用函数单调性定义证明

函数单调性的判断或证明方法.（1）定义法。

用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）向有利于判断差值符号的方向变形；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，应分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。

例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．解：设－1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．例2.证明函数在区间和上是增函数；在上为减函数。

（增两端，减中间）证明：设，则因为，所以,所以，所以所以设则，因为，所以，所以所以同理，可得（2）运算性质法.①在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．（增+增=增；减+减=减；增-减=增，减-增=减）②若.③当函数.④函数二者有相反的单调性。

⑤运用已知结论，直接判断函数的单调性，如一次函数、反比例函数等。

（3）图像法.根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。

例3.求函数的单调区间。

解：在同一坐标系下作出函数的图像得所以函数的单调增区间为减区间为.（4）复合函数法.（步骤：①求函数的定义域；②分解复合函数；③判断内、外层函数的单调性；④根据复合函数的单调性确定函数的单调性.⑤若集合是内层函数的一个单调区间，则便是原复合函数的一个单调区间，如例4；若不是内层函数的一个单调区间，则需把划分成内层函数的若干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数的单调区间，如例5.）设，，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。

用定义法证明函数单调性1、定义法:①任取x1、x2∈d，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)，并适度变形(“水解因式”、配方Z917号项的和等)；③依据差式的符号确定其增减性。

2、导数法:设函数y＝f(x)在某区间d内可导。

如果f′(x)>0，则f(x)在区间d内为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)在区间d内为减函数。

特别注意：(补足)（1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间d内为增函数；如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间d内为减函数。

定义法及导数法、图象法、复合函数的`单调性(同增异减)、（补足）单调性的有关结论1、若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为减(减至)函数。

2、若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减至(减)函数，如果同时存有f(x)>0，则为减至(减）函数，为增（减）函数3、互为反函数的两个函数存有相同的单调性。

4、y＝f[g(x)]是定义在m上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性恰好相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数。

简称”同增异减”5. 奇函数在关于原点等距的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反。

(1)谋某些函数的值域或最值。

(2)比较函数值或自变量值的大小。

(3)求解、证不等式。

(4)求参数的取值范围或值。

(5)并作函数图象。

④定号，判断 的正负符号，当符号不确定时，需进行分类讨论；
⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
作差法：
例1.判断函数 在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．
解：设－1<x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝ －
＝
＝
∵－1<x1<x2，
∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.
∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，
根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．
∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），
∴函数f（x）在R上单调递减．
（二）、运算性质法.
函数
函数表达式
单调区间
特殊函数图像
一次函数
当 时， 在R上是增函数；
当 时， 在R上是减函数。
二次函数
当 时， 时 单调减,
⑷若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减，则 为增函数，若为一增一减，则 为减函数（同增异减）；
⑸求出相应区间的交集，既是复合函数 的单调区间。
以上步骤可以用八个字简记“一分”，“二求”，“三定”，“四交”。利用“八字”求法可以解决一些复合函数的单调性问题。
例7.求 （ 且 ）的单调区间。
减函数的区间
函数
表达式
单调性
解：列表如下
由表知 是减函数的区间 ， 。
所以函数的单调增区间为
减区间为 .
（四）、同增异减法（复合函数法）.
定理1：若函数 在 内单调， 在 内单调，且集合{ ︳ ， }
（1）若 是增函数， 是增（减）函数，则 是增（减）函数。（2）若 是减函数， 是增（减）函数，则 是减（增）函数。

证明函数单调性的方法总结导读：1、定义法:利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1 ②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)；③依据差式的符号确定其增减性．2、导数法:设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) 注意：(补充)（1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数．（2）单调性的判断方法：定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等（补充）单调性的有关结论1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数．2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，则为减(增）函数，为增（减）函数3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的'单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减”5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．函数单调性的应用(1)求某些函数的值域或最值．(2)比较函数值或自变量值的大小．(3)解、证不等式．(4)求参数的取值范围或值．(5)作函数图象．【证明函数单调性的方法总结】1.函数单调性的说课稿2.高中数学函数的单调性的教学设计3.导数与函数的单调性的教学反思4.高中函数单调性的教学设计5.《函数的单调性》的说课稿6.函数单调性教案练习题7.函数单调性说课课件8.《函数的单调性》教学设计上文是关于证明函数单调性的方法总结，感谢您的阅读，希望对您有帮助，谢谢。

判断函数单调性的常用方法判断函数单调性的常用方法一、定义法设$x_1.x_2$是函数$f(x)$定义域上任意的两个数，且$x_1f(x_2)$，则此函数为减函数。

例如，证明：当$x>0$时，$x>\ln(1+x)$。

f'(x)=\frac{1}{1+x}>0$，所以$f(x)$为严格递增的。

因为$f(x)>\lim\limits_{x\to 0}-\ln(1+x)=-\ln(1+0)=0$，所以$x>\ln(1+x)$。

二、性质法除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题。

若函数$f(x)。

g(x)$在区间$B$上具有单调性，则在区间$B$上有：⑴$f(x)$与$f(x)+C$（$C$为常数）具有相同的单调性；⑵$f(x)$与$c\cdot f(x)$当$c>0$时具有相同的单调性，当$c<0$时具有相反的单调性；⑷当$f(x)。

g(x)$都是增（减）函数，则$f(x)+g(x)$都是增（减）函数；⑸当$f(x)。

g(x)$都是增（减）函数，则$f(x)\cdot g(x)$当两者都恒大于时也是增（减）函数，当两者都恒小于时也是减（增）函数。

三、同增异减法是处理复合函数的单调性问题的常用方法。

对于复合函数$y=f[g(x)]$满足“同增异减”法（应注意内层函数的值域），可令$t=g(x)$，则三个函数$y=f(t)。

t=g(x)。

y=f[g(x)]$中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数。

注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；2）互为反函数的两个函数有相同的单调性；3）如果$f(x)$在区间$D$上是增（减）函数，那么$f(x)$在$D$的任一子区间上也是增（减）函数。

