重庆大学数值分析试卷

数值分析期末试题及答案试题一：1. 简答题（共10分）a) 什么是数值分析？它的主要应用领域是什么？b) 请简要解释迭代法和直接法在数值计算中的区别。

2. 填空题（共10分）a) 欧拉方法是一种______型的数值解法。

b) 二分法是一种______法则。

c) 梯形法则是一种______型的数值积分方法。

3. 计算题（共80分）将以下函数进行数值求解：a) 通过使用二分法求解方程 f(x) = x^3 - 4x - 9 = 0 的近似解。

b) 利用欧拉方法求解微分方程 dy/dx = x^2 + 2x + 1, y(0) = 1 在 x = 1 处的解。

c) 使用梯形法则计算积分∫[0, π/4] sin(x) dx 的近似值。

试题二：1. 简答题（共10分）a) 请解释什么是舍入误差，并描述它在数值计算中的影响。

b) 请解释牛顿插值多项式的概念及其应用。

2. 填空题（共10分）a) 数值稳定性通过______号检查。

b) 龙格－库塔法是一种______计算方法。

c) 零点的迭代法在本质上是将方程______转化为______方程。

3. 计算题（共80分）使用牛顿插值多项式进行以下计算：a) 已知插值节点 (-2, 1), (-1, 1), (0, 2), (1, 4)，求在 x = 0.5 处的插值多项式值。

b) 已知插值节点 (0, 1), (1, 2), (3, 7)，求插值多项式，并计算在 x = 2 处的值。

c) 使用 4 阶龙格－库塔法求解微分方程 dy/dx = x^2 + 1, y(0) = 1。

答案：试题一：1. a) 数值分析是研究使用数值方法解决数学问题的一门学科。

它的主要应用领域包括数值微积分、数值代数、插值和逼近、求解非线性方程、数值积分和数值解微分方程等。

b) 迭代法和直接法是数值计算中常用的两种方法。

迭代法通过反复迭代逼近解，直到满足所需精度为止；而直接法则通过一系列代数运算直接得到解。

重庆大学2002数学分析重庆大学2003数学分析重庆大学2006年硕士研究生入学考试试题 科目代码:329科目名称:数学分析特别提醒考生:答题一律做在答题纸上(包括填空题包括填空题、、选择题选择题、、改错题等)，直接做在试题上按零分计分计。

第一部分 计算题计算题（（共70分）一、（10分）求极限xx x x sin 1sin lim 20→， 并说明能否使用洛必达法则，为什么？ 二、（10分）设)(x y y =是由方程y x xy e 32=确定的隐函数，计算.)(2)2ln (2y y y ′−′′−三、（10分）应用定积分求极限∑=∞→+n i n i n n 122lim 。

四、（10分）讨论函数43)1()3()(+−=x x x f 的严格单调区间与极值。

五、（10分）判断函数列),3,2,1()(2 ===n nxe x f nx n 在区间[]1,0上的一致收敛性，并说明理由。

六、（10分）计算不定积分∫++dx x x 1142 七、（10分）化二重积分xdy d y x f D∫∫+)(为单积分，其中D ：1≤+y x 。

第二部分 证明题证明题（（共80分）八、（18分）写出极限)(lim x f x ∞→存在（有限）的柯西收敛法则及其否定叙述，并据此证明下述结论：（1）极限xx x cos lim +∞→存在（有限）；（2）极限x x sin lim +∞→不存在。

九、（12分）叙述函数)(x f 闭区间[]b a ,上可积的定义，并据此证明函数−=11)(x f Qx Q x ∉∈，Q 是有理数集在闭区间[]b a ,上不可积。

第 2 页 共 2 页十、（12分）设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续且变号（即非恒正，也非恒负），在开区间()b a ,二阶可导，且,0)()(==b f a f 证明：至少存在一点()0)(,,<′′∈ξξf b a 使得。

数值分析期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法不是用于求解线性方程组的？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比法D. 追赶法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法属于：A. 多项式插值B. 样条插值C. 线性插值D. 非线性插值答案：A3. 以下哪个选项不是数值分析中的误差来源？A. 截断误差B. 舍入误差C. 计算误差D. 测量误差答案：C4. 在数值积分中，梯形法则的误差项是：A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 牛顿插值法中，插值多项式的一般形式为：______。

