第八章 幂的运算

欢迎共阅第八章幂的运算知识点总结
知识点一：同底数幂相乘
同底数幂的乘法数
数，负数的偶次幂是正数；负数的奇次幂是负正数的任何次幂都是正逆运算：
是正整数相加。

即法则：底数不变，指数a a a a a a m n m n m m n n
n )
,m (知识点二：幂的乘方与积的乘方
1、幂的乘方)
()()
,(a a a a m n m m n
mn mn n 逆运算：是正整数即底数不变，指数相乘。

2、积的乘方(ab)
(ab)n n n n n n )
(,b a b a n 逆运算；是正整数再把所得的幂相乘。

即
把每一个因式分别乘方知识点三：同底数幂的除法
同底数幂的除法m
nm a n m n m a a a a a a n 10101095-5n -0n -m n m 1)
0010(02.50000502.0)
1-10(96.6696000)
,
0a (110)0a (1),,,0a (的个数数字前第一个非的负几次方原数字个数的几次方科学记数法是正整数定负整指数幂的意义：规的数的零次幂都等于。

即任何不等于零指数幂的意义：规定是正整数变，指数相减。

即同底数幂相除，底数不。

第八章 幂的运算
幂（power ）指乘方运算的结果。

a n 指将a 自乘n 次(n 个a 相乘）。

把a n 看作乘方的结果，叫做a 的n 次幂。

对于任意底数a,b ，当ｍ，ｎ为正整数时，有
a ｍ•a n =a
m+n (同底数幂相乘,底数不变,指数相加) a ｍ÷a n =a m-n (同底数幂相除,底数不变,指数相减)
(a ｍ)n =a
mn (幂的乘方,底数不变,指数相乘) (ab)n =a n b
n (积的乘方,把积的每一个因式乘方,再把所得的幂相乘) a 0=1(a ≠0) (任何不等于0的数的0次幂等于1)
a -n =1/a n
(a ≠0) (任何不等于0 的数的-n 次幂等于这个数的n 次幂的倒数) ()1212++-=-m m a a (a ≠0)(任何不等于0 的数的负数的奇次幂等于这个数的奇次幂的负数) ()m m a a 22=-(任何不等于0 的数的负数的偶次幂等于这个数的偶次幂)
科学记数法:把一个绝对值大于10(或者小于1)的整数记为a×10n 的形式(其中1≤|a|＜10),这种记数法叫做科学记数法.
复习知识点：
1.乘方的概念
求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

在 n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数。

2.乘方的性质
（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。

（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

第八章幂的运算课题：幂的运算的小结与思考教学目标：1、能说出幂的运算的性质；2、会运用幂的运算性质进行计算，并能说出每一步的依据；3、能说出零指数幂、负整数指数幂的意义，能用熟悉的事物描述一些较小的正数，并能用科学记数法表示绝对值小于1的数；4、通过具体例子体会本章学习中体现的从具体到抽象、特殊到一般的思考问题的方法，渗透转化、归纳等思想方法，发展合情推理能力和演绎推理能力。

教学重点：运用幂的运算性质进行计算教学难点：运用幂的运算性质进行证明规律教学方法：引导发现，合作交流，充分体现学生的主体地位一、系统梳理知识：幂的运算：1、同底数幂的乘法2、幂的乘方3、积的乘方4、同底数幂的除法：（1）零指数幂（2）负整数指数幂请你用字母表示以上运算法则。

你认为本章的学习中应该注意哪些问题？二、例题精讲：例1 判断下列等式是否成立：①(-x)2＝-x2，②(-x3)＝-(-x)3，③(x-y)2＝(y-x)2，④(x-y)3＝(y-x)3，⑤x-a-b＝x-(a+b)，⑥x+a-b＝x-(b-a)．解：③⑤⑥成立．例2 已知10m＝4，10n＝5，求103m+2n的值．解：因为103m=(10m)3=43 =64,102n=(10n)2=52=25.所以103m+2n=103m×102n=64×25=1680例3 若x＝2m+1，y＝3+4m，则用x的代数式表示y为______．解：∵2m＝x-1，∴y＝3+4m＝3+22m．＝3+(2m)2＝3+(x-1)2＝x2-2x+4．例4设＜n＞表示正整数n的个位数，例如＜3＞=3，＜21＞=1，＜13×24＞=2，则＜210＞=______．解210=(24)2·22=162·4，∴ ＜210＞=＜6×4＞=4例5 1993+9319的个位数字是( )A．2 B．4C．6 D．8解1993+9319的个位数字等于993+319的个位数字．∵ 993=(92)46·9=8146·9．319=(34)4·33=814·27．∴993+319的个位数字等于9+7的个位数字．则 1993+9319的个位数字是6．三、随堂练习：1、已知a=355，b=444，c=533，则有（）A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．c＜a＜b D．a＜c＜b2、已知3x=a，3y =b，则32x-y等于 ( )3、试比较355，444，533的大小．4、已知a=-0.32,b=-3-2,c=(-1/3)-2d=(-1/3)0,比较a、b、c、d的大小并用“，〈”号连接起来。

