§1 机械振动 课后练习

弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为。

设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。

解：设物体质量为m，弹簧刚度为k，贝mg k，即：n -k/m.g/取系统静平; 衡位f置为原点X0，糸统运动方程为m X&kx0X。

2（参考教材P14)X0解得：x(t)2COS n t弹簧不受力时长度为65cm下端挂上1kg物体后弹簧长85cm设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。

解：由题可知：弹簧的静伸长V 0.85 0.65 0.2(m)所以：n器觴7(rad/s)取系统的平衡位置为原点，得到：系统的运动微分方程为：X& n2x 0其中，初始条件：x(°)0.2(参考教材P14)X(0) 0所以系统的响应为：x(t) 0.2cos n t(m)弹簧力为：F k kx(t) mg x(t) cos n t(N)2因此：振幅为、周期为争(s)、弹簧力最大值为12重物m i悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物m2从高度为h处自由落到m i上而无弹跳，如图所示，求其后的运动当m有x位移时，系统有:E T(m1m2)>&?U扣2由d(E T U) 0可知：(m1 m2)X& kx 0即：n .k/(m i m2)系统的初始条件为: x mg0 kx o m2 ,2ghm1 m2(能量守恒得：m2gh 1(m1 m2)x&2)因此系统的响应为：x(t) A0 cos n t A1 sin n tA。

其中：A1 x°Anm?gkm?g 2ghkk : m1m2解：取系统的上下运动x为坐标, 向上为正，静平衡位置为原点x 0,则2g j n t) m2即：x(t)m1一质量为m、转动惯量为I的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k约束，如图所示，求系统的固有频率。

解：取圆柱体的转角为坐标，逆时针为正，静平衡位置时0,则当m有转角时，系统有：E T丄1 & 咕(&)2Bl mr2)&2 2 21 2U k( r)22由d(E T U) 0 可知：(I mr2)險kr20即：n\kr2/ (I mr2) (rad/s)均质杆长L、重G,用两根长h的铅垂线挂成水平位置，如图所示，试求此杆相对铅垂轴OO微幅振动的周期。

机械振动_机械波课后习题(2) 弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时，弹性力在半个周期内所作的功为(B)k A 72 (3) 谐振动过程中，动能和势能相等的位置的位移等于(A) _A4 (D)5.2填空题(1) 一质点在X 轴上作简谐振动，振幅 A= 4cm,周期T= 2s,其平衡位置取作坐标原点。

若t = 0时质点第一次通过x = — 2cm 处且向X 轴负方向运动，则质点第二次通过 x = — 2cm 处的时刻为 ____ s 。

(2) 一水平弹簧简谐振子的振动曲线如题 5.2(2)图所示。

振子在位移为零，速度为一：A 、加速度为零和弹性力为零的状态，对应于曲线上的____________ 点。

振子处在位移的绝对值为 A 、速度为零、加速度为-？2A 和弹性力为一KA 的状态，则对应曲线上的点。

题5.2(2) 图⑶一质点沿x 轴作简谐振动，振动范围的中心点为x 轴的原点，已知周 5.1选择题 (1) 一物体作简谐振动, 时刻的动能与t 二T/8 (A)1 : 4 (B) 1: 习题5 ?机械振动振动方程为-Acos( t -),则该物体在"0 (T 为振动周期)时刻的动能之比为:2 (C) 1: 1 (D) 2 : 1 (A)kA 2 (C) kA 7/4(D)0(B)期为T,振幅为A(a)若t=0时质点过x=0处且朝x轴正方向运动，则振动方程为X= ____________________ 0(b)若t=0时质点过x=A/2处且朝x轴负方向运动，则振动方程为X= __________________ 05.3 符合什么规律的运动才是谐振动？分别分析下列运动是不是谐振动：(1)拍皮球时球的运动；(2)如题5.3图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很短).题5.3图题5.3图(b)5.4弹簧振子的振幅增大到原振幅的两倍时，其振动周期、振动能量、最大速度和最大加速度等物理量将如何变化？5.5单摆的周期受哪些因素影响？把某一单摆由赤道拿到北极去，它的周期是否变化？5.6简谐振动的速度和加速度在什么情况下是同号的？在什么情况下是异号的？加速度为正值时，振动质点的速率是否一定在增大？5.7质量为10 10°kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x =0.1cos(8t三)(SI)的3规律作谐振动，求：(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相⑶t2 =5s与t1 =1s两个时刻的位相差;5.8—个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T ,其振动方程用余弦函数表示.如果t=0时质点的状态分别是：(1)xo = -A ；(2)过平衡位置向正向运动；(3)过处向负向运动；2(4)过x二- A处向正向运动.J2试求出相应的初位相，并写出振动方程.5.9一质量为10 10"kg的物体作谐振动，振幅为24cm，周期为4.0s，当t = 0时位移为24cm .求:(1)t =0.5s时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向；(2)由起始位置运动到x =12cm处所需的最短时间；⑶在x =12cm处物体的总能量.5.10有一轻弹簧，下面悬挂质量为1.0g的物体时，伸长为4.9cm .用这个弹簧和一个质量为8.0g的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉幵1.0cm后，给予向上的初速度V0 =5.0cm/s，求振动周期和振动表达式.5.11题5.11图为两个谐振动的x-t曲线，试分别写出其谐振动方程.题5.11图5.12一轻弹簧的倔强系数为k，其下端悬有一质量为M的盘子.现有一质量为m 的物体从离盘底h高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子幵始振动.(1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同？(2)此时的振动振幅多大？⑶ 取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧幵始振动时作为计时起点，求初位相并写出物体与盘子的振动方程.5.13 有一单摆，摆长I =1.0m ，摆球质量m=10 10 Jkg ，当摆球处在平衡位置时，若给小球一水平向右的冲量 F ：t 二1.0 10-kg m/ s ，取打击时刻为计时起点(t =0)，求振动的初位相和角振幅，并写出小球的振动方程.5.14 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为0.20m ，位相与第一振动的位相差为一，已知第一振动的振幅为0.173m ，求第二个振动的振幅以及第6一、第二两振动的位相差.题5.14图5.15 试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅:5.16 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。

