下载文档原格式
空间直角坐标系曲面是柱面的方程一、概述空间直角坐标系是解析几何中的重要概念，其中曲面是曲线在三维空间中的延伸，而柱面是一种特殊的曲面。
在解析几何中，研究空间直角坐标系曲面的方程是一项重要的课题，本文将重点介绍空间直角坐标系中柱面的方程。
二、柱面的定义在空间直角坐标系中，柱面是由一直线（轴线）和平行于此直线的所有直线（侧面直线）组成的集合。
简单来说，柱面就是平行于同一直线的无数直线在三维空间中形成的曲面。
在数学上，柱面可以用方程表示，方程的形式与柱面的特性密切相关。
三、空间直角坐标系中柱面的一般方程1. 一般方程形式空间直角坐标系中柱面的一般方程形式为：Ax^2 + By^2 = 2Fxy + 2Gx + 2Hy + C其中A、B、F、G、H、C为常数，且A、B不全为零。
2. 方程的几何意义这一般方程实际上描述了一个二次曲面在空间中的形状。
当A、B、F、G、H、C都为实数时，这个方程表示了一个实数系数的二次曲面，它可以是一个椭圆柱面、双曲柱面或抛物柱面。
四、求解柱面的方程空间直角坐标系中的柱面方程可以通过以下步骤求解：1. 根据柱面的特性确定方程的一般形式。
2. 根据所给的条件，代入方程中的系数，得出准确的柱面方程。
五、实际应用空间直角坐标系中柱面的方程在实际生活中有许多应用。
在建筑设计中，通过对立体图形的分析，可以使用柱面方程来描述建筑物的柱状结构，在工程设计中也可以用柱面方程描述柱状物体的形状。
在数学建模中，柱面方程的求解可以帮助我们更好地理解和分析实际问题。
六、总结空间直角坐标系曲面是柱面的方程是解析几何中的重要内容，通过理解柱面的定义和特性，我们可以掌握求解柱面方程的方法，并且了解柱面方程在实际应用中的意义。
在学习和应用解析几何的过程中，深入研究空间直角坐标系曲面是柱面的方程，对于提高数学建模和工程设计的能力也是十分有益的。
七、参考文献[1] 董西立.解析几何[M].北京:高等教育出版社,2006.[2] 高等数学教研组.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2010.八、进一步探讨柱面的方程1. 柱面的参数方程除了一般方程外，柱面也可以用参数方程表示。
投影柱面方程在物理学和数学中，柱面是一种具有无限长、半径相等且平行的圆柱体。
柱面广泛应用于各种领域中，如航空、计算机图形学、建筑设计、机械工程等。
在这些领域中，人们需要对柱面进行建模、计算和分析，因此掌握柱面方程是非常重要的。
投影柱面是指将一个柱面在平面上的投影。
投影是一种将三维空间中的物体映射到二维平面上的方法。
在投影过程中，我们可以通过某些方法来表示柱面的形状和特征。
本文将介绍柱面方程的基本概念和计算方法，以及在实际应用中的一些例子。
一、柱面方程的基本概念柱面方程是用来表示柱面形状和特征的数学公式。
在三维空间中，柱面可以由一条直线（轴线）和一条平行于轴线的圆柱面组成。
柱面的方程可以表示为：(x - a) + (y - b) = r其中，(a, b)表示柱面轴线上的一点，r表示柱面的半径。
该方程表示了一个以(a, b)为中心，半径为r的圆的所有点的集合。
这些点在柱面上的投影是一条与轴线平行的线段。
柱面方程的另一种形式是：x + y = r这个方程表示了一个以原点为中心，半径为r的圆的所有点的集合。
这些点在柱面上的投影是一条与轴线垂直的线段。
二、柱面方程的计算方法柱面方程的计算方法可以分为两种：基于轴线和基于圆柱面。
基于轴线的计算方法需要知道柱面轴线上的一点和半径，然后使用柱面方程的第一种形式进行计算。
基于圆柱面的计算方法需要知道圆柱面的方程，然后使用柱面方程的第二种形式进行计算。
例如，假设某个柱面的轴线在点(2, 3, 4)，半径为5。
我们可以使用柱面方程的第一种形式来计算该柱面的方程：(x - 2) + (y - 3) = 5这个方程表示了一个以(2, 3)为中心，半径为5的圆的所有点的集合。
这些点在柱面上的投影是一条与轴线平行的线段。
另一个例子是，假设某个圆柱面的方程为x + y = 9。
