高二数学定积分

高二数学定积分知识点总结一、定积分的概念1.1 定积分的引入在高中数学中，我们学过了不定积分的概念和性质，定积分就是在这个基础上引入的。

当我们对一个函数进行积分时，如果我们要计算的量是函数在一个区间上的面积或者体积，那么我们就需要用到定积分。

定积分可以看做是一个变量的特定区间上的累积和。

1.2 定积分的定义设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，将[a, b]分成n等分，每个小区间的长度为Δx=n(b-a)，在第i个小区间上任取一点ξi，则f(x)在[a, b]上的定积分为：∫[a,b]f(x) dx=lim{n→∞}∑{i=1}^{n}f(ξi)Δx其中lim{n→∞}表示当n趋向于无穷大时的极限。

1.3 定积分的几何意义定积分的几何意义即函数f(x)在[a, b]上的定积分就是函数y=f(x)与x轴所围区域的有向面积。

1.4 定积分的性质（1）定积分的线性性质：∫[a,b][f(x)+g(x)] dx=∫[a,b]f(x) dx+∫[a,b]g(x) dx（2）定积分的估值性质：若f(x)在[a, b]上连续，则必定存在α∈[a, b]，使得∫[a,b]f(x)dx=f(α)(b-a)1.5 定积分的计算定积分的计算主要是通过不定积分的计算来实现。

通过不定积分求出F(x)的原函数后，即可得到∫[a,b]f(x) dx=F(b)-F(a)。

二、定积分的应用2.1 定积分的物理意义定积分在物理学中有着重要的应用，它可以用来计算物体的质量、重心、压力、力矩等。

在力学中，定积分常用来计算物体的质心以及转动惯量等。

2.2 定积分的几何应用定积分可以用来求曲线与坐标轴所围成的曲边梯形或者曲边梯形的面积，也可以用来计算曲线的弧长、曲线旋转体的体积等几何问题。

2.3 定积分的工程应用在工程问题中，定积分可以用来计算各种曲线的长度、曲线所围成的区域面积、曲线所绕成的物体的体积等。

2.4 定积分的经济应用在经济学中，定积分可以用来计算总收益、总成本、总利润等与变量有关的经济指标。

定积分的计算知识点总结一、定积分的定义。

1. 概念。

- 设函数y = f(x)在区间[a,b]上连续，用分点a=x_0将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为Δ x=(b - a)/(n)。

在每个小区间[x_i - 1,x_i]上取一点ξ_i(i =1,2,·s,n)，作和式S_n=∑_i = 1^nf(ξ_i)Δ x。

当nto∞时，如果S_n的极限存在，则称这个极限为函数y = f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫_a^bf(x)dx，即∫_a^bf(x)dx=limlimits_n→∞∑_i = 1^nf(ξ_i)Δ x。

- 这里a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a,b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积表达式。

2. 几何意义。

- 当f(x)≥slant0时，∫_a^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x 轴所围成的曲边梯形的面积。

- 当f(x)≤slant0时，∫_a^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x 轴所围成的曲边梯形面积的相反数。

- 当f(x)在[a,b]上有正有负时，∫_a^bf(x)dx表示位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积。

二、定积分的基本性质。

1. 线性性质。

- ∫_a^b[k_1f(x)+k_2g(x)]dx = k_1∫_a^bf(x)dx + k_2∫_a^bg(x)dx，其中k_1,k_2为常数。

2. 区间可加性。

- ∫_a^bf(x)dx=∫_a^cf(x)dx+∫_c^bf(x)dx，其中a < c < b。

3. 比较性质。

- 如果在区间[a,b]上f(x)≥slant g(x)，那么∫_a^bf(x)dx≥slant∫_a^bg(x)dx。

- 特别地，<=ft∫_a^bf(x)dxright≤slant∫_a^b<=ftf(x)rightdx。

定积分与微积分基本定理教学重点：定积分的概念、定积分的几何意义．求简单的定积分,微积分基本定理的应用教学难点：定积分的概念、求曲边图形面积．一．定积分的概念回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程等问题的解决方法，这几个问题都有什么共同点呢？分割→以直代曲→求和→取极限（逼近一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，分割 用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=）， 以直代曲 在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，每份小曲边梯形的面积近似为()i f x ξ∆ 求和：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑取极限 如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。

思考 定积分()baf x dx ⎰是一个常数还是个函数？即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．常见定积分 曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr=⎰理解 本来 面积=底⨯高 路程=速度⨯时间 功=力⨯位移因为都是不规则的，所以都用先分割，再以直代曲，这样就可以相乘了，再求和 ，再取极限。

二．定积分的几何性质 定积分()baf x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，。

定积分24个基本公式定积分是微积分中的重要概念，而掌握定积分的基本公式则是解决定积分问题的关键。

下面咱就来好好聊聊这 24 个基本公式。

先来说说定积分的定义。

定积分简单来说，就是曲线下的面积。

想象一下，有一条弯曲的线，我们要算出它和坐标轴之间围成的那块区域的大小，这就是定积分要干的事儿。

咱们来看第一个基本公式：∫kdx = kx + C （k 为常数）。

这个公式其实挺好理解的，就好比你每天固定吃三个苹果（k = 3），连续吃 x 天，那一共吃的苹果数就是 3x 个。

再看∫x^n dx = (1/(n + 1))x^(n + 1) + C （n ≠ -1）。

这个公式就像你爬楼梯，每次上 n 级台阶，爬了 x 次，总共上的台阶数就是按照这个公式来算的。

我记得有一次给学生们讲定积分的时候，有个学生一脸懵地问我：“老师，这定积分到底有啥用啊？”我就给他举了个例子。

我说：“假设你在跑步，速度不是恒定的，而是随着时间变化的。

我们想知道在一段时间内你跑的总路程，这时候定积分就派上用场啦。

通过速度和时间的函数关系，用定积分就能算出总路程。

”这孩子听完，眼睛一下子亮了，好像突然明白了。

还有∫sin x d x = -cos x + C 、∫cos x dx = sin x + C 这两个公式。

就像坐过山车，sin x 是上上下下的刺激，cos x 是起起伏伏的心跳，它们之间的关系通过这两个公式紧密相连。

∫e^x dx = e^x + C 这个公式呢，就像是财富的不断增长，e^x 就像那不断增值的投资。

说起来，有一次我自己在做一道定积分的题目，算了好几遍都不对，急得我抓耳挠腮。

后来仔细一看，原来是我把一个公式用错了。

这让我深刻体会到，这 24 个基本公式，一个都不能马虎，必须牢记于心。

∫1/x dx = ln|x| + C ，这个公式就像在探索未知的领域，ln|x|是那神秘的密码。

∫tan x dx = -ln|cos x| + C 、∫cot x dx = ln|sin x| + C ，这两个公式仿佛是在三角函数的海洋里畅游，得把握好方向。