第一章 二次根式章节复习

《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义.2.二次根式的性质（1）； （2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2)a =（0a ≥），如2221122););33x x ===（0x ≥）. （2）2a a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 2a .（32a a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42a 2)a 的异同a 可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a ，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 2.3. 最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.. 要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断..要点二、二次根式的运算1. 乘除法（1）乘除法法则：类型法则 逆用法则二次根式的乘法 0,0)a b =≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥≥二次根式的除法 0,0)a b ≥> 商的算术平方根化简公式：0,0)a b=≥> 要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如=（2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）..2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.(13=+-=。

二次根式全章复习一． 教学衔接二． 教学内容知识点一：二次根式的概念及意义考点１：二次根式的概念：一般地，形如a （ａ≥０）的式子叫做二次根式，其中“”叫做二次根号，ａ叫做被开方数。

考点２．二次根式的非负性：当ａ＞０时，a 表示ａ的算术平方根，因此a ＞０；当ａ＝０时，a 表示０的算术平方根，因此a ＝０，所以a （ａ≥０）总是非负数，即a ≥０。

例１．下列各式中，是二次根式的是（ ） Ａ．34 Ｂ．35）（- Ｃ．a Ｄ．21 例２．下列各式中，是二次根式的有（ ）① x ；②2；③12+x ；④兀；⑤4；⑥39；⑦35-；⑧72；⑨100-． Ａ．３个 Ｂ．４个 Ｃ．５个 Ｄ．６个规律小结：判断一个式子是不是二次根式，要看它是否同时具备两个特征： （１）带有二次根号“”； （２）被开方数为非负数。

例3.根式3-x 中ｘ的取值范围是（ ） Ａ．ｘ≥3 Ｂ．ｘ≤3 Ｃ．ｘ＜3 Ｄ．ｘ＞3例4.若2-a ＋3-b ＝０，则ａ2－２ｂ＝．例5.已知ｙ＝52-x ＋x 25-＋３，则２ｘｙ的值为（ ）Ａ．－１５ Ｂ．１５ Ｃ．－215 Ｄ．215 规律小结：二次根式中涉及两类非负数问题： （１）二次根式a 中被开方数ａ必须是一个非负数，即ａ≥０； （２）二次根式a （ａ≥０）本身的值也是一个非负数，即a ≥０（ａ≥０）．随堂练习：1.当ｘ为何值时，下列二次根式在实数范围内有意义？（１）24-x ； （２）x 3-； （３）x 58-；（４）1222+x ； （５）52--x ； （６）x x 2+．2.使式子2x -有意义的未知数ｘ有（ ）Ａ．０个 Ｂ．１个 Ｃ．２个 Ｄ．无数个3.下列式子122++x x ，22+x ，x ，33，5-，9，３2中，哪些是二次根式？4.1+x ＋（ｙ－２０１３）2＝０，则ｘy ＝．5.若ｘ，ｙ为实数，且ｙ＝x x 4312-+＋3412-+x x ＋１，求ｘ＋ｘｙ＋ｘ2ｙ的值。

