[经济学]第八章-多元函数微分学

多元函数微分学及其应用

（时间：150分钟）

一、选择题(每小题3分，共15分)

1、二重极限21lim1xxyxyax之值为（ ）．

（A） 0; （B） 1; （C） 1e; （D） e.

2、设函数),(yxf在),(00yx处的偏导数),(yxfx与),(yxfy存在，则（ ）.

（A） ),(yxf在),(00yx处可微;

（B） ),(yxf在),(00yx处连续;

（C） ),(yxf在),(00yx处沿任意方向的方向导数存在;

（D） 以上三个结论都不正确.

3、已知矩形的周长为2p,将它绕其一边旋转而形成一个旋转体,当此旋转体的体积为最大时,矩形两边长分别为（ ）.

（A）,22pp; （B）2,33pp; （C） 3,44pp; （D） 23,55pp.

4、假设曲线2121522yxzx在点（1，-1，-2）处的切线与直线533903210,xyzxyz的夹角（ ）.

（A） 0 ; （B）4; （C） 3; （D）2.

5、设(),()fxgx是可微函数，且满足(,)(25)(25)uxyfxygxy,

(,0)sin2uxx,(,0)0yux，则(,)uxy（ ）.

（A）sin2cos5xy; （B）sin5cos2xy; （C）cos5sin2xy; （D）cos2sin5xy.

二、填空题(每小题3分，共15分)

1、设yxeuxsin，则yxu2在点)1,2(处的值为 ．

2、设yxyxyxzarctanln22，则dz= ．

3、函数zyxu1在点(1,1,1)处的梯度为 ．

第八章 多元函数微分学习题解

第八章 多元函数微分学习题解

第8章 多元函数微分学

§8.1 多元函数的基本概念

内容概要

区域 定义

邻域 nR空间中点0P的邻域为 00(){|||}UPPPP

平面上点000(,)Pxy的邻域为 22000(){(,)|()()}UPxyxxyy

点集 开集 所有点都是内点的点集

闭集 开集连同边界构成的点集

连通集 任意两点都可用一条完全在点集中的折线连接的点集

区域 连通的点集。开区域、闭区域；有界区域、无界区域

多元函数 定义 D为平面上非空点集，如果对D中任一点(,)xy，按某种法则f，都有唯一确定的实数z与之对应，则称f为D上的二元函数，记(,)zfxy，(,)xyD，D为定义域。

几何意义：(,)zfxy为空间曲面，D为曲面在xoy面上投影。

可定义三元及以上函数。

二重极限 0,0,当2200()()xxyy时，恒有|(,)|fxyA，则称00lim(,)xxyyfxyA。

注：其中00(,)(,)xyxy为任意方式。从而若(,)xy以不同方式趋于00(,)xy时，(,)fxy无限靠近不同的常数，则二重极限不存在。

多元函数连续 若0000lim(,)(,)xxyyfxyfxy，则函数(,)zfxy在00(,)xy连续。

初等函数在其定义区域内连续。

闭区域上连续函数必有最大、最下值；有界；满足介值定理。

课后习题全解

习题8-1

★1.设 222(,)xyfxyxy，求(1,)yfx。

解：222222(1,)1()yyxyxfyxxyx

★2. 已知函数(,,)wuvfuvwuw，试求(,,)fxyxyxy。

解： 2(,,)()()xyxfxyxyxyxyxy

★★3.设()zxyfxy，且当0y时，2zx，求()fx。

第2章 一元函数微分学

2.1 导数的概念

2.1.1 导数

2.1.2 右导数

2.1.3 左导数

2.1.4 函数在区间上的可导性

2.2 函数可导的条件

2.3 导数的几何意义与物理意义

2.3.1 导数的几何意义

2.3.2 导数的物理意义

2.4 导数的计算

2.4.1 基本初等函数的导数公式

2.4.2 导数的四则运算法则

2.4.3 复合函数的导数

2.4.4 反函数的导数

2.4.5 隐函数的导数

2.4.6 高阶导数

2.4.6.1 高阶导数的定义

2.4.6.2 高阶导数的运算法则

2.4.6.3 几个常见初等函数的n阶导数公式

2.4.7 由参数方程确定的函数的导数

2.5 微分的概念

2.5.1 微分的定义

2.5.2 微分的几何意义

2.5.3 可微与导数的关系

2.5.4 一阶微分形式的不变性

2.6 微分中值定理

2.6.1 罗尔定理

2.6.2 拉格朗日中值定理

2.6.3 柯西中值定理

2.6.4 泰勒定理

2.6.4.1 带拉格朗日余项的泰勒定理

2.6.4.2 带皮亚诺余项的泰勒定理

2.6.4.3 几个常用函数的带皮亚诺余项的麦克劳林展开式

2.7 洛必达法则

2.7.1 求“0/0”型未定式极限的洛必达法则

2.7.2 求“∞/∞”型未定式极限的洛必达法则

2.8 函数及其性态的研究

2.8.1 单调的判定定理

2.8.2 极值的概念

2.8.3 可导点处极值的必要条件

2.8.4 极值的充分条件

2.8.4.1 极值的第一充分条件

2.8.4.2 极值的第二充分条件

2.8.5 函数图形的凹凸性

2.8.6 凹凸性的判定定理

2.8.7 拐点的概念

2.8.8 二阶可导点处拐点的必要条件

2.8.9 拐点的充分条件

2.8.10 渐近线的概念

2.8.11 求斜渐近线

2.9 曲率、曲率半径、曲率圆

2.9.1 弧微分

第十七章 多元函数微分学

知识脉络

1．偏导数的概念及几何意义

2. 全微分的定义

3．求复合函数的偏导数与全微分

4. 方向导数的定义、求法；梯度的定义、求法以及与方向导数的关系

5. 会求二元函数低阶的泰勒展开式，记住泰勒定理

6. 会求无条件极值及最值

7.掌握可微、偏导函数连续、偏导存在、函数连续、函数沿任意方向的方向导数存在、函数的极限存在的关系

一、填空题

1．若函数fxy(,)在点(,)ab处的偏导数存在，lim(,)(,)xfaxbfaxbx0= .

2． 曲线zxyx3122()在点(1,1,1)处的切线与y轴正向所成的倾角为 .

3.xyeyxf),(，则)1,1(xf ．

4.设zxyysin()3，则zxxy21__ _______.

5.设fxyxy(,)22，则fy(,)01= _______ __.

6．设uxyzxyz(,,)，则)3,2,1(du=______ ___.

7. 3arcsin(),3,4zxyxtyt，则tzdd .

8.设uxyyx，则22ux= _________.

9.设uxxyln，则2uxy= ___________ .

10.设)(yxeefz,且)(uf可微，则yzexzexy ．

11．设),,(wvufz可微，ywevxuyln,sin,2，则yz ． 12.函数) , (yxxfz，则xz=___________________；yxz2=__________________.

13. 设22,cos,sinzuvuvuxyvxy，则zx ；zy .