中考数学常考易错点：3.4《反比例函数》

中考数学易错题精选-反比例函数练习题附答案解析一、反比例函数1．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．【答案】（1）解：当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；（2）把A（﹣4，），B（﹣1，2）代入y=kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y= x+ ，把B（﹣1，2）代入y= 得m=﹣1×2=﹣2；（3）解：如下图所示：设P点坐标为（t，t+ ），∵△PCA和△PDB面积相等，∴• •（t+4）= •1•（2﹣t﹣），即得t=﹣，∴P点坐标为（﹣，）．【解析】【分析】（1）观察函数图象得到当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；（2）先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把B点坐标代入y= 可计算出m的值；（3）设P点坐标为（t， t+ ），利用三角形面积公式可得到• •（t+4）= •1•（2﹣ t﹣），解方程得到t=﹣，从而可确定P点坐标．2．如图直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，点B，D的坐标分别为B（1，0），D（3，3）．（1）点C的坐标________；（2）若反比例函数y= （k≠0）的图象经过直线AC上的点E，且点E的坐标为（2，m），求m的值及反比例函数的解析式；（3）若（2）中的反比例函数的图象与CD相交于点F，连接EF，在直线AB上找一点P，使得S△PEF= S△CEF，求点P的坐标．【答案】（1）（3，0）（2）解：∵AB=CD=3，OB=1，∴A的坐标为（1，3），又C（3，0），设直线AC的解析式为y=ax+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为y=﹣ x+ ．∵点E（2，m）在直线AC上，∴m=﹣ ×2+ = ，∴点E（2，）．∵反比例函数y= 的图象经过点E，∴k=2× =3，∴反比例函数的解析式为y=（3）解：延长FC至M，使CM= CF，连接EM，则S△EFM= S△EFC， M（3，﹣0.5）．在y= 中，当x=3时，y=1，∴F（3，1）．过点M作直线MP∥EF交直线AB于P，则S△PEF=S△MEF．设直线EF的解析式为y=a'x+b'，∴，解得，∴y=﹣ x+ ．设直线PM的解析式为y=﹣ x+c，代入M（3，﹣0.5），得：c=1，∴y=﹣ x+1．当x=1时，y=0.5，∴点P（1，0.5）．同理可得点P（1，3.5）．∴点P坐标为（1，0.5）或（1，3.5）．【解析】【解答】解：（1）∵D（3，3），∴OC=3，∴C（3，0）．故答案为（3，0）；【分析】（1）由D的横坐标为3，得到线段OC=3，即可确定出C的坐标；（2）由矩形的对边相等，得到AB=CD，由D的纵坐标确定出CD的长，即为AB的长，再由B的坐标确定出OB的长，再由A为第一象限角，确定出A的坐标，由A与C的坐标确定出直线AC的解析式，将E坐标代入直线AC解析式中，求出m的值，确定出E的坐标，代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；（3）延长FC至M，使CM=CF，连接EM，则S△EFM=S△EFC， M（3，﹣0.5）．求出F（3，1），过点M作直线MP∥EF交直线AB于P，利用平行线间的距离处处相等得到高相等，再利用同底等高得到S△PEF=S△MEF．此时直线EF与直线PM的斜率相同，由F的横坐标与C横坐标相同求出F 的横坐标，代入反比例解析式中，确定出F坐标，由E与F坐标确定出直线EF斜率，即为直线PM的斜率，再由M坐标，确定出直线PM解析式，由P横坐标与B横坐标相同，将B横坐标代入直线PM解析式中求出y的值，即为P的纵坐标，进而确定出此时P的坐标．3．如图，已知直线y=x+k和双曲线y= （k为正整数）交于A，B两点．（1）当k=1时，求A、B两点的坐标；（2）当k=2时，求△AOB的面积；（3）当k=1时，△OAB的面积记为S1，当k=2时，△OAB的面积记为S2，…，依此类推，当k=n时，△OAB的面积记为S n，若S1+S2+…+S n= ，求n的值．【答案】（1）解：当k=1时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+1和y= ，解得，，∴A（1，2），B（﹣2，﹣1）（2）解：当k=2时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+2和y= ，解得，，∴A（1，3），B（﹣3，﹣1）设直线AB的解析式为：y=mx+n，∴∴，∴直线AB的解析式为：y=x+2∴直线AB与y轴的交点（0，2），∴S△AOB= ×2×1+ ×2×3=4；（3）解：当k=1时，S1= ×1×（1+2）= ，当k=2时，S2= ×2×（1+3）=4，…当k=n时，S n= n（1+n+1）= n2+n，∵S1+S2+…+S n= ，∴ ×（…+n2）+（1+2+3+…n）= ，整理得：，解得：n=6．【解析】【分析】（1）两图像的交点就是求联立的方程组的解；（2）斜三角形△AOB的面积可转化为两水平（或竖直）三角形（有一条边为水平边或竖直边的三角形称为水平或竖直三角形）的面积和或差；（3）利用n个数的平方和公式和等差数列的和公式可求出.4．如图，已知A是双曲线y= （k＞0）在第一象限内的一点，O为坐标原点，直线OA交双曲线于另一点C，当OA在第一象限的角平分线上时，将OA向上平移个单位后，与双曲线在第一象限交于点M，交y轴于点N，若 =2，（1）求直线MN的解析式；（2）求k的值．【答案】（1）解：∵OA在第一象限的角平分线上，∴直线OA的解析式为y=x，∴将OA向上平移个单位后，N（0，），可设直线MN的解析式为y=x+b，把N（0，）代入，可得b= ，∴直线MN的解析式为y=x+（2）解：如图所示，过A作AB⊥y轴于B，过M作MD⊥y轴于D，则∠MDN=∠ABO=90°，由平移可得，∠MND=∠AOB=45°，∴△MDN∽△ABO，∴ = =2，设A（a，a），则AB=a，∴MD= a=DN，∴DO= a+ ，∴M（ a， a+ ），∵双曲线经过点A，M，∴k=a×a= a×（ a+ ），解得a=1，∴k=1．【解析】【分析】（1）第一三象限角平分线为y=x,向上平移为y=x+b,可求出N点坐标，代入y=x+b，即可求出;（2）通过作垂线构造相似三角形，即△MDN∽△ABO，把A、M坐标代入解析式即可求出a,进而求出k.5．如图①所示,双曲线y= (k≠0)与抛物线y=ax2+bx(a≠0)交于A、B、C三点,已知B(4,2),C(-2,-4),直线CO交双曲线于另一点D,抛物线与x轴交于另一点E.（1）求双曲线和抛物线的解析式;（2）在抛物线上是否存在点P,使得∠POE+∠BCD=90°?若存在,请求出满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;（3）如图②所示,过点B作直线L⊥OB,过点D作DF⊥L于F,BD与OF交于点P,求的值.【答案】（1）解：把B(4,2)代人y= (k≠0)得2= 元,解得k=8z，∴双曲线的解析式为y= ，把B(4,2),C(-2,-4)代入y=ax2+bx得，，∴，∴抛物线的解析式为y=（2）解：连接DB,∵C(-2,-4),∴直线OC的解析式为y=2x且与y= 的另一个交点D(2,4)，∴由两点间距离公式得BC= ,DB= ,CD= ，∴BC2+DB2=CD2，∴∠CBD=90°，∴tan∠ BDC= .∵∠POE+∠BCD=90°,∠BCD+∠BDC=90°,∴∠POE=∠BDC.即tan∠POE=3.∴P在直线y=3x或y=-3x上,故有两种情况:解得(0,0)(舍)或(-6,-18)(舍);，解得(0,0)(舍)或(18,-54)，故可得出满足条件的P点有一个(18,-54)；（3）解：由B(4,2)可得直线OB解析式y= ，由OB⊥l可得l的解析式为y=-2x+b1,把(4,2)代入求出b1=10,∴l的解析式为y=-2x+10，由DF⊥l， OB⊥l可得DF∥OB,∴可设DF解析式y= x+b2，把D(2，4)代入得b2=3.∴DF的解析式为y= x+3，把DF的解析式与l的解析式联立可得：解得：∴，∴DF= ，OB=.∵DF∥OB，∴【解析】【分析】(1)因为双曲线与抛物线交于点A、B、C，且B（4，2），C（-2，-4），所以用待定系数法即可求得两个函数的解析式；（2）连接DB,因为直线CO与双曲线交于点D，所以C、D两点关于原点成中心对称，所以点D（2，4），则可将BC、CD、BD放在直角三角形中，用勾股定理求得这三边的长，然后计算可得，由勾股定理的逆定理可得∠CBD=90°，则∠BDC的正切值可求出来，由已知条件∠POE+∠BCD=90°可得∠BDC=∠POE，则tan∠BDC=tan∠POE,点P所在的直线解析式可得，将点P所在的直线解析式与抛物线的解析式联立解方程组，即可求得点P的坐标；（3）由题意直线L⊥OB，根据互相垂直的两条直线的k值互为负倒数易求得直线l的解析式，因为DF⊥L于F,所以同理可求得直线DF的解析式，把DF的解析式与l的解析式联立可得点F的坐标，则DF和OB的长可用勾股定理求得，因为DF∥OB，所以由平行线分线段成比例定理可得比例式;,将DF和OB的值代入即可求解。

中考数学反比例总结知识点反比例是数学中的一个重要概念，特别是在中考数学中，反比例的相关知识点经常会出现在试题中。

了解反比例的性质和运用方法对提高数学成绩至关重要。

在本文中，我们将对中考数学中的反比例相关知识点进行总结，希望能够帮助同学们更好地掌握反比例的相关知识。

一、反比例的概念反比例是指当一个量的变化导致另一个量的变化时，两者之间的关系是成反比的。

通常情况下，如果一个量的增加导致另一个量的减少，或者一个量的减少导致另一个量的增加，那么这两个量之间就是成反比的关系。

例如，如果一个人跑步的速度增加，那么完成一段距离所需的时间就会减少，这两个量之间就是成反比的关系。

二、反比例的表示方法在数学中，反比例可以使用比例式表示。

如果两个变量x和y成反比，那么它们之间的关系可以用以下比例式表示：y = k / x其中，k是一个常数，通常称为反比例常数。

例如，如果一个物体从地面向上抛，它的高度和时间之间的关系就可以用反比例表示：高度h = k / t，其中k是一个常数，t是时间。

除了比例式表示，反比例还可以用图像表示。

如果将反比例式y = k / x在坐标平面上进行绘制，得到的曲线就是反比例函数的图像。

通常情况下，反比例函数的图像是一个经过原点的双曲线。

三、反比例的性质在中考数学中，常常会遇到关于反比例性质的试题。

了解反比例的性质对解题至关重要。

1. 反比例函数的图像反比例函数的图像是一个经过原点的双曲线。

当x接近0时，y会变得非常大，但是y永远不会等于0。

反比例函数的图像关于y轴对称。

2. 反比例常数在反比例式y = k / x中，k被称为反比例常数。

k越大，两个变量之间的反比例关系越明显；k越小，反比例关系越不明显。

3. 反比例的倍数关系如果一对变量x和y成反比例关系，那么它们之间存在倍数关系。

例如，如果y = k / x，那么y1 = k / (ax)，y2 = k / (bx)，这时y1和y2之间的关系是成反比例的。

专题13 反比例函数1．反比例函数：形如y＝xk（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。

其他形式xy=k、1-=kxy。

2．图像：反比例函数的图像属于双曲线。

反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。

有两条对称轴：直线y=x和 y=-x。

对称中心是：原点。

它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

3．性质:（1）当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；（2）当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。

4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。

5．反比例函数解析式的确定由于在反比例函数xky=中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

【例题1】（2019山东枣庄）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A.B分别在x 轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝（x＞0）的图象上，若AB＝1，则k的值为（）A．1 B．C．D．2【答案】A专题知识回顾专题典型题考法及解析【解析】根据题意可以求得OA和AC的长，从而可以求得点C的坐标，进而求得k的值，本题得以解决．∵等腰直角三角形ABC的顶点A.B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，AB＝1，∴∠BAC＝∠BAO＝45°，∴OA＝OB＝，AC＝，∴点C的坐标为（，），∵点C在函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝＝1故选：A．的图【例题2】（2019湖南郴州）如图，点A，C分别是正比例函数y＝x的图象与反比例函数y=4x象的交点，过A点作AD⊥x轴于点D，过C点作CB⊥x轴于点B，则四边形ABCD的面积为．【答案】8【解析】∵A、C是两函数图象的交点，∴A、C关于原点对称，∵CD⊥x轴，AB⊥x轴，∴OA＝OC，OB＝OD，∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD，的图象上，又∵反比例函数y=4x∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD=1×4＝2，2∴S四边形ABCD＝4S△AOB＝4×2＝8，故答案为：8．【例题3】（2019江苏镇江）如图，点A(2，n)和点D是反比例函数y＝mx（m＞0，x＞0）图像上的两点，一次函数y＝kx＋3（k≠0）的图像经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C，过点D作DE ⊥x轴，垂足为E，连接OA、OD．已知△OAB与△ODE的面积满足S△OAB﹕S△ODE＝3﹕4．（1）S△OAB＝________，m＝________；（2）已知点P(6，0)在线段OE上，当∠PDE＝∠CBO时，求点D的坐标．【答案】见解析。

一次函数和反比例函数综合问题目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略 【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）一次函数和反比例函数是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容.每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分.1．从考点频率看，一次函数和反比例函数的图象和性质是考查的基础，也是高频考点、必考点，所以对一次函数和反比例函数的图象和性质必须熟记.2．从题型角度看，以解答题的第三题或第四题为主，分值8分左右，着实不少！易错点一 一次函数与反比例函数中由面积求点坐标【例1】（2024·广东珠海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数图象5y x =−+与y 轴交于点A ，与反比例函数ky x=的图象的一个交点为(),4B a ，过点B 作AB 的垂线l ．(1)求点A 的坐标及反比例函数的表达式；(2)若点C 在直线l 上，且ABC 的面积为5，求点C 的坐标；S=ABCABCS=【例2】（2024·甘肃陇南·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数4y x =−与反比例函数ky x=的图象交于A ，B 两点，与x 轴相交于点C ，已知点A ，B 的坐标分别为()5,n n 和(),5m −．(1)求反比例函数的解析式； (2)点P 为反比例函数ky x=图象上任意一点，若2POC AOC S S =△△，求点P 的坐标．【例3】（2024·山东济宁·一模）如图，点()3,6A ，()6,B a 是反比例函数y x=的图象上的两点，连接OA 、OB ．(1)求a 的值； (2)求AOB 的面积；(3)若点C 的坐标为()9,0，点P 是反比例函数图象上的点，若POC △的面积等于AOB 面积的3倍，求点P的坐标． )AOB 的面积为AODBOES S=，由BOEAODAOEB S SS S=−四边形，可得AOBS=1273322POCAOBSOC PE S =⨯⨯==⨯，即可求解，【详解】（1）解：∵点()3,6A ，()6,B a 是反比例函数y x=的图象上的两点， ∴63m=，解得：18m =， ∴反比例函数解析式为：18y x=， ∴186a =，解得：3a =， 故答案为：3a =，（2）解：过点A ，B ，作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为D ，E ，由（1）可知，点()3,6A ，()6,3B 是反比例函数18y x=的图象上的两点， ∴6AC =，3OD =，3BD =,6OE =，AODBOES S=，∵BOEAODAOEB AOEB S SS S−=−四边形四边形，∴()()()()()1112763632222AOBADEB SS AD BE DE AD BE OE OD ==+⋅=+⋅−=+−=梯形， 故答案为：AOB 的面积为272， （3）解：设点P 坐标为18,p p ⎛⎫⎪⎝⎭，过点P ，作PE x ⊥轴，垂足为E ，∴18180PE p p=−=，9OC =， ∴1273322POCAOBSOC PE S =⨯⨯==⨯， 即：118279322p ⨯⨯=⨯，解得：2p =或2p =−， ∴()2,9P 或()2,9P −−，故答案为：点P 的坐标为()2,9或()2,9−−．一次函数中平移问题【例1】（2024·河北邯郸·二模）如图，直线1:4l y x =+与y 轴，x 轴交于点A ，点B ，直线2l 与y 轴，x 轴交于点A ，点,2C OC OA =．(1)求点A 的坐标及直线2l 的解析式；(2)点13,22D m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在直线3l 上．①直接写出直线3l 的解析式；②若点D 在ABC 内部（含边界），求m 的取值范围；③横纵坐标都为整数的点为整点，将直线3l 向上平移n 个单位长度（n 为整数），直线3l 在第二象限恰有4个整点，直接写出n的值．=OC OA2①点在ABC 内部（含边界）【例2】（2024·河北石家庄·一模）如图，平面直角坐标系中，线段AB 的端点为(2,2)A ，(4,1)B ．直线:2l y x =+与x 轴，y 轴分别交于C ，D 两点，动点P 从点D 出发，沿y 轴以每秒1个单位长度的速度向下移动，设移动时间为t 秒．某同学设计了一个动画：线段AB 为蓝色光带，当有动点或动直线经过线段AB 时，蓝色光带会变成红色．(1)求直线AB 的解析式；(2)①若直线l 随点P 向下平移，当2t =时，蓝色光带是否变红？②点M 是直线l 上的一点，若点M 向下平移4个单位长度的过程中，能使蓝色光带变红，求点M 的横坐标M x 的取值范围；Q m n三点共线时，直接写出m与t的函数关系式．(3)当点C，点P与蓝色光带上的点(,)直线过直线又直线②点A）()20C −，易错点三 一次函数与反比例函数中求线段和的最小值问题【例1】（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，一次函数8y x =+的图象与反比例函数()0ky x x=<的图象交于(),6A a ，B 两点．(1)求此反比例函数的表达式及点B 的坐标；(2)在y 轴上存在点P ，使得AP BP +的值最小，求AP BP +的最小值．则AP BP +的最小值A =【例2】（2023·辽宁盘锦·二模）如图，一次函数4y x =+的图象与反比例函数ky x=（k 为常数且0k ≠）的图象交于()1,A a −，B 两点．(1)求此反比例函数的表达式及点B 的坐标；(2)当反比例函数值大于一次函数值时，直接写出x 的取值范围；(3)在y 轴上存在点P ，使得APB △的周长最小，求点P 的坐标并直接写出APB △的周长． ）解：点点点A题型一 一次函数的图象和性质【例1】（2024·浙江·模拟预测）已知点()11,A m n ，()22,B m n ()12m m <在一次函数y kx b =+的图像上． (1)用含有1m ，1n ，2m ，2n 的代数式表示k 的值．(2)若123m m b +=，124n n kb +=+，2b >．试比较1n 和2n 的大小，并说明理由．【例2】（2024·浙江杭州·一模）设一次函数31y ax a =++（a 是常数，0a ≠）． (1)无论a 取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点坐标： (2)若24x ≤≤时，该一次函数的最大值是6，求a 的值． 【详解】（1）解：一次函数1， 当3x =−时，11y =，∴无论a 取何值，该一次函数图象始终过定点(3,1)−；（2）解：当0a >时，当4x =时，一次函数14316y a a =++=，1．（2024·北京·一模）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象经过点()0,1，()2,2−，与x 轴交于点A ．(1)求该一次函数的表达式及点A 的坐标；(2)当2x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于一次函数y kx b =+（0k ≠）的值，直接写出m 的取值范围．解：一次函数2．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知一次函数10y mx n mn =+≠．(1)已知关于x 的一元二次方程20x mx n +−=必有两个不相等的实数根，试说明一次函数1y mx n =+的图象过第一和第二象限．(2)在（1）的条件下，已知另一函数2y nx m =+的图象与y 1图象的交点在第四象限，求不等式12y y >的解． 【答案】(1)见解析解：∵关于x 的一元二次方程20x mx n +−=的解，可看作抛物线2y x =与直线y mx n =−+的交点， 根据题意得，抛物线2y x =与直线y mx n =−+必有两个不同的交点， ∴0n >，∴一次函数1y mx n =+的图象过第一和第二象限； （2）解：∵2y nx m =+，0n >，∴直线2y nx m =+一定经过第一、三象限， ∵直线2y nx m =+与y 1图象的交点在第四象限，∴直线2y nx m =+一定经过第一、三、四象限， ∴0m <， ∴0m n −<， ∵12y y >， ∴mx n nx m +>+， 整理得()m n x m n −>−， ∴1x <，即不等式12y y >的解集为1x <．题型二 反比例函数的图象和性质【例1】（2024·陕西西安·一模）已知反比例函数3my x−=． (1)若该反比例函数图象在每一个象限内，y 都随着x 的增大而减小，求m 的取值范围； (2)若点()2,3A 在此反比例函数图象上，求反比例函数的解析式．1．（2024·福建南平·一模）反比例函数ky x=图象经过点(1,6)A ，(,3)B a ． (1)求a 的值；(2)若点(,)C m n 在反比例函数ky x=图象上，其中3n <，求m 的取值范围． 题型三 一次函数和反比例函数与不等式综合问题【例1】（2024·贵州毕节·一模）如图，一次函数()0y ax b a =+≠与反比例函数()0ky k x=≠的图象在第一象限交于()2,3A 和()3,B m 两点，与x 轴交于点C ．(1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出关于x 的不等式(0)kax b x x+>>的解集． ）解：点又B【例2】（2024·陕西宝鸡·一模）如图所示，一次函数1y x m =−+图象与反比例函数2ky x=图象相交于点(,3)A n 和点(3,1)B −．(1)求反比例函数解析式； (2)当12y y >时，求x 的取值范围．1．（2024·山西朔州·一模）如图，反比例函数()1110,0k y k x x=>>与一次函数()2220y k x b k =+≠的图象交于()2,3A ，3,2B m ⎛⎫⎪⎝⎭两点．(1)求m 的值及一次函数的表达式． (2)直接写出当12y y >时，x 的取值范围．）解：反比例函数与一次函数的图象交于当24x <<时，12y y <，所以，当12y y >时， x 的取值范围为02x <<或4x >．2．（2024·江西九江·一模）如图一次函数y kx b =+的图象与反比例函数4y x=−的图象相交于点()1,A m −，(),1B n −．(1)求一次函数的解析式；(2)结合图象，直接写出不等式4kx b x+>−的解集．3．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，一次函数12y x =−的图象与反比例函数(0)y k x=≠的图象交于()(),12,A a B b −，两点，与x 轴相交于点C ．(1)求反比例函数的表达式；(2)观察图象，直接写出不等式112kx x−<的解集；(3)若(),0P m 为x 轴上的一动点，连接AP ，当APC △的面积为52时，求点P 的坐标． ）解：函数）函数在112y x =−中， 当y =解得：2x =，()2,0C ∴， ()0,P m ，APC S =△题型四 一次函数和反比例函数中求三角形面积问题【例1】（2024·山西大同·一模）如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数()0ky k x=>的图象相交于点()6,32A n −−，点(),3B n −，与y 轴交于点C ．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)点D 是点C 关于x 轴的对称点，连接AD BD 、，求ABD △的面积．S=ABD【例2】（2024·吉林白山·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数5y x =−+的图象与反比例函数(0)ky k x=>的图象相交于()1,A m 、()4,B n 两点，与x 轴相交于点C ，连接OA 、OB ．(1)求反比例函数的解析式； (2)求AOB 的面积． AOBS=1．（2024·湖南长沙·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数32y x b =−+与反比例函数()0ky k x=≠交于()(),6,4,3A m B −两点，与y 轴交于点C ，连接,OA OB ．(1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求AOB 的面积．解：点解：点AOBAOCBOCS SS=+与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点()1,C a ，D 是反比例函数图象上的一个动点，过点D 向y 轴作垂线与一次函数图象交于点E ，其中点A 的坐标为(3,0)−．(1)求反比例函数的表达式；(2)连接,DB DC ，当DCE △的面积等于DBC △面积的2倍时，求点E 的坐标；(3)若P 是x 轴上的一个动点，连接,EP DP ，当DPE 与AOB 相似时，求点D 的纵坐标． 坐标，根据DPE 与AOB 相似计算即可，注意分情况讨论．()033b =⨯−+∵过点D向y轴作垂线与一次函数图象交于点∴设12D mm⎛⎫⎪⎝⎭，，则点E纵坐标为∴1239y xm=+=，解得x412⎛⎫当AOB PED∽时，当时，AOB PED ∽，此时时，P AOB DE ∽，此时∴12PD m =，DE m ⎛=− ⎝∴1243PD m DE m m m ==⎛⎫−− ⎪⎝⎭时，E AOB PD ∽，此时时，P AOB ED ∽，此时，则N EPM PD ∽∴EM MP PEPN DN PD== 此时12EM DN m==，DE 当D AOB EP ∽时，PE PD 同理当AOB DPE ∽时，PD综上所述，当DPE 与AOB 相似时，求点题型五 一次函数和反比例函数中求证问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·河南周口·一模）如图，反比例函数ky x=与正比例函数y ax =交于点()3,2A 和点C ，与正比例函数6y x =交于点B 和点D ．(1)求k 与a 的值，并求点B ，C ，D 的坐标； (2)求证：CBD ADB ∠=∠．1．（2024·湖南怀化·一模）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点．如图，一次函数y ax b =+（a 为常数，0a ≠）与反比例函数ky x=（k 为常数，0k ≠）的图象相交于点()25A ，和点()4B m −，．(1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)过点A 作y 轴的垂线，过点B 作x 轴的垂线，相交于点C ；过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线，相交于点D ．求证：C ，O ，D 三点在同一条直线上．2．（2024·河南平顶山·一模）如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数y x=的图象交于第一象限(1,4)C ，D(4,m)两点，与坐标轴交于A 、B 两点，连接OC ，OD （O 是坐标原点）.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)当kax bx+<时，直接写出x的取值范围；(3)将直线AB向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？题型六一次函数和反比例函数中求线段长问题【例1】（2024·广东珠海·一模）如图1．直线21y x =+与y 轴交于点B ，与反比例函数()0ky x x=>的图象交于点()1,A a ．图2将线段AB 向右平移m 个单位长度()0m >，得到对应线段CD ，连接AC ，BD ．当点D 恰好落在反比例函数图象上时，过点C 作CF x ⊥轴于点F ，交反比函数图象于点E ．(1)求反比例函数表达式； (2)求EF 的长度．1．（2024·河南·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数1y ()0kx b k =+≠的图象与反比例函数2y ()0mm x=≠的图象相交于第二、四象限内的()1,3A −，(),1B a −两点，与y 轴交于点C ．(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)在x 轴上找一点P ，使PA PC −最大，求PA PC −的最大值及点P 的坐标．一次函数的解析式为Rt ADC中，由勾股定理可得题型七利用反比例函数的图象和性质探究平移问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·广东深圳·模拟预测）小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数1yx=−的图象与性质．其探究过程如下：(1)绘制函数图象，如图，列表：下表是x与y的几组对应值，其中m=；描点：根据表中各组对应值,x y，在平面直角坐标系中描出各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整；(2)通过观察函数图象，写出该函数的一条性质：．(3)利用函数图象，解不等式1230xx−+＜．观察图形得出函数的性质：图象关于y轴对称；故答案为：图象关于y轴对称；（3）【例2】（2024·陕西西安·一模）乐乐同学在学习了反比例函数的基础上，进一步探究函数21y x =-的性质．以下是他的研究过程，请补充完整．(1)如表是y 与x 的几组对应值．(2)在平面直角坐标系xOy 中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；(3)观察图象，发现这个函数图象为中心对称图形，则它的对称中心为______；(4)若直线2y x =与函数21y x =-的图象交于第一象限内一点(),P x y ，则下面关于x 的取值范围描述正确的是（ ）A ．1 1.25x <<B ．1.25 1.5x <<C ．1.5 1.75x <<D ．1.752x <<【详解】（1）解：①4x =时，413y ==−， 23m ∴=， 故答案为：23； （2）解：如图：（3）解：观察图象，发现这个函数图象为中心对称图形，则它的对称中心为(1,0)；故答案为：(1,0)；（4）解：作出直线2y x =如图：把3y =代入2y x =求得 1.5x =，把3y =代入21y x =-，求得53x =， 观察图象，若直线2y x =与函数21y x =-的图象交于第一象限内一点(,)P x y ，则x 的取值范围是51.53x <<， ∴关于x 的取值范围描述正确的是C ，故答案为：C ．1．（2024·山西大同·一模）中考新考法：注重过程性学习，某数学小组在研究函数221x y −+=+时，对函数的图象进行了探究，探究过程如下：(1)①x 与y 的几组对应值如下表，请补全表格；②在上图平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象；(2)我们知道，函数()()20,0,0y a x h k a h k =−+≠>>的图象是由二次函数2y ax =的图象向右平移h 个单位，再向上平移k 个单位得到的．类似地，请直接写出将2y x =−的图象经过怎样的平移可以得到221x y −+=+的图象；(3)若一次函数123y x =−+的图象与函数221x y −+=+的图象交于A B 、两点，连接OA OB 、，求AOB 的面积． 【答案】(1)见解析，(2)向左平移1个单位，向上平移2个单位(3)5（2）2y x=−的图象向左平移1（3）一次函数123y x =−+的图象，如图，可知∴AOB 的面积为()12232⨯⨯+=。

