苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第九章解析几何第五节椭圆教案文解析版

学案49 椭圆导学目标： 1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质．自主梳理1．椭圆的概念平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做________．这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫______．集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若______，则集合P为椭圆；(2)若______，则集合P为线段；(3)若______，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距F1F2＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2自我检测1．已知两定点A(－1,0)，B(1,0)，点M满足MA＋MB＝2，则点M的轨迹是____________．2．“m>n>0”是方程“mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的________条件．3．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是________．4．椭圆x212＋y23＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么PF1＝________，PF2＝________.5．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k＝________.探究点一 椭圆的定义及应用例1 一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．变式迁移1 求过点A (2,0)且与圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．探究点二 求椭圆的标准方程例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)；(2)经过两点A (0,2)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3.变式迁移2 (1)已知椭圆过(3,0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)、P 2(－3，－2)，求椭圆的标准方程．探究点三 椭圆的几何性质例3 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．变式迁移3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M (在x 轴上方)向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，AB ∥OM .(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上任意一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围．方程思想例4 (14分)(2010·北京朝阳一模)已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M (1，32)，过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B .(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在直线l ，满足PA →·PB →＝PM →2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答题模板】解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2.解得a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.[4分](2)若存在直线l 满足条件，由题意可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x －＋1，得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.[6分]因为直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4·(3＋4k 2)·(16k 2－16k －8)>0.整理得32(6k ＋3)>0，解得k >－12.[9分]又x 1＋x 2＝8k k －3＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－16k －83＋4k2，且PA →·PB →＝PM →2， 即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝54，即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝54.[11分]所以[16k 2－16k －83＋4k 2－2×8k k －3＋4k 2＋4](1＋k 2)＝4＋4k 23＋4k 2＝54，解得k ＝±12.所以k ＝12.于是存在直线l 满足条件，其方程为y ＝12x .[14分]【突破思维障碍】直线与椭圆的位置关系主要是指公共点问题、相交弦问题及其他综合问题．反映在代数上，就是直线与椭圆方程联立的方程组有无实数解及实数解的个数的问题，它体现了方程思想的应用，当直线与椭圆相交时，要注意判别式大于零这一隐含条件，它可以用来检验所求参数的值是否有意义，也可通过该不等式来求参数的范围．对直线与椭圆的位置关系的考查往往结合平面向量进行求解，与向量相结合的题目，大都与共线、垂直和夹角有关，若能转化为向量的坐标运算往往更容易实现解题功能，所以在复习过程中要格外重视．1．求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参)．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为x 2m ＋y 2n＝1 (m >0，n >0且m ≠n )，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为Ax 2＋By 2＝1 (A >0，B >0且A ≠B )，这种形式在解题中更简便．2．椭圆的几何性质分为两类：一是与坐标轴无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；另一类是与坐标系有关的性质，如：顶点坐标，焦点坐标等．第一类性质是常数，不因坐标系的变化而变化，第二类性质是随坐标系变化而相应改变．3．直线与椭圆的位置关系问题．它是高考的热点，通常涉及椭圆的性质、最值的求法和直线的基础知识、线段的中点、弦长、垂直问题等，分析此类问题时，要充分利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．若△ABC 的两个顶点坐标分别为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为_________________________________________________________．2．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m ＝________.3．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率为________．4．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是________．5．(2011·无锡模拟)椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则ON ＝________.6．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为______________．7．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若PF 1＝4，则PF 2＝________；∠F 1PF 2的大小为________．8．(2011·徐州模拟)如图，已知点P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)上一点，若PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率是______．二、解答题(共42分)9．(14分)(2011·常州模拟)已知方向向量为v ＝(1，3)的直线l 过点(0，－23)和椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，且椭圆的离心率为63.(1)求椭圆C 的方程；(2)若已知点D (3,0)，点M ，N 是椭圆C 上不重合的两点，且DM →＝λDN →，求实数λ的取值范围．10．(14分)椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB＝22，OC的斜率为22，求椭圆的方程．11．(14分)(2010·福建)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C的方程．(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．学案49 椭圆答案自主梳理1．椭圆焦点焦距(1)a>c(2)a＝c(3)a<c自我检测1．线段AB 2.充要 3.334.732325.1课堂活动区例1解如图所示，设动圆的圆心为C，半径为r.则由圆相切的性质知， CO 1＝1＋r ，CO 2＝9－r ， ∴CO 1＋CO 2＝10， 而O 1O 2＝6，∴点C 的轨迹是以O 1、O 2为焦点的椭圆，其中2a ＝10,2c ＝6，b ＝4. ∴动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.变式迁移1 解 将圆的方程化为标准形式为：(x ＋2)2＋y 2＝62，圆心B (－2,0)，r ＝6. 设动圆圆心M 的坐标为(x ，y )， 动圆与已知圆的切点为C .则BC －MC ＝BM ， 而BC ＝6， ∴BM ＋CM ＝6. 又CM ＝AM ，∴BM ＋AM ＝6>AB ＝4.∴点M 的轨迹是以点B (－2,0)、A (2,0)为焦点、线段AB 中点(0,0)为中心的椭圆． a ＝3，c ＝2，b ＝ 5.∴所求轨迹方程为x 29＋y 25＝1.例2 解题导引 确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件(即确定焦点的位置)和两个定形条件(即确定a ，b 的大小)．当焦点的位置不确定时，应设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)，或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1 (m >0，n >0，且m ≠n )．解 (1)若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)．∵椭圆过点A (3,0)，∴9a2＝1，∴a ＝3，又2a ＝3·2b ，∴b ＝1，∴方程为x 29＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0)．∵椭圆过点A (3,0)，∴9b2＝1，∴b ＝3，又2a ＝3·2b ，∴a ＝9，∴方程为y 281＋x 29＝1.综上可知椭圆的方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(2)设经过两点A (0,2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3的椭圆标准方程为mx 2＋ny 2＝1，将A ，B 坐标代入方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 4n ＝114m ＋3n ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝14，∴所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1.变式迁移2 解 (1)当椭圆的焦点在x 轴上时，∵a ＝3，ca ＝63， ∴c ＝6，从而b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3， ∴椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.当椭圆的焦点在y 轴上时，∵b ＝3，c a ＝63，∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 227＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或x 29＋y 227＝1.(2)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1 (m >0，n >0且m ≠n )． ∵椭圆经过P 1、P 2点，∴P 1、P 2点坐标适合椭圆方程， 则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1， ①3m ＋2n ＝1， ② ①②两式联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1. 例3 解题导引 (1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、PF 1＋PF 2＝2a ，得到a 、c 的关系．(2)对△F 1PF 2的处理方法⎩⎪⎨⎪⎧定义式的平方余弦定理面积公式⇔⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＋PF 22＝a2，4c 2＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2·cos θ，S △＝12PF 1·PF 2·sin θ.(1)解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，PF 1＝m ，PF 2＝n .在△PF 1F 2中，由余弦定理可知， 4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°.∵m ＋n ＝2a ，∴m 2＋n 2＝(m ＋n )2－2mn ＝4a 2－2mn .∴4c 2＝4a 2－3mn ，即3mn ＝4a 2－4c 2.又mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)，∴4a 2－4c 2≤3a 2.∴c 2a 2≥14，即e ≥12.∴e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. (2)证明 由(1)知mn ＝43b 2，∴S △PF 1F 2＝12mn sin 60°＝33b 2，即△PF 1F 2的面积只与短轴长有关．变式迁移3 解 (1)∵F 1(－c,0)，则x M ＝－c ，y M ＝b 2a，∴k OM ＝－b 2ac .∵k AB ＝－ba ，OM ∥AB ，∴－b 2ac ＝－b a ，∴b ＝c ，故e ＝c a ＝22.(2)设F 1Q ＝r 1，F 2Q ＝r 2，∠F 1QF 2＝θ， ∴r 1＋r 2＝2a ，F 1F 2＝2c ，cos θ＝r 21＋r 22－4c22r 1r 2＝r 1＋r 22－2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝a 2r 1r 2－1≥a 2r 1＋r 222－1＝0， 当且仅当r 1＝r 2时，cos θ＝0，∴θ∈[0，π2]．课后练习区1.x 225＋y 29＝1 (y ≠0) 2.8 3.2－1 4.椭圆 5．4 解析连结MF 2， 已知MF 1＝2， 又MF 1＋MF 2＝10，故MF 2＝10－MF 1＝8，如图，ON ＝12MF 2＝4.6.x 236＋y 29＝1 解析 由已知得c a ＝32，2a ＝12，∴a ＝6，c ＝33，b 2＝a 2－c 2＝9. 故椭圆方程为x 236＋y 29＝1.7．2 120°解析 由PF 1＋PF 2＝6，且PF 1＝4，知PF 2＝2， 在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝－12.∴∠F 1PF 2＝120°.8.53解析 由题得△PF 1F 2为直角三角形，设PF 1＝m ，∵tan ∠PF 1F 2＝12，∴PF 2＝m 2，F 1F 2＝52m ，∴e ＝c a ＝F 1F 2PF 1＋PF 2＝53.9．解 (1)∵直线l 的方向向量为v ＝(1，3)， ∴直线l 的斜率为k ＝ 3. 又∵直线l 过点(0，－23)， ∴直线l 的方程为y ＋23＝3x .∵a >b ，∴椭圆的焦点为直线l 与x 轴的交点．∴c ＝2.又∵e ＝c a ＝63，∴a ＝ 6.∴b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆方程为x 26＋y 22＝1.(6分)(2)若直线MN ⊥y 轴，则M 、N 是椭圆的左、右顶点，λ＝3＋63－6或λ＝3－63＋6，即λ＝5＋26或5－2 6.若MN 与y 轴不垂直，设直线MN 的方程为x ＝my ＋3(m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，x ＝my ＋3得(m 2＋3)y 2＋6my ＋3＝0.设M 、N 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－6mm 2＋3，①y 1y 2＝3m 2＋3，②Δ＝36m 2－12(m 2＋3)＝24m 2－36>0，∴m 2>32.∵DM →＝(x 1－3，y 1)，DN →＝(x 2－3，y 2)，DM →＝λDN →，显然λ>0，且λ≠1， ∴(x 1－3，y 1)＝λ(x 2－3，y 2)．∴y 1＝λy 2.代入①②，得λ＋1λ＝12m 2m 2＋3－2＝10－36m 2＋3.∵m 2>32，得2<λ＋1λ<10，即⎩⎪⎨⎪⎧λ2－2λ＋1>0，λ2－10λ＋1<0，解得5－26<λ<5＋26且λ≠1.综上所述，λ的取值范围是5－26≤λ≤5＋26， 且λ≠1.(14分)10．解 方法一 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22， 代入上式可得b ＝2a .(4分)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1x ＋y －1＝0，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0， ∴x 1＋x 2＝2b a ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b ， 再由AB ＝1＋k 2 |x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4，(10分) 将b ＝2a 代入得a ＝13，∴b ＝23. ∴所求椭圆的方程是x 23＋2y 23＝1.(14分) 方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧ ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.(2分)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则AB ＝k 2＋x 1－x 22＝2·4b 2－a ＋bb －a ＋b 2.∵AB ＝22，∴a ＋b －ab a ＋b＝1.①(6分) 设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝a a ＋b ， ∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22.(10分) 代入①，得a ＝13，b ＝23. ∴椭圆方程为x 23＋2y 23＝1.(14分) 11．解 方法一 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝AF ＋AF ′＝3＋5＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12， 故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(5分) (2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝32x ＋t ，x 216＋y212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.(7分) 因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3×(t 2－12)≥0，解得－43≤t ≤4 3.(9分)另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4， 得|t |94＋1＝4，解得t ＝±213.(12分)由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．(14分)方法二 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且有⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4.解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)．从而a 2＝16.(3分)所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(5分)(2)同方法一．。

