专题10 圆锥曲线(习题)-2021届沪教版高考数学一轮复习(上海专用)

2021届高考数学一轮复习 专题10 圆锥曲线一、填空题1．（2020·宝山上海交大附中高三其他）抛物线2y x 的准线方程为_______.【答案】14y =- 【解析】由抛物线的标准方程为x 2=y ，得抛物线是焦点在y 轴正半轴的抛物线，2p =1， ∴其准线方程是y=2p -，14y =-．故答案为14y =-．2．（2020·上海市建平中学高三月考）双曲线2226x y -=的焦距为__________.【答案】6 【解析】双曲线2x 2﹣y 2＝6即为22x y 36-=1，可得a 3=，b 6=，c 22a b =+=3，即焦距为2c ＝6． 故答案为6．3．（2020·上海杨浦复旦附中高三期末）抛物线24y x =的准线方程为______.【答案】116y =- 【解析】抛物线的标准方程是，所以准线方程是4.（2020·上海高三一模）以抛物线26y x =-的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是________【答案】22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭【解析】抛物线26y x =-的焦点坐标为3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，准线的方程为32x =，所以焦点到准线的距离为3，所以以焦点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程是：22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭． 故答案为：22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．5．（2020·上海普陀高三二模）设双曲线r ：2221x y a -=（0a >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在r 的右支上，向量()1,d a 是直线1F M 的一个方向向量，若124F MF π∠=，则r 的焦距为______.【解析】向量(1,)d a =是直线1F M 的一个方向向量，可得直线1F M 的斜率为a ，且0a >， 设2||F M t =，由双曲线的定义可得1||2F M t a =+，在三角形12F MF 中，由正弦定理可得122sin sin 4t c MF F π=∠，即t a =，解得t =，由余弦定理可得22224(2)2(2)2c t t at t a =++-+， 即为22224(1)82)(2)a a a a +=++-+， 解得212a =，22312c a =+=，则焦距2c ==． 6．（2020·上海高三其他）已知双曲线与椭圆221166x y +=有相同的焦点，且双曲线的渐进线方程为12y x =±，则此双曲线方程为_________ 【答案】22182x y -=【解析】221166x y +=的焦点为：()10,0± 双曲线的渐进线方程为12y x =±，则设双曲线方程为：222214x y b b-=，焦点为()10,0±故2224102b b b +=∴= ，双曲线方程为22182x y -=.故答案为：22182x y -=7．（2020·上海高三专题练习）平面直角坐标系中,O 为坐标原点,己知A(3,1),B(-1,3),若点C 满足OC OA OB αβ=+,其中α,β∈R,且α+β=1,则点C 的轨迹方程为 【答案】250x y +-= 【解析】因为OC OA OB αβ=+,且α+β=1，所以A,B,C 三点共线， 因此点C 的轨迹为直线AB:131(3)250.31y x x y --=-∴+-=+ 8．（2020·上海长宁高三三模）已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的右焦点为(1,0)F ，O 为坐标原点，点A 是椭圆在第一象限的一点，且OAF ∆为等边三角形，则a =________【答案】31+ 【解析】如图OAF ∆为等边三角形,11OFOF OA 得到1∆AF F 是直角三角形，12,1F FAF ,13AF由椭圆定义得：12+31a AF AFa ∴9．（2019·上海市建平中学高三月考）已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>，过双曲线上任意一点P 分别作斜率为b a -和ba的两条直线1l 和2l ，设直线1l 与x 轴、y 轴所围成的三角形的面积为S ，直线2l 与x 轴、y 轴所围成的三角形的面积为T ，则S T ⋅的值为________. 【答案】2214a b 【解析】设()00,P x y ，所以()100:bl y x x y a=--+， 令0x =，所以00bx y y a =+，令0y =，所以00ayx x b=+，所以()2000000122bx ay bx ay S y x a b ab+=⨯+⨯+=； 又()200:bl y x x y a =-+，令0x =，所以00bx y y a =-，令0y =，所以00ay x x b=-，所以()2000000122bx ay bx ay T y x a b ab-=⨯-⨯-=； 所以()()2222222202222221444b xa ya b S T a b a b a b -⋅===. 故答案为：2214a b .10．