设单调函数$y=f(x)$为外层函数，$y=g(x)$为内层函数。

证明二次函数单调性
总结词
通过二次函数的对称轴和开口方向，可以判断其单调性。
详细描述
对于二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，其对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$。如果函数的 开口向上（即$a > 0$），那么函数在对称轴左侧是单调递减的，在对称轴右侧是单调 递增的；如果函数的开口向下（即$a < 0$），那么函数在对称轴左侧是单调递增的，
回顾本次课件的主要内容
介绍了定义法证明函 数单调性的基本步骤 ；
提供了练习题，帮助 学生巩固所学知识。
通过例题演示了如何 运用定义法证明函数 单调性；
提出下一次课件的预告和要求
下一次课件将介绍函数的奇偶性 和周期性；
要求学生提前预习相关基础知识 ；
准备相关问题及疑惑，便于课堂 讨论和解答。
THANK YOU
单调函数的图像特征
递增函数的图像呈上升趋势，递减函数的图像呈下降趋势。
单调函数的性质
如果$f(x)$在区间$I$上单调递增，那么对于任意的$x_{1}, x_{2}$满足$x_{1} < x_{2}$， 都有$f(x_{1}) < f(x_{2})$；同样地，如果$f(x)$在区间$I$上单调递减，那么对于任意的 $x_{1}, x_{2}$满足$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) > f(x_{2})$。
数
练习题：证明$y=2x+1$在 $\mathbf{R}$上是增函数
二次函数单调性证明练习
总结词：理解二次函数的单调性
输标02入题
二次函数的一般形式是$y=ax^{2}+bx+c$，当 $a>0$时，函数在区间$( - \infty,\frac{-b}{2a})$上是 减函数，在区间$(\frac{-b}{2a},+\infty)$上是增函数

证明函数单调性的方法总结归纳1、定义法:利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)；③依据差式的符号确定其增减性．2、导数法:设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D 内为增函数；如果f′(x)注意：(补充)（1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数．（2）单调性的判断方法：定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等（补充）单调性的有关结论1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数．2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，则为减(增）函数，为增（减）函数3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减”5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．函数单调性的应用(1)求某些函数的值域或最值．(2)比较函数值或自变量值的大小．(3)解、证不等式．(4)求参数的取值范围或值．(5)作函数图象．搜集整理，仅供参考学习，请按需要编辑修改。

函数单调性的判定和证明方法（一）、定义法步骤：①取值，设x1＜x2, 并是某个区间上任意二值;②作差：；或作商：,≠0；③变形向有利于判断差值符号的方向变形；,≠0向有利于判断商的值是否大于1方向变形；（常用的变形技巧有：1、分解因式，当原函数是多项式时，作差后进行因式分解；2、通分，当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分再进行因式分解；3、配方，当原函数是二次函数时，作差后考虑配方便于判定符号；4、分子有理化，当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化等）；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，需进行分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。

作差法：例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．解：设－1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．例2.证明函数在区间和上是增函数；在上为减函数。

（增两端，减中间）证明：设，则因为，所以,所以，所以所以设则，因为，所以，所以所以同理，可得作商法：例3.设函数y=f（x）定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n）且当x＞0时，0＜f（x）＜1（1）求证：f（0）=1 且当x＜0时，f（x）＞1（2）求证：f（x）在R上是减函数．证明：（1）∵对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），令m=1，n=0，可得f（1）=f（1）•f（0），∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）≠0．∴f（0）=1．令m=x＜0，n=-x＞0，则f（m+n）=f（0）=f（-x）•f（x）=1，∴f（-x）f（x）=1，又∵-x＞0时，0＜f（-x）＜1，∴f(x)=1f(-x)＞1．（1）设x1＜x2，则x1-x2＜0，根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），∴函数f（x）在R上单调递减．（二）、运算性质法.v1.0 可编辑可修改函数函数表达式单调区间特殊函数图像一次函数)0(≠+=kbkxy当0>k时，y在R上是增函数；当0<k时，y在R上是减函数。