二次根式章节复习一、归纳总结1.二次根式的定义：一般地，我们把形如a （a ___0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根式.定义诠释：（1）二次根式的定义是以形式界定的，如4是二次根式；（2）形如a b（a ≥0）的式子也叫做二次根式；（3）二次根式a 中的被开方数a ，可以是数，也可以是单项式、多项式、分式，但必须满足a ≥0.2.二次根式的基本性质（1）a _____0（a ___0）； （2）()2a ＝_____（a ___0）； （3）a a =2＝()()⎩⎨⎧0_____0_____a a ；（4=____________（a ___0，b ___0）；（5=_____________（a ___0，b ___0）. 3.最简二次根式必须满足的条件为：（1）被开方数中不含_______；（2）被开方数中所有因式的幂的指数都______. 4.二次根式的乘、除法则：（1=___________（a ___0，b ___0）；（2=____________（a ___0，b ___0）. 复习提示：（1）进行乘法运算时，若结果是一个完全平方数，则应利用==a a 2()()⎩⎨⎧<-≥00a aa a 进行化简，即将根号内能够开的尽方的数移到根号外；（2）进行除法运算时，若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数，应运用积的算术平方根的性质将其进行化简.5.同类二次根式：几个二次根式化成_________后，如果_______相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.6.二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成_______，然后把___ ______进行合并.复习提示：（1）二次根式的加减分为两个步骤：第一步是_____，第二步是____，在合并时，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变；（2）不是同类二次根式的不能合并，如：53+≠8；（3）在求含二次根式的代数式的值时，常用整体思想来计算.7.二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一致，也是先____，再____，最后____，有括号的先_____内的.复习提示：（1）在运算过程中，有理数（式）中的运算律，在二次根式中仍然适用，有理数（式）中的乘法公式在二次根式中仍然适用；（2）二次根式的运算结果可能是有理式，也可能是二次根式，若是二次根式，一定要化成最简二次根式.8.二次根式的实际应用利用二次根式的运算解决实际问题，主要从实际问题中列出算式，然后根据运算的性质进行计算，注意最后的结果有时需要取近似值. 二、典例精析例1：若式子43-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A.x ≥34 B.x ＞34 C.x ≥43 D.x ＞43 变式1：代数式21-x 中，x 的取值范围是______.变式24x =+成立的x 的取值范围为例2. 下列各式中，正确的是（ ） A.()332-=- B.332-=- C.()332±=± D.332±=例3：已知32552--+-=x x y ，则xy 2的值为（ ）A.—15B.15C.215-D.215 例4. 二次根式中，最简二次根式是（ ）A.51B.5.0C.5D.50 变式：下列各式中，是最简二次根式的是（ ）A.23B.36C.2.1D.49例5. 计算1824-×31＝____. 变式：计算：（1）(2（2）(22+（3）((2222--+ （4）((2005200533-例6.已知：x =，y =，求22x y xy +的值.例7. 若120142013-=m ，则34520132m m m --的值是_____.【当堂测评】1.根式3-x 中x 的取值范围是（ ）A.x ≥3B.x ≤3C.x ＜3D.x ＞3 2.下列各式是最简二次根式的是（ ）A.20B.1.2C.72D.51 3.下列各式中，与3是同类二次根式的是（ ）A.18B.24C.12D.9 4.化简122154+⨯的结果是（ ） A.25 B.36 C.3 D.35 5.下列运算正确的是（ ）A.25＝±5B.12734=-C.9218=÷D.62324=• 6.已知：132-=-b a ，3=ab ，则()()11-+b a 的值为（ ） A.3- B.33 C.223- D.13-7.已知三角形三边的长分别为18cm 、12cm 、18cm ，则它的周长为_____cm.8.当m＜0时，化简mm2＝____.9.计算：()2850÷-的结果是_____.10.实数在数轴上的位置如下图所示，化简()221-+-aa＝_____.11.已知011=-++ba，则20132013ba+＝____.12.如果最简二次根式am a--7与m2是同类二次根式，则a＝____，m＝____. 13.先化简，再求值：()()()633--+-aaaa，其中215+=a.14.计算：（1）671+的值；（2）17231+的值；15.先化简，再求值：221aaa+-+，其中1007=a. 下图是小亮和小芳的解答过程：（1）_____的解法是错误的；（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：___________.（3）先化简，再求值：9622+-+aaa，其中2007-=a.解：原式＝+a()21a-11=-+=aa解：原式＝+a()21a-＝1-+aa＝2013。

第一单元（二次根式）复习提纲一、二次根式的相关概念1.形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式。

a 读作 “根号a ”。

na 读作“n 次根号a ”，其中n 叫做根指数，根指数为2时，通常省略不写。

“”叫做二次根号。

a 叫做被开方数。

2.二次根式的识别： ⑴ 二次根式应满足两个条件① 有二次根号“”；② 被开方数必须是非负数（正数或0）⑵ 找出下列式子中的二次根式 ①．12+m（ ） ② .38- （ ） ③.1-x （ ） ④.5（ ） ⑤.0 （ ）⑥.x （x>0） （ ） ⑦ .0 （ ） ⑧.yx +1（ ） ⑨.y x +（x ≥0,y ≥）（ ）3. 二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数（正数或0）；分式有意义的条件：分母不能为零。

练习：当x 是怎样的实数时，下列格式在实数范围内有意义？ （1）2+x ；（2） x -3；（3） x 5；（4） x -；（5）3-x x二、二次根式的性质1.一个非负数的算术平方根是一个非负数（双重非负性） a ≥0（a ≥0）应用：如果几个非负数的和等于零，那么这几个非负数都等于零。

若2-a ＋3-b ＋()42-c =0,则a －b ＋c=2.一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。

()a 2=a （a ≥0）反过来：一个非负数等于它的算术平方根的平方a=()a 2（a ≥0）应用：在实数范围内进行因式分解x2－5=3. 一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值。

a （a ＞0）a2=a = 0（a=o ）-a （a ＜0）4. 积的算术平方根的性质：几个非负数的积的算术平方根等于这几个非负数的算术平方根的积。

ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）应用：利用它可以进行二次根式的化简。

5. 商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。

ba =ba （a ≥0，b ＞0）应用：利用它可以进行二次根式的化简。

⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 二次根式一、本章知识内容归纳 1.概念：①二次根式——形如 的式子；当 时有意义，当 时无意义； ②最简二次根式——根号中不含 和 的二次根式； ③同类二次根式—— 的二次根式。

