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基本初等函数图像及其性质

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第 1 页 六大基本初等函数图像及其性质

一、常值函数（也称常数函数） y =C（其中C 为常数）；

常数函数（Cy）

0C 0C

平行于x轴的直线 y轴本身

定义域R 定义域R

二、幂函数 xy ，x是自变量，是常数；

1.幂函数的图像：

2.幂函数的性质；

性质

函数 xy 2xy 3xy 21xy 1xy

定义域 R R R [0,+∞) {x|x≠0}

值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y≠0}

奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇

单调性 增 [0,+∞) 增 增 增 (0,+∞) 减

(-∞,0] 减 (-∞,0) 减

公共点 （1,1） x y

O xy2xy3xy1xy21xy O 0yx CyO x y y

第 2 页 1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(x，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y轴对称；

2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数；

3）当α为正有理数nm时，n为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；

4）如果m>n图形于x轴相切，如果m

5）当α为负有理数时，n为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xay(x是自变量,a是常数且0a，1a)，定义域是R ；

[无界函数]

1.指数函数的图象：

2.指数函数的性质；

性质

函数 xay)1(a xay)10(a

定义域 R

值域 (0，+∞)

奇偶性 非奇非偶

公共点 过点(0，1)，即0x时，1y

单调性 在），（是增函数 在），（是减函数

1）当1a时函数为单调增,当10a时函数为单调减；

2）不论x为何值,y总是正的,图形在x轴上方；

3）当0x时,1y,所以它的图形通过(0,1)点。 1yO (0,1)

x y

xay

)10(a

x xay

)1(a

1yO (0,1) y

第 3 页 3.（选，补充）指数函数值的大小比较*Na；

a.底数互为倒数的两个指数函数

xaxf)(，xaxf1)(

的函数图像关于y轴对称。

b.1.当1a时，a值越大，xay

的图像越靠近y轴；

b.2.当10a时，a值越大，xay

的图像越远离y轴。

4.指数的运算法则（公式）；

a.整数指数幂的运算性质),,0(Qnma；

(1) nmnmaaa

(2) nmnmaaa

(3) mnnmnmaaa

(4) nnnbaab

b.根式的性质；

(1)aann ； (2)当n为奇数时，aann

当n为偶数时，)0(0)(a aaaaann

c.分数指数幂；

(1))1,,,0(*nZnmaaanmnm

(2))1,,,0(11*nZnmaaaanmnmnmy

xaxf)(xaxf1)(O (0,1)

x

x O

(0,1) y

xxf2)(xxh3)(

O (0,1) y

xxq21)(xxg31)(

第 4 页 四、对数函数xyalog(a是常数且1,0aa)，定义域),0(x[无界]

1.对数的概念：如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，就是 Nab，那么数b叫做以a为底N的对数，记作bNalog,其中a叫做对数的底数，N叫做真数，式子Nalog叫做对数式。

对数函数xyalog与指数函数xay互为反函数，所以xyalog的图象与xay的图象关于直线xy对称。

2.常用对数：N10log的对数叫做常用对数，为了简便，N的常用对数记作Nlg。

3.自然对数：使用以无理数7182.2e为底的对数叫做自然对数，为了简便，N的自然对数Nelog简记作Nln。

4.对数函数的图象：

5.对数函数的性质；

性质

函数 xyalog

)1(a xyalog

)10(a

定义域 (0，+∞)

值域 R

奇偶性 非奇非偶

公共点 过点(1，0)，即1x时，0y

单调性 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数

1）对数函数的图形为于y轴的右方，并过点(1,0)；

2）当1a时，在区间(0,1)，y的值为负，图形位于x的下方；在区间(1, +)，y值为正，图形位于x轴上方，在定义域是单调增函数。1a在实际中很少用到。 y

O x (1,0) 1x xyalog )1(a

O x (1,0) y 1x

xyalog )10(a

第 5 页 6.（选，补充）对数函数值的大小比较*Na；

a.底数互为倒数的两个对数函数

xyalog，xya1log

的函数图像关于x轴对称。

b.1. 当1a时，a值越大，xxfalog)(

的图像越靠近x轴；

b.2. 当)10(a时，a值越大，xxfalog)(

的图像越远离x轴。

7.对数的运算法则（公式）；

a.如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么：

NMMNaaalogloglog

NMNMaaalogloglog

MnManaloglog

b.对数恒等式：

NaNalog )010(Naa，且

c.换底公式：

(1)bNNaablogloglog （1,0aa，一般常常换为e或10为底的对数,即bNNblnlnlog或bNNblglglog）

(2)由公式和运算性质推倒的结论：

bmnbananloglogd.对数运算性质

(1)1的对数是零，即01loga；同理01ln或01lg

(2)底数的对数等于1，即1logaa；同理1lne或110lg y

O x (1,0) xyalogxya1log y

O x (1,0) xxf2log)(xxf3log)(y

O x (1,0)

xxf21log)( xxf31log)(

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最全高数基本初等函数概念图像及性质完整版

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基本初等函数

. 幂函数 (a 为实数 )

要记住最常见的几个幂函数的定义域及图形

.