第2课时 直线与椭圆题型一 直线与椭圆的位置关系1．若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m >0C ．0<m <5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠5答案 D解析 方法一 由于直线y ＝kx ＋1恒过点(0,1)， 所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上， 则0<1m≤1且m ≠5，故m ≥1且m ≠5. 方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，mx 2＋5y 2－5m ＝0，消去y 整理得(5k 2＋m )x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0.由题意知Δ＝100k 2－20(1－m )(5k 2＋m )≥0对一切k ∈R 恒成立， 即5mk 2＋m 2－m ≥0对一切k ∈R 恒成立， 由于m >0且m ≠5，∴m ≥1且m ≠5.2．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y22＝1，②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点． 题型二 弦长及中点弦问题 命题点1 弦长问题例1斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2B.455 C.4105 D.8105答案 C解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105.命题点2 中点弦问题例2 已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________________． 答案 x ＋2y －3＝0解析 方法一 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y －1＝k (x －1)，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －1)，x 24＋y22＝1，消去y 得，(2k 2＋1)x 2－4k (k －1)x ＋2(k 2－2k －1)＝0， ∴x 1＋x 2＝4k (k －1)2k 2＋1，又∵x 1＋x 2＝2，∴4k (k －1)2k 2＋1＝2，解得k ＝－12. 故此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.方法二 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k ，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 214＋y 212＝1，① x 224＋y 222＝1，② ①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12， 经检验k ＝－12满足题意．∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及中点弦的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．记住必须检验．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)．(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式． 跟踪训练1 设离心率为22的椭圆E ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P是E 上一点，PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2内切圆的半径为2－1. (1)求E 的方程；(2)矩形ABCD 的两顶点C ，D 在直线y ＝x ＋2上，A ，B 在椭圆E 上，若矩形ABCD 的周长为1123，求直线AB 的方程．解 (1)Rt△PF 1F 2内切圆的半径r ＝12(|PF 1|＋|PF 2|－|F 1F 2|)＝a －c ，依题意有a －c ＝2－1. 又c a ＝22，则a ＝2，c ＝1，从而b ＝1. 故椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，代入椭圆E 的方程，整理得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0， 由Δ>0得－3<m < 3. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝2m 2－23.|AB |＝2|x 2－x 1|＝43－m23.易知|BC |＝|2－m |2，则由－3<m <3知|BC |＝2－m2，所以由已知可得|AB |＋|BC |＝1126，即43－m 23＋2－m 2＝1126，整理得41m 2＋30m －71＝0，解得m ＝1或m ＝－7141(均满足－3<m <3)．所以直线AB 的方程为y ＝x ＋1或y ＝x －7141.题型三 椭圆与向量等知识的综合例3已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，e ＝12，其中F 是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，线段AB 的中点横坐标为14，且AF →＝λFB →(其中λ>1)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求实数λ的值．解 (1)由椭圆的焦距为2，知c ＝1，又e ＝12，∴a ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由AF →＝λFB →，可知A ，B ，F 三点共线， 设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)．若直线AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝1，不符合题意； 当AB 所在直线l 的斜率k 存在时， 设l 的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.① ①的判别式Δ＝64k 4－4(4k 2＋3)(4k 2－12) ＝144(k 2＋1)>0.∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，∴x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3＝2×14＝12，∴k 2＝14.将k 2＝14代入方程①，得4x 2－2x －11＝0，解得x ＝1±354.又AF →＝(1－x 1，－y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，AF →＝λFB →， 即1－x 1＝λ(x 2－1)，λ＝1－x 1x 2－1，又λ>1，∴λ＝3＋52. 思维升华一般地，在椭圆与向量等知识的综合问题中，平面向量只起“背景”或“结论”的作用，几乎都不会在向量的知识上设置障碍，所考查的核心内容仍然是解析几何的基本方法和基本思想．跟踪训练2 已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1，0)，短轴的两个端点分别为B 1，B 2. (1)若△F 1B 1B 2为等边三角形，求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的短轴长为2，过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且F 1P →⊥F 1Q →，求直线l 的方程．解 (1)△F 1B 1B 2为等边三角形，则⎩⎨⎧c ＝3b ，c ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3b 2，a 2－b 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝43，b 2＝13，椭圆C 的方程为3x 24＋3y 2＝1.(2)易知椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1，当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝1，不符合题意； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，由已知得Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2(k 2－1)2k 2＋1，F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，F 1Q →＝(x 2＋1，y 2)，因为F 1P →⊥F 1Q →，所以F 1P →·F 1Q →＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝(k 2＋1)x 1x 2－(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝7k 2－12k 2＋1＝0，解得k 2＝17，即k ＝±77，故直线l 的方程为x ＋7y －1＝0或x －7y －1＝0.1．若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( ) A ．至多为1 B ．2 C ．1 D ．0答案 B解析 由题意知，4m 2＋n2>2，即m 2＋n 2<2，∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2.2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是( )A.12B.22C.32D.55 答案 C解析 设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知y M＝－b 2a 2k x M ，代入k ＝1，M (－4，1)，解得b 2a 2＝14，e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝32， 故选C.3．已知椭圆x 236＋y 29＝1以及椭圆内一点P (4,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A.12B ．－12C ．2D ．－2 答案 B解析 设弦的端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)36＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)9＝0，所以2(x 1－x 2)9＝－4(y 1－y 2)9，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12.故选B. 4．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x2＋y 2＝1 B.x 23＋y 23＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1答案 C解析 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则c ＝1.因为过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，且|AB |＝3，所以b 2a ＝32，b 2＝a 2－c 2，所以a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.5．(2018·吉林四平质检)经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( ) A ．－3 B ．－13C ．－13或－3D ．±13答案 B解析 依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1.代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43.所以两个交点坐标为A (0，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，所以OA →·OB →＝(0，－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13＝－13.同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13.6．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( ) A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 D解析 ∵(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝(OP →＋F 1O →)·PF 2→＝F 1P →·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°. 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12,2mn ＝4，mn ＝2， ∴12F PF S＝12mn ＝1. 7．直线y ＝kx ＋k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是________．答案 相交解析 由于直线y ＝kx ＋k ＋1＝k (x ＋1)＋1过定点(－1，1)，而(－1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．8．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于____________． 答案3－1解析 直线y ＝3(x ＋c )过点F 1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt△MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ， 所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2c c ＋3c＝3－1.9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF ，若|AB |＝10，|AF |＝6，cos∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率e ＝________.答案 57解析 设椭圆的右焦点为F 1，在△ABF 中，由余弦定理可解得|BF |＝8，所以△ABF 为直角三角形，且∠AFB ＝90°，又因为斜边AB 的中点为O ，所以|OF |＝c ＝5，连接AF 1，因为A ，B 关于原点对称，所以|BF |＝|AF 1|＝8，所以2a ＝14，a ＝7，所以离心率e ＝57.10．已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点．直线PQ 过原点O 与MN 平行，且PQ 与椭圆交于P ，Q 两点，则|PQ |2|MN |＝________.答案 2 2解析 不妨取直线MN ⊥x 轴，椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F (－1,0)，令x ＝－1，得y 2＝12，所以y ＝±22，所以|MN |＝2，此时|PQ |＝2b ＝2， 则|PQ |2|MN |＝42＝2 2. 11.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点，上顶点分别为A ，B ，且|AB |＝52|BF |.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若斜率为2的直线l 过点(0,2)，且l 交椭圆C 于P ，Q 两点，OP ⊥OQ ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程．解 (1)由已知|AB |＝52|BF |， 即a 2＋b 2＝52a ， 4a 2＋4b 2＝5a 2，4a 2＋4(a 2－c 2)＝5a 2， ∴e ＝c a ＝32. (2)由(1)知a 2＝4b 2，∴椭圆C ：x 24b 2＋y 2b2＝1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 24b 2＋y 2b2＝1消去y ，得x 2＋4(2x ＋2)2－4b 2＝0， 即17x 2＋32x ＋16－4b 2＝0.Δ＝322＋16×17(b 2－4)>0，解得b >21717. x 1＋x 2＝－3217，x 1x 2＝16－4b 217.∵OP ⊥OQ ，∴OP →·OQ →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1x 2＋(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝0， 5x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋4＝0. 从而5(16－4b 2)17－12817＋4＝0，解得b ＝1，满足b >21717.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.12．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，O 为坐标原点，求△OCD 的面积．解 (1)过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为433， 所以2b 2a ＝433. 因为椭圆的离心率为33，所以c a ＝33， 又a 2＝b 2＋c 2，可解得b ＝2，c ＝1，a ＝ 3.所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. (2)由(1)可知F (－1,0)，则直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x ＋1)，x 23＋y 22＝1， 消去y 得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 所以x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k2. 又A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB → ＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k2＝8， 解得k ＝± 2.从而x 1＋x 2＝－6×22＋3×2＝－32，x 1x 2＝3×2－62＋3×2＝0. 所以|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－4×0＝32， |CD |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋2×32＝332.而原点O 到直线CD 的距离为d ＝|k |1＋k 2＝21＋2＝63， 所以△OCD 的面积为S ＝12|CD |×d ＝12×332×63＝324. 13．正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫5－12，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3－12 答案 B解析 设正方形的边长为2m ，∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m >c ，又正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上， ∴m 2a 2＋m 2b 2＝1>c 2a 2＋c 2b 2＝e 2＋e 21－e2， 即e 4－3e 2＋1>0，e 2<3－52＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－122， ∴0<e <5－12，故选B. 14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)短轴的端点为P (0，b )，Q (0，－b )，长轴的一个端点为M ，AB 为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若PA ，PB 的斜率之积等于－14，则点P 到直线QM 的距离为______．答案 455b 解析 设A (x 0，y 0)，则B 点坐标为(－x 0，－y 0)，则y 0－b x 0·－y 0－b －x 0＝－14，即y 20－b 2x 20＝－14， 由于x 20a 2＋y 20b 2＝1，则y 20－b 2x 20＝－b 2a 2， 故－b 2a 2＝－14，则b a ＝12，不妨取M (a,0)，则直线QM 的方程为bx －ay －ab ＝0，则点P 到直线QM 的距离为d ＝|2ab |a 2＋b 2＝2·b 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝455b . 15．平行四边形ABCD 内接于椭圆x 28＋y 24＝1，直线AB 的斜率k 1＝2，则直线AD 的斜率k 2等于( )A.12B ．－12C ．－14D ．－2 答案 C解析 设AB 的中点为G ，则由椭圆的对称性知，O 为平行四边形ABCD 的对角线的交点，则GO ∥AD .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 218＋y 214＝1，x 228＋y 224＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)8＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)4， 整理得x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－y 1－y 2x 1－x 2＝－k 1＝－2， 即y 1＋y 2x 1＋x 2＝－14.又G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22， 所以k OG ＝y 1＋y 22－0x 1＋x 22－0＝－14，即k 2＝－14，故选C. 16．过椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)上的动点M 作圆x 2＋y 2＝b 23的两条切线，切点分别为P 和Q ，直线PQ 与x 轴和y 轴的交点分别为E 和F ，求△EOF 面积的最小值．解 设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意知PQ 斜率存在，且不为0，所以x 0y 0≠0，则直线MP 和MQ 的方程分别为x 1x ＋y 1y ＝b 23，x 2x ＋y 2y ＝b 23.因为点M 在MP 和MQ 上，所以有x 1x 0＋y 1y 0＝b 23，x 2x 0＋y 2y 0＝b 23，则P ，Q 两点的坐标满足方程x 0x ＋y 0y ＝b 23，所以直线PQ 的方程为x 0x ＋y 0y ＝b 23，可得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 23x 0，0和F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 23y 0， 所以S △EOF ＝12·|OE ||OF |＝b 418|x 0y 0|，因为b 2y 20＋a 2x 20＝a 2b 2，b 2y 20＋a 2x 20≥2ab |x 0y 0|， 所以|x 0y 0|≤ab 2，所以S △EOF ＝b 418|x 0y 0|≥b 39a ， 当且仅当b 2y 20＝a 2x 20＝a 2b 22时取“＝”，故△EOF 面积的最小值为b 39a .。