专题06反比例函数（10个考点）【知识梳理+解题方法】一．反比例函数的定义（1）反比例函数的概念形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．（2）反比例函数的判断判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．二．反比例函数的图象用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．三．反比例函数图象的对称性反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点．四．反比例函数的性质反比例函数的性质（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．五．反比例函数系数k的几何意义比例系数k的几何意义在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．六．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．七．待定系数法求反比例函数解析式用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式．八．反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．九．根据实际问题列反比例函数关系式根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式．根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的．注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围．十．反比例函数的应用（1）利用反比例函数解决实际问题①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．（2）跨学科的反比例函数应用题要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．（3）反比例函数中的图表信息题正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．【专题过关】一．反比例函数的定义（共3小题）1．（2021秋•遵化市期末）下列函数关系式中属于反比例函数的是（）A．y＝4x B．2x+y＝4C．y＝x2+3D．2．（2022•东营模拟）函数y＝（m﹣2）是反比例函数，则m＝．3．（2022•西宁一模）函数的自变量x的取值范围是．二．反比例函数的图象（共4小题）4．（2021秋•大城县期末）反比例函数的图象如图所示，则k的值可以是（）A．﹣2B．C．1D．35．（2021秋•大城县期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．6．（2021秋•襄州区期末）问题呈现：我们知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数（k、m、n为常数且k≠0）的图象还是双曲线吗？它与反比例函数的图象有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅……探索思考：我我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数的图象．（1）画出函数图象．①列表：x…﹣6﹣5﹣4﹣3﹣201234…y…﹣1﹣2﹣4421…②描点并连线．（2）观察图象，写出该函数图象的两条不同类型的特征：①，②；（3）理解运用：函数的图象是由函数的图象向平移个单位，其对称中心的坐标为．（4）灵活应用：根据上述画函数图象的经验，想一想函数的图象大致位置，并根据图象指出，当x满足时，y≥3．7．（2022•市南区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴是直线x＝，点A的坐标为（1，0），AB垂直于x轴，连接CB，则下列说法一定正确的是（）A．如图①，四边形ABCO是矩形B．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx，一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝的图象大致如图②所示C．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x（ax+b）+c与反比例函数y＝的图象大致如图③所示D．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝bx﹣ac与反比例函数y＝在的图象大致如图④所示三．反比例函数图象的对称性（共3小题）8．（2022•高要区一模）若正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y＝图象的一个交点坐标为（﹣1，2），则另一个交点的坐标为（）A．（2，﹣1）B．（1，﹣2）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）9．（2022春•洪泽区月考）如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是．10．（2022•自贡模拟）如图，半径为2的两圆⊙O1和⊙O2均与x轴相切于点O，反比例函数（k＞0）的图象与两圆分别交于点A，B，C，D，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）四．反比例函数的性质（共6小题）11．（2021秋•政和县期末）反比例函数中，反比例常数k的值为．12．（2022秋•青浦区期中）已知正比例函数y＝中，y的值随x的值的增大而增大，那么它和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（）A．B．C．D．13．（2021秋•丰宁县期末）已知反比例函数，则下列描述不正确的是（）A．图象位于第一、第三象限B．图象必经过点C．图象不可能与坐标轴相交D．y随x的增大而减小14．（2022•威县校级模拟）如图，矩形ABCO在平面直角坐标系中，点A（﹣5，0），点C（0，6），双曲线L1：y＝﹣（x＜0）和双曲线L2：y＝（x＜0）．[把矩形ABCO内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为“优点”]（1）若k＝﹣12，则L2和L1之间（不含边界）有个“优点”；（2）如果L2和L1之间（不含边界）有4个“优点”，那么k的取值范围为．15．（2022•杞县模拟）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．（1）列表：x…﹣3﹣2﹣10123…y…m12101n…其中，m＝，n＝．（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象．（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点，在函数图象上，则y1y2，x1x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）②当函数值时y＝1，求自变量x的值．16．（2022•沙市区模拟）探究分段函数y＝的图象与性质．列表：x…﹣1﹣012…y…210121…描点：描出相应的点，并连线，如图所示结合图象研究函数性质，回答下列问题：（1）点A（3，y1），B（5，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1y2，x1 x2；（填“＞”、“＝”或“＜”）（2）当函数值y＝2时，自变量x的值为；（3）在直角坐标系中作出y＝x的图象；（4）当方程x+b＝有三个不同的解时，则b的取值范围为．五．反比例函数系数k的几何意义（共5小题）17．（2022•茂南区二模）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是l1和l2，设点P 在l1上，PC⊥x轴于点C，交l2于点A，PD⊥y轴于点D，交l2于点B，则四边形P AOB的面积为（）A．k1+k2B．k1﹣k2C．k1k2D．k2﹣k118．（2022•河池）如图，点P（x，y）在双曲线y＝的图象上，P A⊥x轴，垂足为A，若S△AOP＝2，则该反比例函数的解析式为．19．（2022•开远市二模）若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为2的是（）A．B．C．D．20．（2022•靖江市二模）反比例函数，（n＜0）的图象如图所示，点P为x轴上不与原点重合的一动点，过点P作AB∥y轴，分别与y1、y2交于A、B两点．（1）当n＝﹣10时，求S△OAB；（2）延长BA到点D，使得DA＝AB，求在点P整个运动过程中，点D所形成的函数图象的表达式．（用含有n的代数式表示）．21．（2022•德城区模拟）如图，A、B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，其中k＞0，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，且AC＝1（1）若k＝2，则AO的长为，△BOD的面积为；（2）若点B的横坐标为k，且k＞1，当AO＝AB时，求k的值．六．反比例函数图象上点的坐标特征（共9小题）22．（2022秋•合浦县期中）如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（）A．（﹣1，﹣1）B．（1，﹣1）C．D．（﹣2，1）23．（2021秋•碧江区期末）如图，△OAB、△BA1B1、△B1A2B2、…、△B n﹣1A n B n都是等边三角形，顶点A、A1、A2、…、A n在反比例函数（x＞0）的图象上，则B2020的坐标是．24．（2022秋•杜集区校级月考）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线x＝n（n为常数）对称，则把该函数称之为“X（n）函数“．（1）在下列关于x的函数中，是“X（n）函数”的是（填序号）；①；②y＝|4x|；③y＝x2﹣2x﹣5．（2）若关于x的函数y＝|x﹣h|（h为常数）是“X（3）函数”，与（m为常数，m＞0）相交于A （x A，y A）、B（x B，y B）两点，A在B的左边，x B﹣x A＝5，则m＝．25．（2022•思明区校级二模）阅读理解：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”．（1）若A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值；（2）若实数a，b，c是“和谐三数组”，且满足a＞b＞c＞0，求点与原点O的距离OP的取值范围．26．（2022•牧野区校级三模）如图，矩形ABCD的边BC在x轴上，E为对角线AC，BD的交点，点A，C 的坐标分别为A（﹣3，3），C（﹣1，0）．（1）反比例函数y1＝在第三象限的图象经过D点，求这个函数的解析式；（2）点E是否在函数y1＝的图象上？说明理由；（3）一次函数y2＝k2+b的图象经过点B，点D，根据图象直接写出不等式k2x+b＜的解集．27．（2022•荷塘区校级二模）如图，点A（a，a），B（b，b）是直线y＝x上在第一象限的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线y＝（x＞0）于C，D两点．（1）当b＝2，BD＝1时，求k的值；（2）当k＝1时：①若AC＝BD，求a与b的数量关系；②若AC＝2BD，求4OD2﹣OC2的值．28．（2021秋•梧州期末）在函数y＝（其中a≠0，a为常数）经过点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x3＜0＜x1＜x2，则把y1、y2、y3按从小到大排列为．29．（2022•营口）如图，在平面直角坐标系中，△OAC的边OC在y轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A和点B（2，6），且点B为AC的中点．（1）求k的值和点C的坐标；（2）求△OAC的周长．30．（2022秋•东湖区期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在y 轴上，顶点C在x轴上，反比例函数y＝k的图象过AB边上一点E，与BC边交于点D，BE＝2，OE＝10．（1）求k的值；（2）直线y＝ax+b过点D及线段AB的中点F，点P是直线OF上一动点，当PD+PC的值最小时，直接写出这个最小值．七．待定系数法求反比例函数解析式（共4小题）31．（2021秋•平泉市期末）如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8，E是DC的中点，反比例函数的图象经过点E，与AB交于点F．（1）若点B的坐标为（﹣6，0），求m的值．（2）若AF﹣AE＝2，求反比例函数的解析式．32．（2022•蓬江区一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点C，OA＝2，OB＝4．（1）求反比例函数的解析式；（2）若将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形A'B'C'D'，当点D'在反比例函数的图象上时，请求出点B'的坐标，并判断点B'是否在该反比例函数的图象上，说明理由．33．（2022•睢阳区二模）如图，平行四边形ABCD的面积为12，AB∥y轴，AB，CD与x轴分别交于点M，N，对角线AC，BD的交点为坐标原点，点A的坐标为（﹣2，1），反比例函数的图象经过点B，D．（1）求反比例函数的解析式；（2）点P为y轴上的点，连接AP，若△AOP为等腰三角形，求满足条件的点P的坐标．34．（2021秋•孟村县期末）已知y与x成反比例，当x＝﹣1时，y＝﹣6．（1）y与x的函数解析式为；（2）若点A（a，﹣4），B（b，﹣8）都在该反比例函数的图象上，则a，b的大小关系是．八．反比例函数与一次函数的交点问题（共5小题）35．（2022•市南区校级一模）如图，直线y＝kx+3与x轴、y轴分别交于点B、C，与反比例函数y＝交于点A、D，过D作DE⊥x轴于E，连接OA，OD，若A（﹣2，n），S△OAB：S△ODE＝1：2．（1）求反比例函数的表达式；（2）求点C的坐标；（3）直接写出关于x不等式：＞kx﹣3的解为．36．（2022•宝安区校级模拟）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m ≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx＞﹣b的解集是（）A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜0C．x＜﹣1或0＜x＜2D．﹣1＜x＜0或x＞237．（2022•仁怀市模拟）如图，直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数y＝的图象交于点D，过点A作AC⊥x轴与反比例函数的图象相交于点C，若AC＝AD，则k的值为（）A．3B．4C．D．38．（2022•市南区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，1），以点O为顶点作等腰直角三角形AOB，双曲线y1＝在第一象限内的图象经过点B．设直线AB的表达式为y2＝k2x+b，回答下列问题：（1）求双曲线y1＝和直线AB的y2＝k2x+b表达式；（2）当y1＞y2时，求x的取值范围；（3）求△AOB的面积．39．（2022•吉阳区模拟）如图，函数y＝与函数y＝kx（k＞0）的图象相交于A、B两点，AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的面积等于（）A．24B．18C．12D．6九．根据实际问题列反比例函数关系式（共3小题）40．（2022秋•滁州期中）某电子产品的售价为8000元，购买该产品时可分期付款：前期付款3000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之间的函数关系式是（）A．B．C．D．41．（2021•东胜区一模）A、B两地相距400千米，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t 小时，行驶速度为v千米/小时，且全程限速，速度不超过100千米/小时．（1）写出v关于t的函数表达式；（2）若某人开车的速度不超过每小时80千米，那么他从A地匀速行驶到B地至少要多长时间？（3）若某人上午7点开车从A地出发，他能否在10点40分之前到达B地？请说明理由．42．（2021•杭州二模）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求这个函数的解析式；（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3）一十．反比例函数的应用（共4小题）43．（2022秋•涟源市期中）如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（）A．当I＜0.25时，R＜880B．I与R的函数关系式是I＝（R＞0）C．当R＞1000时，I＞0.22D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.2544．（2022•南阳二模）在对物体做功一定的情况下，力F（N）与此物体在力的方向上移动的距离s（m）成反比例函数关系，其图象如图所示，点P（4，3）在其图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离是（）A．2.4m B．1.2m C．1m D．0.5m45．（2022•邓州市二模）给定一个函数：y＝x++1（x＞0），为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，进行如下探索：（1）图象初探①列表如下x…1234…y…m3n…请直接写出m，n的值；②请在如下的平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．（2）性质再探请结合函数的图象，写出当x＝，y有最小值为；（3）学以致用某农户要建造一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为3千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元，可得到y与x的函数关系式为：y＝x++3．根据以上信息，请回答以下问题：①水池总造价的最低费用为千元；②若该农户预算不超过5.5千元，请直接写出x的值应控制在什么范围？．46．（2021秋•丰南区期末）在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（天）与每天完成工程量x米的函数关系图象如图所示，是双曲线的一部分．（1）请根据题意，求y与x之间的函数表达式；（2）若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？（3）工程队在（2）的条件下工作5天后接到防汛紧急通知，最多再给5天时间完成全部任务，则最少还需调配几台挖掘机？。

