郑012 1.7定积分导学案2013-14高二下数学2-2

高二数学选修2-2 定积分的概念 学案【学习目标】1. 了解定积分的概念,会通过四步曲求连续函数的定积分;2. 了解定积分的几何意义及性质. 【复习回顾】1.用四步曲--------------------------求得曲边梯形得面积S=____________________________2.用四步曲求得变速运动得路程S=_____________________________. 【知识点实例探究】 例1. 函数)(x f 在区间[]b a ,上连续,如同曲边梯形面积得四步曲求法写出运算过程.上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数)(x f 在区间[]b a ,上得定积分,记做⎰∑=∞→-=bani i n f nab dx x f 1(lim )(ξ),定积分的几何意义是:______________________________-__________________________________________________________________________-.例2.计算下列定积分的值,并从几何上解释这个值表示什么?(4)1(2122333+=+++n n n )(1) ⎰13dx x (2)⎰-013dx x(3)⎰-113dx x (4)⎰-213dx x例3.利用定积分的几何意义说明dx x ⎰-121的大小.例4.利用定积分的定义,证明a b dx ba-=⎰1,其中b a ,均为常数且b a <.【作业】1. 设连续函数0)(>x f ,则当b a <时,定积分⎰badx x f )(的符号________A.一定是正的B.一定是负的C.当b a <<0时是正的D.以上都不对 2. 与定积分dx x ⎰π230sin 相等的是_________A.⎰π230sin xdx B.⎰π230sin xdxC.⎰πsin xdx -⎰ππ23sin xdx D.⎰⎰+23220sin sin πππxdx xdx3. 定积分的⎰badx x f )(的大小_________A. 与)(x f 和积分区间[]b a ,有关,与i ξ的取法无关.B. 与)(x f 有关,与区间[]b a ,以及i ξ的取法无关C. 与)(x f 以及i ξ的取法有关,与区间[]b a ,无关D. 与)(x f 以及i ξ的取法和区间[]b a ,都有关 4. 下列等式成立的是________ A.a b dx ba-=⨯⎰0 B.21=⎰baxdxC.dx x dx x ⎰⎰=-10112 D.⎰⎰=+bab a xdx dx x )1(5. 已知⎰ba dx x f )(=6,则______)(6=⎰dx x f ba6. 已知,18)()(=+⎰dx x g x f ba ⎰=badx x g 10)(,则⎰badx x f )(=______________7. 已知,3)(20=⎰dx x f 则[]=+⎰dx x f 26)(___________8. 计算dx x 21031⎰9. 计算dx x 316⎰10.课本56页B 组.3。

第七课时 定积分的简单应用（二）3.1平面图形的面积一、教学目标：1、了解定积分的几何意义及微积分的基本定理；2、掌握利用定积分求曲边图形的面积。

二、教学重点与难点：1、定积分的概念及几何意义；2、定积分的基本性质及运算的应用 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）练习 1．若11(2)a x x+⎰d x = 3 + ln 2，则a 的值为（ D ）A ．6B ．4C ．3D ．2 2．设2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤<=⎨-<≤⎩，则1()a f x ⎰d x等于（ C ）A ．34B ．45C ．56D ．不存在3．求函数dx a ax x a f )46()(1022⎰++=的最小值解：∵102231022)22()46(x a ax x dx a ax x ++=++⎰2232212(64)(22)|22x ax a dx x a a x a a ++=++=++⎰． ∴22()22(1)1f a aa a =++=++． ∴当a = – 1时f (a )有最小值1． 4．求定分3-⎰x ．5．怎样用定积分表示：x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？6． 你能说说定积分的几何意义吗？例如⎰badx x f )(的几何意义是什么?表示x 轴，曲线)(x f y =及直线a x =，b x =之间的各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正，在x 轴下方的面积取负。

（二）、新课探析 例1．讲解教材例题例2．求曲线y=sinx ,x ]32,0[π∈与直线x=0 ,32π=x ,x 轴所围成图形的面积。

练习：1．如右图，阴影部分面积为（ B ） A ．[()()]ba f x g x -⎰d xB ．[()()][()()]cba c g x f x dx f x g x -+-⎰⎰d xC ．[()()][()()]bba c f x g x dx g x f x -+-⎰⎰d xD ．[()()]b ag x f x +⎰d x2．求抛物线y = – x 2+ 4x – 3及其在点A （1，0）和点B （3，0）处的切线所围成的面积．32（三）、归纳总结：1、求曲边梯形面积的方法：⑴画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。