我们可以使用柱面方程的第二种形式来计算该柱面的方程：x + y = 9这个方程表示了一个以原点为中心，半径为3的圆的所有点的集合。
§4.1 柱面一、概念：在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫做柱面，定方向叫做柱面的方向，定曲线叫做柱面的准线，那族平行直线中的每一直线，都叫做柱面的母线.二、方程：如图4-1, 设柱面的准线方程为Γ:母线的方向数为X, Y, Z. 如果M1(x1, y1, z1)为准线上的任意点，那么过M1的母线方程为＝＝,且有从以上四个等式中消去参数x1, y1, z1，得一个三元方程F(x, y, z)＝0.这就是所求的柱面方程.例1. 设柱面的准线为Γ:母线的方向矢量为＝{1, 1,－1}，求这柱面的方程.解：设M1(x1, y1, z1)为准线上的任意一点，那么过点M1(x1, y1, z1)的母线方程为＝＝，且有x21+y21+z21=1,x1+y1+z1=0,为消参数x1, y1, z1，可设＝＝t,则x1＝x－t, y1＝y－t, z1＝z+t,从而有 (x－t)2＋(y－t)2+(z+t)2＝1,(x－t)＋(y－t)+(z+t)＝0,以上两式消去参数t，化简整理即得所求柱面的方程为2x2+2y2+6z2+2xy+6yz+6xz－1＝0.例2. 已知圆柱面的准线是过三点A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1)的圆，母线垂直于这三点所在的平面，求这圆柱面的方程.解法一：由已知条件可得圆柱面的准线方程为Γ:母线的方向矢量为＝{1, 1, 1}.设M1(x1, y1, z1)为Γ上任意一点，则过M1的母线方程为＝＝t,且有x21+y21+z21=1,x1+y1+z1=1,以上四式消去参数x1, y1, z1, t得所求圆柱面方程为x2+y2+z2－xy－xz－yz－1＝0.解法二：由已知条件可得所求圆柱面的轴线方程为l：＝＝.设M(x, y, z)是圆柱面上任意一点，则M到l的距离与A(1, 0, 0)到l的距离相等，即有＝，从而 ||＝||，即＝，或 (y－z)2＋(z－x)2＋(x－y)2＝2，从而有x2＋y2＋z2－xy－xz－yz－1＝0.例3. 求过三条平行直线l1: x＝y＝z, l2：x＋1＝y＝z－1与l3：x－1＝y＋1＝z－2的圆柱面方程.解法一：在直线l1上取点O(0, 0, 0)，则过O与l i(i＝1, 2, 3)垂直的平面方程为π：x＋y＋z＝0, 其与l i的交点分别为O(0, 0, 0), A(－1, 0, 1), B(,－，)，设C(a, b, c)是π上由O, A, B所确定的圆的圆心，则有解得a＝－, b＝－，c＝,于是所求柱面的准线方程为设M1(x1, y1, z1)为准线上任意一点，则过M1的母线方程为＝＝,且以上四式消去参数x1, y1, z1得所求圆柱面方程为5x2+5y2+5z2+5xy－5xz－5yz＋2x＋11y－13z＝0.解法二：由已知条件知，过O(0, 0, 0)且垂直于l i(i＝1, 2, 3)的平面为π：x+y+z＝0，其与l i的交点分别为O(0, 0, 0)，A(－1, 0, 1), B,由O, A, B三点所确定的圆的圆心为C,于是所求圆柱面的轴为l0：＝＝.设M(x, y, z)为圆柱面上任意一点，则M到轴l0的距离等于||，即有＝,＝,化简整理就有5x2+5y2+5z2－5xy－5xz－5yz＋2x＋11y－13z＝0.注：由此题可知，三平行直线确定一个圆柱面时，要求三平行直线不共面才行，正如不共线三点确定一个圆一样.例4. 已知椭圆柱面＝1(a>b>0)，试求过x轴且与椭圆柱面的交线是圆的平面方程.解：由题设交线圆可以看成以原点为中心a为半径的球面与已知椭圆柱面的交线，即交线圆方程为由于此圆在过x轴的平面上，故此圆对于yOz平面的投影平面即为所求平面. 为此，从上述二式中消去x得+＝1,y＝±z,或.作业题：1. 设柱面的准线方程为母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程.2. 设柱面的准线为母线的方向矢量为＝{1, 0,－1}, 求这柱面的方程.。
