数字信号处理 吴镇扬 第二版 第五章习题答案

习题一 (离散信号与系统)1.1周期序列，最小周期长度为5。

1.2 (1) 周期序列，最小周期长度为14。

(2) 周期序列，最小周期长度为56。

1.5()()()()()()()11s a s s s a n s s a s n X j x t p t X j ΩP j Ω2n τn τj sin j Ωjn e X 2n π2n n τj Sa X j jn e 2T 2πττ∞=-∞∞=-∞Ω==*⎡⎤⎣⎦ΩΩ⎛⎫-=-Ω ⎪⎝⎭ΩΩ⎛⎫-=Ω-Ω ⎪⎝⎭∑∑F 1.6 (1) )(ωj e kX (2) )(0ωωj n j e X e (3) )(21)(2122ωωj j e X e X -+ (4) )(2ωj e X1.7 (1)0n z -(2)5.0||,5.0111>--z z(3)5.0||,5.0111<--z z(4)0||,5.01)5.0(11101>----z zz1.8 (1) 0,)11()(211>--=---z z z z z X N (2) a z az az z X >-=--,)1()(211(3)a z az z a az z X >-+=---,)1()(311211.9 1.10(1))1(2)(1----+n u n u n (2))1(24)()5.0(6--⋅--n u n u n n (3))()sin sin cos 1(cos 000n u n n ωωωω++(4) )()()(1n u a a a n a n ---+-δ1.11 (1) )(1z c X - (2) )(2z X (3) )()1(21z X z -+ (4) -+<<x x R z R z X /1/1),/1(1.12 (1)1,11<-ab ab(2) 1 (3) 00n a n1.13 (1) 该系统不是线性系统；该系统是时不变系统。

第五章习题与上机题5.1 已知序列12()(),0 1 , ()()()nx n a u n a x n u n u n N =<<=--，分别求它们的自相关函数，并证明二者都是偶对称的实序列。

解：111()()()()()nn mx n n r m x n x n m a u n au n m ∞∞-=-∞=-∞=-=-∑∑当0m ≥时，122()1mmnx n ma r m aaa∞-===-∑ 当0m <时，122()1m mnx n a r m aaa -∞-===-∑ 所以，12()1mx ar m a =-2 ()()()()N x n u n u n N R n =--=22210121()()()()()1,0 =1,00, =()(1)x NN n n N mn N n m N r m x n x n m Rn R n m N m N m N m m Nm N m R m N ∞∞=-∞=-∞--=-=-=-=-⎧=--<<⎪⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪⎪⎪⎩-+-∑∑∑∑其他从1()x r m 和2()x r m 的表达式可以看出二者都是偶对称的实序列。

5.2 设()e()nTx n u n -=，T 为采样间隔。

求()x n 的自相关函数()x r m 。

解：解：()()()()e()e ()nTn m T x n n r m x n x n m u n u n m ∞∞---=-∞=-∞=-=-∑∑用5.1题计算1()x r m 的相同方法可得2e()1e m Tx Tr m --=-5.3 已知12()sin(2)sin(2)s s x n A f nT B f nT ππ=+，其中12,,,A B f f 均为常数。

求()x n 的自相关函数()x r m 。

解：解：()x n 可表为)()()(n v n u n x +=的形式，其中)2sin()(11s nT f A n u π=，=)(n v 22sin(2)s A f nT π，)(),(n v n u 的周期分别为 s T f N 111=，sT f N 221=，()x n 的周期N 则是21,N N 的最小公倍数。

k = n0
∑
n
x[ k ]
（B） T {x[n]} =
∑
x[k ]
（C） T {x[ n]} = 0.5
x[ n ]
（D） T {x[n]} = x[− n]
1-5 有一系统输入为 x[n] ，输出为 y[n] ，满足关系 y[n] = ( x[n] ∗ u[n + 2])u[n] ，则系统是（A） （A）线性的 （B）时不变的 （C）因果的 （D）稳定的 解：
（a） T { x[ n ]} = h[ n] + x[ n ], （c） T {x[ n]} = ∑ x[ n − k ]
δ [n] + aδ [n − n0 ] ，单位阶跃响应 s[n] = u[n] + au[n − n0 ] 。
1-15 线性常系数差分方程为 y[n] − y[n − 1] +
y[n] = 0 ， n < 0 ， 则 y[3] = 0.5 。 解： y[0] = y[ −1] − 0.25 y[ −2] + x[0] = 1 y[1] = y[0] − 0.25 y[ −1] + x[1] = 1 y[2] = y[1] − 0.25 y[0] + x[2] = 0.75 y[3] = y[2] − 0.25 y[1] + x[3] = 0.5
∞ ∞ k =−∞ n '=−∞
解： （a）
n =−∞
∑ y[n] = ∑ ∑ x[k ]h[n − k ] = ∑ x[k ] ∑ h[n − k ] = ∑ x[k ] ∑ h[n ']
n =−∞ k =−∞ k =−∞ n =−∞
∞
∞
∞