1.7.1定积分在几何中的应用【学习目标】1.进一步理解定积分的几何意义.2.了解应用定积分解决几何问题的思想方法.3.能应用定积分解决一些简单的几何问题. 【新知自学】知识回顾：1.定积分的几何意义是_____________________________________________.2.微积分基本定理:一般地，如果)(x f 是区间b a,上的连续函数，并且，)()(x f x F ，那么dx x f b a )(________．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿一莱布尼兹公式．即()()|bb a a f x dx F x ________________________．3.定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0．(1)当对应的曲边梯形位于x 轴上方时(图1)，定积分的值取_______ 且等于曲边梯形的________ ；(2)当对应的曲边梯形位于x 轴下方时(图2)，定积分的值取_______ 且等于曲边梯形______ 的相反数；(3)当位于x 轴上方的曲边梯形的面积等于位于x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为_______ (如图3)且等于位于x 轴_____ 的曲边梯形的面积减去位于______ 的曲边梯形的面积．4.定积分的三个性质(1)a bkf(x)dx ＝；(2)a b[f 1(x)±f 2(x)]dx ＝(3)a bf(x)dx ＝a c f(x)dx ＋c b f(x)dx(其中a<c<b)．新知梳理：1.若函数错误！未找到引用源。

和错误！未找到引用源。

在区间错误！未找到引用源。

上连续且在错误！未找到引用源。

上有错误！未找到引用源。

,。

1.7.1定积分在几何中的应用1．利用定积分求平面图形的面积在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．2．常见图形的面积与定积分的关系(1)如图①，当f(x)>0时，b f(x)d x□01>0，所以S＝□02⎠⎛a b f(x)d x；⎠⎛a(2)如图②，当f(x)<0时，b f(x)d x□03<0，所以S＝⎠⎛ab f(x)d x| ＝□04－⎠⎛a b f(x)d x；|⎠⎛a(3)如图③，当a≤x≤c时，f(x)<0，c f(x)d x□05<0；当c≤x≤b时，f(x)>0，⎠⎛ab f(x)d x□06>0，所以S＝| ⎠⎛ac f(x)d x| ＋⎠⎛c b f(x)d x＝□07－⎠⎛a c f(x)d x＋□08⎠⎛c b f(x)d x；⎠⎛c(4)如图④，在公共积分区间[a，b]上，当f1(x)>f2(x)时，曲边梯形的面积为S＝b[f1(x)－f2(x)]d x＝□09⎠⎛a b f1(x)d x－⎠⎛a b f2(x)d x.⎠⎛a求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤第一步，画出图形．第二步，确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限．第三步，确定被积函数，特别要注意分清被积函数上、下位置．第四步，写出平面图形面积的定积分表达式．第五步，运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积．答案(1)×(2)√(3)√2．做一做(1)由曲线y＝e x，x＝2，x＝4，y＝0所围成的图形的面积等于________．(2)曲线y＝x3与直线y＝x所围成图形的面积为________．(3)抛物线y ＝x 2－1与x 轴围成图形的面积是________． 答案 (1)e 4－e 2 (2)12 (3)43探究1 不可分割图形面积的求解例1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．[解] 由⎩⎨⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2得⎩⎨⎧ x ＝－3，y ＝5或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3，5)和(2,0)． 设所求图形的面积为S ，根据图形可得拓展提升不分割型图形面积的求解步骤： (1)准确求出曲线的交点横坐标；(2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域； (3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分； (4)计算得所求面积．【跟踪训练1】 计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 3所围成图形的面积S.解 作出曲线y 2＝x ，y ＝x 3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 3，得交点横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为探究2 可分割图形面积的求解例2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积． [解] 解法一：画出草图，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝－13x拓展提升由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化区段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上、下限．【跟踪训练2】求由抛物线y2＝8x(y>0)与直线x＋y－6＝0及y＝0所围成图形的面积．探究3 综合问题例3 在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围的面积为112，试求：(1)切点A 的坐标； (2)在切点A 的切线方程．[解] 如右图，设切点A(x 0，y 0)，由y ′＝2x ，过点A 的切线方程为 y －y 0＝2x 0(x －x 0)， 即y ＝2x 0x －x 20，令y ＝0，得x ＝x 02，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，0.拓展提升本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．【跟踪训练3】已知抛物线y＝－x2a＋2x(a>0)，过原点的直线l平分由抛物线与x轴所围成的封闭图形的面积，求l的方程．对于简单图形的面积求解，可以直接运用定积分的几何意义，此时：(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标.