第8讲 变形不均匀概念

第08讲一元一次方程的概念与解法（8大考点）一、方程和一元一次方程的概念 1）方程：含有未知数的等式。

如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．例：3x=5y+2；100x=200；3x 2+2y=3等2）一元一次方程：只含有一个未知数（元，隐含未知数系数不为0），未知数的次数是1（次），等号两边都是整式（整式：未知数的积，而非商）的方程。

如何判断一元一次方程：①整式方程；②只含一个未知数，且未知数的系数不为0；③未知数的次数为1. 例：3112=+x ；3112=+x ；3m-2n=5；3m=5；6x 2-12=0 二、方程的解与解方程1)方程的解：使方程两边相等的未知数的值 解方程：求方程的解的过程 三、等式的性质1）等式两边同加或同减一个数（或式子），等式仍然成立。

即：c b c a ±=±=，则若b a （注：此处字母可表示一个数字，也可表示一个式子）2）等式两边同乘一个数（或式子），或同除一个不为零的数（式子），等式仍然成立。

即：⎩⎨⎧≠÷=÷⨯=⨯=0c c b c a cb c a b a ，，则若（此处字母可表示数字，也可表示式子）例：3x+7=2-2x 3x+7+2x=2-2x+2x 3x+7+2x-7=2-2x+2x-7 5x=-5 5x ÷5=-5÷5 x=-13）其他性质：①对称性：若a=b ，则b=a ；②传递性：若a=b ，b=c ，则a=c 。

四、合并同类项解一元一次方程（1）合并同类项：将同类项合并在一起的过程 方法：1）合并同类项；2）系数化为1 五、移项解一元一次方程 （1）移项 例：2x-3=4x-72x-3+3=4x-7+3（利用等式的性质） （左边的﹣3变到右边变成了+3） 2x=4x-4考点考向2x-4x=4x-4-4x （利用等式的性质） （右边的4x 变到左边变成了－4x ） -2x=-4 x=24−− x=2①我们发现，利用等式两边同加或同减一个数（式子），等式不变的性质，可以将方程化为同类项在同一边的情形（即未知数在一边，数值在另一边）。

第8讲 选修2-2复习小结一．基础知识回顾(一)推理与证明1.归纳与内比：(1)归纳推理：从个别事实中推演出一般性的结论的推理．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．由归纳推理得到的结论不一定成立。

(2)类比推理：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同的推理．类比推理是由特殊到特殊的推理．由类比推理得到的结论不一定成立。