jw0 n
u (n)] e jw0n z n
n 0
1 1 (e jw0 z 1 )
(1) 解：令 y (n) RN (n)
由题意可知，所求序列等效为 x (n 1) y (n) y (n) 。
Z [ y (n)] z n
n 0
N 1
1 zN z N 1 , 1 z 1 z N 1 ( z 1)
1
A B 1 2 1 1 1 1 z 1 2z 1 z 1 2 z 1 B 1 | 1 2 1 z 1 z 1 2
1 | 1 1 1 2 z 1 z 1
x(n) u (n) 2 2 n u ( n 1) u (n) 2 n 1u ( n 1)
n0
若n0 0时，收敛域为：0 z ;
(2) 解： Z [0.5 u (n)]
n
若n0 0 时，收敛域为： z 0 z 0.5
0.5
n 0

n
z n
1
1 , 1 0.5 z 1
n
(3) 解： Z [ 0.5 u ( n 1)]
n
n
j j 1 1 (3) X (e 2 ) X ( e 2 ) 2 2 j
(2) e
j n0
X (e j ) （移位特性）


2
数字信号处理习题指导

G ( z ) ZT [ x (2n)] G( z)
n
g ( n )e

jwn
令n' 2n, 则
n ' 取偶数
( z 5) z n |z 0.5 (1 0.5 z)

-
6
5.6.1.2 哈佛结构
数字信号处理一般需要较大的数据流量和较 高的运算速度，为了提高数据吞吐量，在数字 信号处理器中大多采用哈佛结构，如图5.6-2。
程序总线
数据总线
程序 存储器
CPU
操作数 存储器
图5.6-2 哈佛结构
-
7
与冯.诺曼结构处理器比较，哈佛结构处理 器有两个明显的特点：
（1）使用两个独立的存储器模块，分别存储 指令和数据，每个存储模块都不允许指令和数 据并存；
，而是数据的组织和地址的产生。以FFT运算为
例，要求并行存取N/2个数据点，由于一般的存
储器在每个周期里只能在总线上传输一个数据，
因此，并行处理要有专门的缓冲区以要求的吞吐
率来高速度地供应数据，数据地址也必须高速产
生。
-
19
5.6.2 DSP硬件构成
典型的DSP处理器中的运算/处理功能单元 主要包括以下几个部分：
•采用哈佛结构(多总线结构,即程序存储器 和数据存储器分开,各有各的总线,或地址总 线和数据总线分开)，甚至采用多地址总线 和多数据总线。还采用流水线及并行结构。
-
2
5.6.1 数字信号处理器结构特点
5.6.1.1 冯.诺曼结构 1945年，冯.诺曼首先提出了“存储程序”
的概念和二进制原理，后来，人们把利用这种 概念和原理设计的电子计算机系统统称为“冯. 诺曼型结构”计算机。冯.诺曼结构的处理器使 用同一个存储器，经由同一个总线传输，如图 5.6-1。
期的循环操作足够长时，或是对一系列数据反
复执行同一指令时，采用流水线处理方式才是
合理的。
-
17
5.6.1.4 并行处理
加快运算速度的另一种方法是采用并行处 理，这种方法克服了流水线方法要把一个处理 分解为若干子处理的困难。

————第一章———— 时域离散信号与系统理论分析基础本章1.1节“学习要点”和1.2节“例题”部分的内容对应教材第一、二章内容。

为了便于归纳总结，我们将《数字信号处理（第二版）》教材中第一章和第二章的内容合并在一起叙述，这样使读者对时域离散线性时不变系统的描述与分析方法建立一个完整的概念，以便在分析和解决问题时，能全面考虑各种有效的途径，选择最好的解决方案。

