七年级数学上册第五章一元一次方程知识归纳新版北师大版

第五章 一元一次方程
思维导图
程
方次一元
一⎪
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⎪
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⎪
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⎨⎧写出答案检验解一元一次方程列一元一次方程设出适当的未知数找出等量审清题意题的一般步骤列一元一次方程解应用未知数的系数化为
合并同类项移项去括号去分母
解一元一次方程的步骤
结果仍是等式，所得的数或除以同一个不为个数：等式两边同时乘同一
性质结果仍是等式同一个代数式，所得的或减：等式两边同时加性质等式的基本性质数的值右两边的值相等的未知方程的解：使方程左、
数的等式方程的概念：含有未知未知数的指数都是式方程中的代数式都是整只含有一个未知数一元一次方程的概念
1)0(2)(11
考点精讲。

一元一次方程概念和解法【知识要点】1、一元一次方程的定义：在一个等式中，只含有一个未知数，并且未知数的次数（指数）是1，形如+=0(0)kx b k ≠这样的方程叫做一元一次方程。

注意三点：①方程是等式，要有“=”连接 ②只含有一个未知数 ③未知数的指数是12、一元一次方程的解法：去分母：等号两边同时乘以分母的最小公倍数，将未知数的系数变为整数。

去括号：①扩号前面有数字的先将数字按乘法分配律逐一与括号内数字相乘，符号不变。

②去括号时遵循减变加不变的原则。

（括号前是减号，括号内所有符号全部改变） 移项：把含有未知数的项移到一边，不含未知数的项移到另外一边。

合并同类项：同字母，同次数，字母次数不变，系数相加。

系数化为1：等号两边同时除以未知数的系数。

检验：将解得的根代入原式，看等号两边是否成立，若等式不成立说明你一定计算错了。

【知识应用】1、下列哪些是方程： ①523-x =1 ②316131-+=y y ③1+x ④22=+x x ⑤21+2=+22y y2、若方程|21|50m mx--=是一元一次方程，则=m3、若方程x y n xm 是关于5)2(22=++-的一元一次方程，求n m +的值。

4、接下列方程：（1）224)2(4+=+-x x （2）316131-+=y y（3）1%20)215()21(3%354-⨯-=-+⨯x x（4）1}8]6)4233(43[32{21=--+-x5、当=x _____时，代数式523-x 的值为 -1.6、x 取什么值时，式子93)25()1(3倍少的比式子x x +-？7、 已知x y y x 的代数式表示用含01232=+-_________________。

8、解关于)3(153≠+=+-b bx a x x 的方程9、若方程412-=-=+x x m x 的解是，那么m 的值为_____。

10、已知2是关于x 的方程0223=-a x 的一个根，求12-a 的值。

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一元一次方程及相关历史一元一次方程﹝Linear Equation of One Variable ﹞是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是一的整式方程,它的标准形式为0=+b ax ．一元一次方程最早出现在莱因特草纸书中,现收藏在伦敦博物馆里，是由古埃及僧人阿默士所著的，全书共有85个题目．有些题目是属于一元一次方程的，如第11题是:“一个数的32，加上这个数的21，再加上它的71，再加上这个数本身等于37,求这个数．"相当于解37712132=+++x x x x ． 《方程》是我国《九章算术》中的第八章，它除了给出一次联立方程组的解法外，还使用了负数,这在数学史上具有重要的意义．被誉为希腊代数学鼻祖的丢番图﹝公元246─330年﹞，在代数方程理论方面远远超出了他同时代的人．他曾在一本大约于4世纪时写的希腊文诗集上作了一首关于他生平的短诗﹝有的说是墓志铭﹞:“丢番图的一生，幼年占61,青少年占121,又过了71才结婚，婚后5年之后生子，子先父4年而卒，寿为其父之半"．求丢番图究竟活了多少年岁,列出方程后得:x x x x x =+++++42157112161， 可知x = 84．一元一次方程首先是由阿默士用一大串符号表示的，经过三千多年的变化，到笛卡儿才形成现在的写法．至于解法也如此，阿默士是用算术的方法来解，古代数学家也曾用“试位法”来解，即先设21x x 、是0=+b ax 的两个猜测值，而21∆∆、是误差,则)1(11•••b ax ∆=+)2(22•••b ax ∆=+若猜测值正确，误差等于零，否则由(1）、（2)之差可得)3()(2121••••x x a ∆-∆=-又（1)乘2x 减去(2）乘1x ，得)4()(122121••••x x x x b ∆-∆=-由（3）除(4)，得)5(211221••••x x a b ∆-∆∆-∆=-． 由原方程知x ab =-，可得原方程的解为 •x x x 211221∆-∆∆-∆=．阿尔‧花拉子米及后来的阿拉伯数学家都曾用过此法，并将他们传入欧洲．17世纪以前，欧洲人认为此法是解决算术难题的万能方法，但实际上它早已包含在我国《九章算术》的《盈不足》一章中．。