我们把归纳推理和类比推理统称为合情推理（3）演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．（4）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提：已知的一般原理；②小前提：所研究的特殊情况；③结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断．2.数学证明方法：(1)综合法：①定义：由因导果法②框图表示：P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q (其中P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示要证明的结论)．(2)分析法①定义：执果索因法②框图表示：Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件.（3）反证法：①定义：在证明数学命题时，先假定 成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明原命题成立，由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法．② 反证法的证题步骤：(1)假设:命题结论不成立（命题结论反面成立）；(2)正确推理，推出矛盾；(3)否定假设，肯定原命题．（4）数学归纳法：证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n 取初始值时命题成立；②(归纳递推)假设当n ＝k (k∈N *，且n≥n 0)时结论正确，证明当n ＝k ＋1时结论也正确．那么，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都成立．（二）导数及其应用1．函数的平均变化率：一般地，已知函数y ＝f(x)，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)，则当Δx≠0时，商00()()f x x f x x +-△△＝Δy Δx 称作函数y ＝f(x)在区间[x 0，x 0＋Δx](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率．2．函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数：(1)定义：函数y ＝f(x)在点x 0处的瞬时变化率0limx y x →△△△通常称为f(x)在x ＝x 0处的导数，并记作f′(x 0)，即00'()l i m x y f x x →=△△△． (2)几何意义：函数f(x)在点x 0处的导数f′(x 0)的几何意义是过曲线y ＝f(x)上点(x 0，f(x 0))的切线的斜率．导函数y ＝f′(x)的值域即为切线斜率的取值范围． 3．函数f(x)的导函数：如果函数y ＝f(x)在开区间(a ，b)内每一点都是可导的，就说f(x)在开区间(a ，b)内可导，其导数也是开区间(a ，b)内的函数，又称作f(x)的导函数，记作y′或f′(x)．4．基本初等函数的导数公式表（右上表）5．导数运算法则：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x) ；(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f′x g x －f x g′x [g x ]2 [g(x)≠0]．（4）复合函数的求导法则：设函数u ＝φ(x)在点x 处有导数u x ′＝φ′(x)，函数y ＝f(u)在点x 处的对应点u 处有导数y u ′＝f′(u)，则复合函数y ＝f(φ(x))在点x 处有导数，且y′x ＝y′u ·u′x ，或写作f′x (φ(x))＝f′(u)φ′(x)．5．导数和函数单调性的关系：(1)若f′(x)>0在(a ，b)上恒成立，则f(x)在(a ，b)上是增函数，f′(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；(2)若f′(x)<0在(a ，b)上恒成立，则f(x)在(a ，b)上是减函数，f′(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间(3)若在(a ，b)上，f′(x)≥0，且f′(x)在(a ，b)的任何子区间内都不恒等于零⇔f(x)在(a ，b)上为增函数，若在(a ，b)上，f′(x)≤0，且f′(x)在(a ，b)的任何子区间内都不恒等于零⇔f(x)在(a ，b)上为减函数．6．函数的极值：(1)判断f(x 0)是极值的方法：一般地，当函数f(x)在点x 0处连续时，①如果在x 0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x 0)是极大值；②如果在x 0附近的左侧f ′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x 0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．7．函数的最值：(1)函数f(x)在[a ，b]上必有最值的条件如果函数y ＝f(x)的图象在区间[a ，b]上连续，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y ＝f(x)在[a ，b]上的最大值与最小值的步骤：①求函数y ＝f(x)在(a ，b)内的极值；②将函数y ＝f(x)的各极值与端点值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（三）定积分1．定积分的几何意义：如果在区间[a ，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分的几何意义是直线x ＝a ，x ＝b (a≠b，y ＝0和曲线y ＝f(x))所围成的曲边梯形的面积．2．定积分的性质(1)ʃb a kf(x)dx ＝k ʃb a f(x)dx (k 为常数)；(2)ʃb a [f 1(x)±f 2(x)]dx ＝ʃb af 1(x)dx±ʃb a f 2(x)dx ；(3)ʃb a f(x)dx ＝ʃc a f(x)dx ＋ʃb c f(x)dx(其中a<c<b).3．微积分基本定理：一般地，如果f(x)是区间[a ，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)dx ＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，为了方便，我们常把F(b)－F(a)记成F(x)|b a ，即ʃb a f(x)dx ＝F(x)|b a ＝F(b)－F(a)．4．定积分在几何中的应用：(1)当x ∈[a ，b]且f(x)>0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a≠b)，y＝0和曲线y ＝f(x)围成的曲边梯形的面积S ＝ʃb a f(x)dx (2)当x ∈[a ，b]且f(x)<0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)围成的曲边梯形的面积S ＝－ʃb a f(x)dx .