5、韦达定理作方程及解特殊的二元二次方程组

二次韦达定理公式二次韦达定理公式是高中数学中的一个重要定理，它是求解二次方程的一个有效方法。

二次韦达定理公式的表达式为：对于二次方程ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数且a≠0，它的根可以通过以下公式计算：x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}这个公式是由法国数学家韦达（François Viète）在16世纪提出的，它是解一元二次方程的一种常用方法。

二次韦达定理公式的推导过程较为复杂，但我们可以通过它来求解各种形式的二次方程。

对于一个二次方程，我们首先要确定它的系数a、b、c。

然后，我们根据二次韦达定理公式，计算出两个根x1和x2。

其中，x1和x2是方程的两个解，它们可能是实数或者复数。

在应用二次韦达定理公式计算二次方程的根时，我们需要注意以下几点：1. 当b^2-4ac>0时，方程有两个不相等的实根；2. 当b^2-4ac=0时，方程有两个相等的实根；3. 当b^2-4ac<0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。

举个例子来说明如何使用二次韦达定理公式。

假设我们要求解方程x^2+3x-4=0。

根据二次韦达定理公式，我们可以得到：x=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\times1\times(-4)}}{2\times1}将计算得到的结果化简，可以得到两个根：x_1=\frac{-3+\sqrt{25}}{2}=\frac{-3+5}{2}=1x_2=\frac{-3-\sqrt{25}}{2}=\frac{-3-5}{2}=-4所以，方程x^2+3x-4=0的两个根分别为1和-4。

二次韦达定理公式在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在物理学中，我们经常需要求解抛物线的顶点坐标、焦点坐标等问题，这些问题都可以通过二次韦达定理公式来求解。

在工程学中，我们也常常需要求解二次方程来解决实际问题，例如计算电路中的电流、电压等。

总结一下，二次韦达定理公式是解一元二次方程的一种有效方法，它可以帮助我们求解各种形式的二次方程。

带你认识神一样的韦达定理韦达定理最大的应用无外乎可以快速求出两方程根的关系，所以韦达定理应用非常广泛，在初等数学、解析几何、平面几何、方程论中均有体现。

伟大的韦达定理https:///wiki/Vieta%27s_formulas在一元二次方程的所有解法中，只有公式法不是将方程来变形，而是通过带入一般形式中的二次项系数、一次项系数和常数项直接来求出方程的根。

实际上求根公式反映的就是一元二次方程根与系数的一种关系，只不过这种关系比较复杂。

也就衍生出了表示两根之和与两根之积的简单的关系式：韦达定理关于韦达定理，我们还可以解决很多的初中数学问题：1 已知一元二次方程的一个根，求另一个根：应用时应把方程化为一般形式ax² + bx + c = 0(a≠0)．根据选择使得到另一根易于计算的原则，酌情选择用两根之和或两根之积。

2一元二次方程根、两根关系及字母系数的互求。

3求两根和、积及其代数式的值：本题可先用求根公式求出方程的两根，再代入所求式子求出它的值，但计算量比较大。

可应用韦达定理，先把代数式适当变形，就可求出它的值。

4检验某两数是否为已知一元二次方程的两根。

5已知两数和与积，求此两数。

6求作方程使其根为已知数或满足某种条件：例题：求作一个一元二次方程，使其两根和为1，积为- 3.7在解方程(组) 中的应用。

本题直接解方程出现高次方程比较难，而利用韦达定理，会更容易。

8在证明等式或不等式中的应用。

若实数 a、 b、 c 满足 a + b + c = 0，abc = 1．求证:a、 b、 c 有一个大于3/2.9结合一元二次方程根的判别式判定一元二次方程实根的符号。

m 为何值时，关于 x 的一元二次方程(m + 3)x² － mx + 1 = 0 的两个根，(1) 均为正数；(2) 一正一负；(3) 均为负数。

分析：本题用常规方法有一定难度。

利用一元二次方程根的判别式与韦达定理相结合，比较容易确定两根的符号。

韦达定理、二次函数的图像与性质知识要点：1.韦达定理: 一元二次方程的根和系数的关系； 2.求二次函数的图象的顶点坐标、对称轴方程及最值的方法 知识点回顾：1. 如何求一元二次方程x 2 -2x-8=0的根？有几种方法?2.二次函数解析式的几种形式：①一般式： ②顶点式： ③交点式： 3.二次函数的图像及性质探索1：方程x 2 -2x-8=0的两根之和，两根之积。

观察方程两个根与方程的系数之间的关系，你有什么发现？对于一元二次方程2x 2-3x+1=0是否也具备这个特征？ x 1+x 2=_______，x 1·x 2=________，由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．—韦达定理结论: 如果ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2， 韦达（法国1540－1603） 那么x 1+x 2=_______，x 1·x 2=________。