知识点总结第五章一元一次方程1、方程含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

3、等式的性质（1）等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。

（2）等式的两边同时乘以同一个数（（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。

4、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。

5、移项：把方程中的某一项,改变符号后,从方程的一边移到另一边,这种变形叫做移项.6、解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项。

）（4）合并同类项（5）将未知数的系数化为11、什么是一元一次方程？相信同学们都能踊跃的说出，“满足两个1即可，1个未知数且未知数指数是1的等式”，其实，在这里还要有一个前提条件：未知数的系数要不为0。

如果是0x，那就没有未知数了，就不是方程的。

2、求解一元一次的方法步骤是什么？方法：利用两条等式的性质把方程同等变形求解。

等式性质1：等式两边可以同加或同减一个代数式。

等式性质2：等式两边可以同乘或同除（除0）一个数。

步骤：（1）去分母：两边同乘分母的最小公倍数。

不能忘记还要给么有分母的项也要乘以最小公倍数。

（2）去括号：利用乘法分配率。

（3）移项：注意从等号一边跑到另一边要变号，当然，没有动的项就不要变号了。

（4）合并同类项：把同类型的系数进行相加计算。

（5）系数化为1:两边同除以系数或同乘以系数的倒数。

3、应用一元一次方程，你都记得都学习了哪些类型？（1）水箱变高了——有些题是体积，周长没变。

（2）打折销售——这些题，先要熟记公式，来，复习下售价=_________________________, 利润=____________ ,利润率=_______________然后，要根据题意看看都能表示出哪些量，最后，观察你表示出的这些量，往往等量关系就出来，方程也就出来了。