第5讲 椭 圆1．椭圆的定义条件结论1结论2平面内的动点M 与平面内的两个定点F 1，F 2M 点的轨迹为椭圆F 1、F 2为椭圆的焦点|F 1F 2|为椭圆的焦距|MF 1|＋|MF 2|＝2a2a ＞|F 1F 2|2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 图形性质范围－a ≤x ≤a－b ≤y ≤b－b ≤x ≤b －a ≤y ≤a对称性对称轴：x 轴、y 轴对称中心：(0，0) 顶点A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b ，0)，B 2(b ，0)轴长轴A 1A 2的长为2a 短轴B 1B 2的长为2b焦距 |F 1F 2|＝2c离心率e ＝ca，e ∈(0，1) a ，b ，c的关系c 2＝a 2－b 2已知点P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2>1.4．椭圆中四个常用结论(1)P 是椭圆上一点，F 为椭圆的焦点，则|PF |∈[a －c ，a ＋c ]，即椭圆上的点到焦点距离的最大值为a ＋c ，最小值为a －c ；(2)椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2b2a，通径是最短的焦点弦；(3)P 是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F 1，F 2为椭圆的两焦点，则△PF 1F 2的周长为2(a ＋c )．(4)设P ，A ，B 是椭圆上不同的三点，其中A ，B 关于原点对称，直线PA ，PB 斜率存在且不为0，则直线PA 与PB 的斜率之积为定值－b 2a2.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( ) (3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( )(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( )(5)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距相同．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√(教材习题改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 解析：选D.右焦点为F (1，0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1.又离心率为c a＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. 与椭圆x 29＋y 24＝1有相同离心率的椭圆方程是( )A.y 29＋x 24＝1B.x 236＋y 225＝1C.y 236＋x 225＝1 D.x 236＋y 211＝1 解析：选A.椭圆y 29＋x 24＝1与已知椭圆的长轴长和短轴长分别相等，因此两椭圆的形状、大小完全一样，只是焦点所在坐标轴不同，故两个椭圆的离心率相同． 若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3，解得3<k <5且k ≠4.答案：(3，4)∪(4，5)(教材习题改编)椭圆C ：x 225＋y 216＝1的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A 、B 两点，则△F 1AB 的周长为________．解析：△F 1AB 的周长为 |F 1A |＋|F 1B |＋|AB |＝|F 1A |＋|F 2A |＋|F 1B |＋|F 2B | ＝2a ＋2a ＝4a .在椭圆x 225＋y 216＝1中，a 2＝25，a ＝5，所以△F 1AB 的周长为4a ＝20. 答案：20椭圆的定义及应用[典例引领](1)(2018·豫北六校联考)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |，且|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，则|AF 2|＝________．(2)(2018·徐州模拟)已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________． 【解析】 (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3， 因为△ABF 2的周长为16，所以4a ＝16，所以a ＝4. 则|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8， 所以|AF 2|＝8－|AF 1|＝8－3＝5. (2)设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2， 所以2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2， 所以S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，所以b ＝3.【答案】 (1)5 (2)3本例(2)中增加条件“△PF 1F 2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程． 解：由原题得b 2＝a 2－c 2＝9，又2a ＋2c ＝18，所以a －c ＝1，解得a ＝5，故椭圆的方程为x 225＋y 29＝1.(1)椭圆定义的应用范围①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆． ②解决与焦点有关的距离问题． (2)焦点三角形的结论椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫作焦点三角形．如图所示，设∠F 1PF 2＝θ. ①|PF 1|＋|PF 2|＝2a .②4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ. ③焦点三角形的周长为2(a ＋c )．④S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝b 2·sin θ1＋cos θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b ，即P 为短轴端点时，S △PF 1F 2取最大值，为bc .已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2，0)，线段AN的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：选B.点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |.又AM 是圆的半径，所以|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |.由椭圆的定义知，P 的轨迹是椭圆． 椭圆的标准方程[典例引领](待定系数法)(1)一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( ) A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 28＋y 24＝1 (2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为( )A.x 220＋y 24＝1B.x 225＋y 24＝1 C.y 220＋x 24＝1 D.x 24＋y 225＝1 【解析】 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2×2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，c a ＝12，得a 2＝8，b 2＝6，故椭圆方程为x 28＋y26＝1.(2)设所求椭圆方程为y 225－k ＋x 29－k ＝1(k <9)，将点(3，－5)的坐标代入可得（－5）225－k ＋（3）29－k ＝1，解得k ＝5(k ＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x24＝1.【答案】 (1)A (2)C[提醒] 当椭圆焦点位置不明确时，可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0，m ≠n )，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，且A ≠B )．[通关练习]1．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则该椭圆的方程为________．解析：设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )．因为椭圆经过P 1，P 2两点，所以P 1，P 2点坐标适合椭圆方程，则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1，①3m ＋2n ＝1，②①②两式联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝13.所以所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1. 答案：x 29＋y 23＝12．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶3，则椭圆C 的方程是________________．解析：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由题意知⎩⎨⎧a 2＝b 2＋c 2，a ∶b ＝2∶3，c ＝2，解得a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.答案：x 216＋y 212＝1椭圆的几何性质(高频考点)椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大．高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度： (1)由椭圆的方程研究其性质； (2)求椭圆离心率的值(范围)； (3)由椭圆的性质求参数的值(范围)．[典例引领]角度一 由椭圆的方程研究其性质已知正数m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的焦点坐标为( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±3，0)或(±5，0)D ．(0，±3)或(±5，0)【解析】 因为正数m 是2和8的等比中项，所以m 2＝16，即m ＝4，所以椭圆x 2＋y 24＝1的焦点坐标为(0，±3)，故选B. 【答案】 B角度二 求椭圆离心率的值(范围)(2017·高考全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为 ( ) A.63 B.33C.23D.13【解析】 以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，由原点到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离d ＝2abb 2＋a 2＝a ，得a 2＝3b 2，所以C 的离心率e ＝1－b 2a 2＝63，选A.【答案】 A角度三 由椭圆的性质求参数的值(范围)已知椭圆mx 2＋4y 2＝1的离心率为22，则实数m 等于( ) A ．2 B ．2或83C ．2或6D ．2或8【解析】 显然m >0且m ≠4，当0<m <4时，椭圆长轴在x 轴上，则1m －141m＝22，解得m＝2；当m >4时，椭圆长轴在y 轴上，则14－1m 14＝22，解得m ＝8. 【答案】 D(1)求椭圆离心率的方法①直接求出a ，c 的值，利用离心率公式e ＝ca ＝1－b 2a2直接求解． ②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解．(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路①将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系． ②将所求范围用a ，b ，c 表示，利用a ，b ，c 自身的范围、关系求范围．[通关练习]1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( ) A ．(－3，0) B ．(－4，0) C ．(－10，0)D ．(－5，0)解析：选D.因为圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1， 所以圆心坐标为(3，0)，所以c ＝3.又b ＝4， 所以a ＝b 2＋c 2＝5. 因为椭圆的焦点在x 轴上， 所以椭圆的左顶点为(－5，0)．2．(2018·新余模拟)椭圆C 的两个焦点分别是F 1，F 2，若C 上的点P 满足|PF 1|＝32|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是( ) A ．e ≤12B ．e ≥14C.14≤e ≤12D ．0<e ≤14或12≤e <1解析：选C.因为椭圆C 上的点P 满足|PF 1|＝32|F 1F 2|，所以|PF 1|＝32×2c ＝3c .由a －c ≤|PF 1|≤a ＋c ，解得14≤c a ≤12.所以椭圆C 的离心率e 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12. 3．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．8解析：选C.由椭圆x 24＋y 23＝1可得F (－1，0)，点O (0，0)，设P (x ，y )(－2≤x ≤2)，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，－2≤x ≤2， 当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6. 直线与椭圆的位置关系[典例引领](2017·高考北京卷)已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2，0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.【解】 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，解得c ＝ 3.所以b 2＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (m ，n )，则D (m ，0)，N (m ，－n )． 由题设知m ≠±2，且n ≠0.直线AM 的斜率k AM ＝nm ＋2，故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2n. 所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2n(x －m )． 直线BN 的方程为y ＝n2－m(x －2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－m ＋2n（x －m ），y ＝n2－m （x －2），解得点E 的纵坐标y E ＝－n （4－m 2）4－m 2＋n2.由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2，所以y E ＝－45n .又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝25|BD |·|n |，S △BDN ＝12|BD |·|n |，所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.(1)直线与椭圆位置关系判断的步骤 ①联立直线方程与椭圆方程；②消元得出关于x (或y )的一元二次方程；③当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离．(2)直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则 |AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2](k 为直线斜率，k ≠0)． 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，离心率为12，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)当△F 2AB 的面积为1227时，求直线的方程．解：(1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， 所以1a 2＋94b 2＝1.①又因为离心率为12，所以c a ＝12，所以b 2a 2＝34.②解①②得a 2＝4，b 2＝3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线的倾斜角为π2时，A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，32，B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32，S △ABF 2＝12|AB |·|F 1F 2|＝12×3×2＝3≠1227. 当直线的倾斜角不为π2时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)，代入x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以S △ABF 2＝12|y 1－y 2|×|F 1F 2|＝|k |（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝|k |⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 24k 2＋32－4·4k 2－124k 2＋3 ＝12|k |k 2＋14k 2＋3＝1227， 所以17k 4＋k 2－18＝0，解得k 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＝－1817舍去，所以k ＝±1，所以所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F 1F 2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法)．先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a 2，b 2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程．若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )与椭圆有关的最值问题，在转化为函数求最值时，一定注意函数的定义域． 易错防范(1)判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x 2与y 2的分母大小．(2)在解关于离心率e 的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e ∈(0，1)进行根的取舍，否则将产生增根．(3)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ，0<e <1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系． 1．已知椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的焦点在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选A.因为椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的焦点在x 轴上．所以⎩⎪⎨⎪⎧10－m >0，m －2>0，m －2>10－m ，解得6<m <10.因为焦距为4，所以c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8.2．(2018·湖北武汉模拟)已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( ) A.x 216＋y 27＝1B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1 D.x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝1 解析：选B.因为a ＝4，e ＝34，所以c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1.3．(2018·湖北八校联考)设F 1，F 2分别为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514B.513C.49D.59解析：选B.由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2.设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2，因为OM ⊥F 1F 2，所以PF 2⊥F 1F 2，所以|PF 2|＝b 2a ＝53.又因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，所以|PF 1|＝2a－|PF 2|＝133，所以|PF 2||PF 1|＝53×313＝513，故选B.4．(2018·湖南百校联盟联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点和上顶点分别为A 、B ，左焦点为F .以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于M 、N 两点．若四边形FAMN 是平行四边形，则该椭圆的离心率为( ) A.35 B.12 C.23D.34解析：选A.因为圆O 与直线BF 相切，所以圆O 的半径为bc a ，即OC ＝bc a，因为四边形FAMN是平行四边形，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 2，bc a ，代入椭圆方程得（a ＋c ）24a 2＋c 2b 2a 2b 2＝1，所以5e 2＋2e －3＝0，又0<e <1，所以e ＝35.故选A.5．设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 解析：选D.由题意可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，y ，因为PF 1的中垂线过点F 2，所以|F 1F 2|＝|F 2P |，即2c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －c 2＋y 2， 整理得y 2＝3c 2＋2a 2－a 4c2.因为y 2≥0，所以3c 2＋2a 2－a 4c2≥0，即3e 2－1e 2＋2≥0，解得e ≥33.所以e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1. 6．(2018·贵阳模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为4，则椭圆的标准方程为________． 解析：由题意可知e ＝c a ＝32，2b ＝4，得b ＝2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2＝4＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝4，c ＝23，所以椭圆的标准方程为x 216＋y 24＝1.答案：x 216＋y 24＝17．设F 1，F 2是椭圆x 249＋y 224＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为________．解析：因为|PF 1|＋|PF 2|＝14， 又|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3， 所以|PF 1|＝8，|PF 2|＝6. 因为|F 1F 2|＝10，所以PF 1⊥PF 2.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×8×6＝24.答案：248．(2018·海南海口模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－c ，0)，右顶点为A ，上顶点为B ，现过A 点作直线F 1B 的垂线，垂足为T ，若直线OT (O 为坐标原点)的斜率为－3bc，则该椭圆的离心率为________．解析：因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 和F 1点坐标分别为(a ，0)，(0，b )，(－c ，0)，所以直线BF 1的方程是y ＝b c x ＋b ，OT 的方程是y ＝－3b c x .联立解得T 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 4，3b 4，直线AT 的斜率为－3b 4a ＋c .由AT ⊥BF 1得，－3b 4a ＋c ·b c ＝－1，因为a 2＝b 2＋c 2，e ＝c a ，所以e ＝12.答案：129．