2013年全国初中数学联赛(初二组)初赛试卷

第４期　周慧鸽：一道２０１３年全国初中数学竞赛题的再研究　

一道２　０　１　３年全国初中数学竞赛题的再研究　●周慧鸽　（秦都中学陕西成阳７１２０００）　题目　如图１，已知在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝　ＤＣ，Ｅ，Ｆ分别为ＡＤ与ＢＣ的中点，联结ＥＦ与ＢＡ　的延长线相交于点Ⅳ，与ＣＤ的延长线相交于点　Ｍ，求证：／ＢＮＦ＝　ＣＭＦ．　（２０１３年全国初中数学联赛初二组初赛试题）　文献［１］中作者从不同角度给出了该试题的８　种证法及推广，笔者受益匪浅，启发很大．由于本试　题中Ｅ，Ｆ分别是ＡＤ和ＢＣ的中点及ＡＢ＝ＤＣ的特　殊性，才能获得　ⅣＦ＝／ＣＭＦ．如果Ｅ，Ｆ的位置　不再特殊，当ＡＢ＃ＤＣ时，／ＢＮＦ与　ＣＭＦ的关系　又会怎样？　与／ＣＭＦ能相等吗？为此笔者　对此题作了进一步探究，给出了此题的３种变式．　变式１　将原题中条件“Ｅ，Ｆ分别为ＡＤ，ＢＣ　的中点”变为“ＡＥ＝ＡＥＤ，　Ｆ＝ＡＦＣ”，其他条件不　变，￣ＢＮＦ与　ＣＭＦ的关系如何？　Ｂ　图１　图２　Ｃ　定理１　已知四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＤＣ，Ｅ，Ｆ　分别为边ＡＤ和ＢＣ上的点，满足ＡＥ＝ＡＥＤ，ＢＦ＝　ＡＦＣ，联结　与ＢＡ延长线相交于点Ⅳ，与ＣＤ延　长线相交于点　，则ｓｉｎ／＿ＢＮＦ＝Ａｓｉｎ／ＣＭＦ．　分析　由于／ＢＮＦ和　ＣＭＦ及ＡＢ和ＤＣ都　不在同一个三角形中，考虑到ＡＥ　ＥＤ＝ＢＦ　ＦＣ＝Ａ　１，因此可过点Ｅ作ＥＫ∥ＤＣ交ＡＣ于点　Ｋ，联结ＫＦ，将分散的条件集中在ＡＥＦＫ中，利用　正弦定理证之．　６ｃ＋∞≥４　Ｉｓ（ｓ＿　－－ａ）ｓ（ｓ　－ｂ）＋ｓ（ｓ　－ｃ）ｓ＞４　Ｗａ＋篆Ｗｂ＋筹Ｗｅｓ＞４　，　当且仅当ＡＡＢＣ为等边三角形时，等号成立．　证明　注意到　。＝　≤　＝厢，只需证明　＋　＋　ｈ　ｓ．　＾√　：　又　：　：　：　鱼　，故只需证明　八　一４ｓ　一４Ｓ　一　１６口２　’叭八而“Ｌ　０２　（ｎ６＋ｂｃ＋ｃａ）　≥ｎ　（０＋ｂ＋ｃ）（６＋ｃ一Ⅱ）＋ｂ　ａ＋ｂ＋ｃ）　ｃ＋０—６）＋ｃ　（ｎ＋ｂ＋ｃ）　ａ＋ｂ—ｃ）　车　口　＋ｂ　＋Ｃ　一ａ２ｂ　一ｂ２ｃ　一ｃ　口２≥０　２口４＋２ｂ４＋２ｃ４—２０　ｂ　一２ｂ　ｃ　一２ｃ　≥０　（ａ２一ｂ　）　＋ｆｂ　一Ｃ２）　＋ｆｃ２一口　）　１＞ｏ．　参考文献　［１］　秦庆雄，汜￣４４ｔ＂化－４４－珠Ｗｅｉｔｚｅｎｂｏｃｋ不等式的一个有趣隔离［Ｊ］．中学教研（数学），２０１４（１）：

