2020年重庆市第一中学高三下学期3月月考理科数学试题及答案

2020届重庆市直属校高三3月月考理科数学试题第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.设集合A={x|x 2<9},B={-3,-2,-1,0,1,2},则A∩B=A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{-2,-1,0,1,2}D.{-2,–1,0}2.设(1+i)(a+bi)=2,其中a,b 是实数,i 为虚数单位,则|3a+bi|=A.2C.3.已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16,则log 2a 9=A.15B.16C.17D.184.若实数x,y 满足约束条件20,20,240x y x y x y -+⎧⎪⎪⎪-⎨⎪⎪+-⎪⎩…„?,则z=x+y 的最小值为A.-8B.-6C.1D.35.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献。

这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期。

现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为 A.35 B.710 C.45 D.9106.如图,四棱柱1111ABCD A B C D -中,ABCD 为平行四边形,E,F 分别在线段DB,DD 1上,且112DE DF EB FD ==,G 在CC 1上且平面AEF ∥平面BD 1G ,则1CG CC =A.12B.13C.23D.147.在直角坐标系xOy 中，半径为lm 的⊙C 在t= 0时圆心C 与原点O 重合，⊙C 沿x 轴以1m/s 的速度匀速向右移动，⊙C 被y 轴所截的左方圆弧长记为x ，令y=cosx ，则y 关于时间t （0≤t≤l, 单位：s ）的函数的图象大致为8.(()n mx n N +∈的展开式中,各二项式系数和为32,各项系数和为243,则展开式中x 3的系数为A.40B.30C.20D.10 9.设函数f(x)=cos(ωx+φ)(x∈R)(ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示,如果127,(,)1212x x ππ∈，x 1≠x ,且f(x 1)=f(x 2),则f(x 1+x 2)=A.2-B.12-C.2 D ．1210.已知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球O 的球面上,球O 的半径为4,ΔABC 是边长为6的等边三角形,记ΔABC 的外心为O 1.若三棱锥P-ABC的体积为PO 1=A.B.C.D.11.设双曲线2222:1(0,x y C a b a b-=>>)的左顶点为A,右焦点为F(c,0),若圆A:(x+a)2+y 2=a 2与直线bx-ay=0交于坐标原点O 及另一点E ﹐且存在以O 为圆心的圆与线段EF 相切,切点为EF 的中点,则双曲线的离心率为D.3212.函数1ln()(0)()(0)x x x f x xe x -'-<⎧⎪=⎨⎪⎩…，若关于x 的方程f 2(x)-af(x)+a-a 2=0有四个不等的实数根,则a的取值范围是 A. 4(,1]5B.(–∞,-1)∪[1,+∞)C.(-∞,-1)∪{1}D.(-1,0)∪{1}第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知向量a r 与b r 的夹角为120°,且(1,3),||a b =-=r r 则a b ⋅=r r ____.14.已知函数f(x)=3|x-a|(a ∈R)满足f(x)=f(4-x),则实数a 的值为____.15.设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足222(2)2()0n n S n n S n n -+--+=,n ∈N *,则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和T 2020=___.16.设抛物线y 2=2x 的焦点为F,准线为1,弦AB 过点F 且中点为M ﹐过点F,M 分别作AB 的垂线交l 于点P,Q,若|AF|=3|BF|,则|FP|·|MQ|=____.三、解答题:(共70分)17.(本小题满分12分)在ΔABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且满足(cos )c b A A =+(I)求角B 的大小;(II)若a=4,且BC求ΔABC 的周长.18.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD 为平行四边形,点E 在AB 上,AE=2EB=2,且DE ⊥AB.以DE 为折痕把ΔADE 折起,使点A 到达点F 的位置,且∠FEB=60°.(I)求证:平面BFC ⊥平面BCDE ﹔(II)若直线DF 与平面BCDE,求二面角E-DF-C 的正弦值.19.(本小题满分12分)为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内,武汉某制药厂在该药品的生产过程中,检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测,测量其主要药理成分含量(单位:mg).根据生产经验,可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布N(μ,σ2).在一天内抽取的20件产品中,如果有一件出现了主要药理成分含量在(μ-3σ,μ+3σ)之外的药品,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对本次的生产过程进行检查.(I)下面是检验员在2月24日抽取的20件药品的主要药理成分含量:其中x i为抽取的第i件药品的主要药理成分含量,i=1,2,…,20.用样本平均数x作为μ的估计值ˆμ,用样本标准差s作为σ的估计值ˆσ,利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查?(I)假设生产状态正常,记X表示某天抽取的20件产品中其主要药理成分含量在(μ-3σ,μ+3σ)之外的药品件数,求P(X=1)及X的数学期望.附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ<Z<μ+3σ)≈0.9974,0.997419≈0.95.20.(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线与C交于A,B两点.ΔABF2的周长为,且椭圆的离心率为2.