函数单调性的判断与证明【方法综述】 1．函数的单调性（1）.增函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；（2）减函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数.2.要确定t ＝g (x )(常称内层函数)的值域，否则无法确定f (t )(常称外层函数)的单调性．3.用定义证明函数单调性中的变形策略由定义证明函数f (x )在区间D 上的单调性，其步骤为：取值→作差→变形→定号．其中变形是最关键的一步，合理变形是准确判断f (x 1)－f (x 2)的符号的关键所在．常见变形方法有因式分解、配方、同分、有理化等，下面举例说明.例1.求证：函数f (x )＝x 2－4x 在(－∞，2]上是减函数．证明：设x 1，x 2是(－∞，2]上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 21－4x 1)－(x 22－4x 2)＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)．因为x 1＜x 2≤2，所以x 1－x 2＜0，x 1＋x 2－4＜0. 所以f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)． 故函数f (x )在(－∞，2]上是减函数．评注 因式分解是变形的常用策略，但必须注意，分解时一定要彻底，这样才利于判断f (x 1)－f (x 2)的符号．例2.求证：函数f (x )＝x 3＋1在R 上是增函数．证明：设x 1，x 2是R 上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 31＋1－x 32－1＝x 31－x 32＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22)＝(x 1－x 2)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＋34x 22. 因为x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＋34x 22＞0. 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．故函数f (x )在R 上是增函数．评注 本题极易在(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22)处“止步”而致误．而实际上当我们不能直接判断x 21＋x 1x 2＋x 22的符号，又不能因式分解时，采用配方则会“柳暗花明”．例3.已知函数f (x )＝x ＋1x，求证：函数f (x )在区间(0,1]上是减函数．证明：设x 1，x 2是区间(0,1]上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－x 2－1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫x 1x 2－1x 1x 2. 因为x 1＜x 2，且x 1，x 2∈(0, 1]，所以x 1－x 2＜0,0＜x 1x 2＜1.所以f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)．故函数f (x )在(0,1]上是减函数．评注 同样，我们可以证明f (x )＝x ＋1x在区间[1，＋∞)上是增函数．例4.已知函数f (x )＝x －1，求证：函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数．证明：设x 1，x 2是区间[1，＋∞)上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1－x 2－1＝x 1－x 2x 1－1＋x 2－1 .因为x 1＜x 2，且x 1，x 2∈[1，＋∞)，所以x 1－x 2＜0，x 1－1＋x 2－1＞0. 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． 故函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数．评注 对于根式函数常采用分子或分母有理化变形手段以达到判断f (x 1)－f (x 2)符号的目的. 例5.求函数y ＝1(x ＋1)2的单调区间．解：函数y ＝1(x ＋1)2的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，设t ＝(x ＋1)2，则y ＝1t(t >0)．当x ∈(－∞，－1)时，t 是x 的减函数，y 是t 的减函数，所以(－∞，－1)是y ＝1(x ＋1)2的递增区间；当x ∈(－1，＋∞)时，t 是x 的增函数，y 是t 的减函数，所以(－1，＋∞)是y ＝1(x ＋1)2的递减区间．综上知，函数y ＝1(x ＋1)2的递增区间为(－∞，－1)，递减区间为(－1，＋∞)．例6. 求y ＝1x 2－2x －3的单调区间．解：由x 2－2x －3≠0，得x ≠－1或x ≠3，令t ＝x 2－2x －3(t ≠0)，则y ＝1t ，因为y ＝1t在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数，而t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1)，(－1,1)上为减函数，在(1,3)，(3，＋∞)上是增函数，所以函数y ＝1x 2－2x －3的递增区间为(－∞，－1)，(－1,1)，递减区间为(1,3)，(3，＋∞). 【针对训练】1．下列四个函数中，在上为减函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】对于选项A,函数的图像的对称轴为开口向上，所以函数在上为减函数.所以选项A 是正确的.对于选项B,在在上为增函数，所以选项B 是错误的. 对于选项C,在在上为增函数，所以选项C 是错误的.对于选项D,,当x=0时，没有意义，所以选项D 是错误的. 2.下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f(x)＝3－x B ．f(x)＝x 2－3xC ．f(x)＝－1x ＋1 D ．f(x)＝－|x|【答案】C【解析】当x>0时，f(x)＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f(x)＝x 2－3x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f(x)＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．3．若函数y ax =与b y x=-在()0,+∞上都是减函数，则()2f x ax bx =+在()0,+∞上是（ ） A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减 D ．先减后增 【答案】B【解析】由函数y ax =与by x=-在()0,+∞上都是减函数,可得0,b 0a <<.则一元二次函数()2f x ax bx=+在()0,+∞上为减函数.故选B.4.定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等实数a ，b ，总有()()0f a f b a b->-成立， 则必有（ ）A.()f x 在R 上是增函数B.()f x 在R 上是减函数C.函数()f x 是先增加后减少D.函数()f x 是先减少后增加【答案】A【解析】若a b <则由题意()()0f a f b a b->-知，一定有()()f a f b <成立，由增函数的定义知，该函数()f x 在R 上是增函数；同理若a b >，则一定有()()f a f b >成立，即该函数()f x 在R 上是增函数.所以函数()f x 在R 上是增函数.故应选A.5.已知，那么( ) A. 在区间上单调递增 B. 在上单调递增 C. 在上单调递增 D. 在上单调递增【答案】D 【解析】，记，则当时，单调递增，且而在不具有单调性，故A 错误；当时，不具有单调性，故B 错误；当时，单调递增，且而在不具有单调性，故C 错误；当时，单调递减，且而在单调递减，根据“同增异减”知，D 正确.故选：D 6.试讨论函数f(x)＝axx －1(a≠0)在(－1,1)上的单调性． 【解析】设－1<x 1<x 2<1，f(x)＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f(x 1)－f(x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a x 2－x 1x 1－1x 2－1.由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a>0时，f(x 1)－f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)，函数f(x)在(－1,1)上递减； 当a<0时，f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，函数f(x)在(－1,1)上递增．综上，当a>0时，f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f(x)在(－1,1)上单调递增．7.已知a>0，函数f(x)＝x ＋ax (x>0)，证明：函数f(x)在(0，a]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．【解析】任意取x 1>x 2>0，则f(x 1)－f(x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫a x 1－ax 2＝(x 1－x 2)＋ax 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－a x 1x 2. 当a ≥x 1>x 2>0时，x 1－x 2>0,1－ax 1x 2<0，有f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， 此时，函数f(x)＝x ＋ax(a>0)在(0，a]上为减函数；当x 1>x 2≥a 时，x 1－x 2>0,1－ax 1x 2>0，有f(x 1)－f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)，此时，函数f(x)＝x＋ax(a>0)在[a，＋∞)上为增函数；综上可知，函数f(x)＝x＋ax(a>0)在(0，a]上为减函数，在[a，＋∞)上为增函数．8.已知函数的图象经过点（1，1），．（1）求函数的解析式；（2）判断函数在（0，+）上的单调性并用定义证明；【答案】（1）.（2）见解析.【解析】（1）由f(x)的图象过A、B，则，解得．∴（x≠0）．（2）证明：设任意x1，x2∈0+∞（，），且x1<x2．∴.由x1，x2∈0+∞（，），得x1x2>0，x1x2+2>0．由x1<x2，得．∴，即．∴函数在0+∞（，）上为减函数．9.已知函数在上满足，且，.（1）求，的值；（2）判断的单调性并证明；【答案】(1)；(2)单调递增，证明见解析；(3).【解析】（1）令，即可得到，再令，可得，令即可求得；（2）单调递增，证明：任取且，则，，因为，所以，所以在上单调递增.10.已知定义在区间上的函数满足，且当时，. （1）求的值；（2）证明：为单调增函数；（3）若，求在上的最值.【答案】（1）f（1）=0．（2）见解析（3）最小值为﹣2，最大值为3．【解析】试题分析：（1）利用赋值法进行求的值；（2）根据函数的单调性的定义判断在上的单调性，并证明．（3）根据函数单调性的性质，并利用赋值法可得函数的最值．试题解析：（1）∵函数f（x）满足f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x2=1，则f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．（2）证明：（2）设x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，∴f（）＞0，∴f（x1）﹣f（x2）=f（x2⋅）﹣f（x2）=f（x2）+f（）﹣f（x2）=f（）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上的是增函数．（3）∵f（x）在（0，+∞）上的是增函数．若，则f（）+f（）=f（）=﹣2，即f（•5）=f（1）=f（）+f（5）=0，即f（5）=1，则f（5）+f（5）=f（25）=2，f（5）+f（25）=f（125）=3，即f（x）在上的最小值为﹣2，最大值为3．。

02
余弦函数 $y = cos x$ 在区间 $[2kpi, pi + 2kpi]$（$k in mathbb{Z}$）上单调递减，在区间 $[pi + 2kpi, 2pi + 2kpi]$（$k in mathbb{Z}$）上单调递增。
03
正切函数 $y = tan x$ 在区间 $(kpi - frac{pi}{2}, kpi + frac{pi}{2})$（$k in mathbb{Z}$）上单调递增。
三角函数单调性
01
正弦函数 $y = sin x$ 在区间 $[-frac{pi}{2} + 2kpi, frac{pi}{2} + 2kpi]$（$k in mathbb{Z}$）上单调递增，在区间 $[frac{pi}{2} + 2kpi, frac{3pi}{2} + 2kpi]$（$k in mathbb{Z}$）上单调递减 。
通过实例分析和数值计算，验证了所提方法的正确性和有效性，为实际应 用提供了有力支持。
未来研究方向展望
01
进一步研究函数单调性的本质 和判别条件，探索更加简洁、 高效的判断方法。
02
将函数单调性的研究拓展到更 广泛的数学领域，如复变函数 、泛函分析等，推动相关理论 的发展。
03
结合实际问题，研究函数单调 性在优化算法、数值计算等领 域的应用，为实际问题提供更 加有效的解决方案。
导数法证明
01
利用导数与函数单调性的关系，通过求导来判断函数的单调 性。
02
如果函数在某区间内可导，且导数在该区间内恒大于0，则 函数在该区间内单调增加；如果导数恒小于0，则函数在该 区间内单调减少。
03

