11-3-层合板的强度分析和计算方法华中科技大学

Hill-蔡强度理论

X
2 1 2

1 2
X
2


Y
2 2 2


S
2 12 2
1
层合板强度
• 层合板的强度分析
– 需要了解每一单层的应力状态 – 给出层合板能承受的最大载荷（目的1） – 设计承受给定载荷所必需的层合板特征（目的2）
• 对复合材料层合板来说，一层的破坏不一定等同于整个 层合板的破坏，层合板的强度与下列因素有关：
一般对失效层退化采用如下假定：
如果： 1 X , 2 Y , Q66 0 如果：1 X , 2 Y 如果：1 X , Q22 Q12 Q66 0 Q11 Q22 Q12 Q66 0
2.层合板强度的应力计算公式
N x A11 N y A12 N xy A16 M x B11 M y B12 B M xy 16 A 12 A22 A26 B12 B22 B26 A16 A26 A66 B16 B26 B66 B11 B12 B12 B22 B16 B26 D11 D12 D12 D22 D16 D26
1、计算Q和A
Q
(1) 11
Q
(2) 22
54.92GPa
Q11 Q12 Q22
E1 1 12 21 12E2 21E1 1 12 21 1 12 21 E2 1 12 21
(1) (2) Q12 Q12 4.58GPa (1) (2) Q22 Q11 18.33GPa
2 Yt , 1 X t
0 0 0 54.92 4.58 0 Q1,3 4.58 18.33 0 GPa , Q2 0 54.92 0 GPa 0 8.62 0 0 0 0 0 9.15 0.764 0 tGPa, A 0.764 48.82 0 1.442 0 0 0.00171 0.109 1 0 t 1 MPa A' 0.00171 0.0205 0 0 0.6937

经典层合板理论
上式中的 Aij,Bij,Dij 依次称为拉伸刚度，耦合 刚度及弯曲刚度
由于耦合刚度 B i j 的存在，层合板面内内力 会引起弯曲变形（弯曲和扭曲），而弯曲 内力（弯矩和扭矩）会引起面内变形，此 现象被称为拉弯耦合效应
经典层合板理论
层合板的合力及合力矩可用块矩阵表达：
N A B0
经典层合板理论
由于每个单层的刚度矩阵在单层内不变，因 此可以从每一层的积分号中提出：
Nx
Ny
N
Q Q1121
Nxy k1Q16
Q12 Q22 Q26
Q Q Q162666
zk zk1
xy00 x0y
dz
zk zk1
kx
ky zdz
kxy
Mx
My
N
Q11 Q12
Mxy k1Q16
A1 1 A1 2 0
A1 2 A22 0
0 0 A66
0 x
0 y
0 xy
M
x
M y
D11
D1
2
D12 D22
0 0
k k
x y
M
xy
0
0
D66
k
xy
对称层合板的刚度分析
（2）特殊正交各向异性层组成的对称层合板 这种层合板由材料主向与坐标轴一致的正交
0 x
0 y
0 xy
x
aa
v0 y
u
0
v0
y x
中面的曲率为：
k
x
ky
k
x
y
a
a
2w x2 2w y2
2w
2
x y
其中 k x y 为中面扭曲率

§10.1复合材料的性能和特点
§10.2强度准则
§10.3层合板拉伸试验及数值结果对比分析
第十一章材料的抗断裂设计Fracture control design of materials
§11.1结构完整性保障
§11.2损伤容限设计
§11.3复合材料的可靠性设计
教材：材料强度学（作者：陈建桥），华中科技大学出版社，2008，武汉。
章节目录第一章固体的破坏fracturesolids11理论破坏强度12破坏类型与机理13固体脆性断裂特征第二章位错与晶体的强度dislocationcrystals21位错与剪切强度22位错的应力场23多晶体屈服强度第三章材料破坏的能量条件energybalancefracture31能量释放率32griffith公式第四章断裂力学分析方法fracturemechanicsmethod41裂纹尖端应力场42应力强度因子的影响因素43弹塑性断裂力学基础第五章材料的断裂韧性及其测试fracturetoughnessitsmeasurement51断裂韧性52断裂韧性测试第六章金属的脆性和延性破坏brittleductilefracturemetals61解理断裂62微孔洞汇聚和延性破坏机理第七章材料的高温强度materialsstrengthelevatedtemperatures71蠕变变形机理72持久寿命预测第八章疲劳破坏fatigue81疲劳断裂特征82疲劳裂纹扩展83断裂力学在疲劳裂纹扩展中的应用第九章高分子材料和陶瓷材料的强度strengthceramics91高分子材料的力学性能92高分子材料的粘弹性行为93时间温度等效原理94蠕变曲线及应力一寿命图第十章纤维复合材料的强度strengthfiberreinforcedplastics101复合材料的性能和特点102强度准则103层合板拉伸试验及数值结果对比分析第十一章材料的抗断裂设计fracturecontroldesignmaterials111结构完整性保障112损伤容限设计113复合材料的可靠性设计教材

