三角形中位线作辅助线

欢迎共阅三角形中位线中的常见辅助线知识梳理知识点一 中点一、与中点有关的概念三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形二、与中点有关的辅助线方法一：倍长中线解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。

方法二：构造中位线解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。

方法三：构造三线合一解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口其他位置的也要能看出方法四：构造斜边中线解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。

其他位置的也要能看出常见考点构造三角形中位线考点说明：①凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点;②延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。

“题中有中点，莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似作用． 典型例题【例1】 已知：AD 是ABC △的中线，AE 是ABD △的中线，且AB BD =，求证：2AC AE =． 举一反三1. 如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．2. 在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，12AC BC =，以BC 为底作等腰直角BCD ∆，E 是CD 的中点，求证：AE EB ⊥且AE BE =．【例2】 已知四边形ABCD 的对角线AC BD =，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连结EF 分别交AC 、BD于M 、N ，求证：AMN BNM =∠∠． 举一反三1. 已知四边形ABCD 中，AC BD <，E F 、分别是AD BC 、的中点，EF 交AC 于M ；EF 交BD 于N ，AC 和BD 交于G 点．求证：GMN GNM ∠>∠．2. 已知：在ABC ∆中，BC AC >，动点D 绕ABC ∆的顶点A 逆时针旋转，且AD BC =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．（1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，求证： AMF BNE ∠=∠（2）当点D 旋转到图2中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请证明．【例3】 如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．举一反三1.如图所示，在三角形ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE=DF ．过E 、 F 分别作直线CA 、CB 的垂线，相交于点P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ．求证：（1）DEM FDN ∆∆≌；EDM B C A E D M B C AM B C A（2）PAE PBF ∠=∠．3. 已知：在ABC ∆中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM ，和CAN ，P 是边BC 的中点．求证：PM PN =4. 如图所示，已知ABD ∆和ACE ∆都是直角三角形，且90ABD ACE ∠=∠=︒，连接DE ，设M 为DE 的中点．（1）求证MB MC =．（2）设B A D C A E ∠=∠，固定Rt ABD ∆，让Rt ACE ∆移至图示位置，此时MB MC =是否成立？请证明你的结论．5. 在△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，M 是BC 边中点中点，连接MD 和ME （1）如图1所示，若AB=AC ，则MD 和ME 的数量关系是（2）如图2所示，若AB≠AC 其他条件不变，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；（3）在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，请在图3中补全图形，并直接判断△MED 的形状．图1 图2 图3 【例4】 以ABC ∆的两边AB 、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90BAD CAE ∠=∠=︒.连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是________；线段AM 与DE 的数量关系是________；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转θ︒(090θ<<)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．举一反三1. （1）如图1，BD 、CE 分别是ABC △的外角平分线，过点A 作AD BD AE CE ⊥⊥、,垂足分别为D E 、，连接DE ．求证：()12DE BC DE AB BC AC =++，∥ （2）如图2，BD CE 、分别是ABC △的内角平分线，其他条件不变； （3）如图3，BD 为ABC △的内角平分线，CE 为ABC △的外角平分线，其他条件不变。

三角形中常见辅助线的作法
1、延长中线构造全等三角形
例1 如图1，已知△ABC中，AD是△ABC的中线，AB=8，AC=6，求AD 的取值范围．
提示：延长AD至A＇，使A＇D＝AD，连结BA＇．根据“SAS”易证△A＇BD≌△ACD，得AC＝A＇B．这样将AC转移到△A＇BA中，根据三角形三边关系定理可解．
2、引平行线构造全等三角形
例2 如图2，已知△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E是AC延长线上一点，且BD＝CE，DE与BC交于点F．
求证：DF=EF．
提示：此题辅助线作法较多，如：
①作DG∥AE交BC于G；
②作EH∥BA交BC的延长线于H；
再通过证三角形全等得DF＝EF．
3、作连线构造等腰三角形
例3 如图3，已知RT△ACB中，∠C=90°，AC=BC，AD=AC，DE⊥AB，垂足为D，交BC于E．
求证：BD=DE=CE．
提示：连结DC，证△ECD是等腰三角形．
4、利用翻折，构造全等三角形．
例4 如图4，已知△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC交BC于D．求证：AC＝AB＋BD．
提示：将△ADB沿AD翻折，使B点落在AC上点B＇处，再证BD=B＇D ＝B＇C，易得△ADB≌△ADB＇，△B＇DC是等腰三角形，于是结论可证．
5、作三角形的中位线
例5 如图5，已知四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线交EF的延长线于点M、N．求证：∠BME＝∠CNE．提示：连结AC并取中点O，再连结OE、OF．则OE∥AB，OF∥CD，故∠1＝∠BME，∠2＝∠CNE．且OE=OF，故∠1＝∠2，可得证．。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．D C BAED F CB A3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