1.1 学 习 要 点1.1.1 时域离散信号——序列时域离散信号（以下简称序列）是时域离散系统处理的对象，研究时域离散系统离不开序列。

例如，在时域离散线性时不变系统的时域描述中，系统的单位脉冲响应()n h 就是系统对单位脉冲响应()n δ的响应输出序列。

掌握()n δ的时域和频域特征，对分析讨论系统的时域特性描述函数()n h 和频域特性描述函数()ωj e H 和()z H 是必不可少的。

1. 序列的概念在数字信号处理中，一般用()n x 表示时域离散信号（序列）。

()n x 可看作对模拟信号()t x a 的采样，即()()nT x n x a =，也可以看作一组有序的数据集合。

要点 在数字信号处理中，序列()n x 是一个离散函数，n 为整数，如图1.1所示。

当≠n 整数时，()n x 无定义，但不能理解为零。

当()()nT x n x a =时，这一点容易理解。

当=n 整数时，()()nT x n x a =，为()t x a 在nT t =时刻的采样值，非整数T 时刻未采样，而并非为零。

在学习连续信号的采样与恢复时会看到，()n x 经过低通滤波器后，相邻的()T n nT 1~+之间的()t x a 的值就得到恢复。

例如，()n x 为一序列，取()()2n x n y =，n 为整数是不正确的，因为当=n 奇数时，()n y 无定义（无确切的值）。

2. 常用序列常用序列有六种：①单位脉冲序列()n δ，②矩形序列()n R N ，③指数序列()n u a n，④正弦序列()n ωcos 、()n ωsin ，⑤复指数序列nj eω，⑥周期序列。

为得到 H ( z ) ，
(1) 由极点构成 H a ( s ) 的分母多项式，分子为分母多项式的常数。 (2) H a ( s ) 展成部分分式。 (3) 据有理分式变换得到对应的 H ( z ) 各分式，整理得到最后的 H ( z ) 。 22、 取 T=1， 预畸， 由已知列出对模拟滤波器的衰减要求， 解出 N=6.04， 取 N=7， 得到
−0.5
Z −1
−1
0.9
−0.81
4、 H ( z ) = −4.9383 +
2.1572 4.7811 − 1.5959 z −1 + 1 + 0.5 z −1 1 − 0.9 z −1 + 0.81z −2
−4.9383
x ( n) y ( n)
2.1572 −0.5
Z −1
4.7811
Z
0.9 −0.81
= H 2 ( z)
α 02 + α12 z -1 -3.1986 + 0.2591z -1 = 1 +z 2 1 + 1.618 z - 4π 2 2 1 + r z 1 - 2rz -cos 5
频率取样型实现流程图：
−10.125
Z −1
18.3236
x ( n)
Z −1
x ( n)
Z −1
Z −1
+
Z −1
− 7 4
+
Z −1
− 69 8
+
y ( n) 4） 频率取样型：取 r=1，N=5，得到 DFT{h(n)}为：
{-10.1250 9.1618 + 6.6564i -1.5993 - 4.9221i -1.5993 + 4.9221i 9.1618 - 6.6564i}

5.7 （1）由于h2(n)是h1(n)圆周移位的序列，根据DFT的 2π 性质有： −j 4k − jπ k
H 2 (k ) = e
8
H 1 (k ) = e
H 1 (k )
~ ~ H1 ( k ) = H 2 ( k ) 成立 所以
(2)由于h1 (n ) 和h2 (n ) 均为偶对称序列，以其构成的低通滤波器
(3)若采用海明窗设计，则
⎡ ⎛ 2πn ⎞⎤ wHam ( n) = ⎢0.54 − 0.46 cos ⎜ ⎟ ⎥ RN ( n ) ⎝ N − 1 ⎠⎦ ⎣ 2 h( n) = sin[(n − α )ωc ]cos[(n − α )ω0 ]wHam (n) N 为奇数时， (n − α )π
h( n N 为偶数时， ) =
0 −ωc
e − jωα e jω nd ω
可见h(n)关于(N-1)/2偶对称，即 h( n) = h( N − 1 − n)
(1)当 N 为奇数时，为第一类滤波器。 (2)当N为偶数时，为第二类滤波器
⎧hd ( n) h( n) = hd ( n) ⋅ R(n ) = ⎨ ⎩0 0 ≤ n ≤ N −1
解：由经验公式可知若 不小于 At 40dB , 则
β = 0.5842 At - 21)0.4 + 0.07886(At - 21) ≈ 3.3953 （ At − 8 40 − 8 N= = ≈ 22.28 2.286∆ω 2.286× 0.2π ωc + ωr ωc′ = = 0.2π 2 ′ ⎧ωc ′ ⎪ π Sa[ωc (n − α )] n ≠ α ′ 1 ωc − jωα jωn ⎪ hd (n) = ∫ ′ e e dω = ⎨ ′ 2π −ωc ωc ⎪ n =α ⎪ ⎩ π