(3)当x ∈[a ，b]且f(x)>g(x)>0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a≠b)和曲线y ＝f(x)，y ＝g(x)围成的平面图形的面积S ＝ʃb a [f(x)－g(x)]dx .(4)若f(x)是偶函数，则ʃa －a f(x)dx ＝2ʃa 0f(x)dx ；若f(x)是奇函数，则ʃa －a f(x)dx ＝0.5．定积分在物理中的应用：(1)匀变速运动的路程公式：做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v(t)[v(t)≥0]在时间区间[a ，b]上的定积分，即s ＝ʃb a v(t)dt ．(2)变力做功公式：一物体在变力F(x)(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b (a<b)(单位：m)，则力F 所做的功W ＝ʃb a F(x)dx .（四）复数的引入1．数系的扩充：数系扩充的脉络是：符号表示为N *⊆N ⊆Z ⊆Q ⊆R ⊆C ，2．复数的有关概念：(1)复数的概念：形如a ＋bi (a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．（2）复数的分类：若b ＝0，则a ＋bi 为实数，若b≠0，则a ＋bi 为虚数，若a ＝0且b≠0，则a ＋bi 为纯虚数．(3)复数相等：a ＋bi ＝c ＋di ⇔a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)共轭复数：a ＋bi 与c ＋di 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的．(6)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋bi的模，记作|z|或|a ＋bi|，即|z|＝|a ＋bi|＝a 2＋b 2.3．复数的运算：(1)复数的加、减、乘、除运算法则：设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋bi)＋(c ＋di)＝(a ＋c)＋(b ＋d)i ；②减法：z 1－z 2＝(a ＋bi)－(c ＋di)＝(a －c)＋(b －d)i ；③乘法：z 1·z 2＝(a ＋bi)·(c＋di)＝(ac －bd)＋(ad ＋bc)i ；④除法：z 1z 2＝a ＋bi c ＋di ＝a ＋bi c －di c ＋di c －di ＝ac ＋bd ＋bc －ad i c 2＋d 2 (c ＋di≠0)． 二．典例精析：探究点一：数学证明方法例4：（1）已知a ，b ，c 都是实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c)2≥ab＋bc ＋ca. （2）若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c. （3）若x ，y 都是正实数，且x ＋y>2，求证：1＋x y <2与1＋y x<2中至少有一个成立． （4）数列{a n }满足a n >0，S n ＝12(a n ＋1a n)，求S 1，S 2，猜想S n ，并用数学归纳法证明． 证明（1）∵a，b ，c>0，根据基本不等式，有a 2b ＋b≥2a，b 2c ＋c≥2b，c 2a＋a≥2c. 三式相加：a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋a ＋b ＋c≥2(a＋b ＋c)．当a ＝b ＝c 时取等号．即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a＋b ＋c.（2）证明：要证lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c ，只需证lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg(a·b·c)，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc.因为a ，b ，c 是不全相等的正数，则a ＋b 2≥ab>0，b ＋c 2≥bc>0，c ＋a 2≥ca>0.且上述三式中的等号不全成立，所以a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc.所以lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c.（3）证明：假设1＋x y <2和1＋y x <2都不成立，则有1＋x y ≥2和1＋y x≥2同时成立，因为x>0且y>0，所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x，两式相加，得2＋x ＋y≥2x＋2y ，所以x ＋y≤2，这与已知条件x＋y>2相矛盾，因此1＋x y <2与1＋y x<2中至少有一个成立．（4）解 ∵a n >0，∴S n >0，由S 1＝12(a 1＋1a 1)，变形整理得S 21＝1，取正根得S 1＝1.由S 2＝12(a 2＋1a 2)及a 2＝S 2－S 1＝S 2－1得S 2＝12(S 2－1＋1S 2－1)，变形整理得S 22＝2，取正根得S 2＝ 2.同理可求得S 3＝ 3.由此猜想S n ＝n.用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，上面已求出S 1＝1，结论成立．(2)假设当n＝k 时，结论成立，即S k ＝k.那么，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)＝12(S k ＋1－S k ＋1S k ＋1－S k)＝12(S k ＋1－k ＋1S k ＋1－k)．整理得S 2k ＋1＝k ＋1，取正根得S k ＋1＝k ＋1.故当n ＝k ＋1时，结论成立．变式迁移4：（1）设a ，b ，c>0，证明：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a＋b ＋c. （2）已知a>0，求证： a 2＋1a 2－2≥a＋1a－2. （3）若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6.求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.（4）用数学归纳法证明122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n(n≥2，n∈N *)． 证明：(1)a 2＋b 2＋c 2－13＝13(3a 2＋3b 2＋3c 2－1)＝13[3a 2＋3b 2＋3c 2－(a ＋b ＋c)2]＝13(3a 2＋3b 2＋3c 2－a 2－b 2－c 2－2ab －2ac －2bc)＝13[(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2]≥0，(2) 证明 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只要证 a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.