（2020·宝山上海交大附中高三其他）已知点()0,2P ，椭圆221168x y +=上两点()11,A x y ，()22,B x y 满足AP PB λ=（R λ∈），则112312x y +-+222312x y +-的最大值为__________．【答案】18+【解析】由AP PB λ=知,,A B P 三点共线，当直线AB的斜率不存在时，(0,(0,A B -，此时112312x y +-+22231224x y +-=.当直线AB 的斜率存在时，设:2AB y kx =+，联立2221168y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(12)880k x kx ++-=，1212122284,()41212k x x y y k x x k k+=-+=++=++， 设AB 的中点()00,M x y ，则002242,1212k x y k k =-=++， 消去参数k 可得()2200112x y +-=，其中00y >；令001sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，其中2,2k k θπ≠π-∈Z ，则点()00,M x y 到直线23120x y +-=的距离为d ==所以d ≤； 因为由梯形的中位线性质可得,A B 到直线23120x y +-=的距离之和为点()00,M x y 到直线23120x y +-=的距离的2倍.所以112312xy +-+22231218x y +-=≤+综上可得112312x y +-+222312x y +-的最大值为18+ 11．（2020·上海市建平中学高三月考）已知数列{}n a 的通项公式为()()*11n a n N n n =∈+，其前n 项和910n S =，则双曲线2211x y n n-=+的渐近线方程为________ 【答案】10y x =± 【解析】由()11111n a n n n n ==-++得1111111 (11223111)n n S n n n n =-+-++-=-=+++.又910n S =即9110n n =+,故9n =,故双曲线221109x y -=渐近线为y x == 12．（2020·上海奉贤高三二模）在平面直角坐标系内有两点(,1)A m -，(2,1)B -，2m <，点A 在抛物线22y px =上，F 为抛物线的焦点，若2||||6AB AF +=，则m =________【答案】12-+，12-，16-【解析】因为点A 在抛物线22y px =上， 所以12pm =，得12p m=， 因为抛物线22y px =的焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为2p x =-所以124p AF m m m=+=+， 因为(,1)A m -，(2,1)B -，2m <， 所以2AB m =-，因为2||||6AB AF +=，所以12(2)64m m m-++=， 所以12204m m m+=+≥， 所以1224m m m +=+或1224m m m+=-- 化简得24810m m +-=或212810m m ++=，解得m =或12m =-或16m =-，因为12m -≤<， 所以25m -+=，12m =-，16m =-，故答案为：51-+，12-，16-二、单选题13．（2020·上海高三专题练习）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）A 2B ．22C ．4D ．8【答案】C 【解析】设C ：22x a－22y a ＝1．∵抛物线y 2＝16x 的准线为x ＝－4，联立22x a－22y a ＝1和x ＝－4得A(－4，216a -)，B(－4216a -)， ∴|AB|＝216a -3 ∴a ＝2，∴2a ＝4． ∴C 的实轴长为4．14．（2018·上海高三期中）已知点A （﹣2，0）、B （3，0），动点P （x ，y ）满足2PA PB x ⋅=，则点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】D 【解析】∵动点P （x ，y ）满足2PA PB x ⋅=， ∴（﹣2﹣x ，﹣y ）•（3﹣x ，﹣y ）=x 2， ∴（﹣2﹣x ）（3﹣x ）+y 2=x 2，解得y 2=x+6， ∴点P 的轨迹是抛物线． 故选D ．15．（2019·上海市建平中学高三月考）已知异面直线a 、b 成60°角，其公垂线段为EF ，||2EF =，长为4的线段AB 的两端点分别在直线a 、b 上运动，则AB 中点的轨迹为（ ） A ．椭圆 B ．双曲线C ．圆D ．以上都不是【答案】A 【解析】 如图所示：设EF 的中点为O ，过O 作EF 的垂面α，则AB 的中点P 必在平面α内，设,A B 在平面内的射影点为,M N ，因为2AP BP ==，1AM BN ==，所以23MN =，以MON ∠的角平分线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示：设OM m =，ON n =，由余弦定理可知：2220122cos60MN m n mn ==+-，所以2212m n mn +-=，又因为30MOx NOx ∠=∠=︒，设(),P x y ，所以()()322122x m n y m n ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以22m x yn y⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，将上述结果代入等式2212m n mn+-=中化简可得：2219xy+=，故轨迹是椭圆.