第八章《幂的运算》培优训练卷班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．（2021·重庆八中九年级阶段练习）计算52a a ⋅的结果是（ ） A ．52aB ．62aC ．53aD ．63a2．（2022·全国·七年级）下列选项中，是同底数幂的是（ ） A ．()2a -与2aB ．2a -与()3a -C ．5x -与5xD ．()3-a b 与()3b a -3．（2022·重庆涪陵·八年级期末）下列计算正确的是（ ） A ．2323a a a +=B ．623a a a ÷=C ．33(2)6a a =D ．()1432a a =4．（2021·重庆市万盛经济技术开发区溱州中学八年级阶段练习）若a m ＝4，a n ＝2，则a m＋3n的值是（ ）A ．8B ．12C ．24D ．325．（2022·福建省福州第十六中学八年级期末）近年来，新冠肺炎给人类带来了巨大灾难，经科学家研究，冠状病毒多数为球形或近似球形，其直径约为0.00000011米，其中数据0.00000011用科学记数法表示正确的是（ ） A ．81.110-⨯B ．71.110-⨯C ．61.110-⨯D ．60.1110-⨯6．（2021·北京·清华附中八年级期中）已知781a =，927b =，139c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．a b c <<D ．b c a >>二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．（2022·四川南充·八年级期末）计算22-的结果是______．8．（2022·天津市第七中学八年级期末）计算：36x x ⋅=________________．9．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级阶段练习）计算：202120212552⎛⎫⎛⎫-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭_______．10．（2021·辽宁兴城·八年级期中）已知a m ＝4，a n ＝6，则a m ＋n ＝______． 11．（2022·全国·七年级）若0(3)1x -=，则x 的取值范围是________．12．（2021·浙江嘉兴·七年级期末）若9a ∙27b ÷81c ＝9，则2c ﹣a ﹣32b 的值为____．13．（2022·全国·七年级）若n 是正整数，且210n a =，则3222()8()n n a a --＝__________.14．（2021·湖南永兴·八年级阶段练习）11()6-，0(2)-，2(3)-这三个数按从小到大的顺序排列，正确的排列是____（用＜号连接）15．（2021·山东·济南育英中学七年级期中）我们定义：三角形＝a b •a c ，五角星＝z •（x m •y n ），若＝4，则的值＝_____．16．（2022·吉林吉林·八年级期末）如图，王老师把家里的WIFI 密码设置成了数学问题．吴同学来王老师家做客，看到WIFI 图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了王老师家里的网络，那么她输入的密码是________．账号：Mr ．Wang 's house王134wang1314x yz ⎢⎥⊕=⎣⎦ 浩15220hao31520xy x z ⎢⎥⊕⋅=⎣⎦ 阳()()422244x y y z ⎢⎥⊕⋅=⎢⎥⎣⎦密码三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（2021·吉林临江·八年级期末）计算：2222342()()a b a b a ----⋅÷18．（2021·广东高州·七年级期末）计算： （1）﹣12021+（13）﹣2+（π﹣3.14）0；（2）（6a 3b 2﹣4a 2b ）÷2ab ．19．（2021·全国·八年级课时练习）已知3m a =，5n a =，求： （1）m n a -的值； （2）32m n a -的值．20．（2022·全国·七年级）声音的强弱用分贝表示，通常人们讲话时的声音是50分贝，它表示声音的强度是105，汽车的声音是100分贝，表示声音的强度是1010，喷气式飞机的声音是150分贝，求：(1)汽车声音的强度是人声音的强度的多少倍？ (2)喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的多少倍？21．（2021·河南·八年级阶段练习）规定*33a b a b =⨯，求： （1）求1*2；（2）若2*(1)81x +=，求x 的值．22．（2021·福建永春·八年级期中）规定两个非零数a ，b 之间的一种新运算，如果a m ＝b ，那么a ∧b ＝m ．例如：因为52＝25，所以5∧25＝2；因为50＝1，所以5∧1＝0． （1）根据上述规定填空：2∧32＝ ；﹣3∧81＝ ． （2）在运算时，按以上规定请说明等式8∧9+8∧10＝8∧90成立．23．（2021·山西·太原市外国语学校七年级阶段练习）若a *b ＝c ，则a c ＝b ．例如：若2*8＝3，则23＝8（1）根据上述规定，若5*1125＝x ，则x ＝ ． （2）记5*2＝a ，5*6＝b ，5*18＝c ，求a ，b ，c 之间的数量关系．24．（2020·江苏江都·七年级期中）如果a c ＝b ，那么我们规定（a ，b ）＝c ．例如；因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定填空：（3，27）＝ ，（4，1）＝ ，（2，0.25）＝ ； （2）记（3，5）＝a ，（3，6）＝b ，（3，30）＝c ．判断a ，b ，c 之间的等量关系，并说明理由．25．（2019·福建·莆田第十五中学七年级阶段练习）我们已经学习过“乘方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算．定义：如果b a ＝N （a ＞0，a ≠1，N ＞0），则b 叫做以a 为底N 的对数，记作log Na ＝b ，例如：因为35＝125，所以1255log ＝3；因为211＝121，所以12111log ＝2（1）填空：66log ＝ ，16log ＝ ； （2）如果(2)2log m -＝3，求m 的值．26．（2021·河北邢台·八年级阶段练习）按要求解答下列各小题． （1）已知10m ＝6，10n ＝2，求10m ﹣n 的值； （2）如果a +3b ＝4，求3a ×27b 的值； （3）已知8×2m ÷16m ＝215，求m 的值．27．（2021·江苏连云港·七年级期中）阅读下列材料：小明为了计算22020202112222+++⋅⋅⋅++的值，采用以下方法：设22020202112222S +++⋅⋅⋅++=① 则22021202222222S =++⋅⋅⋅++② ②-①得，2022221S S S -==-． 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）220222++⋅⋅⋅+=______； （2）求2501111222+++⋅⋅⋅++=______；（3）求()()()2100222-+-+⋅⋅⋅+-的和；（请写出计算过程）（4）求2323n a a a na +++⋅⋅⋅+的和（其中0a ≠且1a ≠）．（请写出计算过程）一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．（2021·重庆八中九年级阶段练习）计算52a a ⋅的结果是（ ） A ．52a B ．62a C ．53a D ．63a【答案】B 【分析】根据同底数幂的乘法运算法则求解即可． 【详解】 解：562=2a a a ⋅． 故选：B ． 【点睛】此题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法运算法则．同底数幂相乘，底数不变，指数相加．2．（2022·全国·七年级）下列选项中，是同底数幂的是（ ） A ．()2a -与2a B ．2a -与()3a -C ．5x -与5xD ．()3-a b 与()3b a -【答案】C 【分析】根据各项的底数分析判断即可 【详解】A . ()2a -的底数是a -，2a 的底数是a ，故该选项不符合题意；B . 2a -的底数是a ，()3a -的底数是a -，故该选项不符合题意； C . 5x -与5x 的底数都是x ，故该选项符合题意；D . ()3-a b 的底数是()a b -，()3b a -的底数是()b a -，故该选项不符合题意；故选C 【点睛】本题考查了同底数幂的形式，理解幂的定义是解题的关键．把n 个相同的因数a 相乘的积记作n a ，其中a 叫做底数，n 叫做指数．3．（2022·重庆涪陵·八年级期末）下列计算正确的是（ ） A ．2323a a a +=B ．623a a a ÷=C ．33(2)6a a =D ．()1432a a =【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方依次计算判断即可得． 【详解】解：A 、22a a +，不是同类项，不能化简，选项错误； B 、624a a a ÷=，选项错误； C 、()3328a a =，选项错误； D 、()4312a a =，选项正确； 故选：D ． 【点睛】本题主要考查合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题的关键．4．（2021·重庆市万盛经济技术开发区溱州中学八年级阶段练习）若a m ＝4，a n ＝2，则a m ＋3n的值是（ ）A ．8B ．12C ．24D ．32【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法的逆运算，以及幂的乘方的逆运算进行求解即可． 【详解】解：∵4m a =，2n a =，∴()()33334232m n m n m n a a a a a +=⋅=⋅=⨯=，故选D ． 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．5．（2022·福建省福州第十六中学八年级期末）近年来，新冠肺炎给人类带来了巨大灾难，经科学家研究，冠状病毒多数为球形或近似球形，其直径约为0.00000011米，其中数据0.00000011用科学记数法表示正确的是（ ） A ．81.110-⨯B ．71.110-⨯C ．61.110-⨯D ．60.1110-⨯【分析】绝对值小于1的数可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.00000011=71.110-⨯， 故选B ． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．6．（2021·北京·清华附中八年级期中）已知781a =，927b =，139c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．a b c << D ．b c a >>【答案】A 【分析】根据幂的乘方的逆运算可直接进行排除选项． 【详解】解：∵781a =，927b =，139c =，∴()742833a ==，()932733b ==，()1322633c ==，∴a b c >>； 故选A ． 【点睛】本题主要考查幂的乘方的逆用，熟练掌握幂的乘方的逆用是解题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．（2022·四川南充·八年级期末）计算22-的结果是______． 【答案】14【分析】根据负整数指数幂的运算法则计算即可．解：2211224-==， 故答案为：14．【点睛】本题考查了负整数指数幂，熟知运算法则是解题的关键．8．（2022·天津市第七中学八年级期末）计算：36x x ⋅=________________． 【答案】9x 【分析】根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加计算即可． 【详解】 ∵36x x ⋅=9x ， 故答案为：9x ． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．9．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级阶段练习）计算：202120212552⎛⎫⎛⎫-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭_______．【答案】1- 【分析】由积的乘方的逆运算进行计算，即可得到答案． 【详解】 解：20212021202120212525()(1)15252⎛⎫⎛⎫-⨯=-⨯=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；故答案为：1-． 【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行计算． 10．（2021·辽宁兴城·八年级期中）已知a m ＝4，a n ＝6，则a m ＋n ＝______． 【答案】24 【分析】利用同底数幂的乘法的逆运算即可求解．解：4,6m n a a ==， 又4624m n m n a a a +=⋅=⨯=， 故答案是：24． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，解题的关键是掌握相应的运算法则． 11．（2022·全国·七年级）若0(3)1x -=，则x 的取值范围是________． 【答案】3x ≠ 【分析】任何不为零的数的零次幂都等于零，根据定义解答． 【详解】解：∵0(3)1x -=， ∴3x ≠， 故答案为：3x ≠． 【点睛】此题考查了零指数幂定义，熟记定义是解题的关键．12．（2021·浙江嘉兴·七年级期末）若9a ∙27b ÷81c ＝9，则2c ﹣a ﹣32b 的值为____．【答案】-1 【分析】根据幂的乘方公式以及同底数幂的乘法公式的逆运用，即可求解． 【详解】解：∵9a ∙27b ÷81c ＝9，∴(32)a ∙(33)b ÷(34)c ＝9，即：32a ∙33b ÷34c ＝32，∴2a +3b -4c =2，即： a +32b -2c =1，∴2c ﹣a ﹣32b =-1，故答案是：-1． 【点睛】本题主要考查幂的乘方公式以及同底数幂的乘法公式，熟练掌握幂的乘方公式以及同底数幂的乘法公式的逆运用是解题的关键．13．（2022·全国·七年级）若n 是正整数，且210n a =，则3222()8()n n a a --＝__________. 【答案】200 【分析】把所求式子化为含a 2n 的形式，再代入即可求值； 【详解】解：32222322()8()()8()1000800200n n n n a a a a --=-=-= 故答案为：200 【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是熟练掌握积的乘方、幂的乘方公式逆用．