最后结果为 0
n<0或n>7
y(n)= n+1 0≤n≤3 8－n 4≤n≤7
y(n)的波形如题8解图（一）所示。 (2) y(n) =2R4(n)*［δ(n)－δ(n－2)］=2R4(n)－2R4(n－2)
=2［δ(n)+δ(n－1)－δ(n+4)－δ(n+5) y(n)的波形如题8解图（二）所示
因此系统是非线性系统。
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
（6） y(n)=x(n2)
令输入为
输出为
x(n－n0)
y′(n)=x((n－n0)2) y(n－n0)=x((n－n0)2)=y′(n) 故系统是非时变系统。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n2)+bx2(n2) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
因此系统是非时变系统。
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
（5） y(n)=x2(n)
令输入为
输出为
x(n－n0)
y′(n)=x2(n－n0) y(n－n0)=x2(n－n0)=y′(n) 故系统是非时变系统。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=［ax1(n)+bx2(n)］2 ≠aT［x1(n)］+bT［x2(n) =ax21(n)+bx22(n)
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
题4解图（一）
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
题4解图（二）
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
题4解图（三）
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
(4) 很容易证明： x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n)

最小， 而既非通带波纹最小， 又非阻带波动最小。 所以， 用这种优化程序设计的滤波器的阻带最小衰减和通带波纹可能 不满足要求。
第５章 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设
计
特别是以理想滤波器特性作为Hd(ejω)时， 为了使ε2最小，
优化过程尽可能逼近Hd(ejω)的间断特性（即使过渡带最窄）， 而使通带出现较大过冲、 阻带最小衰减过小， 不能满足工
H(ejω)=|H(ejω)|ejθ(ω) 其中， |H(ejω)|称为幅频特性函数， θ(ω)称为相频特性函数。
常用的典型滤波器|H(ejω)|是归一化的， 即|H(ejω)|max=1， 下 的讨论一般就是针对归一化情况的。 对IIR数字滤波器， 通
常用幅频响应函数|H(ejω)|来描述设计指标， 而对线性相位特 性的滤波器， 一般用FIR数字滤波器设计实现。
计
图5.1.6
第５章 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设
计
5.1.4 IIR-DF的直接设计法
所谓直接设计法， 就是直接在数字域设计IIR[CD*2]DF 的方法。 相对而言， 因为从AF入手设计DF是先设计相应的 AF， 然后再通过s-z平面映射， 将Ha(s)转换成H(z)， 所以 这属于间接设计法。 该设计法只能设计与几种典型AF相对 应的幅频特性的DF。 而需要设计任意形状幅频特性的DF时， 只能用直接设计法。 直接设计法一般都要借助于计算机进行 设计， 即计算机辅助设计（CAD）。 现在已有多种DF优化 设计程序。 优化准则不同， 所设计的滤波器特点亦不同。所 以最主要的是建立优化设计的概念， 了解各种优化准则的 特点， 并根据设计要求， 选择合适的优化程序设计DF。
≤≤
(5.1.1)
≤
(5.1.2)

第五章习题讲解
1
1、用直接I型及典范结构实现以下系统函数：
H
z
=
3 2
4.2 0.6
z z
1 1
0.8 z 2 0.4 z 2
解：根据IIR滤波器的系统函数标准式
M
H
bm zm
z =
m0 N
1 an zn
Y z X z
n 1
将系统函数整理为：
H
z
=
1.5 2.1z1 0.4z2 1 0.3z1 0.2z2
H
z
=
4
z
z 1z 0.5 z2
2 1.4z 1 0.9z 0.8
试问一共能构成几种级联型网络。
解：H
z
A
k
1 1k z1 2k z2 1 1k z1 2k z2
4 1 z1 11.4z1 z2
1 0.5z1 1 0.9z1 0.8z2
4
考虑分子分母的组合及级联的次序，共有以下 四种级联型网络：
=
5
2z3 3z 1 z1
6
抽样点数 N 6，修正半径 r 0.9。
解：由N = 6，得频率抽样型结构：
H z= 1 6
1 r6z6
H0
z
H3
z
2 k 1
H
k
z
又
5 3z3 1 z3
H z=
1 z1
1 z1
1 z1 z2
5 3z3 1 z1 z2
5
h2 1
h1 h3 3 0.6
5
即 hn是偶对称，对称中心在n N 1 2处，
N为奇数 N 5 。
2
得线性相位结构：
17
1.5 2.1z1 0.4z2 1 0.3z1 0.2z2

•pp 35： 1.11 (3)
判断系统
yn
n
xm
是否为线性系统?时不变系统
m
解：线性性判断 令x(n)=ax1(n)+bx2(n)
n
n
yn xm ax1 m bx2 m
m
m
n
n
n
n
ax1m bx2 m a x1m b x2 m
y(n) 4 (n 1) 4 (n 1) (n 3) 2 (n 5) (n 7)
•pp 35： 1.12 (3)
利用卷积性质
y(n) x1(n) x2 (n)
(n) 2 (n 2) (n 4)2 (n 1) (n 3)
(n) 2 (n 2) (n 4) 2 (n 1) 2(n()n21) (n42()n1)(n24)(n 5(n) 3)
• 解：
a nu n