故选A.16．（2019·上海市进才中学高三月考）已知双曲线C：2213xy-=，O为坐标原点，F 为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=A．32B．3 C．D．4【答案】B【解析】根据题意，可知其渐近线的斜率为3±(2,0)F，从而得到30FON︒∠=，所以直线MN的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN的方程为2)y x=-，分别与两条渐近线3y x=和y x=联立，求得3(,22M N-，所以3MN==，故选B.17．（2019·上海金山高三二模）设1F、2F是双曲线C：22221x ya b-=(0,0)a b>>的两个焦点，P是C上一点，若12||||6PF PF a+=，12PF F∠是△12PF F的最小内角，且1230PF F︒∠=，则双曲线C的渐近线方程是（）A．0x±=By±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=【答案】B 【解析】设|PF 1|＞|PF 2|，则|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ，又|PF 1|+|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ． 则∠PF 1F 2是△PF 1F 2的最小内角为30°， ∴| PF 2|2＝| PF 1||2+|F 1F 2|2﹣2| PF 1||•|F 1F 2|cos30°，∴（2a ）2＝（4a ）2+（2c ）2﹣2×4a ×2c ，同时除以a 2，化简e 2﹣+3＝0，解得e =c =，∴b =，∴双曲线C ：2222x y a b-=1的渐近线方程为y b x a =±=，y ±=0． 故选B ．18．（2020·宝山上海交大附中高三其他）已知F 为抛物线()220y px p =>的焦点，()11,A x y 、()22,B x y 是抛物线上的不同两点，则下列条件中与“A 、F 、B 三点共线”等价的是（ ）A ．2124p x x =B ．212y y p =-C ．112FA FB p+= D ．2121234p x x y y +=-【答案】B 【解析】设直线AB 的方程为x ky t =+，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立22y pxx ky t ⎧=⎨=+⎩，消去x 得2220y pky pt --=，由韦达定理得122y y pk +=，122y y pt =-.抛物线的焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，若A 、F 、B 三点共线，则2p t =.对于A 选项，222221212224444y y p t p x x p p ===，解得2pt =±； 对于B 选项，2122y y pt p =-=-，解得2p t =； 对于C 选项，222222121212111111222222222p p p p y y p p FA FB y p y p p x x p p +=+=+=+=++++++， 整理得22412y y p =，即2244p t p =，解得2p t =±； 对于D 选项，22221212121223244y y p x x y y y y t pt p +=+=-=-，整理得224830t pt p -+=，解得2p t =或32pt =. 故选：B.19．（2020·上海高三专题练习）椭圆C ：22143x y +=的左右顶点分别为12,A A ，点P在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[2,1]--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ） A ．13[,]24B ．33[,]84C ．1[,1]2D ．3[,1]4【答案】B 【解析】设P 点坐标为00(,)x y ，则2200143x y +=，2002PA y k x =-，1002PA y k x =+， 于是1222222003334•244PA PA x y kk x x -===---，故12314PA PA k k =-. ∵2[2,1]PA k ∈--∴133[,]84PA k ∈.故选B.20．（2020·上海市七宝中学高三三模）已知F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，当0FA FB FC ++=时，则存在横坐标2x >的点A 、B 、C 有（ ） A ．0个 B ．2个C ．有限个，但多于2个D ．无限多个【答案】A【解析】设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，先证12x ≤， 由0FA FB FC ++=知，F 为ABC 的重心， 又131132(1,0),1,033x x x y y yF ++++∴==，2312313,x x x y y y ∴+=-+=-， ()()222222323232322y y y y y y y y ∴+=++≤+，()2221232y y y ∴≤+，2223122444y y y ⎛⎫∴≤+ ⎪⎝⎭，()1232x x x ∴≤+，()1123x x ∴≤-12x ∴≤， 同理232,2x x ≤≤， 故选：A.三、解答题21．