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程:(I)设点P为椭圆C的下顶点,直线PA,PB与y=2分别交于点M,N,当|MN|最小时,求直线AB的方程.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=e ax-x-1,且f(x)≥0.(I)求a﹔(IⅡ)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为k,问:是否存在x0∈(x1,x2),使f'(x)=k成立?若存在,求出x的值(用x1,x2表示);若不存在,请说明理由.请从下面所给的22、23两题中选定一题作答,并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程.在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2(cos2θ+3sin2θ)=12,直线l的参数方程为2x ty t=-+⎧⎪⎨⎪=⎩(t为参数),直线l与曲线C交于M,N两点.(I)若点P的极坐标为(2,π),求|PM|·|PN|的值; (Ⅱ)求曲线C的内接矩形周长的最大值.23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲.已知函数f(x)=x|x-a|,a∈R.(Ⅰ)当f(2)+f(-2)>4时,求a的取值范围;(Ⅱ)若a>0,∀x,y∈(-∞,a],不等式f(x)≤|y+3|+|y-a|恒成立,求a的取值范围.。

2020届重庆市第一中学高三下学期3月月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合()(){}|2340A x Z x x =∈+-<，{|B x y ==，则A B =I （ ） A ．(]0,e B ．{}0,eC ．{}1,2D ．()1,2【答案】C【解析】()(){}2340A x Z x x =∈+-<{}3={|4,}1,0,1,2,32x x x -<<∈=-Z ，{B x y =={}{|1ln 0}(0,]1,2x x e A B =-≥=∴⋂= ，选C.2．已知复数z 满足11212ii z+=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．4 B ．4i C ．4- D ．4i - 【答案】C 【解析】112i 11420i34i 12i 5z ++-===-+ ,所以z 的虚部为4-,选C. 3．下列说法正确的是（ ） A ．a R ∈，“11a<”是“1a >”的必要不充分条件 B ．“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的必要不充分条件C ．命题“x R ∃∈，使得2230x x +-<”的否定是：“x R ∀∈，2230x x +->”D ．命题:p “x R ∀∈，sin cos x x +≤，则p ⌝是真命题【答案】A【解析】对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】 A. 由11a <得1a >或0a <,所以a R ∈，“11a<”是“1a >”的必要不充分条件，所以该选项命题正确；B. “p q ∧为真命题”即“p 和q 都是真命题”，“p q ∨为真命题”即“,p q 中至少有一个真命题”， 所以 “p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的充分不必要条件，所以该选项命题是假命题；C. 命题“x R ∃∈，使得2230x x +-<”的否定是：“x R ∀∈，2230x x +-≥”，所以该选项命题是假命题；D. sin cos )4x x x π+=+≤ 所以命题:p “x R ∀∈，sin cos x x +≤是真命题，则p ⌝是假命题，所以该选项命题是假命题. 故选：A 【点睛】本题主要考查充要条件的判断和复合命题的真假的判断，考查特称命题的真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤？”（ ） A ．6斤 B ．7斤C ．8斤D ．9斤【答案】D【解析】将原问题转化为等差数列的问题，然后利用等差数列的性质求解即可. 【详解】原问题等价于等差数列中，已知154,2a a ==，求234a a a ++的值. 由等差数列的性质可知：15241536,32a a a a a a a ++=+===， 则2349a a a ++=，即中间三尺共重9斤. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查等差数列的实际应用，等差数列的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．设231sin ,54a b c π⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a,b,c 的大小关系是（ ）A ．a <c <bB ．c ＜a ＜bC ．b <a <cD ．c ＜b ＜a【答案】B【解析】由三角函数的单调性可得：112a <<，由对数函数的单调性可得：1b >，由指数函数的单调性可得：102c <<，即可得解. 【详解】 解：因为11sinsin562ππ>>=，即112a <<，1>=，即1b>，2132111442⎛⎫⎛⎫<=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即12c<<，即c a b<<，故选B.【点睛】本题考查了利用三角函数，对数函数，指数函数的单调性比较值的大小，属基础题. 6．过抛物线()220y px p=>的焦点F的直线交抛物线于,A B两点，若线段AB中点的横坐标为3，且52AB p=，则p=（）A．8B．2C．6D．4【答案】D【解析】设,A B的坐标分别为()11,x y，()22,x y，由题得12=6x x+，化简562AB p p==+即得解.【详解】设,A B的坐标分别为()11,x y，()22,x y，因为线段AB中点的横坐标为3，所以12123,62x xx x+=∴+=，由题得1252AB p x x p==++，由此解得4p=.故选：D.【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7．一架飞机有若干引擎，在飞行中每个引擎正常运行的概率为p，且相互独立.已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可安全飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可安全飞行.若已知4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p的取值范围是（）A．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B．