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)；(2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5，3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝t 1或y 24＋x 23＝t 2(t 1，t 2＞0)，因为椭圆过点(2，－3)，所以t 1＝224＋（－3）23＝2，或t 2＝（－3）24＋223＝2512.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2254＝1. (2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b＞0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，（2c ）2＝52－32， 解得a ＝4，c ＝2，所以b 2＝12. 故椭圆方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1. 10．(2018·兰州市诊断考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)经过点(2，1)，且离心率为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON (O 为坐标原点)的斜率之积为－12.若动点P 满足OP →＝OM →＋2ON →，求点P 的轨迹方程．解：(1)因为e ＝22，所以b 2a 2＝12，又椭圆C 经过点(2，1)，所以2a 2＋1b2＝1，解得a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由OP →＝OM →＋2ON →得x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2， 因为点M ，N 在椭圆x 24＋y 22＝1上，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 1x 2＋4x 22)＋2(y 21＋4y 1y 2＋4y 22)＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM 与ON 的斜率，由题意知，k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以x 2＋2y 2＝20，故点P 的轨迹方程为x 220＋y 210＝1.1．(2017·高考全国卷Ⅰ)设A 、B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0，1]∪[9，＋∞) B ．(0，3]∪[9，＋∞) C ．(0，1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)解析：选A.依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧3m≥tan∠AMB 20<m <3或 ⎩⎪⎨⎪⎧m 3≥tan ∠AMB 2m >3，所以⎩⎪⎨⎪⎧3m≥tan 60°0<m <3或⎩⎪⎨⎪⎧m3≥tan 60°m >3，解得0<m ≤1或m ≥9.故选A. 2．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1，1)是一定点．则|PA |＋|PF |的最大值为________，最小值为________． 解析：如图所示，设椭圆右焦点为F 1，则|PF |＋|PF 1|＝6. 所以|PA |＋|PF |＝|PA |－|PF 1|＋6.利用－|AF 1|≤|PA |－|PF 1|≤|AF 1|(当P ，A ，F 1共线时等号成立)． 所以|PA |＋|PF |≤6＋2，|PA |＋|PF |≥6－ 2. 故|PA |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2. 答案：6＋ 2 6－ 23．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . (1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，c a＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴， 所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .① 由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28， 故a ＝7，b ＝27.4．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0，2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝2PB →. (1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围．解：(1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，可设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由题意知a ＝2，b ＝c ， 又a 2＝b 2＋c 2， 则b ＝2，所以椭圆的方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m .则(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0，Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)>0.由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk2＋k2x 1x 2＝m 2－42＋k2，又由AP →＝2PB →，即(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )， 得－x 1＝2x 2，故⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22，可得m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk 2＋k 22， 整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2， 又9m 2－4＝0时不符合题意， 所以k 2＝8－2m29m 2－4>0，解得49<m 2<4，此时Δ>0，解不等式49<m 2<4，得23<m <2或－2<m <－23， 所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2.。

１．直线的倾斜角（１）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.（２）范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π）．２．斜率公式（１）直线l的倾斜角为α错误!，则斜率k＝tan_α.（２）P１（x１，y１），P２（x２，y２）在直线l上，且x１≠x２，则l的斜率k＝错误!.３．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y—y0＝k（x—x0）不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式错误!＝错误!不含直线x＝x１（x１≠x２）和直线y＝y１（y１≠y２）截距式错误!＋错误!＝１不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0，A２＋B２≠0平面内所有直线都适用[小题体验]１．若过点M（—２，m），N（m,４）的直线的斜率等于１，则m的值为________．答案：１２．已知a≠0，直线ax＋my—５m＝0过点（—２,１），则此直线的斜率为________．答案：２３．已知三角形的三个顶点A（—５,0），B（３，—３），C（0,２），则BC边上中线所在的直线方程为________．解析：由已知，得BC的中点坐标为错误!，且直线BC边上的中线过点A，则BC边上中线的斜率k＝—错误!，故BC边上的中线所在直线方程为y＋错误!＝—错误!错误!，即x＋１３y＋５＝0．答案：x＋１３y＋５＝0４．已知直线l：ax＋y—２—a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________.解析：令x＝0，则l在y轴的截距为２＋a；令y＝0，得直线l在x轴上的截距为１＋错误!.依题意２＋a＝１＋错误!，解得a＝１或a＝—２．答案：１或—２１．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x，y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．２．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．３．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．[小题纠偏]１．若直线l经过点A（１,２），且倾斜角是直线y＝x＋３的倾斜角的２倍，则直线l的方程为____________．解析：因为直线y＝x＋３的倾斜角为α＝４５°，所以所求直线l的倾斜角为２α＝90°，所以直线l 的方程为x＝１．答案：x＝１２．过点M（３，—４），且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．解析：１若直线过原点，则k＝—错误!，所以y＝—错误!x，即４x＋３y＝0．２若直线不过原点．设错误!＋错误!＝１，即x＋y＝a.则a＝３＋（—４）＝—１，所以直线的方程为x＋y＋１＝0．答案：４x＋３y＝0或x＋y＋１＝0错误!错误![题组练透]１．（２0１9·启东中学检测）倾斜角为１３５°，在y轴上的截距为—１的直线方程是________．解析：直线的斜率为k＝tan １３５°＝—１，所以直线方程为y＝—x—１，即x＋y＋１＝0．答案：x＋y＋１＝0２．（２0１8·绥化一模）直线x sin α＋y＋２＝0的倾斜角的取值范围是________．解析：因为直线x sin α＋y＋２＝0的斜率k＝—sin α，又—１≤sin α≤１，所以—１≤k≤１．设直线x sin α＋y＋２＝0的倾斜角为θ，所以—１≤tan θ≤１，而θ∈[0，π），故倾斜角的取值范围是错误!∪错误!.答案：错误!∪错误!３．若点A（４,３），B（５，a），C（6,５）三点共线，则a的值为________．解析：因为k AC＝错误!＝１，k AB＝错误!＝a—３．由于A，B，C三点共线，所以a—３＝１，即a ＝４．答案：４４．已知线段P Q两端点的坐标分别为P（—１,１）和Q（２,２），若直线l：x＋my＋m＝0与线段P Q有交点，则实数m的取值范围是________．解析：如图所示，直线l：x＋my＋m＝0过定点A（0，—１），当m≠0时，k Q A＝错误!，k PA＝—２，k l＝—错误!.结合图象知，若直线l与P Q有交点，应满足—错误!≤—２或—错误!≥错误!.解得0＜m≤错误!或—错误!≤m＜0；当m＝0时，直线l的方程为x＝0，与线段P Q有交点．所以实数m的取值范围为错误!.答案：错误![谨记通法]１．倾斜角α与斜率k的关系当α∈错误!且由0增大到错误!错误!时，k的值由0增大到＋∞.当α∈错误!时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由错误!错误!增大到π（α≠π）时，k的值由—∞趋近于0（k≠0）．２．斜率的２种求法（１）定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率．（２）公式法：若已知直线上两点A（x１，y１），B（x２，y２），一般根据斜率公式k＝错误!（x１≠x）求斜率．２错误!错误![典例引领]（１）求过点A（１,３），斜率是直线y＝—４x的斜率的错误!的直线方程；（２）求经过点A（—５,２），且在x轴上的截距等于在y轴上截距的２倍的直线方程．解：（１）设所求直线的斜率为k，依题意k＝—４×错误!＝—错误!.又直线经过点A（１,３），因此所求直线方程为y—３＝—错误!（x—１），即４x＋３y—１３＝0．（２）当直线不过原点时，设所求直线方程为错误!＋错误!＝１，将（—５,２）代入所设方程，解得a＝—错误!，所以直线方程为x＋２y＋１＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则—５k＝２，解得k＝—错误!，所以直线方程为y＝—错误!x，即２x＋５y＝0．故所求直线方程为２x＋５y＝0或x＋２y＋１＝0．[由题悟法]求直线方程的２个注意点（１）在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．（２）对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用（若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零）．[即时应用]１．过点P（6，—２），且在x轴上的截距比在y轴上的截距大１的直线方程为________________．解析：设直线方程的截距式为错误!＋错误!＝１，则错误!＋错误!＝１，解得a＝２或a＝１，则直线方程为错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１，即２x＋３y—6＝0或x＋２y—２＝0．答案：２x＋３y—6＝0或x＋２y—２＝0２．在△ABC中，已知A（５，—２），B（7,３），且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则直线MN的方程为________________．解析：设C（x0，y0），则M错误!，N错误!.因为点M在y轴上，所以错误!＝0，所以x0＝—５．因为点N在x轴上，所以错误!＝0，所以y0＝—３，即C（—５，—３），所以M错误!，N（１,0），所以直线MN的方程为错误!＋错误!＝１，即５x—２y—５＝0．答案：５x—２y—５＝0错误!错误![锁定考向]直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．常见的命题角度有：（１）与基本不等式相结合的最值问题；（２）与导数的几何意义相结合的问题；（３）与圆相结合求直线方程的问题．[题点全练]角度一：与基本不等式相结合的最值问题１．（２0１9·如皋检测）过点P（２,１）的直线l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点．（１）当OA·OB最小时，求直线l的方程；（２）当２OA＋OB最小时，求直线l的方程．解：设直线l的方程为y—１＝k（x—２）（k＜0），则l与x轴，y轴正半轴分别交于A错误!，B（0,１—２k）两点．（１）OA·OB＝错误!·（１—２k）＝４＋（—４k）＋错误!≥４＋２错误!＝8，当且仅当—４k＝—错误!，即k＝—错误!时取得最小值8．故当OA·OB最小时，所求直线l的方程为y—１＝—错误!（x—２），即x＋２y—４＝0．（２）２OA＋OB＝２错误!＋（１—２k）＝５＋错误!＋（—２k）≥５＋２错误!＝9，当且仅当—错误!＝—２k，即k＝—１时取得最小值9．故当２OA＋OB最小时，所求直线l的方程为y—１＝—（x—２），即x＋y—３＝0．角度二：与导数的几何意义相结合的问题２．设P为曲线C：y＝x２＋２x＋３上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为错误!，则点P横坐标的取值范围为________．解析：由题意知y′＝２x＋２，设P（x0，y0），则k＝２x0＋２．因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为错误!，所以0≤k≤１，即0≤２x0＋２≤１，故—１≤x0≤—错误!.答案：错误!角度三：与圆相结合求直线方程的问题３．（２0１8·徐州调研）已知点P是圆O：x２＋y２＝４上的动点，点A（４,0），若直线y＝kx＋１上总存在点Q，使点Q恰是线段AP的中点，求实数k的取值范围．解：设P（２cos θ，２sin θ），则AP的中点坐标为Q（cos θ＋２，sin θ），因为点Q在直线y＝kx＋１上，所以sin θ＝k（cos θ＋２）＋１，即k＝错误!，即k表示单位圆上的点（cos θ，sin θ）与点（—２,１）连线的斜率．设过点（—２,１）的直线方程为y—１＝k（x＋２），若要满足题意，则圆心到直线kx—y＋２k＋１＝0的距离d＝错误!≤１，解得k∈错误!.[通法在握]处理直线方程综合应用的思路（１）含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．（２）求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．[演练冲关]１．已知直线l１：ax—２y＝２a—４，l２：２x＋a２y＝２a２＋４，当0＜a＜２时，直线l１，l２与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.解析：由已知画出简图，如图所示．因为l１：ax—２y＝２a—４，所以当x＝0时，y＝２—a，即直线l１与y轴交于点A（0,２—a）．因为l２：２x＋a２y＝２a２＋４，所以当y＝0时，x＝a２＋２，即直线l２与x轴交于点C（a２＋２,0）．易知l１与l２均过定点（２,２），即两直线相交于点B（２,２）．则四边形AOCB的面积为S＝S△AOB＋S△BOC＝错误!（２—a）×２＋错误!（a２＋２）×２＝错误!２＋错误!≥错误!.所以S min＝错误!，此时a＝错误!.答案：错误!２．已知点P在直线x＋３y—２＝0上，点Q在直线x＋３y＋6＝0上，线段P Q的中点为M（x0，y0），且y0＜x0＋２，求错误!的取值范围．解：依题意可得错误!＝错误!，化简得x0＋３y0＋２＝0，又y0＜x0＋２，k OM＝错误!，在坐标轴上作出两直线，如图，当点M位于线段AB（不包括端点）上时，k OM＞0，当点M位于射线BN上除B点外时，k OM＜—错误!.所以错误!的取值范围是错误!∪（0，＋∞）．一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·南通模拟）将直线y＝２x绕原点逆时针旋转错误!，则所得直线的斜率为________．解析：设直线y＝２x的倾斜角是α，则tan α＝２，将直线y＝２x绕原点逆时针旋转错误!，则倾斜角变为α＋错误!，∴所得直线的斜率k＝tan错误!＝错误!＝—３．答案：—３２．（２0１8·南通中学月考）过点P（—２,４）且斜率k＝３的直线l的方程为________．解析：由题意得，直线l的方程为y—４＝３[x—（—２）]，即３x—y＋１0＝0．答案：３x—y＋１0＝0３．若直线y＝—２x＋３k＋１４与直线x—４y＝—３k—２的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是________．解析：解方程组错误!得错误!因为直线y＝—２x＋３k＋１４与直线x—４y＝—３k—２的交点位于第四象限，所以k＋6＞0且k＋２＜0，所以—6＜k＜—２．答案：（—6，—２）４．（２0１8·南京名校联考）曲线y＝x３—x＋５上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ（θ∈[0，π）），因为y′＝３x２—１≥—１，所以tan θ≥—１，结合正切函数的图象可知，θ的取值范围为错误!∪错误!.答案：错误!∪错误!５．（２0１9·无锡模拟）已知直线（a—２）y＝（３a—１）x—１，若这条直线不经过第二象限，则实数a的取值范围是________．解析：若a—２＝0，即a＝２时，直线方程可化为x＝错误!，此时直线不经过第二象限，满足条件；若a—２≠0，直线方程可化为y＝错误!x—错误!，此时若直线不经过第二象限，则错误!≥0，错误!≥0，解得a＞２．综上，满足条件的实数a的取值范围是[２，＋∞）．答案：[２，＋∞）6．（２0１8·南京调研）已知函数f（x）＝a sin x—b cos x，若f错误!＝f错误!，则直线ax—by＋c＝0的倾斜角为________．解析：由f错误!＝f错误!知函数f（x）的图象关于直线x＝错误!对称，所以f（0）＝f错误!，所以—b＝a，则直线ax—by＋c＝0的斜率为错误!＝—１，故其倾斜角为错误!.答案：错误!二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１9·泰州模拟）倾斜角为１２0°，在x轴上的截距为—１的直线方程是________．解析：由于倾斜角为１２0°，故斜率k＝—错误!.又直线过点（—１,0），所以直线方程为y＝—错误!（x＋１），即错误!x＋y＋错误!＝0．答案：错误!x＋y＋错误!＝0２．（２0１8·泗阳中学检测）若直线l与直线y＝１，x＝7分别交于点P，Q，且线段P Q的中点坐标为（１，—１），则直线l的斜率为________．解析：设P（x,１），Q（7，y），则错误!＝１，错误!＝—１，所以x＝—５，y＝—３，即P（—５,１），Q（7，—３），故直线l的斜率k＝错误!＝—错误!.答案：—错误!３．（２0１9·苏州调研）已知θ∈R，则直线x sin θ—错误!y＋１＝0的倾斜角的取值范围是________．解析：设直线的倾斜角为α，则tan α＝错误!sin θ，∵—１≤sin θ≤１，∴—错误!≤tan α≤错误!，又α∈[0，π），∴0≤α≤错误!或错误!≤α＜π.答案：错误!∪错误!４．已知两点A（0,１），B（１,0），若直线y＝k（x＋１）与线段AB总有公共点，则实数k的取值范围是________．解析：y＝k（x＋１）是过定点P（—１,0）的直线，k PB＝0，k PA＝错误!＝１，所以实数k的取值范围是[0,１]．答案：[0,１]５．已知点P（x，y）在直线x＋y—４＝0上，则x２＋y２的最小值是________．解析：因为点P（x，y）在直线x＋y—４＝0上，所以y＝４—x，所以x２＋y２＝x２＋（４—x）２＝２（x—２）２＋8，当x＝２时，x２＋y２取得最小值8．答案：86．（２0１9·南京模拟）过点P（２,３）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________________．解析：若直线的截距不为0，可设为错误!＋错误!＝１，把P（２,３）代入，得错误!＋错误!＝１，a ＝５，直线方程为x＋y—５＝0．若直线的截距为0，可设为y＝kx，把P（２,３）代入，得３＝２k，k＝错误!，直线方程为３x—２y ＝0．综上，所求直线方程为x＋y—５＝0或３x—２y＝0．答案：x＋y—５＝0或３x—２y＝07．已知直线l：y＝kx＋１与两点A（—１,５），B（４，—２），若直线l与线段AB相交，则实数k 的取值范围是______________．解析：易知直线l：y＝kx＋１的方程恒过点P（0,１），如图，∵k PA＝—４，k PB＝—错误!，∴实数k的取值范围是（—∞，—４]∪错误!.答案：（—∞，—４]∪错误!8．若直线l：错误!＋错误!＝１（a＞0，b＞0）经过点（１,２），则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是________．解析：由直线l：错误!＋错误!＝１（a＞0，b＞0）可知直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b.求直线在x轴和y轴上的截距之和的最小值，即求a＋b的最小值．由直线经过点（１,２）得错误!＋错误!＝１．于是a＋b＝（a＋b）·错误!＝３＋错误!＋错误!，因为错误!＋错误!≥２错误!＝２错误!错误!，所以a＋b≥３＋２错误!，故直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值为３＋２错误!.答案：３＋２错误!9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为３，分别求满足下列条件的直线l 的方程：（１）过定点A（—３,４）；（２）斜率为错误!.解：（１）设直线l的方程为y＝k（x＋３）＋４，它在x轴，y轴上的截距分别是—错误!—３,３k＋４，由已知，得（３k＋４）错误!＝±6，解得k１＝—错误!或k２＝—错误!.故直线l的方程为２x＋３y—6＝0或8x＋３y＋１２＝0．（２）设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝错误!x＋b，它在x轴上的截距是—6b，由已知，得|—6b·b|＝6，所以b＝±１．所以直线l的方程为x—6y＋6＝0或x—6y—6＝0．１0．已知直线l的方程为（m２—２m—３）x＋（２m２＋m—１）y＋6—２m＝0．（１）求实数m的取值范围；（２）若直线l的斜率不存在，求实数m的值；（３）若直线l在x轴上的截距为—３，求实数m的值；（４）若直线l的倾斜角是４５°，求实数m的值．解：（１）当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令m２—２m—３＝0，解得m＝—１或m＝３；令２m２＋m—１＝0，解得m＝—１或m＝错误!.所以实数m的取值范围是（—∞，—１）∪（—１，＋∞）．（２）由（１）易知，当m＝错误!时，方程表示的直线的斜率不存在．（３）依题意，有错误!＝—３，所以３m２—４m—１５＝0，所以m＝３或m＝—错误!，由（１）知所求m＝—错误!.（４）因为直线l的倾斜角是４５°，所以斜率为１．由—错误!＝１，解得m＝错误!或m＝—１（舍去）．所以直线l的倾斜角为４５°时，m＝错误!.三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．（２0１8·无锡期末）过点（２,３）的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB（O为坐标原点）面积最小时，直线l的方程为________________．解析：设直线l的斜率为k，且k＜0，所以直线l的方程为y—３＝k（x—２），即kx—y＋３—２k ＝0．令x＝0，得y＝３—２k，所以B（0，３—２k）；令y＝0，得x＝２—错误!，所以A错误!.则△AOB 的面积为S＝错误!（３—２k）错误!＝错误!错误!≥错误!错误!＝１２，当且仅当—错误!＝—４k，即k＝—错误!时等号成立，所以直线l的方程为３x＋２y—１２＝0．答案：３x＋２y—１２＝0２．已知曲线y＝错误!，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y′＝错误!＝错误!，因为e x＞0，所以e x＋错误!≥２错误!＝２（当且仅当e x＝错误!，即x＝0时取等号），所以e x＋错误!＋２≥４，故y′＝错误!≥—错误!（当且仅当x＝0时取等号）．所以当x＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为错误!，切线的方程为y—错误!＝—错误!（x—0），即x＋４y—２＝0．该切线在x轴上的截距为２，在y轴上的截距为错误!，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S＝错误!×２×错误!＝错误!.答案：错误!３．已知直线l：kx—y＋１＋２k＝0（k∈R）．（１）证明：直线l过定点；（２）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（３）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．解：（１）证明：直线l的方程可化为y＝k（x＋２）＋１，故无论k取何值，直线l总过定点（—２,１）．（２）直线l的方程为y＝kx＋２k＋１，则直线l在y轴上的截距为２k＋１，要使直线l不经过第四象限，则错误!解得k≥0，故k的取值范围是错误!.（３）依题意，直线l在x轴上的截距为—错误!，在y轴上的截距为１＋２k，所以A错误!，B（0,１＋２k）．又—错误!＜0且１＋２k＞0，所以k＞0．故S＝错误!|OA||OB|＝错误!×错误!×（１＋２k）＝错误!错误!≥错误!（４＋４）＝４，当且仅当４k＝错误!，即k＝错误!时，取等号．故S的最小值为４，此时直线l的方程为x—２y＋４＝0．。

