01离散型随机变量及其分布列(检测+答案)

离散型随机变量及其分布列

一、离散型随机变量

随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X、Y、ξ、η …表示．

所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．

二、离散型随机变量的分布列

一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2， …xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2， … ，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，… ，n 表示X的分布列．

X x1 x2 … xi … xn

P p1 P2 … pi … pn

三、离散型随机变量分布列的性质：

1.iP≥0，i＝1,2，…，n； 211niip.

四、常见离散型随机变量的分布列

1．两点分布

X 0 1

P 1－p p

如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称p＝P(X＝1)为成功概率．

2．超几何分布列

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为,0,1,2,knkMNMnNCCPXkkmC .其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.称分布列

X 0 1 … m

P 00nMNMnNCCC 11nMNMnNCCC …

mnmMNMnNCCC

为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布．

例1：设随机变量X的分布列如下：则p为 ( )

X 1 2 3

4

P 16 13 16 p

A.16

B.13

C.23

D.12

解：由16＋13＋16＋p＝1，∴p＝13.

2．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是 ( )

A．2颗都是4点B．1颗是1点，另一颗是3点

C．2颗都是2点D．1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点

解：X＝4表示的随机试验结果是1颗1点，另1颗3点或者两颗都是2点．

例3：若随机变量X的分布列P(x＝i)＝i2a(i＝1、2、3)，则P(x＝2)＝ ( )

A.19 B.16 C.13 D.14

解：由12a＋22a＋32a＝62a＝1，得a＝3.∴P(x＝2)＝22×3＝13.

例4：设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么n＝________. 解：1n×3＝0.3，∴n＝10.

例5：从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的概率分布为

X 0 1

2

P

解：P(X＝0)＝1C25＝110，P(X＝1)＝C13C12C25＝35，P(X＝2)＝C23C25＝310.

1．对随机变量的理解

(1)随机变量具有如下特点：其一，在试验之前不能断言随机变量取什么值，即具有随机性；其二，在大量重复试验中能按一定统计规律取实数值的变量，即存在统计规律性．

(2)由离散型随机变量分布列的概念可知，离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．因此，

离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．

2．分布列正误的检验方法

对于离散型随机变量的分布列，要注意利用它的两条性质检验所列分布列是否正确，如果求出的离散型随机变量的分布列不满足这两条性质，就说明计算过程中存在错误；反之，也不能说明所得分布列一定是正确的．但要掌握利用这两条性质判断计算过程是否存在错误的方法．

例6：设X是一个离散型随机变量，其分布列为：

X －1 0

1

P 12 1－2q q2

则q等于

( )

A．1 B．1±22 C．1－22 D．1＋22

解：由分布列的性质知 1－2q≥0，q2≥0，12＋1－2q＋q2＝1，∴q＝1－22.

例7：已知离散型随机变量ξ的分布列为

ξ 1 2 3 … n

P kn kn kn … kn

则k的值为

( )

A.12 B．1 C．2 D．3

解：由kn＋kn＋…＋kn＝1，∴k＝1.

例8：已知随机变量ξ的分布列为

ξ －2 －1

0 1 2

3

P 112 312 412 112 212 112

若P(ξ2

解：由P(ξ2

要充分注意到分布列的两条重要性质1．Pi≥0 i＝1,2…. 2．P1＋P2＋…＋Pn＝1.

其主要作用是用来判断离散型随机变量的分布列的正确性，或者用来计算随机变量取某些值的概率.

例9：某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行

一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选 对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X表示此人选对A饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．求X的分布列．

解：X的所有可能取值为：0,1,2,3,4，P(X＝i)＝Ci4C4－i4C48(i＝0,1,2,3,4)，即

X 0 1 2 3 4

P 170 1670 3670 1670 170

例10：袋中有3个白球，3个红球和5个黑球．从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得1个黑球得0分．求所得分数ξ的概率分布列．

解：得分ξ的取值为－3，－2，－1,0,1,2,3.ξ＝－3时表示取得3个球均为红球，∴P(ξ＝－3)＝C33C311＝1165.

ξ＝－2时表示取得2个红球和1个黑球，∴P(ξ＝－2)＝C23C15C311＝111.

ξ＝－1时表示取得2个红球和1个白球，或1个红球和2个黑球．∴P(ξ＝－1)＝C23C13＋C13C25C311＝1355.

ξ＝0时表示取得3个黑球或1红、1黑、1白，∴P(ξ＝0)＝C35＋C13C13C15C311＝13.

ξ＝1时表示取得1个白球和2个黑球或2个白球和1个红球，∴P(ξ＝1)＝C13C25＋C23C13C311＝1355.

ξ＝2时表示取得2个白球和1个黑球，∴P(ξ＝2)＝C23C15C311＝111.

ξ＝3时表示取得3个白球，∴P(ξ＝3)＝C33C311＝1165.

∴所求概率分布列为：

ξ －3 －2 －1 0 1 2 3

P 1165 111 1355 13 1355 111 1165

例11：在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这4场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率相等．已知当这4场比赛结束后，该班胜场多于负场．

(1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和；

(2)若胜场次数为X，求X的分布列．

解：(1)若胜一场，则其余为平，共有C14＝4种情况；若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有C24C12＋C24＝18种情况；若胜三场，则其余一场为负或平，共有C34×2＝8种情况；若胜四场，则只有一种情况．

综上，共有31种情况．

(2)X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝1)＝431，P(X＝2)＝1831，P(X＝3)＝831，P(X＝4)＝131，所以X的分布列为

X 1 2 3 4

P 431 1831 831 131

例12：从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；(2)求所选3人中男生人数ξ的分布列．

解：(1)所选3人中恰有一名男生的概率P＝C25C14C39＝1021.

(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝C35C39＝542，P(ξ＝1)＝C25C14C39＝1021，P(ξ＝2)＝C15C24C39＝514，P(ξ＝3)＝C34C39＝121.

∴ξ的分布列为

ξ 0 1 2 3

P 542 1021 514 121

本例条件不变，求所选3人中女生人数η的分布列．

解：由题意知η可取3,2,1,0即当η＝3时，ξ＝0.η＝2时，ξ＝1.η＝1时，ξ＝2.η＝0时，ξ＝3.∴η的分布列为 η

3 2 1 0

P 542 1021 514 121

例13：第:31届奥林匹克夏季运动会于2016年8月5日至21日在里约热内卢举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如下茎如图(单位：cm)：

若身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．

(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？

(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列．

解：(1)根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是530＝16，所以抽中的“高个子”有12×16＝2人，“非高个子”有18×16＝3人．用事件A表示“至少有1名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A表示“没有1名‘高个子’被选中”，则P(A)＝1－P(A)＝1－C23C25＝1－310＝710.因此，至少有1人是“高个子”的概率是710.

(2)依题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，则P(ξ＝0)＝C38C312＝1455，P(ξ＝1)＝C14C28C312＝2855，P(ξ＝2)＝C24C18C312＝1255，P(ξ＝3)＝C34C312＝155.因此，ξ的分布列为

ξ 0 1 2 3

P 1455 2855 1255 155

例14：红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．

(1)求红队至少两名队员获胜的概率；

(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．

解：(1)设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则D、E、F分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立事件的概率公式知P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5红队至少两人获胜的事件有：DEF，DEF，DEF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.