1,13⎛⎫⎪⎝⎭C．20,3⎛⎫⎪⎝⎭D．10,3⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题得()33442441C p p C p p-+>，解不等式即得解.【详解】设事件A 为“4引擎飞机安全飞行”，则()()3344441P A C P P C P =-+.设事件B 为“2引擎飞机成功飞行”，则()2P B p =，依题意()()P A P B >，即()33442441C p p C p p -+>，所以113p <<， 故选：B . 【点睛】本题主要考查独立重复试验的概率的计算，考查互斥事件的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8．下列关于函数()12sin 26x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像或性质的说法中，正确的个数为（ ）①函数()f x 的图像关于直线83x π=对称 ②将函数()f x 的图像向右平移3π个单位所得图像的函数12sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ③函数()f x 在区间5,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 ④若()f x a =，则1cos 232a x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】利用正弦型函数的图象和性质逐一分析每一个命题得解. 【详解】 令()1262x k k Z πππ+=+∈，解得()223x k k Z ππ=+∈，当1k =时，则83x π=，故①正确；将函数()f x 的图像向右平移3π个单位得112sin 2sin 2362y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故②错误； 令()1222262k x k k Z πππππ-+<+<+∈，得()424433k x k k Z ππππ-+<<+∈，故③错误；若()f x a =，12sin 26x a π⎛⎫+=⎪⎝⎭，111cos sin sin 23223262a x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故④正确.故选：B . 【点睛】本题主要考查正弦型函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 9．已知{}1,2,3,...,40S =，A S ⊆且A 中有三个元素，若A 中的元素可构成等差数列，则这样的集合A 共有（ ）个 A ．460 B ．760 C ．380 D ．190【答案】C【解析】设A 中构成等差数列的元素为,,a b c ，则有2b a c =+，可得,a c 应该同奇同偶，求出,a c 同为奇数和偶数的可能的情况都为220C ，即得解.【详解】设A 中构成等差数列的元素为,,a b c ，则有2b a c =+， 由此可得,a c 应该同奇同偶，而当,a c 同奇同偶时，则必存在中间项b ，所以问题转变为只需在140-中寻找同奇同偶数的情况.,a c 同为奇数的可能的情况为220C ，同为偶数的可能的情况为220C ， 所以一共有2202380C ⋅=种，故选：C . 【点睛】本题主要考查等差数列和排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．已知三棱锥—P ABC 的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC ∆满足BA BC ==π2ABC ∠=，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ） A ．8π B ．16πC ．16π3D ．32π3【答案】D【解析】因为ABC ∆是等腰直角三角形，所以外接圆的半径是11232r ==接球的半径是R ，球心O 到该底面的距离d ，如图，则163,32ABC S BD ∆=⨯==116336ABC V S h h ∆==⨯=最大体积对应的高为3SD h ==，故223R d =+，即22(3)3R R =-+，解之得2R =，所以外接球的体积是343233R ππ=，应选答案D ．11．若曲线()21(11)ln(1)f x e x e a x =-<<-+和()32(0)g x x x x =-+<上分别存在点,A B ，使得AOB ∆是以原点O 为直角顶点的直角三角形，且斜边AB 的中点y 轴上，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．2(,)e e B ．2(,)2e eC ．2(1,)eD ．[1,e)【答案】B【解析】()2'32(0)g x x x x =-+< ,由()'0g x < 得()g x 在(),0-∞ 上单调递减，所以()()00g x g >= ，设()001,ln 1A x a x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭，因为斜边AB 的中点在y 轴上，所以()32000,B x x x -+ ，又因为OA OB ⊥ ，所以()32000001•1ln 1x x x ax x +=--+ ，可得()001,ln 1x a x +=+ 设()()21(11),ln 1x h x e x e x +=-<<-+ 则()()()()()()222ln 11'0,112ln 1x e h x h e e h x h e x +-=>-=<<-=⎡⎤+⎣⎦，实数a 的取值范围是2,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭，故选B. 【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率、利用导数研究函数的单调性，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x ='；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x ='-=-求解.12．在平面直角坐标系xOy 中，A 和B 是圆()22:11C x y -+=上的两点，且2AB =，点()2,1P ，则2PA PB -u u u r u u u r的取值范围是（ ） A ．52,52⎡⎤-+⎣⎦ B ．51,51⎡⎤--+⎣⎦ C ．625,625⎡⎤-+⎣⎦D ．7210,7210⎡⎤-+⎣⎦【答案】A【解析】取AB 中点为M ，延长MA 至Q ，使得323MQ MA ==，求出2PA PB PQ -=u u u r u u u r u u u r，根据已知求出Q 的轨迹是以C 为圆心，5为半径的圆，再利用数形结合求出2PA PB -u u u r u u u r的取值范围.