专题9.3 椭圆（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】一．椭圆的定义及其应用1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)代数式形式：集合①若，则集合P为椭圆；1212P={M||MF|+|MF|=2a|FF|=2c.}a c>②若，则集合P 为线段； ③若，则集合P 为空集．2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，二．椭圆的标准方程 1. 椭圆的标准方程：（1）焦点在轴，；（2）焦点在轴，.2．满足条件：三．椭圆的几何性质椭圆的标准方程及其几何性质条件图形标准方程范围对称性曲线关于轴、原点对称 曲线关于轴、原点对称 顶点 长轴顶点 ,短轴顶点长轴顶点 ,轴顶点焦点a c =a c <x 2222=1(a>b>0)x y ab +y 2222=1(a>b>0)y x a b+x 2222+=1(a>b>0)x y a by 2222y +=1(a>b>0)x a b22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞2222+=1(a>b>0)x y a b 2222y +=1(a>b>0)x a bx a y b ≤≤,x b y a ≤≤,,x y ,x y (),0a ±()0,b ±()0,a ±(),0b ±(),0c ±()0,c ±焦距离心率，其中通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为四．直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆位置关系的判断(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y ，整理得到关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系． 2．直线与椭圆的相交长问题：（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或 （2）弦中点问题，适用“点差法”. （3）椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM ＝22b a-，即k AB ＝2020b x a y -.【常考题型剖析】题型一：椭圆的定义及其应用例1.（2021·全国高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答222122()F F c c a b -＝＝() 0,1ce a∈＝c ＝22a b -22b a1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-2222+=1(a>b>0)x y a b案． 【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ．例2. （2021·全国）已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，P 为椭圆C 上一动点，定点(2,4)A ，则||||PA PF -的最小值为（ ） A ．1 B ．－1 C 17 D ．17-【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为F '，得到||4PF PF '=-，得出||||||4PA PF PA PF '-=+-，结合图象，得到当且仅当P ，A ，F '三点共线时，||PA PF '+取得最小值，即可求解.【详解】设椭圆的左焦点为F '，则||4PF PF '+=，可得||4PF PF '=-， 所以||||||4PA PF PA PF '-=+-，如图所示，当且仅当P ，A ，F '三点共线（点P 在线段AF '上）时， 此时||PA PF '+取得最小值，又由椭圆22:143x y C +=，可得(1,0)F '-且(2,4)A ，所以2(21)165AF '=++=，所以||||PA PF -的最小值为1． 故选：A ．例3.（2023·全国·高三专题练习）已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅12，则12F PF △的面积为（ ）A ．33B ．3C 3D ．9【答案】A【分析】由已知可得12F PF ∠，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解. 【详解】因为121212121212cos 1cos 2PF PF F PF PF PF F PF PF PF PF PF ⋅∠⋅==∠=⋅⋅，120F PF π∠≤≤所以123F PF π∠=，又224c a b =-=记12,PF m PF n ==，则222464210m n mn c m n a ⎧+-==⋅⋅⋅⎨+==⋅⋅⋅⎩①②，②2-①整理得：12mn =，所以12113sin 12332322F PF S mn π==⨯⨯= 故选：A【规律方法】1.应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2.2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.3.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 题型二：椭圆的标准方程例4.（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（ ）A ．2211816x y +=B ．22198x yC ．22132x y +=D ．2212x y +=【答案】B【分析】根据离心率及12=1⋅-BA BA ，解得关于22,a b 的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率22113c b e a a ==-=，解得2289b a =，2289=b a ，12,A A 分别为C 的左右顶点，则()()12,0,,0A a A a -，B 为上顶点，所以(0,)B b .所以12(,),(,)=--=-BA a b BA a b ，因为121BA BA ⋅=-所以221-+=-a b ，将2289=b a 代入，解得229,8a b ==，故椭圆的方程为22198x y .12F PF △⎧⎪⎨⎪⎩定义式的平方余弦定理面积公式2212222121212(2a)212S θθ∆⎧⎪=⎪=-⋅⎨⎪⎪=⋅⎩⇔（|PF|+|PF|）(2c)|PF|+|PF||PF||PF|cos |PF||PF|sin故选：B.例5.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（ ）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得3n =． 22224233312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．22224233,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 例6.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）点1F ，2F 为椭圆C 的两个焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则椭圆C 方程可以是（ ）A ．221259x y +=B ．2212516x y +=C ．221189x y +=D ．221169x y +=【答案】AC【分析】设椭圆上顶点为B ，由题满足1290F BF ∠≥︒，即2221212BF BF F F +≤，可得222a b ≥，即可得出答案.【详解】设椭圆方程为22221x y a b+=()0a b >>，设椭圆上顶点为B ，椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒， 则需1290F BF ∠≥︒， 2221212BF BF F F ∴+≤，即2224a a c +≤，222c a b =-，222424a a b -≤， 则222a b ≥，所以选项AC 满足. 故选：AC. 【总结提升】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是： (1)作判断：根据条件判断焦点的位置．(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为 ． (3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组． (4)求解，得方程．2．(1)方程与有相同的离心率．(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便． 题型三：椭圆的几何性质例7.（2022·全国·高考真题（理））椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A 3B 2C ．12D ．13【答案】A【分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b+=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.221mx ny ＋＝(0)0m n m n ≠＞，＞且a b c m n 、、或、2222y +=1x a b 2222y +=(>0)x a bλλ2222+=1(a>b>0)x y a b 22222+=1(a>b>0,0)x y b k a k b k+>++【详解】解：(),0A a -， 设()11,P x y ，则()11,Q x y -， 则1111,AP AQ y y k k x a x a==+-+， 故21112211114AP AQy y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+， 又2211221x y a b +=，则()2221212b a x y a-=， 所以()2221222114b a x a x a -=-+，即2214b a =， 所以椭圆C 的离心率22312c b e a a ==-=. 故选：A .例8.（2023·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点.5M 为蒙日圆上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若MPQ 面积的最大值为36，则椭圆C 的长轴长为（ ） A ．25B ．45C ．3D ．43【答案】B【分析】利用椭圆的离心率可得5a c =，分析可知PQ 为圆2223x y b +=的一条直径，利用勾股定理得出222236MP MQ PQ c +==，再利用基本不等式即可求即解【详解】因为椭圆C 的离心率55c e a ==，所以5a c =. 因为222a b c =+，所以2b c =，所以椭圆C 的蒙日圆的半径为223a b c +=. 因为MP MQ ⊥，所以PQ 为蒙日圆的直径， 所以6PQ c =，所以222236MP MQ PQ c +==. 因为222182MP MQMP MQ c +⋅≤=，当32MP MQ c ==时，等号成立， 所以MPQ 面积的最大值为：2192MP MQ c ⋅=.由MPQ 面积的最大值为36，得2936c =，得2c =，进而有24b c ==，25a =， 故椭圆C 的长轴长为45. 故选：B例9.（2018·全国·高考真题（文））已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C 2D 22【答案】C【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为()20，，从而求得2c =，再根据题中所给的方程中系数，可以得到24b =，利用椭圆中对应,,a b c 的关系，求得22a =，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.详解：根据题意，可知2c =，因为24b =， 所以2228a b c =+=，即22a =， 所以椭圆C 的离心率为22222e ==，故选C. 例10.（2022·四川成都·高三期末（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，以坐标原点O 为圆心，线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ．若122AF AF ≤，则椭圆C 的离心率的取值范围为______． 【答案】25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【分析】根据题意可得1290F AF ∠=，且c b >，再根据焦点三角形中的关系表达出离心率，结合函数的单调性求解即可【详解】由题意，因为线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ． 故半径1OF b >,即 c b >，且1290F AF ∠=.又离心率()22212121212121212222AFAF AF AF AF AF F F c c a a AF AF AF AF AF AF +-⋅+====+++()12212122122112AF AF AF AF AFAF AF AF ⋅=-=-+++，因为122AF AF ≤，结合题意有1212AF AF <≤， 设12AF t AF =，则2112c a t t=-++，易得对勾函数12y t t =++在(]1,2上单调递增， 故2112y t t=-++在(]1,2上单调递增， 故2221111111222212t t -<-≤-++++++，即2523c a <≤故答案为：25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【总结提升】1.关于椭圆几何性质的考查，主要有四类问题，一是考查椭圆中的基本量a ，b ，c ；二是考查椭圆的离心率；三是考查离心率发最值或范围；四是其它综合应用.2.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a －c )，过焦点垂直于长轴的通径长为等．(2)设椭圆上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P 在短轴端点处；当x ＝a 时，|OP |有最大值a ，这时P 在长轴端点处．(3)椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2. 3．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．4.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建2222e?b b c a =2222+=1(a>b>0)x y a b立关于参数c 、a 、b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用.题型四：直线与椭圆的位置关系例11.（2022·全国·高三专题练习）椭圆2214x y +=，则该椭圆所有斜率为12的弦的中点的轨迹方程为_________________． 【答案】2xy =-()22-<<x 【分析】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法可得答案. 【详解】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ， 设中点坐标为(),x y ，则211221121,,222y y x xy y x y x x -++=-==-， 所以221122221414⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式相减可得()()()()12221214+=-+-x x x x y y y y ，()()22121124-+-=+x x y y y y x x ，即2xy =-，由于在椭圆内部，由221412⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x y y x b得22102++-=x bx b ，所以()22210∆=--=b b 时，即2b =±直线与椭圆相切，此时由22102±+=x x 解得2x =或2x =-，所以22x -<<， 所求得轨迹方程为2xy =-()22-<<x ． 故答案为：2xy =-()22-<<x ． 例12.（2022·北京八中高三阶段练习）已知P 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上任意一点，12,F F 为左､右焦点，M 为1PF 中点.如图所示：若1122OM PF +=，离心率3e = 22 ,1c b e e a a=-＝(1)求椭圆E 的标准方程； (2)已知直线l 经过11,2且斜率为12与椭圆交于,A B 两点，求弦长AB 的值.【答案】(1)2214x y +=(2)5【分析】（1）由题意可得21||||2OM PF =结合1122OM PF +=求得a ，继而求得b ，即可得椭圆方程； （2）写出直线l 的方程，联立椭圆方程，可求得交点坐标，从而求得弦长. （1）由题意知，M 为1PF 中点，O 为12F F 的中点，故21||||2OM PF =, 又 1122OM PF +=，故121()22PF PF +=，即124PF PF +=，所以24,2a a == ， 又因为32e =，故3c =，所以2221b a c =-= ， 故椭圆E 的标准方程为2214x y += ；（2）由直线l 经过11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为12可知直线方程为11(1)22y x =+-，即112y x =+，联立2214x y +=，消去y 可得220x x += ，解得120,2x x ==- ，则,A B 两点不妨取为(0,1),(2,0)-， 故22215AB =+=.例13.（2022·天津·高考真题）椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足3BF AB=(1)求椭圆的离心率e ；(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若=OM ON ，且OMN 3 【答案】(1)63e =(2)22162x y +=【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；（2）由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，设直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程与椭圆方程联立，由0∆=可得出()222313m a k =+，求出点M 的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得2a 的值，即可得出椭圆的方程.（1）解：()2222222222234332BF b c aa b a a b AB b a b a+===⇒=+⇒=++，离心率为22263c a b e a a -===. （2）解：由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，联立2223y kx mx y a=+⎧⎨+=⎩得()()222213630k x kmx m a +++-=，由()()()222222223641330313k m k m a m a k ∆=-+-=⇒=+，①2331M kmx k =-+，213M Mm y kx m k =+=+，由=OM ON 可得()()222229131m k m k+=+，②由3OMN S =可得2313213km m k⋅=+，③联立①②③可得213k =，24m =，26a =，故椭圆的标准方程为22162x y +=． 【规律方法】一.涉及直线与椭圆的基本题型有： 1.位置关系的判断2.弦长、弦中点问题.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点； (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率． 3.轨迹问题4.定值、最值及参数范围问题5.存在性问题二．常用思想方法和技巧有：1.设而不求；2.坐标法；3.根与系数关系.三. 若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或 题型五：椭圆与圆的相关问题例14. （2019·天津·高考真题（文）） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .3|2||OA OB =（O 为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【答案】（I ）12；（II ）2211612x y +=.