函数单调性的定义与应用例：讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性。

二、函数单调性的证明步骤：① 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；② 作差f(x 1)－f(x 2)；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．例1、证明函数xx y 1+=在（1，+∞）上为减函数．例2、证明函数x x x f -1)(2+=在R 上是单调减函数。

练习1 证明函数f(x)=1/x 在(0,+∞)上是减函数.练习2 试判断函数x x x f 1-)(2=在)(0,+∞上的单调性并加以证明。

例 已知函数f(x)＝ x a x+2(a>0)在(2，＋∞)上递增，求实数a 的取值范围．三、复合函数单调性对于函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果u ＝g (x )在区间(a ，b )上具有单调性，当x ∈(a ，b )时，u ∈(m ，n )，且y ＝f (u )在区间(m ，n )上也具有单调性，则复合函数y ＝f (g (x ))在区间(a ，b )具有单调性的规律见下表：例：函数322-+=x x y 的单调减区间是 （ ）A.]3,(--∞B.),1[+∞-C.]1,(--∞D.),1[+∞求函数单调区间（复合函数）1.函数1y x=-的单调区间是（ ） A ．（-∞，+∞） B.（-∞，0） （1，∞，）C.（-∞，1） 、（1，∞）D. （-∞，1）（1，∞）2. 下列函数中,在区间（0,2）上为增函数的是( ).A ．32y x =-+B ．3y x=C ．245y x x =-+D ．23810y x x =+-3．函数y = ）。

A ．[-3，-1]B ．[-1,1]C ．113a -<<-(,3)-∞- D ．(1,)-∞ 4、已知函数1()f x x x =+，判断()f x 在区间〔0，1〕和（1，+∞）上的单调性。

函数单调性的判定和证明方法（一）、定义法步骤：①取值，设x V x ,并是某个区间上任意二 值;X 叱）②作差；或作商：,g ） 丰0；f （叼）③ 变形/⑴叩（巧）向有利于判断差值符号的方向变形；-Si ） 乒o 向有利于判断商的值是否大于 1方向变形；（常用的变形技巧有：1、分解因式，当原函数是 多项式时，作差后进行因式分解； 2、通分，当原函数是 分式函数时，作差后往往进行通分再进行因式分解； 3、配 方，当原函数是 二次函数 时，作差后考虑配方便于判定符号； 4、分子有理化，当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化等）；④ 定号，判断的正负符号，当符号不确定时，需进行分类讨论； ⑤ 下结论，根据函数单调性的定义下结论。

作差法:解：设一1<X 1<X 2,如1 吧则 f （X 1）—f （X 2）= "+1 —冷 *1+1） ■皿（而 +1）-（升硕恐+1）Ui+i ）（j+D例1.判断函数ax7+i 在（-1,+ 8 ）上的单调性，并证明.—1<X i <X 2,X 1 — X 2<0 , X i+ 1>0 , X 2 + 1>0..•当 a>0 时，f （X 1）-f （X 2）<0 , 即f （X 1）<f （X 2）, •••函数y=f （X ）在（-1, + 8）上单调递增.当 a<0 时，f （X 1）—f （X 2）>0 , 即f （X 1）>f （X 2）, 函数y=f （X ）在（—1, + °°）上单调递减.所 W1-—<0所以砰砰 ,所以（心）二玉 -^2-—） 则 七 -因为知fE 泗对，三口所以所以砰砰所以「「一-":-解1、［ /⑴在+8）上为增函数*例2.证明函数*卜扁赌晌向上为减函数。

证明：设。

5也幅”'幻（-皿-石］屯尊\+00）在区间L ' V 」和妃％ ，/ （增两端，减中间）/ 31） — J g ）=瓦 + —-Xj-—上是增函数；在31—叱)(1-—)因为强而，所以5 〈泗e同理可得在（-咛-齐止为增函现在止为诫函氮作商法：例3.设函数y=f (x)定义在R上，对于任意实数m , n,恒有f (m+n ) =f (m) ?f (n) 且当x> 0 时，0v f (x) v 1(1) 求证：f (0) =1 且当xv 0 时，f (x) > 1(2) 求证：f (x)在R上是减函数.证明：(1) •.,对于任意实数m, n,恒有f (m+n ) =f (m) ?f (n),令m=1 , n=0，可得 f (1) =f (1) ?f (0),..当x> 0 时，0v f (x) v 1, . • f (1)乒0.f (0) =1 .令m=x v 0, n=-x > 0,则 f (m+n ) =f (0) =f (-x) ?f (x) =1 ,f (-x) f (x) =1 ,又.• -x > 0 时，0 V f (-x ) V 1 ,• • f(x)=1f(-x)> 1.(1)设x1 vx2,贝U x1-x2 v 0,根据(1)可知f (x1-x2 ) > 1, f (x2) > 0.. f (x1) =f[ (x1-x2 ) +x2]=f (x1-x2 ) ?f (x2) > f (x2),•••函数f (x)在R上单调递减.(二)、运算性质法.函数表达式单调区间次函数y kx b(k 0)二次函数_ 2 , - y ax bx c(a 0,a,b,c R)反比例函数指数函数对数函数ky -x(k R 且k 0)xy a(a 0,a 1)当k 0时，y在R上是增函数；当k 。

函数单调性的判断或证明方法.（1）定义法。

用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）向有利于判断差值符号的方向变形；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，应分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。

例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．解：设－1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．例2.证明函数在区间和上是增函数；在上为减函数。

（增两端，减中间）证明：设，则因为，所以,所以，所以所以设则，因为，所以，所以所以同理，可得（2）运算性质法.①在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．（增+增=增；减+减=减；增-减=增，减-增=减）②若.③当函数.④函数二者有相反的单调性。