考点10 反比例函数一、反比例函数的概念1．反比例函数的概念一般地，函数kyx=（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成1y kx-=的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．2．反比例函数kyx=（k是常数，k≠0）中x，y的取值范围反比例函数kyx=（k是常数，k≠0）的自变量x的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y的取值范围也是非零实数．二、反比例函数的图象和性质1．反比例函数的图象与性质（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．表达式kyx=（k是常数，k≠0）k k>0 k<0大致图象所在象限第一、三象限第二、四象限增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大2．反比例函数图象的对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．3．注意（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数kyx=中x≠0且y≠0．（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x 的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．三、反比例函数解析式的确定1．待定系数法确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数kyx=中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式为kyx=（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．四、反比例函数中|k|的几何意义1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． （1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S △ABC =2S △ACO =|k |；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数ky x=交于A 、B 两点，且一次函数与x 轴交于点C ，则S △AOB =S △AOC +S △BOC =1||2A OC y ⋅+1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅+； （3）如图③，已知反比例函数ky x=的图象上的两点，其坐标分别为()A A x y ，，()B B x y ，，C 为AB 延长线与x 轴的交点，则S △AOB =S △AOC –S △BOC =1||2A OC y ⋅–1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅-． 五、反比例函数与一次函数的综合 1．涉及自变量取值范围型当一次函数11y k x b =+与反比例函数22k y x=相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对12y y >时自变量x 的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x 的范围.例如，如下图，当12y y >时，x 的取值范围为A x x >或0B x x <<；同理，当12y y <时，x 的取值范围为0A x x <<或B x x <．2．求一次函数与反比例函数的交点坐标（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k 值的符号来决定. ①k 值同号，两个函数必有两个交点；②k 值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 六、反比例函数的实际应用解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．考向一 反比例函数的定义1．反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y ，等号右边是关于自变量x 的分式，分子是不为零的常数k ，分母不能是多项式，只能是x 的一次单项式．2．反比例函数的一般形式的结构特征：①k ≠0；②以分式形式呈现；③在分母中x 的指数为1．典例1 下列函数中，y 与x 之间是反比例函数关系的是 A ．xyB ．3x +2y =0C ．y =D ．y =【答案】Ak x 21x1．下列函数：①2x y =；②2y x =；③12y x=-；④12y x -=中，是反比例函数的有 A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个考向二 反比例函数的图象和性质当k >0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y 随x 的增大而减小．当k <0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内，y 随x 的增大而增大．学科=网双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．典例2 在同一坐标系中，函数y=和y =–kx +3的大致图象可能是 A ． B ．C ．D ．kx【答案】D【解析】A 、由反比例函数图象得函数y =（k 为常数，k ≠0）中k ＞0，根据一次函数图象可得–k ＞0，则k <0，则选项错误； B 、由反比例函数图象得函数y =（k 为常数，k ≠0）中k ＞0， 根据一次函数图象可得–k ＞0，则k <0，则选项错误； C 、由反比例函数图象得函数y =（k 为常数，k ≠0）中k <0， 根据一次函数图象可得–k <0，则k ＞0，则选项错误； D 、由反比例函数图象得函数y =（k 为常数，k ≠0）中k ＞0， 根据一次函数图象可得–k <0，则k ＞0，故选项正确． 故选D ．典例3 反比例函数3y x=-的图象在 A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、三象限D ．第二、四象限【答案】D【解析】因为30k =-<，故图象在第二、四象限，故选D ． 典例4 已知点A （1，m ），B （2，n ）在反比例函数(0)ky k x=<的图象上，则 A ．0m n << B ．0n m << C ．0m n >>D ．0n m >>【答案】A【解析】∵反比例函数(0)ky k x=<，它的图象经过A （1，m ），B （2，n ）两点，∴m =k <0，n =2k<0，∴0m n <<，故选A ．2．对于函数4y x=，下列说法错误的是 kxkxkxkxA ．这个函数的图象位于第一、第三象限B ．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C ．当x >0时，y 随x 的增大而增大D ．当x <0时，y 随x 的增大而减小3．下列函数中，当x <0时，y 随x 的增大而减小的是 A ．y =x B ．y =2x –1 C ．y =D ．y=–4．如图是三个反比例函数y =1k x ，y =2kx ，y =3k x在x 轴上方的图象，由此观察得到k 1，k 2，k 3的大小关系为A ．k 1>k 2>k 3B ．k 3>k 2>k 1C ．k 2>k 3>k 1D ．k 3>k 1>k 2考向三 反比例函数解析式的确定1．反比例函数的解析式ky x=（k ≠0）中，只有一个待定系数k ，确定了k 值，也就确定了反比例函数，因此要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x ，y 的对应值或图象上一个点的坐标，代入k y x=中即可．2．确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y 的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上．（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k ，则点在图象上，若乘积不等于k ，则点不在图象上．典例5 若反比例函数的图象经过点()32，-，则该反比例函数的表达式为 A ．6y x=B ．6y x=-3x 1xC ．3y x=D ．3y x=-【答案】B【解析】设反比例函数为：ky x=．∵反比例函数的图象经过点（3，-2），∴k =3×（-2）=-6．故反比例函数为：6y x=-，故选B ． 典例6 如图，某反比例函数的图象过点M （-2，1），则此反比例函数表达式为A ．y =2xB ．y =-2xC ．y =12xD ．y =-12x【答案】B【解析】设反比例函数表达式为y =k x ，把M （2-，1）代入y =k x 得，k =（-2）×1=-2，∴2y x=-，故选B ．典例7 如图，C 1是反比例函数y=在第一象限内的图象，且过点A（2，1），C 2与C 1关于x 轴对称，那么图象C 2对应的函数的表达式为__________（x ＞0）．【答案】y =–【解析】∵C 2与C 1关于x 轴对称， ∴点A 关于x 轴的对称点A ′在C 2上， ∵点A （2，1）， ∴A ′坐标（2，–1），kx2x∴C 2对应的函数的表达式为y =–， 故答案为y =–．5．已知反比例函数y =-6x，下列各点中，在其图象上的有 A ．（-2，-3） B ．（2，3） C ．（2，-3）D ．（1，6）6．点A 为反比例函数图象上一点，它到原点的距离为5，则x 轴的距离为3，若点A 在第二象限内，则这个函数的解析式为A ．y =12xB ．y =-12xC ．y =112xD ．y =-112x7．在平面直角坐标系中，点P （2，a ）在反比例函数y =的图象上，把点P 向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到点Q ，则经过点Q 的反比例函数的表达式为__________．考向四 反比例函数中k 的几何意义三角形的面积与k 的关系 （1）因为反比例函数ky x=中的k 有正负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．（2）若三角形的面积为12|k |，满足条件的三角形的三个顶点分别为原点，反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂线的垂足．典例8 如图，点A 为函数ky x=（x >0）图象上的一点，过点A 作x 轴的平行线交y 轴于点B ，连接OA ，如果△AOB 的面积为2，那么k 的值为2x2x2xA ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】设点A 坐标为（m ，n ），则有AB =m ，OB =n ，由题意可得：12mn =2，所以mn =4，又点A 在双曲线ky x=上，所以k =mn =4，故选D ． 典例9 如图，已知双曲线经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ，若△OBC 的面积为9，则k =__________．【答案】6ky x=【名师点睛】过反比例函数图象上的任一点分别向两坐标轴作垂线段，垂线段与两坐标轴围成的矩形面积等于|k |，结合函数图象所在的象限可以确定k 的值，反过来，根据k 的值，可以确定此矩形的面积．在解决反比例函数与几何图形综合题时，常常需要考虑是否能用到k 的几何意义，以简化运算．8．如图，A 、B 两点在双曲线4y x=的图象上，分别经过A 、B 两点向轴作垂线段，已知1S =阴影，则12S S +=A ．8B ．6C ．5D ．49．如图，点A ，B 是反比例函数yx ＞0）图象上的两点，过点A ，B 分别作AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，连接OA 、BC ，已知点C （2，0），BD =3，S △BCD =3，则S △AOC 为A．2 B．3 C．4 D．610．如图，等腰三角形ABC的顶点A在原点，顶点B在x轴的正半轴上，顶点C在函数y=kx（x>0）的图象上运动，且AC=BC，则△ABC的面积大小变化情况是A．一直不变B．先增大后减小C．先减小后增大D．先增大后不变考向五反比例函数与一次函数的综合反比例函数与一次函数综合的主要题型：（1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；（2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标；（3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式；（4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等．解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．典例10 在同一平面直角坐标系中，函数1yx=-与函数y=x的图象交点个数是A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】∵y =x 的图象是过原点经过一、三象限，1y x=-的图象在第二、四象限内，但不过原点，∴两个函数图象不可能相交，故选A ． 典例11 已知一次函数y 1=kx +b 与反比例函数y 2=kx在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y 1<y 2时，x 的取值范围是A ．x <-1或0<x <3B ．-1<x <0或x >3C ．-1<x <0D ．x >3【答案】B【解析】根据图象知，一次函数y 1=kx +b 与反比例函数y 2=kx的交点是（-1，3），（3，-1），∴当y 1<y 2时，-1<x <0或x >3，故选B ．【名师点睛】本题主要考查函数图象的交点，把不等式转化为函数图象的高低是解题的关键，注意数形结合思想的应用． 典例12 如图，已知直线y =–xy x＞0）交于A 、B 两点，连接OA ，若OA ⊥AB ，则k 的值为A ．B ．C D 【答案】B【解析】如图，过A 作AE ⊥OD 于E ，139102710∵直线解析式为y =–xC （0D （0）， ∴OC ODRt △COD 中，CD =10，∵OA ⊥AB ，∴CO ×DO =CD ×AO ， ∴AO =3，∴AD =9， ∵OD ×AE=AO ×AD ，∴AE∴Rt △AOE 中，OE，∴A）， ∴代入双曲线yk=，故选B ．11．已知反比例函数y =kx（k ≠0），当x >0时，y 随x 的增大而增大，那么一次函数y =kx -k 的图象经过 A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限12．如图，已知A （–4，n ），B （2，–4）是一次函数y =kx +b 和反比例函数y =的图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB 的面积．13121212122710mx考向六 反比例函数的应用用反比例函数解决实际问题的步骤（1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； （2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； （3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； （4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； （5）解：用函数解析式去解决实际问题．典例13 某化工车间发生有害气体泄漏，自泄漏开始到完全控制利用了40min ，之后将对泄漏有害气体进行清理，线段DE 表示气体泄漏时车间内危险检测表显示数据y 与时间x （min ）之间的函数关系（0≤x ≤40），反比例函数y=对应曲线EF 表示气体泄漏控制之后车间危险检测表显示数据y 与时间x （min ）之间的函数关系（40≤x ≤？）．根据图象解答下列问题： （1）危险检测表在气体泄漏之初显示的数据是__________；kx（2）求反比例函数y =__________的表达式，并确定车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x 的值．（2）将x =40代入y =1.5x +20，得y =80，∴点E （40，80）， ∵点E 在反比例函数y=的图象上， ∴80=，得k =3200， 即反比例函数y=，当y =20时，20=，得x =160，即车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x 的值是160．13．如图为某种材料温度y （℃）随时间x （min ）变化的函数图象．已知该材料初始温度为15℃，温度上升阶段y 与时间x 成一次函数关系，且在第5分钟温度达到最大值60℃后开始下降；温度下降阶段，温度y 与时间x 成反比例关系．（1）分别求该材料温度上升和下降阶段，y 与x 间的函数关系式；（2）根据工艺要求，当材料的温度高于30℃时，可以进行产品加工，问可加工多长时间？kx40k3200x 3200x1．下列函数中，y 是x 的反比例函数的是 A ．x (y –1)=1B ．15y x =- 1C 3y x =．21D y x=．2．已知反比例函数y =8k x-的图象位于第一、三象限，则k 的取值范围是 A ．k ＞8 B ．k ≥8 C ．k ≤8D ．k <83．已知反比例函数y =kx的图象过点A (–3，2)，则k 的值为 A ．3 B ．6C ．–6D ．–34．已知点A （2，y 1）、B （4，y 2）都在反比例函数ky x=（k <0）的图象上，则y 1、y 2的大小关系为 A ．y 1＞y 2 B ．y 1<y 2C ．y 1=y 2D ．无法确定5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠与()0my m x=≠的图象相交于点()()2,3,6,1A B --，则不等式mkx b x+>的解集为A ．6x <-B 60x -<<．或2x >C ．2x >D 6x <-．或02x <<6．如图，点A 、点B 是函数y =kx的图象上关于坐标原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积是4，则k 的值是A ．–2B ．±4C ．2D ．±27．反比例函数y =a x (a ＞0，a 为常数)和y =2x 在第一象限内的图象如图所示，点M 在y =ax 的图象上，MC ⊥x 轴于点C ，交y =2x 的图象于点A ；MD ⊥y 轴于点D ，交y =2x 的图象于点B ．当点M 在y =ax的图象上运动时，以下结论：①S △ODB =S △OCA ；②四边形OAMB 的面积不变；③当点A 是MC 的中点时，则点B 是MD 的中点．其中正确结论的个数是A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．如图，平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别落在x 、y 轴上，点B 坐标为（6，4），反比例函数y =6x的图象与AB 边交于点D ，与BC 边交于点E ，连接DE ，将△BDE 沿DE 翻折至△B 'DE 处，点B '恰好落在正比例函数y =kx 图象上，则k 的值是A ．-25B ．-121C．-15D．-1249．如图，直线y=x A，且OA=2，则k的值为__________．10．如图，直线分别与反比例函数2yx=-和3yx=的图象交于点A和点B，与y轴交于点P，且P为线段AB的中点，作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴交于点D，则四边形ABCD的面积是__________．11．如图，正方形ABCD的边长为2，AD边在x轴负半轴上，反比例函数y=kx（x<0）的图象经过点B和CD边中点E，则k的值为__________．12．如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y=kx的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k=__________．13．如图，已知反比例函数ky x与一次函数y =x +b 的图象在第一象限相交于点A （1，-k +4）． （1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B 的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．14．如图，一次函数y =kx +b （k 、b 为常数，k ≠0）的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且与反比例函数y=（n 为常数，且n ≠0）的图象在第二象限交于点C ．CD ⊥x 轴，垂足为D ，若OB =2OA =3OD =12．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）记两函数图象的另一个交点为E ，求△CDE 的面积； （3）直接写出不等式kx +b ≤的解集．nxnx15．一般情况下，中学生完成数学家庭作业时，注意力指数随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC为线段，CD为双曲线的一部分）．（1）分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式；（2）若学生的注意力指数不低于40为高效时间，根据图中信息，求出一般情况下，完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟？1．（2018·辽宁省阜新市）反比例函数y=kx的图象经过点（3，–2），下列各点在图象上的是A．（–3，–2）B．（3，2）C．（–2，–3）D．（–2，3）2．（2018·甘肃省天水市）函数y1=x和y2=1x的图象如图所示，则y1＞y2的x取值范围是A．x<–1或x＞1 B．x<–1或0<x<1 C．–1<x<0或x＞1 D．–1<x<0或0<x<13．（2018·黑龙江省大庆市）在同一直角坐标系中，函数y=kx和y=kx–3的图象大致是A．B．C．D．4．（2018·广西玉林市）如图，点A，B在双曲线y=3x（x＞0）上，点C在双曲线y=1x（x＞0）上，若AC∥y轴，BC∥x轴，且AC=BC，则AB等于A B．C．4 D．5．（2018·吉林省长春市）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC=90°，CA⊥x轴，点C在函数y=kx（x＞0）的图象上，若AB=2，则k的值为A．4 B．C．2 D6．（2018·广西贺州市）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=cx（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（–3，–2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是A．–3<x<2 B．x<–3或x＞2 C．–3<x<0或x＞2 D．0<x<27．（2018·山东省日照市）已知反比例函数y=–8x，下列结论：①图象必经过（–2，4）；②图象在第二，四象限内；③y随x的增大而增大；④当x>–1时，则y>8．其中错误的结论有A．3个B．2个C．1个D．0个8．（2018·四川省攀枝花市）如图，已知点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，作Rt△ABC，边BC在x轴上，点D为斜边AC的中点，连接DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为4，则k=__________．9．（2018·四川省泸州市）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，–6），且与反比例函数y=–12 x的图象交于点B（a，4）．（1）求一次函数的解析式；（2）将直线AB向上平移10个单位后得到直线l：y1=k1x+b1（k1≠0），l与反比例函数y2=6x的图象相交，求使y1<y2成立的x的取值范围．1．【答案】C【解析】①不是正比例函数，②③④是反比例函数，故选C．2．【答案】C【解析】根据反比例函数的图象与性质，可由题意知k =4>0，其图象在一三象限，且在每个象限内y 随x 增大而减小，它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，故选C ． 3．【答案】C【解析】A 、为一次函数，k 的值大于0，y 随x 的增大而增大，不符合题意； B 、为一次函数，k 的值大于0，y 随x 的增大而增大，不符合题意； C 、为反比例函数，k 的值大于0，x <0时，y 随x 的增大而减小，符合题意； D 、为反比例函数，k 的值小于0，x <0时，y 随x 的增大而增大，不符合题意； 故选C ． 4．【答案】B 【解析】由图知，yyyk 1<0，k 2>0，k 3>0，又当x =1时，有k 2<k 3，∴k 3>k 2>k 1，故选B ． 5．【答案】C【解析】∵反比例函数y =-中，k =-6，∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为-6的点在函数图象上，四个选项中只有C 选项符合，故选C ．7．【答案】y =【解析】∵点P （2，a ）在反比例函数y =的图象上， ∴代入得：a ==1， 即P 点的坐标为（2，1），∵把点P 向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到点Q ， ∴Q 的坐标是（5，3），设经过点Q 的反比例函数的解析式是y =， 把Q 点的坐标代入得：c =15， 即y =， 故答案为：y =． 8．【答案】B6x15x2x22c x15x15x【解析】∵点A 、B 是双曲线y =上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k |=4，∴S 1+S 2=4+4-1×2=6，故选B ．10．【答案】A【解析】如图，作CD ⊥AB 交AB 于点D ，则S △ACD =，∵AC =BC ，∴AD =BD ，∴S △ACD =S △BCD ， ∴S △ABC =2S △ACD =2×=k ，∴△ABC 的面积不变，故选A ．11．【答案】B【解析】∵当x >0时，y 随x 的增大而增大，∴反比例函数（k ≠0）的图象在二、四象限，∴k <0，∴一次函数y =kx -k 的图象经过第一、二、四象限，故选B ． 12．【解析】（1）∵B （2，–4）在y =图象上， ∴m =–8．∴反比例函数的解析式为y =–． ∵点A （–4，n ）在y =–图象上， ∴n =2，∴A （–4，2）．∵一次函数y =kx +b 图象经过A （–4，2），B （2，–4），∴，解得．∴一次函数的解析式为y =–x –2；（2）如图，令一次函数y =–x –2的图象与y 轴交于C 点，4x2k2kky x=mx8x8x4224k b k b -+=+=-⎧⎨⎩12k b =-=-⎧⎨⎩当x =0时，y =–2， ∴点C （0，–2）． ∴OC =2，∴S △AOB =S △ACO +S △BCO=×2×4+×2×2=6． 13．【解析】（1）当0≤x <5时，为一次函数，设一次函数表达式为y =kx +b ，由于一次函数图象过点（0，15），（5，60），所以，解得：，所以y =9x +15，当x ≥15时，为反比例函数，设函数关系式为：y =， 由于图象过点（5，60），所以m =300． 则y =；学-科网 （2）当0≤x <5时，y =9x +15=30，得x =， 因为y 随x 的增大而增大，所以x ＞， 当x ≥5时，y ==30， 得x =10，因为y 随x 的增大而减小， 所以x <10，10–=． 答：可加工min ． 1．【答案】C121215560b k b =+=⎧⎨⎩159b k ==⎧⎨⎩mx300x5353300x 53253253【解析】由反比例函数的定义知，是y 关于x 的反比例函数，其余的不是y 关于x 的反比例函数.故选C ． 2．【答案】A【解析】∵反比例函数y =的图象位于第一、三象限，∴k –8＞0，解得k ＞8，故选A ． 3．【答案】C 【解析】∵函数的图象过点A （–3，2），∴，解得.故选C ．6．【答案】C【解析】∵反比例函数的图象在第一、三象限，∴k ＞0， ∵BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，且点A 、点B 关于坐标原点对称， ∴S △AOD =S △BOE =k ，∴S 矩形OECD =2△AOD =k ， ∴S △ABC =S △AOD +S △BOE +S 矩形OECD =2k =4，解得k =2． 故选C ．8．【答案】【解析】∵矩形OABC ，∴CB ∥x 轴，AB ∥y 轴，∵点B 坐标为（6，4），∴D 的横坐标为6，E 的纵坐标为4，∵D ，E 在反比例函数y =的图象上，∴D （6，1），E （，4），∴BE =6-=，BD =4-1=3，∴ED =BB ′，交ED 于F ，过B ′作B ′G ⊥BC 于G ，∵B ，B ′关13y x=8k x-k y x=23k =-6k =-126x 32329232于ED 对称，∴BF =B ′F ，BB ′⊥ED ，∴BF •ED =BE •BD ，即BF=3×，∴BF，∴BB，设EG =x ，则BG =-x，∵BB ′2-BG 2=B ′G 2=EB ′2-GE 2，∴（）2-（-x ）2=（）2-x 2，∴x =，∴EG =，∴CG =，∴B ′G =，∴B ′（，-），∴k=-，故选B ．9．【答案】2【解析】∵点A在直线y =x 上，且OA =2，∴点A 得，，∴k=2，故答案为：2． 10．【答案】5【解析】过点作轴，垂足于点；过点作轴，垂足为点．∵点是中点，∴．易得△APF ≌△BPE ，∴,∴，故答案为5．11．【答案】-4【解析】∵正方形ABCD 的边长为2，∴AB =AD =2，设B （，2），∵E 是CD 边中点，∴E （-2，1），∴-2=k ，解得k =-4，故答案为：-4． 329292929245264526421354134213213121ky x==A AF y ⊥FB BE y ⊥E P AB PA PB =APF BPE S S = ABCD ACOF EODB S S S =+ 23=-+5=2k 2k2k12．【答案】6【解析】∵点P （6，3），∴点A 的横坐标为6，点B 的纵坐标为3，代入反比例函数y =得，点A 的纵坐标为，点B 的横坐标为，即AM =，NB =，∵S 四边形OAPB =12，即S矩形OMPN -S △OAM -S △NBO =12，6×3-×6×-×3×=12，解得k =6，故答案为：6． 13．【解析】（1）∵已知反比例函数经过点A （1，-k +4）， ∴，即-k +4=k ， ∴k =2，∴A （1，2）．∵一次函数y =x +b 的图象经过点A （1，2），∴2=1+b ，∴b =1，∴反比例函数的表达式为， 一次函数的表达式为y =x +1． （2）由，消去y ，得x 2+x -2=0， 即（x +2）（x -1）=0，∴x =-2或x =1．∴y =-1或y =2．∴或． ∵点B 在第三象限，∴点B 的坐标为（-2，-1），由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时，x 的取值范围是x <-2或0<x <1．14．【解析】（1）由已知，OA =6，OB =12，OD =4，∵CD ⊥x 轴，∴OB ∥CD ，∴△ABO ∽△ACD ，k x6k 3k 6k 3k 126k 123k k y x =41k k -+=2y x=12y x y x ⎧=+⎪⎨=⎪⎩21x y ⎧=-⎨=-⎩12x y ⎧=⎨=⎩∴=，∴=，∴CD =20， ∴点C 坐标为（–4，20），∴n =xy =–80，∴反比例函数解析式为：y =–， 把点A （6，0），B （0，12）代入y =kx +b 得：，解得， ∴一次函数解析式为：y =–2x +12；（2）当–=–2x +12时，解得x 1=10，x 2=–4； 当x =10时，y =–8，∴点E 坐标为（10，–8），∴S △CDE =S △CDA +S △EDA =×20×10+×8×10=140； （3）不等式kx +b ≤，从函数图象上看，表示一次函数图象不高于反比例函数图象； ∴由图象得，x ≥10，或–4≤x ＜0．（2）将y =40代入y 1=2x +30得：2x +30=40，解得：x =5，将y =40代入y 2=得：x =55． 55-5=50．所以完成一份数学家庭作业的高效时间是50分钟． 1．【答案】D【解析】∵反比例函数y =的图象经过点（3，–2），∴xy =k =–6， A 、（–3，–2），此时xy =–3×（–2）=6，不合题意；B 、（3，2），此时xy =3×2=6，不合题意；C 、（–2，–3），此时xy =–3×（–2）=6，不合题意；OA AD OB CD 61012CD80x0612k b b =+=⎧⎨⎩212k b =-=⎧⎨⎩80x1212n x2200xk xD 、（–2，3），此时xy =–2×3=–6，符合题意；故选D ．【名师点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确得出k 的值是解题关键． 2．【答案】C【解析】观察图象可知当–1<x <0或x ＞1时，直线在双曲线的上方，所以y 1＞y 2的x 取值范围是–1<x <0或x ＞1，故选C ．【名师点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握数形结合思想是解本题的关键．3．【答案】B【解析】分两种情况讨论：①当k ＞0时，y =kx –3与y 轴的交点在负半轴，过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限；②当k <0时，y =kx –3与y 轴的交点在负半轴，过第二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，观察只有B 选项符合，故选B ．【名师点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，熟练掌握它们的性质才能灵活解题．4．【答案】B【解析】点C 在双曲线y =上，AC ∥y 轴，BC ∥x 轴， 设C （a ，），则B （3a ，），A （a ，），∵AC =BC ，∴=3a –a ，解得a=1（负值已舍去）， ∴C（1，1），B（3，1），A（1，3），∴AC =BC =2，∴Rt △ABC 中，AB，故选B ．【名师点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，注意反比例函数图象上的点（x，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy =k ．5．【答案】A【解析】作BD ⊥AC 于D ，如图，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴AC AB ，∴BD =AD =CD ，∵AC ⊥x 轴，∴C （，），把C （，）代入y =得k =4，故选A ． 1x1a 1a 3a31–a a k x【名师点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数y=（k 为常数，k ≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy =k 是解题的关键.6．【答案】C【解析】∵一次函数y 1=kx +b （k 、b 是常数，且k ≠0）与反比例函数y 2=（c 是常数，且c ≠0）的图象相交于A （–3，–2），B （2，3）两点，∴不等式y 1＞y 2的解集是–3<x <0或x ＞2，故选C ．【名师点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．【名师点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．8．【答案】8【解析】∵BD 为Rt △ABC 的斜边AC 上的中线，∴BD =DC ，∴∠DBC =∠ACB ，又∠DBC =∠EBO ，∴∠EBO =∠ACB ，又∠BOE =∠CBA =90°，∴△BOE ∽△CBA ，∴，即BC ×OE =BO ×AB ． 又∵S △BEC =4， ∴BC •EO =4， 即BC ×OE =8=BO ×AB =|k |．∵反比例函数图象在第一象限，k ＞0．∴k =8．故答案是：8．【名师点睛】本题考查反比例函数系数k 的几何意义．反比例函数y =中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k |，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思k xc xBO OE BC AB＝12k x想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义．9．【解析】（1）∵反比例函数y =–的图象过点B （a ，4）， ∴4=–，解得：a =–3， ∴点B 的坐标为（–3，4）．学=科网将A （2，–6）、B （–3，4）代入y =kx +b 中，，解得：， ∴一次函数的解析式为y =–2x –2．（2）直线AB 向上平移10个单位后得到直线l 的解析式为：y 1=–2x +8．联立直线l 和反比例函数解析式成方程组，，解得，， ∴直线l 与反比例函数图象的交点坐标为（1，6）和（3，2）．画出函数图象，如图所示．观察函数图象可知：当0<x <1或x ＞3时，反比例函数图象在直线l 的上方，∴使y 1<y 2成立的x 的取值范围为0<x <1或x ＞3．【名师点睛】反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点A 、B 的坐标利用待定系数法求出直线AB 的解析式；（2）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出两函数图象的交点坐标．12x 12a2634k b k b +-⎧⎨-+⎩＝＝22k b -⎩-⎧⎨＝＝286y x y x =-+=⎧⎪⎨⎪⎩1116x y ⎧⎨⎩＝＝2232x y ⎧⎨⎩＝＝。