【详解】2AB =AB 中点为M ，22CM =，且CM AB ⊥，延长MA 至Q ，使得32MQ MA ==， 所以23PA PB PA PA PB PM MA BA PM MA PM MQ PQ -=+-=++=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r，因为QC ==所以Q 的轨迹是以C因为PC ==所以PQ ∈u u u r.故选：A 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系和轨迹问题，考查向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题13．双曲线22163-=x y 的渐近线与圆222(3)(0)x y r r -+=>相切，则r =_____【解析】求出渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离，根据此距离和圆的半径相等，求出r ． 【详解】解：双曲线的渐近线方程为y =，即0x ±=，圆心(3,0)到直线的距离d ==r ∴=【点睛】本题考查双曲线的性质、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式．解答的关键是利用圆心到切线的距离等于半径来判断直线与圆的位置关系．14．某个四棱柱被一个平面所截，得到的几何的三视图如图所示，则这个几何体的体积为______.【答案】8【解析】先通过三视图找到几何体原图，再求几何体的体积得解.【详解】由三视图可知，几何体原图是ABCD-EFGH.由于长方体被平面所截，可以考虑沿着截面再接上一个一模一样的几何体，从而拼成了一个长方体，∵长方体由两个完全一样的几何体拼成，∴所求体积为长方体体积的一半.从图上可得长方体的底面为正方形，且边长为2，长方体的高为314+=，∴182V V==方体长.故答案为：8【点睛】本题主要三视图还原几何体，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．61(1)(0)x ax ax⎛⎫++>⎪⎝⎭的展开式中2x的系数为240，则=⎰__________．【答案】π【解析】由条件知()611(0)x ax a x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为：246240C a =解得 2.a=0==14.4ππ⨯⨯=故答案为π．16．已知数列{}n a 满足：11a =，()*12nn n a a n N a +=∈+.设()()*1121n n b n n N a λ+⎛⎫=-⋅+∈ ⎪⎝⎭，215b λλ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是______. 【答案】312λ-<<【解析】先求出112n na +=，()122n nb n λ+=-⋅，根据21b b >得12λ-<<，根据21n n b b ++>得32λ<，综合即得解. 【详解】∵数列{}n a 满足：11a =，()*12nn n a a n N a +=∈+. ∴1121n n a a +=+，化为11112(1)n na a ++=+， ∴数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，首项为1112a +=，公比为2，∴112n na +=， ∴()()112122nn n b n n a λλ+⎛⎫=-+=-⋅ ⎪⎝⎭，∵215b λλ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，∴21b b >，∴()21225λλλ-⋅>-，解得12λ-<<；再由21n n b b ++>，可得12n λ<+，对于任意的*n N ∈恒成立，∴32λ<.综上得312λ-<<. 故答案为：312λ-<< 【点睛】本题主要考查数列的通项的求法和数列的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题17．如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，ADC 60∠=o ，27AB =，4BD =.（1）求ABD ∆的面积.（2）若120BAC ∠=o ，求sin C 的值.【答案】（1）23（221【解析】（1）先由余弦定理求得2AD =，再求出ABD ∆的面积；（2）利用正弦定理求出21sin 14B =，再根据()sin sin 60C B =-o求解. 【详解】（1）由题意，120BDA ∠=o ，在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos120AB BD AD BD AD =+-⋅⋅o ， 即228164AD AD =++，所以2AD =或6AD =-（舍）， ∴ABD ∆的面积113sin 422322S DB DA ADB =⋅⋅⋅∠=⨯⨯=（2）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AD AB B BDA =∠，代入得21sin B =， 由B 为锐角，故57cos 14B =， 所以()21sin sin 60sin 60cos cos 60sin 7C B B B =-=-=o o o .【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角函数求值，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，正三角形ABC 的边长为2，13BB =，110AB =，160CBB ∠=o .（1）求证：面ABC ⊥面11BCC B ； （2）求二面角1C BB A --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）5【解析】（1）取BC 的中点O ，连接OA 和1OB ，先证明OA ⊥平面11BCC B ，面ABC ⊥面11BCC B 即得证；（2）如图所示，以点O 为坐标原点，OC 为x 轴，OA 为y 轴，OH 为z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角1C BB A --的余弦值. 【详解】（1）取BC 的中点O ，连接OA 和1OB ， ∵底面ABC 是边长为2的正三角形，∴OA BC ⊥，且OA =∵13BB =，160CBB ∠=o ，1OB =，222113213cos 607OB =+-⨯⨯⨯=o，∴1OB ，又∵1AB =∴2221110OA OB AB +==，∴1OA OB ⊥.又∵110,OB BC OB BC =⊂I ，平面11BCC B ， ∴OA ⊥平面11BCC B ，又∵OA ⊂平面ABC ， ∴平面ABC ⊥平面11BCC B .