B12 B22 B26 D12 D22 D26
B16 k x B26 k y B66 k xy D16 k x D26 k y D66 k xy
经典层合板理论
式中：
Aij (Qij ) k ( zk zk 1 ) (Qij ) k tk k 1 k 1 N 1 N 2 2 B ( Q ) ( z z ij ij k k k 1 ) (Qij ) k t k z k 2 k 1 k 1 3 N t 1 N 3 3 2 Dij (Qij ) k ( zk zk 1 ) (Qij ) k (tk zk k ) 3 k 1 12 k 1
k
N N
其中 tk zk zk 1 为第 层中心的坐标值 z z
k
z 是第 k 层的厚度，
1 1 ( z z ) ( zk zk 1 ) k 1 k k 1 2 2
经典层合板理论
上式中的 Aij , Bij , Dij 依次称为拉伸刚度，耦合 刚度及弯曲刚度 由于耦合刚度 Bij 的存在，层合板面内内力 会引起弯曲变形（弯曲和扭曲），而弯曲 内力（弯矩和扭矩）会引起面内变形，此 现象被称为拉弯耦合效应
经典层合板理论
上式可以用矩阵形式来表达：
0 x x k x 0 y y z k y 0 k xy xy xy
等号右边第一项表示层合板中面应变 等号右边第二项表示层合板中面曲率
经典层合板理论
将上面得到的表达式代入几何方程得到：
u u0 2w z 2 x x x x v v0 2w z 2 y y y y u0 v0 u v 2w ( ) 2z xy y x y x xy

0 xy

k
xy

等号右边第一项表示层合板中面应变 等号右边第二项表示层合板中面曲率
经典层合板理论
中面的应变为：
aa
u0


0 x
0 y
0 xy


x
aa
v0 y

u0

v0


dz

k 1
zk zk 1


x
y
xy
dz
M

x

M y
M
xy

h
2


x

N
h
2
y xy
zdz

k 1
zk zk 1


x
y
xy
zdz
经典层合板理论
经典层合板理论
经典层合板理论-层合板的合力
层合板上的合力 Nx, Ny , 及Nxy合力矩 是指单位长度上的力或力矩）
（都 M x , M y , M xy
经典层合板理论
合力及合力矩的定义式为：


N
x

Ny

N
xy

h
2


x

N
h
2
y xy
y)

z
w( x, x
y)
v

v0
(
x,
y)

z
w( x, y
y)
式中的 u0,v0,表w 示中面的位移分量，并且只是 坐标 的x,函y 数，其中 为挠w 度函数

? Xc ? s ? Yc ? sT | ? LT |? S
L ? Xt ? Yt
?? ? ??
（5.1）
3. 蔡—希尔（Tsai-Hill）失效判据
蔡—希尔失效判据是各向同性材料的冯·米塞斯（Von·Mises）屈服失效判
据在正交各向异性材料中的推广。希尔假设了正交各向异性材料的失效判据
具有类似于各向同性材料的米塞斯（Mises）准则，并表示为
? ?Lc
? ?L
?
?
Lt
? ?
? ?T c ? ?T ? ?T t ?（5.2）
由于单层的应力-应变关系一直到破坏都是 线性的，所以式（5.2）中的极限应变可以用相 应的基本强度来表示，即：
| ? LT |? ? LTS
? ?
? Lt
?
Xt , EL
? Lc
?
Xc , EL
?Tt
?
Yt ET
,
?Tc
F ?s2
?
? s 3 2
?
G?s3
?
? s1 2
?
H ?s1
?
? s2 2
?
2L?
2 23
?
2M?
2 31
?
2 N?122
?
1
式中，s1，s2，s3，?23，?31，?12是材料主方向
上的应力分量（见图5.1），F，G，H，L，M，
（5.5）
N称为强度参数，与材料主方向的基本强度有
关。假设该材料的拉压强度相等，材料方向基
? ?s L ?
0
? ?
??s T
? ?
（3.5）
1
? ??? LT ?? ?
GLT ?