第03讲_含参数的一次方程知识图谱含参数的一次方程知识精讲一．参数有的方程中除了未知数外，还会含有一些其他的字母，它们代表已经确定的数字，只是我们不知道它们具体是多少，这种字母称为“参数”，即“参与运算的数”．虽然都是字母，但未知数与参数各自的地位和含义是不相同的．比如方程ax b =，理论上来讲，如果题目没有说明，里面的每一个字母都可以当做未知数．但是一般情况下，当a b c 、、与x y z 、、同时出现在一个方程时，我们会约定俗成地认为，x y z 、、是未知数，a b c 、、是（已知数）参数．因此，我们通常会说关于x 的方程ax b =，这样比较严谨，就不会出现纠结谁是未知数的问题．对未知数系数不含参数，常数项含参数的方程，在运算中就把参数当成普通的数字来对待，带着参数完成解方程的过程．如解关于x 的一元一次方程()12x a b c -+=，则()2x c b a =-+． 小明在家做作业时,不小心吧墨水滴到了练习册一道解方程题上,题目上一个数字被墨水污染了.这个方程是： 2(115 23)x x +--⎝=⎛⎫⎪⎭- ▇ ,“▇”是被污染的数字,“▇”是哪个数呢?他很着急,想了一想,便翻看了书后答案,得知此方程的解是x=2.你能帮他补上被污染处“▇”的内容吗? 把解代回方程：11252 232()⎛⎫ ⎪+-⨯-=⎝-⎭▇，此时被污染的数字就是这个新的方程的未知数，解方程即可解系数含参问题对于未知数系数含参数的方程，其方程的解与参数的取值有很大关系，需要对参数进行分类讨论．讨论．①当0x ≥时，x x =，原方程化为25x x =+，解得5x =-．但是由于5x =-不满足0x ≥的前提要求，所以舍去；②当0x <时，x x =-，原方程化为25x x -=+，解得53x =-．检验53x =-满足0x <的前提要求，所以53x =-是原方程的解．三点剖析一．考点：解含参数的一元一次方程及绝对值方程．二．重难点：解含参数的一元一次方程及绝对值方程．三．易错点：1．在解系数含参数的一次方程的过程中，忘记对参数进行讨论； 2．解ax b cx d +=+这类绝对值方程时，直接去绝对值．参数的概念例题1、 已知关于x 的方程45365ax b x c ++-=，其中参数是__________，未知量是__________，常数项是__________．【答案】 a 、b 、c ；x ；5b 、5c 、6-． 【解析】 根据参数的概念即可判断常数项含参的一次方程例题1、 小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染得看不清楚，被污染的方程是：2y+12=12y ﹣．小明翻看了书后的答案，此方程的解是y=﹣53，则这个常数是（ ）A.1B.2C.3D.4 【答案】 B【解析】 设常数为a ，则2y+12=12y ﹣a ，把y=﹣53代入得：2y+12=﹣176，12×（﹣53）﹣a=﹣176，解得：a=2，例题2、 已知a 为正整数，关于x 的方程5814225x a x -=+的解为整数，求a 的最小值．【答案】 2a =【解析】 原方程的解为()101429a x +=，由题意知，()101429a +为整数，因此142a +为9的倍数，即a 的最小值为2例题3、 解下列关于x 的方程：（1）12x a -=（2）()362x x a +=- （3）()()12112x x a -=--+ 【答案】 （1）2x a =-；（2）26x a =--；（3）1655x a =+【解析】 直接把a 当成已知数计算即可．系数含参的一次方程例题1、 解关于x 的方程：（1）2421m x mx -=+ （2）x a x b bb a a---=，其中0a b -≠ （3）()()1234m x n x m -=+． 【答案】 （1）当12m ≠-时，方程的解为21x m =-；当12m =-时，方程的解为任意数．（2）2a x a b =-；（3）①当34m ≠时，方程的解为()22343m n x m +=-；②当34m =，32n =-时，方程的解为任意实数；③当34m =，32n ≠-时，方程无解；【解析】 （1）原方程整理为()22141m x m +=-；当12m ≠-时，方程的解为21x m =-；当12m =-时，方程的解为任意数．（2）去分母，得()()2a x a b x b b ---=，去括号，得222ax a bx b b --+=，移项，得222ax bx b a b -=+-，合并同类项，得()2a b x b -=，∵0a b -≠，系数化为1，得2b x a b=-．（3）原方程可整理为()()43223m x m n -=+，①当34m ≠时，方程的解为()22343m n x m +=-；②当34m =，32n =-时，方程的解为任意实数；③当34m =，32n ≠-时，方程无解．