1
1 aZ
1
,
Z a

n
a nu n

Z

d 1
1 aZ
1

,
dZ

Z

1 1 aZ 1
2

d
1 aZ dZ
1
,

Z

1 1 aZ 1
2



a
d
Z 1 dZ
,

Z
1 1 aZ 1
2



a

Z
2

,

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1.2 (1) 周期序列，最小周期长度为14。

(2) 周期序列，最小周期长度为56。

1.5()()()()()()()11s a s s s a n s s a s n X j x t p t X j ΩP j Ω2n τn τj sin j Ωjn e X 2n π2n n τj Sa X j jn e 2T 2πττ∞=-∞∞=-∞Ω==*⎡⎤⎣⎦ΩΩ⎛⎫-=-Ω ⎪⎝⎭ΩΩ⎛⎫-=Ω-Ω ⎪⎝⎭∑∑ 1.6 (1) )(ωj e kX (2) )(0ωωj n j e X e (3) )(21)(2122ωωj j e X e X -+ (4) )(2ωj e X1.7 (1) 0n z -(2) 5.0||,5.0111>--z z (3) 5.0||,5.0111<--z z (4)0||,5.01)5.0(11101>----z z z1.8 (1) 0,)11()(211>--=---z zz z z X N(2) a z az az z X >-=--,)1()(211 (3) a z az z a az z X >-+=---,)1()(311211.91.10 (1))1(2)(1----+n u n u n (2))1(24)()5.0(6--⋅--n u n u n n (3))()sin sin cos 1(cos 000n u n n ωωωω++(4) )()()(1n u a a a n a n ---+-δ 1.11(1))(1z c X - (2) )(2z X (3))()1(21z X z -+ (4)-+<<x x R z R z X /1/1),/1(1.12 (1) 1,11<-ab ab(2) 1 (3)00n a n1.13 (1) 该系统不是线性系统；该系统是时不变系统。

第五章 有限长单位脉冲响应滤波器的设计方法 1．解：(a)⎰⎰⎰-------===πωπαωπαππππαπωωωαπωπωπcn d e e d ed ee Hn h n j j j nj j dd )(221)(21)()()(])[()1(])[(]|)(cos |)([sin )(2)()](sin )([cos )(2c a c n c a c j j j n S n S e n j n n e n d n j n n e c c c ωαπωωαπωαωαωαπααωαωαππαπωππωππαπωππα--=-=----=--+--=---⎰ )(])[()1()()()(n n S n n h n h R c a cnR d ωωαπωω--=⋅= (b) 为了保证线性相位)(])[()1()(2112,12,,21n k n S n h k k k N N N R c a c n ωωπωαα--==-+=+=-=为奇数若h(n)的类型取决于n )1(-，N 为奇数h(n)为偶对称第一类，h(n)必须偶对称于n=α 处，否则不满足N 为奇数的已知条件 若N 为偶数。