大学物理(第四版)课后习题及答案机械振动13 机械振动解答13-1 有一弹簧振子，振幅A=2.0×10-2m，周期T=1.0s，初相ϕ=3π/4。

试写出它的运动方程，并做出x--t图、v--t 图和a--t图。

13-1分析弹簧振子的振动是简谐运动。

振幅A、初相ϕ、角频率ω是简谐运动方程x=Acos(ωt+ϕ)的三个特征量。

求运动方程就要设法确定这三个物理量。

题中除A、ϕ已知外，ω可通过关系式ω=2π确定。

振子运动的速度T和加速度的计算仍与质点运动学中的计算方法相同。

解因ω=2π，则运动方程 T⎛2πt⎛x=Acos(ωt+ϕ)=Acos t+ϕ⎛⎛T⎛根据题中给出的数据得x=(2.0⨯10-2m)cos[(2πs-1)t+0.75π]振子的速度和加速度分别为v=dx/dt=-(4π⨯10-2m⋅s-1)sin[(2πs-1)t+0.75π] a=d2x/dt2=-(8π2⨯10-2m⋅s-1)cos[(2πs-1)t+0.75πx-t、v-t及a-t图如图13-l所示π⎛⎛13-2 若简谐运动方程为x=(0.01m)cos⎛(20πs-1)t+⎛，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和4⎛⎛初相；（2）t=2s 时的位移、速度和加速度。

13-2分析可采用比较法求解。

将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式x=Acos(ωt+ϕ)作比较，即可求得各特征量。

运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t值后，即可求得结果。

解（l）将x=(0.10m)cos[(20πs-1)t+0.25π]与x=Acos(ωt+ϕ)比较后可得：振幅A= 0.10 m，角频率ω=20πs-1，初相ϕ=0.25π，则周期T=2π/ω=0.1s，频率ν=1/T=10Hz。

（2）t= 2s时的位移、速度、加速度分别为x=(0.10m)cos(40π+0.25π)=7.07⨯10-2m v=dx/dt=-(2πm⋅s-1)sin(40π+0.25π)a=d2x/dt2=-(40π2m⋅s-2)cos(40π+0.25π)13-3 设地球是一个半径为R的均匀球体，密度ρ5.5×103kg•m。

第一章 概述1．一简谐振动，振幅为0.20cm ，周期为0.15s ，求最年夜速度和加速度。

解：2．一加速度计指示结构谐振在80HZ 时具有最年夜加速度50g ，求振动的振幅。

（g=10m/s2） 解：..22max max max *(2**)*x w x f x π==3．一简谐振动，频率为10Hz ，最年夜速度为4.57m/s ，求谐振动的振幅、周期、最年夜加速度。

解：4. 机械振动按激励输入类型分为哪几类？按自由度分为哪几类？答：按激励输入类型分为自由振动、强迫振动、自激振动按自由度分为单自由度系统、多自由度系统、连续系统振动5. 什么是线性振动？什么是非 线性振动？其中哪种振动满足叠加原理？答：描述系统的方程为线性微分方程的为线性振动系统，如00I mga θθ+=描述系统的方程为非线性微分方程的为非线性振动系统0sin 0I mga θθ+=线性系统满足线性叠加原理6. 请画出同一标的目的的两个运动：1()2sin(4)x t t π=，2()4sin(4)x t t π=合成的的振动波形7.请画出互相垂直的两个运动：1()2sin(4)x t t π=，2()2sin(4)x t t π=合成的结果。

如果是1()2sin(4/2)x t t ππ=+，2()2sin(4)x t t π= 第二章 单自由度系统 1., 0.05m, 0.1m 0.2m/s 0.08m/s 一物体作简谐振动当它通过距平衡位置为处时的速度分别为和。

求其振动周期、振幅和最大速度。

2.Hz 一物体放在水平台面上，当台面沿铅垂方向作频率为5的简谐振动时，要使物体不跳离平台，对台面的振幅有何限制？3.55123 2.5kg, 210N/m, 310N/m m k k k ===⨯=⨯写出图示系统的等效刚度的表达式。

当时，求系统的固有频率。

4.5410N/m, 100kg 0.5m/s⨯钢索的刚度为绕过定滑轮吊着质量为的物体以匀速下降，若钢索突然卡住，求钢索内的最大张力。