《基本不等式》教案
- 格式：docx
- 大小：96.18 KB
- 文档页数：7
《根本不等式》教学设计
教材：人教版高中数学必修5第三章
一、教学目的
1．通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个根本不等式，理解根本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；
2．进一步提炼、完善根本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对根本不等式的相识，进步逻辑推理论证实力；
3．结合课本的探究图形，引导学生进一步探究根本不等式的几何说明，强化数形结合的思想；
4．借助例1尝试用根本不等式解决简洁的最值问题，通过例2及其变式引导学生领悟运用根本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的实力，体会方法与策略．
以上教学目的结合了教学实际，将学问与实力、过程与方法、情感看法价值观的三维目的融入各个教学环节．
二、教学重点和难点
重点：应用数形结合的思想理解根本不等式，并从不同角度探究不等式 的证明过程；
难点：在几何背景下抽象出根本不等式，并理解根本不等式．
三、教学过程：
1．动手操作，几何引入
如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是依据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，表达了以形证数、形数统一、代数和几何是严密结合、互不行分的．
探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？ 在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条 直角边长为， 那么正方形的边长为．于是，
4个直角三角形的面积之和， 正方形的面积． 由图可知，即．
探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余局部折叠）．假设两个正方形的面积分别为和（），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发觉一个不等式吗？ 通过学生动手操作，探究发觉：
2．代数证明，得出结论
依据上述两个几何背景，初步形成不等式结论： 若，则． 若，则．
学生讨论等号取到状况，老师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论：
（1）若，则；（2）若，则 请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明．
证法一（作差法）： ，当时取等号． （在该过程中，可发觉的取值可以是全体实数） 证法二（分析法）：由于，于是
要证明 ，
只要证明 ，
即证 ，
即 ，该式明显成立，所以，当时取等号．
得出结论，展示课题内容
根本不等式: 若，则（当且仅当时，等号成立） 若，则（当且仅当时，等号成立）
深化相识： 称为的几何平均数；称为的算术平均数 根本不等式又可叙述为：
两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数
3．几何证明，相见益彰
探究三：如图，是圆的直径，点是上一点，，．过点作垂直于的弦，连接． 依据射影定理可得： 由于中直角边斜边， 于是有 当且仅当点与圆心重合时，即时等号成立．
故而再次证明： 当时，（当且仅当时，等号成立）
（进一步加强数形结合的意识，提升思维的敏捷性）
4．应用举例，稳固进步
例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
（通过例1的讲解，总结归纳利用根本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化） 对于，
（1）若（定值），则当且仅当时，有最小值；
（2）若（定值），则当且仅当时，有最大值．
（激励学生自己探究推导，不但可使他们加深根本不等式的理解，还熬炼了他们的思维，培育了勇于探究的精神．）
例2.求的值域．
变式1. 若，求的最小值． 在运用根本不等式解题的根底上，利用几何画板展示的函数图象，使学生再次感受数形结合的数学思想． 并通过例2及其变式引导学生领悟运用根本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的实力，体会方法与策略．
练一练（自主练习）：
1.已知，且，求的最小值．
2.设，且，求的最小值．
5．归纳小结，反思进步 根本不等式：若，则（当且仅当时，等号成立） 若，则（当且仅当时，等号成立）
（1）根本不等式的几何说明（数形结合思想）；
（2）运用根本不等式解决简洁最值问题的根本方法．
媒体展示，浸透思想： 若将算术平均数记为，几何平均数记为
利用电脑3D技术，在空间坐标系中向学生展示根本不等式的几何背景： 平面在曲面的上方
6．布置作业，课后延拓
（1）根本作业：课本P100习题组1、2题
（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找根本不等式的其他几何说明，整理并互相沟通．