⑤运用已知结论，直接判断函数的单调性，如一次函数、反比例函数等。

（3）图像法.根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。

例3.求函数的单调区间。

解：在同一坐标系下作出函数的图像得所以函数的单调增区间为减区间为.（4）复合函数法.（步骤：①求函数的定义域；②分解复合函数；③判断内、外层函数的单调性；④根据复合函数的单调性确定函数的单调性.⑤若集合是内层函数的一个单调区间，则便是原复合函数的一个单调区间，如例4；若不是内层函数的一个单调区间，则需把划分成内层函数的若干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数的单调区间，如例5.）设，，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。

函数专题：利用函数单调性与奇偶性解不等式的6种常见考法一、单调性定义的等价形式（1）函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<-x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>--x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x f x f x x .（2）函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>-x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<--x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x f x f x x .二、定义法判断函数奇偶性判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果()0()f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数； 如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数． 三、利用单调性、奇偶性解不等式原理 1、解()()<f m f n 型不等式（1）利用函数的单调性，去掉函数符号“f ”，将“抽象”的不等式问题转化为“具体”的不等式问题求解；（2）若不等式一边没有函数符号“f ”，而是常数（如()<f m a ），那么我们应该将常数转化带有函数符号“f ”的函数值再解。

函数的单调性一、知识梳理＆方法总结1. 单调性的定义和证明(1) 单调性：当x 逐渐增加时，函数值y 逐渐减小；当x 逐渐增加时，函数值y 逐渐增加。

函数的这两种性质都叫做函数的单调性。

(2) 定义：一般地，对于给定区间I 上的函数()y f x =：① 如果对于属于这个区间I 的自变量的任意两个值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()y f x =在这个区间上是单调增函数。

② 如果对于属于这个区间I 的自变量的任意两个值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()y f x =在这个区间上是单调减函数。

(3) 如果函数()y f x =在某个区间I 上是增（减）函数，那么就说函数()y f x =在区间I 上是单调函数。

区间I 叫做函数()y f x =的单调区间。

若()f x 在区间D 上是增（减）函数，则()f x 在D 的任一子区间上也是增（减）函数 (4) 函数单调性的证明（证明某函数在指定区间上增减性的步骤）① 在该区间上任取12x x <② 作差12()()f x f x -，通过因式分解等恒等变形方法将差式化为若干因式的积或商．③ 由判断各因式的符号来确定差式的符号，从而得到12()()f x f x >（或12()()f x f x <）即()f x 的增减性依定义证明完毕．任取、做差、变形、定号、下结论。

(5) 函数单调性的两种等价定义设12,[,]x x a b ∈则①1212()()0()f x f x f x x x ->⇔-在[,]a b 上是增函数1212()()0()f x f x f x x x -<⇔-在[,]a b 上是减函数② 1212()[()()]0()x x f x f x f x -->⇔在[,]a b 上是增函数1212()[()()]0()x x f x f x f x --<⇔在[,]a b 上是减函数2. 四则运算的单调性增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。

函数单调性的判定和证明方法（一）、定义法步骤：①取值，设x1＜x2, 并是某个区间上任意二值;②作差：；或作商：,≠0；③变形向有利于判断差值符号的方向变形；,≠0向有利于判断商的值是否大于1方向变形；（常用的变形技巧有：1、分解因式，当原函数是多项式时，作差后进行因式分解；2、通分，当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分再进行因式分解；3、配方，当原函数是二次函数时，作差后考虑配方便于判定符号；4、分子有理化，当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化等）；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，需进行分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。

作差法：例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．解：设－1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．例2.证明函数在区间和上是增函数；在上为减函数。

（增两端，减中间）证明：设，则因为，所以,所以，所以所以设则，因为，所以，所以所以同理，可得作商法：例3.设函数y=f（x）定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n）且当x＞0时，0＜f（x）＜1（1）求证：f（0）=1 且当x＜0时，f（x）＞1（2）求证：f（x）在R上是减函数．证明：（1）∵对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），令m=1，n=0，可得f（1）=f（1）•f（0），∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）≠0．∴f（0）=1．令m=x＜0，n=-x＞0，则f（m+n）=f（0）=f（-x）•f（x）=1，∴f（-x）f（x）=1，又∵-x＞0时，0＜f（-x）＜1，∴f(x)=1f(-x)＞1．（1）设x1＜x2，则x1-x2＜0，根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），∴函数f（x）在R上单调递减．（二）、运算性质法.v1.0 可编辑可修改函数函数表达式单调区间特殊函数图像一次函数)0(≠+=kbkxy当0>k时，y在R上是增函数；当0<k时，y在R上是减函数。

