上海市静安区高三数学上学期期末教学质量检测(一模)试题(含解析)
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- 1 - 上海市静安区高三数学上学期期末教学质量检测（一模）试题（含解析）
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题满分44分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．计算：= ．
考点： 极限及其运算．
专题： 导数的概念及应用．
分析： 利用数列极限的运算法则即可得出．
解答： 解：原式==．
故答案为：．
点评： 本题考查了数列极限的运算法则，属于基础题．
2．已知集合M={y|y=2x，x≥0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}，则M∩N= （0，2） ．
考点： 交集及其运算．
专题： 集合．
分析： 利用交集的定义和对数函数的性质求解．
解答： 解：∵集合M={y|y=2x，x≥0}={y|y≥0}，
N={x|y=lg（2x﹣x2）}={x|2x﹣x2＞0}={x|0＜x＜2}，
∴M∩N=（0，2）．
故答案为：（0，2）．
点评： 本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意对数函数的性质的合理运用．
3．设（1﹣x）8=a0+a1x+…+a7x7+a8x8，则|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|= 256 ．
考点： 二项式系数的性质．
专题： 二项式定理．
分析： 由题意可得 （1+x）8=|a0|+|a1|x+…+|a7|x7+|a8|x8，在此等式中，令x=1，可得|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|的值．
解答： 解：由题意可得 （1+x）8=|a0|+|a1|x+…+|a7|x7+|a8|x8，
在此等式中，令x=1，可得|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|=28=256，
故答案为：256．
点评： 本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题． - 2 -
4．已知等差数列{an}的首项为3，公差为4，则该数列的前n项和Sn=
2n2+n ．
考点： 等差数列的前n项和．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 由题意代入等差数列的求和公式可得．
解答： 解：由题意可得a1=3，公差d=4，
∴Sn=na1+d
=3n+2n（n﹣1）=2n2+n
故答案为：2n2+n．
点评： 本题考查等差数列的求和公式，属基础题．
5．不等式1﹣＜0的解集是 （，4） ．
考点： 其他不等式的解法．
专题： 计算题；不等式的解法及应用．
分析： 原不等式即为或，分别解出它们，再求交集即可．
解答： 解：不等式1﹣＜0
即为＜0，
即为或，
即有x∈∅或＜x＜4，
则解集为（，4）．
故答案为：（，4）．
点评： 本题考查分式不等式的解法，考查转化为一次不等式组求解，考查运算能力，属于基础题．
6．一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 45 种不同结果（用数值作答）．
考点： 组合及组合数公式．
专题： 概率与统计．
分析： 由题意可得共有种不同结果． - 3 - 解答： 解：一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有=45种不同结果．
故答案为：45．
点评： 本题考查了组合数的计算公式，属于基础题．
7．（4分）理：如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，PA=1，底面ABCD是正方形，PC与底面ABCD所成角的大小为，则该四棱锥的体积是 ．
考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题： 空间位置关系与距离． 分析： 根据几何体的性质得出Rt△PAC中，PA=1，∠PCA=，AC=，运用体积公式求解即可．
解答： 解：∵PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，
PC与底面ABCD所成角的大小为， ∴Rt△PAC中，PA=1，∠PCA=， AC=，
∵底面ABCD是正方形，
∴AB=， V=×1=
故答案为：；
点评： 本题考查了空间直线平面的几何性质，夹角，体积计算问题，属于中档题．
8．不等式的解集是
（，4） ．
考点： 其他不等式的解法．
专题： 计算题；不等式的解法及应用． - 4 - 分析： 不等式即为或，分别求出它们，再求并集即可．
解答： 解：不等式即为 或，
即x∈∅或＜x＜4， 则解集为（，4）．
故答案为：（，4）．