对应练习 1.判断对错1）2x 2-11x+4=0两根之和为11，两根之积为4。

2）4x 2+3x=5两根之和为43-，两根之积为45。

3）x 2+x+1=0两根之和为-1，两根之积为1。

2. 1）关于x 的方程x 2-2x +m=0 的一根为2 ，求另一根和m 的值。

2）已知方程 3x 2+mx+n=0 的两根为1,2，求m,n 的值。

探究2. 二次函数求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法探究3.若方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根为x 1，x 2，则函数y ax bx c =++2（a ≠0）的图象与x 轴的两交点坐标为 ， ；此时二次函数y ax bx c =++2（a 、b 、c 为常数，a ≠0）的顶点和对称轴如何表示？典型例题例1. 二次函数y ax bx c =++2的图象如图所示，对称轴为x ＝1，则下列结论中正确的是（ ）A. ac >0B. b <0C. b ac 240-<D. 20a b +=例2. （1）二次函数y=-x 2+6x+3的图像顶点为_________对称轴为_________。

浅谈韦达定理的应用齐贤学校 匡双霞 【趣题引路】韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。

韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。

人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。

历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。

国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。

消息传开，数学界为之震惊。

同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。

韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。

你了解韦达定理吗?的应用：1. 已知一元二次方程的一根，求另一根。

2. 已知一元二次方程的两根，求作新的一元二次方程。

3. 不解方程，求关于两根的代数式的值。

4. 一元二次方程的验根。

5. 解一类特殊的二元二次方程组和通过换元等方法求解二次根式方程。

6. 与判别式的综合应用。

【中考真题欣赏】例1 (2001年河南省)已知关于x 的方程4x 2+4bx+7b=0有两个相等的实数根,•y 1,y 2是关于y 的方程y 2+(2-b)y+4=0的两个根,二次方程.解析 ∵关于x 的方程4x 2+4bx+7b=0有两个相等的实数根, ∴ △ = (4b)2 -4×4×7b=0, 即b 2-7b=0. ∴b 1=0, b 2=7.当b=0时,,关于y 的方程化为y 2+2y+4=0, 因△=4-16=-12<0,方程无解.当b=7时,关于y 的方程可化为y 2-5y+4=0,解得y 1=4,y 2=1.y 2-3y+2=0.点评本题既考查了判别式,韦达定理的逆定理,又考查了分类讨论的思想,b=0时得到的方程无解易忽视,应重视.例 2 (2001年四川省)已知x 1,x 2是关于x 的一元二次方程4x 2+4(m-1)x+m2=0•的两个非零实数根,问x 1与x 2能否同号?若能同号,求出相应的m 的取值范围;•若不能同号,请说明理由.解析 ∵关于x 的一元二次方程4x 2+4(m-1)x+m 2=0有两个非零实数根,∴△ = [4(m-1)]2 -4×4m 2=-32m+16≥0,∴m ≤ 12.又x 1,x 2是方程4x 2+4(m-1)x+m 2=0的两个实数根.∴x 1+x 2=-(m-1),x 1·x 2=14m 2假设x 1,x 2同号,则有两种可能: ①若x 1>0,x 2>0,则⎩⎨⎧+0x x 0x x 2121 即2(1)0,10.4m m -->⎧⎪⎨>⎪⎩∴m<1且m≠0,此时,m≤12且m≠0; ②若x 1<0,x 2<0则有⎩⎨⎧+0x x 0x x 2121 即2(1)0,10.4m m --<⎧⎪⎨>⎪⎩而m≤12时方程才有实数根, ∴ 此种情况不可能. 综上所述,当m 的取值范围为m≤12且m≠0时,方程的两实根同号. 点评：存在性问题的探索一般是先假设存在,然后据已知和相关知识进行推理,若推理的结论与题设或概念、定理、事实等相矛盾,则假设不成立,从而不存在,•反之则存在.【难题妙解】例1：已知：①a 2+2a-1=0,②b 4-2b 2-1=0且1-ab 2≠0,求(221ab b a++)2004的值。