z
w z
0
zx
u z
w x
0
zy
v z
w y
0
经典层合板理论
将上面三式分别对 z 积分得到：
w w(x, y)
u
u0
(x,
y)
z
w( x, x
y)
v
v0
(
x,
y)
z
w( x, y
y)
式中的 u0,v0, w 表示中面的位移分量，并且只 是坐标 x, y的函数，其中 w 为挠度函数
经典层合板理论
经典层合板理论的基本假设 层合板的应力和应变关系 层合板的合力及合力矩
层合板的限制条件
层合板为薄板 层合板各单层粘接良好，变形连续 整个层合板等厚度
经典层合板的基本假设
直法线假设： yz 0, zx 0
等法线假设： z 0 平面应力假设： z 0； xz =0； yz =0 忽略正应力假设： z 0
面值，因此可以从求和记号中移出得到：
N
x
Ny
A11
A12
A12 A22
A16 A26
0 x
0 y
B11 B12
B12 B22
B16 B26
kx ky
N
xy
A16
A26
A66
0 xy
B16
B26
B66
kxy
M M M
x y xy
B11 B12 B16
经典层合板理论
中面的应变为：
aa
u0
0 x
0 y
0 xy
x
aa
v0 y
u0
v0
y x
中面的曲率为：

1
a x
11
同理，
N 0 Ey
y
0
1
a y
22
a 0 x
y
21
a x
11
a 0 y
所以
N A A A
0
0
0
x
11 x
12 y
16 xy
N A A A
0
0
0
y
21 x
22 y
26 xy
（3－2）
N A A A xy
0
61 x
0
62 y
0 66 xy
上式为对称层合板的正则化面内力——面内应变关系式，
实质上就是对称层合板的平均应力（称层合板应力）和面内应
例如：【05/902/45/-453】s 这种标记的层合板表示，从板的底面开始，第一个铺层组
包含五层相对参考轴为0˚方向的铺层，接着向上是两层90˚方 向铺层，再向上是一层45˚方向铺层，最后至中面的三层是
－45˚方向的铺层。下角标s，表示对称层合板。
奇数层：在对称中面上的铺层用顶标“－”表示。 例如：【0/90】s 即【0/90/0】
变的关系式。
我们将面内力——面内应变的关系式作逆变换，可得面内
应变与面内力的关系式。
a N a N a N 0
x
11
x
12
y
16
xy
a N a N a N 0
y
21 x
22
y
26
xy
a N a N a N 0
xy
61
x
62
y
66
xy
（3－3）
式中aij称为层合板面内柔度系数。

1 2 2 2 Y Z X 1 1 1 2G 2 2 2 X Z Y 1 1 1 2H 2 2 2 X Y Z 2F 1 1
(10.3.8)
由于单层出于平面应力状态，即有σ1=σL，σ2=σT和τ12=τLT， 并取σ3=τ23=τ31=0，式（10.3.5）可以简化为
§10.3单层合板的强度理论
4、霍夫曼（Hoffman） 失效判据
蔡-希尔失效判据中没有考虑单层拉压强度不同对材料破坏的影响。 霍夫曼在希尔的正交各向异性材料失效判据表达式（10.3.5）中增 加了应力的一次项。通过类似于蔡-希尔失效判据式的推导，得到 霍夫曼失效判据表达式为

2 L
L T XtX
(10.3.10)
§10.3单层合板的强度理论
代入式（10.3.9），可得

X
2 L 2

L T
X
2

T
Y
2
2

LT
2
S
2
1
（10.3.11）
式（10.3.11）即称为蔡—希尔失效判据，蔡—希尔失效判据 综合了单层材料主方向的三个应力和相应的基本强度对单层破 坏的影响，尤其是记入了σLσT的相互作用，因此在工程中应用 较多。从式(10.3.11)的推导过程可知．蔡—希尔失效判据原则 上只适用于拉压基本强度相同的复合材料单层。但是通常复合 材料单层的拉压强度是不等的，工程上往往选取式(10.3.11)中 的基本强度X和y与所受的正应力σL和σT一致。如果正应力σL 为拉伸应力时，则X取Xt，，若σL是压应力时，则X取Xc。
L T LT
2 cos 2 sin sin cos

Nx Ny



A11 A12
A12 A22
A16 A26


0 x
0 y


B11 B12
B12 B22
B16 B26

kx ky

Nxy

A16
A26
A66


0 xy

B16
B26
B66




k
x
z ky



xy



0 xy


k
xy

等号右边第一项表示层合板中面应变 等号右边第二项表示层合板中面曲率
经典层合板理论
中面的应变为：

a
a
u
0






0
x
0 y

0 x y

x


u x

u0 x

z
2w x2
y


v y

v0 y

z
2w y 2



xy

u y

v x

( u0 y

v0 x
)

