第06章 万有引力定律

第六章 万有引力定律

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本章研究物体受万有引力作用下的运动，是牛顿运动定律和曲线运动的综合运用。主要知识是万有引力定律及其应用，且重在万有引力定律的应用，尤其是在天文学与航空航天方面的应用。本章所涉及的知识点与现代生活、现代科技有着密切的联系，在历年的高考试题中频频出现。单纯考查本章内容的试题以中等难度的选择题、填空题为主，也有计算题；若将这部分知识与牛顿运动定律、曲线运动、功和能、科技前沿等知识综合起来进行考查，则以难度较大的计算题为主。纵观近几年高考试卷，本章考查的热点知识主要有：万有引力定律在天文学上的应用、万有引力定律在空间技术领域的应用。本章考查的主要能力有：建立物理模型的能力、数学运算与估算能力、获取和处理信息的能力。在以后的综合测试中，会更关注国内外在航空航天以及空间技术领域所取得的成就。

知识与方法提要

1.开普勒第一定律和开普勒第三定律：

⑴开普勒第一定律：所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。

⑵开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴R的三次方与公转周期T的二次方的比值相等，即R3/T2=K（K为与行星无关的常量）。

2.万有引力定律：

(1)内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的

乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。

(2)公式：221rmmGF，式中G为引力常量，G=6.67×10-11N·m2/kg2

(3)适用条件：万有引力定律公式适用于计算两个可以视作质点的物体之间的万有引力，如两个相距很远的天体等。但两个质量均匀分布的球体间的万有引力可以由公式直接计算。

(4)引力常量是在牛顿发现万有引力定律一百多年后由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出的。引力常量的测定，使万有引力定律有了真正的实用价值。

3.万有引力定律在天文学上的应用：

(1)测定天体的质量。处理方法：将天体运动近似看作匀速圆周运动，则有

①rvmrMmG22， GrvM2。 ②rmrMmG22， GrM32。

③rTmrMmG222，2324GTrM。

可见，只要测出做匀速圆周运动的天体的环绕周期、线速度、角速度中的某一个参数及它与中心天体的距离r，即可求出中心天体的质量M。例如，根据月球的运动情况可计算出地球的质量，根据地球绕太阳的运动情况可求出太阳的质量。

(2)发现未知天体。万有引力定律不仅能够解释已知的天体现象，而且可以根据力与运动的关系，通过对天体轨道的精密计算与科学观察而发现新的天体，如天王星与海王星的发现。

4.人造地球卫星：

(1)物理模型：将卫星视作质点，以地心为圆心做匀速圆周运动。 (2)向心力来源：地球对人造卫星的万有引力提供所需的向心力，即F引=F向心力

(3)卫星环绕速度、角速度、周期、向心加速度与半径的关系。

天体运动近似看成匀速圆周运动，其向心力都来源于万有引力，即：

rTmrmrrmmarMmG22222

由此可得出：2rGMa，即a∝21r； rGMv， 即v∝r1；

3rGM， 即ω∝31r； GMrT324，即T∝3r。

可见，卫星环绕半径r与该轨道上的线速度v、角速度ω、周期T、向心加速度a存在一 一对应关系，一旦r确定，则v、ω、T、a皆确定，与卫星的质量m无关。对于环绕地球运行的卫星，若半径增大，其周期T变大，线速度v、角速度ω、向心加速度a变小；若半径减小，其周期变小，线速度v、角速度ω、向心加速度a增大。

5.宇宙速度：

(1)第一宇宙速度：skmv/.971，是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球卫星在近地轨道上运动时的速度。推导过程：

当卫星在地球表面附近运动时，r=R地，由地地RmvRMmG212得地RGMv1，代入数据即可。

或当卫星在地球表面附近运动时，F引=mg，由地Rvmmg21得地gRv1，代入数据即可。

(2)第二宇宙速度；skmv/.2112，使物体可以挣脱地球引力束缚绕太阳运行（或飞到其他行星上去）的最小发射速度。

(3)第三宇宙速度：skmv/.7163，使物体挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去的最小发射速度。

6.地球同步卫星：地球同步卫星是指与地面观察点相对静止的人造地球卫星。

⑴地球同步卫星的轨道半径。由rTmrMmG222，2RMmGmg得同步卫星的轨道半径为3224TgRr。

⑵地球同步卫星的运行速度。由rvmrMmG22得，rgRrGMv2。

7.近地卫星。近地卫星指在地球表面绕地球做圆周运动的卫星，它的加速度等于地球表面的重力加速度；线速度即为第一宇宙速度；它的周期是所有地球卫星可能周期中最小的，约为84.5min。

重点、难点分析

(一)深刻理解万有引力定律、正确建立行星运动的模型。

1.开普勒第三定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动。实际上，行GOF引F向星绕太阳运动、卫星绕行星运动的轨道是椭圆，但很接近于圆。在高中阶段，一般都将行星运动的轨道当作圆轨道处理。