14．（2021·湖南永兴·八年级阶段练习）11()6-，0(2)-，2(3)-这三个数按从小到大的顺序排列，正确的排列是____（用＜号连接）【答案】()1201(2)36-⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭【分析】根据负整数指数幂，零次幂，有理数的乘方分别计算，再比较大小即可． 【详解】()()1021=62=1,396-⎛⎫--= ⎪⎝⎭，，169<< ∴()1201(2)36-⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭故答案为：()1201(2)36-⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了负整数指数幂，零次幂，有理数的乘方，掌握负整数指数幂，零次幂，有理数的乘方是解题的关键．15．（2021·山东·济南育英中学七年级期中）我们定义：三角形＝a b •a c ，五角星＝z •（x m •y n ），若＝4，则的值＝_____．【答案】32【分析】根据题意可得出算式2334x y ⋅=，根据同底数幂的乘法得出234x y +=，求出2422316(3)x y y x ++==，根据题意得出所求的代数式是2(981)x y ⋅，再根据幂的乘方和积的乘方进行计算，最后求出答案即可．【详解】解：根据题意得：2334x y ⋅=，所以234x y +=，即2423416x y +==，所以2(981)x y ⋅242[(3)(3)]x y =⨯⋅242(33)x y =⨯⋅222(33)x y =⨯⋅224=⨯32=，故答案为：32．【点睛】本题考查了有理数的混合运算和整式的混合运算，解题的关键是能灵活运用整式的运算法则进行计算．16．（2022·吉林吉林·八年级期末）如图，王老师把家里的WIFI 密码设置成了数学问题．吴同学来王老师家做客，看到WIFI 图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了王老师家里的网络，那么她输入的密码是________． 账号：Mr ．Wang 's house王134wang1314x yz ⎢⎥⊕=⎣⎦浩15220hao31520xy x z ⎢⎥⊕⋅=⎣⎦阳()()422244x y y z ⎢⎥⊕⋅=⎢⎥⎣⎦密码【答案】yang 8888【分析】根据题中wifi 密码规律确定出所求即可．【详解】解：阳()()422244x y y z ⎢⎥⊕⋅=⎢⎥⎣⎦阳88888888x y z yang ⊕= 故答案为：yang 8888．【点睛】此题考查了同底数幂相乘和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2021·吉林临江·八年级期末）计算：2222342()()a b a b a ----⋅÷【答案】8b【分析】幂的混合运算，先做乘方，然后做乘除．【详解】解：2222342()()a b a b a ----⋅÷22668a b a b a ---=⋅÷888a b a --=÷8b =．【点睛】本题考查了整式的混合运算，负整数指数幂，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，解题关键是熟练掌握幂的有关运算法则.18．（2021·广东高州·七年级期末）计算：（1）﹣12021+（13）﹣2+（π﹣3.14）0； （2）（6a 3b 2﹣4a 2b ）÷2ab ．【答案】（1）9；（2）232a b a -【分析】（1）根据有理数的乘方，负整指数幂，零次幂进行计算即可；（2）直接根据多项式除以单项式的法则计算即可．【详解】（1）（1）﹣12021+（13）﹣2+（π﹣3.14）0 191=-++9=；（2）（6a 3b 2﹣4a 2b ）÷2ab3226242a b ab a b ab =÷-÷232a b a =-【点睛】本题考查了有理数的乘方，负整指数幂，零次幂，多项式除以单项式，掌握以上运算法则是解题的关键．19．（2021·全国·八年级课时练习）已知3m a =，5n a =，求：（1）m n a -的值； （2）32m n a -的值．【答案】（1）35；（2）2725． 【分析】（1）根据同底数幂的除法法则的逆运算解题；（2）根据同底数幂的除法法则的逆运算、幂的乘方法则的逆运算解题．【详解】解：（1）∵3m a =，5n a =， ∴3355m n m n a a a -=÷÷==； （2）∵3m a =，5n a =， ∴32323232()527(352)m n m n m n a a a a a -====÷÷÷． 【点睛】本题考查幂的运算，涉及同底数幂的除法的逆运算、幂的乘方的逆运算等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．20．（2022·全国·七年级）声音的强弱用分贝表示，通常人们讲话时的声音是50分贝，它表示声音的强度是105，汽车的声音是100分贝，表示声音的强度是1010，喷气式飞机的声音是150分贝，求：(1)汽车声音的强度是人声音的强度的多少倍？(2)喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的多少倍？【答案】(1) 105；(2) 105．【分析】（1）由题意直接根据同底数幂的除法运算法则进行计算即可得出答案；（2）根据题意利用同底数幂的除法运算法则进行计算即可得出答案.【详解】解：(1)因为1010÷105＝1010－5＝105，所以汽车声音的强度是人声音的强度的105倍；(2)因为人的声音是50分贝，其声音的强度是105，汽车的声音是100分贝，其声音的强度为1010，所以喷气式飞机的声音是150分贝，其声音的强度为1015，所以1015÷1010＝1015－10＝105，所以喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的105倍．【点睛】本题主要考查的是同底数幂的除法的应用，熟练掌握同底数幂的除法法则是解题的关键． 21．（2021·河南·八年级阶段练习）规定*33a b a b =⨯，求：（1）求1*2；（2）若2*(1)81x +=，求x 的值．【答案】（1）27；（2）1x =【分析】（1）根据规定即可完成；（2）根据规定及幂的运算，可得关于x 的方程，解方程即可．【详解】（1）33a b a b *=⨯，1212333927∴*=⨯=⨯=；（2）2(1)81x *+=，214333x +∴⨯=，3433x +∴=则34x +=，解得：1x =．本题是新定义运算问题，考查了同底数幂的运算，解方程等知识，理解新定义运算是解题的关键．22．（2021·福建永春·八年级期中）规定两个非零数a，b之间的一种新运算，如果a m＝b，那么a∧b＝m．例如：因为52＝25，所以5∧25＝2；因为50＝1，所以5∧1＝0．（1）根据上述规定填空：2∧32＝；﹣3∧81＝．（2）在运算时，按以上规定请说明等式8∧9+8∧10＝8∧90成立．【答案】（1）5，4；（2）说明见解析．【分析】（1）结合新定义运算及有理数的乘方运算法则分析计算；（2）结合新定义运算及同底数幂的乘法运算法则进行分析说明．【详解】解：（1）∵25＝32，∴2∧32＝5，∵（−3）4＝81，∴−3∧81＝4，故答案为：5；4；（2）设8∧9＝a，8∧10＝b，8∧90＝c，∴8a＝9，8b＝10，8c＝90∴8a×8b＝8a＋b＝9×10＝90＝8c，∴a＋b＝c，即8∧9＋8∧10＝8∧90．【点睛】本题考查新定义运算，掌握有理数乘方运算法则，同底数幂的乘方运算法则是解题关键．23．（2021·山西·太原市外国语学校七年级阶段练习）若a*b＝c，则a c＝b．例如：若2*8＝3，则23＝8（1）根据上述规定，若5*1125＝x，则x＝．（2）记5*2＝a，5*6＝b，5*18＝c，求a，b，c之间的数量关系．【答案】（1）﹣3；（2）2b＝a+c．（1）根据定义和负整数指数幂公式即可解答；（2）根据定义得5a ＝2，5b ＝6，5c ＝18，发现62＝2×18，从而得到a ，b ，c 之间的关系．【详解】解：（1）根据题意得：3311551255x -===， ∴x ＝﹣3．故答案为：﹣3；（2）根据题意得：5a ＝2，5b ＝6，5c ＝18，∴52b ＝（5b ）2＝62＝36，5a ×5c ＝2×18＝36，∴52b ＝5a ×5c ＝5a +c ，∴2b ＝a +c ．【点睛】本题考查了负整数指数幂，同底数幂的乘法，幂的乘方，会逆用幂的运算法则是解题的关键．24．（2020·江苏江都·七年级期中）如果a c ＝b ，那么我们规定（a ，b ）＝c ．例如；因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定填空：（3，27）＝ ，（4，1）＝ ，（2，0.25）＝ ； （2）记（3，5）＝a ，（3，6）＝b ，（3，30）＝c ．判断a ，b ，c 之间的等量关系，并说明理由．【答案】（1）3，0，﹣2；（2）a +b ＝c ，理由见解析．【分析】（1）直接根据新定义求解即可；（2）先根据新定义得出关于a ，b ，c 的等式，然后根据幂的运算法则求解即可．【详解】（1）∵33＝27，∴（3，27）＝3，∵40＝1，∴（4，1）＝0， ∵2﹣2＝14，∴（2，0．25）＝﹣2．故答案为：3，0，﹣2；（2）a +b ＝c ．理由：∵（3，5）＝a ，（3，6）＝b ，（3，30）＝c ，∴3a ＝5，3b ＝6，3c ＝30，∴3a ×3b ＝5×6＝3c ＝30，∴3a ×3b ＝3c ，∴a +b ＝c ．【点睛】本题考查了新定义运算，明确新定义的运算方法是解答本题的关键，本题也考查了有理数的乘方、同底数幂的乘法运算．25．（2019·福建·莆田第十五中学七年级阶段练习）我们已经学习过“乘方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算．定义：如果b a ＝N （a ＞0，a ≠1，N ＞0），则b 叫做以a 为底N 的对数，记作log N a ＝b ，例如：因为35＝125，所以1255log ＝3；因为211＝121，所以12111log ＝2 （1）填空：66log ＝ ，16log ＝ ；（2）如果(2)2log m -＝3，求m 的值．【答案】（1）1，0；（2）m ＝10．【分析】（1）把对数运算转化为幂运算求解即可；（2）把对数运算转化为幂的运算求解即可．【详解】解：（1）∵1066,61==，∴66log =1，16log =0，故答案为：1，0；（2）∵(2)2log m -＝3，∴32＝m ﹣2，解得：m ＝10．【点睛】本题考查了新运算问题，解答时，熟练将对数运算转化为对应的幂的运算是解题的关键． 26．（2021·河北邢台·八年级阶段练习）按要求解答下列各小题．（1）已知10m ＝6，10n ＝2，求10m ﹣n 的值；（2）如果a +3b ＝4，求3a ×27b 的值；（3）已知8×2m ÷16m ＝215，求m 的值．【答案】（1）3；（2）81；（3）4m =-【分析】（1）根据同底数幂的除法逆用可直接进行求解；（2）根据同底数幂的乘法的逆用可直接进行求解；（3）根据同底数幂的乘除法可直接进行求解．【详解】解：（1）∵10m ＝6，10n ＝2，∴101010623m n m n -=÷=÷=；（2）∵a +3b ＝4，∴334327333381a b a b a b +⨯=⋅===；（3）∵8×2m ÷16m ＝215，∴31534422222m m m m +-==⨯÷∴3315m -=，解得：4m =-．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除运算，熟练掌握同底数幂的乘除运算是解题的关键． 27．（2021·江苏连云港·七年级期中）阅读下列材料：小明为了计算22020202112222+++⋅⋅⋅++的值，采用以下方法：设22020202112222S +++⋅⋅⋅++=①则22021202222222S =++⋅⋅⋅++②②-①得，2022221S S S -==-．请仿照小明的方法解决以下问题：（1）220222++⋅⋅⋅+=______；（2）求2501111222+++⋅⋅⋅++=______； （3）求()()()2100222-+-+⋅⋅⋅+-的和；（请写出计算过程）（4）求2323n a a a na +++⋅⋅⋅+的和（其中0a ≠且1a ≠）．（请写出计算过程）【答案】（1）221−2；（2）2-5012；（3）101223-；（4）()121n a a a +--+11n na a +- 【分析】（1）根据阅读材料可得：设s ＝220222++⋅⋅⋅+①，则2s ＝22＋23＋…＋220＋221②，②−①即可得结果；（2）设s ＝2501111222+++⋅⋅⋅+①，12s ＝2505111112222++⋅⋅⋅++②，②−①即可得结果； （3）设s ＝()()()2100222-+-+⋅⋅⋅+-①，-2s ＝()()()23101222-+-+⋅⋅⋅+-②，②−①即可得结果；（4）设s ＝2323n a a a na +++⋅⋅⋅+①，as ＝234123n a a a na ++++⋅⋅⋅+②，②−①得as -s =-a -2341n n a a a a na +--⋅⋅⋅-++，同理：求得-2314n a a a a ++--⋅⋅⋅-，进而即可求解．【详解】解：根据阅读材料可知：（1）设s ＝220222++⋅⋅⋅+①，2s ＝22＋23＋…＋220＋221②，②−①得，2s −s ＝s ＝221−2；故答案为：221−2；（2）设s ＝2501111222+++⋅⋅⋅+①， 12s ＝2505111112222++⋅⋅⋅++②， ②−①得，12s −s ＝-12s ＝5112-1， ∴s ＝2-5012， 故答案为：2-5012； （3）设s ＝()()()2100222-+-+⋅⋅⋅+-①-2s ＝()()()23101222-+-+⋅⋅⋅+-②②−①得，-2s −s ＝-3s ＝()1012-+2 ∴s ＝101223-； （4）设s ＝2323n a a a na +++⋅⋅⋅+①，as ＝234123n a a a na ++++⋅⋅⋅+②，②-①得：as -s =-a -2341n n a a a a na +--⋅⋅⋅-++，设m =-a -234n a a a a --⋅⋅⋅-+③，am =-2314n a a a a ++--⋅⋅⋅-④，④-③得：am -m =a -1n a +，∴m =11n a a a +--， ∴as -s =11n a a a +--+1n na +， ∴s =()121n a a a +--+11n na a +-． 【点睛】本题考查了规律型−实数的运算，解决本题的关键是理解阅读材料进行计算。