∵a>0，故只要证 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22，即a 2＋1a 2＋4 a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2，从而只要证2a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只要证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a 2≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立．（3）证明：假设a ，b ，c 都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0.∵a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，∴x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋(π－3)≤0，①又∵(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0，π－3>0，∴(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋(π－3)>0.②①式与②式矛盾，∴假设不成立，即a ，b ，c 中至少有一个大于0.（4）证明 当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12，因为14<12，所以不等式成立．:假设n ＝k(k≥2，k∈N *)时，不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k，则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋ (1)2＋1k ＋12<1－1k ＋1k ＋12＝1－k ＋12－k k k ＋12＝1－k 2＋k ＋1k k ＋12<1－k k ＋1k k ＋12＝1－1k ＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．探究点二：导数及其应用例 2.已知函数kf x x x x k =+-+>2()l n (1)(0),2（1）当2k =时，求曲线()(1,(1y f x f =在点处的切线方程；（2）当1k ≠时，求函数()f x 的单调区间c解：（I ）当2k =时，2()ln(1)f x x x x =+-+，1'()121f x x x=-++由于(1)ln 2f =，3'(1)2f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 3ln 2(1)2y x -=-即 322ln 230x y -+-=（II ）(1)'()1x kx k f x x+-=+，(1,)x ∈-+∞当01k <<时，由(1)'()01x kx k f x x +-==+，得10x =，210k x k -=>所以在(1,0)-和1(,)k k-+∞上'()0f x >；在1(0,)k k -上'()0f x <故()f x 在(1,0)-和1(,)k k-+∞单调递增，在1(0,)k k -单调递减当1k >时，(1)'()01x kx k f x x +-==+，得11(1,0)k x k-=∈-，20x =.所以在1(1,)k k --和(0,)+∞上'()0f x >；在1(,0)k k-上'()0f x <故()f x 单调递增区间是1(1,)k k --和(0,)+∞，减区间是1(,0)k k- 变式训练2：已知函数3()f x ax bx c =++在点1x =处取得极值8c -.（1）求,a b 的值； （2）若()f x 有极大值18，求()f x 在[－3,3]上的最大值．解：（1）因3()f x ax bx c =++，故2()3f x a x b '=+由于()f x 在点1x =处取得极值8c -.故有(1)30(1)8f a b f a b c c '=+=⎧⎨=++=-⎩，412a b =⎧∴⎨=-⎩（2） 由（1）知3()412f x x x c =-+2()121212(1)(1)f x x x x '∴=-=-+可知[3,1],()x f x ∈--是增函数，[1,1],()x f x ∈-是减函数，[1,3],()x f x ∈是增函数；由此知()f x 在1x =-时取得极大值(1)818f c -=+=，即10c =此时(1)18,(3)82,f f -==因此函数()f x 的最大值是(3)82.f = 探究点三：导数的实际应用例3：已知某家企业的生产成本z （单位：万元）和生产收入ω（单位：万元）都是产量x （单位：t ）的函数，其解析式分别为：32187580z x x x =-+-， 15x ω=（1）试写出该企业获得的生产利润y （单位：万元）与产量x （单位：t ）之间的函数解析式； （2）当产量为多少时，该企业能获得最大的利润？最大利润是多少？解：（1）∵利润＝收入－成本，即y z ω=-∴3215(187580)y x x x x =--+- 32186080(0)x x x x =-+-+≥ （2）233660y x x '=-+-解方程0y '=，得12,10x x == 根据x ，x ，列出下表10x =是函数的极大值点，比较2x =和10x =的函数值，(2)24y =，(10)280y =∴产量为10t 时该企业能获得最大的利润，最大利润为280万元. 变式训练3：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （km/h ）的函数解析式可以表示为880312800013+-=x x y )1200(≤≤x ，已知甲、乙两地相距100km .（1）当汽车以40km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解: (1)当40=x km/h 时，汽车从甲地到乙地行驶了5.240100=h 要耗油5.175.2)840803401280001(3=⨯+⨯-⨯(升) (2)当速度为x km/h ，汽车从甲地到乙地行驶了x 100h ，耗油量为)(x f 升，依题意得313100()(8)12800080f x x x x =-+ 4158********-+=x x 233264080800640)('xx x x x f -=-=(0120)x <≤令0)('=x f ，得80=x 当)80,0(∈x 时，0)('<x f ，)(x f 是减函数 当)12080(，∈x 时，0)('>x f ，)(x f 是增函数 ∴当80=x 时，)(x f 取得极小值：45)880803801280001()80(3⨯+⨯-⨯=f 25.11445==(升)因此，当汽车以80 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量少，最少为11.25升。