（2）如图所示，以点O 为坐标原点，OC 为x 轴，OA 为y 轴，OH 为z 轴建立空间直角坐标系，可知2BH =，则()A ，()1,0,0B -，()1,0,0C，(H，112B ⎛⎝⎭，∴11,2AB ⎛= ⎝⎭u u u r，()1,AB =-u u ur，()1,AC =u u u r ，设()1111,,n x y z =u r 为平面1ABB 的法向量，则1110,n AB n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u vu v u u u v ，即1111101022x x z ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩，令11y =，得()1n =u r ； 设()2222,,n x y z =u u r 为平面1CBB 的法向量，则()20,1,0n =u u r；121212cos ,5n n n n n n ⋅===⋅u r u u ru r u u r u r u u r ，设二面角1C BB A --的平面角为θ，∴cos θ=【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查空间二面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.19．某学校研究性学习小组对该校高三学生的视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如下直方图:年级名次/是否近视1-50951-1000近视4132不近视918（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到如上述表格中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系;（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50名的学生人数为X，求X的分布列和数学期望.附：0.100.050.0250.0100.005k 2.706 3.841 5.024 6.6357.879【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）分布列见解析，．【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用可得第一、二组的频率，由已知条件可得第三、六组的频率，进而可得视力在5.0以下的频率，再利用可得全年级视力在5.0以下的人数；（Ⅱ）先算出的值，再与表中的数据比较即可得在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系；（Ⅲ）先分析确定随机变量的所有可能取值，再计算各个取值的概率即可得的分布列，进而利用数学期望公式即可得数学期望．试题解析：（Ⅰ）设各组的频率为，依题意，前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，故，，1分所以由得，2分所以视力在5.0以下的频率为1-0.17=0.83，3分故全年级视力在5.0以下的人数约为4分（Ⅱ）6分因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系. 7分（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1~50名和951~1000名分别有3人和6人，8分可取0,1,2,3，，，X的分布列为X 0 1 2 3PX的数学期望12分【考点】1、频率分布直方图；2、独立性检验；3、离散型随机变量的分布列与数学期望．20．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为4，直线1:bl y x c=与椭圆相交于A 、B 两点，2F 关于直线1l 的对称点E 恰好在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）与直线1l 垂直的直线2l 与线段AB （不包括端点）相交，且也椭圆相交C 、D 两点，求四边形ABCD 面积的取值范围.【答案】（1）22184x y +=；（2）3232,93⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【解析】（1）由椭圆的对称性可知，当b c =时，点2F 关于直线1:l y x =的对称点E 坐标为(0,2)，恰在椭圆上，所以2b c ==，再结合222a b c =+，即可求出椭圆的标准方程；（2）由直线1l 与椭圆方程联立可得点A ，B 的坐标，进而得到||AB ，设直线2l 的方程为：y x m =-+，由直线2l 与椭圆方程联立结合弦长公式可得||CD ，利用AB CD ⊥可表示四边形面积，利用直线2l 与线段AB 相交可得m 的范围，代入所得面积即可求解． 【详解】 （1）Q 焦距为4，2c ∴=，2(2,0)F ∴， Q 点2F 关于直线1:bl y x c=的对称点E 恰好在椭圆上， ∴由椭圆的对称性可知，当b c =时，点2(2,0)F 关于直线1:l y x =的对称点E 坐标为(0,2)，恰在椭圆上，2b c ∴==，2228a b c =+=，∴椭圆的标准方程为：22184x y +=；（2）由题意可知，直线2l 的斜率为1-，设直线2l 的方程为：y x m =-+，1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，联立方程22184y x mx y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：2234280x mx m -+-=，∴△221612(28)0m m =-->，即212m <，∴2323m -<<且1243m x x +=，212283m x x -=，由（1）可知，直线1l 的方程为：y x =，代入椭圆方程可得26(A ，26，26(B ，26， 83||AB ∴， 当直线2l 过点B 2626m =+，46m ∴=， 同理可得，当直线2l 过点A 时，46m =，Q 直线2l 与线段AB 交于点P ，(m ∴∈，满足△0>，||CD ∴==AB CD ⊥Q ，12ABCD S AB CD ∴=⨯⨯=四边形(m ∈Q ，∴32(9，32]3，∴四边形ACBD 面积的取值范围为：3232(,]93． 【点睛】本题主要考查了椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力．21．已知函数()()sin ln f x x a x b =-+，()g x 是()f x 的导函数. （1）若0a >，当1b =时，函数()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一的极大值，求a 的取值范围；（2）若1a =，1,2b e π⎛⎫∈-⎪⎝⎭，试研究()f x 的零点个数. 