韦达定理在解析几何中的应用【摘要】平面解析几何，是用代数方法研究平面图形的一个数学分科。

它所提出的问题以及问题的结论都是几何的，而中间的论证和推导基本上是代数方法。

因此，许多代数中的定理和运算法则在解析几何中是不可缺少的工具。

这里着重讨论韦达定理的应用。

【关键词】韦达定理；结合方法；应用平面解析几何，是用代数方法研究平面图形的一个数学分科。

它所提出的问题以及问题的结论都是几何的，而中间的论证和推导基本上是代数方法。

因此，许多代数中的定理和运算法则在解析几何中是不可缺少的工具。

这里着重讨论韦达定理的应用。

韦达定理的内容是：若一元二次方程的两根是，则。

它是关于一元二次方程的根与一元二次方程未知量系数关系的一个结论。

解析几何是用代数方法解决几何问题的一门学科，在中学数学教学中，解析几何知识的考查，往往综合性较强，是学生学习的难点。

二次曲线的方程与直线方程结合可化为一元二次方程，与韦达定理有相通之处，分析问题中的一些结论与韦达定理的关系，在解题时活用韦达定理，求出方程中的待定系数，可以巧妙的解决学生认为的所谓“难题”。

这样，不仅可以体会灵活应用知识的技巧，提高分析问题和灵活运用知识的能力，还可以培养学生学习数学的兴趣。

下面举例说明韦达定理结合解析几何中的有关结论的应用。

1．韦达定理与中点坐标公式的结合解析几何中中点坐标公式：若，则中点的坐标为。

其中含有“ ”，与韦达定理中的结论“ ”相联系。

例：已知椭圆的某一条弦被点平分，求所在直线的方程。

分析：要求直线方程，根据确定直线的条件，已经知道直线上一点，再找一个条件，如斜率。

作为直线方程未知量的系数，通过整理，可以和韦达定理联系，巧列方程求出。

解：设所在直线的方程为，再设由方程组消去得：由韦达定理得：即：解得：所在直线的方程为当然，若应用中点纵坐标求解，只须由表达，即。

然后由解出。

这种类型的题目在解析几何习题中有许多，有的还将条件进一步变通。

例：抛物线，和直线相交所得弦的中点在上，求抛物线方程。

初中韦达定理公式变形6个韦达定理，也被称为韦达方程或韦达公式，是代数学中一个重要的定理。

它用于求解二次方程的根，公式形式为：对于二次方程ax²+ bx + c = 0，它的两个根x1和x2满足以下关系：x1+x2=-b/ax1*x2=c/a然而，韦达定理还可以通过一些变形得到其他形式的公式。

下面将介绍六个韦达定理的公式变形。

1."韦达递推公式"变形：这个变形公式可以用于计算高次多项式的和积。

假设a_0,a_1,a_2,...,a_n是一个多项式的系数，则它的和为：S=a_0+a_1+a_2+...+a_n而它的积为：P=a_0*a_1*a_2*...*a_n那么，可以得到以下关系：S=a_1+a_2+a_3+...+a_nP=a_0*a_1*a_2*...*a_(n-1)也就是说，多项式的和等于系数去掉第一个之后的和，而多项式的积等于系数去掉最后一个之后的积。

2."韦达方程公式"变形：这个变形公式可以用于求解三次方程的根。

对于三次方程 ax^3 +bx^2 + cx + d = 0，它的三个根x1, x2和x3满足以下关系：x1+x2+x3=-b/ax1*x2+x1*x3+x2*x3=c/ax1*x2*x3=-d/a3."韦达积公式"变形：这个变形公式可以用于计算四次多项式的积。

假设a_0,a_1,a_2,a_3,a_4是一个四次多项式的系数，则它的积为：P=a_0*a_1*a_2*a_3*a_4那么，可以得到以下关系：P=(a_0*a_2*a_4)*(a_1*a_3)也就是说，四次多项式的积等于奇次幂系数的乘积乘以偶次幂系数的乘积。

4."韦达四式"变形：这个变形公式可以用于求解四次方程的根。

对于四次方程 ax^4 +bx^3 + cx^2 + dx + e = 0，它的四个根x1, x2, x3和x4满足以下关系：x1+x2+x3+x4=-b/ax1*x2+x1*x3+x1*x4+x2*x3+x2*x4+x3*x4=c/ax1*x2*x3+x1*x2*x4+x1*x3*x4+x2*x3*x4=-d/ax1*x2*x3*x4=e/a5."韦达和式"变形：这个变形公式可以用于计算五次多项式的和。

初中数学韦达定理韦达定理的介绍：中文名：韦达定理外文名：Vieta theorem提出者：弗朗索瓦·韦达提出时间：16世纪应用学科：数学代数适用范围：方程论初等数学解析几何三角韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。

法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。

由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。

韦达定理的公式：设一元二次方程中，两根x₁、x₂有如下关系：韦达定理的证明方法：由一元二次方程求根公式知：则有：韦达定理的应用方法：韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理，中考(竞赛)试题涉及此定理的题目屡见不鲜，且条件隐蔽，在证(解)题时，学生往往因未看出题目中所隐含的韦达定理的条件而导致思路闭塞，或解法呆板，过程繁琐冗长，下面举例谈谈韦达定理在解题中的应用。