反比例函数易错点一、反比例函数的定义反比例函数是指形如y=k/x（k≠0）的函数，其中x≠0。

二、易错点1：定义域和值域1. 定义域：反比例函数的定义域是所有不为0的实数，即D={x|x≠0}。

2. 值域：当x趋近于正无穷大或负无穷大时，y趋近于0。

因此，值域为所有不等于0的实数集合R*。

三、易错点2：图像特征1. 对称轴：反比例函数的对称轴为y=x。

2. 渐近线：当x趋近于正无穷大或负无穷大时，y趋近于0。

因此，反比例函数有两条渐近线，分别为x轴和y轴。

四、易错点3：变形公式1. y=k/x+b（k≠0）：在原来的反比例函数上平移b个单位。

2. y=k/(x-h)（k≠0）：在原来的反比例函数上左右平移h个单位。

3. y=-k/x（k≠0）：将原来的反比例函数关于y轴翻转。

五、易错点4：应用题1. 求解问题时需要注意题目中给出的条件，并根据条件列出方程式。

2. 在解方程式时需要注意分母不能为0，若分母为0则无解。

3. 在求解过程中需要注意单位的转换，例如长度、面积、体积等。

六、完整函数：/*** 反比例函数易错点* @param {number} k - 比例系数* @param {number} x - 自变量* @returns {number} y - 函数值*/function inverseProportion(k, x) {if (x === 0) {throw new Error(''定义域为所有不为0的实数'');}const y = k / x;return y;}/*** 变形公式：y=k/x+b（k≠0）* @param {number} k - 比例系数* @param {number} x - 自变量* @param {number} b - 平移量* @returns {number} y - 函数值*/function inverseProportionWithB(k, x, b) {if (x === 0) {throw new Error(''定义域为所有不为0的实数''); }const y = k / x + b;return y;}/*** 变形公式：y=k/(x-h)（k≠0）* @param {number} k - 比例系数* @param {number} x - 自变量* @param {number} h - 平移量* @returns {number} y - 函数值*/function inverseProportionWithH(k, x, h) {if (x === h || x === 0) {throw new Error(''定义域为所有不为0的实数，且x≠h''); }const y = k / (x - h);return y;}/*** 变形公式：y=-k/x（k≠0）* @param {number} k - 比例系数* @param {number} x - 自变量* @returns {number} y - 函数值*/function inverseProportionNegative(k, x) {if (x === 0) {throw new Error(''定义域为所有不为0的实数'');}const y = -k / x;return y;}/*** 应用题：已知反比例函数y=k/x，当x=2时，y=3，求k。

中考数学反比例函数(大题培优易错难题)及答案一、反比例函数1．如图，反比例函数y= 的图象经过点A（﹣1，4），直线y=﹣x+b（b≠0）与双曲线y= 在第二、四象限分别相交于P，Q两点，与x轴、y轴分别相交于C，D两点．（1）求k的值；（2）当b=﹣2时，求△OCD的面积；（3）连接OQ，是否存在实数b，使得S△ODQ=S△OCD？若存在，请求出b的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：∵反比例函数y= 的图象经过点A（﹣1，4），∴k=﹣1×4=﹣4；（2）解：当b=﹣2时，直线解析式为y=﹣x﹣2，∵y=0时，﹣x﹣2=0，解得x=﹣2，∴C（﹣2，0），∵当x=0时，y=﹣x﹣2=﹣2，∴D（0，﹣2），∴S△OCD= ×2×2=2（3）解：存在．当y=0时，﹣x+b=0，解得x=b，则C（b，0），∵S△ODQ=S△OCD，∴点Q和点C到OD的距离相等，而Q点在第四象限，∴Q的横坐标为﹣b，当x=﹣b时，y=﹣x+b=2b，则Q（﹣b，2b），∵点Q在反比例函数y=﹣的图象上，∴﹣b•2b=﹣4，解得b=﹣或b= （舍去），∴b的值为﹣．【解析】【分析】（1）根据反比例函数的图象上点的坐标特征易得k=﹣4；（2）当b=﹣2时，直线解析式为y=﹣x﹣2，则利用坐标轴上点的坐标特征可求出C（﹣2，0），D（0，﹣2），然后根据三角形面积公式求解；（3）先表示出C（b，0），根据三角形面积公式，由于S△ODQ=S△OCD，所以点Q和点C到OD的距离相等，则Q的横坐标为（﹣b，0），利用直线解析式可得到Q（﹣b，2b），再根据反比例函数的图象上点的坐标特征得到﹣b•2b=﹣4，然后解方程即可得到满足条件的b的值．2．如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y= x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．【答案】（1）解：k=4，S△PAB=15．提示：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，如图1，把x=4代入y= x，得到点B的坐标为（4，1），把点B（4，1）代入y= ，得k=4．解方程组，得到点A的坐标为（﹣4，﹣1），则点A与点B关于原点对称，∴OA=OB，∴S△AOP=S△BOP，∴S△PAB=2S△AOP．设直线AP的解析式为y=mx+n，把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n，求得直线AP的解析式为y=x+3，则点C的坐标（0，3），OC=3，∴S△AOP=S△AOC+S△POC= OC•AR+ OC•PS= ×3×4+ ×3×1= ，∴S△PAB=2S△AOP=15；（2）解：过点P作PH⊥x轴于H，如图2．B（4，1），则反比例函数解析式为y= ，设P（m，），直线PA的方程为y=ax+b，直线PB的方程为y=px+q，联立，解得直线PA的方程为y= x+ ﹣1，联立，解得直线PB的方程为y=﹣ x+ +1，∴M（m﹣4，0），N（m+4，0），∴H（m，0），∴MH=m﹣（m﹣4）=4，NH=m+4﹣m=4，∴MH=NH，∴PH垂直平分MN，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形；（3）解：∠PAQ=∠PBQ．理由如下：过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3．可设点Q为（c，），直线AQ的解析式为y=px+q，则有，解得：，∴直线AQ的解析式为y= x+ ﹣1．当y=0时， x+ ﹣1=0，解得：x=c﹣4，∴D（c﹣4，0）．同理可得E（c+4，0），∴DT=c﹣（c﹣4）=4，ET=c+4﹣c=4，∴DT=ET，∴QT垂直平分DE，∴QD=QE，∴∠QDE=∠QED．∵∠MDA=∠QDE，∴∠MDA=∠QED．∵PM=PN，∴∠PMN=∠PNM．∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA，∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED，∴∠PAQ=∠PBQ．【解析】【分析】（1）过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP 与y轴交于点C，如图1，可根据条件先求出点B的坐标，然后把点B的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出k，然后求出直线AB与反比例函数的交点A的坐标，从而得到OA=OB，由此可得S△PAB=2S△AOP，要求△PAB的面积，只需求△PAO的面积，只需用割补法就可解决问题；（2）过点P作PH⊥x轴于H，如图2．可用待定系数法求出直线PB的解析式，从而得到点N的坐标，同理可得到点M的坐标，进而得到MH=NH，根据垂直平分线的性质可得PM=PN，即△PMN是等腰三角形；（3）过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3．可设点Q为（c，），运用待定系数法求出直线AQ的解析式，即可得到点D的坐标为（c﹣4，0），同理可得E（c+4，0），从而得到DT=ET，根据垂直平分线的性质可得QD=QE，则有∠QDE=∠QED．然后根据对顶角相等及三角形外角的性质，就可得到∠PAQ=∠PBQ．3．如图，一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2= 的图象交于点A（4，m）和B（﹣8，﹣2），与y轴交于点C．（1）m=________，k1=________；（2）当x的取值是________时，k1x+b＞；（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP 与线段AD交于点E，当S四边形ODAC：S△ODE=3：1时，求点P的坐标．【答案】（1）4；（2）﹣8＜x＜0或x＞4（3）解：由（1）知，y1= x+2与反比例函数y2= ，∴点C的坐标是（0，2），点A 的坐标是（4，4）．∴CO=2，AD=OD=4．∴S梯形ODAC= •OD= ×4=12，∵S四边形ODAC：S△ODE=3：1，∴S△ODE= S梯形ODAC= ×12=4，即OD•DE=4，∴DE=2．∴点E的坐标为（4，2）．又点E在直线OP上，∴直线OP的解析式是y= x，∴直线OP与y2= 的图象在第一象限内的交点P的坐标为（4 ，2 ）．【解析】【解答】解：（1）∵反比例函数y2= 的图象过点B（﹣8，﹣2），∴k2=（﹣8）×（﹣2）=16，即反比例函数解析式为y2= ，将点A（4，m）代入y2= ，得：m=4，即点A（4，4），将点A（4，4）、B（﹣8，﹣2）代入y1=k1x+b，得：，解得：，∴一次函数解析式为y1= x+2，故答案为：4，；（2）∵一次函数y1=k1x+2与反比例函数y2= 的图象交于点A（4，4）和B（﹣8，﹣2），∴当y1＞y2时，x的取值范围是﹣8＜x＜0或x＞4，故答案为：﹣8＜x＜0或x＞4；【分析】（1）由A与B为一次函数与反比例函数的交点，将B坐标代入反比例函数解析式中，求出k2的值，确定出反比例解析式，再将A的坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出A的坐标，将B坐标代入一次函数解析式中即可求出k1的值；（2）由A与B 横坐标分别为4、﹣8，加上0，将x轴分为四个范围，由图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的范围即可；（3）先求出四边形ODAC的面积，由S四边形ODAC：S△ODE=3：1得到△ODE的面积，继而求得点E的坐标，从而得出直线OP的解析式，结合反比例函数解析式即可得．4．如图，已知抛物线y=﹣x2+9的顶点为A，曲线DE是双曲线y= （3≤x≤12）的一部分，记作G1，且D（3，m）、E（12，m﹣3），将抛物线y=﹣x2+9水平向右移动a个单位，得到抛物线G2．（1）求双曲线的解析式；（2）设抛物线y=﹣x2+9与x轴的交点为B、C，且B在C的左侧，则线段BD的长为________；（3）点（6，n）为G1与G2的交点坐标，求a的值．（4）解：在移动过程中，若G1与G2有两个交点，设G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点，若MN＜，直接写出a的取值范围．【答案】（1）把D（3，m）、E（12，m﹣3）代入y= 得，解得，所以双曲线的解析式为y= ；（2）2（3）解：把（6，n）代入y= 得6n=12，解得n=2，即交点坐标为（6，2），抛物线G2的解析式为y=﹣（x﹣a）2+9，把（6，2）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（6﹣a）2+9=2，解得a=6± ，即a的值为6± ；（4）抛物线G2的解析式为y=﹣（x﹣a）2+9，把D（3，4）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（3﹣a）2+9=4，解得a=3﹣或a=3+ ；把E（12，1）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（12﹣a）2+9=1，解得a=12﹣2 或a=12+2；∵G1与G2有两个交点，∴3+ ≤a≤12﹣2 ，设直线DE的解析式为y=px+q，把D（3，4），E（12，1）代入得，解得，∴直线DE的解析式为y=﹣ x+5，∵G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点，∴M（a，﹣ a+5），N（a，），∵MN＜，∴﹣ a+5﹣＜，整理得a2﹣13a+36＞0，即（a﹣4）（a﹣9）＞0，∴a＜4或a＞9，∴a的取值范围为9＜a≤12﹣2 ．【解析】【解答】解：（2）当y=0时，﹣x2+9=0，解得x1=﹣3，x2=3，则B（﹣3，0），而D（3，4），所以BE= =2 ．故答案为2 ；【分析】（1）把D（3，m）、E（12，m﹣3）代入y= 得关于k、m的方程组，然后解方程组求出m、k，即可得到反比例函数解析式和D、E点坐标；（2）先解方程﹣x2+9=0得到B（﹣3，0），而D（3，4），然后利用两点间的距离公式计算DE的长；（3）先利用反比例函数图象上点的坐标特征确定交点坐标为（6，2），然后把（6，2）代入y=﹣（x ﹣a）2+9得a的值；（4）分别把D点和E点坐标代入y=﹣（x﹣a）2+9得a的值，则利用图象和G1与G2有两个交点可得到3+ ≤a≤12﹣2 ，再利用待定系数法求出直线DE的解析式为y=﹣ x+5，则M（a，﹣ a+5），N（a，），于是利用MN＜得到﹣ a+5﹣＜，然后解此不等式得到a＜4或a＞9，最后确定满足条件的a的取值范围．5．如图，已知直线y=x+k和双曲线y= （k为正整数）交于A，B两点．（1）当k=1时，求A、B两点的坐标；（2）当k=2时，求△AOB的面积；（3）当k=1时，△OAB的面积记为S1，当k=2时，△OAB的面积记为S2，…，依此类推，当k=n时，△OAB的面积记为S n，若S1+S2+…+S n= ，求n的值．【答案】（1）解：当k=1时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+1和y= ，解得，，∴A（1，2），B（﹣2，﹣1）（2）解：当k=2时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+2和y= ，解得，，∴A（1，3），B（﹣3，﹣1）设直线AB的解析式为：y=mx+n，∴∴，∴直线AB的解析式为：y=x+2∴直线AB与y轴的交点（0，2），∴S△AOB= ×2×1+ ×2×3=4；（3）解：当k=1时，S1= ×1×（1+2）= ，当k=2时，S2= ×2×（1+3）=4，…当k=n时，S n= n（1+n+1）= n2+n，∵S1+S2+…+S n= ，∴ ×（…+n2）+（1+2+3+…n）= ，整理得：，解得：n=6．【解析】【分析】（1）两图像的交点就是求联立的方程组的解；（2）斜三角形△AOB的面积可转化为两水平（或竖直）三角形（有一条边为水平边或竖直边的三角形称为水平或竖直三角形）的面积和或差；（3）利用n个数的平方和公式和等差数列的和公式可求出.6．如图，直线y=mx+n与双曲线y= 相交于A（﹣1，2）、B（2，b）两点，与y轴相交于点C．（1）求m，n的值；（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；（3）在坐标轴上是否存在异于D点的点P，使得S△PAB=S△DAB？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）解：∵点A（﹣1，2）在双曲线y= 上，∴2= ，解得，k=﹣2，∴反比例函数解析式为：y=﹣，∴b= =﹣1，则点B的坐标为（2，﹣1），∴，解得，m=﹣1，n=1（2）解：对于y=﹣x+1，当x=0时，y=1，∴点C的坐标为（0，1），∵点D与点C关于x轴对称，∴点D的坐标为（0，﹣1），∴△ABD的面积= ×2×3=3（3）解：对于y=﹣x+1，当y=0时，x=1，∴直线y=﹣x+1与x轴的交点坐标为（0，1），当点P在x轴上时，设点P的坐标为（a，0），S△PAB= ×|1﹣a|×2+ ×|1﹣a|×1=3，解得，a=﹣1或3，当点P在y轴上时，设点P的坐标为（0，b），S△PAB= ×|1﹣b|×2+ ×|1﹣b|×1=3，解得，b=﹣1或3，∴P点坐标为（﹣1，0）或（3，0）或（0，﹣1）或（0，3）【解析】【分析】（1）由点A（﹣1，2）在双曲线上，得到k=﹣2，得到反比例函数解析式为，从而求出b的值和点B的坐标，把A、B坐标代入直线y=mx+n，求出m、n的值；（2）由一次函数的解析式求出点C的坐标，由点D与点C关于x轴对称，得到点D的坐标，从而求出△ABD的面积；（3）由一次函数的解析式得到直线y=﹣x+1与x轴的交点坐标为（0，1），当点P在x轴上时，设点P的坐标为（a，0），求出S△PAB=3，求出a的值，当点P在y轴上时，设点P的坐标为（0，b），求出S△PAB=3，求出b的值，从而得到P点坐标.7．如图，已知A是双曲线y= （k＞0）在第一象限内的一点，O为坐标原点，直线OA交双曲线于另一点C，当OA在第一象限的角平分线上时，将OA向上平移个单位后，与双曲线在第一象限交于点M，交y轴于点N，若 =2，（1）求直线MN的解析式；（2）求k的值．【答案】（1）解：∵OA在第一象限的角平分线上，∴直线OA的解析式为y=x，∴将OA向上平移个单位后，N（0，），可设直线MN的解析式为y=x+b，把N（0，）代入，可得b= ，∴直线MN的解析式为y=x+（2）解：如图所示，过A作AB⊥y轴于B，过M作MD⊥y轴于D，则∠MDN=∠ABO=90°，由平移可得，∠MND=∠AOB=45°，∴△MDN∽△ABO，∴ = =2，设A（a，a），则AB=a，∴MD= a=DN，∴DO= a+ ，∴M（ a， a+ ），∵双曲线经过点A，M，∴k=a×a= a×（ a+ ），解得a=1，∴k=1．【解析】【分析】（1）第一三象限角平分线为y=x,向上平移为y=x+b,可求出N点坐标，代入y=x+b，即可求出;（2）通过作垂线构造相似三角形，即△MDN∽△ABO，把A、M坐标代入解析式即可求出a,进而求出k.8．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于二四象限内的A、B 两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n），线段OA=5，E为x轴负半轴上一点，且sin∠AOE=．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOC的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．【答案】（1）解：作AD⊥x轴于D，如图，在Rt△OAD中，∵sin∠AOD= = ，∴AD= OA=4，∴OD= =3，∴A（﹣3，4），把A（﹣3，4）代入y= 得m=﹣4×3=﹣12，所以反比例函数解析式为y=﹣；把B（6，n）代入y=﹣得6n=﹣12，解得n=﹣2，把A（﹣3，4）、B（6，﹣2）分别代入y=kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y=﹣x+2（2）解：当y=0时，﹣x+2=0，解得x=3，则C（3，0），所以S△AOC= ×4×3=6（3）解：当x＜﹣3或0＜x＜6时，一次函数的值大于反比例函数的值【解析】【分析】（1）作AD⊥x轴于D，如图，先利用解直角三角形确定A（﹣3，4），再把A点坐标代入y= 可求得m=﹣12，则可得到反比例函数解析式；接着把B（6，n）代入反比例函数解析式求出n，然后把A和B点坐标分别代入y=kx+b得到关于a、b的方程组，再解方程组求出a和b的值，从而可确定一次函数解析式；（2）先确定C点坐标，然后根据三角形面积公式求解；（3）观察函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．9．如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）.（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论.【答案】（1）解：设反比例函数的解析式为（k＞0）∵A（m，﹣2）在y=2x上，∴﹣2=2m，∴解得m=﹣1。