【答案】（1）20,12π⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()f x 有3个零点 【解析】（1）先求导得()()2sin 1ag x x x '=-++，再分212a π⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭和212a π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭两种情况讨论求得a 的取值范围；（2）分析可知，只需研究(),b π-时零点的个数情况，再分(,),(,)22x b x πππ∈-∈两种情形讨论即可.【详解】（1）当1b =时，()()sin ln 1f x x a x =--，()()cos 1ag x f x x x '==-+，()0a > ()()2sin 1ag x x x '=-++在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数，且()00g a '=>，21212a g ππ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，①，当02g π⎛⎫'≥ ⎪⎝⎭，212a π⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭时，()0g x '≥恒成立，()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭是增函数，无极值；②，当02g π⎛⎫'< ⎪⎝⎭，212a π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭时，00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，()00,x x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增；0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x '<，()g x 单调递减，0x 为()g x 唯一的极大值点，所以20,12a π⎛⎫⎛⎫∈+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）1a =，()()sin ln f x x x b =-+，(),x b ∈-+∞，1,2b e π⎛⎫∈-⎪⎝⎭，可知， （i ）(),x π∈+∞时，()0f x <，无零点；所以只需研究(),b π-，()1cos f x x x b'=-+， （ii ）,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()1cos 0f x x x b '=-<+，可知()f x 单调递减，1ln 1ln 02222f b e ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+>-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()0f π<，∃唯一的,2s ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f s =；（iii ）当,2x b π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()()21sin f x x x b ''=-++是减函数，且()21000f b ''=+>，211022f b ππ⎛⎫''=-+< ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 则10,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，()10f x ''=，()f x '在()1,b x -是增函数，1,2x π⎛⎫⎪⎝⎭是减函数，并且()lim 0x b f x +→-'<，()1010f b'=->，1022f b ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭+， 所以()2,0x b ∃∈-，()20f x '=；30,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，()30f x '=，且知()f x 在()2,b x -单调递减，在()23,x x 单调递增，在3,2x π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又因为()lim 0x b f x +→->，()00ln 0f b =-<，02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以(),0m b ∃∈-，()0f m =，0,2n π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，()0f n =，综上所述，由（i ）（ii ）（iii ）可知，()f x 有3个零点.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos (22sin x y θθθ=⎧⎨=+⎩为参数).以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．()1写出曲线C 的极坐标方程； ()2设点M 的极坐标为4π⎫⎪⎭，过点M 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，若2MA MB =，求AB 的弦长．【答案】（1）4sin ρθ=；（2）3【解析】()1将参数方程转化为直角坐标方程，然后转化为极坐标方程可得曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=．()2设直线l 的参数方程是11x t cos y t sin θθ=+⋅⎧⎨=+⋅⎩(θ为参数)，与圆的方程联立可得()2220t cos sin t θθ+--=，结合题意和直线参数的几何意义可得弦长123AB t t =-=．【详解】()1Q 曲线C 的参数方程为222x cos y sin θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数)．∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y y +-=， ∴曲线C 的极坐标方程为240sin ρρθ-=，即曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=．