（3）探究作业： 现有一台天平，两臂长不相等，其余均准确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量．这种说法对吗？并说明你的结论．
《根本不等式》教学设计说明
一、内容和内容解析
本节课是人教版高中数学必修5中第三章第4节的内容。主要是二元均值不等式。它是在系统地学习了不等关系和不等式性质，驾驭了不等式性质的根底上绽开的，作为重要的根本不等式之一，为后续的学习奠定根底。要进一步理解不等式的性质及运用，讨论最值问题，此时根本不等式是必不行缺的。根本不等式在学问体系中起了承上启下的作用，同时在生活及消费实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进展情感价值观教化的优良素材，所以根本不等式应重点讨论。
教学中留意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要承受、记忆、仿照和练习，而且要自主探究、动手理论、合作沟通、阅读自学，师生互动，老师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参加、提醒本质、经验过程。
就学问的应用价值上来看，根本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等在各种不等式的讨论中均有着广泛的应用；另外，在解决函数最值问题中，根本不等式也起着重要的作用。
就内容的人文价值上来看，根本不等式的探究与推导须要学生视察、分析、归纳，有助于培育学生创新思维和探究精神，是培育学生数形结合意识和进步数学实力的良好载体。
二、教学目的和目的解析
教学目的：理解根本不等式的几何背景，能在老师的引导下探究根本不等式的证明过程，理解根本不等式的几何说明，并能解决简洁的最值问题；借助于信息技术强化数形结合的思想方法。
在老师的逐步引导下，能从较为熟识的几何图形中抽象出根本不等式，实现对根本不等式几何背景的初步理解。
学生已经学习了不等式的根本性质，可以运用作差法给出根本不等式的证明，同时，介绍并浸透分析法证明的思想方法，从而完成根本不等式的代数证明。
进一步通过探究几何图形，给出根本不等式的几何说明，加强学生数形结合的意识。
通过应用问题的解决，明确解决应用题的一般过程。这是一个过程性目的。借助例1，引导学生尝试用根本不等式解决简洁的最值问题，体会和与积的互相转化，进一步通过例2，引导学生领悟运用根本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，并用几何画板展示函数图形，进一步深化数形结合的思想。结合变式训练完善对根本不等式构造的理解，提升解决问题的实力，体会方法与策略。
三、教学问题诊断
在认知上，学生已经驾驭了不等式的根本性质，并可以依据不等式的性质进展数、式的大小比拟，也具备了肯定的平面几何的根本学问。但是，倘如老师不加以引导，学生并不能自觉地通过已有的学问、记忆去开展和构建几何图形中的相等或不等关系，这就须要老师逐步地引导，并选用合理的手段去激活学生的思维，增加数形结合的思想意识。
另外，尽可能引领学生充分理解两个根本不等式等号成立的条件，为利用根本不等式解决简洁的最值问题做好铺垫。在用根本不等式解决最值时，学生往往简洁无视根本不等式运用的前提条件，同时又要留意区分根本不等式的运用条件为。因此，在教学过程中，借助例题落实学生领悟根本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用。而对于“一正二定三相等”的进一步强化和应用，将放于下一个课时的内容。
四、教学支持条件分析
为了能很好地展示几何图形,体会根本不等式的几何背景,教学中须要有详细的图形来扶植学生理解根本不等式的生成，感受数形结合的数学思想，所以，借助于几何画板软件来加强几何直观非常必要，同时演示动画扶植学生验证根本不等式等号取到的状况，并用电脑3D技术展示根本不等式的又一几何背景，加深对根本不等式的理解，增加教学效果。
五、教学设计流程图
教学过程的设计从实际的问题情境动身，以根本不等式的几何背景为着手点，以探究活动为主线，探求根本不等式的构造形式，并进一步给出几何说明，深化对根本不等式的理解。通过典型例题的讲解，明确利用根本不等式解决简洁最值问题的应用价值。数形结合的思想贯穿于整个教学过程，并时刻表达在教学活动之中。
六、教法和预期效果分析
本节课通过6个教学环节，强调过程教学，在老师的引导下，启动视察、分析、感知、归纳、探究等思维活动，从各个层面相识根本不等式，并理解其几何背景。课堂教学以学生为主体，根本不等式为主线，在学生原有的认知根本上，充分展示根本不等式这一学问的发生、开展及再创建的过程。
同时，以多媒体课件、几何画板、电脑3D技术作为教学协助手段，给予学生直观感受，便于视察，从而把一个陌生的、内在的学问，变成一个可认知的、可沟通的对象，进步了课堂效率。
通过这节课的学习，引领学生多角度、多方位地相识根本不等式，并理解它的几何意义充分浸透数形结合的思想；能在老师的引导下，主动探究并理解根本不等式的证明过程，强化证明的各类方法；会用根本不等式解决简洁的最大(小)值问题并留意等号取到的条件。在教学过程中始终围绕教学目的进展评价，师生互动，在教学过程的不同环节中刚好获得教学反应信息，以学生为主体，刚好调整教学措施，完成教学目的，从而到达较为志向的教学效果。