解析几何中的柱面及其方程求解柱面是三维空间中一个非常重要的几何体，它由一条直线（直母线）和沿该直线平移的一条平面曲线（截面）形成。
在解析几何中，柱面发挥了非常重要的作用，是许多几何问题的基础。
本文将分别介绍柱面的基本概念和一般方程，以及如何利用方程求解柱面的截面等问题。
一、基本概念在三维空间中，一条通过直线L 的平面沿着该直线作无限平移，形成的几何体称为柱面。
一般来说，柱面由两个参数来确定：直母线上的一个点和它到直母线距离为 t 的点的轨迹（曲线），其中t 表示参数。
柱面的边界是直母线上的点和曲线两端的点。
当 t 取值范围在一定区间内时，曲线将描绘出柱面的一个部分。
如果该区间为 (-∞, +∞)，则曲线将描绘出柱面的整个部分。
二、一般方程在解析几何中，我们通常使用一般方程来描述柱面。
一般方程的形式如下：Ax + By = z^2其中 A、B、C 均为常数，x、y、z 分别表示三个坐标轴。
该方程描述的是一个沿着 y 轴的柱状物体。
如果 A、B、C 中只有两个非零项，那么该方程描述的是一个具有一定倾斜角度的柱状物体。
三、求解柱面截面求解柱面截面是解析几何中重要的问题之一。
我们可以通过一般方程来求解柱面的截面。
具体步骤如下：1、将一般方程表示为沿着 z 轴平移的方程。
经过平移后，方程变为 Ax + By - z^2 = 0。
2、设某一平面的方程为 Ax + By + Cz + D = 0，将它代入上式中，得到 Ax + By - (Cz + D)^2 = 0。
3、将上式中的 x 和 y 表示成 z 和一个参数 t 的形式，即：x =zx'，y = zy'，其中 x' 和 y' 为与 z 无关的实数。
方程变为 Az(x')^2 + Bz(y')^2 - (Cz + D)^2 = 0。
4、将上式移项，化为关于 x' 和 y' 的二次方程。
根据二次方程的解法，可以求得 x' 和 y' 的值。
柱面方程的一点注记何国庆（安徽师范大学数计学院，芜湖，241000）摘要：本文对母线方向为}{,,v l m n =的柱面讨论其方程，得到一个定理.并举例说明了此定理的应用.关键词：柱面，母线方向，方程柱面是日常生活中常见的一种曲面，它有很明显的几何特征，是教学的重点内容.所谓的[]1柱面，指的是动直线l 平行于定方向v 且与定曲线C 相交而产生的曲面.每一条动直线称为柱面的直母线，定曲线C 称为柱面的准线，v 称为柱面的母线方向.显然，柱面被它的准线及母线方向完全确定.但对于一个柱面，它的准线并不是唯一的，每一条和所有直母线均相交的曲线都可当准线.许多教材都给出求柱面方程的一般方法，但对柱面方程的特征讨论的较少.本文给出了母线方向为}{,,v l m n =的柱面方程的几种形式.有 定理：在空间直角坐标系中，设柱面S 的母线方向}{,,v l m n =，则S 的方程一定可写为(,)0l m f x z y z n n --=，或0),(=--y m n z y m l x g ，或(,)0m n h y x z x l l--=；反之，若一个曲面的方程可改写为上述三种方程之一，则它一定是柱面，其母线方向为}{,,v l m n =. 证明：由于柱面S 的母线方向}{,,0v l m n =≠，故S 一定与某个坐标面相交.如0n ≠，则S 的母线与xoy 面相交，取其交线(,)0:0f x y C z =⎧⎨=⎩为柱面S 的准线.在准线C 上任取1111(,,)P x y z ，则过1P 的母线方程为111x x lt y y mt z z nt =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩又1P C ∈,则111(,)00f x y z =⎧⎨=⎩ 由(1)(2)消去111,,x y z ，得(,)0l m f x z y z n n --=收稿日期：2011年9月作者简介：何国庆（1979—），女，安徽巢湖，讲师，研究方向：微分几何. E-mail:wh_hgq@（1） （2） （3）则方程（3）就是母线方向为}{,,(0)v l m n n =≠的柱面S 的方程. 