热点04 反比例函数反比例函数这个考点在中考数学中，多注重考察反比例函数的图象与性质，常和一次函数的图象结合考察，题型以选择题为主；另外，在填空题中，对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐渐增大，考题常结合其他规则几何图形的性质一起出题，多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意。

另外解答题中还会考察反比例函数的解析式的确定，也是常和一次函数结合，顺带也会考察其与不等式的关系。

而压轴题中也渐渐显露反比例函数的问题环境，考生在复习过程中需要更加重视该考点。

1. 反比例函数)0(≠=k xk y 的解析式：待定系数法； 反比例函数表达式方面的考察，一是待定系数法直接求反比例函数表达式，二是反比例函数图象上的两个点）（）、（2211,,y x B y x A ，坐标都符合函数的表达式，进而得2211y x y x •=•2.反比例函数)0(≠=k xk y 的图象：没有特殊要求，双曲线必分两支；双曲线的两支有轴对称性，也有中心对称性；反比例函数的增减性不能直接说明；反比例函数图象所过象限与k 的正负有关，他们的关系是可逆的，应用时，注意由图象→k 值时k 的正负。

另外，在说反比例函数的增减性之前，必须带上自变量的取值范围，不然就是错的。

其对称性的考察，主要用在与之结合的几何图形的坐标表示上。

3.反比例函数与一次函数：求交点则联立解析式得方程；根据图象直接写不等式的解集则找交点横坐标、分上下、选左右；一次函数与反比例函数经常放一起考察其图象与解析式的求解；反比例与不等式的结合，第一步找出交代的横坐标，第二步根据图象的上下关系选择交点的哪边符合，第三边让自变量x 大于或小于交点的横坐标。

4.反比例函数与几何图形的结合：当反比例函数与其他图形结合考察时，通常反比例函数只提供其解析式，即反比例函数图象上的点符合反比例函数的解析式，故需要多注意与反比例函数结合的图形的性质应用；反比例函数在中考中也基本都是直接考察，常考热点包括：反比例函数图象与一次函数图象结合问题、反比例函数的性质及解析式的确定、反比例函数k的几何意义、反比例函数与三角形、四边形等几何图形的相关计算等A卷（建议用时：80分钟）1．（2021•黔西南州·中考真题）对于反比例函数y＝，下列说法错误的是（）A．图象经过点（1，﹣5）B．图象位于第二、第四象限C．当x＜0时，y随x的增大而减小D．当x＞0时，y随x的增大而增大【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵反比例函数y＝，∴当x＝1时，y＝﹣＝﹣5，故选项A不符合题意；k＝﹣5，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意；当x＜0，y随x的增大而增大，故选项C符合题意；当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；故选：C．2．（2021•罗湖区·中考真题）一次函数y＝ax+a（a为常数，a≠0）与反比例函数y＝（a 为常数，a≠0）在同一平面直角坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】分为a＞0和a＜0两种情况，然后依据一次函数和反比例函数的图象的性质进行判断即可．【解答】解：当a＞0时，一次函数y＝ax+a，经过一二三象限，反比例函数图象位于一、三象限，当a＜0时，一次函数y＝ax+a，经过二、三、四象限，反比例函数图象位于二、四象限．故选：C．3．（2021•德阳·中考真题）下列函数中，y随x增大而增大的是（）A．y＝﹣2x B．y＝﹣2x+3C．y＝（x＜0）D．y＝﹣x2+4x+3（x＜2）【分析】一次函数当a＞0时，函数值y总是随自变量x增大而增大，反比例函数当k＞0时，在每一个象限内，y随自变量x增大而增大，二次函数根据对称轴及开口方向判断增减性．【解答】解：A．一次函数y＝﹣2x中的a＝﹣2＜0，y随x的增大而减小，故不符合题意．B．一次函数y＝﹣2x+3中的a＝﹣2＜0，y随自变量x增大而减小，故不符合题意．C．反比例函数y＝（x＜0）中的k＝2＞0，在第三象限，y随x的增大而减小，故不符合题意．D．二次函数y＝﹣x2+4x+3（x＜2），对称轴x＝＝2，开口向下，当x＜2时，y随x 的增大而增大，故符合题意．故选：D．4．（2021•广安·中考真题）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y1＜y2B．y2＜y1＜y3C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y1【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数中k＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．∵﹣3＜0，﹣1＜0，∴点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）位于第二象限，∴y1＞0，y2＞0，∵﹣3＜﹣1＜0，∴0＜y1＜y2．∵2＞0，∴点C（2，y3）位于第四象限，∴y3＜0，∴y3＜y1＜y2．故选：A．5．（2021•桂林·中考真题）若点A（1，3）在反比例函数y＝的图象上，则k的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】将点A（1，3）代入反比例函数y＝即可求出k的值．【解答】解：∵点A（1，3）在反比例函数y＝的图象上，∴k＝1×3＝3，故选：C．6．（2021•兰州·中考真题）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC，若△AOC的面积为4，则k＝（）A．16 B．12 C．8 D．4【分析】由C是OB的中点求△AOB的面积，设A（a，b）根据面积公式求ab，最后求k．【解答】解：∵C是OB的中点，△AOC的面积为4，∴△AOB的面积为8，设A（a，b）∵AB⊥x轴于点B，∴ab＝16，∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝16．故选：A．7．（2021•西藏·中考真题）如图．在平面直角坐标系中，△AOB的面积为，BA垂直x 轴于点A，OB与双曲线y＝相交于点C，且BC：OC＝1：2．则k的值为（）A．﹣3 B．﹣C．3 D．【分析】过C作CD⊥x轴于D，可得△DOC∽△AOB，根据相似三角形的性质求出S△DOC，由反比例函数系数k的几何意义即可求得k．【解答】解：过C作CD⊥x轴于D，∵＝，∴＝，∵BA⊥x轴，∴CD∥AB，∴△DOC∽△AOB，∴＝（）2＝（）2＝，∵S△AOB＝，∴S△DOC＝S△AOB＝×＝，∵双曲线y＝在第二象限，∴k＝﹣2×＝﹣3，故选：A．8．（2021•黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在双曲线y＝﹣（x＜0）上，点C，D在y轴的正半轴上，点E在BC上，CE＝2BE，连接DE 并延长，交x轴于点F，连接CF，则△FCD的面积为（）A．2 B．C．1 D．【分析】根据题意设出A点和D点的坐标，设OC长度为m，根据CE＝2BE，得出E点的坐标，再通过证△DEC∽△DFO，得出比例关系，进而求出FO的长度，利用面积公式求面积刚好能消掉未知数得出面积的具体数值．【解答】解：根据题意，设A（n，﹣），D（0，﹣），设OC＝m，则C（0，m），CD＝﹣﹣m，∴B（n，m），BC＝﹣n，∵CE＝2BE，∴CE＝BC＝﹣n，∴E（n，m），由题知BC∥FO，∴∠DEC＝∠DFO，∠DCE＝∠DOF，∴△DEC∽△DFO，∴＝，即＝，∴FO＝，∴S△FCD＝FO•CD＝×（﹣﹣m）＝1，故选：C．9．（2021•宜昌·中考真题）某气球内充满了一定质量m的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数：p＝，能够反映两个变量p和V函数关系的图象是（）A．B．C．D．【分析】直接利用反比例函数的性质，结合p，V的取值范围得出其函数图象分布在第一象限，即可得出答案．【解答】解：∵气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数：p＝（V，p都大于零），∴能够反映两个变量p和V函数关系的图象是：．故选：B．10．（2021•荆门·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝（k≠0）的大致图象是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【分析】根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．【解答】解：当k＞0时，一次函数y＝kx﹣k经过一、三、四象限，函数y＝（k≠0）的图象在一、二象限，故选项②的图象符合要求．当k＜0时，一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，函数y＝（k≠0）的图象经过三、四象限，故选项③的图象符合要求．故选：B．11．（2021•潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数y＝与y＝（a ＞b＞0）在第一象限的图象分别为曲线C1，C2，点P为曲线C1上的任意一点，过点P 作y轴的垂线交C2于点A，作x轴的垂线交C2于点B，则阴影部分的面积S△AOB ＝．（结果用a，b表示）【分析】设B（m，），A（，n），则P（m，n），阴影部分的面积S△AOB＝矩形的面积﹣三个直角三角形的面积可得结论．【解答】解：设B（m，），A（，n），则P（m，n），∵点P为曲线C1上的任意一点，∴mn＝a，∴阴影部分的面积S△AOB＝mn﹣b﹣b﹣（m﹣）（n﹣）＝mn﹣b﹣（mn﹣b﹣b+）＝mn﹣b﹣mn+b﹣＝a﹣．故答案为：a﹣．12．（2021•齐齐哈尔·中考真题）如图，点A是反比例函数y＝（x＜0）图象上一点，AC⊥x轴于点C且与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点B，AB＝3BC，连接OA，OB．若△OAB的面积为6，则k1+k2＝．【分析】由△OAB的面积为6，可求出△OBC的面积为2，进而求出△OAC的面积为8，再根据反比例函数系数k的几何意义可求出k1，k2，进而得出答案．【解答】解：∵S△AOB＝AB•OC＝6，S△BOC＝BC•OC，AB＝3BC，∴S△BOC＝2，∴S△AOC＝2+6＝8，又∵|k1|＝8，|k2|＝2，k1＜0，k2＜0，∴k1＝﹣16，k2＝﹣4，∴k1+k2＝﹣16﹣4＝﹣20，故答案为：﹣20．13．（2021•荆州·中考真题）如图，过反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的四点P1，P2，P3，P4分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，A3，A4，再过P1，P2，P3，P4分别作y轴，P1A1，P2A2，P3A3的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，则S1与S4的数量关系为．【分析】过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S是个定值，S＝k，由OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，得出S1＝k，S2＝k，S3＝k，S4＝k，即可得出S1＝4S4．【解答】解：∵过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S是个定值，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，∴S1＝k，S2＝k，S3＝k，S4＝k，∴S1＝4S4．故答案为：S1＝4S4．14．（2021•益阳·中考真题）如图，已知点A是一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴的交点，将点A向上平移2个单位后所得点B在某反比例函数图象上．（1）求点A的坐标；（2）确定该反比例函数的表达式．【分析】（1）把y＝0代入一次函数y＝2x﹣4，求出x，即可得到点A的坐标；（2）根据平移的性质求出点B的坐标，设所求反比例函数解析式为y＝，将B点坐标代入，即可求出该反比例函数的表达式．【解答】解：（1）∵点A是一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴的交点，∴当y＝0时，2x﹣4＝0，解得x＝2，∴点A的坐标为（2，0）；（2）将点A（2，0）向上平移2个单位后得点B（2，2）．设过点B的反比例函数解析式为y＝，则2＝，解得k＝4，∴该反比例函数的表达式为y＝．15．（2021•河南·中考真题）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O 重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数y＝的图象与大正方形的一边交于点A（1，2），且经过小正方形的顶点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）求图中阴影部分的面积．【分析】（1）根据待定系数法求出k即可得到反比例函数的解析式；（2）先根据反比例函数系数k的几何意义求出小正方形的面积为4m2＝8，再求出大正方形在第一象限的顶点坐标，得到大正方形的面积为4×22＝16，根据图中阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积即可求出结果．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点A（1，2），∴2＝，∴k＝2，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）∵小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，∴设B点的坐标为（m，m），∵反比例函数y＝的图象经过B点，∴m＝，∴m2＝2，∴小正方形的面积为4m2＝8，∵大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，且A（1，2），∴大正方形在第一象限的顶点坐标为（2，2），∴大正方形的面积为4×22＝16，∴图中阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积＝16﹣8＝8．16．（2021•宜宾·中考真题）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A、B，与x轴交于点C（5，0），若OC＝AC，且S△OAC＝10．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）请直接写出不等式ax+b＞的解集．【分析】（1）因为C（5，0），所以OC＝5，又S△AOC＝10，过A作AE⊥x轴于E，可以得到AE＝4，在直角三角形中，利用勾股定理，求出CE长度，写出E点坐标，即可求出k和C的坐标，利用待定系数法，求解一次函数的表达式即可；（2）联立一次函数和反比例函数的解析式，求解一个方程组，得到交点A和B的坐标，根据图象，可以得到原不等式的解集．【解答】（1）如图1，过A作AE⊥x轴于E，∵C（5，0），OC＝AC，∴OC＝AC＝5，∵S△AOC＝10，∴，∴AE＝4，在Rt△ACE中，CE＝，∴OE＝8，∴A（8，4），∴k＝4×8＝32，将A和C的坐标代入到一次函数解析式中得，，∴，∴反比例函数的表达式为y＝，一次函数的表达式为；（2）联立两个函数解析式得，解得，，∴，由图象可得，当，x＞8或﹣3＜x＜0．17．（2021•台州·中考真题）电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1，R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km+b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0，该读数可以换算为人的质量m，温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压（1）求k，b的值；（2）求R1关于U0的函数解析式；（3）用含U0的代数式表示m；（4）若电压表量程为0～6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．【分析】（1）待定系数法求出k，b；（2）通过串联电路中电流处处相等和可以列出等量关系，然后再化简为R1关于U0的函数解析式；（3）把第（1）问求出的R1与m的函数解析式代入第（2）中的R1与U0的关系式中消去R1，然后变形；（4）利用第（3）问中U0与m的关系式，结合0≤U0≤6和m关于U0的增减性，得出电子体重秤可称的最大质量m．【解答】解：（1）将（0，240），（120，0）代入R1＝km+b，得：，解得：．∴R1＝﹣2m+240（0≤m≤120）．（2）由题意得：可变电阻两端的电压＝电源电压﹣电表电压，即：可变电阻电压＝8﹣U0，∵I＝，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，∴．化简得：R1＝，∵R0＝30，∴．（3）将R1＝﹣2m+240（0≤m≤120）代入，得：﹣2m+240＝，化简得：m＝（0≤m≤120）．（4）∵m＝中k＝﹣120＜0，且0≤U0≤6，∴m随U0的增大而增大，∴U0取最大值6的时候，m max＝＝115（千克）．B卷（建议用时：80分钟）1．（2021•阜新·中考真题）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，且x1＜0＜x2，则y1，y2的关系一定成立的是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1+y2＝0 D．y1﹣y2＝0【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜0＜x2确定A和B所在的象限，即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中k＝﹣1＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．∵x1＜0＜x2，∴A在第二象限，B在第四象限，∴y1＞0，y2＜0，∴y1＞y2．故选：A．2．（2021•本溪·中考真题）反比例函数y＝的图象分别位于第二、四象限，则直线y＝kx+k 不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据反比例函数y＝的图象经过第二、四象限可判断出k的符号，进而可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象分别位于第二、四象限，∴k＜0，∴一次函数y＝kx+k的图象经过第二、三、四象限，即不经过第一象限．故选：A．3．（2021•山西·中考真题）已知反比例函数y＝，则下列描述不正确的是（）A．图象位于第一，第三象限B．图象必经过点（4，）C．图象不可能与坐标轴相交D．y随x的增大而减小【分析】根据反比例函数的性质对各项进行逐一分析即可．【解答】解：A．∵k＝6＞0，∴图象位于第一，第三象限，故A正确，不符合题意；B．∵4×＝6＝k，∴图象必经过点（4，），故B正确，不符合题意；C．∵x≠0，∴y≠0，∴图象不可能与坐标轴相交，故C正确，不符合题意；D．∵k＝6＞0，∴在每一个象限内，y随x的增大而减小，故D错误，符合题意．故选：D．4．（2021•德州·中考真题）小红同学在研究函数y＝|x|+的图象时，发现有如下结论：①该函数有最小值；②该函数图象与坐标轴无交点；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④该函数图象关于y轴对称；⑤直线y＝8与该函数图象有两个交点，则上述结论中正确的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】利用函数的图象和函数的增减性的特征对每一个选项进行分析判断得出结论．【解答】解：列表：x…﹣4﹣3﹣2﹣11234…y…545545…画出函数图象如图，观察图象：①该函数有最小值，符合题意；②该函数图象与坐标轴无交点，符合题意；③当x＞0时，y随x的增大而增大，不合题意；④该函数图象关于y轴对称，符合题意；⑤令|x|+＝8，整理得x2﹣8x+4＝0或x2+8x+4＝0，∵Δ＝82﹣4×1×4＞0，∴两个方程均有两个不相等的实数根，即共有四个根，且这四个根互不相等．∴直线y＝8与该函数图象有四个交点，不符合题意，综上，以上结论正确的有：①②④，故选：B．5．（2021•湘西州·中考真题）如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为y＝的函数图象．根据这个函数的图象，下列说法正确的是（）A．图象与x轴没有交点B．当x＞0时，y＞0C．图象与y轴的交点是（0，﹣）D．y随x的增大而减小【分析】根据函数的图象以及函数的解析式逐一判断即可．【解答】解：A．由图象可知，图象与x轴没有交点，故说法正确；B．由图象可知，当0＜x＜1时，y＜0，当x＞1时，y＞0，故说法错误；C．当x＝0时，函数值为﹣2，故图象与y轴的交点是（0，﹣2），故说法错误；D．当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小，故说法错误．故选：A．6．（2021•贵阳·中考真题）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝ax（a ≠0）的图象相交于A，B两点，若点A的坐标是（1，2），则点B的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，﹣2）D．（2，1）【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线与反比例函数图象的两个交点一定关于原点对称．【解答】解：根据题意，知点A与B关于原点对称，∵点A的坐标是（1，2），∴B点的坐标为（﹣1，﹣2）．故选：C．7．（2021•枣庄·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线AB垂直于x轴于点C（点C 在原点的右侧），并分别与直线y＝x和双曲线y＝相交于点A，B，且AC+BC＝4，则△OAB的面积为（）A．2+或2﹣B．2+2或2﹣2 C．2﹣D．2+2【分析】先求出点A，点B坐标，可得AC＝x＝OC，BC＝，由AC+BC＝4，可求x 的值，由三角形的面积公式可求解．【解答】解：设点C（x，0），∵直线AB与直线y＝x和双曲线y＝相交于点A，B，∴点A（x，x），点B（x，），∴AC＝x＝OC，BC＝，∵AC+BC＝4，∴x+＝4，∴x＝2±，当x＝2+时，AC＝2+＝OC，BC＝2﹣，∴AB＝2，∴△OAB的面积＝×BA×OC＝2+2；当x＝2﹣时，AC＝2﹣＝OC，BC＝2+，∴AB＝2，∴△OAB的面积＝×BA×OC＝2﹣2；综上所述：△OAB的面积为2+2或2﹣2，故选：B．8．（2021•温州·中考真题）如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，连结AE．若OE＝1，OC＝OD，AC＝AE，则k的值为（）A．2 B．C．D．2【分析】根据题意求得B（k，1），进而求得A（k，），然后根据勾股定理得到∴（）2＝（k）2+（）2，解方程即可求得k的值．【解答】解：∵BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，∴四边形BDOE是矩形，∴BD＝OE＝1，把y＝1代入y＝，求得x＝k，∴B（k，1），∴OD＝k，∵OC＝OD，∴OC＝k，∵AC⊥x轴于点C，把x＝k代入y＝得，y＝，∴AE＝AC＝，∵OC＝EF＝k，AF＝﹣1＝，在Rt△AEF中，AE2＝EF2+AF2，∴（）2＝（k）2+（）2，解得k＝±，∵在第一象限，∴k＝，故选：B．9．（2021•丽水·中考真题）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力F甲、F乙、F丙、F丁，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若F乙＜F丙＜F甲＜F丁，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（）A．甲同学B．乙同学C．丙同学D．丁同学【分析】根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，以及水桶的拉力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长乘积是定值即可判断．【解答】解：根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂可得，∵阻力×阻力臂是个定值，即水桶的重力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变，∴动力越小，动力臂越大，即拉力越小，压力的作用点到支点的距离最远，∵F乙最小，∴乙同学到支点的距离最远．故选：B．10．（2021•玉林·中考真题）如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y＝过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D，若S△BCD＝8，则k的值是．【分析】过点A作AE∥y轴，交BC与点E，设点A（a，）则B（﹣a，﹣），可表示出BC和DC的长度，又S△BCD＝＝8，即可求出k的值．【解答】解：过点A作AE∥y轴，交BC与点E，设点A（a，）则B（﹣a，﹣），∴BE＝2a，∵△ABC是等腰三角形，底边BC∥x轴，CD∥y轴，∴BC＝4a，∴点D的横坐标为3a，∴点D的纵坐标为，∴CD＝，∵S△BCD＝＝8，∴，∴k＝3，故答案为3．11．（2021•宿迁·中考真题）如图，点A、B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，延长AB交x轴于C点，若△AOC的面积是12，且点B是AC的中点，则k＝．【分析】设OM的长度为a，利用反比例函数解析式表示出AM的长度，再表示出OC的长度，然后利用三角形的面积公式列式计算表示面积即可得解．【解答】解：作AM⊥OC，BN⊥OC，设OM＝a，∵点A在反比例函数y＝，∴AM＝，∵B是AC的中点，∴AB＝BC，∵AM⊥OC，BN⊥OC，∴BN∥AM，∴，，∴NM＝NC，BN＝＝，∵点B在反比例函数y＝，∴ON＝2a，又∵OM＝a，∴OM＝MN＝NC＝a，∴OC＝3a，∴S△AOC＝•OC•AM＝×3a×＝k＝12，解得k＝8；故答案为：812．（2021•宁波·中考真题）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点A（x，y），我们把点B（，）称为点A的“倒数点”．如图，矩形OCDE的顶点C为（3，0），顶点E在y轴上，函数y＝（x＞0）的图象与DE交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，则△OBC的面积为．【分析】设点A的坐标为（m，），由“倒数点”的定义，得点B坐标为（，），分析出点B在某个反比例函数上，分两种情况：①点B在ED上，由ED∥x轴，得＝，解出m＝±2，（﹣2舍去），得点B纵坐标为1，此时，S△OBC＝×3×1＝；②点B在DC上，得点B横坐标为3，即＝3，求出点B纵坐标为：＝，此时，S△OBC＝×3×＝．【解答】解：设点A的坐标为（m，），∵点B是点A的“倒数点”，∴点B坐标为（，），∵点B的横纵坐标满足＝，∴点B在某个反比例函数上，∴点B不可能在OE，OC上，分两种情况：①点B在ED上，由ED∥x轴，∴点B、点A的纵坐标相等，即＝，∴m＝±2（﹣2舍去），∴点B纵坐标为1，此时，S△OBC＝×3×1＝；②点B在DC上，∴点B横坐标为3，即＝3，∴点B纵坐标为：＝，此时，S△OBC＝×3×＝；故答案为：或．13．（2021•德阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，6），将点A向右平移2个单位，再向下平移a个单位得到点B，点B恰好落在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过A，B两点的直线与y轴交于点C．（1）求k的值及点C的坐标；（2）在y轴上有一点D（0，5），连接AD，BD，求△ABD的面积．【分析】（1）由点A（2，6）求出反比例函数的解析式为y＝，可得k值，进而求得B （4，3），由待定系数法求出直线AB的解析式为y＝﹣x+9，即可求出C点的坐标；（2）由（1）求出CD，根据S△ABD＝S△BCD﹣S△ACD可求得结论．【解答】解：（1）把点A（2，6）代入y＝，k＝2×6＝12，∴反比例函数的解析式为y＝，∵将点A向右平移2个单位，∴x＝4，当x＝4时，y＝＝3，∴B（4，3），设直线AB的解析式为y＝mx+n，由题意可得，解得，∴y＝﹣x+9，当x＝0时，y＝9，∴C（0，9）；（2）由（1）知CD＝9﹣5＝4，∴S△ABD＝S△BCD﹣S△ACD＝CD•|x B|﹣CD•|x A|＝×4×4﹣×4×2＝4．14．（2021•乐山·中考真题）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段；当20≤x≤45时，图象是反比例函数的一部分．（1）求点A对应的指标值；（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．【分析】（1）设反比例函数的解析式为y＝，由C（20，45）求出k，可得D坐标，从而求出A的指标值；（2）求出AB解析式，得到y≥36时，x≥，由反比例函数y＝可得y≥36时，x ≤25，根据25﹣＝＞17，即可得到答案．【解答】解：（1）设当20≤x≤45时，反比例函数的解析式为y＝，将C（20，45）代入得：45＝，解得k＝900，∴反比例函数的解析式为y＝，当x＝45时，y＝＝20，∴D（45，20），∴A（0，20），即A对应的指标值为20；（2）设当0≤x＜10时，AB的解析式为y＝mx+n，将A（0，20）、B（10，45）代入得：，解得，∴AB的解析式为y＝x+20，当y≥36时，x+20≥36，解得x≥，由（1）得反比例函数的解析式为y＝，当y≥36时，≥36，解得x≤25，∴≤x≤25时，注意力指标都不低于36，而25﹣＝＞17，∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36．15．（2021•枣庄·中考真题）小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数y＝（x≠0）的图象与性质进行探究．因为y＝＝1﹣，即y＝﹣+1，所以可以对比函数y＝﹣来探究．列表：（1）下表列出y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m＝，n＝；x…﹣4﹣3﹣2﹣1﹣1234…y＝﹣…124﹣4﹣2﹣1﹣﹣…y＝…23m﹣3﹣10n…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y＝相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：（2）请把y轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来；（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x＜0时，y随x的增大而；（填“增大”或“减小”）②函数y＝的图象是由y＝﹣的图象向平移个单位而得到．③函数图象关于点中心对称．（填点的坐标）【分析】（1）x＝﹣，x＝3，分别代入y＝﹣+1即可得m、n的值；（2）按要求分别用条光滑曲线顺次连接所描的点即可；（3）数形结合，观察函数图象即可得到答案．【解答】解：（1）x＝﹣时，y＝﹣+1＝5，∴m＝5，x＝3时，y＝﹣+1＝，∴n＝；故答案为：5，；（2）把y轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来，如图：（3）根据图象可得：①在y轴左边，y随x增大而增大，故答案为：增大；②函数y＝的图象是由y＝﹣的图象向上平移1个单位得到的，故答案为：上，1；③函数图象关于点（0，1）中心对称，故答案为：（0，1）．16．（2021•鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象在第二象限交于C，D（﹣6，2）两点，DE∥OC交x轴于点E，若＝．（1）求一次函数和反比例函数的表达式．（2）求四边形OCDE的面积．【分析】（1）先利用待定系数法求反比例函数解析式，然后结合相似三角形的判定和性质求得C点坐标，再利用待定系数法求函数关系式；（2）解法一：根据一次函数图象上点的坐标特征并结合待定系数法求得A点和E点坐标，然后用△AOC的面积减去△AED的面积求解；解法二：由（1）问中的直线AB解析式，可以求出点A（﹣6.0），所以AO＝6，由△ADE ∽△ACO可以求出AE，尽而求出面积．【解答】解：（1）将D（﹣6，2）代入y＝中，k2＝﹣6×2＝﹣12，∴反比例函数的解析式为y＝﹣；过点D作DM⊥x轴，过点C作CN⊥x轴，∵DE∥OC，∴△ADE∽△ACO，∴，∴CN＝3DM＝6，将y＝6代入y＝﹣中，﹣，解得：x＝﹣2，∴C点坐标为（﹣2，6），将C（﹣2，6），D（﹣6，2）代入y＝k1x+b中，可得，解得：，∴一次函数的解析式为y＝x+8；（2）解法一：设直线OC的解析式为y＝mx，将C（﹣2，6）代入，得：﹣2m＝6，解得：m＝﹣3，∴直线OC的解析式为y＝﹣3x，由DE∥OC，设直线DE的解析式为y＝﹣3x+n，将D（﹣6，2）代入可得：﹣3×（﹣6）+n＝2，解得：n＝﹣16，。