试卷第1页，共12页苏科版七年级下册《第八章 幂的运算》章节知识巩固-解答题专项训练（末尾含答案解析）一、解答题1．请计算结果（1）5+5÷（﹣5）＝ ；（2）﹣24×（﹣156）＝ ； （3）（ab 2）2＝ ；（4）x 2y 25-x 2y ＝ ． 2．光的速度约为3×105千米/秒，太阳光射到地球需要时间约是5×102秒，地球与太阳的距离约是多少千米？3．（1）已知2,3m n a a ==，求23m n a -的值．（2）已知：23n x =，求()()4525n n n x x x +-的值．（3）已知354x y +=，求582x y ⋅的值．（4）已知2139273m m ⨯⨯=，求m 的值．4．计算（1）342442()(2)a a a a a ⋅⋅++-．（2）2001993220.53113⎛⎫⎛⎫-⨯⋅⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．5．计算： （1）()()()332222223x x x x -+-+⋅ （2）()()423424()()2a a a a a -⋅⋅--+- 6．声音的强弱用分贝表示，通常人们讲话时的声音是50分贝，它表示声音的强度是105，汽车的声音是100分贝，表示声音的强度是1010，喷气式飞机的声音是150分贝，求：(1)汽车声音的强度是人声音的强度的多少倍？(2)喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的多少倍？7．(1)已知4m ＝a ，8n ＝b ，用含a ，b 的式子表示下列代数式：①求：22m +3n 的值②求：24m ﹣6n 的值(2)已知2×8x ×16＝223，求x 的值．8．已知a m ＝4，a n ＝2，a ＝3，求a m －n －1的值．9．已知2m a =，3n a =，求：1m n a +（）的值；322m n a -（）的值．10．化简：()()()()32232228a b a a b -+⋅-⋅-． 11．计算：210121()3(2020)()33π---⨯+-÷ 12．计算：2110213(2020)34π---⎛⎫⎛⎫⨯+-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 13．()()302212π312--⎛⎫-÷-++- ⎪⎝⎭． 14．计算下列各式的值：（1）12(18)(7)15--+--（2）2023(3)(0.25)234⎛⎫⎛⎫-⨯-+-÷-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15．阅读，学习和解题．(1)阅读和学习下面的材料:学习以上解题思路和方法，然后完成下题:比较34040，43030，52020的大小．(2)阅读和学习下面的材料:试卷第3页，共12页学习以上解题思路和方法，然后完成下题:已知a m ＝2，a n ＝3，求a 2m +3n 的值．(3)计算:(－16)505×(－0.5)2021．16．计算：()101253-⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭ 17．概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如222÷÷，()()()()3333-÷-÷-÷-等．类比有理数的乘方，我们把222÷÷记作2③，读作“2的圈3次方”，()()()()3333-÷-÷-÷-记作()3-④，读作“3-的圈4次方”，一般地，把a a a a ÷÷÷（n 个a ，a ≠0）记作a ⓝ，读作“a 的圈n 次方”．（1）直接写出计算结果：2=③ ，12⎛⎫-= ⎪⎝⎭⑤ ； （2）试一试，将下列运算结果直接写成幂的形式：()3-=④；5=⑥ ；12⎛⎫-= ⎪⎝⎭⑩ ； （3）想一想：将一个非零有理数a 的圈()3n n ≥次方写成幂的形式为 ；（4）算一算：()231142333⎛⎫⎛⎫⨯-⨯---÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭④⑥⑤． 18．计算：5763234()2()x x x x x ⋅+⋅-+19．运用公式简便计算：2021202013(3)()310-⋅-． 20．计算：（1）[(-a )3]4；（2）(-m 2)3·(-m 3)2．（3）[(m -n )2]5(n -m )3（4）(-x 2)5+(-x 5)221．计算：（1）()224365x x x x ⋅+- （2）()()()32623232a a a ⎡⎤---+-⎣⎦ 22．已知2103a -=，1105b -=，求6210a b +的值．23．计算：121432413()()()922x z y z y x ------÷-⋅- 24．计算：（1）1﹣4+9；（2）4﹣（﹣2）×3；（3）﹣4×12÷（﹣12）×2；（4）2×（﹣3）3﹣4×（﹣3）；（5）1135()(24)26812-+-+⨯-； （6）2012201121(0.25)4(5)|2|2--⨯+-÷-． 25．计算：a •（2a 2）2+a 3•（﹣a 2）．26．计算下列各题：（1）13513 1.252488+-+； （2）（34-）×（﹣113）﹣8÷4； （3）32﹣36×（5721293--）； （4）﹣32﹣（﹣2）3×|14-|＋（﹣1）2014 27．直接写出下列各题的答案：（1）223⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______；（2）61-=_______；（3）325-=_______； （4）t t --=________；（5）()1333-÷⨯=________；（6）393-=_______． （7）若n 为正整数，则()()22111n n +--+=________； （8）求()202120200.1258-⨯．28．计算：()()3223232a a a a ⋅+--29．信息技术的存储设备常用B ，K ，M ，G 等作为存储量的单位，例如，我们常说某计算机的硬盘容量是320G ，某移动硬盘的容量是80G ，某个文件大小是156K 等，其中试卷第5页，共12页10101012,12,12G M M K K B ===（字节）．对于一个存储量为8G 的闪存盘，其容量有多少B （字节）？30．下列算式①223(23)⨯；②23(26)(36)⨯⨯⨯；③3366+；④()3232(23)⨯中，结果等于66的有______（填序号）．31．计算：222020202111()23()838----+-⨯． 32．计算22021202011|4|()(0.5)2( 3.14)2π----+⨯--． 33．计算题：（1）﹣2﹣20210﹣（12）﹣2； （2）（23a ³b 4﹣16a ²b ³）÷（﹣13ab ²）． 34．计算：（1）（﹣2）3+（2020+π）0﹣|﹣3|；（2）（﹣3a 2）3﹣4a 2•a 4+5a 9÷a 3．35．计算：（﹣1）2021﹣（﹣3）+（7﹣π）0+（12）﹣1．36．计算：()()()30202020211 3.14π0.12582-⎛⎫----⨯- ⎪⎝⎭． 37．计算：（1）()()-1020211-202112π⎛⎫+-- ⎪⎝⎭ （2）()()2322222322a a a a a -⋅+-÷38．阅读下列材料：小明为了计算22020202112222+++⋅⋅⋅++的值，采用以下方法： 设22020202112222S +++⋅⋅⋅++=①则22021202222222S =++⋅⋅⋅++②②-①得，2022221S S S -==-．请仿照小明的方法解决以下问题：（1）220222++⋅⋅⋅+=______；（2）求2501111222+++⋅⋅⋅++=______； （3）求()()()2100222-+-+⋅⋅⋅+-的和；（请写出计算过程）（4）求2323n a a a na +++⋅⋅⋅+的和（其中0a ≠且1a ≠）．（请写出计算过程）39．（1）22031 1(π 3.14)(2)3-⎛⎫-+---+- ⎪⎝⎭． （2）如果12323m n ==，．求322m n +的值． 40．计算：22021301()4(1)|2|(5)3π--+⨯---+- 41．计算：42011()(3.14)2π--++-．42．已知3m a =，4n a =，求23m n a +的值．43×148．44．计算： （1）2211310()()24---÷-+． （2）()()222334222a a a a a a ⋅⋅+--÷． 45．计算：（1）()()3224x x -⋅ （2）()()3443572m m m m -+--⋅ （3）()()2222653a b a c a -÷- （4）202120202 1.53⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭46．计算：（1）()()20321155336-⎛⎫⎛⎫-++-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）()()()2322m n m n m n +---．47．根据乘方的意义“()m m a a a aa =个”可以推导出幂的相关运算法则．（1）下面是“积的乘方()nab ”法则的推导过程，在括号里写出每一步的依据．因为()()()()n ab n ab ab ab ab =个 （_______________________________）． n a n a a a b b b =⋅个个b（________________________________） n n a b = （________________________________）所以()nn n ab a b =（2）请你类比（1）的过程写出“幂的乘方()n m a ”法则的推导过程（并写出每一步的试卷第7页，共12页依据）48．计算()()3011232⎛⎫----÷- ⎪⎝⎭． 49．计算：2202101(1)(3.14)2π-⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭50．计算：()3322a a a a ⋅⋅+．51．（1）化简2324()()a a a -+-⋅（2）计算：22013( 3.14)3π-⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭ 52．计算：﹣11()3-+（π0+（﹣2）2021÷（﹣2）2019． 53．某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据a m ＝b ，知道a 、m 可以求b 的值．如果知道a 、b 可以求m 的值吗？他们为此进行了研究，规定：若a m ＝b ，那么T （a ，b ）＝m ．例如34＝81，那么T （3，81）＝4．（1）填空：T （2，64）＝ ；（2）计算：T (1273，)+T (-2，16)． （3）探索：T （2，3）+T （2，7）与T （2，21）的大小关系，并说明理由． 54．计算（1）()()2202101142π⎛⎫+--- ⎪⎝⎭ （2）()3104224232a a a a a ÷---⋅ 55．计算：（1）2101223--⎛⎫+-- ⎪⎝⎭ （2）()3322a a a a ⋅+-÷ 56．（1）已知：2m a =-，5n a =，求m n a +的值；（2）已知：213x y ++=，求393x y ⨯⨯的值．57．已知2m a =，3n a =．（1）求2m n a +的值；（2）23m n a -的值．58．（1）已知105m =，102n =，求3210m n +的值；（2）已知8416m n ÷=，求()233n m --的值. 59．计算：（1）()()12021011π 3.144-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭ （2）()41022353x x x x x ÷-+⋅ 60．计算：（1）()()2031223π-⎛⎫-++- ⎪⎝⎭（2）()()23262n n n a b a b +61．若m n a a =（0a >且1a ≠，m 、n 是正整数），则m n =．利用上面结论解决下面的问题：（1）如果528162x x ÷⋅=，求x 的值；（2）如果212224x x +++=，求x 的值；（3）若53m x =-，425m y =-，用含x 的代数式表示y ．62．已知2310x y ，求927x y ⋅的值．63．（1）计算：20212(2015)()2π--+-+； （2）20132012512()()125-⨯． 64．（1）积的乘方公式：（ab ）n ＝ （n 是正整数），请写出这一公式的推理过程．（2）计算2010402014()2⨯-． 65．已知23m =，25n =（1）求322m n +的值；（2）求2322m n -的值．66．同底数幂的乘法公式为：a m ·a n ＝ （m 、n 是正整数）．请写出这一公式的推导过程．67．计算：（1） 0213()32π--+-+- （2）()23543a a a ⋅+ 68．在“8.2幕的乘方与积的乘方”中，我们探索得到了积的乘方的法则：()n n n ab a b =（n 是正整数）．请类比该法则的推导过程，解决下列问题：试卷第9页，共12页（1）计算()n a b（n 是正整数）； （2）尝试用文字表述第（1）小题中得到的结论．69．计算（1）（－2a 2）3＋2a 2·a 4－a 8÷a 2（2）201()( 3.14)|3|2π-+--- 70．计算：（1）13012( 3.14)2π-⎛⎫---- ⎪⎝⎭+ （2）()435283a a a a ⋅+-- 71．（﹣1）2018﹣（π﹣3.14）0＋（12）﹣2 72．计算：(()2202101212-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭ 73．计算：()()3201920190201911143π24-⎛⎫⎛⎫-++⋅--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 74．计算： （1）()()02232021π---+-；（2）()2532m m m ⋅+． 75．计算：()22438223a a a a a ⋅+-÷． 76．()()-2020*********⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭π 77．计算： 102991001(2021)(1)10103-⎛⎫--+-+÷ ⎪⎝⎭． 78．计算：（1）()224382·2a a a a a +-÷ （2）│－2│－(2－π)0＋(－13)－1 79．计算：（1）()12132-⎛⎫-- ⎪⎝⎭（2）()32422m m m -÷80．计算：202132()2--+-- 81．规定两数a ，b 之间的一种运算，记作(),a b ，如果c a b =，则(),a b c =．我们叫(),a b 为“雅对”．例如：因为328=，所以(2,8)3=．我们还可以利用“雅对”定义说明等式(3,3)(3,5)(3,15)+=成立．证明如下：设(3,3),(3,5)m n ==，则33,35m n ==，故3333515m n m n +⋅==⨯=，则(3,15)m n =+，即(3,3)(3,5)(3,15)+=．（1）根据上述规定，填空：(2,0.25)=______；(5,1)=______；(____,16)4=． （2）计算(5,2)(5,7)+=_________，并说明理由．（3）利用“雅对”定义证明：()2,3(2,3)n n =，对于任意自然数n 都成立． 82．用简便方法计算下列各题：（1）201620174( 1.25)5⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭（2）1010112512562⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭83．计算：（1）()3242a a a ⋅+-； （2）()()()345222a a a ⋅÷-；（3）432()()()p q q p p q -÷-⋅-； （4）2020212(3)(1)3π-⎛⎫+--- ⎪⎝⎭． 84．若27n x =，求：()()24237n n x x -的值． 85．计算：（1）()32147(7)a a a -÷ （2）122011(2)9942--⎛⎫⎛⎫-+-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 86．求值：（1）已知2,5m n a a ==，求23m n a -的值；（2）已知129372n n +-=，试求n 的值．87．若m n a a =（0a >且1a ≠，m 、n 为整数），则m n =，利用这一结论解决下列问题： （1）若982m =，则m =__________；（2）已知1727393x x +÷⋅=，求x 的值．88．（1）已知3×9m ×27m ＝311，求m 的值．（2）已知2a ＝3，4b ＝5，8c ＝5，求8a ＋c －2b 的值．89．已知n 为正整数，且x 2n ＝4（1）求x n －3•x 3（n ＋1）的值；（2）求9（x 3n ）2－13（x 2）2n 的值．90．已知：35,310m n ==，求值：（1）23m（2）239m n -⋅91．阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（J ．Npler ，1550－1617年）是对数的创始人，他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler ．1707－1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地．若x a N =（0a >且1a ≠），那么x 叫做以a 为底N 的对数， 记作log a x N =，比如指数式4216=可以转化为对数式24log 16=，对数式32log 9=可以转化为指数式239=．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log ()log log (0,1,0,0)a a a M N M N a a M N ⋅=+>≠>>，理由如下：设log ,log a a M m N n ==，则,n m M a N a ==．m n m n M N a a a +∴⋅=⋅=．由对数的定义得log ()a m n M N +=⋅又log log a a m n M N +=+log ()log log a a a M N M N ∴⋅=+．根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：（1）填空：①2log 32=___________；②3log 27=_______，③7log l =________； （2）求证：log log log (0,1,0,0)a a a M M N a a M N N=->≠>>； （3）拓展运用：计算555log 125log 6log 30+-．92．计算：[(a －b )3]2－[－(b －a )2]3（1）135；（2）3457⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）2310． 