函数的单调性、奇偶性测试题(附答案)

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函数的单调性、奇偶性测试

一、选择题

1．设fx为定义在R上的奇函数，满足2fxfx，当01x时fxx，则7.5f等于 （ ）

A．0.5 B．0.5 C．1.5 D．1.5

2．设fx是定义在R上的偶函数,且在(－∞,0)上是增函数,则2f与223faa

（aR）的大小关系是 （ ）

A．2f<223faa B．2f≥223faa

C．2f>223faa D．与a的取值无关

3．若函数fx为奇函数，且当0x时，1fxx，则当0x时，有（ ）

A．fx0 B．fx0

C．fxfx≤0 D．fx－fx0

4．已知函数2212fxxax在区间4,上是减函数，则实数a的取值范围是

（ ）

A．a≤3 B．a≥－3 C．a≤5 D．a≥3

5．已知函数0fxxaxaa，111xgxxx，2200xxxhxxxx，则 ,,fxgxhx的奇偶性依次为 （ ）

A．奇函数，偶函数，奇函数 B．奇函数，奇函数，偶函数

C．奇函数，奇函数，奇函数 D．奇函数，非奇非偶函数，奇函数

6．已知函数221,fxxaxbbabR对任意实数x都有11fxfx

成立，若当1,1x时，0fx恒成立,则b的取值范围是 （ ）

A．10b B．2b C．12bb或 D．不能确定

7．已知函数2223fxxx，那么 （ ）

A．yfx在区间1,1上是增函数 B．yfx在区间,1上是增函数

C．yfx在区间1,1上是减函数D．yfx在区间,1上是减函数

8．函数yfx在0,2上是增函数，函数2yfx是偶函数，则下列结论中正确的

是 （ ）

A．57122fff B．57122fff

C．75122fff D．75122fff

9．设函数fx是R上的奇函数，且当0x时，23xfx，则2f等于（ ）

A．1 B．114 C．1 D．114 word格式-可编辑-感谢下载支持

10．函数yfx与ygx的定义域相同，且对定义域中任何x有0fxfx，1gxgx，若1gx的解集是0，则函数21fxFxfxgx是（ ）

A．奇函数 B．偶函数

C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数

二、填空题：请把答案填在题中横线上。

11．设yfx是R上的减函数，则3yfx的单调递减区间为 ;

12．已知fx为偶函数，gx是奇函数，且fx22gxxx，则fx、gx 分别为 ;

13．定义在1,1上的奇函数21xmfxxnx，则常数m ，n ；

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

14．求函数21xy的单调区间.

15．已知110212xfxxx，

⑴判断fx的奇偶性； ⑵证明0fx．

16．⑴已知()fx的定义域为{|0}xx，且12()()fxfxx，试判断()fx的奇偶性。

⑵函数()fx定义域为R，且对于一切实数,xy都有()()()fxyfxfy，试判断()fx的奇偶性。

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17．若()fx是定义在0,上的增函数，且xffxfyy

⑴求1f的值；⑵若61f，解不等式132fxfx．

18．已知2fxxc，且21ffxfx。

⑴设gxffx，求gx的解析式；

⑵设xgxfx，问是否存在实数，使x在,1上是减函数，并且在 1,0上是增函数．

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19．已知31≤a≤1，若函数221fxaxx在区间[1，3]上的最大值为Ma，最小值为Na，令gaMaNa．

（1）求ga的函数表达式；

（2）判断函数ga在区间[31，1]上的单调性，并求出ga的最小值 .

一、选择题：BBCAD CCDAB

二、填空题： 1 1．3, ； 12．22,xx； 13．0,0； 14．5.27,20．

三、解答题：15．解：令2xt（0t）， ty1在),0(上为减函数，

而2xt在)0,(上为减函数，在),0(上是增函数，

∴21xy在)0,(上为增函数，在),0(上为减函数．

说明：复合函数的单调性的判断：设)(xfy，)(xgu，],[bax，],[nmu都是单调函数，则[()]yfgx在],[ba上也是单调函数。 word格式-可编辑-感谢下载支持

①若)(xfy是[,]mn上的增函数，则[()]yfgx与定义在],[ba上的函数)(xgu的单调性相同．

②若)(xfy是[,]mn上的减函数，则[()]yfgx与定义在],[ba上的函数)(xgu的单调性相同．

即复合函数的单调性为：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”）．

16．解：⑴fx的定义域为,00,，它关于原点对称，又

21110212221xxxxfxxx

∴fx2121221221xxxxxxfx，∴fx为偶函数；

⑵证明：∵当0x时，21,210xx，∴110212xfxx；

当0x时，0x，∴0fx．

又fx为偶函数，∴fxfx，故当0x时，0fx．

综上可得：0fx成立．

17．解：⑴∵()fx的定义域为{|0}xx，且12()()fxfxx ①

令①式中x为1x得：112()()ffxxx ②

解①、②得221()3xfxx， ∵定义域为{|0}xx关于原点对称，

又∵222()121()3()3xxfxxx()fx，∴221()3xfxx是奇函数．

⑵∵定义域关于原点对称， 又∵令0xy的(0)(0)(0)fff则(0)0f，

再令yx得(0)()()ffxfx，

∴()()fxfx，∴原函数为奇函数．

18．分析：此题的关键是?2f，然后再利用已知条件和函数的单调性．

解：⑴在等式中令0xy，则10f；

⑵在等式中令36,6xy则363666fff，36262ff，

故原不等式为：),36()1()3(fxfxf即(3)(36)fxxf，

又()fx在0,上为增函数，故原不等式等价于：30115330020(3)36xxxxx．

19．解：⑴4()22gxxx；

42(2)()()()(2)(2)xgxfxxx，2112()()()xxxx222112()[(2)]xxxx① word格式-可编辑-感谢下载支持

22121221121,()()0,xxxxxxxx设则21124②由①、②知，40当4即时，()(,1)x在上是减函数；

同理当4时，)(x在（－1,0）上是增函数。

于是有，当)(,4x时在（－∞，－1）上是减函数，且在（－1,0）上是增函数。

20．解：（1）∵)(,131xfa的图像为开口向上的抛物线，且对称轴为].3,1[1ax

∴fx有最小值aaN11)( .

当2≤a1≤3时，a[)(],21,31xf有最大值11Mafa；

当1≤a1<2时，a∈()(],1,21xf有最大值M（a）=f(3)=9a－5;

).121(169),2131(12)(aaaaaaag

（2）设1211,32aa则 121212121()()()(1)0,()(),gagaaagagaaa

]21,31[)(在ag上是减函数.

设1211,2aa 则121212121()()()(9)0,()(),gagaaagagaaa

11(,1]2ga在上是增函数.∴当12a时，ga有最小值21．