复变函数论期中--复习材料简答

复变函数重要知识点总结复变函数是数学中一个非常重要的分支，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

下面将对复变函数的一些重要知识点进行总结。

一、复数的基本概念复数是由实数和虚数组成的数，通常表示为＄z ＝ x ＋ yi$，其中＄x$ 称为实部，＄y$ 称为虚部，＄i$ 是虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$。

复数的模长定义为＄｜z| ＝＼sqrt{x^2 ＋ y^2}＄，表示复数在复平面上的距离。

复数的辐角定义为＄＼theta ＝＼arctan\frac{y}｛x}＄，表示复数与实轴正方向的夹角。

二、复变函数的定义复变函数是定义在复数域上的函数，通常表示为＄w ＝ f(z)＄，其中＄z$ 是自变量，＄w$ 是因变量。

复变函数的导数定义与实函数类似，但需要满足柯西黎曼方程：＄＼frac{＼partial u}｛＼partial x} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial y}＄，＄＼frac{＼partial u}｛＼partial y} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial x}＄，其中＄f(z) ＝ u(x,y) ＋ iv(x,y)＄。

三、解析函数如果一个复变函数在某点及其邻域内可导，就称该点为函数的解析点。

如果函数在一个区域内处处解析，就称该函数为解析函数。

解析函数具有很多良好的性质，如柯西定理、柯西积分公式等。

四、复变函数的积分复变函数的积分定义为沿着一条曲线对函数进行积分。

柯西定理指出，如果函数在一个单连通区域内解析，那么沿着该区域内任何一条闭合曲线的积分都为零。

柯西积分公式则给出了函数在某点的值与沿着该点周围闭合曲线的积分之间的关系。

五、级数复级数包括幂级数和 Laurent 级数。

幂级数是形如＄＼sum_{n=0}＾｛＼infty} a_n （z z_0)＾n$ 的级数。

收敛半径可以通过比值法或根值法求得。

Laurent 级数是在圆环域内展开的级数，包括正则部分和主要部分。

《复变函数》 复习资料1一、判断题1. 把角形域映射为角形域用指数函数映射（ ）2.3.4.5.6.7. 分式线性映射在复平面上具有共形性、保圆性、保对称性。

（ ）8.9.10.二、解答题1.设)1()(2z z e z f z +=，求()f z 在1||0<<z 的洛朗展式（只写出含1z 到2z 各项）.2.利用留数定理计算复积分I =21az z e dz =⎰+1()()n n z dzz a z b =--⎰ (01,01a b <<<<且,a b n ≠为自然数).3.利用留数定理计算实积分θθθπd ⎰-20cos 452cos 4.三、解答与证明题1.如果在1z <内，函数()f z 解析，且1()1f z z≤-，求()(0)n f 的最优估计值. 2．（1）函数211x +当x 为实数时，都有确定的值且在全实轴上有任意阶导数，但它的泰勒展开式： -+-=+422111x x x却只当1<x 时成立，试说明其原因； （2）利用惟一性定理证明：210(1)sin ,(21)!n n n z z n ++∞=-=+∑1z <. 3.设)(z ϕ在:1C z =内解析且连续到C,在C 上()1z ϕ<试证 在C内部2()3z z z ϕ=+只有一个根0z .4. 设D 为单连通区域，()f z 在D 内解析，C 在D 内一条周线，0D 为C 的内部.若对于任意的0z D ∈都有1()Re 12C f d i z ξξπξ⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭⎰，则在D 内恒有()f z 1ic =+，其中c 为实常数.答案一、1-5 FFTTF 6-10 TFFTF二、解答题1、设)1()(2z z e z f z+=，求()f z 在1||0<<z 的洛朗展式（只写出含1z 到2z 各项） 解：)1()(2z z e z f z+=211z e z z=+ =21(1)2!3!z z z ++++（2421(1)n n z z z -+-+-+）=215126z z z +--+（1||0<<z ）.2、利用留数定理计算复积分I =21az z e dz =⎰+1()()n n z dzz a z b =--⎰ (01,01a b <<<<且,a b n ≠为自然数)解：因为 ||1a <，||1b <且a b ≠ 所以1||1()()n n z dzI z a z a ==--⎰=2i π[Re ()z a s f z =+Re ()z bs f z =] =12121(1)...(22)112(1)()0(1)!()()n n n n n n i n b a a b π---⎡⎤---+=⎢⎥---⎣⎦设2I =21az z e dz =⎰，因为在单位圆周1z =内2az e 只有一个本质奇点0z =，在该点的去心领域内有洛朗展式：2az e =22412!a az z+++所以2Re 0az z s e ==，故20I =，因此原积分值为零。

