江苏省南京市2024届高三年级第二次模拟考试数学试题(解析版)
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第1页共8页南京市2024届高三年级第二次模拟考试
数学
2024.05
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡
上．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知向量a＝(1，2)，b＝(x，x＋3)．若a∥b，则x＝
A．－6B．－2C．3D．6
2．“0＜r＜2”是“过点(1，0)有两条直线与圆C：x2＋y2＝r2(r＞0)相切”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．为了得到函数y＝sin(2x＋π
3)的图象，只要把函数y＝sin2x图象上所有的点
A．向左平移π
6个单位B．向左平移π
3个单位
C．向右平移π
6个单位D．向右平移π
3个单位
4．我们把各项均为0或1的数列称为0－1数列，0－1数列在计算机科学和信息技术领域
有着广泛的应用．把佩尔数列{Pn}(P
1＝0，P
2＝1，P
n＋2＝2P
n＋1＋P
n，n∈N*)中的奇数换
成0，偶数换成1，得到0－1数列{an}．记{a
n}的前n项和为S
n，则S
20＝
A．16B．12C．10D．8第2页共8页
5．已知P(A)＝3
5，P(A―B)＝1
5，P(A|B)＝1
2，则P(B)＝
A．1
5B．2
5C．3
5D．45
6．在圆O
1O
2中，圆O
2的半径是圆O
1半径的2倍，且O
2恰为该圆台外接球的球心，则圆
台的侧面积与球的表面积之比为
A．3：4B．1：2C．3：8D．3：10
7．已知椭圆C的左、右焦点分别为F
1，F
2，下顶点为A，直线AF
1交C于另一点B，△ABF
2
的内切圆与BF2相切于点P．若BP＝F
1F
2，则C的离心率为
A．1
3B．1
2C．2
3D．34
8．在斜△ABC中，若sinA＝cosB，则3tanB＋tanC的最小值为
A．2B．5C．6D．43第3页共8页二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．
9．已知z
1，z
2为共轭复数，则
A．z
12＝z22B．|z
1|＝|z
2|C．z
1＋z
2∈RD．z
1z
2∈R
10．已知函数f(x)满足f(x)f(y)＝f(xy)＋|x|＋|y|，则
A．f(0)＝1B．f(1)＝－1C．f(x)是偶函数D．f(x)是奇函数
11．已知平行六面体ABCD－A
1B
1C
1D
1的棱长均为2，∠A
1AB＝∠A
1AD＝∠BAD＝60°，点
P在△A
1BD内，则
A．A
1P∥平面B
1CD
1B．A
1P⊥AC
1
C．PC
1≥6APD．AP＋PC
1≥26
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合A＝{1，2，4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B的元素个数为
▲．第4页共8页
13．在平面四边形ABCD中，∠A＝135°，∠B＝∠D＝90°，AB＝2，AD＝2，则四边形ABCD
的面积为▲．
14．已知函数f(x)＝x3－ax＋1(a∈R)的两个极值点为x1，x
2(x
1＜x
2)，记A(x
1，f(x
1))，C(x
2，
f(x
2))．点B，D在f(x)的图象上，满足AB，CD均垂直于y轴．若四边形ABCD为菱形，
则a＝▲．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)
某地5家超市春节期间的广告支出x(万元)与销售额y(万元)的数据如下：第5页共8页
超市ABCDE
广告支出x24568
销售额y3040606070
(1)从A，B，C，D，E这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市个数为
X，求随机变量X的分布列及期望E(X)；
(2)利用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额．
附：线性回归方程^
y＝^
bx＋^
a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
^
b＝∑n
i＝1x
iy
i－n-
x-
y
∑n
i＝1x
i2－n-
x2，^a＝―y－^
b―x．
16．(本小题满分15分)
已知函数f(x)＝x2－ax＋a
ex，其中a∈R．
(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)当a＞0时，若f(x)在区间[0，a]上的最小值为1
e，求a的值．第6页共8页
17．(本小题满分15分)
在五面体ABCDEF中，CD⊥平面ADE，EF⊥平面ADE．
(1)求证：AB∥CD；
(2)若AB＝2AD＝2EF＝2，∠ADE＝∠CBF＝90°，点D到平面ABFE
的距离为2
2，求
二面角A－BF－C的大小．
(第17题图)第7页共8页
18．(本小题满分17分)
已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)与双曲线E：x2
a2－y2
b2＝1(a＞0，b＞0)有公共的焦点F，且
p＝4b．过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，与E的两条渐近线交于P，Q两点(均
位于y轴右侧)．
(1)求E的渐近线方程；
(2)若实数λ满足λ(1
|OP|＋1
|OQ|)＝|1
|AF|－1
|BF||，求λ的取值范围．第8页共8页
19．(本小题满分17分)
已知数列{an}的前n项和为S
n．若对每一个n∈N*，有且仅有一个m∈N*，使得S
m≤
a
n＜S
m＋1，则称{a
n}为“X数列”．记b
n＝S
m＋1－a
n，n∈N*，称数列{b
n}为{a
n}的“余
项数列”．
(1)若{a
n}的前四项依次为0，1，－1，1，试判断{a
n}是否为“X数列”，并说明理由；
(2)若S
n＝2n，证明{an}为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；
(3)已知正项数列{a
n}为“X数列”，且{a
n}的“余项数列”为等差数列，证明：S
n≤(1
＋2n－2)a
1．