同理可证：当0m ≠时，柱面S 方程为0),(=--y mn z y m l x g 当0l ≠时，柱面S 方程为(,)0m n h y x z x l l --= 反之，设曲面S 的方程可改写为(,)0l m f x z y z n n --=，则它与以曲线(,)00f x y z =⎧⎨=⎩为准线，母线方向平行于}{,,v l m n =的柱面有相同方程，故曲面S 表示一个柱面，其母线方向为}{,,v l m n =. 推论：若一个柱面的母线平行于z 轴（或x 轴，或y 轴），则它的方程不含z 项（或x 项，或y 项）；反之，一个三元方程中如果不含z 项（或x 轴，或y 轴），则这个三元方程一定表示一个母线平行于z 轴（或x 轴，或y 轴）的柱面.注：此推论为文[2]中的定理.下面举例说明定理及推论的应用.例1[]1试说明方程()()2x y y z x y z ++=++表示柱面. 解：将已知方程改写为()()()()x y z y x y z y ++=+++.由定理知此曲面是以曲线0xz x z y =+⎧⎨=⎩为准线，母线方向平行于}{1,1,1v =-的柱面 注：此题也可有其他证法，如文[1]中的证法.例2[]2空间直角坐标系中，方程22221x y a b +=，22221x y a b-=，22y px =都表示母线平行于z 轴的柱面，分别称为椭圆柱面，双曲柱面，抛物柱面，统称为二次柱面.参考文献：[1]宋卫东.《解析几何》[M].北京：高等教育出版社，2003:144-147[2]杨文茂.李全英.《空间解析几何》[M].武汉：武汉大学出版社，2000:94-97A NOTE ON THE EQUA TION OF CYLINEDERHe Guoqing(College of Maththetics and Computer Science,Anhui Normal University,WUHU 241000)Abstract:The paper discusses the equation of cylineder which element parallels the vector }{,,v l m n =,and a gives theorem.Then there are some examples which use the theorem. Key words: Cylineder,The direction of element,Equation。
柱面方程
播放
定义观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.C L 这条定曲线叫柱面的准线，
动直线叫柱面的母线.
C L 一、柱面的定义
只含y x ,而缺z 的方程0),(=y x F ，在空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱面，其准线为xoy 面上曲线 C .
实例122
22=-b y a x 双曲柱面// 轴z
只含z y ,而缺x 的方程0),(=z y G ，在空间直角坐标系中表示母线平行于 x 轴的柱面，其准线为yoz 面上曲线 C .
122
22=+c z b y 椭圆柱面// 轴x 实例
只含z x ,而缺y 的方程0),(=z x H ，在空间直角坐标系中表示母线平行于 y 轴的柱面，其准线为zox 面上曲线 C .
pz x 22=抛物柱面//
轴y 实例
x
o
z
y
x
o
z
y
x
y2
2=
抛物柱面
x
y=
平面
三、常见的柱面及其方程
x
o
z
y
1
2
2=
+y
x
圆柱面
四、小结
柱面的概念(母线、准线).
柱面方程的特点( 缺).。