2z
2w xy
经典层合板理论
上式可以用矩阵形式来表达：


x
y




0 x
0 y

aaaA

1
Et

3 层合板的刚度与强度


层合板的刚度与强度的分析是建立在已知单 层刚度与强度的基础上。 假设层合板为连续、均匀、正交各向异性的 单层构成的一种连续性材料，并假设各单层 之间是完全紧密粘接，且限于线弹性、小变 形情况下研究层合板的刚度与强度，这种层 合理论称为经典层合理论。 本章是利用经典层合理论来讨论层合板的刚 度与强度。
nx0nynxy0利用公式34得an?exxx????11001aa?xyx????????11210??aaxxyxxy??????11610???同理an?eyyy????22001aa?yxy????????22120??aayxyyxy??????22620???面内剪切弹性模量agxy??6601aaxyxxyx??????66610???aaxyyxyy??????66620???面内泊松耦合系数aax????11210?aay????22120?拉剪耦合系数aaxxy???11610?aayxy???22620?剪拉耦合系数aaxyx???66160?aaxyy???66260?314面内刚度系数的计算?由于面内刚度系数与构成对称层合板的各铺层模量有简单的积分关系式而且各铺层可以有不同的偏轴模量所以正则化面内刚度系数可改写成求和的形式进行计算
0 0 x 11 x 12 y 16
0 0 y 21 x 22 y 26 0 0 xy 61 x 62 y 66
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0 xy
0 xy 0 xy
（3－2）
上式为对称层合板的正则化面内力——面内应变关系式， 实质上就是对称层合板的平均应力（称层合板应力）和面内应 变的关系式。 我们将面内力——面内应变的关系式作逆变换，可得面内 应变与面内力的关系式。

虽然沿层合板厚度的应变是线性变化的，但 由于层合板每层的 Q i j 可以不同，故应力变 化一般不是线性的
经典层合板理论
经典层合板理论-层合板的合力
层合板上的合力 Nx, Ny, Nxy 及合力矩 M x,M y,M x y （都是指单位长度上的力或力矩）
经典层合板理论
合力及合力矩的定义式为：
经典层合板理论
将上面得到的表达式代入几何方程得到：
u u 0 2w z 2 x x x x v v0 2w z 2 y y y y u0 v0 u v 2w ( ) 2z xy y x y x xy
第三讲：复合材料层合板的 刚度与强度分析
层合板
层合板是指由两层或两层以上的单层板粘合在 一起成为整体的结构元件 层合板可以由不同材质的单层板构成，也可以 由不同纤维铺设方向上相同材质的各向异性单 层板构成。
主要内容
层合板的表示方法
经典层合板理论 单层板的刚度 层合板的刚度分析 层合板的强度分析
非对称层合板
反对称层合板 一般层合板
Q Q ijz = ij-z
夹芯层合板
经典层合板理论
经典层合板理论的基本假设 层合板的应力和应变关系
层合板的合力及合力矩
层合板的限制条件
层合板为薄板 层合板各单层粘接良好，变形连续
整个层合板等厚度
经典层合板的基本假设 0 ,zx 0 直法线假设： y z
经典层合板理论
上式可以用矩阵形式来表达：
0 k x x x 0 y y z k y 0 k xy xy xy
等号右边第一项表示层合板中面应变 等号右边第二项表示层合板中面曲率

D D1121
D12 D22
0 0
kkyx
Mx
y
0
0
D66kx
y
拉伸与弯曲之间没有耦合影响，面内没有耦合
第5章层合板刚度与强度分析
5.4.3 各向异性单层板
一般正交各向异性单层
A ij Q ij t
B ij 0
D ij
Q ij t 3 12
Nx Ny
A11 A12
A12 A22
AA126600yx
{0}{u x0,vy0,(u y0vx0)T } {k}{2 xw 2 , 2 yw 2 ,2x2w y}T
分别称为中面面内应变列阵和中面弯曲应变列阵
kx
(
2w x2 )
2w ky ( y2 )
称为曲率
2w kxy( 2 xy)
称为扭率
第5章层合板刚度与强度分析
{}{0}z{k}
kQ kk
第5章层合板刚度与强度分析
5.1 引言
(1)由于各个铺层的材料主方向不尽相同，因而层合板一般没有确 定的材料主方向。 (2)层合板的结构刚度取决于铺层的性能与铺层叠放次序，对于确 定的铺层与叠放次序，可以推算出层合板的结构刚度。 (3)层合板有耦合效应，即在面内拉(压)、剪切载荷下可产生弯、 扭变形；反之，在弯、扭载荷下可产生拉(压)、剪切变形。 (4)一层或数层铺层破坏后，其余各层尚可能继续承载，层合板不 一定失效。 (5)固化工艺在层合板中要引起温度应力(Temperature stress)，这是 层 (6)合由板于的各初铺应层力粘(结Or在ig一ina起l s，tre在ss)变。形时要满足变形协调条件，故各 层之间存在层间应力(Interlaminar stress)。