第一章 复数与复变函数1，复数的模、辐角及主值辐角：ArgZ=argZ+2k π k=0、±1、±2…主值： x y arctan当x>0,R y ∈（第一、四象限） 2π 当x=0,y>0 （正虚部） argz= π+xy arctan 当x<0，y>0 （第二象限） π-xy arctan 当x<0，y<0（第三象限） 2π- 当x=0，y<0时 2，复数方程所表示的曲线①1052=+++Z Z 的距离到表示11Z Z Z Z -解：由题知，动点到定点的距离为10，所以，该方程表示的曲线为椭圆②11+=-Z Z解：由题知，方程所表示的曲线为Y 轴3,21Z Z = −→−否 1Z Z =↓21Z Z = 4，复变函数：i y x v y x u z f ),(),()(+=分别连续、连续),(),()(y x v y x u z f ⇔5，复平面三点共线：3121z z z z --实数= 第二章 解析函数点的导数在0)(z z f y =zz f z z f z f z ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000' 点的某邻域内可微在点解析在00)()(z z f z z f ⇔ 1，点解析在可微点连续在否否00)()()(z z f z f z z f −−←−−←−→−−→− 2，可微在点满足柯西黎曼方程在否00)()(z z f z z f −→−−−←3，Rez （实部）、Imz （虚部）、Z 、Z 不解析4，可能不解析解析，)()(z f z f5，在区域D 内，内解析在的共轭调和函数，则是D i y x v y x u z f y x u y x v ),(),()(),(),(+=6，i e e z iz iz 2sin --=，2cos iziz e e z --=是周期函数，π2=T z e 为周期函数，i T π2= 7，z e ∞→z lim 、z z sin lim ∞→、z z cos lim ∞→ 不存在 8，z sin 、cosz 在复平面上（或Z 平面上）无界 ie e i e e zi i i i i 22sin 22)2(2-=-=--∙∙ 9，)2(arg ln ln πk z i z z W ++== k=0、±1、±2… eg:πππππ)12()2(1ln )2(1ln )1ln(+=++=++-=-k i k k i10，会解一些方程 eg:01=-z e 求z解：由题知1=z e 两边同时取对数 得i k z π21ln ==11，判断函数的可微性与解析性①，y ix xy z f 22)(+= ②，22)(iy x z f +=解：2),(xy y x u = y x y x v 2),(= 解：2),(x y x u = 2),(y y x v = 2y u x =xy u y 2= xy v x 2= 2x v y = x u x 2= 0=y u 0=x v y v y 2= 根据C-R 方程，y x v u = x y v u -= 根据C-R 方程，y x v u = x y v u -=即22y x = xy xy 22-= ∴0=x ，0=y 即y x 22= 00= ∴y x = ∴)(z f 仅在原点可微，无解析点 ∴)(z f 在直线0=-y x 上可微不解析12，设5z W =，确定在从原点0=z 起与正实轴割破了的Z 平面上，并且1)1(-=-W ，试求)(i W -的值解：设θi re z =，则5255πk i i e r re W +==θθ k=0、±1、±2…C z ∈，π2arg 0≤≤z 当1-=z 时，1=r ，π=θ由211)1(525=⇒-==-+k e W k i ππ当i z -=时，1=r ，π23=θ i k i e e i W 10522351)(πππ-==-+ 教材P93 第22题第三章 复积分1，计算积分dz ix y x ⎰+-c2)(，积分路径C 是0到i +1的直线段 解：找出C 的方程：C 的参数方程t i t z )1()(+= 10≤≤t故⎰⎰⎰+=++-=+-102102c 2)1()1()()(dt t i i dt i it t t dz ix y x )1(313)1(102i t i +-=+-= eg:①i i z zdz ii 2232)2(2220220+=+==++⎰ ②i z zdz i isin sin cos 00==⎰2，柯西积分定理设)(z f 在单连通区域D 内解析，C 为D 内任一条周线，则⎰=cdz z f 0)( eg:①0sin 1=⎰=z zdz ②012722=+-⎰=dz z z e z z3，柯西积分公式)(2)(a if dz a z z f c π=-⎰ a 为区域C 内的一点 高阶导数公式⎰∙=-+c n n i n z f dz a z z f π2!)()()()(1 eg:①⎰=++1252z z z dz解：i z z z z 2104)1(5222±-=⇒=++=++ ∴5=z >1 在1=z 外∴ ⎰=++1252z z z dz 0= ②0sin 2sin 2==⎰=θπdz zz z ③0)(cos !22)2(cos 2''23==-==⎰πππz z z i dz z z④i z z I z z z dz z z z z z z 49219)1)(9(122222222ππ=-=--=--===⎰⎰ ⑤2sin 212sin 212cos 00i z dz z ii ==⎰ ⑥320)3()2(2020232=+=+⎰z z dz z z 4，调和函数证明：22),(y x y x u -=为z 平面上的调和函数，并求以),(y x u 为实部的解析函数)(z f ，结合条件0)0(=f解：x u x 2=，y u y 2-=，2=xx u ，2-=yy u0=+yy xx u u ),(y x u ∴为Z 平面上的调和函数i y x v y x u z f ),(),()(+= y v x u ∂∂=∂∂ xv y u ∂∂-=∂∂ ⎰⎰+=+=+=)(2)(2)(),(y xy y ydx y dx v y x v x ϕϕϕ0)(2)(2''=⇒==+=y x u y x v x y ϕϕ 即c y =)('ϕ c xy y x v +=∴2),()2()(22c xy i y x z f ++-=∴ 令0=y 则ic x x f +=2)( ic z z f +=∴2)(由00)0(=⇒=c f 2)(z z f =∴ 教材P143 第16题①②第四章 解析函数的幂级数表示法1，收敛半径①，∑∞=13n nn z 的收敛半径 R=131n C n = 1lim 1==+∞→nn n C C L 11==∴L R ②，∑∞=0n nnz 的收敛半径是 R=1③，∑∞=-02)!2()1(n nn n z 的和函数的收敛半径 R=+∞0)!2()1())!1(2()1(lim 1=-+-=+∞→n n L nn n +∞==∴LR 1 常用级数 ① +++=!212z z e z +∞<z ②∑∞=-=02)!2()1(cos n nn n z z +∞<z ③∑∞=++-=012)!12()1(sin n n n n z z+∞<z ④ ++-=+32)1ln(22z z z z 1<z。