94．计算（1）()()22021011 3.142π-⎛⎫-++- ⎪⎝⎭； （2）()323324x x x -+⋅． 95．化简：（x ﹣y ）12×（y ﹣x ）2÷（y ﹣x ）3．96．计算：（1）42423()a a ⎡⎤÷⎣⎦； （2）34232()()a a a a ⋅÷÷；（3）1243()x x -÷-．97．已知23,25m n ==．（1）求22m n -的值．（2）求248m n ⨯÷的值．98．已知755026152,4,8,16a b c d ====，用“＜”来比较a ，b ，c ，d 的大小．99．计算：（1）201(4)2-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（2）()31034()a a a -+-⋅ 100．已知165251255m m ⨯⨯=，求m 的值；参考答案1．（1）4；（2）44；（3）a 2b 4；（4）35x 2y 【分析】（1）先算除法，再算加减即可；（2）先把带分数化为假分数，在计算乘法即可；（3）根据积的乘方和幂的乘方计算即可；（4）根据合并同类项的法则计算即可；【详解】（1）原式()514=+-=；（2）原式()1124446⎛⎫=-⨯-= ⎪⎝⎭； （3）原式24a b =；（4）原式2223155x y x y ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭； 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，积的乘方和幂的乘方，合并同类项，准确计算是解题的关键．2．81.510⨯【分析】根据路程=速度×时间，先列式表示地球到太阳的距离，再用科学记数法表示．【详解】解：3×105×5×102=15×107=1.5×108千米．故地球与太阳的距离约是1.5×108千米．【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．同时考查了同底数幂的乘法． 3．（1）427；（2）261-；（3）16；（4）4m = 【分析】（1）根据幂的除法运算法则再逆用幂的乘方即可求解；（2）利用幂的运算法则都化成底数为x 2n 的形式，即可求解；（3）把8x 化成底数为2的幂的形式，再利用同底数幂的乘法法则计算即可；（4）都化成底数为3的幂的形式，再利用同底数幂的乘法法则计算得到关于m 的一元一次方程，再解即可．【详解】解：（1）（1）∵2,3m n a a ==， ∴()()2222333324327mm m n n n a a a a a -====； （2）∵x 2n =3，∴()()4525n n n x x x +-=()()232210n n x x - =233103-⨯=261-．（3）∵354x y +=，∴53535482222216x y x y x y +⋅=⋅===；（4）∵2139273m m ⨯⨯=，∴23213333m m ⨯⨯=，即512133m +=，．5121m +=，解得4m =．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方的计算方法，根据式子的特点，灵活变形解决问题． 4．（1）6a 8；（2）611【分析】（1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方和合并同类项的计算法则求解即可； （2）利用积的乘方的逆运算进行求解即可．【详解】解：（1）原式=a 8+a 8+4a 8=6a 8． （2）2001993220.53113⎛⎫⎛⎫-⨯⋅⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1991993132211231111⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯⋅⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⋅⎝⎭⎝=⎭⎭ 199313211(2)113121=-⎛⎫-⨯ ⎪⎝⨯⨯⋅⎭⨯ 3211⎛⎫-⨯ ⎪⎝=⎭- 611=． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方和合并同类项，积的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．5．（1）634x -；（2）84a【分析】（1）先计算积的乘方，幂的乘方，再合并同类项即可；（2）计算同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项即可．【详解】解：（1）()()()332222223x x x x -+-+⋅， =6642827x x x x --+，=666827x x x --+，=634x -；（2）()()423424()()2a a a a a -⋅⋅--+-， 8884a a a =-+，84a =．【点睛】本题考查幂的混合运算，掌握幂的运算法则是解题关键．6．(1) 105；(2) 105．【分析】（1）由题意直接根据同底数幂的除法运算法则进行计算即可得出答案；（2）根据题意利用同底数幂的除法运算法则进行计算即可得出答案.【详解】解：(1)因为1010÷105＝1010－5＝105，所以汽车声音的强度是人声音的强度的105倍；(2)因为人的声音是50分贝，其声音的强度是105，汽车的声音是100分贝，其声音的强度为1010，所以喷气式飞机的声音是150分贝，其声音的强度为1015，所以1015÷1010＝1015－10＝105，所以喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的105倍．【点睛】本题主要考查的是同底数幂的除法的应用，熟练掌握同底数幂的除法法则是解题的关键．7．（1）①ab，②22ab（2）x =6【分析】（1）①根据题意分别将4m，8n化为底数为2的形式，然后代入求解；②根据题意分别将4m，8n化为底数为2的形式，然后代入求解（2）由题意将8x化为23x，将16化为24，列出方程求出x的值．【详解】解：（1）．4m=a，8n=b，．22m=a，23n=b，．22m+3n=22m•23n=ab；．24m-6n=24m÷26n=（22m）2÷（23n）2=22ab；（2）．2×8x×16=223，．2×（23）x×24=223，．2×23x×24=223，．1+3x+4=23，解得：x=6．【点睛】本题考查同底数幂的除法以及幂的乘方和积的乘方，熟练掌握相关的运算法则是解答本题的关键．8．2 3【分析】先逆用同底数幂的除法，对a m－n－1进行变形，再代入数值进行计算．【详解】解：∵a m ＝4，a n ＝2，a ＝3，∴a m －n －1＝a m ÷a n ÷a ＝4÷2÷3＝23． 【点睛】本题主要是考查了同底数幂的除法，熟练地逆用同底数幂的除法法则，是解决本题的关键．9．（1）6；（2）89【分析】（1）利用同底数幂相乘的逆运算计算即可；（2）利用幂的乘方和同底数幂除法的逆运算计算即可．【详解】解：1236m n m n a a a +=⋅=⨯=（）；32322m n m n a a a -=÷（），32m n a a =÷（）（）， 3223=÷，89=． 【点睛】本题考查了幂的运算的逆运算，解题关键是熟练运用幂的运算的逆运算法则进行求解． 10．3616a b -【分析】根据幂的运算法则计算，再合并同类项即可．【详解】解：()()()()32232228a b a a b -+⋅-⋅-， =4326388a b a a b --⋅⋅，=336688a b a b --，=3616a b -．【点睛】本题考查了整式的运算，解题关键是熟练运幂的运算法则进行计算，再准确地合并同类项． 11．1312【分析】负整数指数幂的运算法则为：()10,p pa a a -=≠ 先计算负整数指数幂与零次幂的运算，再计算乘法与除法运算，最后计算加法运算即可.【详解】解：原式 =9111433⨯+⨯ =3143+ = 1312【点睛】本题考查的是负整数指数幂的运算，零次幂的含义，掌握“负整数指数幂的运算法则与零次幂的含义”是解本题的关键.12．1【分析】先计算零指数幂和负整数指数幂，然后根据有理数的混合计算法则求解即可．【详解】 解：2110213(2020)34π---⎛⎫⎛⎫⨯+-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 911443=⨯+÷ 3144=+ 1=．【点睛】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的混合计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．13．5【分析】先计算有理数的乘方，负整数指数幂，然后根据有理数的混合计算法则求解即可．【详解】 解：203212(3)()(1)2π---÷-++- 4181=-÷++481=-++5=．【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，零指数幂，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．14．（1）8；（2）-2【分析】（1）根据有理数的加减法运算法则计算即可；（2）先算乘方，再算乘除，最后计算加减即可．【详解】解：（1）12(18)(7)15--+--1218(7)15=++--30715=--2315=-8=．（2）2023(3)(0.25)234⎛⎫⎛⎫-⨯-+-÷-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 23191344⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-÷-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 23191344=-⨯+÷+ 2394134=-⨯+⨯+ 631=-++2=-．【点睛】本题考查含乘方的有理数的混合运算以及0指数幂，熟记有理数的混合运算法则是解题的关键．15．（1）404030302020345>>；（2）23108m n a +=；（3）0.5【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题；（2）根据题目中的例子可以解答本题；（3）根据题目中的例子可以解答本题．【详解】解：(1)∵34040＝(34)1010＝811010，43030＝(43)1010＝641010，52020＝(52)1010＝251010，∴34040>43030>52020．(2)∵22()m m a a ＝＝22＝4，33()＝n n a a ＝33＝27，∴2+3n 23m m n a a a ＝＝4×27＝108．(3) (－16)505×(－0.5)2021＝(24)505×(0.5)2021＝22020×(0.5)2020×0.5＝0.5【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法．16．5．【分析】先化简绝对值、计算零指数幂、负整数指数幂、去括号，再计算加减法即可得．【详解】解：原式2153=++-，5=．【点睛】本题考查了零指数幂、负整数指数幂等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．17．（1）12，8-；（2）()23--，45-，()82-；（3）2n a -；（4）21-． 【分析】（1）根据“a 的圈n 次方”的意义计算即可求解；（2）根据“a 的圈n 次方”的意义化为乘积的形式，再写成乘方的形式即可求解； （3）根据（2）的计算结果得出规律即可求解；（4）根据（3）的规律进行化简，再进行计算．【详解】解：（1）12=222=2÷÷③，111111==8222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--÷-÷-÷-÷-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⑤； 故答案为：12，8-； （2）()()()()()()221113=3333=1==3333-⎛⎫⎛⎫⎛⎫--÷-÷-÷-⨯-⨯--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭④； 44111115=555555=1==555555-⎛⎫÷÷÷÷÷⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭⑥； 11111111111=22222222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--÷-÷-÷-÷-÷-÷-÷-÷-÷- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⑩=()()()()()()()()=122222222⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-()8=2-； 故答案为：()23--，45-，()82-；（3）2n a -；故答案为：2n a -；（4）()231142333⎛⎫⎛⎫⨯-⨯---÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭④⑥⑤ ()()()23423=43233-⨯-⨯---÷1=16981278⎛⎫⨯⨯--÷ ⎪⎝⎭=183--=21-．【点睛】本题为新概念问题，考查了乘方运算，幂的意义等知识，读懂题意，理解“a 的圈n 次方”的意义是解题关键．18．124x【分析】利用同底数幂的乘法，幂的乘方运算后，再合并同类项．【详解】解：()()24576332x x x x x ⋅+⋅-+，1212122x x x =++， 124x =．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方运算，解题的关键是掌握同底数幂的运算法则． 19．103- 【分析】根据逆用同底数幂的乘法和积的乘方运算计算即可．【详解】 解：2021202013(3)()310-⋅- 20202020101033310⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2020103103103⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 103=- 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和积的乘方运算，掌握同底数幂的乘法和积的乘方运算是解题的关键．20．（1）a 12；（2）-m 12；（3）（n -m ）13；（4）0【分析】（1）由题意利用积的乘方和幂的乘方的运算法则进行计算即可；（2）由题意先利用积的乘方和幂的乘方的运算法则进行计算，继而利用同底数幂的乘法进行计算即可；（3）由题意先利用幂的乘方的运算法则进行计算，继而利用同底数幂的乘法进行计算即可； （4）由题意先利用积的乘方和幂的乘方的运算法则进行计算，继而利用合并同类项原则进行计算即可.【详解】解：（1）[(-a )3]412a =；（2）(-m 2)3·(-m 3)26612m m m =-⋅=-；（3）[(m -n )2]5(n -m )310310313()()()()()m n n m n m n m n m =-⋅-=-⋅-=-；（4）(-x 2)5+(-x 5)210100x x =-+=.【点睛】本题考查幂的运算，熟练掌握积的乘方和幂的乘方以及同底数幂的乘法运算法则是解题的关键.21．（1）6-3x ；（2）6-9a【分析】（1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方以及整式的加减计算法则进行求解即可；（2）根据积的乘方，以及整式的加减计算法则进行求解即可．【详解】（1）原式6665x x x =+-63x =-；（2）原式()36626494a a a =-+-66664964a a a =--69a =-． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘方，幂的乘方，积的乘方以及整式的加减计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．22．2527【分析】由2103a -=，1105b -=可得21103a =，105b =，再把6210a b +化为232(10)(10)a b ⨯，再代入求值可得答案.【详解】解：2103a -=，1105b -=， ∴21310a=，11105b =， 则21103a =，105b =，621010a b =⨯232(10)(10)a b =⨯321()53=⨯ 12527=⨯ 2527=． 【点睛】本题考查的是负整数指数幂的含义，同底数幂的逆运算，幂的乘方的逆运算，熟练运用幂的运算法则进行运算是解题的关键.23．24z x【分析】根据积的乘方法则、负整数指数幂的运算法则把原式变形，再根据分式的乘除法法则计算，得到答案．【详解】 解：原式244433161627()818x y y z x z=-÷⨯- 2444331627()81168x y z y x z =-⨯⨯- 24z x=． 【点睛】本题考查了分式的乘除法、负整数指数幂，掌握分式的乘除法法则是解题的关键． 24．（1）6；（2）10；（3）8；（4）-42；（5）7；（6）-414． 【分析】（1）直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案；（2）先计算乘法，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案；（3）直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案；（4）先算乘方，再算乘法，最后算加减；（5）直接利用乘法分配律进而计算得出答案．（6）先逆用积的乘方，再算乘方，乘法和除法，最后算加减．解：（1）1﹣4+9=6；（2）4﹣（﹣2）×3=4+6=10；（3）﹣4×12÷（﹣12）×2=4×12×2×2 =2×2×2=8；（4）2×（﹣3）3﹣4×（﹣3）=-2×27+12=-42；（5）1135()(24)26812-+-+⨯- 1135(24)(24)(24)(24)26812=-⨯-+⨯--⨯-+⨯- 124910=-+-=7；（6）2012201121(0.25)4(5)|2|2--⨯+-÷- 20112011112()425445=-⨯⨯-⨯ 201111(4)1044=-⨯⨯- =-414． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算）是解题关键．25．53a ．【分析】先计算积的乘方，然后根据单项式乘法法则计算，再合并同类项即可．解：()()22322a a a a ⋅+⋅-， =()()4324a a a a ⋅+⋅-， =554a a -，=53a ．【点睛】本题考查积的乘方，单项式乘以单项式，合并同类项，掌握积的乘方等于每个因式分别乘方，单项式乘以单项式系数与字母分别相乘，系数之积作积的系数，相同字母的幂按同底数幂的乘法进行，合并同类项只把同类项的系数相加减，字母与字母的指数不变．