一、直接应用韦达定理若已知条件或待证结论中含有a＋b和a·b形式的式子，可考虑直接应用韦达定理．例1在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，D是AB 边上一点，且BC＝DC，设AD＝d．求证：(1)c＋d＝2bcosA；(2)c·d＝b2－a2．分析：观察所要证明的结论，自然可联想到韦达定理，从而构造一元二次方程进行证明．证明：如图，在△ABC和△ADC中，由余弦定理，有a2＝b2＋c2－2bccosA；a2＝b2＋d2－2bdcosA(CD＝BC＝a)．∴c2－2bccosA＋b2－a2＝0，d2－2bdcosA＋b2－a2＝0．于是，c、d是方程x2－2bxcosA＋b2－a2＝0的两个根．由韦达定理，有c＋d＝2bcosA，c·d＝b2－a2．例2已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值．分析：显然已知二式具有共同的形式：x2＋x－1＝0．于是a和b 可视为该一元二次方程的两个根．再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解．解：由已知可构造一个一元二次方程x2＋x－1=0，其二根为a、b．由韦达定理，得a＋b＝－1，a·b＝－1．故ab＋a＋b＝－2．二、先恒等变形，再应用韦达定理若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a＋b、a·b形式的式子，则可考虑应用韦达定理．例3若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：x＝y．证明：将已知二式变形为x＋y＝6，xy＝z2＋9．由韦达定理知x、y是方程u2－6u＋(z2＋9)＝0的两个根．∵x、y是实数，∴△＝36－4z2－36≥0．则z2≤0，又∵z为实数，∴z2＝0，即△＝0．于是，方程u2－6u＋(z2＋9)＝0有等根，故x＝y．由已知二式，易知x、y是t2＋3t－8＝0的两个根，由韦达定理三、已知一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系)，可考虑用韦达定理例5已知方程x2＋px＋q＝0的二根之比为1∶2，方程的判别式的值为1．求p与q之值，解此方程．解：设x2＋px＋q＝0的两根为a、2a，则由韦达定理，有a＋2a＝－P，①a·2a＝q，②P2－4q＝1．③把①、②代入③，得(－3a)2－4×2a2＝1，即9a2－8a2＝1，于是a=±1．∴方程为x2－3x＋2＝0或x2＋3x＋2＝0．解得x1＝1，x2＝2，或x1＝－1，x2＝－2．例6设方程x2＋px＋q＝0的两根之差等于方程x2＋qx＋p＝0的两根之差，求证：p＝q或p＋q＝－4．证明：设方程x2＋px＋q＝0的两根为α、β，x2＋qx＋P＝0的两根为α＇、β＇．由题意知α－β＝α＇－β＇，故有α2－2αβ＋β2＝α＇2－2α＇β＇＋β＇2．从而有(α＋β)2－4αβ＝(α＇＋β＇)2－4α＇β＇．①把②代入①，有p2－4q＝q2－4p，即p2－q2＋4p－4q＝0，即(p＋q)(p－q)＋4(p－q)＝0，即(p－q)(p＋q＋4)＝0．故p－q＝0或p＋q＋4＝0，即p＝q或p＋q＝－4．四、关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理例7m为问值时，方程x2＋mx－3＝0与方程x2－4x－(m－1)＝0有一个公共根？并求出这个公共根．解：设公共根为α，易知，原方程x2 mx－3＝0的两根为α、－m－α；x2－4x－(m－1)＝0的两根为α、4－α．由韦达定理，得α(m＋α)＝3，①α(4－α)＝－(m－1)．②由②得m＝1－4α＋α2，③把③代入①得α3－3α2＋α－3＝0，即(α－3)(α2＋1)＝0．∵α2＋1＞0，∴α－3＝0即α＝3．把α＝3代入③，得m＝－2．故当m＝－2时，两个已知方程有一个公共根，这个公共根为3．韦达定理的补充资料：韦达定理的发展简史法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中改进了三、四次方程的解法，还对n=2、3的情形，建立了方程根与系数之间的关系，现代称之为韦达定理。

韦达定理试题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：解题方法及提分突破训练：韦达定理及应用专题韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。

韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。

人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。

一真题链接1.（2010•娄底）阅读材料：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：根据上述材料填空：已知x1，x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根，则___________2.已知关于x的方程x2+2（a-1）x+a2-7a-b+12=0有两个相等的实数根，且满足2a-b=0．利用根与系数的关系判断这两根的正负情况．3.设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：根据该材料填空：若关于x的一元二次方程x2+kx+4k2-3=0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1+x2=x1•x2．则k的值为二名词释义一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