中考数学易错题专题训练-反比例函数练习题及答案解析一、反比例函数1．平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，AD交y轴于P点（1）已知点A的坐标是（2，3），求k的值及C点的坐标；（2）在（1）的条件下，若△APO的面积为2，求点D到直线AC的距离．【答案】（1）解：∵点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，∴3= ，点C与点A关于原点O对称，∴k=6，C（﹣2，﹣3），即k的值是6，C点的坐标是（﹣2，﹣3）；（2）解：过点A作AN⊥y轴于点N，过点D作DM⊥AC，如图，∵点A（2，3），k=6，∴AN=2，∵△APO的面积为2，∴，即，得OP=2，∴点P（0，2），设过点A（2，3），P（0，2）的直线解析式为y=kx+b，，得，∴过点A（2，3），P（0，2）的直线解析式为y=0.5x+2，当y=0时，0=0.5x+2，得x=﹣4，∴点D的坐标为（﹣4，0），设过点A（2，3），B（﹣2，﹣3）的直线解析式为y=mx+b，则，得，∴过点A（2，3），C（﹣2，﹣3）的直线解析式为y=1.5x，∴点D到直线AC的直线得距离为：= ．【解析】【分析】（1）根据点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，可以求得k的值和点C的坐标；（2）根据△APO的面积为2，可以求得OP的长，从而可以求得点P的坐标，进而可以求得直线AP的解析式，从而可以求得点D的坐标，再根据点到直线的距离公式可以求得点D到直线AC的距离．2．如图，点P（ +1，﹣1）在双曲线y= （x＞0）上．（1）求k的值；（2）若正方形ABCD的顶点C，D在双曲线y= （x＞0）上，顶点A，B分别在x轴和y 轴的正半轴上，求点C的坐标．【答案】（1）解：点P（，）在双曲线上，将x= ，y= 代入解析式可得：k=2；（2）解：过点D作DE⊥OA于点E，过点C作CF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC，∠CBA=90°，∴∠FBC+∠OBA=90°，∵∠CFB=∠BOA=90°，∴∠FCB+∠FBC=90°，∴∠FBC=∠OAB，在△CFB和△AOB中，，∴△CFB≌△AOB（AAS），同理可得：△BOA≌△AED≌△CFB，∴CF=OB=AE=b，BF=OA=DE=a，设A（a，0），B（0，b），则D（a+b，a）C（b，a+b），可得：b（a+b）=2，a（a+b）=2，解得：a=b=1．所以点C的坐标为：（1，2）．【解析】【分析】（1）由待定系数法把P坐标代入解析式即可；（2）C、D均在双曲线上，它们的坐标就适合解析式，设出C坐标，再由正方形的性质可得△CFB≌△AOB△BOA≌△AED≌△CFB，代入解析式得b（a+b）=2，a（a+b）=2，即可求出C坐标.3．如图、在矩形OABC中，，双曲线与矩形两边BC，AB 分别交于E，F两点.（1）如图一，若E是BC中点，求点F的坐标；（2）如图二，若将沿直线EF对折，点B恰好落在x轴上的点D处，求k的值. 【答案】（1）解：矩形OABC中，，，E是BC中点，点 .点E在双曲线上，..点F的横坐标为4，且在双曲线上，，即点；（2）解：过点E做轴于H点，点点， .， .，，，∽ .，，.，，.【解析】【分析】（1）根据E点坐标求出k的值，而后把F点的横坐标代入反比例函数解析式求出纵坐标；（2）过点E做轴于H点，根据∽，分别用k 表示出DF、AF、AD长度，根据勾股定理构造出关于k的方程.4．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为梦之点，例如，点（1，1），（﹣ 2，﹣ 2），（，），…，都是梦之点，显然梦之点有无数个．（1）若点P（2，b）是反比例函数 (n为常数，n≠0)的图象上的梦之点，求这个反比例函数解析式；（2）⊙O的半径是，①求出⊙O上的所有梦之点的坐标；②已知点M（m，3），点Q是（1）中反比例函数图象上异于点P的梦之点，过点Q的直线l与y轴交于点A，∠OAQ＝45°．若在⊙O上存在一点N，使得直线MN∥l或MN⊥l，求出m的取值范围．【答案】（1）解：∵P（2，b）是梦之点，∴b=2∴P（2，2）将P（2，2）代入中得n=4∴反比例函数解析式是（2）解：①设⊙O上梦之点坐标是（，）∴∴=1或 =-1∴⊙O上所有梦之点坐标是（1，1）或（-1，-1）②由（1）知，异于点P的梦之点Q的坐标为（-2，-2）由已知MN∥l或MN⊥l∴直线MN为y=-x+b或y=x+b当MN为y=-x+b时，m=b-3由图可知，当直线MN平移至与⊙O相切时，且切点在第四象限时，b取得最小值，此时MN记为，其中为切点，为直线与y轴的交点∵△O 为等要直角三角形，∴O =∴O =2∴b的最小值是-2，∴m的最小值是-5当直线MN平移至与⊙O相切时，且切点在第二象限时，b取得最大值，此时MN记为，其中为切点，为直线与y轴的交点。

一、反比例函数的定义：
反比例函数是指其表达式可以表示为y=k/x（k≠0），其中k为常数，x≠0。

二、反比例函数的一般式：
1.y=k/x
2.k为比例系数，表示常数项。

三、反比例函数的图像特点：
1.垂直于y轴；
2.不过原点，但会经过x轴的正半轴和y轴的正半轴；
3.上升（k>0）或下降（k<0）。

四、反比例函数的性质：
1.定义域：x≠0，值域：y≠0
2.渐近线：x轴和y轴是反比例函数的渐近线。

3.对称性：关于y轴对称。

4.单调性：k>0时，单调递减；k<0时，单调递增。

五、反比例函数图像的平移：
1.y=k/(x-h)：左右平移h个单位；
2.y=k/(x)+v：上下平移v个单位。

六、反比例函数与直线的关系：
1. 反比例函数与直线y=kx的图像在一起；
2. 直线y=kx可以看做反比例函数的简化形式，即k=1
七、反比例函数的应用：
1.反比例函数在实际中常用于描述两个变量之间的比例关系，如一方
的量增大，另一方的量就会减小的规律。