【分析】（I ）根据题意得到32a b =，结合椭圆中,,a b c 的关系，得到2223()2a a c =+，化简得出12c a =，从而求得其离心率；（II ）结合（I ）的结论，设出椭圆的方程2222143x y c c +=，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得2c =，从而得到椭圆的方程. 【详解】（I ）解：设椭圆的半焦距为c ，由已知有32a b =， 又由222a b c =+，消去b 得2223()2a a c =+，解得12c a =，所以，椭圆的离心率为12.（II ）解：由（I ）知，2,3a c b c ==，故椭圆方程为2222143x y c c +=，由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7cx c x ==-， 代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-，因为点P 在x 轴的上方，所以3(,)2P c c ，1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-由圆心在直线4x =上，可设(4,)C t ，因为OC AP ∥，且由（I ）知(2,0)A c -，故3242ct c c =+，解得2t =， 因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆C 与l 相切，得23(4)24231()4c +-=+，解得2c =， 所以椭圆的方程为：2211612x y +=.【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.例15.（陕西高考真题）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为． （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．【答案】；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）过点的直线方程为， 则原点到直线的距离， 由，得，解得离心率. :E 22221x y a b+=0a b >>c O (),0c ()0,b 12c E AB :M ()()225212x y ++-=E A B E 3221123x y +=()(),0,0,c b 0bx cy bc +-=O 22bcd ab c ==+12d c =2222a b a c ==-32c e a ==（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为. 依题意，圆心是线段的中点，且. 易知，不与轴垂直.设其直线方程为，代入（1）得.设，则，.由，得，解得. 从而.于是.由.故椭圆的方程为.例16.（2021·山东·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知点1(6,0)F -，2(6,0)F ，动点M 满足1243MF MF +=M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)圆224x y +=的切线与C 相交于A ，B 两点，P 为切点，求||||PA PB ⋅的值．【答案】(1)221126x y +=(2)||||4PA PB ⋅=【分析】（1）结合椭圆的定义求得,,a b c ，由此求得C 的方程.（2）当直线AB 斜率不存在时，求得,PA PB ，从而求得PA PB ⋅；当直线AB 斜率存在时，设出直线AB 的方程，根据直线和圆的位置关系列方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，求得0OA OB ⋅=，由此判断出90AOB ∠=︒，结合相似三角形求得PA PB ⋅.E 22244x y b +=()2,1M -AB 10AB =AB x ()21y k x =++()()()22221482142140k x k k x k b +++++-=()()1122,,,A x y B x y ()12282114k k x x k++=-+()22122421414k b x x k+-=-+124x x +=-()2821=414k k k +--+12k =21282x x b =-()()222121212151410222AB x x x x x b ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭10AB ()210210b -=23b =E 221123x y +=（1）为12124326MF MF F F +=>=，所以点M 的轨迹曲线C 是以1F ，2F 为焦点的椭圆．设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则243a =，226a b -=，解得23a =，6b =，所以曲线C 的方程为221126x y +=．（2）当直线AB 的斜率不存在时，(2,0)P ±，此时||||2PA PB ==，则||||4PA PB ⋅=． 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+， 由直线AB 与圆224x y +=相切可得2||21m k =+，化简得()2241m k =+．联立22,1,126y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222142120k x kmx m +++-=，0∆>．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122421km x x k -+=+，212221221m x x k -=+，所以1212OA OB x x y y ⋅=+()()2212121k x x km x x m =++++()()2222222121242121km k mm k k +-=-+++()222312121m k k -+=+()()222121121021k k k +-+==+，所以90AOB ∠=︒，所以AOB 为直角三角形．由OP AB ⊥，可得AOP OBP ∽△△， 所以||||||||PA OP OP PB =，所以2||||||4PA PB OP ⋅==． 综上，||||4PA PB ⋅=． 【总结提升】从高考命题看，与椭圆、圆相结合问题，一般涉及到圆的方程（圆心、半径）、直线与圆的位置关系（相切、相交）、点到直线的距离、直线方程等.。

【2019最新】精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-5椭圆教师用书理苏教1.椭圆的概念平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质点P(x0，y0)和椭圆的关系 (1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1. (2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1. (3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆.( × ) (2)椭圆上一点P 与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a ＋2c(其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距).( √ )(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆.( × )(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.( √ ) (5)＋＝1(a≠b)表示焦点在y 轴上的椭圆.( × ) (6)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等.( √ ) 1.(教材改编)椭圆＋＝1的焦距为4，则m ＝________. 答案 4或8 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧10－m>m －2>0，－－－＝4或⎩⎪⎨⎪⎧m －2>10－m>0，－－－m ＝4，解得m ＝4或m ＝8.2.(2016·苏州检测)在平面直角坐标系xOy 内，动点P 到定点F(－1,0)的距离与P 到定直线x ＝－4的距离的比值为.则动点P 的轨迹C 的方程为______________. 答案 ＋＝1解析 设点P(x ，y)，由题意知＝， 化简得3x2＋4y2＝12，所以动点P 的轨迹C 的方程为＋＝1.3.(2016·全国乙卷改编)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为________.答案12解析 如图，由题意得，BF ＝a ，OF ＝c ，OB ＝b ，OD ＝·2b＝b.在Rt△FOB 中，OF·OB＝BF·OD，即cb ＝a·b， 解得a ＝2c ，故椭圆离心率e ＝＝.4.如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是________. 答案 (0,1)解析 将椭圆方程化为＋＝1，因为焦点在y 轴上，则>2，即k<1，又k>0，所以0<k<1. 5.(教材改编)已知点P 是椭圆＋＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为__________________. 答案 或⎝⎛⎭⎪⎫152，－1 解析 设P(x ，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入＋＝1，得x ＝±，又x>0，所以x ＝，所以P 点坐标为或. 题型一 椭圆的定义及标准方程 命题点1 利用定义求轨迹例1 (2016·徐州模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是________. 答案 椭圆解析 由条件知PM ＝PF ， ∴PO＋PF ＝PO ＋PM ＝OM ＝R>OF.∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆. 命题点2 利用待定系数法求椭圆方程例2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为_________________________________.(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则椭圆的方程为________________________________________. 答案 (1)＋y2＝1或＋＝1 (2)＋＝1解析 (1)若焦点在x 轴上， 设方程为＋＝1(a>b>0).∵椭圆过P(3,0)，∴＋＝1，即a ＝3，又2a ＝3×2b，∴b＝1，∴椭圆方程为＋y2＝1. 若焦点在y 轴上，设方程为＋＝1(a>b>0). ∵椭圆过点P(3,0)，∴＋＝1，即b ＝3. 又2a ＝3×2b，∴a＝9，∴椭圆方程为＋＝1. ∴所求椭圆的方程为＋y2＝1或＋＝1.(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n). ∵椭圆经过点P1，P2，∴点P1，P2的坐标适合椭圆方程.即⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1，①3m ＋2n ＝1，②①②两式联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为＋＝1.命题点3 利用定义解决“焦点三角形”问题例3 已知F1，F2是椭圆C ：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b ＝________. 答案 3解析 设PF1＝r1，PF2＝r2，则⎩⎪⎨⎪⎧r1＋r2＝2a ，r21＋r22＝4c2，因为2r1r2＝(r1＋r2)2－(r ＋r) ＝4a2－4c2＝4b2，又因为1221219,2PF F S rr b ===△ 所以b ＝3. 引申探究1.在例3中，若增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程. 解 由原题得b2＝a2－c2＝9， 又2a ＋2c ＝18，所以a －c ＝1，解得a ＝5， 故椭圆方程为＋＝1.2.在例3中，若将条件“⊥”“△PF1F2的面积为9”分别改为“∠F1PF2＝60°”“”，结果如何？12PF F S =△解 PF1＋PF2＝2a ，又∠F1PF2＝60°， 所以PF ＋PF －2PF1·PF2cos 60° ＝F1F ，即(PF1＋PF2)2－3PF1·PF2＝4c2， 所以3PF1·PF2＝4a2－4c2＝4b2， 所以PF1·PF2＝b2，又因为12121··sin 602PF F S PF PF =︒△ ＝·b2·32＝b2＝3， 所以b ＝3.思维升华 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>F1F2这一条件.(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式.(3)当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求PF1·PF2；通过整体代入可求其面积等.(1)(2016·盐城模拟)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________.(2)(2016·镇江模拟)设F1、F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是______.答案(1)＋＝1 (2)1解析(1)设圆M的半径为r，则MC1＋MC2＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝C1C2，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且 2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为＋＝1.(2)∵(＋)·＝(＋)·＝·＝0，∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.设PF1＝m，PF2＝n，则m＋n＝4，m2＋n2＝12,2mn＝4，题型二椭圆的几何性质例4 (1)已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左，右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是________.(2)(2016·全国丙卷改编)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为椭圆C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为________.答案(1)2 (2)13解析(1)设P(x0，y0)，则＝(－1－x0，－y0)，→＝(1－x0，－y0)，∴＋＝(－2x0，－2y0)，PF2∴|＋|＝4x20＋4y20＝22－2y20＋y20＝2.∵点P在椭圆上，∴0≤y≤1，∴当y＝1时，|＋|取最小值2.(2)设M(－c，m)，则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M三点共线，所以＝，a＝3c，e＝.思维升华(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧①注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系.②利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系.(2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围.(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________.解析联立方程组解得B，C两点坐标为B，C，又F(c,0)，则＝，＝，又由∠BFC＝90°，可得·＝0，代入坐标可得c2－a2＋＝0，①又因为b2＝a2－c2.代入①式可化简为＝，则椭圆离心率为e＝＝＝.题型三直线与椭圆例5 (2016·天津)设椭圆＋＝1(a>)的右焦点为F，右顶点为A.已知＋＝，其中O 为原点，e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程；(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围.解(1)设F(c,0)，由＋＝，即＋＝，可得a2－c2＝3c2.又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4.所以椭圆的方程为＋＝1.(2)设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y＝k(x－2).设B(xB，yB)，由方程组消去y，整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0，解得x＝2或x＝.由题意，得xB＝，从而yB＝.由(1)知，F(1,0)，设H(0，yH)，有＝(－1，yH)，＝.由BF⊥HF，得·＝0， 所以＋＝0，解得yH ＝.因此直线MH 的方程为y ＝－x ＋. 设M(xM ，yM)，由方程组消去y ， 解得xM ＝.在△MAO 中，∠MOA≤∠MAO ⇔MA≤MO， 即(xM －2)2＋y≤x＋y ， 化简得xM≥1，即≥1， 解得k≤－或k≥.所以直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－64∪.思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB ＝＋＋－4x1x2]＝ (k 为直线斜率).提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.如图，已知椭圆O ：＋y2＝1的右焦点为F ，B ，C 分别为椭圆O 的上，下顶点，P 是直线l ：y ＝－2上的一个动点(与y 轴交点除外)，直线PC 交椭圆O 于另一点M.(1)当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，求△FBM 的面积；(2)①记直线BM ，BP 的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值； ②求·的取值范围.(1)解 由题意知B(0,1)，C(0，－1)，焦点F(，0)，当直线PM 过椭圆O 的右焦点F时，直线PM的方程为＋＝1，即y＝x－1.联立解得或(舍去)，即点M的坐标为(，).连结BF，则直线BF的方程为＋＝1，即x＋y－＝0.又BF＝a＝2，点M到直线BF的距离为d＝＝＝，故△FBM的面积为S△MBF＝·BF·d＝×2×＝.(2)方法一①证明设P(m，－2)，且m≠0，则直线PM的斜率为k＝＝－，则直线PM的方程为y＝－x－1.联立消去y，得(1＋)x2＋x＝0，解得点M的坐标为(－，)，所以k1＝＝＝m，k2＝＝－，所以k1·k2＝－·m＝－为定值.②解由①知，＝(－m,3)，→＝(－－m，＋2)PM＝(，)，所以·＝(－m,3)·(－，)＝.令m2＋4＝t>4，则·＝＋－t＝＝t－＋7.因为y＝t－＋7在t∈(4，＋∞)上单调递增，所以·＝t－＋7>4－＋7＝9，故·的取值范围为(9，＋∞).方法二①证明设点M的坐标为(x0，y0)(x0≠0)，则直线PM的方程为y＝x－1，令y＝－2，得点P的坐标为(－，－2)，所以k1＝，k2＝＝，所以k1·k2＝·＝20－x20＝＝－为定值.②解由①知，＝(，3)，＝(x0＋，y0＋2)，所以·＝(x0＋)＋3(y0＋2)＝＋3(y0＋2)＝＋3(y0＋2)＝.令t＝y0＋1∈(0,2)，则·＝＝－t＋＋7.因为y＝－t＋＋7在t∈(0,2)上单调递减，所以·＝－t＋＋7>－2＋＋7＝9，故·的取值范围为(9，＋∞).8.高考中求椭圆的离心率问题考点分析离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.典例1 (2015·福建改编)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若AF＋BF＝4，点M到直线l 的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是__________.解析左焦点F0，连结F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.∵AF＋BF ＝4， ∴AF＋AF0＝4， ∴a＝2.设M(0，b)，则≥，∴1≤b＜2. 离心率e ＝＝＝ ＝ ∈.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32典例2 (14分)(2016·浙江)如图，设椭圆＋y2＝1(a ＞1). (1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围. 规范解答解 (1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AM ， 由得(1＋a2k2)x2＋2a2kx ＝0， 故x1＝0，x2＝－， 因此AM ＝|x1－x2|＝·.[6分](2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足AP ＝AQ.记直线AP ，AQ 的斜率分别为k1，k2， 且k1，k2＞0，k1≠k2. [8分]由(1)知AP ＝，AQ ＝， 故＝，所以(k －k)[1＋k ＋k ＋a2(2－a2)kk]＝0.由k1≠k2，k1，k2＞0，得1＋k ＋k ＋a2(2－a2)kk ＝0， 因此＝1＋a2(a2－2)，① 因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1＋a2(a2－2)＞1，所以a ＞. [12分]因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a≤，由e＝＝，得0<e≤.所以离心率的取值范围是(0，]. [14分]1.(2016·苏北四市联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为____________.答案＋＝1解析依题意，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c＝1，又离心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1.2.(2016·苏北四市一模)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，点A、B1、B2、F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点.若直线AB2与直线B1F的交点恰在直线x＝上，则椭圆的离心率为________.答案12解析由题意知直线AB2：－＋＝1，直线B1F：－＝1，联立解得x＝，若交点在椭圆的右准线上，则＝，即2c2＋ac－a2＝0，所以2e2＋e－1＝0，解得e＝.3.(2017·青岛月考)已知A1，A2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右顶点，P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，若直线PA1，PA2的斜率的乘积为－，则椭圆C的离心率为________.答案53解析设P(x0，y0)，则·＝－，化简得＋＝1，则＝，e＝＝＝.4.(2016·南昌模拟)已知椭圆：＋x2＝1，过点P(，)的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为________________.