（2020·上海市建平中学高三月考）已知曲线22:136x y C -=，Q 为曲线C 上一动点，过Q 作两条渐近线的垂线，垂足分别是1P 和2P . （1）当Q 运动到(3,23)时，求12QP QP ⋅的值； （2）设直线l （不与x 轴垂直）与曲线C 交于M 、N 两点，与x 轴正半轴交于T 点，与y 轴交于S 点，若SM MT λ=，SN NT μ=，且1λμ+=，求证T 为定点. 【答案】（1）23；（2）证明见解析； 【解析】解：（1）由曲线22:136x y C -=，得渐近线方程为20x y ±-=，作示意图如图所示：设1POx θ∠=，tan 2θ=2222cos sin cos 2cos sin θθθθθ-=+221tan 1tan θθ-=+13=- 则121cos cos 23PQP θ∠=-=，又1QP==，2QP==12QP QP ⋅1212cos QP QP PQP =⋅⋅∠181212333-=⋅=. （2）设1122(,),(,)M x y N x y ，(,0),(0,)T m S n ，0m >，设直线l 的斜率为k ，则:()l y k x m =-，又22136x y -=，得22222(2)260k x k mx k m -+--=得212222k m x x k +=--，2212262k m x x k+=-- 由SM MT λ=，则1111(,)(,)x y n m x y λ-=--，即1111()()x m x y n y λλ=-⎧⎨-=-⎩， 得11x m x λ=- ，又SN NT μ=，同理，则1212x x m x m x λμ+=+--121221212()21()m x x x x m x x m x x +-==-++得212122()3m x x x x m +-=，则222222223(6)22m k m k m m k k⋅⋅+-+=--， 得29m =，又0m >，得3m =，即T 为定点(3,0).22．（2020·上海市七宝中学高三其他）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）经过1,0A ，()0,B b 两点.O 为坐标原点，且AOB的面积为4.过点()0,1P 且斜率为k（0k >）的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M ，N ，且直线AM ，AN 分别与y 轴交于点S ，T .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅲ）设PS PO λ=，PT PO μ=，求λμ+的取值范围. 【答案】（Ⅰ）2221x y +=（Ⅱ）⎫+∞⎪⎪⎝⎭（Ⅲ）)2【解析】（Ⅰ）因为椭圆C ：22221x y a b+=经过点1,0A ，所以21a =解得1a =. 由AOB的面积为4可知，124ab =，解得2b =， 所以椭圆C 的方程为2221x y +=.（Ⅱ）设直线l 的方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y .联立22211x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，消y 整理可得：()2221410k x kx +++=.因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以()22164210k k ∆=-+>，解得212k >. 因为0k >，所以k的取值范围是2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭. （Ⅲ）因为1,0A ，()0,1P ，()11,M x y ，()22,N x y . 所以直线AM 的方程是：()1111y y x x =--. 令0x =，解得111y y x -=-. 所以点S 的坐标为110,1y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 同理可得：点T 的坐标为220,1y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭.所以110,11y PS x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，220,11y PT x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，()0,1PO =-. 由PS PO λ=，PT PO μ=，可得：1111y x λ--=--，2211y x μ--=--， 所以111111111y kx x x λ+=+=+--.同理22111kx x μ+=+-. 由（Ⅱ）得122421kx x k +=-+，122121x x k =+， 所以()()()1212121212122121122111kx x k x x kx kx x x x x x x λμ+-+-+++=++=+---++ ()222214212212121412121k k k k k k k k ⎛⎫⋅+--- ⎪++⎝⎭=+⎛⎫++ ⎪++⎝⎭()22224422121421k k k k k k -+-+=++++()()2121k k -+=++)122212k k ⎛⎫=-+∈> ⎪ ⎪+⎝⎭ 所以λμ+的范围是)2.23．