例题2、 已知方程2ax x b -=+，问a 、b 分别满足什么条件时： （1）方程有唯一解？ （2）方程无解？（3）方程有无穷多个解？ 【答案】 （1）1a ≠；（2）1a =且2b ≠-；（3）1a =，2b =-． 【解析】 方程整理为()12a x b -=+．当10a -≠时，方程有唯一解；当10a -=，20b +≠时，方程无解；当10a -=，20b +=时，方程有无穷多个解．例题3、 若k 为自然数，关于x 的方程kx －4＝x ＋3的解是整数，则k ＝________． 【答案】 0；2；8 【解析】 暂无解析随练1、 若关于x 的一元一次方程x ﹣m+2=0的解是负数，则m 的取值范围是（ ）A.m≥2B.m ＞2C.m ＜2D.m≤2【答案】 C【解析】 ∵程x ﹣m+2=0的解是负数， ∴x=m ﹣2＜0， 解得：m ＜2．随练2、 关于x 的方程3x －2＝kx ＋5的解是正整数，则整数k 的值为________． 【答案】 2或－4 【解析】 暂无解析随练3、 已知关于x 的方程()210a b x +-=无解，则ab 的值是（ ）A.负数B.正数C.非负数D.非正数【答案】 D【解析】 因为()210a b x +-=无解，所以20a b +=，于是0a b ==或2a b =-，即0ab ≤，故答案为D ． 随练4、 若关于x 的方程917x kx -=的解为正整数，则整数k 的值为__________ 【答案】 8k =±【解析】 方程整理为()917k x -=，因为方程的解为正整数，所以90k -≠，所以179x k =-．要使得179k-为正整数，由于k 为整数，因此9k -只能取1或17．随练5、 解下列关于x 的方程：()112323x x a x b -+=+⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】 123x a b =--【解析】 去小括号，得11232312x x x b a --=+⎡⎤⎢⎥⎣⎦，去中括号，得23111366x b x x a =+--，移项，得23111366x b x x a =+--，合并同类项，得1126x a b -=+，系数化为1，得123x a b =--随练6、 解关于x 的方程：()2a x b a x ab +-=+．【答案】 当2b ≠时，2ax b =-；当2b =，0a ≠时，方程无解；当2b =，0a =时，x 为任意数． 【解析】 原方程可整理为()2b x a -=，当2b ≠时，2ax b =-；当2b =，0a ≠时，方程无解；当2b =，0a =时，x 为任意数．随练7、 解关于x 的方程1mx nx -=． 【答案】 移项、整理，得()1m n x -=．①当0m n -≠，即m n ≠时，方程有唯一解1x m n=-； ②当0m n -=，即m n =时，由于10≠，因此方程无解 【解析】 移项、整理，得()1m n x -=．①当0m n -≠，即m n ≠时，方程有唯一解1x m n=-； ②当0m n -=，即m n =时，由于10≠，因此方程无解随练8、 已知关于x 的方程()16326a x a x x +=--，问当a 取何值时：（1）方程无解？（2）方程有无穷多解？ 【答案】 （1）1a =-；（2）1a =【解析】 原方程可整理为()()121a x a -=-．当10a -=，()210a -≠时，方程无解；当10a -=，()210a -=时，方程有无穷多解．一元一次方程的同解问题例题1、 若方程2x+1=﹣1的解也是关于x 的方程1﹣2（x ﹣a ）=2的解，则a 的值为__．【答案】 ﹣12【解析】 方程2x+1=﹣1， 解得：x=﹣1，代入方程得：1+2+2a=2，解得：a=﹣12，例题2、 已知关于x 的方程3242a x x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦和方程3151128x a x +--=有相同的解，求a 的值．【答案】 2711a =【解析】 关于x 的方程3242a x x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的解为37x a =，3151128x a x +--=的解为27221a x -=．由题意得，3272721a a -=，解得2711a =． 例题3、 如果方程42832x x -+-=-的解与关于x 的方程()431621x a x a -+=+-的解相同，求1a a-的值． 【答案】 1154a a -=-【解析】 方程42832x x -+-=-的解为10x =，关于x 的方程()431621x a x a -+=+-的解为52x a =-，因此5102a -=，所以4a =-，1154a a -=-． 