第八讲金属塑性变形时应力和变形的不均匀性1、均匀变形和不均匀变形物体不仅在高度方向上变形均匀，并且在宽度方向上（从而也是在长度方向上）变形也均匀时，方能称为均匀变形。

要想充分实现均匀变形，严格说来是不可能的。

可见，在实际的金属压力加工时，变形不均匀分布是客观存在的。

2、基本应力、附加应力、工作应力、残余应力（1）基本应力由外力作用所引起的应力叫做基本应力。

（2）附加应力由于物体内各层的不均匀变形受到物体整体性的限制，而引起其间相互平衡的应力叫做附加应力。

（3）工作应力基本应力与附加应力的代数和即为工作应力。

（4）残余应力如果塑性变形结束后附加应力仍残留在变形物体中时，这种应力即称之为残余应力。

3、接触面上外摩擦对变形及应力不均匀分布的影响图6-2 镦粗时摩擦力对变形及应力分布的影响如图6-2所示，若接触面无摩擦力影响时（并认为材料性能均匀）则发生均匀变形。

由于接触面上有摩擦力存在，可将变形金属整个体积大致分为三个变形大小不等的区域，Ⅰ区称为难亦形区，Ⅱ区是大变形区，Ⅲ区是变形程度居中的自由变形区。

由于I区的变形小，Ⅱ区的变形大，由金属的整体性的影响可知在Ⅰ区金属产生的是附加拉应力，但由于接触摩擦的影响，I区径向所受压缩应力大于附加拉应力，所以I区仍保持较强的三向压应力状态，没有危险；Ⅲ区金属产生的也是附加拉应力，原因是当Ⅱ区金属变形时要产生向外扩张，而外层的Ⅲ区金属，则象一套筒把Ⅱ区金属套住而限制了Ⅱ区金属变形的向外扩张。

由于Ⅱ区与Ⅲ区相互作用，在Ⅲ区之外侧表面，便产生了较强的环向附加拉应力，当该拉应力大到一定程度后，将会导致金属在环向产生纵向裂纹，如图6-3所示。

图6-3 环向附加拉应力引起的纵裂纹4、变形区几何因素的影响（H/d）实验表明：镦粗圆柱体时；当试样原始高度与直径比H/d≤2.0时，发生单鼓形不均匀变形。

当坯料高度较大并且变形程度很小时（H/d＞2.0），则往往只产生表面变形（变形不深透），而中间层的金属不产生塑性变形或者塑性变形很小，结果形成双鼓形，如图6-4所示。

实验八 镦粗不均匀变形和变形力试验一、实验目的通过对圆柱形坯料进行平板间镦粗，了解摩擦对镦粗变形过程和成形试件形状的影响，了解镦粗变形时的3个变形区和不均匀变形。