答案：f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + ...2. 牛顿迭代法求解方程的根时，迭代公式为：x_{n+1} = x_n -f(x_n) / __________。

答案：f'(x_n)3. 在数值分析中，______ 用于衡量函数在区间上的近似积分值与真实积分值之间的差异。

答案：误差4. 线性方程组的解法中，______ 法是利用矩阵的LU分解来求解。

答案：克兰特三、解答题（每题10分，共60分）1. 给定函数f(x) = e^(-x)，使用拉格朗日插值法，求x = 0.5时的插值值。

解答：首先选取插值节点x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1，对应的函数值分别为f(0) = 1, f(0.5) = e^(-0.5), f(1) = e^(-1)。

拉格朗日插值多项式为：L(x) = f(0) * (x-0.5)(x-1) / (0-0.5)(0-1) + f(0.5) * (x-0)(x-1) / (0.5-0)(0.5-1) + f(1) * (x-0)(x-0.5) / (1-0)(1-0.5)将x = 0.5代入得：L(0.5) = 1 * (0.5-0.5)(0.5-1) / (0-0.5)(0-1) + e^(-0.5) * (0.5-0)(0.5-1) / (0.5-0)(0.5-1) + e^(-1) * (0.5-0)(0.5-0.5) / (1-0)(1-0.5)计算得L(0.5) = e^(-0.5)。

数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答：A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答：A3. 数值积分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：D4. 数值微分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：A5. 数值微分的基本方法有哪几种？A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答：A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答：A、B、C7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答：B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答：A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答：A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答：B二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）1. 数值积分的基本公式是_________。

答：牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。

答：中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。

答：截断、舍入4. 用插值法求解函数值时，通常采用_________插值。

答：拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。

山东科技大学2008-2009学年第一学期《数值分析》考试一、设x =9.1234, y =10.486均具有5位有效数字。

试分析x - y和x3 y啲绝对误差限和相对误差限。

二、求一条拟合3点A(0,1), B(1,3),C(2,2)的直线。

三、设n _ 2为正整数，c为正数，记x*二n.c1) 说明不能用下面的迭代格式1 _nx k 1 = cx k ,k =Q1,2：= = " =求x*的近似值。

2) 构造一个可以求x*的迭代格式，证明所构造迭代格式的收敛性，并指出收敛阶数四、给定线性方程组_4 -1 0卩1 一2〕-1 a 1 x2 = 64」］X3」：2J】0 1其中a为非零常数。

1) 写出Jacobi迭代格式与Gauss-Seidel迭代格式并分析其收敛性。

2) 分析a在什么范围取值时以上迭代格式收敛。

五、做一个5次多项式H (x)使得H(1) =3,H (2) = —1, H(4) =3,H'(1) =2, H'(2) =1, H *(2) =2,六、求f (x) =x2在区间0,1上的一次最佳一致逼近多项式。

七、给定积分公式:1f(x)d x ：Af (-1) Bf (0) f (1)■ -41) 试确定求积系数A,B,C，使其具有尽可能高的代数精度，并指出其代数精度。

2) 试判断该求积公式是否为高斯型求积公式，并说明理由。

3) ................................................................................................ 将区间-1,作n等分，并记h=2,X j =-1 ih,i =0,1,............................................................ ，n,利用该求积公式n 构造一个复化求积公式。