2.可以用反比例函数解决实际问题，如物品的价格与销量之间的关系、速度与时间之间的关系等。

中考数学反比例函数(大题培优易错难题)含答案解析一、反比例函数1．如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线y= （k≠0）（x＞0）相交于点A、C，与x轴相交于点B、D，连接AC．已知点A、B的刻度分别为5，2（单位：cm），直尺的宽度为2cm，OB=2cm．（1）求k的值；（2）求经过A、C两点的直线的解析式；（3）连接OA、OC，求△OAC的面积．【答案】（1）解：∵AB=5﹣2=3cm，OB=2cm，∴A的坐标是（2，3），代入y= 得3= ，解得：k=6（2）解：OD=2+2=4，在y= 中令x=4，解得y= ．则C的坐标是（4，）．设AC的解析式是y=mx+n，根据题意得：，解得：，则直线AC的解析式是y=﹣ x+（3）解：直角△AOB中，OB=2，AB=3，则S△AOB= OB•AB= ×2×3=3；直角△ODC中，OD=4，CD= ，则S△OCD= OD•CD= ×4× =3．在直角梯形ABDC中，BD=2，AB=3，CD= ，则S梯形ABDC= （AB+DC）•BD= （3+ ）×2= ．则S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD=3+ ﹣3=【解析】【分析】（1）首先求得A的坐标，然后利用待定系数法求得函数的解析式；（2）首先求得C的坐标，然后利用待定系数法求得直线的解析式；（3）根据S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD利用直角三角形和梯形的面积公式求解．2．如图，点P（x，y1）与Q（x，y2）分别是两个函数图象C1与C2上的任一点．当a≤x≤b 时，有﹣1≤y1﹣y2≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”，否则称它们在a≤x≤b 上是“非相邻函数”．例如，点P（x，y1）与Q （x，y2）分别是两个函数y=3x+1与y=2x﹣1图象上的任一点，当﹣3≤x≤﹣1时，y1﹣y2=（3x+1）﹣（2x﹣1）=x+2，通过构造函数y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质，得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立，因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”．（1）判断函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是否为“相邻函数”，并说明理由；（2）若函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，求a的取值范围；（3）若函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，直接写出a的最大值与最小值．【答案】（1）解：是“相邻函数”，理由如下：y1﹣y2=（3x+2）﹣（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1，∵y=x+1在﹣2≤x≤0，是随着x的增大而增大，∴当x=0时，函数有最大值1，当x=﹣2时，函数有最小值﹣1，即﹣1≤y≤1，∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”（2）解：y1﹣y2=（x2﹣x）﹣（x﹣a）=x2﹣2x+a，构造函数y=x2﹣2x+a，∵y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+（a﹣1），∴顶点坐标为：（1，a﹣1），又∵抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上，∴当x=1时，函数有最小值a﹣1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a﹣1≤y≤a，∵函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即，∴0≤a≤1（3）解：y1﹣y2= ﹣（﹣2x+4）= +2x﹣4，构造函数y= +2x﹣4，∵y= +2x﹣4∴当x=1时，函数有最小值a﹣2，当x=2时，函数有最大值，即a﹣2≤y≤ ，∵函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即，∴1≤a≤2；∴a的最大值是2，a的最小值1【解析】【分析】（1）y1﹣y2=（3x+2）﹣（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1，因为y=x+1在﹣2≤x≤0，是随着x的增大而增大，所以当x=0时，函数有最大值1，当x=﹣2时，函数有最小值﹣1，即﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1，即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”；（2）y1﹣y2=（x2﹣x）﹣（x﹣a）=x2﹣2x+a，构造函数y=x2﹣2x+a，因为y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+（a﹣1），所以顶点坐标为：（1，a﹣1），又抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上，所以当x=1时，函数有最小值a﹣1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a﹣1≤y≤a，因为函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，所以﹣1≤y1﹣y2≤1，即0≤a≤1；（3）当x=1时，函数有最小值a﹣2，当x=2时，函数有最大值，因为函数y=与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，﹣1≤y1﹣y2≤1，即1≤a≤2，所以a的最大值是2，a 的最小值1.3．已知一次函数y=kx+b与反比例函数y= 交于A（﹣1，2），B（2，n），与y轴交于C 点．（1）求反比例函数和一次函数解析式；（2）如图1，若将y=kx+b向下平移，使平移后的直线与y轴交于F点，与双曲线交于D，E两点，若S△ABD=3，求D，E的坐标．（3）如图2，P为直线y=2上的一个动点，过点P作PQ∥y轴交直线AB于Q，交双曲线于R，若QR=2QP，求P点坐标．【答案】（1）解：点A（﹣1，2）在反比例函数y= 的图象上，∴m=（﹣1）×2=﹣2，∴反比例函数的表达式为y=﹣，∵点B（2，n）也在反比例函数的y=﹣图象上，∴n=﹣1，即B（2，﹣1）把点A（﹣1，2），点B（2，﹣1）代入一次函数y=kx+b中，得，解得：k=﹣1，b=1，∴一次函数的表达式为y=﹣x+1，答：反比例函数的表达式是y=﹣，一次函数的表达式是y=﹣x+1；（2）解：如图1，连接AF，BF，∵DE∥AB，∴S△ABF=S△ABD=3（同底等高的两三角形面积相等），∵直线AB的解析式为y=﹣x+1，∴C（0，1），设点F（0，m），∴AF=1﹣m，∴S△ABF=S△ACF+S△BCF= CF×|x A|+ CF×|x B|= （1﹣m）×（1+2）=3，∴m=﹣1，∴F（0，﹣1），∵直线DE的解析式为y=﹣x+1，且DE∥AB，∴直线DE的解析式为y=﹣x﹣1①．∵反比例函数的表达式为y=﹣②，联立①②解得，或∴D（﹣2，1），E（1，﹣2）；（3）解：如图2由（1）知，直线AB的解析式为y=﹣x﹣1，双曲线的解析式为y=﹣，设点P（p，2），∴Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣），PQ=|2+p+1|，QR=|﹣p﹣1+ |，∵QR=2QP，∴|﹣p﹣1+ |=2|2+p+1|，解得，p= 或p= ，∴P（，2）或（，2）或（，2）或（，2）．【解析】【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式可求得m的值，从而可得到反比例函数的解析式；把点A和点B的坐标代入一次函数的解析式可求得一次函数的解析式；（2）依据同底等高的两个三角形的面积相等可得到S△ABF=S△ABD=3，再利用三角形的面积公式可求得点F的坐标，即可得出直线DE的解析式，即可求出交点坐标；（3）设点P（p，2），则Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣），然后可表示出PQ与QR的长度，最后依据QR=2QP，可得到关于p的方程，从而可求得p的值，从而可得到点P的坐标.4．已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y= 的图象交于点C（3，1）（1）试确定上述比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）点D（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点C作直线AC⊥x 轴于点A，交OD的延长线于点B；若点D是OB的中点，DE⊥x轴于点E，交OC于点F，试求四边形DFCB的面积．【答案】（1）解：将点C（3，1）分别代入y= 和y=ax，得：k=3，a= ，∴反比例函数解析式为y= ，正比例函数解析式为y= x；（2）解：观察图象可知，在第二象限内，当0＜x＜3时，反比例函数值大于正比例函数值；（3）解：∵点D（m，n）是OB的中点，又在反比例函数y= 上，∴OE= OA= ，点D（，2），∴点B（3，4），又∵点F在正比例函数y= x图象上，∴F（，），∴DF= 、BC=3、EA= ，∴四边形DFCB的面积为 ×（ +3）× = ．【解析】【分析】（1）利用待定系数法把C坐标代入解析式即可；（2）须数形结合，先找出交点，在交点的左侧与y轴之间，反比例函数值大于正比例函数值.（3）求出DF、BC、EA，代入梯形面积公式即可.5．如图1，经过原点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为点C；与双曲线y= 相交于点A，B；直线AB与分别与x轴、y轴交于点D，E．已知点A的坐标为（﹣1，4），点B在第四象限内且到x轴、y轴的距离相等．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC的面积；（3）如图2，将抛物线平移至顶点在原点上时，直线AB随之平移，试判断：在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PAB的内切圆的圆心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：把点A的坐标代入双曲线的解析式得：k=﹣1×4=﹣4．所以双曲线的解析式为y=﹣．设点B的坐标为（m，﹣m）．∵点B在双曲线上，∴﹣m2=﹣4，解得m=2或m=﹣2．∵点B在第四象限，∴m=2．∴B（2，﹣2）．将点A、B、C的坐标代入得：，解得：．∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x．（2）解：如图1，连接AC、BC．令y=0，则x2﹣3x=0，∴x=0或x=3，∴C（3，0），∵A（﹣1，4），B（2，﹣2），∴直线AB的解析式为y=﹣2x+2，∵点D是直线AB与x轴的交点，∴D（1，0），∴S△ABC=S△ADC+S△BDC= ×2×4+ ×2×2=6；（3）解：存在，理由：如图2，由原抛物线的解析式为y=x2﹣3x=（x﹣）2﹣，∴原抛物线的顶点坐标为（，﹣），∴抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，而平移前A（﹣1，4），B（2，﹣2），∴平移后点A（﹣，），B（，），∴点A关于y轴的对称点A'（，），连接A'B并延长交y轴于点P，连接AP，由对称性知，∠APE=∠BPE，∴△APB的内切圆的圆心在y轴上，∵B（，），A'（，），∴直线A'B的解析式为y=3x﹣，∴P（0，﹣）．【解析】【分析】（1）首先将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得k的值，然后再求得B的值，最后根据点A的坐标求出双曲线的解析式，进而得出点B的坐标，最后，将点A、B、O三点的坐标代入抛物线的解析式，求得a、b、c的值即可；（2）由点A和点B的坐标可求得直线AB的解析式，然后将y=0可求得点D的横坐标，最后用三角形的面积和求解即可；（3）先确定出平移后点A，B的坐标，进而求出点A关于y轴的对称点的坐标，求出直线BA'的解析式即可得出点P的坐标.6．如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折现”）（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；（2）如图2，双曲线y= 与新函数的图象交于点C(1，a)，点D是线段AC上一动点(不包括端点)，过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．①试求△PAD的面积的最大值；②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形?若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）解：如图1，新函数的性质：1.函数的最小值为0；2.函数图象的对称轴为直线x=3.由题意得，点A的坐标为（-3，0），分两种情况：①当x-3时，y=x+3；②当x<-3时，设函数解析式为y=kx+b，在直线y=x+3中，当x=-4时，y=-1，则点（-4，-1）关于x轴的对称点为（-4，1），把点（-4，1），（-3，0），代入y=kx+b中，得：，解得：，∴y=-x-3.综上，新函数的解析式为y=.（2）解：如图2，①∵点C（1，a）在直线y=x+3上，∴a=4，∵点C（1，4）在反比例函数y=上，∴k=4，∴反比例函数的解析式为y=.∵点D是线段AC上一动点，∴设点D的坐标为（m，m+3），且-3<m<1，∵DP∥x轴，且点P在双曲线上，∴点P的坐标为（，m+3），∴PD=-m，∴S△PAD=（-m）（m+3）=m2-m+2=（m+）2+，∵a=<0，∴当m=时，S有最大值，最大值为，又∵-3<<1，∴△PAD的面积的最大值为.②在点D的运动的过程中，四边形PAEC不能为平行四边形，理由如下：当点D为AC的中点时，其坐标为（-1，2），此时点P的坐标为（2，2），点E的坐标为（-5，2），∵DP=3，DE=4，∴EP与AC不能互相平分，∴四边形PAEC不能为平行四边形.【解析】【分析】（1）根据一次函数的性质，结合函数图象写出新函数的两条性质；利用待定系数法求新函数解析式，注意分两种情况讨论；（2）①先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，设出点D的坐标，进而得到点P的坐标，再根据三角形的面积公式得出函数解析式，利用二次函数的性质求解即可；②先求出A的中点D的坐标，再计算DP、DE的长度，如果对角线互相平分，则能成为平行四边形，如若对角线不互相平分，则不能成为平行四边形.7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y= （m≠0）交于点A（2，﹣3）和点B（n，2）．（1）求直线与双曲线的表达式；（2）对于横、纵坐标都是整数的点给出名称叫整点．动点P是双曲线y= （m≠0）上的整点，过点P作垂直于x轴的直线，交直线AB于点Q，当点P位于点Q下方时，请直接写出整点P的坐标．【答案】（1）解：∵双曲线y= （m≠0）经过点A（2，﹣3），∴m=﹣6．∴双曲线的表达式为y=﹣．∵点B（n，2）在双曲线y=﹣上，∴点B的坐标为（﹣3，2）．∵直线y=kx+b经过点A（2，﹣3）和点B（﹣3，2），∴解得，∴直线的表达式为y=﹣x﹣1（2）解：符合条件的点P的坐标是（1，﹣6）或（6，﹣1）．【解析】【分析】（1）把A的坐标代入可求出m，即可求出反比例函数解析式，把B点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n，把A，B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；（2）根据图象和函数解析式得出即可．8．如图，已知，A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），D为B点关于AC的对称点，反比例函数y= 的图象经过D点．（1）证明四边形ABCD为菱形；（2）求此反比例函数的解析式；（3）已知在y= 的图象（x＞0）上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形ABMN是平行四边形，求M点的坐标．【答案】（1）解：∵A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），∴OA=4，OB=3，OC=2，∴AB= =5，BC=5，∴AB=BC，∵D为B点关于AC的对称点，∴AB=AD，CB=CD，∴AB=AD=CD=CB，∴四边形ABCD为菱形（2）解：∵四边形ABCD为菱形，∴D点的坐标为（5，4），反比例函数y= 的图象经过D点，∴4= ，∴k=20，∴反比例函数的解析式为：y=（3）解：∵四边形ABMN是平行四边形，∴AN∥BM，AN=BM，∴AN是BM经过平移得到的，∴首先BM向右平移了3个单位长度，∴N点的横坐标为3，代入y= ，得y= ，∴M点的纵坐标为：﹣4= ，∴M点的坐标为：（0，）【解析】【分析】（1）由A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），利用勾股定理可求得AB=5=BC，又由D为B点关于AC的对称点，可得AB=AD，BC=DC，即可证得AB=AD=CD=CB，继而证得四边形ABCD为菱形；（2）由四边形ABCD为菱形，可求得点D 的坐标，然后利用待定系数法，即可求得此反比例函数的解析式；（3）由四边形ABMN 是平行四边形，根据平移的性质，可求得点N的横坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点N的坐标，继而求得M点的坐标．9．如图，已知二次函数的图象与y轴交于点A(0，4），与x 轴交于点B，C，点C坐标为(8，0），连接AB，AC.（1）请直接写出二次函数的解析式.（2）判断△ABC的形状，并说明理由.（3）若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标.【答案】（1）解：∵二次函数的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B.C,点C坐标(8,0),∴解得∴抛物线表达式：（2）解：△ABC是直角三角形.令y=0,则解得x1=8,x2=-2,∴点B的坐标为(-2,0),由已知可得,在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20,在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80,又∴BC=OB+OC=2+8=10,∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2∴△ABC是直角三角形（3）解：∵A(0,4),C(8,0),AC= =4 ,①以A为圆心,以AC长为半径作圆,交轴于N,此时N的坐标为(-8,0),②以C为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于N,此时N的坐标为( ,0)或( ,0)③作AC的垂直平分线,交g轴于N,此时N的坐标为(3,0),综上,若点N在轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,点N的坐标分别为(-8,0)、( ,0)、(3,0)、 ,0)【解析】【分析】(1)根据待定系数法即可求得;(2)根据拋物线的解析式求得B的坐标,然后根据勾股定理分别求得AB2=20,AC2=80,BC=10然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形(3)分别以A.C两点为圆心,AC长为半径画弧,与m轴交于三个点,由AC的垂直平分线与c轴交于一个点,即可求得点N的坐标10．综合实践问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动. 他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒.操作探究：（1）若准备制作一个无盖的正方体形纸盒，如图1，下面的哪个图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？（2）如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体形纸盒后与“保”字相对的是哪个字？（3）如图3，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体形纸盒.①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕.②若四角各剪去了一个边长为xcm的小正方形，用含x的代数式表示这个纸盒的高为________cm，底面积为________cm2，当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为________cm3.【答案】（1）解：A．有田字，故A不能折叠成无盖正方体；B．只有4个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体；C．可以折叠成无盖正方体；D．有6个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体．故答案为：C．（2）解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，所以与“保”字相对的字是“卫”（3）x；（20﹣2x）2；576【解析】【解答】（3）解：①如图，②设剪去的小正方形的边长为x（cm），用含字母x的式子表示这个盒子的高为xcm，底面积为（20﹣2x）2cm2，当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为=x（20﹣2x）2=4×（20﹣2×4）2=576（cm3）．故答案为：x，（20﹣2x）2， 576【分析】（1）由平面图形的折叠及正方体的展开图解答本题；（2）正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答；（3）①根据题意，画出图形即可；②根据正方体底面积、体积，即可解答．11．【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线l平行于AB.∠EDF=90°，点D 在直线l上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系.（1）【探究发现】如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D 移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP=DB，请写出证明过程；（2）【数学思考】如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP=DB，请完成证明过程；（3）【拓展引申】如图4，在（1）的条件下，M是AB边上任意一点（不含端点A、B），N是射线BD上一点，且AM=BN，连接MN与BC交于点Q，这个数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验，发现点M在某一位置时BQ的值最大.若AC=BC=4，请你直接写出BQ的最大值.【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，AC=BC∴∠CAB=∠CBA=45°∵CD∥AB∴∠CBA=∠DCB=45°，且BD⊥CD∴∠DCB=∠DBC=45°∴DB=DC即DB=DP（2）解：∵DG⊥CD，∠DCB=45°∴∠DCG=∠DGC=45°∴DC=DG，∠DCP=∠DGB=135°，∵∠BDP=∠CDG=90°∴∠CDP=∠BDG，且DC=DG，∠DCP=∠DGB=135°，∴△CDP≌△GDB（ASA）∴DB=DP（3）解：如图4，过点M作MH⊥MN交AC于点H，连接CM，HQ，∵MH⊥MN，∴∠AMH+∠NMB=90°∵CD∥AB，∠CDB=90°∴∠DBM=90°∴∠NMB+∠MNB=90°∴∠HMA=∠MNB，且AM=BN，∠CAB=∠CBN=45°∴△AMH≌△BNQ（ASA）∴AH=BQ∵∠ACB=90°，AC=BC=4，∴AB=4 ，AC-AH=BC-BQ∴CH=CQ∴∠CHQ=∠CQH=45°=∠CAB∴HQ∥AB∴∠HQM=∠QMB∵∠ACB=∠HMQ=90°∴点H，点M，点Q，点C四点共圆，∴∠HCM=∠HQM∴∠HCM=∠QMB，且∠A=∠CBA=45°∴△ACM∽△BMQ∴∴∴BQ= +2∴AM=2 时，BQ有最大值为2.【解析】【分析】（1）DB=DP，理由如下：根据等腰直角三角形的性质得出∠CAB=∠CBA=45°，根据二直线平行，内错角相等得出∠CBA=∠DCB=45°，根据三角形的内角和得出∠DCB=∠DBC=45°，最后根据等角对等边得出 DB=DC ，即DB=DP；（2）利用ASA判断出△CDP≌△GDB ，再根据全等三角形的对应边相等得出DB=DP；（3）如图4，过点M作MH⊥MN交AC于点H，连接CM，HQ，利用ASA判断出△AMH≌△BNQ 根据全等三角形的对应边相等得出AH=BQ，进而判断出点H，点M，点Q，点C四点共圆，根据圆周角定理得出∠HCM=∠HQM ，然后判断出△ACM∽△BMQ ，根据相似三角形的对应边成比例得出,根据比例式及偶数次幂的非负性即可得出求出答案.12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx＋m－1（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m=1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．【答案】（1）解：将抛物线表达式变为顶点式，则抛物线顶点坐标为（1，-1）；（2）解：①m=1时，抛物线表达式为，因此A、B的坐标分别为（0，0）和（2，0），则线段AB上的整点有（0，0），（1，0），（2，0）共3个；②抛物线顶点为（1，-1），则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；又有抛物线表达式，令y=0，则，得到A、B两点坐标分别为（，0），（，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到，∴．【解析】【分析】（1）将抛物线表达式变为顶点式，即可得到顶点坐标；（2）①m=1时，抛物线表达式为，即可得到A、B的坐标，可得到线段AB上的整点个数；②抛物线顶点为（1，-1），则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；令y=0，则，解方程可得到A、B两点坐标分别为（，0），（，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到，即可得到结论．。

2023年中考数学总复习第三章《函数》第四节反比例函数及其应用一、选择题1.［易错］［2020·河南］若点Ａ（－1，ｙ1），Ｂ（2，ｙ2），Ｃ（3，ｙ3）在反比例函数ｙ＝－的图象上，则ｙ1，ｙ2，ｙ3的大小关系是（）Ａ．ｙ1＞ｙ2＞ｙ3Ｂ．ｙ2＞ｙ3＞ｙ1Ｃ．ｙ1＞ｙ3＞ｙ2Ｄ．ｙ3＞ｙ2＞ｙ12.［2020·德州］函数ｙ＝和ｙ＝－ｋｘ＋2（ｋ≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）3.［2020·石家庄模拟］已知反比例函数ｙ＝的图象如图所示，下列说法正确的是（）Ａ．ｋ＞0Ｂ．ｙ随ｘ的增大而减小Ｃ．若矩形ＯＡＢＣ面积为2，则ｋ＝－2Ｄ．若图象上两个点的坐标分别是Ｍ（－2，ｙ1），Ｎ（－1，ｙ2），则ｙ1＞ｙ2（第3题图）（第7题图）4.［2020·河北模拟］已知点Ａ（2，3）在反比例函数ｙ＝（ｋ≠0）的图象上，当ｘ＞－2时，则ｙ的取值范围是（）Ａ．ｙ＞－3Ｂ．ｙ＜－3或ｙ＞0Ｃ．ｙ＜－3Ｄ．ｙ＞－3或ｙ＞05.［2020·保定一模］点（ａ，ｂ）是反比例函数ｙ＝－的图象上一点，若ａ＜2，则ｂ的值不可能是（）Ａ．－2Ｂ．－Ｃ．2Ｄ．36.［2020·石家庄模拟］已知甲、乙两地相距30千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间ｔ（单位：小时）关于行驶速度ｖ（单位：千米/时）的函数图象为（）7.［2020·河北模拟］如图，在平面直角坐标系中，反比例函数ｙ＝kx的图象经过ＡＢＣＯ的顶点Ａ，点Ａ在第一象限，点Ｂ，Ｃ的坐标分别为（0，3），（－4.5，0）．若点Ｐ是该反比例函数图象上的一点，且ＯＡ＝ＯＰ，点Ｐ的坐标不可能是（）Ａ．（3，4.5）Ｂ．（－3，－4.5）Ｃ．（－4.5，－3）Ｄ．（2.7，5）8.［重点］［2020·唐山二模］如图，反比例函数ｙ＝的图象经过点Ａ（－1，4），直线ｙ＝－ｘ＋ｂ（ｂ≠0）与双曲线ｙ＝在第二、四象限分别相交于Ｐ，Ｑ两点，与ｘ轴、ｙ轴分别相交于Ｃ，Ｄ两点，连接ＯＱ，（第8题图）当Ｓ△ＯＤＱ＝Ｓ△ＯＣＤ时，ｂ的值是（）Ａ．－1Ｂ．－Ｃ．Ｄ．－二、填空题9.［2020·益阳］反比例函数ｙ＝的图象经过点Ｐ（－2，3），则ｋ＝＿＿＿＿．10.［2020·河北模拟］直线ｙ＝5－ｘ与双曲线ｙ＝（ｘ＞0）的图象交于Ａ，Ｂ两点，设Ａ点的坐标为（ｍ，ｎ），则边长分别为ｍ，ｎ的矩形的面积为＿＿＿＿＿＿，周长为＿＿＿＿＿＿．11.［2020·陕西］在平面直角坐标系中，点Ａ（－2，1），Ｂ（3，2），Ｃ（－6，ｍ）分别在三个不同的象限．若反比例函数ｙ＝（ｋ≠0）的图象经过其中两点，则ｍ的值为＿＿＿＿＿＿．。

中考数学专题：反比例函数常见错误及练习反馈一.忽视隐含条件“k ≠0”出错 例1.当m = 时，函数2my (m 3)x -=+是反比例函数错解：∵此函数是反比例函数 所以 2－m =－1，解得3±=m ，当3±=m 时，此函数是反比例函数. 错解分析：要特别注意把反比例函数kxy =（k ≠0）的形式写出类似整式形式1y kx -=，这是因为k ≠0有这个必备条件，而错解忽视了这个隐含条件.正解：由题意，得⎩⎨⎧≠+-=-0312m m , 解得⎩⎨⎧-≠±=33m m ,因此m =3，即当m=3时此函数是反比例函数.二.忽视实际问题中自变量的取值范围出错例2.三角形的面积为82cm ，这时底边上的高y(cm )与底边x （cm ）之间的函数关系的图象大致是（ ）错解：选B.由三角形的面积公式，得821=xy ,∴16xy= 故选B. 错解分析：错解忽视了实际问题中自变量的取值范围（x>0这一条件）正解： 选D.由三角形的面积公式，得12xy 8=∴16xy=（x>0），故选D.三.忽视比例系数的不同出错 例3.已知y 与2x 成正比例，2x 与1z成反比例，求y 与z 的函数关系式 错解： y 与2x 成正比例， ∴2y kx =， 又2x 与z1成反比例，∴1z2kx =， 即 )0(2≠=k kz x，z k kz k kx y 22=⋅==∴.错解分析：2y kx =和1z2kx =是两个不同函数关系式，它们的比例系数是不同的，不能将两个关系式的比例系数都用k 表示，要区分开来. 正解： y 与2x 成正比例，2x 与1z成反比例 ∴21y k x = ， 22x k z =（12k ,k 均不等于0），z k k y21=∴（021≠k k ）.四.忽视反比例函数的性质成立的条件出错 例4.在函数2m 1xy--=（m 为常数）的图象上有三点(-3,1y ),(-1 ,2y ) ,(3 ,3y ) 则函数值的大小关系是（ ） (A)321y y y << (B)123y y y << (C)132y y y << (D)213y y y <<错解：0)1(122<+-=--m m ，∴ y 随x 的增大而增大，于是有321y y y << ，故应选A.错解分析：讨论反比例函数y 随x 的变化关系时，一定要根据图象所在的象限讨论，不能一概而论.正解： 22m 1(m 1)0--=-+<，∴图象分布在第二、四象限内，且在各象限内，y 随x 的增大而增大，由题知点(-3,1y ),(-1 ,2y ) 在第二象限分支上，又因为 -3<-1,所以210y y <<，而说明:本题宜采用数形结合法求解，即画出函数xm y 12--=的图象，然后大致描出这三点，即可判断其大小关系. 五.忽视分类讨论出错 例5．已知反比例函数k x y (k 0)=<的图象上有两点A （11,y x ） ,B （22,y x ），且21x x <，则21y y -的值是（ ）A 正数B 负数C 非负数D 不能确定 错解：因为k<0 所以反比例函数k x y (k 0)=<的图象分布在第二、四象限，又21x x <，由反比例函数的性质知 12y y <，所以21y y -<0 ,即21y y -是负数，选B.错解分析：本题条件给出k<0，且21x x <，但1x 与2x 的正负情况并未确定，故需分情况讨论正解：（1）当021<<x x 时，如图1，则有21y y <，所以21y y -<0，即21y y -是负数.（2）当210x x <<时，如图2，则有21y y >，所以21y y ->0，即21y y -是正数. （3）当210x x <<时，如图3，则有21y y <，所以21y y -<0，即21y y -是负数.综合（1），（2），（3）应选D. 六.练习反馈1.下列关于y 与x 的表达式中,反映y 是x 的反比例函数的是 ( )A.y=4xB.=-2 C.xy=4 D.y=4x-32. 函数y=的图象可能是 ( )3.若一次函数y=mx+6的图象与反比例函数y=在第一象限的图象有公共点,则有( )A.mn≥-9B.-9≤mn≤0C.mn≥-4D.-4≤mn≤04.若ab<0,则正比例函数y=ax与反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象可能是( )5.已知A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是反比例函数y=上的三点,若x1<x2<x3,y2<y1<y3,则下列关系式不正确的是( )A.x1·x2<0B.x1·x3<0C.x2·x3<0D.x1+x2<06.如图,过反比例函数y=(x>0)的图象上一点A作AB⊥x轴于点B,连接AO,若S则k的值为( )△AOB=2,A.2B.3C.4D.57.若y=(m2-3m)x|m|-4为反比例函数,则m=________.8. 已知一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象相交于A(4,2),B(-2,m)两点,9. 若点A(1,-3),B(m,3)在同一反比例函数的图象上,则m的值为________.10. 如图,已知反比例函数y=的图象与正比例函数y=x的图象交于A,B两点,点B的坐标为(-3,-2),则点A的坐标为________.11. 正比例函数y1=mx(m>0)的图象与反比例函数y2=(k≠0)的图象交于点A(n,4)和点B,AM⊥y轴,垂足为点M,若△AMB的面积为8,则满足y1>y2的实数x的取值范围是________.12.如图,直线y=x+4与双曲线y=(k≠0)相交于A(-1,a),B两点,在y轴上找一点P,当PA+PB的值最小时,点P的坐标为________.13.已知函数y=(5m-3)x2-n+(n+m),(1)当m,n为何值时,是一次函数?(2)当m,n为何值时,是正比例函数?(3)当m,n为何值时,是反比例函数?14.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点C与原点O重合,点B在y轴的正半轴上,点A在反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上,点D的坐标为(4,3).(1)求k的值.(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移,当菱形的顶点D落在函数y=(k>0,x>0)的图象上时,求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离.15如图,一次函数y1=kx+b(k≠0)和反比例函数y2=(m≠0)的图象交于点A(-1,6),B(a,-2).(1)求一次函数与反比例函数的表达式.(2)根据图象直接写出y1>y2时x的取值范围.16. 环保局对某企业排污情况进行检测,结果显示:所排污水中硫化物的浓度超标,即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L.环保局要求该企业立即整改,在15天以内(含15天)排污达标.整改过程中,所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示,其中线段AB表示前3天的变化规律,从第3天起,所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系.(1)求整改过程中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的函数表达式.(2)该企业所排污水中硫化物的浓度,能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L?为什么.。