复变函数复习提纲一、复数及复平面上的运算1.复数的定义和基本性质2.复数的表示形式：直角坐标形式和极坐标形式3.复数的加法和减法4.复数的乘法和除法5.复数的共轭、模和幅角二、复变函数的定义1.复变函数的定义和常见符号表示2.复变函数的实部和虚部3.复变函数的可导性和全纯性4.复变函数的解析函数和全纯函数5.复变函数与实变函数的区别三、复变函数的基本运算1.复变函数的和、差、积、商的性质2.复变函数的乘方和开方3.复变函数的复合函数和反函数4.复变函数的三角、指数和对数函数5.基本初等函数的推广四、复变函数的级数展开1.复变函数的幂级数展开2.零点的意义和展开中的唯一性3.幂级数的敛散性和收敛半径4.幂级数的和函数和导函数5.复变函数的泰勒级数展开和洛朗级数展开五、复变函数的积分1.复变函数的定积分和不定积分2.瑕积分和主值积分的定义3.复变函数的原函数和柯西-黎曼积分定理4.瑕积分和主值积分的计算方法5.狄利克雷定理和焦函数的应用六、解析函数的应用1.几何转化和连续映射2.物理应用：流体流动和电场问题3.工程应用：电阻网络和热传导问题4.统计应用：随机过程和随机变量5.数学应用：多复变数函数和复变函数的边界性质七、复变函数的解析延拓1.裂点和分岔点的概念和性质2.加点后的解析延拓和解析延拓的唯一性3.互补法和不动点法的应用4.点列内闭包性质和整函数性质的判别5.亚纯函数和亚纯函数的零点性质八、复变函数的几何应用1.复变函数的映射和对应关系2.线性变换和保持角度的特殊变换3.保形映射和自共轭函数的性质4.圆盘映射和单位圆盘函数5.黎曼映射和分式线性变换的应用九、复变函数的调和函数1.调和方程和调和函数的概念2.调和函数的基本性质和解析条件3.核函数和调和函数的唯一性4.调和函数的积分表示和傅里叶展开5.调和函数的应用：电势和温度分布以上是复变函数的复习提纲，包括了复数及复平面上的运算、复变函数的定义、复变函数的基本运算、复变函数的级数展开、复变函数的积分、解析函数的应用、复变函数的解析延拓、复变函数的几何应用和复变函数的调和函数等内容。