求代数式的值求待定系数一元二次韦达定理应用构造方程方程的求解特殊的二元二次方程组根公式二次三项式的因式分解根系关系的三大用处（1）计算对称式的值例 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-， 2121212||()4x x x x x x -=+-，2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。

高中韦达定理8个变形公式高中数学中，韦达定理是一个非常重要的定理。

它可以帮助我们求解二次方程的根，也可以用于证明一些数学问题。

在这篇文章中，我将为大家介绍韦达定理的8个变形公式。

1. 两根之和与两根之积对于二次方程ax²+bx+c=0（其中a≠0），设其两个实根为x₁和x₂，则有：① x₁+x₂=-b/a② x₁x₂=c/a这里需要注意的是，在某些情况下，由于存在复数解或重根等特殊情况，上述公式可能不适用。

2. 三角形内心坐标公式对于任意三角形ABC，设其内心为I，则有：AI·BI·CI=s(p-a)(p-b)(p-c)其中s=(a+b+c)/2为半周长。

3. 四边形面积公式对于任意四边形ABCD，设其对角线AC和BD相交于点O，则有：S=1/2|AC||BD|sin∠AOC=1/2|AC||BD|sin∠BOD4. 等腰梯形面积公式对于等腰梯形ABCD（AD//BC），设上底、下底分别为a、b，高为h，则有：S=(a+b)h/2 5. 圆锥体积公式对于圆锥体（底面半径r、高h），则其体积V=1/3πr²h。

6. 椭球表面积公式对于椭球(x/a)²+(y/b)²+(z/c)²=1（其中a,b,c分别表示各轴长度），则其表面积S=4πab(1+(c^2-a^2-b^2)/(abc))^(1/2)。

7. 常见几何图形周长及面积计算方法总结如下：8.高斯-勒让德求和公式以上就是韦达定理的八个变型了。

虽然看起来比较杂乱无章，但只要掌握好每一个变型所涉及到的知识点，并且多加练习应用，在以后做题时就会事半功倍！。

韦达定理与二次函数的关系引言：韦达定理是数学中与二次函数密切相关的重要定理之一。

通过韦达定理，我们可以揭示二次函数的性质，求解二次方程的根，并探索二次函数与图像的关系。

本文将详细介绍韦达定理的概念、公式推导以及与二次函数的关系。

一、韦达定理的概念：韦达定理，也称为韦达公式，是关于二次方程根与系数之间的关系的定理。

它提供了一种快速计算二次方程的根的方法，以及二次函数与根之间的联系。

二、韦达定理的表达式：对于一般形式的二次方程ax^2 + bx + c = 0，韦达定理可以表示为：1.二次方程的两个根的和：x₁+ x₂= -b/a这表示二次方程的两个根的代数和等于二次项系数 b 的相反数除以一次项系数a 的倒数。

2.二次方程的两个根的乘积：x₁* x₂= c/a这表示二次方程的两个根的乘积等于常数项 c 除以一次项系数a。

韦达定理是基于二次方程的特性得出的，它为我们提供了一种计算二次方程根的方法，并且揭示了二次函数的根与系数之间的关系。

三、推导韦达定理：1.通过配方法，将一般形式的二次方程转化为完全平方形式。

2.应用完全平方公式，得到二次方程的两个根。

3.比较得到的根和原始二次方程的系数，推导出韦达定理的表达式。

四、推导韦达定理的过程如下：考虑一般形式的二次方程ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c 为实数且 a ≠0。

1.配方法：将二次方程的左侧进行配方，以求得完全平方形式。

我们可以按照以下步骤进行：a) 将二次项系数a 除到方程的每一项上，得到等价方程：x^2 + (b/a)x + c/a = 0b) 将方程的常数项移至右侧，得到等价方程：x^2 + (b/a)x = -c/ac) 在方程的左侧加上一个适当的常数项，使其成为一个完全平方。

这个常数项的值为(b/2a)^2，即(b^2/4a^2)。

得到等价方程：x^2 + (b/a)x + (b^2/4a^2) = -c/a + (b^2/4a^2)d) 将方程的左侧写成一个完全平方形式，得到等价方程：(x + b/2a)^2 = (b^2 - 4ac)/4a^22.应用完全平方公式：根据完全平方公式，对等价方程进行展开和化简，得到二次方程的两个根。

韦达定理全部公式韦达定理（Vieta's formulas）是一组用于描述多项式系数与其根之间关系的重要公式。

这组公式由法国数学家弗朗索瓦·韦达（François Viète）于16世纪提出，被广泛应用于代数学和数论中。

韦达定理的第一个公式是关于二次方程的。

对于一个一般形式的二次方程ax^2 + bx + c = 0，韦达定理给出了它的两个根之和和两个根之积与系数之间的关系。

根据韦达定理，这两个根之和等于-b/a，根之积等于c/a。

这个公式被广泛应用于解方程和因式分解等问题中。

对于一个更高次的多项式方程，韦达定理也同样适用。

对于一个n 次多项式方程a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0，韦达定理给出了它的n个根之和、n-1个根之积、n-2个根之和等与系数之间的关系。