2013年全国初中数学联赛(初二组)初赛试卷

参考答案及评分标准

一、选择题（本大题满分42分，每小题7分）

1、A 2、B 3、B 4、C 5、D 6、A

二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）

1、13 2、101 3、10 4、5.22

三、（本大题满分20分）

解原式2421222aaaaaaa （5分）

4224222aaaaaa

21aa （10分）

1212121 （5分）

四、(本大题满分25分) 新 -课-标-第-一-网

解：∵822OCOBCB

∴B点坐标（8，6） （5分）

又∵A（10，0）

∴AB的中点坐标为（9，3）

∴OD的表达式为：xy31 （10分）

∵A（10，0），C（0，6）

∴AC的表达式为：653xy

（15分）

由65331xyxy，解得：

715745yx

（20分）

故点D的坐标为（745，715） （25分）

五、（本大题满分25分）

证明：连结AC，取AC的中点K，连结EK，FK （5分）

∵EDAE，KCAK X k

B 1 . c o m

∴DCEK//，DCEK21 （10分） y

Q x O P

A C B

D

同理ABFK//，ABFK21 （15分）

∴EKDCABFK2121

∴EFKFEK （20分）

∵DCEK//

∴FEKCMF

∵ABFK//

2013年全国初中数学联赛选拔赛详解[1]-2

1 / 15 2013年全国初中数学联赛初赛试题

时间2013年3月3日上午 （答题时间：90分钟，20道试题共计100分）

一 选择题 （每题5分，共50分）

1．方程2013211xxx的根有（ ）个

A 。1 B。 2 C。 3 D 。 4

2．如图所示，阴影部分的面积是102cm，EDAE，3:5:DCBD，则ABC的面积是（ ）。

A 。 24 B。 26 C。 27 D 。 30

FEBCAD

图1

3．同时含有字母cba,,，且系数是10的9次的单项式，一共有（ ）个

A 。 9 B。 10 C。 15 D 。 28

4．若抛物线2442mmxxy与x轴相交于整点，则抛物线的对称轴为（ ）

A 。1x B。1y C。1x D 。因为与m取值有关，故不能确定对称轴．

5．由四名学生每人各随机投掷一枚一元硬币，恰好有两个硬币国徽朝上的概率是（

）（ ）

A 。21 B。41 C。81 D 。83

6．已知实数ba,满足：1844baab，则22ba的最小值是（ ）

A 。 14 B。16 C。 18 D

。20

7．已知点P是正ABC内一点，若2PA，7PB，150APB，则PC的长度=( )。

A 。 3 B。 5 C。 3 D 。 5 2013年全国初中数学联赛选拔赛详解[1]-2

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8．设实数332142021420x，则2013x的末位数字是（ ）

A 。 3 B。4 C。6 D 。8

9．已知cba,,满足：kbacacbcba，则直线32kkkxy与坐标轴围成的三角形的面积是（ ）

2013年全国初中数学联赛(初二组)初赛试卷

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

1、1|3|4的值是（ ）

A、4 B、5 C、8 D、9

2、若222bxxaxx，则ba（ ）

A、1 B、0 C、1 D、2

3、如图，已知在ABC中，BO平分ABC，CO平分ACB，且ABOM//，ACON//，若6CB，则OMN的周长是（ ）

A、3 B、6 C、9 D、12

4、不等式组23131221xxxx的解是（ ）

A、16x B、16x

C、16x D、16x

5、非负整数x，y满足1622yx，则y的全部可取值之和是（ ）

A、9 B、5 C、4 D、3

6、如图，已知正方形ABCD的边长为4，M点为CD边上的中点，若M点是A点关于线段EF的对称点，则EDAE等于（ ）

A、35 B、53

C、2 D、21

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

1、已知0|3|22yxx，则_________22yx.