2014年考研数学三真题与解析-高数

2014年考研数学三真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．设0lim ≠=∞→a a n n ，则当n 充分大时，下列正确的有（ ）（A ）2a a n >（B ）2a a n <（C ）n a a n 1-> (D)na a n 1+< 【详解】因为0≠=∞→a a n n lim ，所以0>∀ε，N ∃，当N n >时，有ε<-a a n ，即εε+<<-a a a n ，εε+≤<-a a a n ，取2a =ε，则知2a a n >，所以选择（A ）2．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）xx y 1sin+= （D ）x x y 12sin +=【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以． 【详解】对于xx y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y =应该选（C ）3．设32dx cx bx a x P +++=)(，则当0→x 时，若x x P tan )(-是比3x 高阶的无穷小，则下列选项中错误的是（ ）（A ）0=a （B ）1=b （C ）0=c （D ）61=d 【详解】只要熟练记忆当0→x 时)(tan 3331x o x x x ++=，显然31010====d c b a ,,,，应该选（D ） 4．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两点21x x ,及常数10≤≤λ，恒有())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≥+-，则曲线是凸的． 显然此题中x x x ===λ,,1021，则=+-)()()(211x f x f λλ)()())((x g x f x f =+-110，而())()(x f x x f =+-211λλ，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，即())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≤+-，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）5、设⎪⎩⎪⎨⎧+==⎰-du u y e x tt)1ln(20则 ==022t x d y d （ ） (A) e1-(B) e 1 (C) 0 (D) 1.6、设xdx u nn tan 2⎰=π，则 级数n n u ∑∞=1( )(A) 发散. (B) 条件收敛. (C) 绝对收敛. (D) 无法判断.二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 7、设nx n +++++++= 21131211，则=∞→n n x lim25。

8．设D 是由曲线01=+xy 与直线0=+y x 及2=y 所围成的有界区域，则D 的面积为 ． 【详解】2ln 2112101+=+=⎰⎰⎰⎰--yydx dy dx dy S 9．设4120=⎰dx xe x a，则=a ． 【详解】41)12(4|)12(44120202+-=-==⎰a e x e dx xe a ax ax．所以.21=a10．二次积分=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰dx e x e dy y y x 11022． 【详解】⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x yy x y yx dx e dy dy x e dx dx e x e dy 0110101102222 ⎰⎰⎰--=xy x dy y e dy xe x d 0101)1(22⎰⎰⎰+-=101010222dy ye dy e e y y dx x )1(2112-==⎰e dy ye y 三、解答题 11．（本题满分10分）求极限)11ln())1((lim2112xx dt t e t x tx +--⎰+∞→．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．【详解】)11ln())1((lim2112xx dt t e t x tx +--⎰+∞→xdtt e t xtx ⎰--=+∞→112))1((lim))1((lim 12x e x xx --=∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=∞→x x o x x x x )1(211(lim 22221= 12、设()xx x f +-=11arctan，求()()05f 。

（本题6分） 解：()211xx f +-='，即()()112-='+x f x 。

（※） 等式（※）两边再对x 求2阶导数得：()()()()02412='+''+'''+x f x f x x f x ，令0=x ，得()20='''f 。

等式（※）两边对x 求4阶导数得：()()()()()()01281452='''+++x f x xf x f x ，令0=x ，得()()()2401205-='''-=f f。

16．（本题满分10分）设平面区域{}004122≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算⎰⎰++Ddxdy yx y x x )sin(22π【详解】由对称性可得y dxd y x y x x D ⎰⎰++)sin(22π⎰⎰++=Ddxdy y x y x y )sin(22π⎰⎰+++=D dxdy y x y x y x )sin()(2122π y dxd y x D ⎰⎰+=1)sin(2122πdr r r d ⎰⎰=2120sin 21πθπ43-=17．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足x x e y e z yz x z 22222)cos 4(+=∂∂+∂∂．若0)0(',0)0(==f f ，求)(u f 的表达式．【详解】设y e u xcos =，则)cos ()(y e f u f z x==，y e u f y e u f xze uf xzx x y x cos )('cos )(",)('2222cos +=∂∂=∂∂; y e u f y e u f y z y e u f y z x x xcos )('sin )(",sin )('2222-=∂∂-=∂∂； xx x e y e f e u f y z x z 222222)cos (")("==∂∂+∂∂ 由条件 x x e y e z yz x z 22222)cos 4(+=∂∂+∂∂， 可知 u u f u f +=)()("4这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．对应齐次方程的通解为：u u e C e C u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数．对应非齐次方程特解可求得为 u y 41-=*． 故非齐次方程通解为 u e C eC u f u u41)(2221-+=-．将初始条件0)0(',0)0(==f f 代入，可得161,16121-==C C ． 所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 41161161)(22--=-．18．（本题满分10分） 求幂级数∑∞=++0)3)(1(n nxn n 的收敛域、和函数．【详解】 由于1lim1=+∞→nn n a a ，所以得到收敛半径1=R ．当1±=x 时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为()11,-． 令和函数)(x S =∑∞=++0)3)(1(n nxn n ，则∑∞=++=12)34()(n nx n n x S ∑∑∞=∞=++++=11)1()1)(2(n nn nx n x n n '"1112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∞=+∞=+n n n n x x32)1(3'1"1x x x x x x --=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=19．（本题满分10分）设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，1)(0≤≤x g ，证明： （1） []b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0；（2）⎰⎰≤⎰+badtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．【详解】（1）证明：因为10≤≤)(x g ，所以[]b a x dt dt t g dx xax axa,)(∈≤≤⎰⎰⎰10．即[]b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0．（2）令⎰⎰⎰-=+xa dtt g a axadu u f du u g u f x F )()()()()(，则可知0=)(a F ，且⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰xa dt t g a f x g x g x f x F )()()()()('，因为 ,)(a x dt t g xa-≤≤⎰0且)(x f 单调增加，所以)()()(x f a x a f dt t g a f x a=-+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰．从而⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰xa dt t g a f x g x g x f x F )()()()()('0)()()()(=-≥x f x g x g x f ， []b a x ,∈也是)(x F 在[]b a ,单调增加，则0=≥)()(a F b F ，即得到⎰⎰≤⎰+badtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．。