具体而言，韦达定理表明这些关系可以通过系数a_0, a_1, ..., a_n-1的各种组合来表示。

韦达定理的第二个公式是关于一个多项式的根和系数之间的关系。

根据韦达定理，在给定多项式的根的情况下，可以通过根与系数之间的关系来计算出这个多项式的各个系数。

具体而言，对于一个n 次多项式方程，如果它的n个根分别为r_1, r_2, ..., r_n，那么可以通过如下公式计算出系数a_0, a_1, ..., a_n-1：a_0 = (-1)^n * r_1 * r_2 * ... * r_na_1 = (-1)^(n-1) * (r_1 * r_2 * ... * r_{n-1} + r_1 * r_2 * ... * r_{n-2} * r_n + ... + r_2 * r_3 * ... * r_n)...a_{n-1} = (-1) * (r_1 + r_2 + ... + r_n)这个公式可以通过给定的根和系数之间的关系来计算出未知的系数，从而完全确定一个多项式。

韦达定理所有公式韦达定理是解决三角形中任意三边与其对应的角之间的关系的重要定理。

在本文档中，我们将讨论韦达定理的各种公式及其应用。

一、韦达定理的基本形式韦达定理的一个基本形式是：在一个三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则有以下公式成立：1. a² = b² + c² - 2bc·cosA2. b² = a² + c² - 2ac·cosB3. c² = a² + b² - 2ab·cosC这三个公式是韦达定理的基本形式，可以用来计算三角形中的任意一边的长度。

二、角的余弦定理韦达定理还可以通过角的余弦定理进行推导。

角的余弦定理是说，在一个三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则有以下公式成立：1. cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)2. cosB = (a² + c² - b²) / (2ac)3. cosC = (a² + b² - c²) / (2ab)将上述公式代入韦达定理的基本形式，可以得到：1. a² = b² + c² - 2bc·[(b² + c² - a²) / (2bc)]2. b² = a² + c² - 2ac·[(a² + c² - b²) / (2ac)]3. c² = a² + b² - 2ab·[(a² + b² - c²) / (2ab)]经过简化，得到了韦达定理的基本形式。

三、韦达定理的特殊情况1. 直角三角形在一个直角三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，其中角C为直角，则有以下公式成立：1. a² = b² + c²2. b² = a² + c²3. c² = a² + b²这是因为在直角三角形中，余弦函数的值为0，所以角的余弦定理可以简化为上述形式。

一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）知识点与应用解析1、定义：若x 1，x 2 是一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两个根，则有x 1 + x 2 = -a b ， x 1·x 2 = ac 。

对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0，则有x 1 + x 2 =-p ，x 1·x 2 =q2、应用的前提条件：根的判别式△≥0 ⇔方程有实数根。

3、若一个方程的两个为x 1，x 2 ，那么这个一元二次方程为a[x 2+(x 1+x 2)x+ x 1·x 2]=0(a ≠0)4、根与系数的关系求值常用的转化关系：①x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=a c a 2b -2-⎪⎭⎫ ⎝⎛=222a ac b - ②cb x x x x x x -=+=+21212111 ③(x 1+a)(x 2+a)= x 1x 2 +a(x 1+x 2) +a 2 =a c -b +a 2 ④(x 1-x 2)2 =(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =2a4ac -b 2 5、方法归纳：（1）一元二次方程的根与系数的关系的运用条件条件为一元二次方程，即a ≠0，且必须有实数根，即△≥0；（2）运用一元二次方程的根与系数的关系时，一元二次方程应化为一般形式，若系数中含字母要注意分类讨论；（3）一元二次方程的根与系数的关系有时与一元二次方程根的定义综合运用，注意观察所求代数式是特点。

（4）解题思路：将含有根的代数式变形成含有两根和与两根积的式子，再通过韦达定理转化成关于系数的式子，同时要注意参量的值要满足根的实际意义。

6、一元二次方程的根与系数的关系的应用：（1）不解方程，判别一元二次方程两根的符号。

（判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，判别式判定根的存在与否，若＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。