即N=2k,则)(])[()1()(21212n n S n h k k R c a c n ωωαπωα--=-=-=h(n)必须奇对称于n=α处，否则不满足N 为偶数的已知条件(c))()]12cos 1)(([2)1()(n N n n S n h R c a c n ωπαωπω----= 2．解： (a)⎰⎰+-----+-=ccd e je d e je n h n j j n j j d ωππωαπωπωπωαπωωπωπ)()(2121)(παωααααωααπααπωωπωππωαπωπωαπαωππωαπωπωαπα)(]2/)[(sin )1()cos(2)1(]||[2][221)()()()(---=----=-+--=+-=++---+---⎰⎰n n n n n e n e e d je d je e c n c n n j n j i n j n j j cc c c)()(]2/)[(sin )1()(*)()(21n n n n n h n h R c n R d ϖπαωααϖ---==+(b)为了保证线性相位21-=N α 若N 为奇数，设N=2k+1则α=k)()(]2/)[(sin 2)1()(21n k n k n n h R c n ϖπω---=+h(n)满足奇对称，即h(n)=-h(N-1-n)属于第III 类FIR 滤波器 若N 为偶数，设N=2k 则α=k-1/2πω)2/1(]2/)2/1[(sin 2)1()(21+-+--=+k n k n n h c nh(n)满足偶对称，即h(n)=h(N-1-n)属于第II 类FIR 滤波器(c))(]12cos 1[)(]2/)sin[()1()(1n N nn n n h R c n ϖππαωα-----=+3．解：⎰⎰+----+--+=ccccd e e d e e n h n j j n j j d ωωωωωωαωωωωωωαωπωπ00002121)(παωαωαπαωωαωωα)()sin()cos(2)()])(sin[()])(sin[(000---=----+-=n n n n n n c c c)()()(n n h n h R d ϖ=(a)N 为奇数时，设N=2k+1，k N =-=21α )()()sin()cos(2)(0n k n k n k n n h R cϖπωω---=h(n)满足于偶对称，属于第I 类FIR 滤波器 (b)N 为偶数时，设N=2k,α=k-1/2)()2/1()2/1sin()2/1cos(2)(n k n k n k n n h R cϖπω+-+-+-=h(n)满足偶对称，属于第II 类FIR 滤波器 (c)N 为奇数时，用升余弦窗设计)(]12cos 46.054.0[)()sin()cos(2)(0n R N nk n k n k n n h N c -----=ππωωN 为偶数，用升余弦窗设计)(]12cos 46.054.0[)()2/1sin()2/1cos(2)(0n R N nk n k n k n n h N c ---+-+-=ππωω4．解：与第三题相比知)(ωϕ由-ωα变为-αω-π/2，所以只需将上题)(n h d 由偶对称变为奇对称即可)()()()sgn()()sin()cos(2)(0n n h n h n n n n n h R d cϖαπαωαωα=----=(a)N 为奇数，α=k)()sgn()()sin()cos(2)(0n k n k n k n k n n h R cϖπωω----=奇对称属于第III 类滤波器 (b)N 为偶数，α=k-1/2)()2/1sgn()2/1()2/1sin()2/1cos(2)(0n k n k n k n k n n h R cϖπωω+-+-+-+-=奇对称属于第IV 类滤波器 (c)用改进升余弦窗设计 N 为奇数)sgn()(]12cos 46.054.0[)()sin()cos(2)(0k n n R N nk n k n k n n h N c ------=ππωωN 为偶数)(]12cos 46.054.0[)2/1sgn()2/1()2/1sin()2/1cos(2)(0n R N nk n k n k n k n n h N c--⨯+-+-+-+-=ππωω5．解：(a)一个带阻滤波器相当于一个全通滤波器减去一个带通滤波器 全通)()(ωϕωj j e e H = 带通)()()(ωϕωωj B j B e H e H =则带阻)()()()](1[)()(ωϕωϕωϕωωωj B j B j j r e H e H e e H -=-= (b)因是线性相位滤波器，不妨设ϕ(ω)=-αω⎰--=ππωωϕωωπd e e H n h n j j B r )()](1[21)()()()sin()(21)(n h n n n h d e E E n j ----=-=⎰--παπαωπππωα6．解： (a))()sgn()()sin()()()()sgn()()sin()(sin 21)(2/)(,1|)(|)()2/(n a n a n a n n n h n h a n a n a n n h n n d e n h a e H e je e H R R d d n j d j d a j a j j d ϖππϖππππωππωωϕππωωπωωω---==---=∴==∴--==∴=-=⎰----(b)N 为奇数时，α=(N-1)/2=k⎩⎨⎧≠==∴a n an n h ,0,1)( N 为偶数时，α=(N-1)/2=k-1/2)()2/1sgn()2/1()2/1sin()(n k n k n k n n h R ϖππ+-+-+-=显然N 为偶数时性能好(c))())]1/(1[1()sgn()()sin()(020ββππI N n I a n a n a n n h ------=7．解： (a))()1()()1(21)(n an n h an d e e j n h R an a n nj a d ϖωωπππωω---=---=-=----⎰ (b)N 为奇数时，a=k)()1()(n kn n h R kn ϖ---=-N 为偶数时，a=k-1/2)(2/1)1()(n k n jn h R k n ϖ+---=-N 为奇数时性能好(c) )())]1/(21[1()1()(020ββI N n I k n n h k n ------=-9．解： (a))1(5.0)14(13,,3,2,0)()(5.0)1(,1)0(),/11()21(2)(*15/)115(14)15/11(d j d d d j d d H e H k k N H k H e H H N k N N kk ====-===--=--=----ππππθ ∑-==12)(1)(N n kn N j d e k H N n h π)5.05.01(1511528151********n j j n j j e e e e ππππ++=- ∑=---=1415/22151)(151)(o k k j j j j e ek H e e H ωωω(b)横截型x(n) 1-z 1-z 1-z 1-z)0(h )1(h )2(h )3(h )14(h频率采样型H(0)ωj e -(c)横截型用的乘法器多，频率采样型用的加法器多 10．解： (a))(2n h 为)(1n h 的圆周移位πθθπk k k k H k H e k H W k H k H jk kmN -==∴===)()(|)(||)(|)()()(2121112(b)如图所示，又5.32/)1(,8=-==N a N 知)(1n h ，)(2n h 均关于n=3.5偶对称，所以属于线性相位滤波器时延为3.5 11．解：⎩⎨⎧≤≤=ωωωω其他,00,1|)(|cj d e H 图略第一类线性相位FIR 滤波器，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≤+---≤≤--=-≤≤+-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≤+-=≤≤=--=--==121),21)((2210),21(2)(,121|,)(||)(|,211]2int[,041]2int[0,1|)(|)11(2)21()(,e |H(K)|H(K)(K)j N k N N k N N N k N k NK N k N k N H K H N k N N N k K H Nk k N N K c c ππθπωπωππθθ偶对称⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤-=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤≤≤=3217),33(3332160,3332)(,3225,12417169,080,1|)(|k k k k K k k k k K H ππθ及设计的过渡带宽3322ππω==∆N 如果边沿设定ϖ(k)为一点，即令ϖ(9)= ϖ(24)=0.39∑+++--+==⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=≤≤=-]})332sin(33)]332(33sin[)332sin(33)]332(33sin[[2sin33233sin {)(3342*21610,09,39.080,1|)(|16πωπωπωπωωωππωωk k k k e e H N K K K K H j j 则过渡带宽为12．解： (a)N=33⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤-=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=≤≤≤≤=3217),33(3332160,3332)(,2013,121,12,39.03222,110,0|)(|k k k k k k k k k k H ππθ(b)N=32⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤-=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=≤≤≤≤=3318),34(3433170,3433)(,2113,122,12,39.03323,110,0|)(|k k k k k k k k k k H ππθ13.解：(a)N=33，因为N 为奇数，所以可能是第I ，III 型滤波器⎩⎨⎧≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤=2821,125,13229,2013,40,0|)(|k k k k k k H 第I 型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤-=3217),33(3332160,3332)(k k k k k ππθ第III 型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-+-≤≤-=3217),33(33322160,33322)(k k k k k ππππθ(b)N=34, 可能是第II,IV 型滤波⎩⎨⎧≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤=2922,125,13330,2113,40,0|)(|k k k k k k H第II 型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤-=3318),34(3433170,3433)(k k k k k ππθ 第IV 型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-+≤≤--=3318),34(34332170,34332)(k k k k k ππππθ14．解：(a)N 为偶数，上面正交网络可设计成第IV 型滤波器⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-=--+-=---=1,,1]21[),)(2(212]21[,,0,2212)(N N k k N N N N k N k N k ππππθ(b)N 为奇数，纯虚数幅度响应样本为：⎩⎨⎧-=-==1,,1,0,0)(N k j k k jH r 由于这是一个III 型线性相位滤波器，在ω=π处振幅响应应为零，即0=k H 为了减少波动，在靠近ω=π处（即中点两旁）设过渡点，不妨选值为0.4j⎪⎩⎪⎨⎧-+-=-≤≤+-≤≤--===1,1,2/)1(,2/)3(,4.022/)3(,2/)5(2,2/)1(,0,0N N N k j N k N n k j N k k H k⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-=--+-=---=1,,1]21[),)(2)(21(2]21[,0),2)(21(2)(N N k k N N N N k N k N k ππππθ 15．解：(a)（虚数）幅度样本为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-=---=-=1,,1]21[),(2]21[,,0,2)(N N k k N N j N k k N jk jH r ππ N 为奇数时没有突变边沿 N 为偶数时没有突变边沿 (b) N 为偶数时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-=--+-=---=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=-=--==1,,1]21[),)(2)(21(2]21[,,0),2)(21(2)(1,,12/),(22/),12(212,,0,2N N k k N N N N k N k N k N N k k N N N k N NN k k H k ππππθπππ。