(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负、可为零；而平面图形的面积总是非负的.1．由y＝1x，x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积为()A．ln 2 B．ln 2－1 C．1＋ln 2 D．2ln 2 答案 A解析 画出曲线y ＝1x (x >0)及直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，则所求面积S 为如图所示阴影部分面积．所以S ＝⎠⎛121x d x ＝ln x|21＝ln 2－ln 1＝ln 2.2．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.712 答案 A解析 作出曲线y ＝x 2，y ＝x 3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x3得曲线y ＝x 2，y ＝x 3交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 4|10＝13－14＝112.3．由曲线y ＝2x 2，及x ＝0，x ＝3，y ＝0所围成图形的面积为________． 答案 18解析 图形面积为S ＝⎠⎛032x 2d x ＝2⎠⎛03x 2d x ＝23x 3|30＝18.4．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，则k 的值是________．答案1－3 4 25．如图，求由曲线y＝e x，y＝e－x及直线x＝1所围成的图形的面积S.A级：基础巩固练答案 B解析 如图，x 轴下方与上方的面积相等．2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(－2≤x <0)，2cosx ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.32 B ．1 C.12 D ．4 答案 D答案 D4．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为()A.14 B.15C.16 D.17答案 C5．由曲线y ＝1x ，直线y ＝x ，x ＝4以及x 轴所围成的封闭图形的面积是( ) A.3132 B.2316 C ．ln 4＋12 D ．ln 4＋1答案 C解析 作出曲线y ＝1x ，直线y ＝x ，x ＝4的草图，所求封闭图形的面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝1x ，得曲线y ＝1x 与直线y ＝x 的交点坐标分别为(1,1)和(－1，－1)(舍去)，解方程组⎩⎨⎧x ＝4，y ＝1x ，得直线x ＝4与曲线y ＝1x 的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫4，14.故阴影部分的面积(记为S)由两部分组成：一部分是直线x ＝1左边图形的面积(记为S 1)，另一部分是直线x ＝1右边图形的面积(记为S 2)．则S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛141x d x ＝12x 2|10＋ln x|41＝ln 4＋12.6．由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2，t ∈(0,1)所围成的图形(如右图所示阴影部分)的面积S 的最小值为( )A.14B.13C.12D.23答案 A解析 阴影部分的面积S ＝t 3－⎠⎛0t x 2d x ＋⎠⎛t 1x 2d x －(1－t)t 2＝43t 3－t 2＋13，可得S ′＝4t 2－2t .令S ′＝0，得t ＝12或t ＝0(舍去)，可判定当t ＝12时S 最小，S min ＝14，故选A .二、填空题7．由曲线y 2＝2x ，y ＝x －4所围成图形的面积是________． 答案 188．曲线C：y＝e x在点A处的切线l恰好经过坐标原点，则曲线C，直线l，y轴围成的图形面积为________．答案e2－19．由两条曲线y＝x2，y＝14x2与直线y＝1围成平面区域的面积是________．答案4 3解析解法一：如图，y＝1与y＝x2交点A(1,1)，y＝1与y＝x24交点B(2,1)．由对称性可知面积三、解答题10．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2.(1)求y＝f(x)的表达式；(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．B 级：能力提升练11．已知抛物线y ＝x 2－2x 与直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a 的值．解 作出y ＝x 2－2x 的图象，如图所示． ①当a <0时，S ＝⎠⎛a0(x 2－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|0a ＝－a 33＋a 2＝43，∴(a ＋1)(a －2)2＝0.∵a <0，∴a ＝－1. ②当a ＝0时，不符合题意． ③当a >0时， 若0<a ≤2，则S ＝－⎠⎛0a (x 2－2x )d x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|a 0＝a 2－a 33＝43，∴(a ＋1)(a －2)2＝0.∵a >0，∴a ＝2.若a >2，显然有S>43，故不符合题意． 综上，a ＝－1或2.12．如图，设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A (2,4)移动，记直线OP 与曲线y ＝x 2所围成图形的面积为S 1，直线OP 、直线x ＝2与曲线y ＝x 2所围成图形的面积为S 2.(1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2取最小值时，求点P 的坐标及其最小值．解 (1)设点P 的横坐标为t(0<t<2)，则点P 的坐标为(t ，t 2)，直线OP 的方程为y ＝t x .S 1＝⎠⎛0t (t x －x 2)d x ＝16t 3，S 2＝⎠⎛t2(x 2－t x )d x ＝83－2t ＋16t 3，因为S 1＝S 2，所以16t 3＝83－2t ＋16t 3，解得t ＝43， 故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169.(2)令S ＝S 1＋S 2，由(1)知，S ＝16t 3＋83－2t ＋16t 3＝13t 3－2t ＋83， 则S ′＝t 2－2，令S′＝0，得t2－2＝0，因为0<t<2，所以t＝2，又当0<t<2时，S′<0；当2<t<2时，S′>0；故当t＝2时，S1＋S2有最小值，最小值为83－423，此时点P的坐标为(2，2)．。