复变函数初步例题和知识点总结一、复变函数的基本概念复变函数是指定义在复数域上的函数。

一个复变函数通常可以表示为＄w ＝ f(z)＄，其中＄z ＝ x ＋ iy$ 是复数，＄x$ 和＄y$ 分别是实部和虚部，＄w ＝ u ＋ iv$ 也是复数，＄u$ 和＄v$ 分别是其实部和虚部。

例如，函数＄f(z) ＝ z^2$ 就是一个简单的复变函数。

将＄z ＝ x ＋iy$ 代入，可得：＼＼begin{align}f(z)＆＝（x ＋ iy)＾2\＼＆＝x^2 y^2 ＋ 2ixy＼end{align}＼从而得到实部＄u ＝ x^2 y^2$，虚部＄v ＝ 2xy$。

二、复变函数的极限与连续（一）极限如果对于任意给定的正数＄＼epsilon$，都存在正数＄＼delta$，使得当＄0 ＜｜z z_0| ＜＼delta$ 时，有＄｜f(z) A| ＜＼epsilon$，则称＄A$ 为函数＄f(z)＄当＄z$ 趋向于＄z_0$ 时的极限，记作＄＼lim_{z ＼to z_0} f(z) ＝ A$。

例如，考虑函数＄f(z) ＝＼frac{z}｛｜z|｝＄，当＄z$ 沿着实轴正方向趋近于＄0$ 时，极限为＄1$；当＄z$ 沿着实轴负方向趋近于＄0$ 时，极限为＄－1$。

由于这两个极限不相等，所以该函数在＄z ＝ 0$ 处极限不存在。

（二）连续如果函数＄f(z)＄在点＄z_0$ 处的极限存在且等于＄f(z_0)＄，则称函数＄f(z)＄在点＄z_0$ 处连续。

例如，函数＄f(z) ＝ z$ 在整个复数域上都是连续的。

三、复变函数的导数复变函数的导数定义与实函数类似，但需要满足柯西黎曼方程。

设函数＄f(z) ＝ u(x, y) ＋ iv(x, y)＄，则其导数为：＼f'（z) ＝＼lim_{＼Delta z ＼to 0} ＼frac{f(z ＋＼Delta z) f(z)｝｛＼Delta z}＼柯西黎曼方程为：＼＼frac{＼partial u}｛＼partial x} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial y}，＼quad ＼frac{＼partial u}｛＼partial y} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial x}＼例如，函数＄f(z) ＝ z^2 ＝（x ＋ iy)＾2 ＝ x^2 y^2 ＋ 2ixy$，则＄u ＝ x^2 y^2$，＄v ＝ 2xy$。