三角形中位线中的常见辅助线知识梳理知识点一中点一、与中点有关的概念三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合）三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形二、与中点有关的辅助线方法一:倍长中线解读:凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的.方法二：构造中位线解读:凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边,从而达到构造三角形中位线的目的。

方法三：构造三线合一解读：只要出现等腰三角形,或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口其他位置的也要能看出方法四：构造斜边中线解读:只要出现直角三角形，或直角,则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系.其他位置的也要能看出常见考点构造三角形中位线考点说明：①凡是出现中点，或多个中点,都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点；②延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。

“题中有中点，莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”,这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似作用．CEDBA典型例题【例1】 已知：AD 是ABC △的中线,AE 是ABD △的中线,且AB BD =，求证:2AC AE =．举一反三1. 如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．2. 在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，12AC BC =，以BC 为底作等腰直角BCD ∆，E 是CD 的中点，求证：AE EB ⊥且AE BE =．EDCBA【例2】 已知四边形ABCD 的对角线AC BD =，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连结EF 分别交AC 、BD 于M 、N ，求证：AMN BNM =∠∠．MNF EDCB A举一反三1. 已知四边形ABCD 中，AC BD <，E F 、分别是AD BC 、的中点，EF 交AC 于M ；EF 交BD 于N ，AC 和BD交于G 点．求证：GMN GNM ∠>∠．GBCDEFM N A2. 已知:在ABC ∆中，BC AC >，动点D 绕ABC ∆的顶点A 逆时针旋转，且AD BC =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．MN ABEF DC(N )M F EDCBA(1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时,点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ,连结HE 、HF ，求证:AMF BNE ∠=∠（2）当点D 旋转到图2中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系?请证明．【例3】 如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒,BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．EDFCBA举一反三1.如图所示,在三角形ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE=DF ．过E 、 F 分别作直线CA 、CB 的垂线,相交于点P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ．求证：（1)DEM FDN ∆∆≌; （2）PAE PBF ∠=∠．3. 已知:在ABC ∆中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM ，和CAN ，P 是边BC 的中点．求证：PM PN =PNMCBA4. 如图所示，已知ABD ∆和ACE ∆都是直角三角形，且90ABD ACE ∠=∠=︒，连接DE ，设M 为DE 的中点．（1)求证MB MC =．（2)设BAD CAE ∠=∠，固定Rt ABD ∆，让Rt ACE ∆移至图示位置，此时MB MC =是否成立？请证明你的结论．。

做辅助线的标准说法
做辅助线的标准说法是指按照一定的规则和原则来画辅助线的过程和方法。

以下是一些常见的辅助线的标准说法：
1. 直线辅助线：直线辅助线通常是在图形中的某些部分画一条直线，用来辅助其他线条的绘制或确定位置关系。

2. 平行线辅助线：平行线辅助线是为了使某些线段保持平行而画的辅助线，通常是通过在给定线段两端或上方下方画一条与之平行的线段。

3. 垂直线辅助线：垂直线辅助线是为了使某些线段保持垂直而画的辅助线，通常是通过在给定线段某一点处作一条垂直于之的线段。

4. 三角形辅助线：三角形辅助线是为了帮助解决三角形相关问题而画的辅助线，常见的有角平分线、中位线、高线等。

5. 方格辅助线：方格辅助线是通过将图形平面划分成方格，然后在方格中绘制图形的一种辅助线方法，可以帮助保持图形的比例和对称性。

在实际应用中，选择合适的辅助线标准说法可以更好地辅助绘图，提高绘图的准确性和效率。

三角形中做辅助线的技巧口诀：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

一、由角平分线想到的辅助线 口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。

对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。

通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。

至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

与角有关的辅助线 （一）、截取构全等如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

例1． 如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠BCD ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。