2.性质：①)0(0≥≥a a 非负性; ②)0()(2≥=a a a ;③ (分类讨论思想：字母从根号中开出来时要带绝对值 再根据具体情况判断是否需要讨论)3.运算: 运算结果每一项都是最简二次根式，且无可合并的同类二次根式. ①乘法和积的算术平方根可互相转化:)0,0(≥≥=⋅b a ab b a ; ②除法和商的算术平方根可互相转化:)0,0(>≥=b a baba ③加减法：先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式；④混合运算：有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用； 二、本章常用方法归纳 方法1.分母有理化： ①常用的有理化因式：a 与a 、b a +与b a -、b a +与b a -互为有理化因式；②分母有理化步骤：先将二次根式尽量化简，找分母最简有理化因式； 将计算结果化为最简二次根式的形式。

方法2. 非0的二次根式的倒数 ①a 的倒数：a aa a==11（a>0）; ②b a 的倒数：ab （a>0, b>0）; ③※因为=-+++)1)(1(n n n n ，所以)1(n n ++的倒数为 。

方法3. 利用“”外的因数化简“”①a aaa a==1)0(≥a ； ②)0,0(2≥≥=b a b a b a三、本章典型题型归纳 （一）二次根式的概念和性质1．x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）2+x －x 23-； （2）x -－11+x ； （3）2||12--x x ；2．若x 、y 为实数，y ＝2-x ＋x -2＋3．则y x=3．根据下列条件，求字母x 的取值范围：（1）3)3(2+=+x x ； （2）x x -=2；（3）122+-x x ＝1－x ； （4）※22)3()2(-+-x x ＝14．在实数范围内因式分解：x 4－4＝______________．5．已知a,b,c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=6.若最简二次根式1452+x 与最简二次根式164-x 可以合并，则x 的取值为——————※7．把mm 1-根号外的因式移到根号内，得______________8．若y=5-x +x -5+2018，则x+y=______________ 9．实数a ，b ，c ，如图所示，化简2a －│a －b │+2()b c +=______．oc a10．将根号外的a 移到根号内，得 ( ) A.； B. －； C. －； D.11．已知0<x<12211()4()4x x x x-++-．（二）同类与最简二次根式1.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）A B C2. 已知最简二次根式b a=______，b=_______ （三）二次根式的运算 1．乘除法口算： （1）61= （2）81= （3）312= （4）322= （5）33= （6）26= （7）326-= （8）bb 2142= （9）8517÷= （10）211311÷= （11）52245454÷=（12）)25(122)341(-÷⋅-（13）61132135÷⋅=3. 计算：（1）． 2484554+-+ （2）8＋(－1)3－2×22(3) 3)154276485(÷+- （4) 2)32()122)(488(---+(5) 21418122-+-4. 若一个正方体的长为cm 62，宽为cm 3，高为cm 2，则它的体积为 3cm .5. 观察下列各式的特点：2312->-，3223->-，2532->-，……(1)请根据以上规律填空20182018 (2)请根据以上规律写出第)1(≥n n 个不等式，并证明你的结论.（四）二次根式的化简求值 1．若,3=xy 求yxyx y x +的值。

第一部分：知识回顾知识点1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。

知识点2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

知识点3.同类二次根式二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

知识点4.二次根式的性质（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2） 知识点5.二次根式的运算⑴二次根式的加减运算：先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可。

⑵二次根式的乘除运算：①ab =b a •（a ≥0,b ≥0）； ②()0,0>≥=b a ba b aa （a ＞0）==a a 2a -（a ＜0） 0 （a =0）；二次根式总复习第二部分：分类训练专题一、二次根式1.若式子5x +在实数范围内有意义,则x 的取值范围是（ ）A.x >-5B.x <-5C.x ≠-5D.x ≥-52.若，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．3.使式子2(5)x --有意义的未知数x 有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．无数 4.计算28-的结果是（ ）A.6B.6C.2D.2 5.下列根式中属最简二次根式的是（ ）A.21a +B.12C.8D.27 6.下列各式中与是同类二次根式的是（ ）A ．2B ．C ．D ．7.已知二次根式与是同类二次根式，则的α值可以是( )A.5B.6C.7D.8 8.如图，在数轴上表示实数15的点可能是（ ）A ．点PB ．点QC ．点MD ．点N9.如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 10.2x -x 的取值范围是11.中，自变量的取值范围是12.在根式)(2,4,26,27,21,3222y x x a xy +中,最简二次根式有_________ 13.化简：（1）72=___； （2）222524-=_____； （3）61218⨯⨯=____；（4）3275(0,0)x y x y ≥≥=____； （5）_______420=-。