复变函数论课后题答案 (第四版钟玉泉)复变函数论课后题答案 (第四版钟玉泉)一、选择题1. B2. D3. A4. C5. B6. A7. D8. B9. C10. A二、填空题1. 解析函数2. 极限3. 全纯函数4. 实部5. 可微6. 黎曼-一般黎曼条件7. 柯西-黎曼方程8. 积分路径无关9. 简单闭合路径10. 等速圆三、简答题1. 复数的实部和虚部分别由实部和虚部函数来得到。

实部函数是通过将复数的虚部置零得到。

虚部函数是通过将复数的实部置零得到。

2. 解析函数是指在一个区域内处处可导的函数。

全纯函数是指处处可导的复数函数。

3. 构造一个有界区域，包含有限个奇点，并使该区域与其他奇点不相交。

在奇点上，确保函数无界。

4. 通过直接计算导数或利用柯西-黎曼方程来证明。

五、计算题1. 解：根据题意，由柯西-黎曼方程可得：∂u/∂x = ∂v/∂y∂u/∂y = -∂v/∂x由第一式可得∂u/∂x = -2y积分得：u = -2xy + f(y)对u求偏y导数得：∂u/∂y = -2x + f'(y)由第二式可得∂u/∂y = -(-4y) = 4y所以，-2x + f'(y) = 4yf'(y) = 4y + 2x对f'(y)积分得：f(y) = 2xy + xy^2 + g(x)综上所述，u = -2xy + 2xy + xy^2 + g(x)= xy^2 + g(x)故解为 f(z) = xy^2 + g(x) + i(2xy + f(y))2. 根据题意，f'(z) = u_x + iv_x = 4x^3 - 12xy^2 + 6x + 2y - 4xyi 对z积分得：f(z) = x^4 - 6x^2y^2 + 6xy + 2xy + C= x^4 - 6x^2y^2 + 8xy + C故解为 f(z) = x^4 - 6x^2y^2 + 8xy + C六、证明题待补充完整。

复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。

3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z xx y y z x ππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 当x=0 arg=+-二分之拍4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+” 5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。

(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x i y x i y z x i y x x y y y x y x i z x i y x i y x i y x y x y+-++-===+++-++。

2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z eθθ+=；()121122i z z e z z θθ-= 3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。

复变函数复习题详细答案复变函数复习题详细答案如下：1. 复数的代数形式和几何解释复数 \( z = a + bi \) 可以表示为平面上的一个点 \( (a, b) \)，其中 \( a \) 是实部，\( b \) 是虚部。

复数的模 \( |z| \) 表示该点到原点的距离，即 \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)。

2. 复数的运算两个复数 \( z_1 = a + bi \) 和 \( z_2 = c + di \) 的加法和乘法运算如下：\[ z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i \]\[ z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i \]3. 复数的共轭和模复数 \( z = a + bi \) 的共轭为 \( \overline{z} = a - bi \)，模为 \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)。

4. 复数的指数形式复数 \( z \) 可以表示为指数形式 \( z = re^{i\theta} \)，其中\( r = |z| \) 是模，\( \theta \) 是 \( z \) 的辐角，满足\( \cos\theta = \frac{a}{r} \) 和 \( \sin\theta = \frac{b}{r} \)。

5. 复数的对数复数 \( z \) 的对数定义为 \( \log z = \log r + i\theta \)，其中 \( r = |z| \)，\( \theta \) 是 \( z \) 的主辐角。

6. 复数的导数设 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \) 是复函数，其中 \( z = x +iy \)，则 \( f(z) \) 的导数为：\[ f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partialv}{\partial x} \]前提是 \( u \) 和 \( v \) 的偏导数满足柯西-黎曼方程。