点评： 本题考查分式不等式的解法，考查转化为一次不等式组求解，考查运算能力，属于基础题．
9．文：已知数列{an}的通项公式an=22﹣n+2n+1（其中n∈N*），则该数列的前n项和Sn= ．
考点： 数列的求和．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 首先把数列的通项公式进行转换，进一步利用等比数列的前n项和公式进行求解．
解答： 解：数列数列{an}的通项公式：
整理得：
则：+2（21+22+…+2n）
=4•+2
=
=
故答案为：
点评： 本题考查的知识要点：数列通项公式的应用，等比数列前n项和的应用．属于基础题型．
- 5 - 10．（4分）已知两个向量，的夹角为30°，，为单位向量，，若，则t=
﹣2 ．
考点： 平面向量数量积的运算．
专题： 计算题；平面向量及应用． 分析： 运用平面向量的数量积的定义和向量垂直的条件即为数量积为0，计算即可得到t．
解答： 解：两个向量，的夹角为30°，，为单位向量，
则=||•||•cos30°==，
由，若，
则•（t+（1﹣t））=0，
即t+（1﹣t）=0，即有t+1﹣t=0，
解得，t=﹣2．
故答案为：﹣2．
点评： 本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查运算能力，属于基础题．
11．已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是
3π ．
考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
专题： 空间位置关系与距离．
分析： 根据已知中圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，计算出圆锥母线的长度，进而可得该圆锥的侧面积．
解答： 解：∵圆锥底面的半径r=1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，
故圆锥的母线l满足：，
解得：l=3，
∴该圆锥的侧面积S=πrl=3π．
故答案为：3π
点评： 本题考查的知识点是旋转体，圆锥的侧面积，其中根据，求出圆锥的母线长度，是解答的关键．
- 6 - 12．（4分）已知f（x）=x|x﹣1|+1，f（2x）=（其中x＞0），则x=
．
考点： 函数的值． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 由已知得，由此能求出．
解答： 解：∵f（x）=x|x﹣1|+1，
f（2x）=（其中x＞0），
∴，
∴，
∵x＞0，∴（2x）2﹣2x﹣=0，
解得2x=，
∴．
故答案为：．
点评： 本题考查函数值的求法及应用，是基础题，解题时要注意函数性质的合理运用．
13．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x轴的正半轴上，终边在射线y=﹣2x（x≤0）上，则sin2α= ．
考点： 任意角的三角函数的定义．
专题： 三角函数的求值．
分析： 由题意根据任意角的三角函数定义求出sinα与cosα的值，进而确定出sin2α的值．
解答： 解：根据题意得：tanα=﹣2，sinα=，cosα=﹣，
∴sin2α=2sinαcosα=﹣2××=．
故答案为：．
点评： 此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及任意角的三角函数定义，熟练掌握公式是解本题的关键．
14．（4分）理：已知△ABC的顶点A（2，6）、B（7，1）、C（﹣1，﹣3），则△ABC的内角∠BAC的大小是 arccos ．（结果用反三角函数值表示）
- 7 - 考点： 余弦定理．
专题： 解三角形．
分析： 由三点坐标，利用两点间的距离公式求出a，b，c的值，利用余弦定理求出cos∠BAC的值，即可确定出∠BAC的度数．
解答： 解：∵△ABC的顶点A（2，6）、B（7，1）、C（﹣1，﹣3）， ∴|AB|=c==5，|AC|=b==3，|BC|=a==4， ∴cos∠BAC===， 则∠BAC=arccos，
故答案为：arccos
点评： 此题考查了余弦定理，两点间的距离公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
15．（4分）若α，β是一二次方程2x2+x+3=0的两根，则= ﹣ ．
考点： 二次函数的性质．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 由已知结合韦达定理，可得α+β=﹣，α•β=，进而根据=代入可得答案．
解答： 解：∵α，β是一二次方程2x2+x+3=0的两根，
∴α+β=﹣，α•β=，
∴===﹣，
故答案为：﹣
点评： 本题考查的知识点是根与系数的关系（韦达定理），难度不大，属于基础题．
16．已知两条直线的方程分别为l1：x﹣y+1=0和l2：2x﹣y+2=0，则这两条直线的夹角大小为
arctan （结果用反三角函数值表示）．
考点： 两直线的夹角与到角问题．
专题： 直线与圆．
分析： 这两条直线的斜率分别为1和2，设这两条直线的夹角大小为θ，再利用两条直线的夹