26．（1）6；（2）1-；（3）69；（4）6-【分析】（1）按照有理数的加减混合运算法则计算即可；（2）按照有理数的乘除混合运算法则计算即可；（3）按照乘法分配律先分配，然后再进行计算即可；（4）按照幂的计算和绝对值的计算法则进行化简即可．【详解】解：（1）原式=1351 1.2532488⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =0+6=6（2）原式=34243⎛⎫⎛⎫-⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=12-=-1（3）原式=572323636361293-⨯+⨯+⨯ 32152824=-++172824=++69=（4）原式=()19814---⨯+()921=---+6=-【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，有理数的乘除混合运算，幂的乘方和绝对值的运算，牢记运算法则并能准确计算是解题的重点．27．（【分析】（1）根据有理数乘方的运算即可求解；（2）根据有理数乘方的运算即可求解；（3）根据有理数乘方的运算即可求解；（4）根据整式的加减运算法则即可求解；（5）根据有理数的乘除运算法则即可求解；（6）根据有理数乘方的运算即可求解；（7）根据有理数乘方的运算即可求解；（8）根据幂的运算公式即可求解；．【详解】（1）223⎛⎫-= ⎪⎝⎭49； 故答案为：49‘’ （2）61-=-1；故答案为：-1；（3）325-=85-； 故答案为：85-； （4）t t --=-2t ；故答案为：-2t ；（5）()1333-÷⨯=1113333-⨯⨯=-； 故答案为：13-； （6）393-=92718-=-．故答案为：-18；（7）若n 为正整数，则()()22111n n +--+=110-=； 故答案为：0；（8）()202120200.1258-⨯=()()202020200.1250.1258-⨯-⨯=()()20200.1250.1258-⨯-⨯ =()()20200.1251-⨯-=0.125- =18-． 【点睛】此题主要考查有理数、整式的加减及幂的运算，解题的关键是熟知其运算法则．28．563a a -【分析】原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则，以及同底数幂的乘法法则计算，合并即可得到结果．【详解】解：()()3223232a a a a ⋅+-- =5664a a a +-=563a a -【点睛】此题考查了同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 29．332B【分析】由10101012,12,12G M M K K B ===，可得310101082222G B =⨯⨯⨯，从而可得答案.【详解】 解： 10101012,12,12G M M K K B ===，101010882822G M K ∴=⨯=⨯⨯31010103322222.B B =⨯⨯⨯=【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法的应用，掌握“同底数幂的乘法：底数不变，指数相加”是解题的关键.30．①②④【分析】根据同底数幂的乘法法则，积的乘方法则，幂的乘方法则以及合并同类项法则逐个计算即可求得答案．【详解】解：．22323236(3[23)(2)(])66⨯=⨯==；．232356(26)(36)(23)(66)666⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯=；．3336626+=⨯；．23366662(233)2()23()6=⨯⨯=⨯=，综上所述，结果等于66的有．．．，故答案为：．．．．【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则，积的乘方法则，幂的乘方法则是解决本题的关键．31．109【分析】根据含乘方的有理数混合计算法则和绝对值的求解方法进行计算即可得到答案.【详解】 解：222020202111()23()838----+-⨯ 20201178898⎡⎤⎛⎫=-+-⨯⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦17189=-+⨯ 109= 【点睛】本题主要考查了含乘方的有理化混合运算，以及绝对值运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则进行求解.32．0【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、积的乘方运算法则、绝对值的性质分别化简得出答案．【详解】 解：22021202011|4|()(0.5)2( 3.14)2π----+⨯-- =4﹣4+（0.5×2）2021﹣1=0+1﹣1=0．【点睛】本题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、积的乘方运算、绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．33．（1）-7；（2）22122a b ab -+【分析】（1）运用零指数幂，负整数指数幂以及实数的运算法则对式子进行运算即可；（2）利用整式的除法的运算法则对式子进行运算即可．【详解】解：（1）02122021()2----214=--- 7=-；（2）34232211()()363a b a b ab -÷-3422322111()()3363a b ab a b ab =÷--÷- 22122a b ab =-+． 【点睛】本题主要考查整式的除法，零指数幂，负整数指数幂，解答的关键是熟记非0实数的0次幂的值为1，负整数指数幂的运算法则，是易错点．34．（1）﹣10，（2）﹣26a 6．【分析】（1）原式利用乘方的意义，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值； （2）原式利用积的乘方与幂的乘方运算法则，以及同底数幂的乘除法则计算，合并即可得到结果．【详解】解：（1）原式＝﹣8+1﹣3＝﹣10；（2）原式＝﹣27a 6﹣4a 6+5a 6＝﹣26a 6．【点睛】此题考查了整式的混合运算，实数的运算，以及零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．35．5【分析】根据有理数的乘方运算法则、零指数幂的意义、负整数指数幂的意义即可求出答案【详解】解：（﹣1）2021﹣（﹣3）+（7﹣π）0+（12）﹣1 ＝﹣1+3+1+2＝5．【点睛】本题考查有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂、有理数的加减法，熟练掌握各自运算法则是解答的关键．36．1-【分析】根据负整数指数幂，零次幂，逆用积的乘方计算即可．【详解】 原式20202020181()8(8)8188=---⨯⨯-=--+1=-．本题主要考查负整数指数次幂，零指数幂的性质以及逆用积的乘方，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键．37．（1）4；（2）4-a【分析】（1）利用负整数指数幂，零指数幂，幂的运算法则计算即可；（2）根据积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法法则，按照运算顺序计算即可．【详解】（1）()()-1020211-202112π⎛⎫+-- ⎪⎝⎭ =2+1-（-1）=4；（2）()()2322222322a a a a a -⋅+-÷=44492()8a a a -+-=4a -．【点睛】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则，规范运算顺序是解题的关键．38．（1）221−2；（2）2-5012；（3）101223-；（4）()121n a a a +--+11n na a +- 【分析】（1）根据阅读材料可得：设s ＝220222++⋅⋅⋅+①，则2s ＝22＋23＋…＋220＋221②，②−①即可得结果；（2）设s ＝2501111222+++⋅⋅⋅+①，12s ＝2505111112222++⋅⋅⋅++②，②−①即可得结果； （3）设s ＝()()()2100222-+-+⋅⋅⋅+-①，-2s ＝()()()23101222-+-+⋅⋅⋅+-②，②−①即可得结果；（4）设s ＝2323n a a a na +++⋅⋅⋅+①，as ＝234123n a a a na ++++⋅⋅⋅+②，②−①得as -s =-a -2341n n a a a a na +--⋅⋅⋅-++，同理：求得-2314n a a a a ++--⋅⋅⋅-，进而即可求解．解：根据阅读材料可知：（1）设s ＝220222++⋅⋅⋅+①，2s ＝22＋23＋…＋220＋221②，②−①得，2s −s ＝s ＝221−2；故答案为：221−2；（2）设s ＝2501111222+++⋅⋅⋅+①， 12s ＝2505111112222++⋅⋅⋅++②， ②−①得，12s −s ＝-12s ＝5112-1， ∴s ＝2-5012， 故答案为：2-5012； （3）设s ＝()()()2100222-+-+⋅⋅⋅+-①-2s ＝()()()23101222-+-+⋅⋅⋅+-②②−①得，-2s −s ＝-3s ＝()1012-+2 ∴s ＝101223-； （4）设s ＝2323n a a a na +++⋅⋅⋅+①，as ＝234123n a a a na ++++⋅⋅⋅+②，②-①得：as -s =-a -2341n n a a a a na +--⋅⋅⋅-++，设m =-a -234n a a a a --⋅⋅⋅-+③，am =-2314n a a a a ++--⋅⋅⋅-④，④-③得：am -m =a -1n a +，∴m =11n a a a +--， ∴as -s =11n a a a +--+1n na +， ∴s =()121n a a a +--+11n na a +-． 【点睛】本题考查了规律型−实数的运算，解决本题的关键是理解阅读材料进行计算．39．（1）-17；（2）3【分析】（1）原式利用乘方的意义，零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算即可求出值； （2）逆用同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则进行计算即可．【详解】解：（1）22031 1(π 3.14)(2)3-⎛⎫-+---+- ⎪⎝⎭ = 1198-+--=-17；（2）∵12323m n ==，． ∴322m n +=323211(2)(2)3()27339m n =⨯=⨯= 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．40．-2【分析】先根据负指数幂、有理数的乘方、零次幂、绝对值化简，再计算即可．【详解】 解：22021301()4(1)|2|(5)3π--+⨯---+- ＝9 + 4×（﹣1）﹣8+1＝9﹣4﹣8+1＝﹣2．【点睛】本题主要考查有理数的乘方、零次幂、负指数幂、绝对值等知识点，熟练掌握有理数的乘方、零次幂、负指数幂是解答本题的关键．41．4【分析】根据有理数的乘方、负整数次幂、零指数幂的运算法则计算即可．【详解】解：42011()(3.1414421)π-=--+++-=+【点睛】本题考查有理数的乘法、负整数指数幂、零指数幂，熟练运用运算法则是解题的关键． 42．576【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则进行计算即可．【详解】解：∵3m a =，4n a =，∴23m n a +=23m n a a ⋅=()()23m n a a ⋅=2334⨯=576． 【点睛】本题考查了幂的乘方以及同底数幂的乘法，解答本题的关键在于熟练掌握该知识点的概念和运算法则．43．1162【分析】直接利用分数指数幂的性质化简，进而计算得出答案．【详解】 解：原式1111344416248=⨯÷⨯411334242222=⨯÷⨯411334242+-+=1162=． 【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．44．（1）27；（2）6a【分析】（1）首先计算乘方、除法和负指数幂，然后进行加减计算即可；（2）按照幂的运算法则计算，再合并同类项．【详解】解：（1）221131024-⎛⎫⎛⎫--÷-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =()691021--⨯-+=69201-++=27；（2）()()222334222a a a a a a ⋅⋅+--÷ =266844a a a a +-÷=66644a a a +-=6a【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握实数以内的各种运算法则，是解题的关键．45．（1）14x -；（2）122m -；（3）2523b c -+；（4）23-． 【分析】（1）根据幂的乘方和同底数幂乘法法则进行计算即可；（2）根据幂的乘方和同底数幂乘法法则以及合并同类项的方法进行计算即可得到答案 （3）根据多项式与单项式的除法计算法则进行计算即可；（4）根据幂的乘方和同底数幂乘法法则进行计算即可；【详解】解：（1）()()3224x x -⋅ 68x x =-⋅14x =-（2）()()3443572m m m m -+--⋅ 1212122m m m =-+-122m =-（3）()()2222653a b a c a -÷- 2523b c =-+（4）202120202 1.53⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭2020232323⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 20202(1)3⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭ 23=- 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，多项式与单项式的除法，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则进行计算求解.46．（1）5；（2）22357m mn n -+-【分析】（1）根据负整指数幂的性质、零指数幂的性质、同底数幂的除法法则解题；（2）利用多项式乘以多项式、完全平方公式解题．【详解】解：（1）原式915=+-5=；（2）原式2222644m mn n m mn n =+--+-22357m mn n =-+-．【点睛】不同课程幂的运算、整式的乘法等知识，涉及完全平方公式，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．47．（1）乘方的意义，乘法交换律、乘法结合律，乘方的意义；（2）见解析【分析】（1）根据乘方的意义“()m m a a a aa =个”和乘法交换律、乘法结合律可推得结果；（2）根据乘方的意义可得()mn a n m m m m a a a a =个，再根据同底数幂的乘法法则可得．【详解】解：（1）因为()()()()n ab n ab ab ab ab =个 （___乘方的意义____）．n a n a a a b b b =⋅个个b（__乘法交换律、乘法结合律_________） n n a b = （__________乘方的意义________）所以()nn n ab a b =（2）()m n a n m m m m a a a a =个（乘方的意义）n m m m m a +++=个（同底数幂的乘法法则）mn a =（乘法的意义或合并同类项）【点睛】考核知识点：乘方的意义．理解乘方的意义，灵活运用乘方意义和同底数幂乘法法则是关键． 48．-7【分析】先算零指数幂，绝对值和乘方，再计算括号内的，再算除法，最后算减法．【详解】解：()()3011232⎛⎫----÷- ⎪⎝⎭ =()11238⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭=()()118--⨯-=18-=-7【点睛】本题考查了有理数的混合运算，零指数幂，其顺序为：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．49．4【分析】先逐项化简，再算加减即可．【详解】原式1414=-++=．本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握零指数幂和负整数指数幂的意义是解答本题的关键，非零数的负整数指数幂等于这个数的正整数次幂的倒数；非零数的零次幂等于1．50．2a 6【分析】底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；据此计算即可．【详解】解：a 3•a 2•a +（a 2）3=a 6+a 6=2a 6．【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．51．（1）62a -；（2）1【分析】（1）根据幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则进行化简即可；（2）分别进行有理数的乘方运算、零指数幂运算、负整数指数幂运算即可解答．【详解】解：（1）2324()()a a a -+-⋅=66a a --=62a -；（2）22013( 3.14)3π-⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭ =919-++=1．【点睛】本题考查幂的乘方、同底数幂的乘法、有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂、合并同类项，熟练掌握运算法则是解答的关键．【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和同底数幂的除法运算法则分别化简得出答案．【详解】解：﹣11()3+（π）0+（﹣2）2021÷（﹣2）2019 =-3+1+（-2）2=-3+1+4=2．【点睛】本题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和同底数幂的除法运算，正确化简各数是解题关键．53．（1）6；（2）1；（3）相等，理由见解析【分析】（1）根据定义解答即可；（2）根据定义解答即可；（3）设T （2，3）=m ，T （2，7）=n ，T （2，21）=k ，可得2m =3，2n =7，2k =21，再根据同底数幂的乘法法则解答即可．【详解】解：（1）∵26=64，∴T （2，64）=6；故答案为：6；（2）∵(13)−3=27，(-2)4=16， ∴T (13，27)+T (−2，16)=-3+4=1； （3）相等．理由如下：设T （2，3）=m ，T （2，7）=n ，T （2，21）=k ，可得2m =3，2n =7，2k =21，根据3×7=21得：2m •2n =2k ，可得m +n =k ，即T （2，3）+T （2，7）=T （2，21）．。