复变函数复习资料复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是具有复数变量和复数值的函数。

复变函数的研究对于数学的发展和应用有着重要的意义。

在这篇文章中，我将为大家提供一些复变函数的复习资料，希望对大家的学习有所帮助。

一、复变函数的基本概念复变函数是指定义在复数域上的函数，它的自变量和因变量都是复数。

复变函数可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy，u(x,y)和v(x,y)分别是实部和虚部函数。

复变函数的导数和积分也有相应的定义，与实数函数的导数和积分有一些不同之处。

二、复变函数的解析性与调和性复变函数的解析性是指函数在某个区域内处处可导，它是复变函数的重要性质。

根据柯西—黎曼方程，只有满足一定条件的函数才能是解析函数。

解析函数具有很多重要的性质，例如它的实部和虚部都是调和函数，它的导数也是解析函数。

三、复变函数的级数表示复变函数可以用级数表示，这是复变函数研究中常用的一种方法。

泰勒级数是复变函数的一种重要的级数表示形式，它可以将函数展开成一系列幂函数的和。

而洛朗级数则是将函数展开成一系列幂函数和互补幂函数的和，适用于具有奇点的函数。

四、复变函数的积分复变函数的积分是复分析中的重要内容，它与实数函数的积分有一些不同之处。

复变函数的积分可以沿着一条曲线进行，这就是复积分的概念。

复积分有一些重要的性质，例如柯西—黎曼积分定理和柯西公式等，它们在复分析中有着广泛的应用。

五、复变函数的应用复变函数在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。

它可以用来描述电磁场、流体力学和信号处理等问题。

复变函数的解析性和级数表示等性质使得它在实际问题的求解中具有很大的优势。

总结：复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是具有复数变量和复数值的函数。

复变函数的解析性、级数表示和积分等性质是复变函数研究的核心内容。

复变函数在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。

希望通过这些复习资料，能够帮助大家更好地理解和掌握复变函数的知识。

一、单选题1.设f(z)=sin z，则下列命题中，不正确的是( )。

A、f(z)在复平面上处处解析B、f(z)以2T为周期C、D、丨f(z)丨是无界的答案： C2.A、iB、-iC、1D、-1答案： B3.下列命题中，不正确的是（）。

A、B、C、若在区域D内有f '(z)=g(z)，则在D内g'(z)存在且解析D、答案： D4.设f(z)在区域D内解析，c为D内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D．如果f(z)在c上的值为2，那么对c内任一点z0，f(z0)( )A、等于0B、等于1C、等于2D、不能确定答案： C5.下列函数中，为解析函数的是（）。

A、x²-y²-2xyB、x²+xyiC、2(x-1)y+i(y²-x²+2x)D、x³+iy³答案： C6.下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为( ).A、B、C、D、答案： B7.函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的( )A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既非充分条件也非必要条件答案： B8.A、2B、2iC、1+iD、2+2i答案： A9.A、不存在的B、唯一的C、纯虚数D、实数答案： D10.A、有界区域B、无界区域C、有界闭区域D、无界闭区域答案： D11.设v(x,y)在区域D内为u(x,y)的共辄调和函数，则下列函数中为D内解析函数的是（）。

A、v(x,y)+iu(x,y)B、v(x,y)-iu(x, y)二、 判断题C 、u(x,y)-iv(x,y)D 、答案： B12.下列数中，为实数的是（ ）。

A 、B 、cos iC 、In iD 、答案： B1.若f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件.A 、正确B 、错误答案： 正确2.若a 是f(z)和g(z)的一个奇点,则a 也是f(z)+g(z)的奇点。

(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. ①两个复数相等，当且仅当它们的实部与虚部分别相等。

②一个复数等于零，当且仅当它的实部与虚部同时等于零。

③称复数x+iy 和x-iy 互为共轭复数。

2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于[)π2,0中的幅角。

（()Arg z 有无穷个值，()arg z 是复数z 的辐角的主值()Arg z =()arg z +2k π3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下： 当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：)sin (cos z θθi r +=，其中)(r z g A =θ；注：中间一定是“+”号。

（r=|z|）5）指数表示：θi re =z ，其中)(r z g A =θ。

(二) 复数的运算 1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±··2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。