解： 将原式移项得
y(n) 3 y(n 1) 1 y(n 2) x(n) 1 x(n 1)
4
8
3
将上式进行Z变换， 得到
Y (z) 3 Y (z)z 1 1 Y (z)z 2 X (z) 1 X (z)z 1
4
8
3
1 1 z 1
H(z)
3
1 3 z 1 1 z 2
48
第 4 章 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现 (1) 按照系统函数H(z)， 根据Masson公式， 画出直接型 结构如题1解图（一）所示。
第 4 章 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现 题10解图（一）
第 4 章 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现 题10解图（二）
第 4 章 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现
11． 已知FIR滤波器的16
H(0)=12，
H(3)~H(13)=0
H(1)=－3－j 3 ，
第 4 章 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现
5． 题 5图中画出了四个系统， 试用各子系统的单位脉冲 响应分别表示各总系统的单位脉冲响应， 并求其总系统函数。
解：(1) h(n)=h1(n)*h2(n)*h3(n), H(z)=H1(z)H2(z)H3(z) (2) h(n)=h1(n)+h2(n)+h3(n), H(z)=H1(z)+H2(z)+H3(z) (3) h(n)=h1(n)*h2(n)+h3(n), H(z)=H1(z) ·H2(z)+H3(z) (4) h(n)=h1(n)*［h2(n)+h3(n)*h4(n)］+h5(n)
画出它的直接型结构如题8解图所示。