()2设直线l 的参数方程是11x t cos y t sin θθ=+⋅⎧⎨=+⋅⎩(θ为参数)①， 曲线C 的直角坐标方程是2240x y y +-=，②，①②联立，得()2220t cos sin t θθ+--=，122t t ∴=-，且2MA NB =，122t t ∴=-，则12t =，21t =-或12t =-，21t =，AB ∴的弦长123AB t t =-=．【点睛】本题主要考查参数方程与极坐标方程的转化方法，直线参数方程的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23．已知1a >-，函数()221f x x a x =-++，()243g x x ax =+- （1）当1,22a x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. （2）在（1）中a 的最大值为m ，若bc ca ab m a b c++=，证明：a b c m ++≤ 【答案】（1）(]1,2-；（2）见解析 【解析】（1）()()f x g x ≥可化为()1a g x +≥，即11212a g a a g ⎧⎛⎫+≥- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解不等式组即得解；（2）分析得2222222b c a c b a abc ++=，再利用重要不等式分析得证.【详解】（1）当1,22a x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()()()2211f x a x x a =-++=+， 所以()()f x g x ≥可化为()1a g x +≥，又()243g x x ax =+-的最大值必为12g ⎛⎫- ⎪⎝⎭、2a g ⎛⎫ ⎪⎝⎭之一，∴11212a g a a g ⎧⎛⎫+≥- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩即2423a a ≥-⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩即423a -≤≤. 又1a >-，所以12a -<≤.所以a 取值范围为(]1,2-.（2）由（1）可知2m =，所以2bc ca ab a b c++=，得2222222b c a c b a abc ++=， ∴0abc >，∵222222b c a c abc +≥，222222a c a b a bc +≥，222222b c a b acb +≥，∴()222222b c a c b a abc a b c ++≥++， 即()2abc abc a b c ≥++，即2a b c ++≤.即得证.【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，考查不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

2020年重庆一中2020级高三下期三月月考数学试题（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．集合{}2,A y y x x R ==∈，{}2(,),B x y y x x R ==∈，以下正确的是（ ）A ．AB =B ．AB R =C ．A B φ=D ．2B ∈2．二项式8(1)x +的展开式的各项系数之和为（ ）A ．256B ．257C ．254D ．2553．复数134ii +-的模是（ ） ：A. 25B.25C.10D.2254．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．129B ．126C ．128D ．256 5．已知一个四棱柱的侧棱垂直于底面，条件p ：该四棱柱是正四棱柱，条件q ：该棱柱底面是菱形，那么p 是q 的（ ）条件A ．既不充分也不必要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．充要 6．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产产品A 过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：x~3 4 5 6yt4，根据上表的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，那么t 的值为（ ） A ．3B ．C ．D ．7．平面上三个单位向量a ，b ，c 两两夹角都是23π，则a b -与a c +的夹角是（ ） A.3π B.23πC.12πD. 6π8．2020年东京夏季奥运会将设置4100⨯米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员比赛，按照仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由一名运动员完成，每个运动员都要出场.现在中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者自由泳，剩下的男女各一名运动员则四种泳姿都可以上，那么中国队共有（ ）种排兵布阵的方式. 9．已知直线l ：240x y -+=，圆C ：22(1)(5)80x y -++=，那么圆C 上到直线l 的距离为5的点一共有（ ）个 ：B ．2C ．3D ．410．已知12sin2a =，13sin 3b =，13cos 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．a c b <<11．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，曲线cos()y b x b π=经过双曲线的焦点，则双曲线的离心率为（ ）A ．*212(2,)1k k k N k +≥∈- B ．*2(2,)1k k N k ≥∈- C ．*212(2,)1()12k k k N k +≥∈+-D ．*2(2,)1()12k k N k ≥∈+-12．不等式22420x x x x e e x ae ae ax -----++≥对于任意正实数x 恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．152D ．172…二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量13X ~B(6)，，且随机变量31Y X =+，则Y 的方差=DY ．14．某三棱锥的三视图如图所示，其俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的表面积为 ．15．在不等式组1270x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩表示的平面区域内任取一点(,)m n ，则满足230m n ->的概率是 ．