初中数学韦达定理公式韦达定理是数学中一个重要的定理，它在代数中有着广泛的应用。

韦达定理的全称是“韦达利亚定理”，它是由法国数学家韦达利亚于16世纪提出的。

韦达定理可以用来求解二次方程的根，它的公式为：对于二次方程ax^2+bx+c=0，根的和为-x1-x2=-b/a，根的积为x1*x2=c/a。

韦达定理的应用非常广泛，不仅可以用于求解二次方程的根，还可以用于解决一些实际问题。

下面我将通过几个具体的例子来说明韦达定理的应用。

例1：求解二次方程的根假设有一个二次方程x^2+3x+2=0，我们可以使用韦达定理来求解它的根。

根据韦达定理的公式，我们可以得到根的和为-x1-x2=-3/1=-3，根的积为x1*x2=2/1=2。

所以这个二次方程的根为x1=-1，x2=-2。

例2：求解实际问题假设有一片长方形的土地，已知它的周长为20米，面积为48平方米。

我们可以使用韦达定理来求解这片土地的长和宽。

设土地的长为x米，宽为y米，根据题意我们可以得到以下两个方程：2(x+y)=20，表示周长为20米；xy=48，表示面积为48平方米。

根据韦达定理的公式，我们可以得到x+y=-10，xy=48。

我们可以将x+y=-10带入xy=48的公式中，得到x和y的值。

进而可以求出这片土地的长和宽分别为6米和8米。

例3：应用于物理问题假设一个物体从静止开始做匀减速运动，已知它的加速度为2m/s^2，最终速度为10m/s，求它的运动时间和位移。

我们可以使用韦达定理来求解这个问题。

设运动时间为t秒，位移为s米，根据题意我们可以得到以下两个方程：at=v，表示加速度乘以时间等于速度；s=vt-1/2at^2，表示位移等于速度乘以时间减去1/2加速度乘以时间的平方。

根据韦达定理的公式，我们可以得到at=2t=10，s=10t-1/2*2*t^2。

我们可以将at=10带入s=10t-1/2*2*t^2的公式中，得到t和s的值。

进而可以求出物体的运动时间为5秒，位移为25米。

多次方程的韦达定理定律引言：多次方程是数学中的重要概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。

而韦达定理则是解多次方程的一种常用方法。

本文将介绍韦达定理的原理和应用，并通过实例演示其解题过程。

一、韦达定理的原理：韦达定理是基于多次方程的根与系数之间的关系。

对于一个m次多次方程a0x^m + a1x^(m-1) + ... + am-1x + am = 0，其根为x1、x2、...、xm，韦达定理可以表示为以下形式：x1 + x2 + ... + xm = -a1/a0x1x2 + x1x3 + ... + x1xm + x2x3 + ... + x2xm + ... + xm-1xm = a2/a0...x1x2...xm = (-1)^m * am/a0二、韦达定理的应用：韦达定理可以帮助我们求解多次方程的根，尤其是当方程次数较高时，使用韦达定理可以简化计算过程。

下面通过一个实例来说明韦达定理的应用。

实例：假设有一个三次方程2x^3 - 5x^2 + 3x - 1 = 0，我们可以使用韦达定理来计算其根。

根据韦达定理，我们可以得到以下等式：x1 + x2 + x3 = 5/2x1x2 + x1x3 + x2x3 = 3/2x1x2x3 = 1/2通过观察方程系数，我们可以猜测方程的根为1、1/2和-1/2。

将这些根代入韦达定理的等式中，可以验证等式的成立。

我们得到了方程的三个根。

在实际应用中，我们可以通过韦达定理来找到多次方程的根，从而解决各种问题。

三、总结：韦达定理是解多次方程的一种常用方法，它通过根与系数之间的关系，简化了多次方程的求解过程。

通过本文的介绍和实例演示，我们了解了韦达定理的原理和应用。

在实际应用中，我们可以灵活运用韦达定理来解决各种与多次方程相关的问题。

结语：多次方程的韦达定理定律是数学中的重要知识点，通过学习和应用韦达定理，我们可以更好地理解和解决多次方程相关的问题。

希望本文能够对读者有所启发，加深对韦达定理的理解和运用能力。

韦达定理—求作一元二次方程
定理：以x 1，x 2为根的一元二次方程是x 2－（x 1+x 2）x+x 1x 2=0；
1、求以下列两数为根的一元二次方程：
（1）4，－7 方程 ；
（2）1，4方程 ；
（3）1/2，1 方程 ；
（4）1+3，1—3方程 ；
（5）－2，－3方程 ；
（6）5，-2 方程
（7）251+-，2
51-- 方程 ； （8）3-2，3+2 方程 ；
2、已知方程x 2
-2x-1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是原方程的各根的倒数。

3、求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程2x 2+4x-3=0的两根的2倍。

4、利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的根分别是方程2x 2+3x-1=0的各根的（1）相
反数；（2）3倍；（3）平方
5、已知x 1、x 2是方程x 2-8x+6=0的两根，求一个以x 1+2、x 2+2为根的一元二次方程。