模拟试卷（一）—、填空题（每小题3分，共30分）1•有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是次的.■ 1 5 -2' ，2 .设A = -2 1 0 / x =-4_ 1 -4 2. 12 > ，则⑷J—,同广14 is 913 •已知尸心）的均差（差商）/[如,％]“] = —, f[x x yX] = — , f[x,x^x\ =—,8/ [x o,x2,x3 ] = —#那么均差 / [x4,X2^Y3]=4.已知n=4时Newton - Cotes求积公式的系数分别是：C計=[,C；“ =^,C列=丄,7 \J 1 J 1 J则C『）二5・解初始值问题＜y = f（X，y）的改进的Euler方法是.）心0）=儿阶方法；6.求解线性代数方程组＜5%| - 3X2-0.1X3 = 3-2x, + 6X2+ 0.7® = 2的高斯一S德尔迭代公式为Xj +2X2+3.5X3 = 1若取捫＞=（1,71）,则利）=7•求方程x = f（x）根的牛顿迭代格式是 ____________ .8. f0（A）, £（x）,…,仁（X）是以整数点兀），西,…,俎，为节点的Lagrange插值基函数,则1＞0（忑）= ___________ •1-010・设/（・1） = 1J（O） = OJ（1） = 1J（2） = 5 ,则/（X）的三次牛顿插值多项式为 __________________ ，其误差估计式为______________________ .二.综合题（每题10分，共60分）1 .求一次数不超过4次的多项式“(X)满足："⑴=15 , "(1) = 20 , /「(1) = 30 p(2) = 57 , p‘⑵= 72.其代数精度.3 .用Newton法求方程x-Inx = 2在区间(2,s)的根要求忙 #I <10-8. 1^14・用最小二乘法求形如y = a + hx2的经验公式拟合以下数据：5・用矩阵的直接三角分解法解方程组y f = f(\ y)6试用数值积分法建立求解初值问题•小、丿的如下数值求解公式卜(0)=儿儿+1 = y»-i + - (£+1 + 4人 + A-i)，其中ft = /(兀,X), i = n-1,”，n + \.三.证明题(10分)设对任意的;V ,函数/(X)的导数广w都存在且0v/S广(QSM,对于满足2OvQv三的彳壬意几，迭代格式仏严九一兄/(忑)均收敛于/(%) = 0的根x・参考答案—s填空题1.5;2. & 9;3. — ;4. 一 ; 5•二;1545尤严)=(3 + 3 时)+o.lxf )/5 6. < 垮刖=(2 + 2屮初 _0.7歧))/6 ,(0.02,0.22,0.1543)£Z=(l — x ；Z —2x ；z)*2/7 • ■7・汕=入 _；二：］8-厂；° 以3) vl;10. —.V + x" —x, f (f)(x + 1)X (A * — l)(x — 2)/ 24 c s (—1,2) 6 6二综合题1・差商表：p{x) = 15 + 20(x -1) +15(x -1)2 + 7(x -1)' + (x - l)3(x - 2) = 5 + 4x + 3x 2 +2x 3+x其他方法：设 p(x) = 15 + 20(x 一 1) +15(x -1)2 + 7(x 一 1尸 + (x -1)3 (ax+b) 令 “(2) = 57 r⑵=72 ,求出 a 和b.2・取f(x) = 1, x ,令公式准确成立，得：2809I寸Eomom寸COMN CM"61II -二比三Eds H e•寸心Ix 三Ix H(X)J®Y寸・0)叵凶股皿眉•巾卑◎—€□((s 叵凶田ss H m ・m.^n s s gs ...寸r I S寸"H -WPQ 石 X H (X)： iH p -W ^gH<+<1・ I H<+<-0-£3启孑刃咲&讯篠世迎ffl®議・s•§38.O H ^・zzr,肖6・0口9去监s §s .o「991寸In -11解下三角方程组;有” =5 ,匕=3 ,1 >'23 2 1 V3171 0 17解初值问题等价于如下形式y （x ）=y （兀1）+匸几不）'，取 Y =耳+i ，有 y(©+i ) = yCji)+「z fa 、y(x)\ix f 利用辛卜森求积公式可得儿+严畑+ g （/；1+1 + 4/；_ + /；,_.）.三.证明题 证明 将 f(x) = 0 写成 x = x-/Lf(x) =(p(x) t 由于 ^(x) = [x-2/(x)r = l-2/r (x),所以 10(力曰1 一/lf(x)lvl 所以迭代格式札| =忑- A fM 均收敛于/(x) = 0的根F ・模拟试卷（二）一.填空题（每小题3分，共30分）1 .分别用2.718281和2.718282作数〔的近似值，则具有效位数分别有 _______ 位和再解上三角方程组得原方程组的解为“ 10 2 0'丁1 0 1 v 23 2 1兀362. 兰4.4=1 t = 1 t X3 =2 t X4 = 2 ・10 -2"2 .设4 =1 1 0 ■ x = 33-821>?3 =6，>4 =4・位；3•对于方程组Jacobi迭代法的迭代矩阵是G,=〔10刁-4七=3 J4.设f(jv) = H+x_l，则差商/[0,1,2,3]= _______________ , /[0, 1, 2, 3,4]= _________ •1 25・已知A=() ] f贝ij条件数Co认(A) ______________ ・6.为使两点的数值求积公式[f(x)dx = f(x0) + /(x,)具有最高的代数精确度,则具求积基点应为X。