函数的单调性证明一．解答题〔共40小题〕1．证明：函数f〔x〕=在〔﹣∞，0〕上是减函数．2．求证：函数f〔x〕=4x+在〔0，〕上递减，在[，+∞〕上递增．3．证明f〔x〕=在定义域为[0，+∞〕内是增函数．4．应用函数单调性定义证明：函数f〔x〕=x+在区间〔0，2〕上是减函数．5．证明函数f〔x〕=2x﹣在〔﹣∞，0〕上是增函数．6．证明：函数f〔x〕=x2+3在[0，+∞〕上的单调性．7．证明：函数y=在〔﹣1，+∞〕上是单调增函数．8．求证：f〔x〕=在〔﹣∞，0〕上递增，在〔0，+∞〕上递增．9．用函数单调性的定义证明函数y=在区间〔0，+∞〕上为减函数．10．函数f〔x〕=x+．〔Ⅰ〕用定义证明：f〔x〕在[2，+∞〕上为增函数；〔Ⅱ〕假设＞0对任意x∈[4，5]恒成立，求实数a的取值范围．11．证明：函数f〔x〕=在x∈〔1，+∞〕单调递减．12．求证f〔x〕=x+的〔0，1〕上是减函数，在[1，+∞]上是增函数．13．判断并证明f〔x〕=在〔﹣1，+∞〕上的单调性．14．判断并证明函数f〔x〕=x+在区间〔0，2〕上的单调性．15．求函数f〔x〕=的单调增区间．16．求证：函数f〔x〕=﹣﹣1在区间〔﹣∞，0〕上是单调增函数．17．求函数的定义域．18．求函数的定义域．19．根据以下条件分别求出函数f〔x〕的解析式〔1〕f〔x+〕=x2+〔2〕f〔x〕+2f〔〕=3x．20．假设3f〔x〕+2f〔﹣x〕=2x+2，求f〔x〕．21．求以下函数的解析式〔1〕f〔x+1〕=x2求f〔x〕〔2〕f〔〕=x，求f〔x〕〔3〕函数f〔x〕为一次函数，使f[f〔x〕]=9x+1，求f〔x〕〔4〕3f〔x〕﹣f〔〕=x2，求f〔x〕22．函数y=f〔x〕，满足2f〔x〕+f〔〕=2x，x∈R且x≠0，求f〔x〕．23．3f〔x〕+2f〔〕=x〔x≠0〕，求f〔x〕．24．函数f〔x+〕=x2+〔〕2〔x＞0〕，求函数f〔x〕．25．2f〔﹣x〕+f〔x〕=3x﹣1，求f〔x〕．26．假设2f〔x〕+f〔﹣x〕=3x+1，那么求f〔x〕的解析式．27．4f〔x〕﹣5f〔〕=2x，求f〔x〕．28．函数f〔+2〕=x2+1，求f〔x〕的解析式．29．假设f〔x〕满足3f〔x〕+2f〔﹣x〕=4x，求f〔x〕的解析式．30．f〔x〕=ax+b且af〔x〕+b=9x+8，求f〔x〕31．求以下函数的解析式：〔1〕f〔2x+1〕=x2+1，求f〔x〕；〔2〕f〔〕=，求f 〔x〕．32．二次函数满足f〔2x+1〕=4x2﹣6x+5，求f〔x〕的解析式．33．f〔2x〕=x2﹣x﹣1，求f〔x〕．34．一次函数f〔x〕满足f〔f〔f〔x〕〕〕=2x﹣3，求函数f〔x〕的解析式．35．f〔x+2〕=x2﹣3x+5，求f〔x〕的解析式．36．函数f〔x﹣2〕=2x2﹣3x+4，求函数f〔x〕的解析式．37．假设3f〔x〕+2f〔﹣x〕=2x，求f〔x〕38．f〔+1〕=x2+2，求f〔x〕的解析式．39．假设函数f〔〕=+1，求函数f〔x〕的解析式．40．f〔x﹣1〕=x2﹣4x．〔1〕求f〔x〕的解析式；〔2〕解方程f〔x+1〕=0．函数的单调性证明参考答案与试题解析一．解答题〔共40小题〕1．证明：函数f〔x〕=在〔﹣∞，0〕上是减函数．【解答】证明：设x1＜x2＜0，那么：∵x1＜x2＜0；∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0；∴f〔x1〕＞f〔x2〕；∴f〔x〕在〔﹣∞，0〕上是减函数．2．求证：函数f〔x〕=4x+在〔0，〕上递减，在[，+∞〕上递增．【解答】证明：设0＜x1＜x2＜，那么f〔x1〕﹣f〔x2〕=〔4x1+〕﹣〔4x2+〕=4〔x1﹣x2〕+=〔x1﹣x2〕〔〕，又由0＜x1＜x2＜，那么〔x1﹣x2〕＜0，〔4x1x2﹣9〕＜0，〔x1x2〕＞0，那么f〔x1〕﹣f〔x2〕＞0，那么函数f〔x〕在〔0，〕上递减，设≤x3＜x4，同理可得：f〔x3〕﹣f〔x4〕=〔x3﹣x4〕〔〕，又由≤x3＜x4，那么〔x3﹣x4〕＜0，〔4x3x4﹣9〕＞0，〔x1x2〕＞0，那么f〔x3〕﹣f〔x4〕＜0，那么函数f〔x〕在[，+∞〕上递增．3．证明f〔x〕=在定义域为[0，+∞〕内是增函数．【解答】证明：设x1，x2∈[0，+∞〕，且x1＜x2，那么：∵x1，x2∈[0，+∞〕，且x1＜x2；∴f〔x1〕＜f〔x2〕；∴f〔x〕在定义域[0，+∞〕上是增函数．4．应用函数单调性定义证明：函数f〔x〕=x+在区间〔0，2〕上是减函数．【解答】证明：任取x1，x2∈〔0，2〕，且x1＜x2，那么f〔x1〕﹣f〔x2〕=﹣〔=因为0＜x1＜x2＜2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＜4，所以f〔x1〕﹣f〔x2〕＞0，即f〔x1〕＞f〔x2〕，所以f〔x〕=x+在〔0，2〕上为减函数．5．证明函数f〔x〕=2x﹣在〔﹣∞，0〕上是增函数．【解答】解：设x1＜x2＜0，∴f〔x1〕﹣f〔x2〕=2x1﹣﹣2x2+=〔x1﹣x2〕〔2+〕，∵x1＜x2＜0，∴x1﹣x2＜0，2+＞0，∴f〔x1〕﹣f〔x2〕＜0，即：f〔x1〕＜f〔x2〕，∴函数f〔x〕=2x﹣在〔﹣∞，0〕上是增函数．6．证明：函数f〔x〕=x2+3在[0，+∞〕上的单调性．【解答】解：任取0≤x1＜x2，那么f〔x1〕﹣f〔x2〕==〔x1+x2〕〔x1﹣x2〕因为0≤x1＜x2，所以x1+x2＞0，x1﹣x2＜0，故原式f〔x1〕﹣f〔x2〕＜0，即f〔x1〕＜f〔x2〕，所以原函数在[0，+∞〕是单调递增函数．7．证明：函数y=在〔﹣1，+∞〕上是单调增函数．