16．点O 是锐角三角形ABC 的外心，6AB =,2AC =，则()AO AB AC += ． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17——21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的首项12a =，公比1q >，且5a 是14a 和37a 的等差中项，n S 是数列{}n a 的前n 项和．@（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足22(S 2)log n n n b a =++，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，AD ∥BC ，090BAD ∠=,AC BD ⊥，1BC =，13AD AA ==．（Ⅰ）证明：AC ⊥平面1BDB ；（Ⅱ）求平面1ACD 与平面11ABB A 所成的锐二面角的余弦值．-19．（本小题满分12分）北方某市一次全市高中女生身高统计调查数据显示：全市20万名高中女生的身高（单位：cm ）服从正态分布2(1684)N ，．现从某高中女生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生的身高全部在160cm 和184cm 之间，现将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160,164)，第2组[164,168)，…，第6组[180,184)，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）求这50名女生身高不低于172cm 的人数；（Ⅱ）在这50名女生身高不低于172cm 的人中任意抽取2人，将该2人中身高排名（从高到低）在全市前260名的人数记为X ，求X 的数学期望．参考数据：若(,)X N μσ~,则()0.6826P X μσμσ-<≤+=,(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=,?(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=．20．（本小题满分12分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>经过点2(1)M ，,它的一个焦点恰好与抛物线24y x =的焦点重合．椭圆E 的上顶点为A ，过点(0,3)N 的直线交椭圆E 于B 、C 两点，连接AB ，AC ，记直线AB ，AC 的斜率分别为1k 、2k ． （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程； （Ⅱ）求1k 2k 的值．￥21．（本小题满分12分）已知函数()1,x f x e x x R =--∈.（Ⅰ）求函数()f x 的极值； （Ⅱ）求证：211(1)(1)33++…1(1)23n +<，*n N ∈； （Ⅲ）1()(()1)2(0)a F x a f x x a x+=+-+->，若对任意的(0,)x ∈+∞，恒有()0F x ≥成立，求a 的取值范围.-（二）选考题：共10分．请考生在第22、23三题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．在答题卡上一定要把自己所选做的题号对应的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4——4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为，点A 到直线l ：sin()(0)4m m πρθ-=>的距离为3．（Ⅰ）求m 的值以及直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）椭圆C ：2212y x +=上的一个动点为M ，求M 到直线l 的距离的最大值．,23．（本小题满分10分）选修4——5：不等式选讲函数()12f x x x =-++的最小值为m ． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）正实数,,a b c 满足3a b c ++=，求证：11131112a b c ++≥+++．~高2020级高三下三月月考理科数学答案一、选择题（每题5分，共60分） CABDB ADACB CB二、填空题（每题5分，共20分）13. 14. 15. 16.三、解答题（共70分） 17.（12分） 《解：（1）设，根据条件有，………………….3分又………………….5分（2）由（1），，所以………………….8分由分组求和， ………………….12分18.（12分）解：(1)证明：根据条件可得，………………….3分 又而，所以，直线平面.………………….5分 (2)两两垂直．如图所示，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．设，……………….7分】又所以，………………….8分根据条件平面，所以可视为平面的一个法向量，现设是平面的一个法向量，则，令，所以，设平面与平面所成的锐二面角为………………….12分19. （12分）解：(1)由直方图知，后组频率为，人数为，即这名女生身高不低于的人数为人；………………….5分(2)∵，∴………………….7分∴. ，则全市高中女生的身高在以上的有人，这人中以上的有人．………………….8分?随机变量可取，于是，，………………….10分！∴………………….12分20.（12分）解：(1)设椭圆的标准方程为，抛物线的焦点为，所以该椭圆的两个焦点坐标为，根据椭圆的定义有，所以椭圆的标准方程为；………………….5分(2)由条件知，直线的斜率存在．设直线的方程为，并代入椭圆方程，得，且，设点，由根与系数的韦达定理得，………………….8分则，即为定值.…………….12分21. （12分）|解：（1）由可得，函数在单减，在单增，所以函数的极值在取得，为极小值；………………….3分（2）根据（1）知的极小值即为最小值，即可推得当且仅当取等，所以，………………….5分所以有………7分（3）∴………………….8分令，则，∴在上递增∵，当时，∴存在，使，且在上递减，在上递增∵∴，即∵对于任意的，恒有成立∴∴………………….10分∴∴∴，又，∵∴，令，，显然在单增，而，，∴∴.………………….12分22. （10分）解：(1)则点的直角坐标为，直线的直角坐标方程为………………….3分又，所以直线的直角坐标方程为………………….5分(2)由(1)得方程为，设点，………………….7分所以点到直线距离为，当时，距离有最大值，最大值为.………………….10分23.（10分）解：（1），………………….3分当且仅当取等，所以的最小值………………….5分（2）根据柯西不等式，.………………….10分。