数值分析试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个算法是数值分析中用于求解线性方程组的直接方法？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 梯度下降法D. 蒙特卡洛方法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法和牛顿插值法的共同点是：A. 都是多项式插值B. 都使用差商C. 都只适用于等距节点D. 都需要预先知道所有数据点答案：A3. 在数值积分中，辛普森(Simpson)公式比梯形公式的误差：A. 更大B. 更小C. 相同D. 无法比较答案：B4. 以下哪个是数值稳定性分析中常用的方法？A. 条件数B. 收敛性C. 收敛速度D. 误差分析答案：A5. 在求解常微分方程的数值解时，欧拉方法属于：A. 单步法B. 多步法C. 隐式方法D. 显式方法答案：A6. 以下哪个是数值分析中求解非线性方程的迭代方法？A. 高斯-约当消元法B. 牛顿-拉弗森方法C. 雅可比迭代法D. 高斯-赛德尔迭代法答案：B7. 线性插值公式中，如果给定两个点\( (x_0, y_0) \)和\( (x_1, y_1) \)，插值多项式是：A. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}(x - x_0) \)B. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_0 - x_1}(x - x_0) \)C. \( y = y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}(y_1 - y_0) \)D. \( y = y_1 + \frac{x_1 - x}{x_1 - x_0}(y_0 - y_1) \)答案：C8. 以下哪个是数值分析中用于求解特征值问题的算法？A. 幂法B. 共轭梯度法C. 牛顿法D. 欧拉法答案：A9. 在数值微分中，使用有限差分法来近似导数时，中心差分法的误差：A. 与步长成正比B. 与步长的平方成正比C. 与步长的立方成正比D. 与步长的四次方成正比答案：B10. 以下哪个是数值分析中用于求解线性最小二乘问题的算法？A. 梯度下降法B. 牛顿法C. 奇异值分解法D. 共轭梯度法答案：C二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述数值分析中病态问题的特点及其对算法的影响。

试题__2009___年~__2010___年第 一学期课程名称： 数值分析 专业年级： 2009级（研究生） 考生学号： 考生姓名： 试卷类型： A 卷 √ B 卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □………………………………………………………………………………………………………一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。

2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。

3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。

4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。

二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。

三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。

（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。

（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。

（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （10分） 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。

期末考试试卷( A 卷)2007 学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业100011. 用计算机求11000时，应按照 n 从小到大的顺序相加。

n1n2. 为了减少误差 ,应将表达式 2001 1999 改写为 2进行计算。

( )2001 19993. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。

( )4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时， 公式阶数越高，数值解越精确。

( )5. 用迭代法解线性方程组时， 迭代能否收敛与初始向量的选择、 系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。

( ) 二、填空每空 2 分，共 36 分)1. 已知数 a 的有效数为 0.01 ，则它的绝对误差限为 _______ ，相对误差限为 _1 0 1 02. 设 A0 2 1 ,x 5 ,则 A 1____________________________ _， x 2 ______ ，Ax1 3 0 13. 已知 f (x) 2x 54x 35x,则 f[ 1,1,0] , f[ 3, 2, 1,1,2,3] .14. 为使求积公式 f (x)dx A 1f ( 3) A 2f (0) A 3f ( 3)的代数精度尽量高，应使13 3A 1 ， A 2 ， A 3，此时公式具有 次的代数精度。

5. n 阶方阵 A 的谱半径 ( A)与它的任意一种范数 A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组 AX B 时，使迭代公式 X (k 1)MX (k)N (k 0,1,2,K )产 生的向量序列X (k)收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B时，系数矩阵A可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即A LU. 若采用高斯消元法解AX B，其中A 4 2，则21L ___________ ，U ____________ ；若使用克劳特消元法解AX B ，则u11 _______ ；若使用平方根方法解AX B，则l11与u11的大小关系为（选填：＞，＜，=，不一定）。