第8章《幂的运算》考点+易错知识梳理重难点分类解析考点1 运用幂的基本性质进行运算【考点解读】掌握幂的基本性质是解决问题的关键，要根据算式的特点确定运算的顺序，并选择幂的基本性质进行正确计算，不要混淆同底数幂的乘法、积的乘方以及幂的乘方. 例1 (2017·江西)下列运算正确的是( )A. 5210()a a -=B. 22236a a a =gC. 23a a a -+=-D. 623623a a a -÷=-分析: 5210()a a -=，故选项A 正确；23236a a a =g，故选项B 错误；2a a a -+=-，故选项C 错误；624623a a a -÷=-，故选项D 错误.答案:A【规律·技法】根据合并同类项、幂的乘方及同底数幂的乘法的定义解答. 【反馈练习】1.下列计算正确的是( )A. 224x x x +=B. 3332x x x -=C. 236x x x =g D. 236()x x =点拨:正确应用各类计算法则计算. 2.计算:201320111(3)()3-⨯-= .点拨:应用积的乘方的逆运算，把2013(3)-折分成20112(3)(3)-⨯-.考点2 运用零指数、负整数指数幂的意义进行运算【考点解读】明确零指数、负整数指数幂的规定，同时区分一些形式上相似而实质上不一样的算式，如03与03-，12-与12--等. 例2 计算0112()2-+的结果是 . 分析:0112()1232-+=+=.答案:3 【规律·技法】本题考查了0次幂和负整数指数幂的意义，解答本题的关键是熟记相关法则. 【反馈练习】3.计算018()2---的结果是( )A. 7-B. 7C. 172D. 9 点拨:018()8172---=-=. 4.计算2133-⨯的结果是( )A. 3B. 3-C. 2D. 2- 点拨: 1133-=. 考点3 用科学记数法表示数【考点解读】要善于总结用科学记数法表示数的一般性规律，如:40.000110-=，50.0000110-=，60.00000110-=，70.000000110-=等.例3 (2017·济宁)某桑蚕丝的直径为0.000 016 m ，将0.000 016用科学记数法表示是() A. 41.610-⨯ B. 51.610-⨯ C. 61.610-⨯ D. 61610-⨯ 分析:绝时值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10na -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定，则50.000016 1.610-=⨯.答案:B【规律·技法】用科学记数法表示较小的数，一般形式为10na -⨯，其中110a ≤<，n 由原数左边起第一个非零数字前面0的个数所决定. 【反馈练习】5.生物学家发现了一种病毒，其长度为0.000 000 32 mm ，数据0.000 000 32用科学记数法表示正确的是( )A. 73.210⨯ B. 53.210-⨯ C. 73.210-⨯ D. 83.210-⨯ 点拨:确定科学记数法表示较小的数的一般形式10na -⨯中a 和n 的值.6.蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料，其厚度约为0.000 073 m ，将0.000 073用科学记数法表示为 .点拨:确定科学记数法表示较小的数的一般形式10na -⨯中a 和n 的值.考点4 幂的相关运算【考点解读】熟练掌握有关幂的运算法则. 例4 下列运算正确的是( )A. 320a a -=B. 23a a a =gC. 432a a a ÷= D. 325()a a =分析:32a a a -=，故选项A 不正确；23a a a =g ，故选项B 正确；43a a a ÷=，故选项C 不正确；326()a a =，故选项D 不正确.答案:B【规律·技法】本题考查了同底数幂的除法、合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，这些运算很容易混淆，一定要记准不同的运算法则. 【反馈练习】7.下列计算结果正确的是( )A. 842a a a ÷=B. 236a a a =g C. 248()a a = D. 236(2)8a a -= 点拨mnm na a a-÷=；m n m na a a+⨯= ；()m n mna a=(m ，n 是整数).8.下列运算正确的是( )A. 5210()a a = B. 1644x x x ÷=C. 224235a a a +=D. 3332b b b =g点拨m n m na a a-÷=；m n m na a a+⨯= ；()m n mna a=(m ，n 是整数).易错题辨析易错点 1 运用同底数幂的乘法法则计算时，漏掉了指数是“1”的因式例1计算: 32m m m ∙g . 错误解答: 32325m m m mm +∙==g s.错因分析:本题错在忽视最后一个因式m 的指数是1，误认为它的指数是0. 正确解答:323216m m m mm ++∙==g .易错辨析:单个字母的指数是1而不是0，只不过指数为1时可以省略不写，但不能认为指数是0.易错点2 运算法则使用不当例2计算:(1) 43(3)xy -; (2) 22(3)a b . 错误解答:(1) 4312(3)3xy xy -=-. (2) 2242(3)6a b a b =.错因分析:积的乘方是将积中的每一个因式分别乘方，而(1)中只将最后一个因式乘方，忽略了3-，x 两个因式的乘方，而(2)中错误地将乘方的次数乘以系数了. 正确解答:(1) 43312(3)27xy x y -=-. (2) 2242(3)9a b a b =.易错辨析:运用积的乘方法则时，要注意不能遗漏因式.易错点3 错用合并同类项法则例3计算: 3223()()x x +.错误解答: 32236612()()x x x x x +=+=.错因分析:本题错在将合并同类项法则与同底数幂乘法法则相混淆，错解中既运用了合并同类项法则，又运用了同底数幂相乘的法则.本题实际上是合并同类项，利用合并同类项法则将系数相加作为和的系数，字母和字母指数不变. 正确解答:3223666()()2x x x x x +=+=. 易错辨析:正确区分合并同类项与同底数幕乘法.易错点4 错用同底数幂除法法则例4计算:62x x ÷. 错误解答: 62623x x xx ÷÷==.错因分析:上面的解法用错了法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，而不是相除. 正确解答: 62624x x xx -÷==.易错辨析:同底数幕除法法则为mnm na a a -÷= (其中m ，n 是整数)，注意m n -不能写成m n ÷.易错点5 运算中符号出错例5 计算:62()()y y -÷-. 错误解答:626244()()()()y y y y y --÷-=-=-=-.错因分析: 44444()(1)(1)y y y y -=-=-=g g . 正确解答:626244()()()()y y y y y --÷-=-=-=.易错辨析:当n 为奇数时，()nna a -=-;当n 为偶数时，()nna a -=.反馈练习1.给出下列算式:①43272()()a a c a c --=-g ；②326()a a -=-；③3342()a a a -÷=；④633()()a a a -÷-=-.其中正确的有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个 点拨:注意运算的顺序，正确运用法则运算.2.若20.3a =-，23b -=-，21()3c -=-，01()3d =-，则( )A. a b c d <<<B. b a d c <<<C. a d c b <<<D. c a d b <<<点拨:分别计算出,,,a b c d 的值，比较即可.3.给出下列各式:①523[()]a a --g；②43()a a -g ；③2332()()a a -g ；④43[()]a --.其中计算结果为12a -的有( )A.①和③B.①和②C.②和③D.③和④点拨:注意“偶次方”和“奇次方”的符号处理. 4.计算: 23()()p p --=g ；231()2a b -= . 点拨:正确运用法则计算，最后结果化为最简形式.5.计算: 2018201952()()25-⨯-= . 点拨:把20192()5-分解为201822()()55--g 即可。