随练1、 若关于x 的()40k m x ++=和()210k m x --=是关于x 的同解方程，则2km-的值是________【答案】 53-【解析】 由题意知，0k m +≠，20k m -≠．关于x 的()40k m x ++=的解为4x k m=-+，()210k m x --=的解为12x k m =-．由题意得，412k m k m -=+-，解得13k m =．含绝对值的一次方程例题1、 已知关于x 的方程()22mx m x +=-的解满足1102x --=，则m 的值是（ ） A.10或25B.10或25-C.10-或25D.10-或25-【答案】 A【解析】 本题考查的是含绝对值的方程．先由1102x --=， 得32x =或12x =-；再将32x =和12x =-分别代入()22mx m x +=-，求出10m =或25故选A ．例题2、 方程|2x+3|=1的解是_____． 【答案】 x=﹣1或x=﹣2【解析】 根据绝对值的性质，可化简方程，根据解方程，可得答案．解：当x ＜﹣32时，原方程化简为﹣2x ﹣3=1，解得x=﹣2，当x ≥﹣32时，原方程化简为2x+3=1，解得x=﹣1，综上所述：方程|2x+3|=1的解是x=﹣1或x=﹣2， 故答案为：x=﹣1或x=﹣2． 例题3、 解下列方程： （1）331x -= （2）120x +-= （3）6232x -+= （4）()311x x -=+（5）132132x --= （6）()121133x -+=【答案】 （1）43x =或23x =；（2）1x =或3x =-；（3）1x =-或5x =-；（4）2x =±；（5）2x =；（6）0x =或2x =．【解析】 （1）331x -=±，解得43x =或23x =；（2）12x +=±，解得1x =或3x =-； （3）32x +=±，解得1x =-或5x =-； （4）2x =，解得2x =±；（5）1102x -=，解得2x =；（6）11x -=±，解得0x =或2x =．随练1、 若关于x 的方程230x m -+=无解，340x n -+=只有一个解，450x k -+=有两个解，则m 、n 、k的大小关系是（ ） A.m k n >> B.n k m >> C.k m n >> D.m n k >>【答案】 D【解析】 由题意知，0m >、0n =、0k < 随练2、 解下列方程：（1）214x x -+= （2）()1311232x x x ---=+ （3）421x x +--=【答案】 （1）53x =或3x =-；（2）1613x =或423x =-；（3）12x =- 【解析】 （1）当210x -≥，即12x ≥时，原方程等价于214x x -+=，解得53x =；当210x -<，即12x <时，原方程等价于()214x x --+=，解得3x =-．（2）553163x x -=+，当13x ≥时，553163x x -=+，解得1613x =；当13x <时，551363x x -=+，解得423x =-．（3）利用零点分段法．当4x <-时，方程等价于()()421x x -++-=，无解；当42x -≤≤时，方程等价于()421x x ++-=，解得12x =-；当2x >时，方程等价于()421x x +--=，无解．拓展1、 已知a 是有理数，在下面4个命题： （1）方程0ax =的解是0x =．（2）方程ax a =的解是1x =．（3）方程1ax =的解是1x a=．（4）方程a x a =的解是1x =±． 其中，结论正确的个数是（ ） A.0 B.1 C.2D.3【答案】 A【解析】 系数含有参数时，一定要考虑参数是否为0，分类讨论．当0a =时，均不成立，故答案为A ．2、 某同学在解关于x 的方程21133x x a-+=-去分母时，方程右边的1-没有乘以3，因而求得方程的解为2x =，试求a 的值，并求出方程的正确解． 【答案】 2a =，方程的正确解为0x =【解析】 先按照错误的方法（方程右边的1-没有乘以3）求出a 的值（2a =），然后再将2a =代入原方程求出方程的解．3、 我们规定：若x 的一元一次方程ax b =的解为b a -，则称该方程为定解方程，例如：932x =的解为93322-=，则该方程932x =就是定解方程．请根据上边规定解答下列问题：（1）若x 的一元一次方程2x m =是定解方程，则m = ；（2）若x 的一元一次方程2x ab a =+是定解方程，它的解为a ，求a ，b 的值； （3）若x 的一元一次方程2x mn m =+和2x mn n -=+都是定解方程，求代数式()(){}()2212114322m n mn m m mn n n ⎡⎤⎡⎤-+---+--+-⎣⎦⎣⎦的值．