. 指数函数

定义域： ，

值域： ，

图形过（ 0， 1）点， a>1 时，单调增加； a 时，单调减少。今后 用的较多 。

. 对数函数

定义域： ，

值域： ，

与指数函数互为反函数，图形过（ 1， 0）点， a>1 时，单调增加； a<1 时，单调减少 。

. 三角函数

，奇函数、有界函数、周期函数

；

，偶函数、有界函数、周期函数

；

， 的一切实数，奇函数、

周期函数

， 的一切实数，奇函数、

周期函数 ；

，

. 反三角函数

； ；

； 。

以上是五种基本初等函数，关于它们的常用运算公式都应掌握注：（ 1）指数式与对数式的性质

。

由此可知 ，今后常用关系式 ，

如：

（ 2）常用三角公式

积化和差

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

和差化积

sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

(完整版)基本初等函数图像及性质大全(初中高中)

(完整版)基本初等函数图像及性质大全(初中高中)

(完整版)基本初等函数图像及性质大全(初中高中) 1 / 7

一、一次函数与二次函数

（一）一次函数

一次 k kx b k 0

函数

k ， b k 0 k 0

符号 b 0 b 0 b 0 b 0 b 0

b 0

y y y y y y 图象

O x O x O x

性质 y 随 x 的增大而增大

（二）二次函数

（1）二次函数分析式的三种形式 O x O x O x

y 随 x 的增大而减小

①一般式： f ( x) ax2 bx c(a 0) ②极点式： f (x) a( x h) 2 k (a 0)

③两根式： f ( x) a( x x1)( x x2 )(a 0)

（ 2）求二次函数分析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的极点坐标或与对称轴相关或与最大（小）值相关时，常使用极点式．

③若已知抛物线与 x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，采用两根式求 f (x) 更方便．

（3）二次函数图象的性质

f x ax2 bx c a 0 a 0 a 0

图像

x b x b

2 a 2 a

定义域 ,

对称轴 x b

2a

极点坐标 b 4 ac b2

2 a ,

4 a

值域 4 ac b 2 , , 4 ac b 2

4 a 4 a

, b 递减 , b 递加

2a 单一区间 2 a

b 递加 b

, 递减

,

2 a

2 a

1 (完整版)基本初等函数图像及性质大全(初中高中) 2 / 7

①. 二次函数 f ( x) ax2 bx c(a 0) 的图象是一条抛物线， 对称轴方程为 x b , 极点坐标

基本初等函数图像及性质大全(初中 高中)(word文档良心出品)

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1 一、一次函数与二次函数

（一）一次函数

一次

函数 0kkxbk

k，b

符号 0k 0k

0b 0b 0b 0b 0b

0b

图象

Oxy yxO Oxy yxO Oxy yxO

性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小

（二）二次函数

（1）二次函数解析式的三种形式

①一般式：2()(0)fxaxbxca ②顶点式：2()()(0)fxaxhka

③两根式：12()()()(0)fxaxxxxa

（2）求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时，宜用一般式．

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．

③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()fx更方便．

（3）二次函数图象的性质

20fxaxbxca 0a 0a

图像

定义域 ,

对称轴 2bxa

顶点坐标 24,24bacbaa

值域 24,4acba 24,4acba

单调区间 ,2ba递减

,2ba递增 ,2ba递增

,2ba递减 2bxa 2bxa 2 ①.二次函数2()(0)fxaxbxca的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bxa顶点坐标是24(,)24bacbaa

②当0a时，抛物线开口向上，函数在(,]2ba上递减，在[,)2ba上递增，当2bxa时，2min4()4acbfxa；当0a时，抛物线开口向下，函数在(,]2ba上递增，在[,)2ba上递减，当2bxa时，2max4()4acbfxa．

二、幂函数

（1）幂函数的定义

一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数．

六大基本初等函数图像及其性质

六大基本初等函数图像及其性质

六大基本初等函数图像及其性质

一、常值函数（也称常数函数） y =C（其中C 为常数）；

常数函数（Cy）

0C 0C

平行于x轴的直线 y轴本身

定义域R 定义域R

二、幂函数 xy ，x是自变量，是常数；

1.幂函数的图像：

2.幂函数的性质；

性质

函数 xy 2xy 3xy 21xy 1xy

定义域 R R R [0,+∞) {x|x≠0}

值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y≠0}

奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇

单调性 增 [0,+∞) 增 增 增 (0,+∞) 减 x y

O xy2xy3xy1xy21xy O 0yx CyO x y y (-∞,0] 减 (-∞,0) 减

公共点 （1,1）

1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(x，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y轴对称；

2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数；

3）当α为正有理数nm时，n为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；

4）如果m>n图形于x轴相切，如果m

5）当α为负有理数时，n为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xay(x是自变量,a是常数且0a，1a)，定义域是R ；

[无界函数]

1.指数函数的图象：

2.指数函数的性质；

性质

函数 xay)1(a xay)10(a

定义域 R

值域 (0，+∞)

奇偶性 非奇非偶 1yO (0,1x y xay

)10(a

x xay

)1(a

1yO (0,1y 公共点 过点(0，1)，即0x时，1y

单调性 在），（是增函数 在），（是减函数