二、设备与工具油压机，游标卡尺，直尺、圆规。

三、试样试样采用如图1所示的坯料，由外套、半圆坯料和低熔点合金组成，基本材料为纯铝。

具体制作过程为：选定或加工去直径为φ40、高度为40、壁后为2的外套；根据外套的内径，加工出圆柱形内坯料，并保证内坯料与外套过渡配合；将圆柱坯料用线切割或其它方法平分成2半；在半圆形坯料的平面上，刻画上如图1上所示的网格；将2半用低熔点合金焊合后，装配入外套，并最终制作成如图1所示的试件。

四、实验步骤1、试件在油压机上进行镦粗，试件最终高度控制在为25；2、改善端面的润滑条件后，将另1试件在油压机上进行镦粗，试件最终高度也控制在为25；3在成形时，记录成形的压力与位移的曲线；成形后测量试件的形状尺寸；1、 将两试件沿焊合面剖开，并将低熔点合金去除；2、 测量试样上网格的尺寸变化，并计算各位置真实应变的大小，具体过程为： 设变形前圆形网格的直径为d 0；变形后网格形状改变，一般变成椭圆形。

取椭圆长轴方向为1方向和短轴为2方向，量取相应的长度d 1和d 2；则011lnd d =ε 022ln d d=ε3、 根据椭圆的长轴与试件r 方向夹角θ的大小（有方向性）计算出r ε、z ε、rz γ和ε，具体过程为：θεεεεε2cos 222121-++=rθεεεεε2cos 222121--+=zθεεγ2sin 221-=rz()()()2212212212232εεεεεεε+++++=五、实验报告1、本实验的目的，实验用的设备及成形工艺，试样的材料、形状尺寸，变形后的试样形状和尺寸；2、计算试样变形后典型位置的应变，同时根据外形说明摩擦对变形的影响以及镦粗变形的特点；3、记录成形的压力与位移的曲线。

晶格畸变非均匀场晶格畸变是一种晶体结构中晶格常数发生变化的现象，可能是由于温度、压力等因素造成的。

而非均匀场是指空间中存在的任何形式的场，如电场、磁场等，其大小在不同的空间位置上可能不同。

本文将从以下几个方面详细介绍晶格畸变与非均匀场的基本概念、特点及相关应用。

一、晶格畸变的基本概念及特点晶格畸变是指晶格中的晶格常数随着一定条件的变化而发生变化的现象。

它是由于晶体结构中的原子发生移动而引起的，常见的是通过调节温度和压力来引起晶格常数的变化。

晶格畸变的体积效应和形变效应可能会引起电性、光性等的改变，因此在材料研究及应用领域具有重要的意义。

二、非均匀场的基本概念及特点非均匀场是指空间中存在的任何形式的场，如电场、磁场，其大小在不同的空间位置上可能不同。

非均匀场的分布可以是不规则的，也可以是规则的，例如在磁体中磁场的分布表现为空间中不同位置处的磁场强度不同。

对于物质的运动、形状、结构以及各种物理与化学现象，非均匀场起着重要作用。

三、晶格畸变与非均匀场的关系晶格畸变和非均匀场之间有密切的联系。

鉴于晶格畸变与电性、光性等性质紧密相关，非均匀场对晶格畸变的影响也很大。

在高压和强磁场等非均匀场作用下晶格分布会出现变化，导致晶格畸变的存在。

另外，非均匀场的作用与温度变化具有相似之处，因为温度的变化也可以引起晶格畸变的发生，这也进一步表明了两者之间紧密的联系。

四、晶格畸变与非均匀场的应用晶格畸变和非均匀场在材料研究及应用领域有广泛的应用。

例如，在半导体材料、光电器件、超导材料等领域，非均匀场的存在会导致晶格畸变，而这些材料的电、光、超导性能等均与晶格畸变相关。

另外，非均匀场和晶格畸变还可以应用于材料的巨磁电效应研究、放射性核素的测量等领域。

通过对非均匀场和晶格畸变的研究，我们可以深入了解材料的性质以及材料与现象之间的关系，从而改善材料的性能，提高应用效益。

总之，晶格畸变和非均匀场是相互紧密的。

两者之间的关系对于材料研究及应用领域具有重要意义。