定积分的简单应用导学案学科：高二数学课型：新授课课时：2课时编写时间：2013－3－15编写人：邓朝华审核人：陈平班级：姓名：【导案】【学习目标】1．熟练掌握应用定积分求解平面图形的面积问题。

2．掌握应用定积分解决变速直线运动的路程和变力做功等问题。

3．培养学生的建模水平和解决实际问题的能力。

【学习重难点】重点：应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力做功等问题使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值。

难点：将实际问题化归为定积分的问题。

【学案】1．计算平面图形面积的一般步骤在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先____________，再借助________________直观确定出____________________以及积分的____________。

2．变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a, b]上的定积分，即s=____________________________.3．变力作功（1）恒力F的作功公式一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位：m)，则力F所作的功为____________。

（2）变力F(x)的作功公式如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b(a＜b)，那么变力F(x)所作的功为W=________________。

4．例题分析【例1】计算由曲线y2=x, y=x2所围图形的面积S。

【例2】计算由直线y=x-4，曲线x轴所围图形的面积S.【例3】一辆汽车的速度-时间曲线如图所示。

求汽车在这1min行驶的路程。

【例4】如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m处，求克服弹力所做的功。

5．达标检测教材P58 练习P95 练习P60 习题A组B组定积分的简单应用练案（一）学科：数学编写人：邓朝华审核人：陈平编写时间：2013.3.15班级：姓名：评分：1. 求由抛物线y2=8x(y＞0)与直线x+y-6=0及y=0所围成图形的面积。

1．7.1 定积分在几何中的应用（结合配套课件、作业使用，效果更佳） 周；使用时间17 年 月 日 ；使用班级 ；姓名【学习目标】会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．重点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．难点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．【检查预习】预习课本，完成导学案“自主学习”部分，准备上课回答.【自主学习】知识点 定积分在几何中的应用思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？1．当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积S ＝ʃb a f (x )d x .2．当x ∈[a ，b ]时，若f (x )<0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积S ＝－ʃb a f (x )d x .3．当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>g (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积S ＝ʃb a [f (x )－g (x )]d x .(如图)【合作探究】 类型一 求不分割型图形的面积例1 试求曲线y ＝x 2－2x ＋3与y ＝x ＋3所围成的图形的面积．跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．类型二 分割型图形面积的求解例2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积． 跟踪训练2 (1)如图，阴影部分由曲线y ＝1x，y 2＝x 与直线x ＝2，y ＝0所围成，则其面积为________．(2)求由曲线y＝x2，直线y＝2x和y＝x围成的图形的面积．类型三定积分的综合应用例3在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为112，试求：切点A的坐标以及在切点A处的切线方程．跟踪训练3如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．【学生展示】探究点一、二【教师点评】探究点三及【学生展示】出现的问题【当堂检测】1.2.……………【小结作业】小结：作业：对应限时练。

第七课时 定积分的简单应用（二）3.1平面图形的面积一、教学目标：1、了解定积分的几何意义及微积分的基本定理；2、掌握利用定积分求曲边图形的面积。

二、教学重点与难点：1、定积分的概念及几何意义；2、定积分的基本性质及运算的应用 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）练习1．若11(2)ax x+⎰d x = 3 + ln 2，则a 的值为（ D ） A ．6B ．4C ．3D ．22．设2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤<=⎨-<≤⎩，则1()a f x ⎰d x 等于（ C ）A ．34B ．45C ．56D ．不存在3．求函数dx a ax x a f )46()(1022⎰++=的最小值解：∵102231022)22()46(x a ax x dx a ax x ++=++⎰2232212(64)(22)|22x ax a dx x a a x a a ++=++=++⎰．∴22()22(1)1f a a a a =++=++． ∴当a = – 1时f (a )有最小值1．4．求定分3-⎰x ．5．怎样用定积分表示：x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？6． 你能说说定积分的几何意义吗？例如⎰badx x f )(的几何意义是什么?表示x 轴，曲线)(x f y =及直线a x =，b x =之间的各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正，在x 轴下方的面积取负。

（二）、新课探析 例1．讲解教材例题例2．求曲线y=sinx ,x ]32,0[π∈与直线x=0 ,32π=x ,x 轴所围成图形的面积。

练习：1．如右图，阴影部分面积为（ B ） A ．[()()]ba f x g x -⎰d xB ．[()()][()()]cbacg x f x dx f x g x -+-⎰⎰d x C ．[()()][()()]bbacf xg x dx g x f x -+-⎰⎰d xD ．[()()]bag x f x +⎰d x2．求抛物线y = – x 2+ 4x – 3及其在点A （1，0）和点B （3，0）处的切线所围成的面积．32 （三）、归纳总结：1、求曲边梯形面积的方法：⑴画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。