答案9x＋y－5＝0解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A ，B 在椭圆＋x2＝1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧y219＋x21＝1，y229＋x22＝1，两式相减，得＋x －x ＝0， 即＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0， 又弦AB 被点P(，)平分， 所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1， 将其代入上式，得＋x1－x2＝0， 得＝－9，即直线AB 的斜率为－9，所以直线AB 的方程为y －＝－9(x －)，即9x ＋y －5＝0.5.(2016·宿迁模拟)已知F1、F2是椭圆＋y2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则使PF1·PF2取得最大值的点P 为__________. 答案 (0,1)或(0，－1)解析 由椭圆定义得PF1＋PF2＝2a ＝4， ∴PF1·PF2≤()2＝4， 当且仅当PF1＝PF2＝2，即P(0，－1)或(0,1)时，PF1·PF2取得最大值.*6.(2016·苏州质检)设A1，A2为椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右顶点，若在椭圆上存在异于A1，A2的点P ，使得·＝0，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是____________. 答案 (，1)解析 A1(－a,0)，A2(a,0)，设P(x ，y)，则＝(－x ，－y)，＝(a －x ，－y)， ∵·＝0，∴(a－x)(－x)＋(－y)(－y)＝0， ∴y2＝ax －x2>0，∴0<x<a.将y2＝ax－x2代入＋＝1，整理得(b2－a2)x2＋a3x－a2b2＝0，其在(0，a)上有解，令f(x)＝(b2－a2)x2＋a3x－a2b2，∵f(0)＝－a2b2<0，f(a)＝0，如图，Δ＝(a3)2－4(b2－a2)·(－a2b2)＝a2(a4－4a2b2＋4b4)＝a2(a2－2b2)2≥0，∴对称轴满足0<－<a，即0<<a，∴<1，∴>.又0<<1，∴<<1.7.若椭圆＋＝1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，过点(2,1)作圆x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________________.答案＋＝1解析设切点坐标为(m，n)，则·＝－1，即m2＋n2－n－2m＝0.∵m2＋n2＝4，∴2m＋n－4＝0，即直线AB的方程为2x＋y－4＝0.∵直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，∴2c－4＝0，b－4＝0，解得c＝2，b＝4，∴a2＝b2＋c2＝20，∴椭圆方程为＋＝1.8.已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则PM ＋PN 的最小值为________. 答案 7解析 由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且PF1＋PF2＝10，从而PM ＋PN 的最小值为PF1＋PF2－1－2＝7.9.(2017·连云港质检)椭圆＋y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P 为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________________. 答案 (－，)解析 设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y)， 则＝(x ＋，y)，＝(x －，y). ∵∠F1PF2为钝角，∴·<0， 即x2－3＋y2<0，①∵y2＝1－，代入①，得x2－3＋1－<0，34x2<2，∴x2<. 解得－<x<，∴x∈(－，).10.已知过椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点A(－a ，0)作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若△AOP 是等腰三角形，且＝2，则椭圆的离心率为________. 答案255解析 ∵△AOP 是等腰三角形，A(－a,0)，∴P(0，a). 设Q(x0，y0)，∵＝2，∴(x0，y0－a)＝2(－a －x0，－y0).∴解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝－23a ，y0＝a3，代入椭圆方程化简，可得＝， ∴e＝ ＝.11.(2016·南京模拟)如图，椭圆C ：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F ，右顶点，上顶点分别为A，B，且AB＝BF.(1)求椭圆C的离心率；(2)若斜率为2的直线l过点(0,2)，且l交椭圆C于P，Q两点，OP⊥OQ，求直线l 的方程及椭圆C的方程.解(1)由已知AB＝BF，即＝a，4a2＋4b2＝5a2,4a2＋4(a2－c2)＝5a2，∴e＝＝.(2)由(1)知a2＝4b2，∴椭圆C：＋＝1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l的方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.由消去y，得x2＋4(2x＋2)2－4b2＝0，即17x2＋32x＋16－4b2＝0.Δ＝322＋16×17(b2－4)>0，解得b>.x1＋x2＝－，x1x2＝.∵OP⊥OQ，∴·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0，5x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0.从而－＋4＝0，解得b＝1，满足b>.∴椭圆C的方程为＋y2＝1.12.(2015·安徽)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足BM＝2MA，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程.解(1)由题设条件知，点M的坐标为，又kOM＝，从而＝，进而得a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为＋＝1，点N的坐标为.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上，且kNS·kAB＝－1，从而有解得b＝3.所以a＝3，故椭圆E的方程为＋＝1.13.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，M 为椭圆上任意一点.过F，B，A三点的圆的圆心坐标为(p，q).(1)当p＋q≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；(2)若点D(b＋1,0)，在(1)的条件下，当椭圆的离心率最小时，(＋)·的最小值为，求椭圆的方程.解(1)设椭圆半焦距为c.由题意AF，AB的中垂线方程分别为x＝，y－＝(x－)，于是圆心坐标为(，).所以p＋q＝＋≤0，整理得ab－bc＋b2－ac≤0，即(a＋b)(b－c)≤0，所以b≤c，于是b2≤c2，即a2＝b2＋c2≤2c2.所以e2＝≥，即≤e<1.(2)当e＝时，a＝b＝c，此时椭圆的方程为＋＝1，设M(x，y)，则－c≤x≤c，→＝(－c－x，－y)，＝(b＋1,0)，＝(－x，－y)，MF所以(＋)·＝x2－x＋c2＝(x－1)2＋c2－.当c≥时，上式的最小值为c2－，即c2－＝，得c＝2；当0<c<时，上式的最小值为(c)2－c＋c2，即(c)2－c＋c2＝，解得c＝，不合题意，舍去.综上所述，椭圆的方程为＋＝1.。

第五节椭圆[最新考纲]1了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用2掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质范围、对称性、顶点、离心率3理解数形结合思想4了解椭圆的简单应用．1．椭圆的定义1平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数大于|F1F2|的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2集合2＋n2＝1m＞0，n＞0，m≠n[答案]1×2√3×4√二、教材改编1．假设F1－3,0，F23,0，点2＋n2＝1m＞0，n＞0，m≠n的形式．1椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点错误!，错误!，错误!，那么椭圆方程为．错误!＋错误!＝1[设椭圆方程为m2＋n2＝1m，n＞0，m≠n．由错误!解得m＝错误!，n＝错误!∴椭圆方程为错误!＋错误!＝1]2．过点错误!，－错误!，且与椭圆错误!＋错误!＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为．错误!错误!＝1[法一：椭圆错误!＋错误!＝1的焦点为0，－4，0,4，即c＝4由椭圆的定义知，2a＝错误!＋错误!，解得a＝2错误!由c2＝a2－b2可得b2＝4，∴所求椭圆的标准方程为错误!错误!＝1法二：∵所求椭圆与椭圆错误!＋错误!＝1的焦点相同，∴其焦点在轴上，且c2＝25－9＝16设它的标准方程为错误!＋错误!＝1a＞b＞0．∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16①又点错误!，－错误!在所求椭圆上，∴错误!＋错误!＝1，那么错误!＋错误!＝1②由①②得b2＝4，a2＝2021∴所求椭圆的标准方程为错误!错误!＝1]3．设F1，F2分别是椭圆E：2＋错误!＝10＜b＜1的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．假设|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥轴，那么椭圆E的方程为．2＋错误!2＝1[不妨设点A在第一象限，如下图．∵AF2⊥轴，∴Ac，b2其中c2＝1－b2,0＜b＜1，c＞0．又∵|AF1|＝3|F1B|，∴由错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!2＋n2＝1m＞0，n＞0，m≠n；2椭圆的通径过焦点且与长轴垂直的弦长为错误!考点3椭圆的几何性质椭圆的长轴、短轴、焦距求解与椭圆几何性质有关的问题，如：顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的根本量时，要理清它们之间的内在联系，同时要结合图形进行分析．1椭圆错误!＋错误!＝1的长轴在轴上，焦距为4，那么m等于A．8 B．7C．6 D．52椭圆C：错误!＋错误!＝1a>b>0，假设长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，那么此椭圆的标准方程为．1A2错误!＋错误!＝1[1因为椭圆错误!＋错误!＝1的长轴在轴上，所以错误!解得6错误!b>c>0，a2＝b2＋c2的左、右焦点分别为F1，F2，假设以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于错误!a－c，那么椭圆的离心率e的取值范围是．错误![因为|PT|＝错误!b>c，而|PF2|的最小值为a－c，所以|PT|的最小值为错误!依题意，有错误!≥错误!a－c，所以a－c2≥4b－c2，所以a－c≥2b－c，所以a＋c≥2b，所以a＋c2≥4a2－c2，所以5c2＋2ac－3a2≥0，所以5e2＋2e－3≥0①又b>c，所以b2>c2，所以a2－c2>c2，所以2e2<1②联立①②，得错误!≤e<错误!]以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，那么椭圆长轴长的最小值为A．1C．2D．2错误!D[设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时面积最大，所以错误!×2cb＝1，bc＝1，而2a＝2错误!≥2错误!＝2错误!当且仅当b＝c＝1时取等号．即长轴长2a的最小值为2错误!]。

1．椭圆的定义平面内到两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F 1，F 2叫做椭圆的焦点．集合P ＝{M |MF 1＋MF 2＝2a }，F 1F 2＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数． (1)当2a ＞F 1F 2时，P 点的轨迹是椭圆； (2)当2a ＝F 1F 2时，P 点的轨迹是线段； (3)当2a ＜F 1F 2时，P 点不存在． 2．椭圆的标准方程和几何性质[小题体验]1．已知椭圆x 29＋y 24＝1的两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为________．答案：122．已知直线x －2y ＋2＝0过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点和一个顶点，则椭圆的方程为________．解析：直线x －2y ＋2＝0与x 轴的交点为(－2,0)，即为椭圆的左焦点，故c ＝2.直线x －2y ＋2＝0与y 轴的交点为(0,1)，即为椭圆的顶点，故b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝5，故椭圆的方程为x 25＋y 2＝1.答案：x 25＋y 2＝13．已知椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率为12，则椭圆的标准方程为________．解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．因为椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率e ＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝2，b 2＝3，故椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝11．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．2．注意椭圆的范围，在设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上点的坐标为P (x ，y )时，|x |≤a ，|y |≤b ，这往往在求与点P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．[小题纠偏]1．(2019·无锡一中月考)已知椭圆x 213－m ＋y 2m －2＝1的焦距为6，则m ＝________.解析：∵椭圆x 213－m ＋y 2m －2＝1的焦距为6，∴当焦点在x 轴时，(13－m )－(m －2)＝9，解得m ＝3； 当焦点在y 轴时，(m －2)－(13－m )＝9，解得m ＝12. 答案：3或122．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5－k ＞0，k －3＞0，5－k ≠k －3.解得3＜k ＜5且k ≠4.答案：(3,4)∪(4,5)考点一 椭圆的标准方程基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程为________．解析：由椭圆x 29＋y24＝1，得a 2＝9，b 2＝4，∴c 2＝a 2－b 2＝5，∴该椭圆的焦点坐标为(±5，0)．设所求椭圆方程为x 2a ′2＋y 2b ′2＝1，a ′＞b ′＞0，则c ′＝5，又c ′a ′＝55，解得a ′＝5.∴b ′2＝25－5＝20，∴所求椭圆的标准方程为x 225＋y 220＝1.答案：x 225＋y 220＝12．(2018·海门中学测试)已知中心在坐标原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，点F 关于直线y ＝12x 的对称点在椭圆C 上，求椭圆C 的标准方程．解：设点F 关于y ＝12x 的对称点为P (x 0，y 0)，又F (1,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0－0x 0－1＝－2，y 02＝12×x 0＋12，解得⎩⎨⎧x 0＝35，y 0＝45.又点P 在椭圆上，设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧925a 2＋1625b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝95，b 2＝45，则椭圆C 的方程为x 295＋y 245＝1.3．求分别满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点P (－23，0)，Q(0,2)两点；(2)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同的焦点且经过点(2，－3)．解：(1)由题意，P ，Q 分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x 轴上， 所以a ＝23，b ＝2，所求椭圆的标准方程为x 212＋y 24＝1.(2)设椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)， 所以所求椭圆焦点在x 轴上， 设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝1，4a 2＋3b2＝1，解得a 2＝4＋23，b 2＝3＋23或a 2＝4－23，b 2＝3－23(舍去)， 所以椭圆的标准方程为x 24＋23＋y 23＋23＝1.[谨记通法]求椭圆标准方程的 2种常用方法考点二 椭圆的定义及其应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 2(1,0)，点H ⎝⎛⎭⎫2，2103在椭圆上．(1)求椭圆的方程；(2)点M 在圆x 2＋y 2＝b 2上，且点M 在第一象限，过点M 作圆x 2＋y 2＝b 2的切线交椭圆于P ，Q 两点，求证：△PF 2Q 的周长是定值．解：(1)设椭圆的左焦点为F 1.根据已知，椭圆的左右焦点分别是F 1(－1,0)，F 2(1,0)，半焦距c ＝1， 因为H ⎝⎛⎭⎫2，2103在椭圆上，所以2a ＝HF 1＋HF 2＝2＋12＋⎝⎛⎭⎫21032＋2－12＋⎝⎛⎭⎫21032＝6.所以a ＝3，b ＝22，故椭圆的方程是x 29＋y 28＝1.(2)证明：设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 219＋y 218＝1，所以PF 2＝x 1－12＋y 21＝x 1－12＋8⎝⎛⎭⎫1－x 219＝ ⎝⎛⎭⎫x 13－32.因为0＜x 1＜3，所以PF 2＝3－13x 1.在圆x 2＋y 2＝b 2中，M 是切点， 所以PM ＝OP 2－OM 2＝x 21＋y 21－8＝x 21＋8⎝⎛⎭⎫1－x 219－8＝13x 1.所以PF 2＋PM ＝3－13x 1＋13x 1＝3.同理，Q F 2＋Q M ＝3， 所以F 2P ＋F 2Q ＋P Q ＝3＋3＝6. 因此△PF 2Q 的周长是定值6.[由题悟法]利用定义求方程、焦点三角形及最值的方法[即时应用]1．已知椭圆的两个焦点为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点P 是椭圆上的点，且△PF 1F 2的周长是4＋22，则椭圆的标准方程为________．解析：∵椭圆的两个焦点为F 1(－2，0)，F 2()2，0， ∴椭圆的焦距为F 1F 2＝2 2. ∵△PF 1F 2的周长是4＋22， ∴PF 1＋PF 2＋F 1F 2＝4＋22， 可得PF 1＋PF 2＝4.根据椭圆的定义，可得2a ＝PF 1＋PF 2＝4，∴a ＝2， 又∵c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝2，可得a 2＝4，b 2＝2. 故椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝12．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1―→⊥PF 2―→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.解析：由题意知PF 1＋PF 2＝2a ，PF 1―→⊥PF 2―→，所以PF 21＋PF 22＝F 1F 22＝4c 2，所以(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2＝4c 2，所以2PF 1·PF 2＝4a 2－4c 2＝4b 2.所以PF 1·PF 2＝2b 2，所以S △PF 1F 2＝ 12PF 1·PF 2＝12×2b 2＝b 2＝9.所以b ＝3.答案：3考点三 椭圆的几何性质 题点多变型考点——多角探明[锁定考向]椭圆的几何性质是高考的热点，常见的命题角度有： (1)求离心率的值或范围；(2)根据椭圆的性质求参数的值或范围；(3)焦点三角形的研究．[题点全练]角度一：求离心率的值或范围1．(2019·连云港调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若F 1A ⊥OB ，则椭圆的离心率为________．解析：由题意，可得A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a . ∵F 1A ⊥OB ，∴b 2a 2c ·－b 2ac ＝－1，可得a 2－c 2＝2ac ，即e 2＋2e －1＝0，解得e ＝6－22(负值舍去)． 答案：6－222．从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．解析：由题意可设P (－c ，y 0)(c 为半焦距)，k OP ＝－y 0c ，k AB ＝－b a ，由于OP ∥AB ，所以－y 0c ＝－ba ，y 0＝bca ，把P ⎝⎛⎭⎫－c ，bc a 代入椭圆方程得－c 2a 2＋⎝⎛⎭⎫bc a 2b2＝1，即⎝⎛⎭⎫c a 2＝12，所以e ＝c a ＝22. 答案：22角度二：根据椭圆的性质求参数的值或范围3．若方程x 2a －5＋y 22＝1表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．解析：∵方程x 2a －5＋y 22＝1表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －5＞0，a －5＞2，解得a ＞7.∴实数a 的取值范围是(7，＋∞)． 答案：(7，＋∞)4．如果x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是________． 解析：x 2＋ky 2＝2转化为椭圆的标准方程，得x 22＋y 22k＝1，因为x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，所以2k ＞2，解得0＜k ＜1.所以实数k 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)角度三：焦点三角形的研究5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆C 的短半轴长有关． 解：(1)设PF 1＝m ，PF 2＝n ，则m ＋n ＝2a . 在△PF 1F 2中，由余弦定理可知， 4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°＝(m ＋n )2－3mn ＝4a 2－3mn ≥4a 2－3·⎝⎛⎭⎫m ＋n 22＝4a 2－3a 2＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)．