韦达定理—求解二元二次方程组
6、利用韦达定理解方程组：（1）⎩⎨⎧==+65xy y x （2）⎩⎨⎧==+3
2722xy y x （3）⎩⎨⎧-==-+102xy y x （4）⎩⎨⎧==-76xy y x （5）⎪⎩⎪⎨⎧==+6
5xy y x。

用韦达定理解二元二次方程组的解法
韦达定理是一种解二元二次方程组的方法，它可以帮助我们求出方程组的解。

假设有如下二元二次方程组：
ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0
gx + hxy + iy + jx + ky + l = 0
其中a、b、c、d、e、f、g、h、i、j、k、l都是已知系数。

将第一个方程两边乘以i，第二个方程两边乘以b，然后将它们相减，得到新的方程：
(ai - bh)x + (bi - ac)xy + (ci - bg)y + (di - fj)x + (ei - kl)y + (fi - hl) = 0
这个方程和原方程组等价，但是它的系数更加简单。

现在，我们只需要求出新方程中的系数，就可以解出方程组的解： D = (ai - bh)(ci - bg) - (bi - ac)
x = [(bh - ai)k - (bi - ac)l]/D
y = [(bi - ac)j - (bh - ai)i]/D
其中，D被称为韦达行列式，它不等于0时，方程组有唯一解。

如果D等于0，则方程组有无穷多组解，或者没有解。

通过韦达定理，我们可以快速、简便地解二元二次方程组，特别适用于需要快速求解的情况。

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二次方程有两个异号实根韦达定理韦达定理是二次方程的根与系数之间的关系定理。

它是由法国数学家韦达在16世纪提出的，被广泛地应用于数学和物理领域。

韦达定理的含义是，二次方程的两个根与其系数之间存在着某种关系，这种关系可以用方程的系数来表示。

二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。

根据韦达定理，二次方程的两个根x1和x2可以用系数a、b、c表示为：x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = c/a这两个关系式就是韦达定理所描述的根与系数之间的关系。

从这两个关系式中可以得到二次方程的两个根之间的关系以及它们与系数之间的关系。

首先，根据x1 + x2 = -b/a，我们可以得到二次方程的两个根之间的关系。

由于x1和x2是二次方程的两个根，它们的和可以用-b/a表示。

这表示了二次方程的两个根之间的关系：它们的和与一次项系数和二次项系数的比值有关。

当一次项系数和二次项系数的比值越大（绝对值越小），二次方程的两个根的和就越接近于零。

而当一次项系数和二次项系数的比值越小（绝对值越大），二次方程的两个根的和就越远离零。

其次，根据x1 * x2 = c/a，我们可以得到二次方程的两个根与系数之间的关系。

由于x1和x2是二次方程的两个根，它们的乘积可以用c/a表示。

这表示了二次方程的两个根与一次项系数和常数项的比值有关。

当一次项系数和常数项的比值越大（绝对值越小），二次方程的两个根的乘积就越接近于零。

而当一次项系数和常数项的比值越小（绝对值越大），二次方程的两个根的乘积就越远离零。

综合以上两个关系式，我们可以得到以下结论：二次方程的两个根之间的关系与一次项系数和二次项系数的比值有关；二次方程的两个根与一次项系数和常数项的比值有关。

这些关系使得二次方程的根与系数之间存在着密切的联系，而韦达定理正是描述了这种联系的数学定理。

韦达定理的应用非常广泛。

它不仅可以用来解析二次方程的根与系数之间的关系，还可以用来研究二次函数的性质、解决实际问题等。

二次方程的韦达定理
韦达定理又称“韦达方程”，为十六世纪巴西数学家希斯孟马努伊和瑞典数学家哥特罗斯.韦达共同推导的数学性质，是解决二次方程的有效工具。

该定理指出：一种特定的二次方程式ax²+ bx+ c= 0有两个解，其中x1和x2满足关系
x1x2= -c/a，且x1 + x2= -b/a。

证明韦达定理：
由ax²+bx+c=0得，x1和x2是根，那么ax1²+bx1+c=0，ax2²+bx2+c=0，分别两式相乘，得a²x1x2 + b(x1+x2)+c²=0，而c²为常数，故a²x1x2 + b(x1+x2)=0，
即x1x2=-c/a，x1+x2=-b/a。

因此，韦达定理提供了一个有效的解决二次方程的方法，即可根据韦达定理快速求得二次
方程的两个解。

然而，该定理仅可以解决一些特殊的方程，例如完全平方式。

当方程式中
含有将其他二次项时，就必须采用其他方式解决。

总之，韦达定理是一种有效的解决二次方程的方法，在理解该定理及其适用范围的基础上，可以授以解决复杂的数学问题。