复变函数复习题答案1. 复数的代数形式是什么？复数的代数形式为 \( z = a + bi \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 是实数，\( i \) 是虚数单位，满足 \( i^2 = -1 \)。

2. 复数的模和辐角的定义是什么？复数 \( z = a + bi \) 的模定义为 \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)，辐角定义为 \( \arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) \)（考虑主值）。

3. 复数的乘法和除法如何进行？两个复数 \( z_1 = a_1 + b_1i \) 和 \( z_2 = a_2 + b_2i \) 的乘法为：\[ z_1 \cdot z_2 = (a_1a_2 - b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)i \]除法为：\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{(a_1 + b_1i)(a_2 - b_2i)}{a_2^2 +b_2^2} \]4. 复数的共轭是什么？复数 \( z = a + bi \) 的共轭为 \( \overline{z} = a - bi \)。

5. 复数的实部和虚部如何表示？复数 \( z = a + bi \) 的实部表示为 \( \Re(z) = a \)，虚部表示为 \( \Im(z) = b \)。

6. 复数的指数形式和对数形式是什么？复数的指数形式为 \( z = |z|e^{i\arg(z)} \)，对数形式为\( \log(z) = \ln|z| + i\arg(z) \)。

7. 复变函数的导数定义是什么？设 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可导，则导数定义为：\[ f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0 + \Delta z) -f(z_0)}{\Delta z} \]8. 柯西-黎曼方程是什么？对于复变函数 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \)，柯西-黎曼方程为：\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \]\[ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partialv}{\partial x} \]9. 复变函数的积分定义是什么？复变函数 \( f(z) \) 在曲线 \( C \) 上的积分定义为：\[ \int_C f(z) \, dz = \int_C (u(x, y) + iv(x, y)) \, (dx + idy) \]10. 留数定理的内容是什么？留数定理指出，对于在简单闭合曲线 \( C \) 内部及其上除了有限个奇点外处处解析的函数 \( f(z) \)，其在 \( C \) 上的积分可以表示为：\[ \int_C f(z) \, dz = 2\pi i \sum \text{Res}(f, z_k) \]其中 \( z_k \) 是 \( f(z) \) 在 \( C \) 内部的奇点，\( \text{Res}(f, z_k) \) 是 \( f(z) \) 在 \( z_k \) 处的留数。

复变函数期末复习一知识点1第一章主要掌握复数的四则运算，复数的代数形式、三角形式、指数形式及其运算。

2第二章主要掌握函数的解析性，会判断函数是否是解析函数，会求解析函数的导数。

3第三章掌握复变函数积分的计算，掌握柯西积分公式，掌握解析函数与调和级数的关系。

4第四章掌握复数项级数的有关性质，会把一个函数展开成泰勒级数。

5第五章掌握将函数展开为洛朗级数，掌握孤立奇点的分类及判断。

6第六章掌握留数的计算，掌握用留数计算积分，掌握利用留数计算三类实积分。

二例题选讲1求i3的值。

知识点：利用定义bLna be a=。

解i 3=3iLn e=)23(ln πk i i e+=3ln 2i k e +-π=)3ln sin 3ln (cos 2i e k +-π。

2设1||=z ，试证：1_____=++baz a z b 。

知识点：复数，复数的模，共轭复数之间的关系。

2__2__||||z z z z ==证明：由1||=z 得，1__=z z ，baz zz a z b b az a z b ++=++____________=baz zz a b ++)(_______=1)()(_______________=++=++b az zaz b b az z z a b 3求2sin Arc 的值。

知识点：初等函数的定义，函数值的计算，)1(sin 2z iz iLn z Arc -+-=，)1(cos 2z i z iLn z Arc -+-=解：)32(2sin i i iLn Arc ±-==iiLn )32(±-=i k i i ππ22)32[ln(++±-=)32ln(22±--i k ππ，,...2,1,0±±=k 4证明)|||(|2||||2221221221z z z z z z +=-++。

证明)|||(|2||||2221221221z z z z z z +=-++。