在数字信号处理的滤波器、FFT、卷积及各种矢量 运算中，由于要执行Σb(n)*x(n - k)一类的运算，这类运 算的乘法和加法总是同时出现，因此DSP中就希望将乘法
器和加法器相结合，在一个时钟周期完成一次乘、加运算，
并且累加乘法运算的结果。这样的运算单元称为乘法累加 器（MAC）。
对于乘法累加器，除了要求能在一个时钟周期完成一
5.6-1。
输入设备
运算器
输出设备
控制器
存储器
数据线 控制线
图5.6-1 冯.诺曼结构
冯.诺曼结构处理器具有以下几个特点：
（1） 必须有一个存储器；
（2） 必须有一个控制器；
（3） 必须有一个运算器，用于完成算术
运算和逻辑 运算；
（4） 必须有输入和输出设备，用于进行
人机通信。
冯.诺曼的主要贡献就是提出并实现了“ 存储程序”的概念。由于指令和数据都是二
若干位 。右移使得符号位扩展，也就是在左边填
入符号位，这样可以保留原有的正号或负号。左 移操作用0填入最低位，如果数的最高位不是符号 位，则左移的结果就造成了溢出，这时溢出标志 被置1。逻辑移位用来做某些逻辑操作，如用于位
屏蔽等。逻辑移位把无符号数左移或右移，腾空
位填0。
通用微处理器的移位操作是一位一位移的
生。
5.6.2 DSP硬件构成 典型的DSP处理器中的运算/处理功能单元 主要包括以下几个部分： ● 乘法器/乘加器（MAC） ● 算术逻辑运算单元（ALU） ● 移位器 ● 数据地址发生器（DAG） ● 程序定序器，又称指令定序器 ● 存储器
5.6.2．1 DSP的乘法器/乘加器（MAC） DSP乘法器应具有以下基本功能： 1. 要求在一个时钟周期里对两个字长为 b位的输入由硬件作快速并行乘法； 2. 应能通过格式控制来执行无符号或带 符号或混合的乘法操作、小数或整数乘法操 作以及扩展精度或双精度运算，并有合适的 舍位方法； 3.应有输入和输出寄存器，这样可以锁 存数据，配合流水线操作。也可不用寄存器 ，使乘法器在透明方式下工作，这样可以有 最小的等待时间。

数字信号处理第五章习题解答————第五章————数字滤波网络5.1 学习要点本章主要介绍数字滤波器的系统函数()z H 与其网络结构流图之间的相互转换方法，二者之间的转换关系用Masson 公式描述。

由于信号流图的基本概念及Masson 公式已在信号与系统分析课程中讲过，所以下面归纳IIR 系统和FIR 系统的各种网络结构及其特点。

5.1.1 IIR 系统的基本网络结构1. 直接型结构如果将系统函数()z H 化为标准形式(5.1)式：()∑∑=-=--=Nk kkMk kkz az bz H 11 (5.1) 则可根据Masson 公式直接画出()z H 的直接II 型网络结构流图如图5.1所示（取N=4，M=3）。

二阶直接II 型网络结构最有用，它是级联型和并联型网络结构的基本网络单元。

优点：可直接由标准形式(5.1)或差分方程()()()∑∑==-+-=Mk kN k kk n x b k n y a n y 01画出网络结构流图，简单直观。

缺点：对于高阶系统：（1）调整零、极点困难；（2）对系数量化效应敏感度高；（3）乘法运算量化误差在系统输出端的噪声功率最大。

2. 级联型结构将(5.1)式描述的系统函数()z H 分解成多个二阶子系统函数的乘积形式()()()()z H z H z H z H m 21?= (5.2) (),1221122110------++=zzzzz H i i i i i i ααβββ m i ,,2,1 = (5.3)画出的级联型方框图如图5.2所示。

图中每一个子系统均为二阶直接型结构，根据()z H 的具体表达式确定()z H i 的系数i i i i 1210,,,αβββ和i 2α后，可画出()z H i 的网络结构流图如图5.3所示。

优点：（1）系统结构组成灵活；（2）调整零、极点容易，因为每一级二阶子系统()z H i 独立地确定一对共轭零点和一对共轭极点；（3）对系数量化效应敏感度低。