【解答】解：∵函数f〔x〕==1﹣在在区间〔﹣1，+∞〕，可以设﹣1＜x1＜x2，可得f〔x1〕﹣f〔x2〕=1﹣﹣1+=∵﹣1＜x1＜x2＜0，∴x1+1＞0，1+x2＞0，x1﹣x2＜0，∴＜0∴f〔x1〕＜f〔x2〕，∴f〔x〕在区间〔﹣∞，0〕上为增函数；8．求证：f〔x〕=在〔﹣∞，0〕上递增，在〔0，+∞〕上递增．【解答】证明：设x1＜x2，那么f〔x1〕﹣f〔x2〕=﹣﹣〔﹣〕=﹣=，∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，∴假设x1＜x2＜0，那么x1x2＞0，此时f〔x1〕﹣f〔x2〕＜0，即f〔x1〕＜f〔x2〕，此时函数单调递增．假设0＜x1＜x2，那么x1x2＞0，此时f〔x1〕﹣f〔x2〕＜0，即f 〔x1〕＜f〔x2〕，此时函数单调递增．即f〔x〕=在〔﹣∞，0〕上递增，在〔0，+∞〕上递增．9．用函数单调性的定义证明函数y=在区间〔0，+∞〕上为减函数．【解答】解：∵函数y=在区间〔0，+∞〕，可以设0＜x1＜x2，可得f〔x1〕﹣f〔x2〕=﹣=＞0，∴f〔x1〕＞f〔x2〕，∴f〔x〕在区间〔﹣∞，0〕上为减函数；10．函数f〔x〕=x+．〔Ⅰ〕用定义证明：f〔x〕在[2，+∞〕上为增函数；〔Ⅱ〕假设＞0对任意x∈[4，5]恒成立，求实数a的取值范围．【解答】〔Ⅰ〕证明：任取x1，x2∈[2，+∞〕，且x1＜x2，那么f〔x1〕﹣f〔x2〕=〔x1+〕﹣〔x2+〕=，∵2≤x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＞4，∴f〔x1〕﹣f〔x2〕＜0，即f〔x1〕＜f〔x2〕，∴f〔x〕=x+在[2，+∞〕上为增函数；〔Ⅱ〕解：∵＞0对任意x∈[4，5]恒成立，∴x﹣a＞0对任意x∈[4，5]恒成立，∴a＜x对任意x∈[4，5]恒成立，∴a＜4．11．证明：函数f〔x〕=在x∈〔1，+∞〕单调递减．【解答】证明：设x1＞x2＞1，那么：∵x1＞x2＞1；∴x2﹣x1＜0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0；即f〔x1〕＜f〔x2〕；∴f〔x〕在x∈〔1，+∞〕单调递减．12．求证f〔x〕=x+的〔0，1〕上是减函数，在[1，+∞]上是增函数．【解答】证明：①在〔0，1〕内任取x1，x2，令x1＜x2，那么f〔x1〕﹣f〔x2〕=〔〕﹣〔〕=〔x1﹣x2〕+=〔x1﹣x2〕〔1﹣〕，∵x1，x2∈〔0，1〕，x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1﹣＜0，∴f〔x1〕﹣f〔x2〕＞0，∴f〔x〕=x+在〔0，1〕上是减函数．②在[1，+∞〕内任取x1，x2，令x1＜x2，那么f〔x1〕﹣f〔x2〕=〔〕﹣〔〕=〔x1﹣x2〕+=〔x1﹣x2〕〔1﹣〕，∵x1，x2∈[1，+∞〕，x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1﹣＞0，∴f〔x1〕﹣f〔x2〕＜0，∴f〔x〕=x+在[1，+∞]上是增函数．13．判断并证明f〔x〕=在〔﹣1，+∞〕上的单调性．【解答】解：f〔x〕=在〔﹣1，+∞〕上的单调递减．证明如下：在〔﹣1，+∞〕上任取x1，x2，令x1＜x2，f〔x1〕﹣f〔x2〕=﹣=，∵x1，x2∈〔﹣1+∞〕，x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1+1＞0，x2+1＞0，∴f〔x1〕﹣f〔x2〕＞0，∴f〔x〕=在〔﹣1，+∞〕上的单调递减．14．判断并证明函数f〔x〕=x+在区间〔0，2〕上的单调性．【解答】解：任意取x1，x2∈〔0，2〕且0＜x1＜x2＜2f〔x1〕﹣f〔x2〕=x1+﹣x2﹣=〔x1﹣x2〕+﹣=〔x1﹣x2〕，∵0＜x1＜x2＜2∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜4，即x1x2﹣4＜0，∴f〔x1〕﹣f〔x2〕＞0，即f〔x1〕＞f〔x2〕．所以f〔x〕在〔0，2〕上是单调减函数．15．求函数f〔x〕=的单调增区间．【解答】解：根据反比例函数的性质可知，f〔x〕==1﹣的单调递增区间为〔﹣∞，0〕，〔0，+∞〕故答案为：〔﹣∞，0〕，〔0，+∞〕16．求证：函数f〔x〕=﹣﹣1在区间〔﹣∞，0〕上是单调增函数．【解答】证明：设x1＜x2＜0，那么：∵x1＜x2＜0；∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0；∴f〔x1〕＜f〔x2〕；∴f〔x〕在区间〔﹣∞，0〕上是单调增函数．17．求函数的定义域．【解答】解：根据题意，得，解可得，故函数的定义域为2≤x＜3和3＜x＜5．18．求函数的定义域．【解答】解：由．故函数定义域为{x|x＜}19．根据以下条件分别求出函数f〔x〕的解析式〔1〕f〔x+〕=x2+〔2〕f〔x〕+2f〔〕=3x．【解答】解：〔1〕f〔x+〕=x2+=〔x+〕2﹣2，即f〔x〕=x2﹣2，〔x＞2或x＜﹣2〕〔2〕∵f〔x〕+2f〔〕=3x，∴f〔〕+2f〔x〕=，消去f〔〕得f〔x〕=﹣x．20．假设3f〔x〕+2f〔﹣x〕=2x+2，求f〔x〕．【解答】解：∵3f〔x〕+2f〔﹣x〕=2x+2…①，用﹣x代替x，得：3f〔﹣x〕+2f〔x〕=﹣2x+2…②；①×3﹣②×2得：5f〔x〕=〔6x+6〕﹣〔﹣4x+4〕=10x+2，∴f〔x〕=2x+．21．求以下函数的解析式〔1〕f〔x+1〕=x2求f〔x〕〔2〕f〔〕=x，求f〔x〕〔3〕函数f〔x〕为一次函数，使f[f〔x〕]=9x+1，求f〔x〕〔4〕3f〔x〕﹣f〔〕=x2，求f〔x〕【解答】解：〔1〕∵f〔x+1〕=x2 ，令x+1=t，可得x=t﹣1，∴f 〔t〕=〔t﹣1〕2，∴f〔x〕=〔x﹣1〕2．