第8章《幂的运算》复习课练习【培优题】（满分100分 时间：40分钟） 班级 姓名 得分【知识点回顾】1、同底数幂相乘，底数不变，指数相加；即：n m a a a n m n m ,(+=⋅是正整数）2、幂的乘方，底数不变，指数相乘；即：n m a a mn n m ,()(=是正整数）3、积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；即：n m b a ab nn n ,()(=是正整数） 4、同底数幂相除，底数不变，指数相减；即：n m n m a a a a n m n m ,;,0(>≠=÷-是正整数） 5、任何不等于0的数的0次幂等于1；即：)0(10≠=a a6、任何不等于0的数的n -（n 是正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数；即：n a aa n n ,0(1≠=-是正整数） 7、科学计数法：把一个正数写成n a 10⨯的形式，其中,101<≤n n 是整数；类似的：一个负数也可以用科学计数法表示； 【课时练习】一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1. 下面是一名学生所做的4道练习题：①−22=4②a 3+a 3=a 6③4m −4=14m4④(xy 2)3=x 3y 6，他做对的个数（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方，合并同类项法则，负整数指数次幂的运算，幂的乘方与积的乘方，是基础题，熟记各性质是解题的关键．根据有理数的乘方，合并同类项法则，负整数指数次幂等于正整数指数幂的倒数，幂的乘方与积的乘方的性质对各小题分析判断即可得解．【解答】解：①−22=−4，故本小题错误；②a3+a3=2a3，故本小题错误；③4m−4=4，故本小题错误；m4④(xy2)3=x3y6，故本小题正确；综上所述，做对的个数是1．故选：A．2.已知a、b、c是自然数，且满足2a×3b×4c=192，则a+b+c的取值不可能是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】【分析】本题考查了同底数幂乘法以及分解质因数，熟练掌握同底数幂乘法以及分解质因数是解题关键，把2a×3b×4c变形，再把192分解成26×3，最后分类讨论即可．【解答】解：2a×3b×4c=2a×3b×22c=2a+2c×3b，192=26×3，∵a、b、c是自然数，∴b=1，a+2c=6，当a=0时，a+2c=6，c=3，则a+b+c=0+1+3=4，当a=1时，a+2c=6，c=2.5(舍去)，当a=2时，a+2c=6，c=2，则a+b+c=2+1+2=5，当a=3时，a+2c=6，c=1.5(舍去)，当a=4时，a+2c=6，c=1，则a+b+c=4+1+1=6，当a=5时，a+2c=6，c=0.5(舍去)，当a=6时，a+2c=6，c=0，则a+b+c=6+1+0=7，∴a+b+c的取值不可能是8．故选D．3.比较355，444，533的大小正确是（）A. 355<444<533B. 444<355<533C. 444<533<355D. 5533<355<444【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了幂的乘方和积的乘方的应用.先根据幂的乘方法则把四个式子转化为指数相同的式子，再根据底数的大小比较即可．【解答】解：∵355=(35)11=24311，444=(44)11=25611，533=(53)11=12511，∵125<243<256．∴533<355<444．故选D．4.已知x2n=3，求(x3n)2−3(x2)2n的结果（）A. 1B. −1C. 0D. 2【答案】C【解析】【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方，整体代入法求代数式的值，解题的关键是根据幂的运算法则对原式进行变形．把原式变形后进行整体代入即可求值．【解答】解：(x3n)2−3(x2)2n=(x2n)3−3(x2n)2=33−3⋅32=27−27=0．故选C．5.若a=999999，b=119990，则下列结论正确是（）A. a<bB. a=bC. a>bD. ab=1【答案】B【解析】【分析】此题考查积的乘方和同底数幂的乘法及除法的运算，灵活运用法则是解题的关键.根据积的乘方法则首先把999变形为119×99，999变形为990×99，然后根据同底数幂的除法法则计算即可得到结论．【解答】解：∵a=999999=(11×9)9990+9=119×99990×99=119990，∴a=b．故选B．6.定义一种新运算∫ab n⋅x n−1dx=a n−b n，例如∫kn2xdx=k2−n2.若∫m5m−x−2dx=−2，则m=()A. −2B. −25C. 2 D. 25【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了新定义问题，根据题意，进行求解即可． 【解答】 解：由题意得： m −1−(5m)−1=−2，1m−15m=−2，5−1=−10m ， m =−25． 故选：B ．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 7. −22017×(−0.5)2018= ．【答案】−12 【解析】 【分析】此题主要考查了积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．(ab)n =a n b n (n 是正整数).首先把(−0.5)2018=(−12)2017×(−12)，然后再利用积的乘方进行计算即可． 【解答】解：原式=−22017×(−0.5)2018， =−22017×(−12)2017×(−12)， =[−2×(−12)]2017×(−12)， =1×(−12)， =−12． 故答案为−12．8.已知4x=10，25y=10，则(x−2)(y−2)+3(xy−1)的值为______________．【答案】1【解析】【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方的逆运算，掌握幂的乘方和积的乘方的法则是解决问题的关键．【解答】解：∵4x=10，25y=10，∴4xy=10y，25xy=10x，4xy×25xy=10y×10x，(4×25)xy=10x+y，∴102xy=10x+y，∴2xy=x+y，(x−2)(y−2)+3(xy−1)=4xy−2×2xy+1=1．故答案为1．9.阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②−1的奇数次幂都等于−1；③−1的偶数次幂都等于1；④任何不等于零的数的零次幂都等于1.根据以上材料探索可得，使等式(2x+3)x+2018=1成立的x的值为______________．【答案】−1，−2，−2018【解析】【分析】本题主要考查零指数幂，有理数的乘方.根据1的乘方，−1的乘方，非零的零次幂，可得答案．【解答】解：①当2x+3=1时，解得：x=−1，此时x+2018=2017，则(2x+3)x+2018=12017=1，所以x=1；②当2x+3=−1时，解得：x=−2，此时x+2018=2016，则(2x+3)x+2018=(−1)2016=1，所以x=−2；③当x+2018=0时，x=−2018，此时2x+3=−4039，则(2x+3)x+2018=(−4039)0=1，所以x=−2018．综上所述，当x=−1，或x=−2，或x=−2018时，代数式(2x+3)2018的值为1．故答案为：−1或−2或−2018．)2÷273=2a×3b，则a+b=．10.若(−6)4×8−1×(19【答案】−8【解析】【分析】此题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘除，可先将已知化简，对照后得到a与b的值，代入a+b可求得代数式的值．【解答】)2÷273=24×34×2−3×3−4÷39解：∵(−6)4×8−1×(19=2×3−9=2a×3b即a=1，b=−9，∴a+b=1−9=−8．故答案为−8．三、解答题：（本题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）11.已知：x=3m−2，y=5+9m，用含x的代数式表示y．【答案】解：∵x=3m−2，∴x+2=3m，∴y=5+9m=5+(3m)2=5+(x+2)2=5+x2+4x+4=x2+4x+9．【解析】此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案．12.设x为正整数，且满足3x+1⋅2x−3x⋅2x+1=36，求(x x−1)2的值．【答案】解：∵3x+1⋅2x−3x⋅2x+1=36，∴3×3x·2x−3x·2x×2=36，即3×6x−2×6x=36，∴6x=36，解得x=2，∴(x x−1)2=(22−1)2=22=4．【解析】本题主要考查同底数幂的乘法法则与积的乘方法则，逆用同底数幂的乘法法则、积的乘方进行计算是解题的关键.逆用同底数幂的乘法法则将指数相加转化为同底数幂乘法，然后逆用积的乘方法则得到3×6x−2×6x=36，进而得到6x=36，根据乘方的意义求出x的值，即可作答．13.阅读：为了求1+2+22+23+⋯+21000的值，令S=1+2+22+23+⋯+21000，则2S=2+22+23+24+⋯+21001，因此2S−S=________，所以1+2+22+23+⋯+21000=________．应用：仿照以上推理计算出1+6+62+63+⋯+62019的值．【答案】解：21001−1；21001−1；应用：令S=1+6+62+63+⋯+62019，则6S=6+62+63+64+⋯+62020，因此6S−S=62020−1，，所以S=62020−15∴1+6+62+63+⋯+62019=62020−1．5【解析】【分析】此题考查了同底数幂的乘法，弄清题中的推理，利用错位相减法，消掉相关值，是解题的关键．学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．依照题目中类似推理，找出其中规律，利用错位相减法求解本题．6S与S之间的差就是s 的值，即可得到结果．【解答】解：阅读：2S−S=21001−1，所以1+2+22+23+⋯+21000=21001−1，故答案为21001−1；21001−1；应用：见答案．14.阅读下列材料，并解决后面的问题．材料：我们知道，n个相同的因数a相乘记为a n，如23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28(即log28=3)．一般地，若a n=b(a>0且a≠1，b>0)，则n叫做以a为底b的对数，记为log a b(即log a b=n)，如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381(即log381=4)．(1)计算以下各对数的值：log24=______；log216=______；log264=______．(2)通过观察(2)中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式？(3)由(2)题猜想，你能归纳出一个一般性的结论吗？log a M+log a N=______(a>0且a≠1，M>0，N>0)，(4)根据幂的运算法则：a m⋅a n=a m+n以及对数的定义证明(3)中的结论．【答案】(1)2；4；6；(2)由题意可得，4×16=64，log24、log216、log264之间满足的关系式是log24+log216=log264；(3)log a MN；(4)证明：设log a M=m，log a N=n，则M=a m，N=a n，∴MN=a m+n，∴log a MN=m+n，∴log a M+log a N=log a MN．【解析】【分析】本题考查同底数幂的乘法、新定义，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．(1)根据题意可以得到题目中所求式子的值；(2)根据题目中的式子可以求得它们之间的关系；(3)根据题意可以猜想出相应的结论；(4)根据同底数幂的乘法和对数的性质可以解答本题．【解答】解：(1)log24=log222=2，log216=log224=4，log264=log226=6，故答案为：2；4；6；(2)见答案；(3)猜想的结论是：log a M+log a N=log a MN，故答案为：log a MN；(4)见答案．。