【答案】 （1）4m =（2）2a =，1b =（3）149-【解析】 （1）由题意可知2x m =-，由一元一次方程可知2mx =，因此22mm -=，解得4m =．（2）由题意可知2x ab a =+-，由一元一次方程可知2ab ax +=，又因为方程的解为a ，因此2ab aa +=，2ab a a +-=解得2a =，1b =．（3）由题意可知4mn m +=，43mn n +=-，两式相减，得163m n -=．代入，求得原式149=-．4、 若方程3x －5＝1与方程2102a x--=有相同的解，则a 的值等于________．【答案】 2【解析】 暂无解析5、 已知关于x 的方程()()235231326kx x +++=有无数个解，求k 的值． 【答案】 52k =【解析】 原方程可整理为()4100k x -=，要使原方程有无数个解，则4100k -=，解得52k =．6、 若a 、b 为定值，关于x 的一元一次方程2136kx a x bk+--=，无论k 为何值时，它的解总是1x =，求23a b +的值．【答案】 5-【解析】 将1x =代入原方程，整理可得()472b k a +=-．由题意知，无论k 为何值，上式恒成立，即上述方程的解为任意数．因此40b +=，720a -=，所以72a =，4b =- 7、 当k 取何值时，关于x 的方程()315x kx +=-有不大于1的解．【答案】 1k ≥-或3k <-【解析】 解方程()315x kx +=-得23x k =+，根据题意得213k≤+，当30k +>时，23k ≤+，得1k ≥-；当30k +<时，23k ≥+，解得1k ≤-，所以3k <-．综上可得1k ≥-或3k <-8、 当整数m 取何值时，关于x 的方程15142323mx x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭的解是正整数？【答案】 2,3m =【解析】 原方程可化简为()12m x -=，由于原方程有解，因此解为21x m =-．由题意知，21m -为正整数，且m为整数．因此11,2m -=，所以2,3m =9、 已知关于x 的方程5241x m x +=+和方程5281x m x +=+的解相同， （1）求m 的值； （2）求代数式()201320127225m m ⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭的值．【答案】 （1）12m =；（2）()20132012722255m m ⎛⎫+⋅-=- ⎪⎝⎭【解析】 关于x 的方程5241x m x +=+的解为12x m =-，5281x m x +=+的解为213m x -=．由题意得，21123m m --=，解得12m =． 10、 解下列关于x 的方程：（1）6232x -+= （2）225x x ++= （3）1132x x -=- （4）237x x ++-= 【答案】 （1）1x =-或5x =-；（2）1x =；（3）4x =；（4）4x = 【解析】 （1）32x +=±，解得1x =-或5x =-；（2）当20x +≥，即2x ≥-时，方程等价于225x x ++=，解得1x =．当20x +<，即2x <-时，方程等价于()225x x -++=，解得7x =．因为72>-，舍去． （3）当1102x -≥，即2x ≥时，方程等价于1132x x -=-，解得4x =；当1102x -<，即2x <时，方程等价于1132x x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得83x =，舍去． （4）利用零点分段法．当2x <-时，方程等价于()()237x x -+--=，解得3x =-； 当23x -≤≤时，方程等价于()237x x +--=，无解； 当3x >时，方程等价于237x x ++-=，解得4x =． 11、 解绝对值方程：1238412x x x ++=+- 【答案】 14x ≤-【解析】 原方程整理为4114x x +=--．即41x +的绝度值等于它的相反数，因此410x +≤，因此方程的解为14x ≤-．12、 若关于x 的方程1202x x b --+=有2个不同的解，则b 的取值范围为_____________．【答案】 1b <【解析】 该题考查的是含参绝对值方程． 当2x ≥时，原方程化简为22xb =-，即42x b =-，方程要有解，则必有422b -≥，所以，1b ≤； 当2x <时，原方程化简为322x b =+，即2433x b =+，方程要有解，则必有24233b +<，所以，1b <， 从而b 的取值范围是1b <．。