〔2〕∵f〔〕=x，令=t，求得 x=，∴f〔t〕=，∴f〔x〕=．〔3〕函数f〔x〕为一次函数，设f〔x〕=kx+b，k≠0，∵f[f〔x〕]=kf〔x〕+b=k〔kx+b〕+b=9x+1，∴k=3，b=，或k=﹣3，b=﹣，求∴f〔x〕=3x+，或f〔x〕=﹣3x﹣．〔4〕∵3f〔x〕﹣f〔〕=x2①，∴用代替x，可得3f〔〕﹣f〔x〕=②，由①②求得f〔x〕=x2+．22．函数y=f〔x〕，满足2f〔x〕+f〔〕=2x，x∈R且x≠0，求f〔x〕．【解答】解：∵2f〔x〕+f〔〕=2x①令x=，那么2f〔〕+f〔x〕=②，①×2﹣②得：3f〔x〕=4x﹣，∴f〔x〕=x﹣．23．3f〔x〕+2f〔〕=x〔x≠0〕，求f〔x〕．【解答】解：∵3f〔x〕+2f〔〕=x，①等号两边同时以代x，得：3f〔〕+2f〔x〕=，②由①×3﹣2×②，解得5f〔x〕=3x﹣，∴函数f〔x〕的解析式：f〔x〕=x﹣〔x≠0〕．24．函数f〔x+〕=x2+〔〕2〔x＞0〕，求函数f〔x〕．【解答】解：∵x＞0时，x+≥2=2，且函数f〔x+〕=x2+〔〕2=﹣2；设t=x+，〔t≥2〕；∴f〔t〕=t2﹣2；即函数f〔x〕=x2﹣2〔其中x≥2〕．25．2f〔﹣x〕+f〔x〕=3x﹣1，求f〔x〕．【解答】解：∵2f〔﹣x〕+f〔x〕=3x﹣1，∴2f〔x〕+f〔﹣x〕=﹣3x﹣1，联立消去f〔﹣x〕，可得f〔x〕=﹣3x﹣．26．假设2f〔x〕+f〔﹣x〕=3x+1，那么求f〔x〕的解析式．【解答】解：∵2f〔x〕+f〔﹣x〕=3x+1…①，用﹣x代替x，得：2f〔﹣x〕+f〔x〕=﹣3x+1…②；①×2﹣②得：3f〔x〕=〔6x+2〕﹣〔﹣3x+1〕=9x+1，∴f〔x〕=3x+．27．4f〔x〕﹣5f〔〕=2x，求f〔x〕．【解答】解：∵4f〔x〕﹣5f〔〕=2x…①，∴4f〔〕﹣5f〔x〕=…②，①×4+②×5，得：﹣9f〔x〕=8x+，∴f〔x〕=﹣x﹣．28．函数f〔+2〕=x2+1，求f〔x〕的解析式．【解答】解：令t=+2，〔t≥2〕，那么，x=〔t﹣2〕2．由f〔+2〕=x2+1，得f〔t〕=〔t﹣2〕4+1．∴f〔x〕=〔x﹣2〕4+1〔x≥2〕．29．假设f〔x〕满足3f〔x〕+2f〔﹣x〕=4x，求f〔x〕的解析式．【解答】解：f〔x〕满足3f〔x〕+2f〔﹣x〕=4x，…①，可得3f〔﹣x〕+2f〔x〕=﹣4x…②，①×3﹣②×2可得：5f〔x〕=20x．∴f〔x〕=4x．f〔x〕的解析式：f〔x〕=4x．30．f〔x〕=ax+b且af〔x〕+b=9x+8，求f〔x〕【解答】解：∵f〔x〕=ax+b且af〔x〕+b=9x+8，∴a〔ax+b〕+b=9x+8，即a2x+ab+b=9x+8，即，解得a=3或a=﹣3，假设a=3，那么4b=8，解得b=2，此时f〔x〕=3x+2，假设a=﹣3，那么﹣2b=8，解得b=﹣4，此时f〔x〕=3x﹣4．31．求以下函数的解析式：〔1〕f〔2x+1〕=x2+1，求f〔x〕；〔2〕f〔〕=，求f〔x〕．【解答】解：〔1〕令2x+1=t，那么x=〔t﹣1〕，∴f〔t〕=〔t﹣1〕2+1，∴f〔x〕=〔x﹣1〕2+1；〔2〕令m=〔m≠0〕，那么x=，∴f〔m〕==，∴f〔x〕=〔x≠0〕．32．二次函数满足f〔2x+1〕=4x2﹣6x+5，求f〔x〕的解析式．【解答】解：〔1〕令2x+1=t，那么x=；那么f〔t〕=4〔〕2﹣6•+5=t2﹣5t+9，故f〔x〕=x2﹣5x+9．33．f〔2x〕=x2﹣x﹣1，求f〔x〕．【解答】解：令t=2x，那么x=t，∴f〔t〕=t2﹣t﹣1，∴f〔x〕=x2﹣x﹣1．34．一次函数f〔x〕满足f〔f〔f〔x〕〕〕=2x﹣3，求函数f〔x〕的解析式．【解答】解：设f〔x〕=ax+b，∴f〔f〔x〕=a〔ax+b〕+b，∴f〔f〔f〔x〕〕〕〕=a[a〔ax+b〕+b]+b=2x﹣3，∴，解得：，∴f〔x〕=x﹣．35．f〔x+2〕=x2﹣3x+5，求f〔x〕的解析式．【解答】解：f〔x+2〕=x2﹣3x+5，设x+2=t，那么x=t﹣2，∴f〔t〕=〔t﹣2〕2﹣3〔t﹣2〕+5=t2﹣7t+15，∴f〔x〕=x2﹣7x+15．36．函数f〔x﹣2〕=2x2﹣3x+4，求函数f〔x〕的解析式．【解答】解：令x﹣2=t，那么x=t+2，代入原函数得f〔t〕=2〔t+2〕2﹣3〔t+2〕+4=2t2+5t+6那么函数f〔x〕的解析式为f〔x〕=2x2+5x+637．假设3f〔x〕+2f〔﹣x〕=2x，求f〔x〕【解答】解：∵3f〔x〕+2f〔﹣x〕=2x…①，用﹣x代替x，得：3f〔﹣x〕+2f〔x〕=﹣2x…②；①×3﹣②×2得：5f〔x〕=6x﹣〔﹣4x〕=10x，∴f〔x〕=2x．38．f〔+1〕=x2+2，求f〔x〕的解析式．【解答】解：设+1=t，那么t≥1，∴x=〔t﹣1〕2；∵f〔+1〕=x2+2，∴f〔t〕=〔t﹣1〕4+2〔t﹣1〕，∴f〔x〕=〔x﹣1〕4+2〔x﹣1〕，x∈[1，+∞〕．39．假设函数f〔〕=+1，求函数f〔x〕的解析式．【解答】解：令=t〔t≠1〕，那么=t﹣1，∴f〔t〕=2+〔t﹣1〕2=t2﹣2t+3，∴f〔x〕=x2﹣2x+3〔x≠1〕．40．f〔x﹣1〕=x2﹣4x．〔1〕求f〔x〕的解析式；〔2〕解方程f〔x+1〕=0．【解答】解：〔1〕变形可得f〔x﹣1〕=〔x﹣1〕2﹣2〔x﹣1〕﹣3，∴f〔x〕的解析式为f〔x〕=x2﹣2x﹣3；〔2〕方程f〔x+1〕=0可化为〔x+1〕2﹣2〔x+1〕﹣3=0，化简可得x2﹣4=0，解得x=2或x=﹣2。