例2． 已知：如图1-3，AB=2AC ，∠BAD=∠CAD ，D A =DB ，求证DC ⊥AC例3． 已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB-AC=CD分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。

用到的是截取法图1-2DBC图1-4ABC来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。

试试看可否把短的延长来证明呢？练习1． 已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠B=2∠C ，求证：AB+BD=AC2． 已知：在△ABC 中，∠CAB=2∠B ，AE 平分∠CAB 交BC 于E ，AB=2AC ，求证：AE=2CE 3． 已知：在△ABC 中，AB>AC,AD 为∠BAC 的平分线，M 为AD 上任一点。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

.1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

；常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二DCB AA个角之间的相等。

1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

相似三角形中几种常见的辅助线作法在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。

主要的辅助线有以下几种：一、添加平行线构造“A ”“X ”型例1：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点，求：BE ：EF 的值.解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ，则∴PE=EF BP=2PF=4EF 所以BE=5EF ∴BE ：EF=5：1.解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ，∴BE ：EF=5：1.解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ，解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ，∵BD=2DC ∴ ∴BE ：EF=5：1.变式：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点,连结BE 并延长交AC 于F,求AF ：CF 的值.解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ， 解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ， 解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ， 解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ，，1==AE DE FEPE ,2==DC BD PF BP ，则2==EA DA EF DQ ,3==DCBC DQBF ，EF EF EF EF DQ EF BF BE 563=-=-=-=，则DC CT DT 21==；TC BT EF BE =，DC BT 25=例2：如图，在△ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F ，求证：（证明：过点C作CG分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。

不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。

.方法一：过E作EM方法二：过D作DN例4：在△ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。

三角形画辅助线的技巧总结
1. 哎呀呀，碰到三角形一边的中点，那就要想到中位线呀！这不，在三角形 ABC 中，点 D 是 AB 的中点，那咱就赶紧把 CD 中位线给画上呀，那解决问题可就容易多啦，懂了不？
2. 嘿哟，如果有等腰三角形，那就在底边上画个高呀！比如在等腰三角形ABC 中，AB=AC，那就在底边 BC 上画个高 AD 呀，这一画，很多问题不就一目了然啦？
3. 哇塞，如果三角形里有角平分线，那就在角平分线上找点做垂线呀！就像在三角形 ABC 中，AD 是角平分线，咱就在上面找个点 E 作 BC 的垂线，这不就找到突破点啦？
4. 你看呀，当三角形里有直角的时候，可别忘记画斜边中线呀！像是在直角三角形 ABC 中，角 C 是直角，那赶紧把斜边 AB 的中线画出来呀，是不是很妙呀？
5. 嘿，要是有两个相似三角形在一起，那就连接对应点呀！比如三角形ABC 和三角形 A'B'C'相似，那把 AA'，BB'，CC'连接起来呀，会有新发现哦！
6. 哎呀呀，如果想证明线段相等，那就找全等三角形呀，然后把辅助线画上帮助证明呀！就好像知道 AB=CD，那就通过画辅助线找到对应的全等三角形呀，是不是很机智？
7. 哇哦，三角形里有特殊角度的时候，也可以通过画辅助线构造特殊图形呀！像三角形中有 30 度角，那是不是可以构造直角三角形呀，很神奇吧？
8. 嘿哟，如果需要把三角形拆分或组合，那就大胆地画辅助线呀！比如把一个大三角形分成几个小三角形来分析呀，多有趣呀！
9. 总之呢，画辅助线可是解决三角形问题的一把利器呀！要根据具体情况灵活运用呀，学会这些技巧，三角形问题都不怕啦！。