2.对万有引力定律的理解：

⑴普遍性：万有引力普遍存在于宇宙中的任何有质量物体之间的相互吸引力。

⑵相互性：两个物体之间的引力是相互的，它们是一对作用力与反作用力。

⑶客观性：任何两个物体之间都存在万有引力。但只有在质量巨大的天体间才有明显的作用效果。

3.重力与万有引力。重力是地球对物体的吸引力的一个分力（如图所示）， 另一个分力提供物体随地球自转的向心力。因此，重力不一定等于地球对物体的吸引力。由于物体随地球自转所需向心力很小，所以计算时一般都忽略地球自转的影响，近似认为物体重力的大小等于地球对物体的吸引力。

4.中心天体质量M的求解。只要测出做匀速圆周运动的天体的环绕周期、线速度、角速度中的某一个参数及它与中心天体的距离r，即可求出中心天体的质量M。此外，如果已知中心天体的近地卫星的周期T，可估算出该天体的平均密度。

5.天体运动中的估算问题。一般是指依据天体运动的模型，结合牛顿运动定律、万有引力定律，运用近似计算方法，对物理量的数量级或物理量的取值范围进行大致的推算。在一些天体运动问题的估算中，常存在一些隐含条件，应加以利用。

(二)正确理解宇宙速度的概念及人造卫星的运行状态

1.正确区分人造卫星的发射速度与运行速度：

（1）发射速度是指被发射物在地面附近离开发射装置时的初速度。要发射一颗人造地球卫星，发射速度不能小于第一宇宙速度．如果要使人造卫星在距地面较高的轨道上运行，就必须使发射速度大于第一宇宙速度．

（2）运行速度是指卫星在进入运行轨道后的运动速度．当卫星“贴着”地面运行时，运行速度等于第一宇宙速度．根据rGMv/可知，人造卫星距地面越高（即轨道半径r越大），运行速度越小．

（3）人造卫星的发射速度与运行速度之间的大小关系是：V运≤V发射。

2. 人造卫星中的“超重”和“失重”：

（1）发射人造卫星时，卫星尚未进入轨道的加速过程中，由于具有竖直向上的加速度（或加速度有竖直向上的分量），卫星内的物体处于超重状态，这种情况与加速上升电梯中物体的超重相同。卫星在返回地球过程中的减速下降阶段也处于超重状态。

（2）卫星进入轨道后，在正常运行过程中，卫星的加速度等于轨道处的重力加速度，卫星中的物体处于完全失重状态。凡是工作原理与重力有关的仪器（如天平、水银气压计等）在卫星中都不能正常使用。凡是与重力有关的实验，在卫星中都无法进行。

3.人造卫星的“变轨”问题。此类问题的关键是分析引起卫星变轨的原因，根据因果关系、结合牛顿运动定律解决。

范例

（一）开普勒第三定律的应用问题

例1 某一人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球轨道半径的1/3，则此卫星运行的周期大约是( )

A．1－4天之间 B．4－8天之间 C．8－16天之间

D．16－20天之间

解：由开普勒第三定律32RkT可得：311322112733TRTR， 而T2=27天， 则T1=5.2天。因此，C正确。

（二）万有引力定律及其应用问题

例2 有两个大小一样，同种材料制成的均匀球体紧靠在一起（两球形变可忽略不计），它们之间的万有引力为F，若用同种材料制成两个半径更小的靠在一起的均匀球体，它们间万有引力将（ ）

A.等于F B.小于F C.大于F D.无法比较

分析 研究对象是两个均匀球体，符合万有引力定律适用的条件。设每个球的半径为r，密度为ρ，则每个球的质量334rVm，两球紧靠时的万有引力4222942rGrmmGF。所以如果紧靠着的两球的半径减小，它们之间的万有引力将随之减小。

解 B

说明 此题考查万有引力定律的适用条件及万有引力大小的计算。解题的关键是：明确万有引力大小的决定因素。

例3地球表面的重力加速度为20/8.9smg，忽略地球自转的影响，在距地面高度mh31001.的空中，重力加速度g为多大？与g0的差值为多大？（取地球半径R=6.37×106m）

解 不计地球自转的影响，物体所受的重力等于物体受到地球的万有引力。

在高空有：2hRMmGmg； 在地面有：20RMmGmg。

由以上两式得：

则230/103797.980.9smggg

说明 本题考查利用万有引力定律计算重力加速度。从本题可知，在距地面1km高度处的重力加速度g与地球表面的g0相比变化很小。因此，在地表附近距离地面高度远远小于地球半径的范围内，可以认为重力加速度g是不变的，与地面上的重力加速度g0相同。

例4 地球自转周期为T，在两极处用弹簧秤测得某物重FG，在赤道上测得该物重FG′。求地球的平均密度ρ。

解 本题中弹簧秤测得的物重FG与FG′，实质上是弹簧秤的读数，即弹簧的弹力。在地球的两极处，物体受到引力F引与弹簧秤对物体的弹力FG作用。

设被测物体质量为m，地球质量为M，半径为R，在地球两极处，物体无圆周运动，处于静止状态，则有： F引=FG 即GFRMmG2。

在赤道处，物体受引力F引与弹簧秤的弹力FG′的作用，物体随地球自转做匀速圆周运动，则有：RTmFFG22引。 2236602/797.98.91011037.61037.6smghRRg2236602/797.98.91011037.61037.6smghRRg