反比例函数的图像与性质及实际应用【命题趋势】在中考中.反比例函数的图像与性质常以选择题和填空形式考查；反比例函数解析式主要在反比例函数综合题中与一次函数、几何图形结合考查。

【中考考查重点】一、结合具体情境体会反比例函数的意义.能根据已知条件确定反比例函数的表达式；二、能画出反比例函数的图像.根据图像和表达式探索并理解k＞0和k＜0时.图像的变化情况；三、结合具体情境体会反比例函数的意义四、能用反比例函数解决简单实际问题考点一：反比例函数的概念一般地.形如.叫做反比例函数.自变量x的取值概念范围是≠0的一切实数【提分要点】反比例函数图像上的点的横纵坐标之积是定值k1．（2021秋•南召县期末）下列函数是y关于x的反比例函数的是（）A．y＝B．y＝C．y＝﹣D．y＝﹣【答案】C【解答】解：A、不是y关于x的反比例函数.故此选项不合题意；B、不是y关于x的反比例函数.故此选项不合题意；C、是y关于x的反比例函数.故此选项符合题意；D、不是y关于x的反比例函数.是正比例函数.故此选项不合题意；故选C2．（2021•门头沟区一模）在物理实验室实验中.为了研究杠杆的平衡条件.设计了如下实验.如图.铁架台左侧钩码的个数与位置都不变.在保证杠杆水平平衡的条件下.右侧采取变动钩码数量即改变力F.或调整钩码位置即改变力臂L.确保杠杆水平平衡.则力F与力臂L满足的函数关系是（）A ．正比例函数关系B ．反比例函数关系C ．一次函数关系D ．二次函数关系【答案】B【解答】解：∵确保杠杆水平平衡.∴力F 与力臂L 满足的函数关系是反比例函数关系. 故选：B ．3．（2021秋•越秀区校级期末）函数y ＝（m ﹣1）x |m |﹣2是反比例函数.则m的值为 ．【答案】-1【解答】解：由题意得：|m |﹣2＝﹣1且.m ﹣1≠0；解得m ＝±1.又m ≠1； ∴m ＝﹣1． 故填m ＝﹣1． 考点二：反比例函数的图像与性质概念kk ＞0k ＜0图像所在象限一、三二、四增减性 在每个象限内.y 随x 的增大而减少在每个象限内.y 随x 的增大而增大图像特征图像无限接近于坐标轴.但不与坐标轴相交；关于直线y=±x 成轴对称；关于原点成中心对称4．（2021秋•南开区期末）若反比例函数y＝的图象在其所在的每一象限内.y随x 的增大而减小.则k的取值范围是（）A．k＜﹣2B．k＞﹣2C．k＜2D．k＞2【答案】B【解答】解：∵反比例比例函数y＝的图象在其每一象限内.y随x的增大而减小.∴k+2＞0.解得k＞﹣2．故选：B．5．（2021秋•揭阳期末）点（x1.y1）、（x2.y2）、（x3.y3）在反比例函数y＝﹣的图象上.且x1＜0＜x2＜x3.则有（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y1＜y3＜y2D．y3＜y2＜y1【答案】B【解答】解：∵k＜0.∴函数图象在二.四象限.由x1＜0＜x2＜x3可知.横坐标为x1的点在第二象限.横坐标为x2.x3的点在第四象限．∵第四象限内点的纵坐标总小于第二象限内点的纵坐标.∴y1最大.在第二象限内.y随x的增大而增大.∴y2＜y3＜y1．故选：B．6．（2020秋•浦东新区校级期末）已知函数y＝kx.y随x的增大而减小.另有函数.两个函数在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵函数y＝kx中y随x的增大而减小.∴k＜0.且函数的图象经过第二、四象限.∴函数的反比例系数大于零.∴反比例函数图象经过第一、三象限.故选：B．7．（2020秋•孝义市期末）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间具有如图所示的反比例函数关系.若要配制一副度数小于400度的近视眼镜.则镜片焦距x的取值范围是（）A．0米＜x＜0.25米B．x＞0.25米C．0米＜x＜0.2米D．x＞0.2米【答案】B【解答】解：根据题意.近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例.设y＝.∵点（0.5.200）在此函数的图象上.∴k＝0.5×200＝100.∴y＝（x＞0）.∵y＜400.∴＜400.∵x＞0.∴400x＞100.∴x＞0.25.即镜片焦距x的取值范围是x＞0.25米.故选：B．考点三：反比例函数系数k的几何意义8．（2021秋•铁西区期末）如图.A是反比例函数y＝的图象上一点.过点A作AB⊥y 轴于点B.点C在x轴上.且S△ABC＝2.则k的值为（）A．4B．﹣4C．﹣2D．2【答案】B【解答】解：设点A的坐标为（x.y）.∵点A在第二象限.∴x＜0.y＞0.∴S△ABC＝AB•OB＝|x|•|y|＝﹣xy＝2.K的几何意义在反比例函数上任取一点P(x.y),过这个点分别作x轴.y轴的垂线PM、PN.于坐标轴围成的矩形PMON的面积S=PM·PN===k基本图形面积基本图形面积∴xy＝﹣4.∵A是反比例函数y＝的图象上一点.∴k＝xy＝﹣4.故选：B．9．（2021•铜仁市）如图.矩形ABOC的顶点A在反比例函数y＝的图象上.矩形ABOC 的面积为3.则k＝．【答案】3【解答】解：∵矩形ABOC的面积为3.∴|k|＝3.又∵k＞0.∴k＝3.故答案为：3．考点四：反比例函数解析式的确定待定系数法1.设所求反比例函数解析式为：2.找出反比例函数图像上一点P（a,b）.并将其代入解析式得k=ab；3.确定反比例函数解析式利用k得几何意义题中已知面积时.考虑利用k得几何意义.由面积得.再综合图像所在象限判段k得正负.从而得出k的值.代入解析式即可10．（2021秋•房山区期末）若反比例函数的图象经过点（3.﹣2）.则该反比例函数的表达式为（）A．y＝B．y＝﹣C．y＝D．y＝﹣【答案】B【解答】解：设反比例函数的解析式为y＝（k≠0）.函数的图象经过点（3.﹣2）.∴﹣2＝.得k＝﹣6.∴反比例函数解析式为y＝﹣．故选：B．11．（2021秋•泰山区期中）如果等腰三角形的面积为6.底边长为x.底边上的高为y.则y与x的函数关系式为（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝【答案】A【解答】解：∵等腰三角形的面积为6.底边长为x.底边上的高为y.∴xy＝6.∴y与x的函数关系式为：y＝．故选：A．12．（2021•江西模拟）小明学习了物理中的杠杆平衡原理发现：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．现已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为2400N和1m.则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂.已知阻力和阻力臂分别是2400N和1m.∴动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为：2400×1＝Fl.则F＝.是反比例函数.A选项符合.故选：A．1．（2021秋•隆回县期中）下面的函数是反比例函数的是（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝【答案】C【解答】解：A．y不是关于x的反比例函数.故本选项不符合题意；B．y是x的是正比例函数.不是反比例函数.故本选项不符合题意；C．y是关于x的反比例函数.故本选项符合题意；D．y不是关于x的反比例函数.故本选项不符合题意；故选：C．2．（2021秋•大东区期末）如果反比例函数的图象经过点P（﹣3.﹣1）.那么这个反比例函数的表达式为（）A．y＝B．y＝﹣C．y＝x D．y＝﹣x【答案】A【解答】解：设反比例函数解析式为y＝（k≠0）.∵函数经过点P（﹣3.﹣1）.∴﹣1＝.解得k＝3．∴反比例函数解析式为y＝．故选：A．3．（2021春•海淀区校级月考）某物体对地面的压力为定值.物体对地面的压强p（Pa）与受力面积S（m2）之间的函数关系如图所示.这一函数表达式为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：观察图象易知p与S之间的是反比例函数关系.设p＝.由于A（20.10）在此函数的图象上.∴k＝20×10＝200.∴p＝．故选：B．4．（2020秋•瓜州县期末）如图.在某温度不变的条件下.通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压.测出每一次加压后气缸内气体的体积V（mL）与气体对气缸壁产生的压强p（kPa）的关系可以用如图所示的反比例函数图象进行表示.下列说法错误的是（）A．气压p与体积V表达式为p＝.则k＞0B．当气压p＝70时.体积V的取值范围为70＜V＜80C．当体积V变为原来的时.对应的气压p变为原来的D．当60≤V≤100时.气压p随着体积V的增大而减小【答案】B【解答】解：当V＝60时.p＝100.则pV＝6000.A．气压p与体积V表达式为p＝.则k＞0.故不符合题意；B．当p＝70时.V＝＞80.故符合题意；C．当体积V变为原来的时.对应的气压p变为原来的.不符合题意；D．当60≤V≤100时.气压p随着体积V的增大而减小.不符合题意；故选：B．5．（2020秋•东莞市校级期末）已知点（3.y1）.（﹣2.y2）.（2.y3）都在反比例函数的图象上.那么y1.y2与y3的大小关系是（）A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y1＜y3＜y2【答案】A【解答】解：∵k＝﹣6＜0.∴图象位于第二、四象限.在每一象限内.y随x的增大而增大.∴y2＞0.y3＜y1＜0.∴y3＜y1＜y2.故选：A．6．（2021秋•西湖区期中）已知y1和y2均是以x为自变量的函数.当x＝m时.函数值分别是M1和M2.若存在实数m.使得M1+M2＝1.则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2不具有性质P的是（）A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1B．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1D．y1＝﹣和y2＝﹣x+1【答案】D【解答】解：A．令y1+y2＝1.则x2+2x﹣x﹣1＝1.整理得.x2+x﹣2＝0.解得x＝﹣2或x ＝1.即函数y1和y2具有性质P.不符合题意；B．令y1+y2＝1.则x2+2x﹣x+1＝1.整理得.x2+x＝0.解得x＝0或x＝﹣1.即函数y1和y2具有性质P.不符合题意；C．令y1+y2＝1.则﹣﹣x﹣1＝1.整理得.x2+2x+1＝0.解得x1＝x2＝﹣1.即函数y1和y2具有性质P.不符合题意；D．令y1+y2＝1.则﹣﹣x+1＝1.整理得.x2+1＝0.方程无解.即函数y1和y2不具有性质P.符合题意；故选：D．7．（2021秋•会宁县期末）如图.A.B是反比例函数的图象上关于原点对称的两点.BC ∥x轴.AC∥y轴.若△ABC的面积为6.则k的值是．【答案】3【解答】解：∵反比例函数的图象在一、三象限.∴k＞0.∵BC∥x轴.AC∥y轴.∴S△AOD＝S△BOE＝k.∵反比例函数及正比例函数的图象关于原点对称.∴A、B两点关于原点对称.∴S矩形OECD＝2S△AOD＝k.∴S△ABC＝S△AOD+S△BOE+S矩形OECD＝2k＝6.解得k＝3．故答案为：3．8．（2021春•沙坪坝区校级期末）已知函数y＝（m﹣1）是反比例函数.则m的值为．【答案】-1【解答】解：根据题意m2﹣2＝﹣1.∴m＝±1.又m﹣1≠0.m≠1.所以m＝﹣1．故答案为：﹣1．1．（2018•柳州）已知反比例函数的解析式为y＝.则a的取值范围是（）A．a≠2B．a≠﹣2C．a≠±2D．a＝±2【答案】C【解答】解：根据反比例函数解析式中k是常数.不能等于0.由题意可得：|a|﹣2≠0.解得：a≠±2.故选：C．2．（2020•上海）已知反比例函数的图象经过点（2.﹣4）.那么这个反比例函数的解析式是（）A．y＝B．y＝﹣C．y＝D．y＝﹣【答案】D【解答】解：设反比例函数解析式为y＝.将（2.﹣4）代入.得：﹣4＝.解得k＝﹣8.所以这个反比例函数解析式为y＝﹣.故选：D．3．（2021•黔西南州）对于反比例函数y＝.下列说法错误的是（）A．图象经过点（1.﹣5）B．图象位于第二、第四象限C．当x＜0时.y随x的增大而减小D．当x＞0时.y随x的增大而增大【答案】C【解答】解：∵反比例函数y＝.∴当x＝1时.y＝﹣＝﹣5.故选项A不符合题意；k＝﹣5.故该函数图象位于第二、四象限.故选项B不符合题意；当x＜0.y随x的增大而增大.故选项C符合题意；当x＞0时.y随x的增大而增大.故选项D不符合题意；故选：C．4．（2021•济南）反比例函数y＝（k≠0）图象的两个分支分别位于第一、三象限.则一次函数y＝kx﹣k的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）图象的两个分支分别位于第一、三象限.∴k＞0.∴﹣k＜0.∴一次函数y＝kx﹣k的图象图象经过第一、三、四象限.故选：D．5．（2021•宜昌）某气球内充满了一定质量m的气体.当温度不变时.气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数：p＝.能够反映两个变量p和V函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数：p＝（V.p都大于零）.∴能够反映两个变量p和V函数关系的图象是：．故选：B．6．（2021•沈阳）如图.平面直角坐标系中.O是坐标原点.点A是反比例函数y＝（k≠0）图象上的一点.过点A分别作AM⊥x轴于点M.AN⊥y轴于点N．若四边形AMON 的面积为12.则k的值是．【答案】-12【解答】解：∵四边形AMON的面积为12.∴|k|＝12.∵反比例函数图象在二四象限.∴k＜0.∴k＝﹣12.故答案为：﹣12．7．（2021•阜新）已知点A（x1.y1）.B（x2.y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上.且x1＜0＜x2.则y1.y2的关系一定成立的是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1+y2＝0D．y1﹣y2＝0【答案】A【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中k＝﹣1＜0.∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限.且在每一象限内.y随x的增大而增大．∵x1＜0＜x2.∴A在第二象限.B在第四象限.∴y1＞0.y2＜0.∴y1＞y2．故选：A．8．（2020•大庆）已知正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝.在同一平面直角坐标系下的图象如图所示.其中符合k1•k2＞0的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④【答案】B【解答】解：①中k1＞0.k2＞0.故k1•k2＞0.故①符合题意；②中k1＜0.k2＞0.故k1•k2＜0.故②不符合题意；③中k1＞0.k2＜0.故k1•k2＜0.故③不符合题意；④中k1＜0.k2＜0.故k1•k2＞0.故④符合题意；故选：B．9．（2021•自贡）已知蓄电池的电压为定值.使用蓄电池时.电流I（单位：A）与电阻R （单位：Ω）是反比例函数关系.它的图象如图所示．下列说法正确的是（）A．函数解析式为I＝B．蓄电池的电压是18VC．当I≤10A时.R≥3.6ΩD．当R＝6Ω时.I＝4A【答案】C【解答】解：设I＝.∵图象过（4.9）.∴k＝36.∴I＝.∴蓄电池的电压是36V．∴A.B均错误；当I＝10时.R＝3.6.由图象知：当I≤10A时.R≥3.6Ω.∴C正确.符合题意；当R＝6时.I＝6.∴D错误.故选：C．10．（2020•河北）如图是8个台阶的示意图.每个台阶的高和宽分别是1和2.每个台阶凸出的角的顶点记作T m（m为1～8的整数）．函数y＝（x＜0）的图象为曲线L．（1）若L过点T1.则k＝；（2）若L过点T4.则它必定还过另一点T m.则m＝；（3）若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧.每侧各4个点.则k的整数值有个．【答案】（1）-16 （2）5 （3）7【解答】解：（1）∵每个台阶的高和宽分别是1和2.∴T1（﹣16.1）.T2（﹣14.2）.T3（﹣12.3）.T4（﹣10.4）.T5（﹣8.5）.T6（﹣6.6）.T7（﹣4.7）.T8（﹣2.8）.∵L过点T1.∴k＝﹣16×1＝﹣16.故答案为：﹣16；（2）∵L过点T4.∴k＝﹣10×4＝﹣40.∴反比例函数解析式为：y＝﹣.当x＝﹣8时.y＝5.∴T5在反比例函数图象上.∴m＝5.故答案为：5；（3）若曲线L过点T1（﹣16.1）.T8（﹣2.8）时.k＝﹣16.若曲线L过点T2（﹣14.2）.T7（﹣4.7）时.k＝﹣14×2＝﹣28.若曲线L过点T3（﹣12.3）.T6（﹣6.6）时.k＝﹣12×3＝﹣36.若曲线L过点T4（﹣10.4）.T5（﹣8.5）时.k＝﹣40.∵曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧.每侧各4个点.∴﹣36＜k＜﹣28.∴整数k＝﹣35.﹣34.﹣33.﹣32.﹣31.﹣30.﹣29共7个.故答案为：7．1．（2021•抚顺模拟）下列函数中.y是x的反比例函数的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：A、是正比例函数.不是反比例函数.故此选项不合题意；B、是反比例函数.故此选项符合题意；C、不是反比例函数.故此选项不合题意；D、不是反比例函数.故此选项不合题意；故选：B．2．（2021•卧龙区二模）已知反比例函数.在下列结论中.不正确的是（）A．图象必经过点（﹣1.﹣2）B．图象在第一、三象限C．若x＜﹣1.则y＜﹣2D．点A（x1.y1）.B（x2.y2）图象上的两点.且x1＜0＜x2.则y1＜y2【答案】C【解答】解：A．反比例函数.图象必经过点（﹣1.﹣2）.原说法正确.故此选项不合题意；B．反比例函数.图象在第一、三象限.原说法正确.故此选项不合题意；C．若x＜﹣1.则y＞﹣2.原说法错误.故此选项符合题意；D．点A（x1.y1）.B（x2.y2）图象上的两点.且x1＜0＜x2.则y1＜y2.原说法正确.故此选项不合题意；故选：C．3．（2021•富阳区二模）已知反比例函数y＝.当﹣2＜x＜﹣1.则下列结论正确的是（）A．﹣3＜y＜0B．﹣2＜y＜﹣1C．﹣10＜y＜﹣5D．y＞﹣10【答案】C【解答】解：∵k＝10.且﹣2＜x＜﹣1.∴在第三象限内.y随x的增大而减小.当x＝﹣2时.y＝﹣5.当x＝﹣1时.y＝﹣10.∴﹣10＜y＜﹣5.故选：C．4．（2021•武陟县模拟）某气球内充满了一定质量的气体.当温度不变时.气球内气体的气压P（kpa）是气体体积V（m3）的反比例函数其图象如图所示.当气体体积为1m3时.气压为（）kPa．A．150B．120C．96D．84【答案】C【解答】解：设P＝.由题意知120＝.所以k＝96.故P＝.当V＝1m3时.P＝＝96（kPa）；故选：C．5．（2021•云岩区模拟）阿基米德说：“给我一个支点.我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识﹣﹣杠杆原理.即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m.则这一杠杆的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头.已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m.∴动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为：1200×0.5＝Fl.则F＝.是反比例函数.A选项符合.故选：A．6．（2021•昆明模拟）如图.点P在双曲线第一象限的图象上.P A⊥x轴于点A.则△OP A的面积为（）A．2B．3C．4D．6【答案】B【解答】解：∵P A⊥x轴于点A.∴S△AOP＝|k|＝＝3.故选：B．7．（2021•乐陵市一模）为预防新冠病毒.某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒.已知药物释放过程中.教室内每立方米空气中含药量y（mg）与时间t（h）成正比例；药物释放完毕后.y与t成反比例.如图所示．根据图象信息.下列选项错误的是（）A．药物释放过程需要小时B．药物释放过程中.y与t的函数表达式是y＝tC．空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间为hD．若当空气中含药量降低到0.25mg/m3以下时对身体无害.那么从消毒开始.至少需要经过4.5小时学生才能进入教室【答案】D【解答】解：设正比例函数解析式是y＝kt.反比例函数解析式是y＝.把点（3.）代入反比例函数的解析式.得：＝.解得：m＝.当y＝1时.代入上式得t＝.把t＝时.y＝1代入正比例函数的解析式是y＝kt.得：k＝.∴正比例函数解析式是y＝t.A．由图象知.y＝1时.t＝.即药物释放过程需要小时.故A不符合题意；B．药物释放过程中.y与t成正比例.函数表达式是y＝t.故B不符合题意；C．把y＝0.5mg/m3分别代入y＝t和y＝得.0.5＝t1和0.5＝.解得：t1＝和t2＝3.∴t2﹣t1＝.∴空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间为h；故C不符合题意；＜0.25.解得t＞6.所以至少需要经过6小时后.学生才能进入教室.故D符合题意.故选：D．8．（2021•山西模拟）已知.A（﹣3.n）.C（3n﹣6.2）是反比例函数y＝（x＜0）图象上的两点.则反比例函数的解析式为．【答案】y＝﹣【解答】解：∵A（﹣3.n）.C（3n﹣6.2）是反比例函数y＝（x＜0）图象上的两点.∴n＝.2＝.即m＝﹣3n.m＝2（3n﹣6）.消去m得：﹣3n＝2（3n﹣6）.解得：n＝.把n＝代入得：m＝﹣4.故答案为：y＝﹣．9．（2021•雁塔区校级模拟）已知同一象限内的两点A（3.n）.B（n﹣4.n+3）均在反比例函数y＝的图象上.则该反比例函数关系式为．【答案】y＝【解答】解：∵同一象限内的两点A（3.n）.B（n﹣4.n+3）均在反比例函数y＝的图象上.∴k＝3n＝（n﹣4）（n+3）.解得n＝6或n＝﹣2.∵n＝﹣2时.A（3.﹣2）.B（﹣6.1）.∴A、B不在同一象限.故n＝﹣2舍去.∵k＝3n＝18.∴y＝.故答案为y＝．10．（2021•昭通模拟）若函数y＝是关于x的反比例函数.则a满足的条件是．【答案】a≠﹣3【解答】解：由题可得.a+3≠0.解得a≠﹣3.故答案为：a≠﹣3．。