（2018·上海松江高三二模）已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>，其左、右焦点分别为12FF 、，上顶点为B ，O 为坐标原点，过2F 的直线l 交椭圆Γ于P Q 、两点，1sin 3BF O ∠=. （1）若直线l 垂直于x 轴，求12PF PF 的值；（2）若b =l 的斜率为12，则椭圆Γ上是否存在一点E ，使得1F E 、关于直线l 成轴对称？如果存在，求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）设直线1l :y =上总存在点M 满足2OP OQ OM +=，当b 的取值最小时，求直线l 的倾斜角α.【答案】(1)5；(2)不存在；(3)56πα=. 【解析】（1）因为13sin BFO ∠=，则3b a =，即a =，设椭圆的半焦距为c，则c =，在直角12PF F 中，2222121PF F F PF +=，即()2222242c PF a PF +=-解得223b PF a ==，13PF ∴=，所以125PF PF =. （2）由a =，b =a =Γ方程为2236x y +=，且2c =，12F F 、的坐标分别为()()2,02,0-、，直线l 的方程为112y x =-，设点E 坐标为()11,x y ，则由已知可得：()11112210211222x y y x ⎧+⋅+⋅=⎪⎨-=⋅-⎪⎩，解得1125165x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，而22216772365525⎛⎫⎛⎫-+-=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即点E ()11,x y 不在椭圆Γ上，所以，椭圆Γ上不存在这样的点E ，使得1F E 、关于直线l 成轴对称. （3）由a =，得椭圆Γ方程为222330x y b +-=，且c =，2F的坐标为),0，所以可设直线l的方程为()x my m cot α==，代入222330x y b +-=得：()22230m y b ++-=，因为点M 满足2OP OQ OM +=，所以点M 是线段PQ 的中点， 设M 的坐标为(),x y ''，则y '=122y y +=因为直线1:l y =M 满足2OP OQ OM +=，所以y '==0m <，所以36b m m ⎫=-+≥=⎪-⎝⎭， 当且仅当3m m-=-，即m =.所以当m cot α==时，6min b =，此时直线l 的倾斜角56πα=.点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．24．（2020·上海高三专题练习）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA FD =.当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E ， （ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）ABE ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.【答案】（I ）24y x =.（II ）（ⅰ）直线AE 过定点(1,0)F .（ⅱ）ABE ∆的面积的最小值为16. 【解析】 （I ）由题意知(,0)2PF 设(,0)(0)D t t >，则FD 的中点为2(,0)4p t+， 因为FA FD =， 由抛物线的定义知：322p p t +=-， 解得3t p =+或3t =-（舍去）. 由234p t+=，解得2p =. 所以抛物线C 的方程为24y x =. （II ）（ⅰ）由（I ）知(1,0)F ，设0000(,)(0),(,0)(0)D D A x y x y D x x ≠>， 因为FA FD =，则011D x x -=+， 由0D x >得02D x x =+，故0(2,0)D x +，故直线AB 的斜率为02AB y k =-， 因为直线1l 和直线AB 平行， 设直线1l 的方程为02y y x b =-+， 代入抛物线方程得200880b y y y y +-=， 由题意20064320b y y ∆=+=，得02b y =-. 设(,)E E E x y ，则04E y y =-，204E x y =. 当204y ≠时，0000220002044444E ABE y y y y y k y x x y y +-==-=---， 可得直线AE 的方程为000204()4y y y x x y -=--， 由2004y x =，整理可得0204(1)4y y x y =--， 直线AE 恒过点(1,0)F .当204y =时，直线AE 的方程为1x =，过点(1,0)F ，所以直线AE 过定点(1,0)F .（ⅱ）由（ⅰ）知，直线AE 过焦点(1,0)F ， 所以000011(1)(1)2AE AF FE x x x x =+=+++=++， 设直线AE 的方程为+1x my =， 因为点00(,)A x y 在直线AE 上， 故001x m y -=， 设11(,)B x y ，直线AB 的方程为000()2y y y x x -=--， 由于00y ≠， 可得0022x y x y =-++， 代入抛物线方程得2008840y y x y +--=， 所以0108y y y +=-， 可求得1008y y y =--，10044x x x =++， 所以点B 到直线AE 的距离为d ===. 则ABE ∆的面积00112)162S x x =⨯++≥， 当且仅当001x x =即01x =时等号成立. 所以ABE ∆的面积的最小值为16.。