3 ,2]上
33
4
2
单调递减, 符合题意.
7
6
5
fx = ax2+2a-1x+1 4 隐藏 函数图像
隐藏 四边形 隐藏 轨迹
3
3
a = -0.66 2
1
拖动点
-6
-4
-2 -3/2
o 1 22
4
6
二次函数的最值问题
基本问题：二次函数y x2 2x 1有最大值吗?有最小值吗?
分别在区间 : 1 2,0,21,2,30,3,42,3上探求函数的最大值
和最小值.
问题1：二次函数
y
x2
2ax 1在
3 2
,2上的最大值是多少
?
问题2：二次函数
y
ax2
2a
1x
1在
3 2
,2上有最大值
3,
求a的值.
x 2时, ymax 4a 3
10
fx = -x2+2ax+1
隐藏 函数图像 隐藏 四边形
8
隐藏 轨迹
a = 2.83 6
4
2
拖动点
-5
-3/2 o 1 2
5
10
15
-2
-4
-6
解法一:
当a 0时
若1 2a 3 ,则1 2a 3a,a 1,矛盾 2a 2
若 3 1 2a 1 ,则 3a 1 2a 1 ,即a 2 时ຫໍສະໝຸດ 01 224
-1
-2
-3
-4
-5
-6
fx = -x2+2x+1
3
x1 = 1.00
2 隐藏 函数图像
1
-4
-2
6
8
10
O 1 22
34
-1
-2
-3
-4
-5
-6
6
8
10
6
8
1.开口方向一定的二次函数在闭区间上的最 值与对称轴相对于闭区间的位置有关.
2.闭区间上二次函数的最值只可能在区间的 两个端点及图象的顶点处取得.
8
10
-1
-2
-3
-4
若x 2时,函数有最大值,则ymax 4a 2(2a 1) 1 3
a 1 ,此时, y 1 x2 1, 对称轴为x 0且 0 ( 3) 2 0
2
2
2
符合题意.
7
6
5
fx = ax2+2a-1x+1
隐藏 函数图像
4
隐藏 四边形
隐藏 轨迹
3
3
a = 0.50
2
