立体几何线面平行、面面平行

高中立体几何证明平行的专题(基本方法)

立体几何中证明线面平行或面面平行都

可转化为线线平行，而证明线线平行一般有

以下的一些方法：

(1)通过“平移”。(2)利用三角形中位线的

性质。(3)利用平行四边形的性质。(4)利用

对应线段成比例。(5)利用面面平行，等等。

(1)通过“平移”再利用平行四边形的性质

1．如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行

四边形，点E、F分别为棱AB、PD

的中点．求证：AF∥平面PCE；

EF

BA

CDP

（第1题图）

FG

G

ABCD

EC

ABD

EF2、如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，

AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋

3，

过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为

AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，

使得DE⊥EC.

（Ⅰ）求证：BC⊥面CDE；

（Ⅱ）求证：FG∥面BCD；3、如图所示,四棱锥P

ABCD底面是直角

梯形,,,ADCDADBA

CD=2AB,E为PC

的中点,证明://EBPAD平面;

4(2)利用三角形中位线的性质

4、如图，ABCD是正方形，O是正方形的

中心，E是

PC的中点。

求证：PA

∥平面

BDE

（.3）利用平行四边形的性质

9．正方体ABCD—A

1B

1C

1D

1中O为正方形

ABCD的中心，M为BB

1的中点，

求证：D

1O//平面A

1BC

1

;

PED

CBA10、在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB=

21DC，

中点为PDE.

求证：AE∥平面PBC；

(4)利用对应线段成比例

12、如图：S是平行四边形ABCD平面外

一点，M、N分别是SA、BD上的点，且

SMAM

=

NDBN

，

求证：MN∥平面

SDC13、如图正方形ABCD与ABEF交于AB，

M，N分别为AC和BF上的点且AM=FN

求证：MN∥平面BEC

AFEBC

D

M

N(5)利用面面平行

14、如图，三棱锥ABCP

中，PB底面

ABC，90BCA

，PB=BC=CA，E为PC的

中点，M为AB的中点，点F在PA上，且

2AFFP

那么另一条也垂直于这个平

a的无数条直线”是“ I丄a B.必要不充分条件

线面垂直与面面垂直专题复习

【知识点】

一.线面垂直

(1) 直线与平面垂直的定义：

如果直线l和平面a的 __________________ 一条直线都垂直，我们就说直线 I与平面a垂直,

记作 _____________ .

重要性质： ____________________________________________________________________________

(2) 直线与平面垂直的判定方法：

①判定定理：一条直线与一个平面的两条 ___________________ 都垂直，那么这条直线就垂直于这

个平面.用符号表示为：

②常用结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面, 面.用符号可表示为：

(3) 直线与平面垂直的性质：

① 由直线和平面垂直的定义知：直线与平面垂直，则直线垂直于平面的 ________ 直线.

② 性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行.用符号可表示为：

二、面面垂直

(1) 平面与平面垂直的定义：

两平面相交，如果它们所成的二面角是 _____________________ ，就说这两个平面互相垂直.

(2) 平面与平面垂直的判定定理：

如果一个平面经过另一个平面的一条 _____________________ ，那么这两个平面互相垂直.简述为

"线面垂直，则面面垂直”， 用符号可表示为：

(3) 平面与平面垂直的性质：

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 用

符号可表示为：

【题型总结】 题型一小题：判断正误

1. “直线I垂直于平面 A.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

2. 已知如图，六棱锥 P— ABCDE的底面是正六边形，

下列结论不正确的是( ).

A.CD// 平面 PAF B. DF丄平面 PAF C. CF//平面 PAB

立体几何讲义------线面平行，垂直，面面垂直

立体几何高考考点：

选择题：三视图

选择填空：球类题型

大题

（1） 线面平行、面面平行

线面垂直、面面垂直 【运用基本定理】

（2） 异面直线的夹角

线面角

面面角（二面角） 【几何法、直角坐标系法】

(3) 锥体体积 【找到一个好算的高，运用公式】

点面距离 【等体积法】

线面平行

1、如图所示，边长为4的正方形 与正三角形 所在平面互相垂直，M、Q

分别是PC，AD的中点．求证：PA∥面BDM

2、如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, D为AC的中点,求证:

A

B

C

A1B1C1D

Image

3、如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点.求证：平

面.

4、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是平行四边

形，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN∥平面

PAD．

5、如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2，E、

F分别是AB、PD的中点．求证：AF∥平面PCE；

6、(2012·辽宁)如

图，直三棱柱ABC－A′B′C

′，∠BAC＝90°，AB＝AC

＝，AA′＝1，点M、N分别

为A′B和B′C′的中点．

证明：MN∥平面A

′ACC′；

7、【2015高考山东】 如图，三棱台中，分别为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

1．下列条件中,能判断两个平面平行的是( )

A．一个平面内的一条直线平行于另一个平

面;

B．一个平面内的两条直线平行于另一个平

面

C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面

D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面

2、已知直线a与直线b垂直,a平行于平面α,则b与α的位置关系是(

)A.b∥α B.bα

C.b与α相交 D.以上都有可能

3． 直线及平面，使成立的条件是（ ）

A． B． C． D．

4．若直线m不平行于平面，且m，则下列结论成立的是（ ）

A．内的所有直线与m异面 B．内不存在与m平行的直线

C．内存在唯一的直线与m平行 D．内的直线与m都相交

1、如图，在正方体1111ABCDABCD中，E是1AA的中点，

求证： 1//AC平面BDE。

2、ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，E是棱BC的中点。求证：BD1//平面C1DE

3、四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，

求证：MN∥平面PAD；

AE D1

CB1

D

C B A 4、如图，在长方体''''DCBAABCD

中，'''''//,,ACDEFCBBAFE平面的中点，求证：分别是棱

5、已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是A A1、CC1的中点。求证：平面BDF//平面B1D1E.（自己画图）

6、已知正方体''''DCBAABCD，求证：'''//ACDBCA平面平面.（自己画图）

'C'D'BD

A B C 'A E F 1、已知ABC中90ACB,SA面ABC,ADSC,求证：AD面SBC．

2、如图，已知空间四边形ABCD中，,BCACADBD，E是AB的中点。

求证：（1）AB平面CDE;

（2）平面CDE平面ABC。

3、正方体''''ABCDABCD中，求证：（1）''ACBDDB平面；（2）''BDACB平面

A

E

D B C SDCBA4、证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D

D1 C1

A1 B1

D C

A B

5、△ABC，∠ABC＝90°，PA⊥平面 ABC，则图中直角三角形的个数是________．

6.如图，AB是圆O的直径，C是异于A，B的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面。求证：（1）BC⊥面PAC （2)若AH⊥PC,则AH⊥面PBC

P

A B

C H