所以c 2a 2≥14，即e ≥12.又0＜e ＜1，所以e 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1. (2)证明：由(1)知mn ＝43b 2，所以S △PF 1F 2＝12mn sin 60°＝33b 2，即△PF 1F 2的面积只与短半轴长有关．[通法在握]1．应用椭圆几何性质的2个技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形． (2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0＜e ＜1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．2．求椭圆离心率的方法(1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解．(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解．[演练冲关]1．已知椭圆x 29＋y 24－k ＝1的离心率为45，则k 的值为______．解析：当9＞4－k ＞0，即－5＜k ＜4时， a ＝3，c 2＝9－(4－k )＝5＋k ， 所以5＋k 3＝45，解得k ＝1925. 当9＜4－k ，即k ＜－5时，a ＝4－k ，c 2＝－k －5， 所以－k －54－k ＝45，解得k ＝－21，所以k 的值为1925或－21.答案：1925或－212．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为椭圆的右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．解析：由题意，可设P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a . 因为在Rt △PF 1F 2中，PF 1＝b 2a ，F 1F 2＝2c ，∠F 1PF 2＝60°，所以2acb 2＝ 3.又因为b 2＝a 2－c 2，所以3c 2＋2ac －3a 2＝0，即3e 2＋2e －3＝0， 解得e ＝33或e ＝－3， 又因为e ∈(0,1)，所以e ＝33. 答案：333．(2019·南京一模)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝θ，若cos θ＝13，则椭圆C 的离心率为________．解析：∵PF 2⊥F 1F 2，cos ∠PF 1F 2＝13，F 1F 2＝2c ，∴PF 1＝6c ，PF 2＝42c ，又PF 1＋PF 2＝2a ，∴6c ＋42c ＝2a ， ∴椭圆C 的离心率e ＝2c 2a ＝13＋22＝3－2 2.答案：3－2 2考点四 直线与椭圆的位置关系重点保分型考点——师生共研[典例引领]如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且过点⎝⎛⎭⎫1，32.过椭圆C 的左顶点A 作直线交椭圆C 于另一点P ，交直线l ：x ＝m (m ＞a )于点M .已知点B (1,0)，直线PB 交l 于点N .(1)求椭圆C 的方程；(2)若MB 是线段PN 的垂直平分线，求实数m 的值． 解：(1)因为椭圆C 的离心率为32，所以a 2＝4b 2.又因为椭圆C 过点⎝⎛⎭⎫1，32，所以1a 2＋34b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)，且－2＜x 0＜2, x 0≠1，则x 204＋y 20＝1. 因为MB 是PN 的垂直平分线，所以点P 关于点B 的对称点N (2－x 0，－y 0)， 所以x 0＝2－m .由A (－2,0)，P (x 0，y 0)，可得直线AP 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，令x ＝m ，得y ＝y 0m ＋2x 0＋2，即M ⎝⎛⎭⎪⎫m ，y 0m ＋2x 0＋2. 因为PB ⊥MB ，所以k PB ·k MB ＝－1，所以k PB ·k MB ＝y 0x 0－1·y 0m ＋2x 0＋2m －1＝－1，即y 20m ＋2x 0－1x 0＋2m －1＝－1. 因为x 204＋y 20＝1.所以x 0－2m ＋24x 0－1m －1＝1.因为x 0＝2－m ，所以化简得3m 2－10m ＋4＝0， 解得m ＝5±133.因为m ＞2，所以m ＝5＋133.[由题悟法]直线与椭圆的位置关系的解题策略解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．[即时应用]圆x 2a 2＋y 2b 2＝(2018·南通、扬州调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭1(a ＞b ＞0)的离心率为22.A 为椭圆上异于顶点的一点，点P 满足OP ―→＝2AO ―→.(1)若点P 的坐标为(2，2)，求椭圆的方程；(2)设过点P 的一条直线交椭圆于B ，C 两点，且BP ―→＝m BC ―→，直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求实数m 的值．解：(1) 因为OP ―→＝2AO ―→，而P (2，2)，所以A ⎝⎛⎭⎫－1，－22，代入椭圆方程，得1a 2＋24b 2＝1，①又椭圆的离心率为22，所以1－b 2a 2＝22.② 由①②，得a 2＝2，b 2＝1.故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)． 因为OP ―→＝2AO ―→，所以P (－2x 1，－2y 1)，因为BP ―→＝m BC ―→，所以(－2x 1－x 2，－2y 1－y 2)＝m (x 3－x 2，y 3－y 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1－x 2＝m x 3－x 2，－2y 1－y 2＝m y 3－y 2，于是⎩⎨⎧x 3＝m －1m x 2－2mx 1，y 3＝m －1m y 2－2m y 1.代入椭圆方程，得⎝⎛⎭⎫m －1m x 2－2m x 12a 2＋⎝⎛⎭⎫m －1m y 2－2m y 12b 2＝1，即4m 2⎝⎛⎭⎫x 21a 2＋y 21b 2＋m －12m 2⎝⎛⎭⎫x 22a 2＋y 22b 2－4m －1m 2⎝⎛⎭⎫x 1x 2a 2＋y 1y 2b 2＝1，③ 因为A ，B 在椭圆上，所以x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1. ④因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，即y 1x 1·y 2x 2＝－12，结合②知x 1x 2a 2＋y 1y 2b 2＝0. ⑤将④⑤代入③，得4m 2＋m －12m 2＝1，解得m ＝52.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且PF 1，F 1F 2，PF 2成等差数列，则椭圆的方程为______________．解析：∵椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上， ∴设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵P (2，3)是椭圆上一点，且PF 1，F 1F 2，PF 2成等差数列， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，2a ＝4c ，且a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝22，b ＝6， ∴椭圆的方程为x 28＋y 26＝1.答案：x 28＋y 26＝12．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为12，则该椭圆方程为________________．解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，因为2a ＝12，c a ＝12，所以a ＝6，c ＝3，b 2＝27.所以椭圆的方程为x 236＋y 227＝1.答案：x 236＋y 227＝13．椭圆x 22＋y 2＝1的左、右两焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．解析：由题意，椭圆x 22＋y 2＝1的左、右两焦点分别为F 1，F 2，则PF 1＋PF 2＝22，F 1F 2＝2.由余弦定理，得F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2·cos 60°＝(PF 1＋PF 2)2－3PF 1·PF 2，解得PF 1·PF 2＝43.故△F 1PF 2的面积S ＝12PF 1·PF 2·sin 60°＝33.答案：334．(2019·南京名校联考)若n 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2n ＝1的离心率是________．解析：由n 2＝2×8，得n ＝±4，当n ＝4时，曲线为椭圆，其离心率为e ＝4－12＝32；当n ＝－4时，曲线为双曲线，其离心率为e ＝4＋11＝ 5. 答案：32或 5 5．(2018·北京东城模拟)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶3，则椭圆C 的方程是__________．解析：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，a ∶b ＝2∶3，c ＝2，解得a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.答案：x 216＋y 212＝16．(2018·启东中学检测)分别过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点F 1，F 2所作的两条互相垂直的直线l 1，l 2的交点在椭圆上，则此椭圆的离心率的取值范围是________．解析：设两直线交点为M ，令MF 1＝m ，MF 2＝n .由椭圆的定义可得m ＋n ＝2a ，因为MF 1⊥MF 2，所以m 2＋n 2＝4c 2，因为(m ＋n )2＝m 2＋n 2＋2mn ≤2(n 2＋m 2)，当且仅当m ＝n ＝a 时取等号，即4a 2≤2(4c 2)，所以a ≤2c ，所以c a ≥22，即e ≥22，因为e ＜1，所以22≤e ＜1.答案：⎣⎡⎭⎫22，1二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·启东模拟)设点P 在圆x 2＋(y －2)2＝1上移动，点Q 在椭圆x 29＋y 2＝1上移动，则P Q 的最大值是________．解析：已知圆心C (0,2)，P Q ≤PC ＋C Q ＝1＋C Q ，故只需求C Q 的最大值即可． 设Q(x ，y )， 则 C Q ＝x 2＋y －22＝91－y 2＋y －22＝－8y 2－4y ＋13＝－8⎝⎛⎭⎫y ＋142＋272. ∵ －1≤y ≤1，∴ 当y ＝－14时，C Q max ＝272＝362， ∴ P Q max ＝1＋362. 答案：1＋3622．(2019·常州模拟)若椭圆C 的长轴长是短轴长的3倍，则C 的离心率为________． 解析：不妨设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则2a ＝2b ×3，即a ＝3b .所以a 2＝9b 2＝9(a 2－c 2)． 即c 2a 2＝89， 所以e ＝c a ＝223.答案：2233．(2018·镇江期末)已知椭圆x 2m ＋y2n ＝1(m ＞n ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则PF 1―→·PF 2―→＝________.解析：法一：PF 1―→·PF 2―→＝(PO ―→＋OF 1―→)·(PO ―→＋OF 2―→)＝(PO ―→＋OF 1―→)·(PO ―→－OF 1―→)＝|PO ―→|2－|OF 1―→|2＝n －(m －n )＝2n －m .法二：设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x ，y )，则x 2＋y 2＝n ，PF 1―→·PF 2―→＝(x ＋c )(x －c )＋y 2＝x 2＋y 2－c 2＝n －(m －n )＝2n －m .答案：2n －m4．(2018·苏北四市一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．解析：因为F (c,0)，B 2(0，b )，B 1(0，－b )，A (a,0)，所以B 2F ―→＝(c ，－b )，B 1A ―→＝(a ，b )．因为B 2F ⊥AB 1，所以ac －b 2＝0，即c 2＋ac －a 2＝0，故e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1＋52(负值舍去)．答案：5－125．如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足OP ＝OF ，且PF ＝4，则椭圆C 的方程为________．解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，右焦点为F ′，连结PF ′，如图所示．因为F (－25，0)为C 的左焦点，所以c ＝2 5.由OP ＝OF ＝OF ′知，∠FPF ′＝90°，即FP ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中，由勾股定理，得PF ′＝FF ′2－PF 2＝452－42＝8.由椭圆定义，得PF ＋PF ′＝2a ＝4＋8＝12，所以a ＝6，a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16，所以椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.答案：x 236＋y 216＝16.(2019·启东月考)如图所示，A ，B 是椭圆的两个顶点，C 是AB 的中点，F 为椭圆的右焦点，OC 的延长线交椭圆于点M ，且OF ＝2，若MF ⊥OA ，则椭圆的方程为________．解析：∵F 为椭圆的右焦点，OF ＝2，∴c ＝ 2.设椭圆方程为x 2b 2＋2＋y 2b2＝1(b ＞0)，∵A ，B 是椭圆的两个顶点，∴A ()b 2＋2，0，B (0，b )．又∵C 是AB 的中点，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋22，b 2.由OC 的延长线交椭圆于点M ，MF ⊥OA ，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，b 2b 2＋2. ∵k OM ＝k OC ，∴b 2b 2＋22＝b2b 2＋22，∴b ＝2，故所求椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝17．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________．解析：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，因为AB 过F 1且A ，B 在椭圆C 上， 所以△ABF 2的周长＝AB ＋AF 2＋BF 2 ＝AF 1＋AF 2＋BF 1＋BF 2 ＝4a ＝16， 所以a ＝4.又离心率e ＝c a ＝22，所以c ＝22， 所以b 2＝a 2－c 2＝8，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.答案：x 216＋y 28＝18．(2019·句容月考)离心率e ＝13，焦距为4的椭圆的标准方程为________________．解析：∵椭圆的离心率e ＝13，焦距为4，∴c ＝2，a ＝6，∴b 2＝32，∴椭圆的标准方程为x 236＋y 232＝1或y 236＋x 232＝1.答案：x 236＋y 232＝1或y 236＋x 232＝19．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率．(2)若AF 2―→＝2F 2B ―→，AF 1―→·AB ―→＝32，求椭圆的方程．解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )． 由AF 2―→＝2F 2B ―→，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )， 解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝⎛⎭⎫3c 2，－b 2. 将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2.① 又由AF 1―→·AB ―→＝(－c ，－b )·⎝⎛⎭⎫3c 2，－3b 2＝32， 得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2. 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.10．(2018·南京学情调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点(在x 轴上方)，连结PF 1并延长交椭圆于另一点Q ，设PF 1―→＝λF 1Q ―→.(1)若点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32，且△P Q F 2的周长为8，求椭圆C 的方程； (2)若PF 2⊥x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，求实数λ的取值范围．解：(1)因为F 1，F 2为椭圆C 的两焦点，且P ，Q 为椭圆上的点， 所以PF 1＋PF 2＝Q F 1＋Q F 2＝2a ， 从而△P Q F 2的周长为4a ， 由题意得4a ＝8，解得a ＝2.因为点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32，且在椭圆上， 所以14＋94b 2＝1，解得b 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，所以可设P (c ，y 0)，且y 0＞0，Q(x 1，y 1)．因为点P在椭圆上，所以c 2a 2＋y 2b2＝1，解得y 0＝b 2a ，即P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a .因为F 1(－c,0)，所以PF 1―→＝⎝⎛⎭⎫－2c ，－b 2a ，F 1Q ―→＝(x 1＋c ，y 1)． 由PF 1―→＝λF 1Q ―→，得－2c ＝λ(x 1＋c )，－b 2a ＝λy 1，解得x 1＝－λ＋2λc ，y 1＝－b 2λa，所以Q ⎝⎛⎭⎪⎫－λ＋2λc ，－b 2λa .因为点Q 在椭圆上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋2λ2e 2＋b 2λ2a 2＝1， 即(λ＋2)2e 2＋(1－e 2)＝λ2，即(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1. 因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e 2＝λ－1， 从而λ＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3. 因为e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5.所以λ的取值范围为⎣⎡⎦⎤73，5. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·宿迁调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，下顶点为A .若平行于AF 且在y轴上截距为3－ 2 的直线与圆x 2＋(y －3)2＝1相切，则该椭圆的离心率为________．解析：由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，下顶点为A ，可得AF 的斜率为－bc ，则平行于AF 且在y 轴上截距为3－2的直线方程为y ＝－bc x ＋3－ 2.由该直线与圆x 2＋(y －3)2＝1相切，可得|－3＋3－2|1＋b 2c2＝1，解得b ＝c ，所以e ＝c a ＝12＝22. 答案：222．(2018·连云港质检)已知两定点A (－2,0)和B (2,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为________．解析：设点A 关于直线l 的对称点为A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎨⎧y 1x 1＋2＝－1，y 12＝x 1－22＋3，解得x 1＝－3，y 1＝1，易知P A ＋PB 的最小值等于A 1B ＝26，因此椭圆C 的离心率e ＝AB P A ＋PB ＝4P A ＋PB 的最大值为22613.答案：226133.已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 的坐标为(1,0)，P ，Q 为椭圆上位于y 轴右侧的两个动点，使PF ⊥Q F ，C 为P Q 中点，线段P Q 的垂直平分线交x 轴，y 轴于点A ，B (线段P Q 不垂直x 轴)，当Q 运动到椭圆的右顶点时，PF ＝22. (1)求椭圆M 的方程；(2)若S △ABO ∶S △BCF ＝3∶5，求直线P Q 的方程． 解：(1)当Q 运动到椭圆的右顶点时，PF ⊥x 轴， 所以PF ＝b 2a ＝22，又c ＝1，a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝1. 所以椭圆M 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线P Q 的方程为y ＝kx ＋b ，显然k ≠0， 联立椭圆方程得：(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2(b 2－1)＝0， 设点P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4kb2k 2＋1＞0， ①x 1x 2＝2b 2－12k 2＋1＞0， ②Δ＝82k 2－b 2＋1＞0， ③由PF ―→·Q F ―→＝0，得(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0， 即(k 2＋1)x 1x 2＋(kb －1)(x 1＋x 2)＋b 2＋1＝0， 代入化简得3b 2－1＋4kb ＝0.④ 由y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2b ＝2b2k 2＋1， 得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2kb 2k 2＋1，b 2k 2＋1， 所以线段P Q 的中垂线AB 的方程为y －b 2k 2＋1＝－1k ⎝⎛⎭⎫x ＋2kb 2k 2＋1.令y ＝0，x ＝0，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－kb 2k 2＋1，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b 2k 2＋1，则A 为BC 中点， 故S △BCF S △ABO ＝2S △ABF S △ABO ＝2AF AO＝21－x A x A＝2⎝⎛⎭⎫1x A －1. 由④式得，k ＝1－3b 24b ，则x A ＝－kb 2k 2＋1＝6b 4－2b 29b 4＋2b 2＋1，所以S △BCF S △ABO ＝2⎝⎛⎭⎫1x A －1＝6b 4＋8b 2＋26b 4－2b 2＝53，解得b 2＝3. 所以b ＝3，k ＝－233或b ＝－3，k ＝233.经检验，满足条件①②③，故直线P Q 的方程为y ＝233x －3或y ＝－233x ＋ 3.。